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Somma numeri naturali

Caffè matematico n°5 : La somma di tutti i naturali

Già Gauss quando aveva 7 anni aveva trovato una formula per calcolare la somma dei primi numeri naturali… Ma quanto fa la somma di tutti i numeri naturali? “Ovviamente è infinito” verrebbe da dire… e invece NO! la somma esiste, è finita e fa

Dove sta l’inganno?

Spoiler: non trattate i passaggi matematici come oro colato, l’idea di fondo è sbagliata! (si vedano i commenti finali a tal proposito)

Scherzi a parte, la serie è ovviamente divergente (cioè fa ), tuttavia se la tronchiamo ad un certo la somma, essa risulta ben definita e fa

Tuttavia se facciamo tendere la serie a inifinito, le cose cambiano… Prendiamo il problema con leggerezza e vediamo come dimostrare che la somma fa !

Prima di proseguire, se ti interessano i numeri e la matematica mi permetto di suggerirti questo libro molto semplice e divertente: Il mago dei numeri. Un libro da leggere prima di addormentarsi, dedicato a chi ha paura della matematica.

Vi anticipo già che nella dimostrazione non c’è nessuna intuizione perchè per come il problema è definito esso è tremendamente anti-intuitivo!

Siamo ai primi del ‘900 e un talentuoso fisico indiano annota sul suo taccuino il giusto risultato a questo problema. Stiamo parlando del celebre Ramanujan[1] il quale risolvette questo problema in modo euristico; l’idea di base si fondava sul fatto che si poteva trasformare la serie 1+2+3+4+… in 1-2+3-4+… (per informazioni riguardo alla serie alternata rimando a link in bibliografia ) sottraendo 4 al secondo termine, 8 al quarto, 12 al sesto e così via. Il totale sottratto era quindi 4+8+12+16+… , ovvero quattro volte la serie originale!

Già Eulero, molti anni prima, aveva dimostrato che (paradossalmente!) la somma alternata faceva 1/4 ! Quello che fece Ramanujan fu di porre semplicemente

e

.

Dunque il gioco era fatto! Basta sottrarre la seconda dalla prima e si ottiene semplicemente:

quindi abbiamo vinto perchè Eulero aveva già giocato a questo gioco! Basta porre:

ottenendo dunque


Attenzione! Il risultato rimane in ogni caso errato!

Questo risultato è chiaramente errato in quanto le serie infinite vanno maneggiate prima trovando la funzione generale somma e poi passando al limite all’infinito. Infatti se si manipolano le serie inifinte come fossero finite (come nella “soluzione” riportata da Ramanujan), è possibile dimostrare praticamente qualsiasi risultato. [2]

Il principio di fondo è che la somma è definita in modo induttivo e dunque non si può usare l’induzione con troppa leggerezza quando si parla di somme infinite!


Nota (importante)

Sebbene come precedentemente detto questo risultato è sostanzialmente errato, quest’ultimo trova notevoli applicazioni in analisi complessa, teoria dei numeri, teoria quantistica dei campi e teoria M (per gli amici: teoria delle stringhe). Il motivo per cui questo è valido è molto più profondo ed è legato al fatto che per particolari funzioni un approssimazione finita di somme infinite produce un errore tendente a zero (per chi ne sa un po’ di più, sto parlando ovviamente dell’operatore troncamento).