Ogni superficie può essere triangolata. A priori questa triangolazione non è unica
Se ti è capitato di affrontare in precedenza qualche corso di matematica discreta o analisi numerica, certamente hai letto il termine triangolazione prima d’ora. In questo articolo voglio quindi pormi l’obiettivo di introdurre il concetto di triangolazione nella maniera più completa possibile, mostrando le principali regole che queste partizioni devono rispettare, aiutandomi con molti esempi.
Di sicuro, anche se non hai mai sentito nominare il termine triangolazione, già alle elementari/medie quando imparavi le somme degli angoli interni ad un poligono qualsiasi, ti avranno spiegato che per ottenere questi valori è conveniente dividere il poligono in triangoli.
Vediamo perché nel seguente semplice esempio:
In questo poligono irregolare a 5 lati, la cui somma degli angoli interni è 540°, ho scelto un punto a caso $O$ ad esso interno e poi ho partizionato la figura in 5 triangoli. Bene, il fatto che si possa triangolare in questo modo permette di notare facilmente che effettivamente la somma degli angoli interni è pari a 540°, infatti basta sommare gli angoli interni di 5 triangoli ($180\cdot 5$) e poi togliere l’angolo giro in $O$, ottenendo quindi $180\cdot 5 – 360 = 540$, come ci aspettavamo.
Dopo aver visto questa elementare applicazione del concetto di triangolazione, senza però averla ancora definita “formalmente”, direi che siamo pronti a proseguire introducendo qualcosa di più rigoroso.
Cos’è una triangolazione?
Una triangolazione di una superficie compatta $S\subset \mathbb{R}^3$ è data da una famiglia finita di suoi sottospazio chiusi $\{T_1,\cdots, T_n\}$ che ricoprano $S$ e da una famiglia, anch’essa finita, di omeomorfismi (intuitivamente sono funzioni che stanno a descrivere “deformazioni senza strappi”, quindi semplicemente funzioni che stirano o deformano superfici senza introdurre buchi o agire come se si tagliasse con una forbice) $\{\Phi_i\}_{i\in\{1,\cdots,n\}}$ dove $\Phi_i : T’_i\rightarrow T_i$ e $T’_i$ è un triangolo di $\mathbb{R}^2$, come siamo soliti intenderlo. A loro volta anche i sottoinsiemi $T_i$ sono detti triangoli, anche se in realtà possono essere qualcosa che non siamo soliti definire in questo modo, come vedremo in seguito.
Le immagini tramite tali omeomorfismi di vertici e lati dei triangoli $T’_i$ si dicono vertici e lati della triangolazione. Inoltre, per far sì che questa partizione sia definibile triangolazione, si richiede che per $i.j=1,\cdots,n,\;i\neq j$ sia soddisfatta una e una sola delle seguenti situazioni:
- $T_i$ e $T_j$ sono disgiunti
- $T_i$ e $T_j$ hanno in comune un solo vertice
- $T_i$ e $T_j$ hanno in comune due vertici e il lato che li connette
Per completezza, ti inserisco qui sotto anche la definizione di triangolo nel piano $\mathbb{R}^2$:
TRIANGOLO: Figura piana limitata da 3 segmenti (lati del triangolo) che congiungono a due a due 3 punti non allineati (vertici del triangolo); è dunque un poligono di 3 lati.
Magari non ti è tutto chiaro della definizione o magari sì, comunque ora approfondiremo tutto con degli esempi.
Ah, dimenticavo…ogni superficie $S\subset\mathbb{R}^3$ ammette almeno una triangolazione, per una dimostrazione rigorosa di questo risultato puoi consultare il libro Curve e Superfici – Abate Tovena alla sezione 6.2
Partiamo dal semplice caso di un poligono, ovvero nel caso di una superficie contenuta in $\mathbb{R}^2\subset\mathbb{R}^3$. Qui per triangolare puoi procedere in infiniti modi, uno dei più semplici è quello che ti mostro nell’immagine precedente, che ti riporto ancora qui sotto:
Vediamo quindi in questo esempio cosa sono gli oggetti nominati nella definizione. In questo caso i triangoli sono 5, abbiamo quindi $T_1,T_2,T_3,T_4,T_5$. E gli omeomorfismi quali sono? Beh, in questo caso è molto semplice…basta prenderli tutti come la funzione identità. Infatti, essendo che partiamo già da triangoli come siamo abituati intenderli, non serve deformarli in alcun modo tramite gli omeomorfismi.
Ma, per concludere con l’esempio, questi triangoli rispettano le 3 condizioni riportate in precedenza? Si, certo…in questo semplice caso soddisfano tutti la stessa condizione:
- I triangoli hanno tutti in comune il solo vertice $O$.
Si, ok..questo è un esempio forse troppo semplice, ma si deve partire da qualcosa, no?!
Ora vediamo un qualcosa di più “avanzato”: triangoliamo una sfera!
Chiaramente anche in questo caso le triangolazioni possibili sono infinite, questa è la più intuitiva comunque. Non sembra complicata, ma ci permette di non limitarci al semplice caso 2-dimensionale e comunque intuire gli elementi coinvolti nella definizione di triangolazione.
I triangoli in questo caso sono 8. Tuttavia non possiamo dire che gli omeomorfismi siano delle identità, in quanto ogni elemento di questa triangolazione, deve venire “appiattito” per ottenere un classico triangolo nel piano.
Non vedremo una espressione di uno specifico omeomorfismo perché questa dipende da che triangolo si sceglie, da come la sfera è posizionata nello spazio euclideo e altre cose…ma vediamo qui sotto l’idea visuale dietro la costruzione di queste funzioni:
Ecco, come riportato qui sopra, ognuno di questi 8 omeomorfismi deve semplicemente mappare una rotazione dell’immagine di sinistra in una deformazione dell’immagine di destra, nulla di complicato insomma…
Concludiamo invece analizzando se questa triangolazione rispetta le 3 proprietà tra coppie di triangoli previste nella definizione:
- Come vedi i triangoli opposti nella sfera sono disgiunti
- Mentre i triangoli uno a fianco all’altro, condividono 2 vertici e il lato che li connette
- E per concludere i triangoli nello stesso emisfero che non condividono alcun lato condividono solo uno dei “poli”
Quindi tutto va per il verso giusto…
Ora come esercizio ti lascio la triangolazione di un toro. Una possibile scelta è riportata nell’immagine qui sotto ma c’è un po’ di analisi che ti consiglio di provare a fare da solo per vedere se hai capito il concetto:
Genere di una superficie
Per completezza, prima di passare all’analisi delle proprietà che una triangolazione deve soddisfare, ho deciso di riportarti anche la formula di Eulero per capire quanti triangoli, vertici e lati sono presenti in una triangolazione. Inoltre siccome questa formula, data una triangolazione di essa, ci permette di capire quanti “buchi” ha una superficie (es. 0 per la sfera, 1 per il toro), riporto qui di seguito anche la definizione del termine “genere di una superficie”:
Il genere di una superficie $S\subset\mathbb{R}^3$ è un numero intero non negativo che denota il massimo numero di curve semplici chiuse disgiunte che si possono disegnare su di essa senza sconnetterla.
In pratica il genere di una superficie (in realtà solo nel caso essa sia orientabile) corrisponde al numero dei buchi che essa ha.
Su una sfera, per esempio, qualsiasi curva semplice chiusa genera due componenti connesse distinte (in qualunque caso infatti si originano una calotta superiore ed una inferiore). Quindi la sfera ha genere 0 (infatti ha zero buchi). Il toro, invece, avendo un buco, ha genere 1, infatti è possibile tracciare una curva chiusa lungo una delle due circonferenze generatrici senza sconnetterlo, come mostrato nella seguente figura. Non è possibile tracciarvi qualsiasi altra curva semplice chiusa disgiunta senza sconnetterlo.
Questa caratterizzazione del genere è intuitiva ma non troppo operativa. D’altro canto il genere si può calcolare utilizzando anche la caratteristica di Eulero, che è un altro invariante combinatorio per le superfici, per determinare il quale faremo ricorso al concetto di triangolazione.
Per una superficie $S$ dotata di una triangolazione $T$, vale la seguente formula, detta Formula di Eulero:
Sia $S$ una superficie connessa e dotata di una triangolazione $T$, allora
$ \chi(S)=f-e+v=2-2g$ dove $\textbf{f}$ è il numero delle facce, $\textbf{e}$ il numero dei lati, $\textbf{v}$ il numero dei vertici di $T$, $\textbf{g}$ il genere della superficie $S$ e $\chi(S)$ la caratteristica di Eulero della superficie.
Prima di passare oltre mostriamo con un esempio il calcolo del genere tramite la Formula di Eulero.
Nella sfera, possiamo fornire una triangolazione composta da 8 facce analizzata poco sopra. In questo caso si ha $f=8$, $e=12$, $v=6$ e quindi $f-e+v=8-12+6=2=2-2g$, ritroviamo $g=0$, infatti la sfera ha 0 buchi.
IMPORTANTE: Come si può intuire, la caratteristica di Eulero e quindi il genere di una superficie non dipende dalla triangolazione della superficie analizzata.
Che proprietà deve soddisfare una triangolazione?
Nella figura qui di seguito sono rappresentati tre triangoli che coprono parte di un quadrato. A sinistra abbiamo tutti elementi consentiti dalla definizione di triangolazione, mentre a destra si infrangono tali proprietà.
A sinistra ci sono tre triangoli che possono essere parte della stessa triangolazione in quanto presi a due a due soddisfano tutti una delle tre proprietà della precedente definizione. A destra ci sono invece tre triangoli che non possono essere tutti parte della stessa triangolazione, perché non le rispettano.
Lascio a te capire quali coppie di triangoli non vanno bene e perché 😉 E’ un semplice esercizietto.
A cosa vengono utilizzate le triangolazioni?
Uno degli utilizzi di queste triangolazioni te l’ho già riportato qui sopra, ovvero per calcolare il genere di una superficie. Forse può non sembrarti rilevante come applicazione ma in realtà lo è…
Ora però vediamo un importante utilizzo che è FONDAMENTALE per risolvere equazioni alle derivate parziali numericamente , tramite il METODO DEGLI ELEMENTI FINITI (FEM).
Non so se tu abbia dimestichezza con tecniche numeriche per risolvere equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali e non pretendo certo di spiegartene alcune in poche righe nel post, però ti suggerisco 2-3 libri qui sotto per studiarti queste tematiche in autonomia:
- Calcolo scientifico: Esercizi e problemi svolti con Matlab e Octave (per ODE e altri problemi numerici)
- Modellistica numerica per Problemi Differenziali (per PDE ed elementi finiti)
- Solving numerical PDEs. Problems, applications, excercises (pde PDE ed elementi finiti)
In questi metodi, volendo discretizzare i domini in cui andiamo a risolvere le nostre PDE, le triangolazioni ci vengono in aiuto. Infatti si usano per poter definire una partizione del dominio e quindi definire un sottospazio finito dimensionale in cui andare ad approssimare la soluzione debole del problema differenziale.
Ti lascio qui di seguito un’immagine abbastanza esplicativa, ma ti suggerisco vivamente di dare un’occhiata ai libri qui sopra.
Se può interessarti qualche piccolo approfondimento su queste tematiche, fammelo sapere mandando un messaggio su Instagram a @mathoneig oppure una mail a list@mathone.it che vediamo cosa fare 🙂
Le triangolazioni sono utilizzate anche per altri scopi, ma non li cito per due ragioni:
- Non ho troppa dimestichezza con la matematica discreta e questi sono quelli che conosco
- Preferisco evitare di citarli senza darti riferimenti per approfondire che ho prima consultato
Se tuttavia ti va di condividere altre applicazioni che conosci e spiegarle in maniera esaustiva, lascia pure un commento qui sotto e dopo penserò io a metterlo in evidenza a tutti i lettori!
Prima di passare all’ultima sezione di questo articolo, colgo l’occasione per suggerirti un paio di dispense per approfondire queste tematiche:
Una triangolazione particolare: la triangolazione di Delaunay
Intanto prima di iniziare ti condivido una tesi particolarmente interessante che ho trovato su questo tema, la puoi leggere qui, e ora possiamo vedere cos’è questa particolare triangolazione e perché è importante.
Una triangolazione di un insieme finito di punti $P\subset\mathbb{R}^2$ viene detta di Delaunay se il cerchio circoscritto ad ogni triangolo è vuoto, ovvero nessun punto di P vi giace all’interno.
Ogni insieme di punti (non tutti collineari tra di loro) ha una sola triangolazione di Delaunay. Ogni triangolazione di Delaunay massimizza il più piccolo angolo interno tra tutte le triangolazioni possibili. La triangolazione di Delaunay è il “duale” di un’altra costruzione geometrica nota come Diagramma di Voronoi.
A meno di trasformazioni rigide, la triangolazione di Delaunay di un insieme fissato di punti è unica. Per costruirla esistono degli algoritmi più o meno ottimizzati che puoi trovare abbastanza facilmente con una ricerca su Google (se vuoi scoprire cos’è un algoritmo leggi qui: Cos’è un algoritmo)
La descrizione qui sopra riportata di triangolazione di Delaunay l’ho presa da una dispensina che trovi qui in cui c’è anche qualcosa in più di quanto ho scritto.
Questa triangolazione è parecchio importante nel campo della matematica discreta e dell’analisi numerica perché consente di massimizzare l’angolo interno minimo e questa proprietà è fondamentale per quanto riguarda l’interpolazione, il condizionamento delle matrici di rigidezza e molte altre applicazioni.
Con ciò direi che l’articolo può finire qui, abbiamo fatto un bel giretto nel campo della matematica discreta senza ovviamente approfondire troppo i dettagli. Per questo infatti ci sono i libri di testo, mentre chiaramente il mio obiettivo è solo farti conoscere temi nuovi, altri concetti e farti venire la voglia di leggere e studiare di più a riguardo 🙂
Spero di esserci riuscito, se ti è piaciuto l’articolo o hai suggerimenti di ogni genere lascia pure un commento qui sotto, ti risponderò sicuramente!
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