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Modello matematico: cos’e’ e a cosa serve?

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Questo articolo è molto importante in quanto, visti un po’ i miei interessi, mi dedicherò particolarmente al mondo della matematica applicata e in questo settore il concetto di modello matematico è fondamentale.

Se alla lettura preferisci la visione di un video, puoi guardare la versione video di questo articolo qui:

In futuro probabilmente andremo ad analizzare qualche modello in particolare, come per esempio modelli per la diffusione di epidemie, per il trasporto del calore, per l’andamento del traffico o quant’altro… Quindi questa introduzione sarà fondamentale.

Cos’è un modello matematico?

Infatti, nelle scienze applicate e nel mondo fisico, i modelli matematici vengono utilizzati quotidianamente, soprattutto per dare una formalizzazione a quello che succede nella realtà e poter poi avere degli strumenti per capire cosa sta succedendo, cosa potrebbe succedere e perché.

Infatti, per modello matematico, intendiamo un insieme di relazioni e/o leggi matematiche in grado di catturare gran parte delle caratteristiche di un fenomeno e permetterci poi quindi di controllarne lo sviluppo, il cambiamento, l’andamento e poter trarre informazioni utili riguardo esso.

Da ciò segue naturalmente che il modello e la struttura matematica che si va a costruire è fondamentale che sia rilevante e coerente con il mondo fisico e l’applicazione a cui andiamo a riferirci.

Questo è un approccio molto diverso rispetto a quello tipico della matematica pura. Per esempio, nella congettura di Goldbach questo legame tra applicabilità del risultato e importanza dello stesso non è necessario da un punto di vista matematico. Se non sai cosa sia la congettura di Goldbach ecco un video in cui te la introduco:

Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe, e finché sono certe, non si riferiscono alla realtà.

(Albert Einstein)

È importante specificare inoltre, che quando parliamo di scienze applicate non stiamo solo andandoci a riferire a quelle classiche, quelle a cui riusciamo a pensare più naturalmente in quanto legate alla matematica (come per esempio la fisica o la chimica), ma facciamo riferimento a molte altre scienze complesse tra le quali ricadono la medicina, la finanza, la biologia, l’ecologia e varie altre.

Proprietà ed elementi fondamentali dei modelli matematici

La modellazione matematica intesa come

  • costruzione di un modello matematico, a cui segue poi
  • una fase di analisi e implementazione numerica e
  • un confronto dei risultati ottenuti con la realtà )quindi tramite via sperimentale),

è ormai all’ordine del giorno. Precisamente, questi modelli matematici ormai si è capito che sono davvero fondamentali e ci permetteranno di capire fenomeni complessi in maniera più rigorosa, così da poter quindi prevedere i possibili esiti degli stessi.

Sostanzialmente, l’origine di un modello matematico può essere ridotta a due elementi fondamentali: il primo sono delle leggi generali, il secondo sono delle relazioni costitutive.

Quindi vediamo che cosa sono questi due mattoni della costruzione di un modello matematico. Partiamo dalle leggi generali. Queste sono di natura abbastanza teorica, quindi possono essere per esempio le leggi della meccanica e i principi di conservazione dell’energia o del momento angolare. Esse sono quindi delle relazioni fisiche oppure delle leggi di bilanciamento chimiche e quant’altro. L’importanza di queste leggi è che non sono specifiche del singolo modello, ma possono descrivere vari fenomeni.

Per quanto riguarda invece le relazioni costitutive, abbiamo qualcosa di carattere più sperimentale. Infatti, in questo caso si vanno per esempio a utilizzare delle peculiarità del fenomeno in analisi. Tramite via sperimentale, si vanno a introdurre delle particolari costanti, oppure si va a modellizzare una particolare funzione in conseguenza a qualche risultato ottenuto sul campo. Questo secondo mattone quindi è un qualcosa di strettamente legato al modello e non generalizzabile, differentemente per esempio dalle leggi della meccanica che valgono per vari fenomeni, varie applicazioni.

Alcuni esempi di leggi costitutive sono la legge di Fourier per il flusso di calore oppure ci sono molte altre leggi che ci permettono di decidere, per esempio, che forma dare a un flusso numerico oppure a un flusso in generale. Queste scelte le faremo chiaramente in base a quello che stiamo analizzando.

Il risultato della combinazione di questi due mattoni fondamentali di un modello matematico è solitamente descrivibile in forma sintetica tramite un’equazione o un sistema di equazioni, spesso differenziali alle derivate parziali.

Questa struttura complessa non è necessaria in ogni circostanza. Può benissimo esserci qualche modello, comunque interessante e utile per certi fenomeni, che non coinvolge nemmeno equazioni differenziali. Magari vedremo qualcosa riguardo questo tema.

Comunque spesso i modelli che si vanno a costruire per analizzare situazioni che evolvono nel tempo (o nello spazio), coinvolgono equazioni alle derivate parziali e in questo ambito ti consiglio (nel caso tu sia interessato a questi temi) di guardarti questo libro: Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni. Questo libro si concentra soprattutto sulla costruzione dei modelli e fornisce anche molti strumenti per analizzare questi modelli, vederne le proprietà e magari risolvere (nel caso sia possibile) anche le equazioni alle derivate parziali sottostanti. La risoluzione di queste equazioni non è sempre possibile e magari questo sarà argomento di altri video o articoli (un argomento legato a questo sono gli spazi di Hilbert, se ti interessa puoi capire di cosa si parla in questo articolo https://www.mathone.it/spazio-hilbert/).

Esiste un solo modello per ogni fenomeno?

Un’altra cosa importante da evidenziare, è che nel momento in cui andiamo a interessarci a un fenomeno legato a una delle scienze complesse, è quasi certo che il modello che possiamo andare a costruire non sia unico. È quindi importante chiedersi se il modello che andiamo a costruire vada bene o meno e bisogna essere in grado di capire se questo modello possa funzionare o meno.

Ecco che dobbiamo introdurre il concetto di problema ben posto:

Di modelli ce ne sono un’infinità, alcuni sono di semplice comprensione e interpretazione…altri non lo sono. C’è sempre margine per complicare le cose anche se è importante evidenziare il fatto che non è detto che un modello più complicato di un altro sia in grado di spiegare meglio un certo fenomeno. Spesso la sintesi è una grande qualità di un modello a volte. Non è infatti raro che sia premiata la disponibilità a sacrificare la capacità di prevedere un fenomeno a favore di rendere il modello un po’ più semplice. Il perché dietro a questo fatto è che, grazie a questa scelta, magari possiamo abbassare i tempi di calcolo o i costi computazionali per poter elaborare le informazioni. Da ciò segue che potremmo riuscire a trovare delle informazioni utili su una situazione concreta in tempi ragionevoli. La velocità può essere davvero utile.

Per esempio, nel campo dello studio delle epidemie, la velocità e la capacità di prevedere in fretta dove potrebbe diffondersi un’epidemia, oppure le tempistiche con cui intervenire con un certo farmaco a volte possono premiare più dell’avere una descrizione estremamente accurata e dettagliata della realtà. Chiudiamo quindi notando che spesso è utile ponderare precisione con velocità di elaborazione.

Se ti interessa vedere un modello per l’analisi delle epidemie, il modello SIR, davvero snello ma comunque efficace per descrivere il numero di infetti di un’epidemia, ti consiglio di guardare questo mio video:

Fisica matematica: cos’è e molte risorse per approfondirla

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Cos’è la fisica matematica? Se non hai mai studiato matematica probabilmente non ne hai mai sentito parlare e non ti è chiaro dove possa concludersi la fisica e iniziare la matematica, o viceversa. Quindi questo articolo vuole aiutarti ad avventurarti in questo mondo che ho scoperto un paio d’anni fa e mi sta piacendo sempre di più, non si sa mai che con questo articolo ti venga voglia di scaricarti una delle dispense che ti suggerisco o comprarti uno dei libri elencati per approfondirla da solo 🙂 Dopotutto con gli articoli sul blog non miriamo ad insegnare nulla, ma ad incuriosire e dare gli strumenti per successivi approfondimenti personali! Ma bando alle ciance…iniziamo!

Ah dimenticavo…se non lo sai ho anche un canale Youtube e la fisica matematica sarà senz’altro uno dei miei principali interessi nei video. Se non sei ancora iscritto lo trovi qui: CANALE YOUTUBE MATHONE.

Cos’è la fisica matematica?

Per iniziare questo paragrafo ti riporto la definizione di fisica matematica che puoi trovare anche su Wikipedia perchè mi sembra molto chiara ed un ottimo punto di partenza:

La fisica matematica è quella disciplina scientifica che si occupa delle “applicazioni della matematica ai problemi della fisica e dello sviluppo di metodi matematici adatti alla formulazione di teorie fisiche e alle relative applicazioni“.

Wikipedia

Vediamo un po’ di analizzare quanto scritto qui sopra. Partendo da cosa sia la fisica si può capire abbastanza semplicemente la definizione qui sopra. Infatti fisica vuol dire, anche in termini di origini della parola, “natura” o “le cose naturali”. È quindi la branca della scienza che si occupa letteralmente di studiare i fenomeni naturali, utilizzando un formalismo matematico e degli strumenti forniti dalla matematica.

Prima di proseguire, ci tengo a dirti che se vuoi vedere il video che ho fatto su questo argomento lo trovi qui:

Questi fenomeni naturali vengono quindi osservati, misurati e poi analizzati grazie a vari strumenti matematici. L’obiettivo ultimo della fisica è quello di costruire delle relazioni tra i fenomeni naturali (dei legami astratti) e quindi essere in grado di prevedere alcuni risultati a partire da delle misurazioni concretamente effettuabili.

Bene, se ci hai fatto caso, nelle righe qui sopra ho evidenziato in grassetto i termini “forniti dalla matematica”. È proprio qui che possiamo infatti far ricadere la linea di delimitazione tra fisica matematica e fisica. Chi si occupa di fisica matematica ha sostanzialmente l’obiettivo di fornire gli strumenti, i formalismi, i metodi che poi possono essere applicati dai fisici (in genere) per analizzare un particolare fenomeno naturale.

Da un punto di vista storico, possiamo trovare la motivazione che ha portato all’interesse per la fisica matematica già dalle parole di Galileo:

Il mondo naturale va descritto con il suo linguaggio, e questo linguaggio è la matematica.

Galileo Galilei

Quindi, in parole povere, possiamo dire che la differenza tra la fisica matematica e la fisica teorica sta nella particolare attenzione che la prima pone verso il formalismo tipico della matematica per descrivere fenomeni fisici, mentre la seconda ha il chiaro obiettivo, prima o dopo, di andare a relazionarsi con la fisica sperimentale e quindi, il reale mondo osservabile.

Differenti scale studiate dalla fisica matematica

Questa sezione è parecchio importante perchè permette un po’ di classificare i vari settori della fisica matematica in base al loro oggetto di studio. Più precisamente questa classificazione sarà basata sulla “grandezza” della scala analizzata da questi rami di studio.

Vediamo un esempio che ci permette di analizzare questo molto chiaramente:

Supponi di voler descrivere come si muove un gruppo di 2 palline che, partendo da punti diversi di un tavolo da biliardo, vengono lanciate verso il centro del tavolo così da interagire l’una con l’altra.

Bene, in questo caso la dinamica si può studiare a livello microscopico, ovvero analizzando con un’equazione differenziale ordinaria la dinamica di ogni pallina, andando quindi ad ottenere un sistema di 2 equazioni, basate fondamentalmente sulla legge di Newton, chiaramente non semplici ma sempre 2 equazioni ordinarie sono. Infatti in questo caso il numero degli oggetti coinvolti è basso, per cui non è eccessivamente costoso descrivere singolarmente le dinamiche delle singole particelle.

Ecco quindi vista la parte della fisica matematica che si occupa delle scale MICROSCOPICHE. Qui ricade la meccanica razionale, che coinvolge in maniera pesante l’analisi dei sistemi dinamici ed è la parte della fisica matematica a cui mi sto appassionando maggiormente.

Andiamo ad aumentare il numero degli oggetti coinvolti.

Supponiamo di avere 150 persone, chiuse all’interno di una stanza, che al momento di un incendio devono evacquare la stanza. Capisci bene che in questo caso descrivere la dinamica di ogni singola persona sarebbe troppo costoso, infatti si dovrebbero tenere in considerazione troppi dettagli, troppe interazioni, troppe equazioni. Avremo come minimo 150 equazioni ordinarie se seguissimo un approccio microscopico, tutte vincolate a certi fattori quali “la consapevolezza che l’individuo ha di dove sia l’uscita di sicurezza” o “quanto spaventato è il soggetto” e cose del genere, non semplice nemmeno da risolvere in termini di costi computazionali una volta “messo giù” il sistema.

Ecco quindi che qui si può decidere di coinvolgere un approccio che lavora ad una scala superiore, l’approccio CINETICO o meglio l’approccio che si dedica all’analisi dei fenomeni su scala MACROSCOPICA.

In quel caso, non ci si interessa del variare della posizione allo scorrere del tempo del singolo individuo, ma si analizza la densità di probabilità associata all’evento che gli individui si trovino in una certa zona ad un certo istante temporale.

Quindi si iniziano a trattare tutte insieme le persone come una sola cosa, avremo quindi delle equazioni cinetiche che coinvolgono le variabili di velocità, posizione e densità di probabilità. Meno equazioni ma più “legate” l’una all’altra.

Se ti interessa questa classe di problemi ti consiglio di andarti a leggere qualcosa sul problema di evacquazione, sulla dinamica degli stormi di uccelli o anche sull’equazione di Vlasov Poisson di cui sto ascoltando alcune lezioni qui a Nizza, la trovi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Vlasov_equation .

Passiamo quindi all’ultima, ma non meno importante, scala di analisi dei problemi della fisica matematica. La scala MESOSCOPICA. In questo caso si passa dalle equazioni cinetiche alle equazioni alle derivate parziali (PDE). Lo studio di questa classe di fenomeni è basata sul vedere gli oggetti coinvolti nella dinamica come un fluido continuo.

Ti faccio un esempio. Supponi di avere un’autostrada ad una sola corsia in cui la frequenza di macchine che passano da una certa posizione è così alta da poter approssimare la sequenza di macchine come un fiumiciattolo e descrivere lo scorrere delle macchine come la variazione di densità, in spazio e tempo, del fluido. Per esempio in questo caso si parla di equazione di Burgers $\partial_t u +\partial_x(u^2/2)=0$ ma le equazioni alle derivate parziali che si possono generare sono veramente infinite.

Per esempio si può far ricadere in questa macro area della fisica matematica lo studio matematico della dinamica dei fluidi, della turbolenza, delle onde sonore e molto altro ancora.

Risorse e libri di testo consigliati per iniziare a studiarla

Eccoci finalmente alla sezione che ritengo più utile dell’articolo 🙂 Fortunatamente infatti si possono trovare molti libri e dispense ben fatte riguardo a questi temi. Chiaramente la fisica matematica è un settore ampissimo perché si interessa dei più svariati fenomeni e delle più svariate scale.

Di alcuni di questi settori so poco o nulla, per cui mi limito ad elencarti qui sotto risorse per approfondire temi che ho avuto modo di studiare personalmente in maniera più o meno avanzata. Quindi settori come la teoria spettrale per la meccanica quantistica o altri non te li riporto perché ho avuto modo di studiarli in parte ma poco rivolti alla fisica, più come uno strumento generale della matematica poi eventualmente utilizzabile per la fisica, quindi preferisco evitare.

Delle scale di cui ti ho parlato qui sopra andremo a vedere qualche risorsa riguardante i fenomeni della dinamica (rivedendo quindi in maniera più formale e rigorosa, alla luce della geometria differenziale, la meccanica classica), qualche riferimento a testi riguardanti le PDE iperboliche e i modelli matematici per le PDE della fisica in generale. Ovviamente è molto restrittivo come panorama, ma preferisco evitare di suggerirti cose che non ho studiato personalmente almeno in parte.

Sistemi dinamici e meccanica razionale

Questo è il settore che preferisco tra quelli che ti ho nominato, è molto ampio, molto visivo nelle tecniche utilizzate e spesso tratta più o meno direttamente di fenomeni che puoi vedere tranquillamente nella vita quotidiana. Di suggerimenti da darti ne avrei quindi molti ma mi limito a fornirti qualcosa di ben mirato. Partiamo dai sistemi dinamici per i quali ti lascio una playlist di video (in inglese ma fatti da un italiano 😉 ) su Youtube che è davvero chiara:

Questo è solo il primo video del corso, se clicchi sul titolo poi ti si apriranno anche le successive lezioni

Se preferisci studiare su dei libri o delle dispense eccoti accontentato/a:

  1. Introduzione all’Analisi Qualitativa dei Sistemi Dinamici Discreti e Continui (qui si punta molto sulle tecniche qualitative del ritratto di fase, che permettono di ottenere molte informazioni sul sistema in analisi senza risolvere l’equazione che lo descrive, come spesso necessario…uno dei due autori è stato mio professore di Dinamica dei Fluidi 😉 ).
  2. Una passeggiata tra i sistemi dinamici (Dispensa di Giancarlo Benettin per l’università di Padova, ho avuto modo di usarla parecchio in questi 2-3 anni)

Purtroppo non posso lasciarti la dispensa da cui ho studiato al mio corso di sistemi dinamici perché è protetta da password e preferisco evitare casini 🙂

L’analisi qualitativa, che puoi apprendere qui sopra in maniera più o meno approfondita, diventa poi fondamentale se vuoi spostarti sull’approccio newtoniano, lagrangiano o hamiltoniano verso la dinamica classica. Per studiare questi approcci ecco le risorse che mi sento di suggerirti:

  1. Dispense per il corso di Istituzioni di Fisica Matematica – prof. F. Fassò : queste ho avuto modo di consultarle parecchio quest’anno per preparare l’esame di Meccanica Analitica
  2. Questa dispensa invece non l’ho mai consultata ma mi sembra ben fatta e tratta del formalismo Hamiltoniano: Dispensa UniMi
  3. Per studiare questi temi spesso è necessario utilizzare concetti e strumenti della geometria differenziale, di libri a riguardo ce ne sono tanti ma ultimamente mi sto trovando a guardare spesso questo libro in cui si utilizzano molti esempi e rappresentazioni grafiche per cui te lo consiglio: A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds.

Equazioni alle derivate parziali della fisica matematica

Come abbiamo visto nei paragrafi precedenti, non sempre per parlare di fisica matematica è sufficiente coinvolgere equazioni differenziali ordinarie, come per la meccanica razionale, spesso per analizzare la dinamica dei continui, vibrazioni, fluidi e molto altro sono necessarie equazioni alle derivate parziali. Questo è un mondo ampissimo, quindi è dura dare suggerimenti anche perché ho avuto modo di studiarle sotto vari aspetti ma chiaramente non so nulla in confronto a tutto ciò che è stato scoperto fino ad ora.

Ti do però qualche suggerimento riguardo a testi scorrevoli e che potrebbe interessarti studiare o sfogliare. Parto da un suggerimento che mi aveva dato il buon Erik ormai un anno fa, è un libro molto piacevole da leggere e consultare, in cui si parla dei modelli matematici della fisica, si analizzano le varie procedure per ricavarli e si studiano poi le equazioni ottenute da un punto di vista delle loro proprietà ed eventuali tecniche risolutive. In questo libro si spazia in tutte le principali classi di PDEs (Partial Differential Equations), guardando equazioni ellittiche, paraboliche, iperboliche e tutto ciò che ci sta intorno.

E’ in italiano ed il titolo è Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni.

Passiamo poi al classicone di questo campo di studi, non è di sicuro un testo leggero e semplice dato che generalizza, quando possibile, ad $\mathbb{R}^d$ mentre per farsi un’idea di ciò che si sta parlando spesso è utile ragionare direttamente in $\mathbb{R}^2$ per poter rappresentare quanto letto, ma comunque sto parlando dell’Evans, il libro è: Partial Differential Equations.

Tanto per dire 😉

Come per le equazioni differenziali ordinarie è raro poter risolvere analiticamente una PDE, per cui ti lascio anche un testo, in italiano, con cui mi sono trovato bene e si parla di risoluzione numerica di PDE: Modellistica Numerica per Problemi Differenziali.

Dopo chiaramente di testi da suggerire ce ne sarebbero molti altri, magari più specifici per un particolare settore o più rivolti alla modellizzazione matematica. Per questa tipologia di argomenti onestamente non mi sono mai trovato particolarmente bene con le dispense ma ho sempre preferito i libri, se proprio dovessi trovarne una, che però riguarda “solo” le equazioni e i sistemi di equazioni iperboliche, da cui ho studiato per preparare un esame in Erasmus è: Hyperbolic Conservation Laws An Illustrated Tutorial .

Sono consapevole che i libri e le dispense suggerite in queste ultime righe sono costosi e difficili, però per vedere questa tipologia di argomenti lo sforzo richiesto è parecchio alto. In realtà anche per la meccanica razionale e i sistemi dinamici lo sforzo è molto alto però per iniziare a studiarle, avendo usato delle dispense universitarie, sono riuscito a suggerirti qualche risorsa più passo a passo/introduttiva. Qui invece non ho mai trovato nulla onestamente.

Bene, spero che questo articolo introduttivo alla fisica matematica ti sia piaciuto. Ti anticipo che la lista delle risorse per approfondire questi temi la amplierò mano a mano che studierò cose nuove (e ne studierò parecchie anche solo per la tesi), inoltre questo è solo l’inizio. Infatti più avanti farò molti articoli e video dedicati a questi temi, magari più specializzati su un esempio, su un’equazione o un modello. Se ti piace come tema dimmelo con un commento qui sotto e se hai suggerimenti di ogni genere fammi sapere 🙂

Risolvere esercizi di matematica: alcune strategie per affrontare gli esercizi

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Gli esercizi di matematica sono per molti una bestia nera. Facendo ripetizioni a parecchi ragazzi delle superiori e delle medie ho notato che i problemi sono solitamente dovuti ad un fatto: il foglio bianco spaventa.

Hai mai sentito parlare del blocco dello scrittore? Bene, in matematica può succedere qualcosa di simile. Non si sa da che parte prendere un esercizio. So che ti sembrerà strano quello che sto per dirti, ma fidati, è così. In queste situazioni la cosa più sbagliata da fare è pensare continuamente a come risolvere l’esercizio.

Ti svelo un segreto, non per tutti la matematica è facile come per i geni che vedi nei film, i numeri non escono dal foglio. Tutto ciò che devi fare per risolvere i tuoi esercizi è scrivere.

Qui di seguito troverai una guida passo passo per affrontare quei momenti di difficoltà e di buio che si presentano a tutti almeno una volta. Spero che ti sia di aiuto!

Ovviamente i discorsi che sto facendo e farò nelle prossime righe, sono applicabili ad ogni argomento della matematica delle superiori. Poi, man mano che si va avanti, meno ci sono formule e metodi generali per risolere problemi, quindi la cosa si fa’ più ardua, lì (qui nel mio caso 🙂 ) la storia si fa più dura, serve anche una buona intuizione.

Come risolvere gli esercizi di matematica

Scriviti le formule

Una cosa fondamentale, per risolvere gli esercizi di matematica, è senz’altro sapere le formule che possono servire. O almeno avercele sotto mano. Quindi la prima cosa che ti consiglio di fare è scriverti le formule collegate all’argomento dell’esercizio che devi risolvere. Non importa dove, scrivitele 😉

Spezza il problema

Penso che la cosa più sbagliata, soprattutto se non si sa da che parte prendere un esercizio, sia ambire a passare direttamente dal testo dell’esercizio (con i relativi dati) alla soluzione finale. Il consiglio che mi sento di darti è: spezza il problema in sottoproblemi. Questa è una tecnica usata anche dai programmatori, ti assicuro che è molto efficace. L’ho testata personalmente e funziona. Così per curiosità, questa tecnica si chiama top-down in informatica.

Occhio però a non semplificare troppo. Va bene semplificare, ma oltre a un certo punto rischi di sbagliare. Sta a te accorgerti dove fermarti 😉

Trova tutto ciò che riesci

Ora hai il tuo bell’esercizio iniziale spezzato in problemi più semplici. Inoltre hai a portata di mano tutte le formule che potrebbero servirti per risolverlo. Il consiglio che mi sento di darti è: trova tutto ciò che riesci. Non importa se alcune informazioni non ti sono richieste, soprattutto se non stai facendo una verifica/esame, tu estrapola tutto ciò che puoi. Ti assicuro che ti saranno utili.

Assembla ciò che hai trovato

Ora devi ricostruire il tutto. Devi assemblare i sottoproblemi in cui hai spezzato l’esercizio iniziale, con le relative soluzioni ricavate. Però stai ben attento, la cosa importante è che tu abbia chiaro in testa l’obiettivo dell’esercizio (adesso si che è importante!). Cerca di sfruttare tutte le informazioni ricavate per ottenere la soluzione richiesta, partendo dai dati forniti e passando per risultati intermedi. Così per curiosità, questa tecnica si chiama bottom-up in informatica 😉

Verifica che sia giusto

Ora dovresti essere arrivato alla soluzione cercata. Manca un ultimo sforzo…verifica che ciò che hai trovato sia corretto. Qui purtroppo non posso fornirti una metodologia universale perchè questa fase varia da esercizio ad esercizio.

Alcuni consigli che possono esserti utili in questa fase sono i seguenti:

  • Sostituisci il risultato nelle incognite di partenza
  • Esegui le operazioni inverse
  • Prova a ricavarti i dati dalla soluzione trovata
  • Prova a vedere se graficamente la tua soluzione sia verosimile
  • Rifai i calcoli

Ovviamente tutto ciò non è necessario se ti viene già fornito il risultato finale, anche se è davvero utile per imparare.

Se non sei riuscito a risolvere l’esercizio, mi dispiace davvero. Probabilmente è per uno dei seguenti motivi:

  • Hai sbagliato a copiare il testo o ad eseguire i calcoli
  • Non hai capito pienamente la teoria
  • E’ un esercizio troppo complesso, prova con qualcosa di più semplice 😉

Bene, con ciò termina la guida passo passo per risolvere gli esercizi di matematica. Spero di averti aiutato a risolvere il tuo problema.

Musica e matematica: Un rapporto che forse non conosci

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Ciao, eccoci finalmente arrivati ad un articolo che volevo scrivere da molto tempo. Devi sapere infatti che io ascolto la musica praticamente in ogni momento della giornata, a parte quando sono a lezione ovviamente 🙂

I generi che ascolto sono i più vari, musica jazz e classica quando studio, musica house e tanti altri generi. Diciamo che non ho molti pregiudizi riguardo ai generi musicali, ascolto quello che mi va.

Tuttavia, come potevo non informarmi sull’esistenza di possibili relazioni tra la matematica e la musica? Infatti già alle scuole superiori, parlando di onde qualcosa ho imparato, ora ho fatto qualche approfondimento che voglio presentarti in questo articolo.

La musica è una matematica sonora. La matematica, una musica silenziosa.
(Edouard Herriot)

Che cos’è la musica?

Ma che domande fai?

Probabilmente è la prima reazione che hai avuto di fronte a questa domanda, tuttavia è sempre importante porsi domande, anche quando sembrano banali. La musica non è altro che una sequenza di note che si susseguono formando una melodia più o meno armoniosa.

Ma vediamo ora alcune definizioni più complete, che ci serviranno poi per alcuni approfondimenti.

Musica: 

La musica (dal sostantivo greco μουσική) è l’arte dell’organizzazione dei suoni e rumori nel corso del tempo e nello spazio.

Ritmo:

Il ritmo è una successione di eventi sonori con inerenti durate ed eventuali pause, intervallate nel dominio del tempo (da pochi decimi di secondo a qualche secondo), che seguono, di solito, (ma non obbligatoriamente) uno o più modelli ciclici.

Frequenza:

La frequenza è una grandezza che riguarda fenomeni periodici o processi ripetitivi. In fisica la frequenza di un fenomeno che presenta un andamento costituito da eventi che nel tempo si ripetono identici o quasi identici, viene data dal numero degli eventi che vengono ripetuti in una data unità di tempo.

Armonici:

Gli armonici naturali sono una successione di suoni (ipertoni) le cui frequenze sono multipli di una nota di base, chiamata fondamentale.

Bene, fermiamoci qua con i concetti fondamentali, non mettiamo troppa carne al fuoco.

Ma prima di andare avanti, ti chiedo una cosa. Come può essere importante la matematica per gli “oggetti” definiti qui sopra?

Beh, se la tua risposta è stata “ma infatti, non c’entra niente la matematica”, probabilmente devi sistemare un po’ le tue idee 😉 E’ infatti fondamentale!

Il concetto di frequenza e di armonici, sono matematica pura. Inoltre al ritmo possiamo fare parecchie analogie matematiche e geometriche, ma andiamo con calma.

« La musica è una scienza che deve avere regole certe: queste devono essere estratte da un principio evidente, che non può essere conosciuto senza l’aiuto della matematica. Devo ammettere che, nonostante tutta l’esperienza che ho potuto acquisire con una lunga pratica musicale, è solo con l’aiuto della matematica che le mie idee si sono sistemate, e che la luce ne ha dissipato le oscurità »

 

(Jean-Philippe Rameau, Trattato dell’armonia ridotto ai suoi principi fondamentali (1722))

Partiamo dalle origini, già infatti la scuola pitagorica intuì la stretta relazione tra queste due “discipline”. Essi intuirono che i differenti toni di una scala sono legati ai rapporti fra numeri interi: una corda dimezzata suona l’ottava superiore, ridotta ai suoi 3/4 la quarta, ridotta ai suoi 2/3 la quinta, e così via.

Ora, per non fare troppo casino, mettiamo un po’ d’ordine.

Come percepiamo i suoni? Come vengono emessi?

Alla base della trasmissione dei suoni vi è il concetto di onda sonora. Un’onda è caratterizzata da una lunghezza, un periodo ed un’ampiezza di oscillazione. Queste proprietà determinano, senza perderci troppo in fenomeni particolari, come si trasmette il suono nell’aria e come lo percepiamo.

Ma le onde, che sono una perturbazione che nasce da una sorgente e si propaga nello spazio e nel tempo, non sono solo la modalità con cui il suono si propaga nel mezzo (aria). Sono anche ciò che ci consente di descrivere il comportamento di una corda di chitarra pizzicata.

Nel caso della chitarra, parliamo di onda stazionaria. Ossia di un’onda i cui estremi sono fissi, non si muovono nello spazio.

In questo caso, possiamo parlare di frequenza fondamentale f0 del suono emesso da una corda di lunghezza L. Possiamo ricavarla inserendo in questa formula le poprietà che caratterizzano la corda.

In questo caso, p è la densità della corda, T è la tensione della corda e S è la sua sezione.

Nell’immagine qui sotto puoi vedere un esempio che mostra come si possono calcolare i nodi stazionari di una corda che oscilla. Ossia i punti della corda che rimangono fissi nello spazio e nel tempo. Lambda è la distanza tra due nodi successivi.

Una volta ricavata la frequenza fondamentale, con la formula precedente, si ha che le successive frequenze si ricavano come multipli di questa.

Sono consapevole di non essermi spiegato troppo bene nelle scorse righe, tuttavia è un argomento parecchio difficile. Quindi per ora penso vada bene così, con il tempo aggiornerò l’articolo sistemando certi punti critici.

Tuttavia non voglio lasciarti a metà, quindi prima di proseguire con alcuni parallelismi tra geometria/matematica e musica, ti allego un video in cui viene spiegato meglio ciò che ho provato ad introdurre io.

Inoltre, se vuoi andare ancor più nel dettaglio, ho trovato un PDF davvero pazzesco su questi argomenti. Puoi scaricarlo inserendo la tua email qua sotto:

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Se ti ricordi, all’inizio ti avevo definito il concetto di musica. In tale definizione si parlava di organizzazione dei suoni nello spazio e nel tempo. Come possono quindi mancare i collegamenti con la geometria e la matematica?

Innanzitutto, parliamo di come vengono scritte le partiture di un brano musicale. Per partiture intendo sequenze di note che permettono, se suonate in questa esatta sequenza, di farci percepire la melodia desiderata.

Esse sono organizzate negli spartiti, che hanno delle unità fondamentali. In essi è spesso evidente una ripetizione di alcune battute oppure una “traslazione” delle stesse verso l’alto, ossia una trasposizione (melodia ripetutta con una tonalità diversa).

Mi spiego un po’ meglio. Come ti è già capitato di ascoltare, spesso le melodie hanno delle ripetizioni. Ci sono alcune sequenze che si ripetono nel tempo. Da un punto di vista visuale, tali ripetizioni emergono nella partitura come “traslazioni” verso destra.

Se le traslazioni avvengono invece verso l’alto, nelle righe dello spartito, si parla di un cambio di tonalità. In sostanza, l’armonia tra i suoni rimane, tuttavia vengono percepiti in maniera differente.

Si possono verificare anche simmetrie assiali negli spartiti, sia con asse verticale che con asse orizzontale. Nel primo caso si parla di retrogradazione, nel secondo di inversione.

Geometricamente, nel caso di ripetizioni delle stesse battute, possiamo pensare lo spartito come scritto su un anello. Ogni volta che l’intera circonferenza viene coperta, si ripete la stessa sequenza di note.

Spero quantomeno di averti fatto venir la voglia di approfondire questo argomento con video, libri e articoli vari. Purtroppo non sono stato completamente in grado di presentare l’argomento in maniera fluida, tuttavia preferisco pubblicarlo adesso ed aggiornarlo con il tempo altrimenti rischierei di rimandare questo argomento ostico all’infinito. 😉

Per qualsiasi critica, suggerimento o domanda lascia pure un commento oppure contattami a list@mathone.it .

 

La matematica non è un’opinione

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Quante volte ti è capitato di sentire la frase “la matematica non è un’opinione!”? Penso che questa frase sia pronunciata a sproposito talmente tante volte che sia impossibile non averla mai sentita. Inoltre devi sapere che questa frase ha origini italiane, e inizialmente non è stata formulata proprio così.

Vediamo di riassumere l’origine di tale frase:

La storia è semplice: nel novembre 1879 cadde il governo Cairoli II prevalentemente a causa della “tassa sul macinato”, e il re incaricò nuovamente Cairoli di creare un governo Cairoli III. A questo governo non partecipò però più il ministro delle Finanze Bernardino Grimaldi, che aveva fatto i conti e si era reso conto che senza quella tassa lo stato non ce l’avrebbe fatta. Per spiegare la propria mancata adesione, pronunciò la frase «Per me, tutte le opinioni sono rispettabili ma, ministro o deputato, ritengo che l’aritmetica non sia un’opinione.»

 

 

(ilPost)

Già qui può essere chiaro quindi come la frase “la matematica non è un’opinione” non sia corretta. Tuttavia vediamo di approfondire il problema.

Ma cos’è la matematica? Essa è il linguaggio con cui Dio ha scritto l’universo (Galileo Galilei), è un grosso sistema costruito a partire da alcuni assiomi. La matematica può essere considerata una scienza formale. Procede per via assiomatica, ossia partendo da delle proposizioni (enunciati) dati per veri o accettati da tutti, si sviluppa in varie direzioni a patto che le congetture a cui si arriva siano in accordo con gli assiomi di partenza. Pertanto la matematica si basa su dei ragionamenti logici coerenti con il sistema assiomatico da cui si è partiti.

Nel momento in cui viene messo in discussione anche solo uno degli assiomi da cui sono partite tutte le nostre congetture e conclusioni, tutto perde di significato.

Si può quindi dire che i teoremi matematici abbiano validità per sempre (una volta dimostrati), a patto che il sistema assiomatico da cui sono nati non venga ritrattato o dimostrato inadeguato.

Questo è in parole povere ciò che è accaduto con la nascita delle cosiddette geometrie non euclidee dove viene ritrattato il punto di partenza della geometria di Euclide. Ossia i famosi 5 postulati. Ora non possiamo dire che tutta la geometria euclidea (quella che hai studiato da quando avevi 6 anni) sia insignificante, perda di valore. Possiamo però certamente dire come essa sia vera se e solo se sono accettati i 5 postulati su cui essa si basa. Dipende quindi da dove si parte.

Pertanto al posto dell’affermazione “la matematica non è un’opinione”, ritengo sia molto più corretto affermare che “la matematica è la più grande opinione, ma è un’opinione condivisa da tutti  coloro che accettano gli assiomi su cui essa si basa”.