Il triangolo di Tartaglia: smemorati per scelta

Sicuramente alle scuole superiori avrai studiato qualcosa riguardo l’algebra dei binomi, tipico è il quadrato di un binomio: $(a+b)^2=a^2+b^2$. Ovviamente no! Manca un termine molto importante: $2ab$.

Presa da Reddit


In questo articolo cercheremo di capire il motivo per cui questo termine è lì. Inoltre generalizzeremo il risultato per la potenza ennesima di un binomio. Per questa generalizzazione ci verrà in aiuto il Triangolo di Tartaglia 😉


Il caso $(a+b)^2$ è molto semplice, infatti per la proprietà distributiva del prodotto:
$ (a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 $

Triangolo di Tartaglia

Analogamente,
$ (a+b)^3=(a+b)^2(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
Tuttavia man mano che l’esponente aumenta diventa davvero laborioso svolgere tutti i conti, per questo sarebbe molto comodo trovare un metodo più veloce.

Notiamo che ogni addendo del risultato è costituito da due parti: una è il coefficiente, indipendente da $a$ e $b$, l’altra la chiameremo “combinazione”, in quanto è una combinazione di $a$ e $b$, elevati ad un appropriato esponente.

E’ abbastanza facile ricordare come si costruiscono le combinazioni: in un binomio $(a+b)^n$ si parte da $a^nb^0$ e poi si prosegue diminuendo di 1 l’esponente di $a$ e aumentando di 1 quello di $b$, fino ad arrivare alla combinazione simmetrica: $a^0b^n$. Il problema principale è quindi quello di ricordare i coefficienti da mettere davanti ai vari addendi.
Fortunatamente ci viene in soccorso un matematico italiano: Niccolò Fontana. Questo nome ti suona nuovo? Probabilmente lo conosci con il suo soprannome: Tartaglia!


Il soprannome deriva dalla sua balbuzie, sviluppata in seguito ad uno spiacevole incontro con dei briganti avuto a soli 13 anni e che gli causò un trauma cranico. Nonostante gli sia stato attribuito come presa in giro, egli stesso decise di farne un simbolo, utilizzandolo come firma per le sue opere. Oggi ci occupiamo della più celebre: il Triangolo di Tartaglia (conosciuto come Triangolo di Pascal all’estero).

Devi sapere che nel mondo della matematica l’Italia ha svolto e sta svolgendo un ruolo molto importante, non solo con Tartaglia ma anche con altri matematici. Per esempio abbiamo ricevuto 2 Medaglie Fields per meriti matematici, se ti interessa sapere cosa sono leggi questo articolo: Medaglia Fields.

Costruzione del Triangolo di Tartaglia

La costruzione è molto semplice: per prima cosa si numerano le righe a partire da 0 (il motivo sarà chiaro in seguito), poi si dispone una serie di 1: il primo a fare da vertice; gli altri, due per riga, lungo i lati obliqui di un triangolo isoscele (quindi ai due estremi di ogni riga). Infine per riempire la parte centrale è sufficiente ricordare che ogni termine è dato dalla somma dei due valori immediatamente sopra di esso. Per esempio alla riga 2 c’è un 2, ottenuto dalla somma di due 1, mentre i due 10 alla riga 5 derivano dalle somme di 4 e  6 alla riga superiore.

Perchè il Triangolo di Pascal è utile?

Tartaglia fa uso del suo triangolo per problemi di combinatoria, tuttavia esso è anche molto utile per svolgere la potenza di un binomio. In effetti le due cose sono strettamente collegate, ma lo vedremo in seguito.
Per il momento osserviamo solo che i numeri alle righe 2 e 3 sono rispettivamente i coefficienti dei termini di $(a+b)^2$ e $(a+b)^3$. Si può dimostrare che questo vale per ogni riga! Per esempio i coefficienti di $(a+b)^5$ sono i numeri che compaiono alla quinta riga del triangolo. Quindi,
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
Molto più veloce rispetto a svolgere manualmente tutti i conti.

Ora risulta chiaro perché abbiamo iniziato a numerare le righe da 0. Infatti $(a+b)^0=1$ mentre $(a+b)^1=1a^1+1b^1$.

Bene, abbiamo visto come il Triangolo di Tartaglia ci può aiutare nello sviluppo di un binomio. Ora soffermiamoci su un caso pratico molto semplice in cui saper svolgere il quadrato o il cubo di un binomio può essere utile.

Fate finta di dover calcolare per qualche motivo $106^2$ e di non avere la calcolatrice a portata di mano. In questo caso è comodo scrivere $106^2=(100+6)^2$ ed applicare il metodo di Tartaglia, quindi il risultato sarà
$100^2+2\cdot 6\cdot 100+6^2=11236$

Oppure, per esempio:
$(63^3)=(60+3)^3=60^3+3\cdot 60^2\cdot 3+3\cdot 60\cdot 3^2+3^3=216000+32400+1620+27=250047$ .


Abbastanza laborioso, ma ci si deve accontentare, è comunque più veloce rispetto a svolgere tutti i calcoli in colonna!

Coefficienti binomiali

Abbiamo detto che Tartaglia fa ampio uso del suo triangolo soprattutto nel campo del calcolo combinatorio; perché le due cose sono legate?
Ragioniamo sul significato dei coefficienti, aiutandoci con un esempio: $(a+b)^3$ . Ci chiediamo, senza svolgere i calcoli, quanti siano i termini con combinazione $a^2b$

La figura mostra il motivo per cui il risultato è 3. Le terne che moltiplicate danno come combinazione $a^2b$ sono infatti $(a,a,b) ; (a,b,a) ; (b,a,a)$ , rispettivamente riquadrate in rosso, blu e verde.

Andiamo in profondità, qual è il significato della domanda che ci siamo posti? Quello che abbiamo fatto è stato fissare una terna: $(a,a,b)$, e andare a contare in quanti modi questa terna può disporsi.
Per calcolare questo risultato basta osservare quante possibilità abbiamo per la prima posizione (3), per la seconda (2) e per la terza (1). Quindi in tutto si hanno $3\cdot 2\cdot 1=6$ possibilità. Però i due termini $a$ sono indistinguibili, di conseguenza dobbiamo anche dividere per il numero di possibili disposizioni delle $a$, in questo caso 2.

Riassumendo l’operazione che ci consente di contare le combinazioni possibili è la seguente:

$\frac{3\cdot 2\cdot 1}{2}=\frac{3!}{2!1!}=\binom{3}{1}$

Questa espressione è detta, guarda caso, coefficiente binomiale e in generale si calcola così

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Ogni termine del triangolo di Tartaglia è proprio il coefficiente binomiale di n k dove n è la riga e k la colonna  (partendo da 0), per esempio il 10 è alla riga riga 5 e alla colonna 2, infatti si ottiene calcolando

$\binom{5} {2}=\frac{5!}{2!3!}=10$

Binomio di Newton

In questo modo possiamo scrivere in forma compatta la potenza di un binomio:

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Questa formula è il celebre binomio di Newton. Essa è fondamentale in combinatoria, ma ha applicazioni anche in altre branche della matematica

Per esempio in questo articolo Georg Cantor: Quanto è infinito l’infinito? Lorenzo spiega come Cantor abbia dimostrato che l’insieme delle parti di un insieme ha una cardinalità maggiore rispetto alla cardinalità dell’insieme stesso.
Nel caso di insiemi finiti (ovvero costituiti da un numero n di elementi), la cardinalità è esattamente $2^n$, vediamo come provarlo utilizzando la formula di Newton.

Noi sappiamo che $card(X)=n$. L’insieme delle parti di X è l’insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di X. Quindi per contare i suoi elementi possiamo per prima cosa contare il numero di sottoinsiemi di X con 0 elementi, poi quelli con 1 elemento e così via, fino a quelli di n elementi. Infine, per trovare il numero totale sarà sufficiente sommare i conteggi parziali.
Ricordando il significato di coefficiente binomiale, il numero di sottoinsiemi con 0 elementi sarà $N_0 =\binom{n}{0}$, con 1 elemento $N_1=\binom{n}{1}$ e così via fino a $N_n=\binom{n}{n}$.
Quindi sommando abbiamo che $card(\mathcal{P}(X))=\sum_{k}^{n} \binom{n}{k}= \sum_{k}^{n} \binom{n}{k}1^{n-k}1^k$ ovvero lo sviluppo con il binomio di Newton di $(1+1)^n=2^n$.

Se ti interessa approfondire questo argomento o qualche altro risultato di Tartaglia ti lascio qualche link interessante qui sotto:

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    • Yes, Indian and Chineese mathematicians surely knew it, but I don’t know if they also knew the idea of binomial coefficient. Anyway I really appreciate the comment, you are too kind

  1. Ho riletto l’articolo. Trovo un errore (di battitura?) nella relazione del coefficiente binomiale riportata nel quart’ ultimo rigo prima di Binomio di Newton