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Paradossi probabilistici

Caffè Matematico n°1 – Paradossi Probabilistici

Il titolo affiancato dal numero 1 fa intuire che qualcosa di nuovo si sta muovendo. 

Eccoci al primo episodio del “Caffè Matematico”! Questa nostra nuova rubrica ha l’intento di accompagnarvi nelle brevi pause giornaliere con delle piccole chicche matematiche.

I testi (speriamo 🙂 ) saranno coincisi e chiari, mentre la scadenza sarà settimanale.

Pronti, partenza…via!

La teoria delle probabilità è in fondo soltanto senso comune ridotto a calcolo.

 

Pierre Simon Laplace, Teoria analitica delle probabilità , 1812

Dopo aver letto questa frase mi sono perso ad apprezzarne la veridicità e allo stesso tempo l’essenziale semplicità. Poi però mi sono chiesto… allora perché esistono dei paradossi probabilistici?

In questo breve articolo cercheremo di dare una risposta a questa domanda e scoprire quali sono i paradossi più famosi della teoria della probabilità.

Cos’è un paradosso? E perché Laplace si “sbagliava”?

La parola paradosso deriva dall’unione delle parole greche παρά (contro) e δόξα (opinione). Un paradosso è infatti un fatto che appare inaccettabile in quanto in contrasto con il senso comune. L’esistenza di queste stranezze, nel mondo probabilistico, va in parte a “dare torto” all’affermazione di Laplace (le virgolette sono d’obbligo ogni volta che contraddico parzialmente il grande matematico! 🙂 ).

A mio parere la presenza di questi fatti mette in luce la profonda bellezza e forza della matematica: quando il senso comune cade in errore il rigore del linguaggio matematico capta la stranezza e tramite il suo formalismo la spiega e ne motiva la presenza.

Quello che faremo da ora in poi sarà appunto questo. Prima ci faremo ingannare dell’intuizione fornendo risposte sbagliate ai paradossi, poi ci armeremo di qualche proprietà matematica per correggere il tiro.

 

Il paradosso delle tre carte

Supponiamo di avere tre carte che per semplicità chiameremo A, B e C. La prima carta è bianca su entrambe le sue facce. La seconda è rossa su entrambi i lati. La terza infine ha una faccia rossa e una bianca.

Immaginiamo ora di inserire A, B e C in una scatola, di estrarre una carta e di porla sul tavolo con solo una faccia visibile. Siamo quindi in grado di vedere il colore di questa che ipotizziamo sia il rosso. Ci chiediamo che probabilità ha l’altra faccia di essere rossa?

Risposta di pancia…   ! Visto che la carta in questione da una parte è rossa può essere soltanto B o C. Abbiamo quindi una possibilità su due che la faccia coperta sia rossa.

Purtroppo però l’istinto ci inganna e dobbiamo chiamare la ragione per riportarci sulla giusta strada.

Risoluzione del paradosso delle tre carte

La nostra prima supposizione che la carta in questione possa essere solamente B o C era ovviamente corretta, ma dobbiamo fare attenzione ad un particolare. Definiamo B come (R1B, B2B) indicando che il lato uno è rosso e il lato due è bianco e C come (R1C, R2C).

Detto questo il lato sopra il tavolo potrebbe essere R1B ,R1C o R2C . Se  il lato è R1B allora l’altro sarà bianco, ma se è R1C o R2C  allora in entrambi i casi l’altra faccia sarà rossa.

Abbiamo dunque 2 casi favorevoli su 3 e la probabilità cercata è quindi    e non    come supposto inizialmente!

 

Il paradosso del secondo figlio

Andiamo dritti al problema come è stato proposto da Martin Gardner sulle pagine del Scientific American:

“Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?”

La risposta data al volo è ancora   , ossia potrebbe essere maschio (primo caso favorevole) o femmina (secondo caso sfavorevole).

Anche questa volta sbagliamo!

La soluzione corretta è analoga a quella di prima, ma ormai la nostra pausa caffè sta per finire. E’ ora di rimettersi al lavoro e  rimandare al prossimo espresso una nuova carica di paradossi (dobbiamo ancora parlare di Monty Hall e dei compleanni!).

Vi lascio soltanto un aiuto dando una seconda formulazione del problema che appare meno ambigua. ( Se non riesci a risolverlo chiedi pure nei commenti 🙂 )

Il signor Smith ha due bambini. Non sono due femmine. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?

 

Questo è il nostro primo esperimento di articolo breve nel formato compatibile con quasi tutte le macchinette per il caffè in commercio ( 😉 ).

Se l’idea ti piace e avresti voglia di leggere altri piccoli spunti matematici faccelo sapere che ci impegneremo per scrivere il più possibile!

 

D’altronde, come mi ha detto una volta Davide citando Paul Erdös,  “Un matematico è una macchina che trasforma caffè in teoremi”!

 

Ci rileggiamo presto!

 

Marco

Il paradosso del mentitore

Questa frase è falsa

 

Hai letto attentamente la frase citata qui sopra? Non sembra essere una frase molto complicata, giusto? 😉 Questo è quello che viene chiamato il paradosso del mentitore.

Ora ti faccio un piccola domanda e ti chiedo uno sforzo un po’ più grande: Sapresti dimostrarmi se la frase sopra citata è vera o falsa?

Hai provato a pensare ad una possibile dimostrazione/spiegazione?

Bene 🙂 sono contento che, incuriosito, hai deciso di proseguire la lettura. Purtroppo però devo dirti che non c’è alcun modo per rispondere alla domanda che ti ho posto. Analizziamo quindi i due casi possibili relativi alla proposizione prima citata, il caso in cui sia vera e quello in cui sia falsa.

  • Se fosse vera, allora la frase non sarebbe veramente falsa (la verità della proposizione non invalida la falsità espressa nel contenuto della proposizione).
  • Se invece la proposizione fosse falsa, allora il contenuto si capovolgerebbe (è come se dicesse “Questa frase è vera“) quando abbiamo appena affermato il contrario.

Spero che tu non ci sia rimasto male…comunque sono sicuro che ci hai pensato almeno un attimo alla possibilità che non vi sia risposta a tale domanda. Dopotutto…il titolo dell’articolo contiene la parola paradosso 🙂

Questo è conosciuto come paradosso del mentitore, o meglio antinomia del mentitore. Talvolta puoi trovarlo anche sotto un nome ancor più suggestivo: Paradosso di autoreferenzialità.

Questo paradosso è stato di particolare interesse per molti personaggi illustri nel corso della storia, alcuni di essi hanno anche provato a fornire un’elaborata e spesso poco lineare soluzione al problema che ti ho posto prima. Ti lascio la possibilità di documentarti liberamente su tali soluzioni, se vuoi a questo link ne potrai leggere alcune 😉

Spero che l’articolo ti abbia incuriosito e che ti abbia lasciato un po’ perplesso, perchè in fondo è questo il bello di un teorema, di un paradosso e della matematica, subito non sono del tutto chiari, ma dopo sono affascinanti 🙂 Lascia pure un commento se hai dubbi, suggerimenti o critiche da pormi, sarò lieto di risponderti.