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il simbolo dell'infinito

Storia e significato del simbolo dell’infinito

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Come avevo già preannunciato, l’infinito è un argomento così vasto che non potevo coprire in un solo articolo. Puoi già trovare un articolo su tale tematica, in questo voglio invece parlarti in breve del significato e della storia del simbolo utilizzato per indicare l’infinito.

Intanto ti suggerisco questo libro davvero ben fatto: Il mistero dell’alef. La ricerca dell’infinito tra matematica e misticismo

Se invece di leggere preferisci guardare un video o ascoltarlo, ecco la versione video di questo articolo che ho pubblicato sul canale Youtube di Mathone:

Bene, iniziamo 🙂

Il simbolo dell’infinito ∞ (a volte viene chiamato lemniscata) è un simbolo matematico che rappresenta il concetto di infinito.

Se sei interessato a leggerti l’articolo in più comodità, puoi scaricarlo in formato PDF cliccando qui: Simbolo dell’infinito PDF

L’origine del simbolo dell’infinito

Ha la forma di un otto “sdraiato”, messo in orizzontale. Tale simbolo ha una distante origine, per inciso, appare già nella croce di San Bonifacio (che morì nel 754), avvolta attorno alle braccia di una croce latina.

Comunque, è assegnato a John Wallis l’onore di aver introdotto il simbolo dell’infinito con il suo significato matematico nel 1655, nel suo De sectionibus conicis.

Lui non motivò la scelta di questo simbolo, ma è stato ipotizzato che esso fosse una variante del numero romano 1000 (originariamente CIƆ, anche CƆ. Inizialmente non si indicava il 1000 con la M, ma in questo modo 😉 ). Esso infatti veniva spesso utilizzato per intendere “tanti”, ossia grandi quantità.

A volte si tende a vedere l’introduzione di tale simbolo da parte sua, per somiglianza con la lettera greca ω (omega), l’ultima lettera dell’alfabeto greco.

Il simbolo qui a fianco, è invece quello utilizzato da Eulero per indicare l’infinito.

Leonardo Eulero, utilizzò una variante del simbolo originale per denotare il concetto di “infinito assoluto”. Questa variante prevede che le linee che formano il simbolo stesso, non siano chiuse ma aperte 🙂 (come puoi vedere qui a destra)

Per Eulero, l’infinito è stato un elemento e un concetto davvero importante, lo ha utilizzato parecchio, basti pensare ai logaritmi.

Questo simbolo, non è più utilizzato attulmente. E non esiste nemmeno in Unicode (se per caso sapessi che di cosa sto parlando)

Il simbolo dell’infinito in matematica

Nella matematica, il simbolo dell’infinito è usato più spesso per indicare l’infinito potenziale, piuttosto che per rappresentare un’ effettiva quantità infinita come i numeri (che utilizzano un’altra notazione).

C’è poi da dire che si parla di numeri reali estesi intendendo l’insieme dei numeri reali ed includendo in tale insieme anche l’infinito positivo e negativo. Tale insieme di numeri è molto utilizzato, per esempio nella teoria della misura (per il momento non dedico un articolo a questo argomento dato che devo ancora studiarlo bene, spero di essere in grado di farlo in futuro 🙂 )

Di infinito potenziale te ne avevo già parlato nello scorso articolo. Tuttavia faccio un ripasso di due righe:

Per infinito potenziale intendiamo, non tanto una quantità più grande di ogni altra, quanto piuttosto una quantità grande a piacere. Una quantità quindi che può crescere finchè ci serve.

Ovviamente è una definizione abbastanza approssimativa, ma penso sufficiente per chiarirti il concetto 🙂

Per esempio, il simbolo di infinito in matematica, è utilizzato nelle serie e nei limiti, come la seguente:

Evidentemente in questo caso, il simbolo dell’infinito sta per una quantità arbitrariamente grande (verso l’infinito), piuttosto che per intendere il valore infinito stesso.

Il simbolo dell’infinito in altri settori

In alcune aree esterne alla matematica, il simbolo dell’infnito si trascina anche altri significati, per esempio, è stato usato dai rilegatori di libri, per indicare che il libro è stato stampato su carta priva di acidi. Per questa ragione, questi libri saranno più duraturi e si conserveranno meglio nel tempo.

Nel misticismo moderno, il simbolo dell’infinito è stato identificato con una variante dell’Uroboro, comunemente conosciuto come ouroboros. Un’antica immagine di un serpente che si mangia la coda che simboleggia anche l’infinito.

Le motivazioni di questa associazione, sono abbastanza evidenti. Proprio per questo, anche il cerchio talvolta viene associato a questo significato.

L’Uroboro, viene spesso raffigurato con una forma che assomiglia ad un otto, proprio per sottolineare questo parallelismo, piuttosto che nella sua forma circolare più tradizionale.

Nelle opere di Vladimir Nabokov, inclusi Il Dono e Fuoco Pallido (brutte traduzioni del loro nome originale in inglese 😉 ), la forma ad otto è utilizzata simbolicamente per riferirsi al Nastro di Moebius e all’infinito. Per inciso, questo parallelismo è utilizzato nella descrizione delle forme delle tracce di pneumatico della bici e nel delineare i tratti di alcune persone che non ricordava troppo bene.

Inoltre, la poesia alla quale Il Fuoco Pallido fa esplicitamente riferimento è “il miracolo della lemniscata”.

Conclusioni

Senz’altro riguardo al simbolo dell’infinito si può dire molto altro. Ma ritengo che con queste curiosità e cenni storici possiamo ritenerci abbastanza soddisfatti. Senz’altro in grado di parlare del simbolo stesso e soprattutto siamo ora pronti per proseguire nel viaggio verso la scoperta dell’infinito.

Come ben sai, infatti, questo non è l’ultimo articolo sull’argomento. Ne pubblicherò altri a scadenza non costante, quando mi viene voglia li scrivo 🙂

Se ti interessa qui c’è un PDF niente male sul tema dell’infinito e in cui si parla un po’ anche del simbolo utilizzato per indicarlo. Puoi scaricarlo inserendo la tua email qui sotto:

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L’infinito: qualcosa di grande ma non troppo semplice

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L’infinito. Una parola, un concetto complicatissimo, un qualcosa di grande che sta occupando i matematici da moltissimo tempo. Ogni volta che approfondisco qulche aspetto di questo argomento la mia reazione è una sola: “WOW!”. Stupore, non potrei reagire diversamente.

Quando per la prima volta mi parlarono di infinito, pensai fosse una cosa molto semplice. Beh cosa ci si può aspettare da un ragazzino delle medie a cui viene detto: “Beh, pensa ad un numero. Bene, ti assicuro che ne esisterà sempre uno più grande”.

Grande, mi dissi, meno male che me l’hai detto tu, non ci ero proprio arrivato. E’ scontato, dai..

Beh, col passare degli anni mi resi conto della cavolata che pensai in quel momento. L’argomento nel quale mi addentrerò con questo e numerosi altri articoli, è vastissimo e ricco di sorprese.

Iniziai a capirne la complessità, quando sentii parlare del famoso “Hotel di Hilbert”. Non c’è da stupirsi, dopotutto. Sono questi i due classici approci all’infinito che si è soliti vedere.

Se non hai mai sentito parlare dell’hotel di Hilbert, ecco qui un breve accenno. Sotto le prossime righe troverai anche un video esplicativo e il link ad un articolo che considero davvero ben fatto sull’argomento.

L’hotel di Hilbert

In una città meravigliosa, esiste un hotel con infinite stanze. Ognuna numerata con un numero naturale. Un giorno, l’albergo era completamente pieno. Arrivò quindi un viandante che chiese ospitalità. Il proprietario, tutt’altro che in difficoltà, disse agli ospiti di spostarsi nella stanza dopo la loro. Quindi chi era nella stanza numero 2 andò nella 3, e così via.. Il nuovo ospite si sistemo quindi nella stanza numero 1.

Il giorno seguente arrivò una comitiva di infinite persone. Il proprietario fu tutt’altro che in difficoltà anche in questa situazione .

Questi chiesero, c’è posto per  noi? Siamo in un numero infinito. Non c’è problema, disse il proprietario. Ora vi libero le stanze.

Disse quindi agli ospiti della sua struttura di spostarsi nella stanza avente il numero doppio di quella dove stavano soggiornando. Si liberarono quindi tutte le stanze dispari. Ossia, si liberarono infinite stanze, pronte per essere occupate dai nuovi ospiti.

Situazione ancora meno intuitiva, che potrebbe verificarsi in un mondo ideale è la seguente. Ci sono infiniti alberghi come quello appena presentato. Domani chiuderanno tutti, tranne 1. E’ possibile sistemare tutti gli ospiti nell’unico rimasto aperto?

Si, per farlo ci sono due strategie:

  • Proseguire come in precedenza infinite volte
  • Assegnare ad ogni ospite una coppia di numeri (a,b) dove il primo indica il numero dell’albergo in cui risiedeva, il secondo il numero della stanza. Ora, basta assegnare ad ogni ospite la stanza numero a+b. Ecco che tutti saranno accontentati,

Spero che non sia proprio la prima volta che senti parlare di infinito, perchè altrimenti ammetto che, se fossi nella tua situazione, mi sentirei un po’ smarrito di fronte a ciò che ho appena letto. In caso ti trovassi in queste condizioni, non disperare.

Bisogna sempre iniziare da qualche parte, ti consiglio quindi di leggere una volta questo articolo, capire il più possibile e seguire le indicazioni che ti darò poi riguardo ad opportuni approfondimenti.

Ti assicuro che questo è un argomento meraviglioso, in cui vale la pena addentrarsi e faticare. Detto ciò, proseguiamo.

Articolo interessante: Un Grand Hotel davvero accogliente

Bene, ora che ho introdotto l’argomento, posso spiegarti l’obiettivo di questo articolo. Siccome parlare dell’infinito in 1000 parole (o poco più) è un’impresa impossibile, ho pensato di dedicarvi vari articoli. In tal modo ognuno di questi potrà essere più mirato a qualche aspetto particolare, così da sviscerarlo il più possibile.

Oggi voglio parlarti dell’origine della necessità di parlare di infinito. Da quando è stato necessario passare dal contare le 10-20 pecore che avevano nel recinto a parlare di quantità infinite?

Effettivamente, egizi, babilonesi e nemmano maya, indiani e cinesi non hanno mai avuto alcun problema con l’infinito. Per loro non era nemmeno qualcosa di concepibile. Tutto ciò con cui la matematica e l’uomo dovevano avere a che fare erano quantità finite, nient’altro.

Come spesso è accaduto nella storia, i primi a parlare dell’infinito in matematica (e in filosofia) sono stati i greci. Nonostante avessero iniziato a parlarne, cercarono in ogni modo di evitarlo. Non per nulla nemmeno i loro Dei sono onnipotenti.

Ma come scusa?! Euclide non parlò di rette infinite nei suoi postulati? Niente affatto, lui parlò di rette prolungabili secondo necessità. Quindi anche nelle costruzioni geometriche si usavano solo entità finite.

Questo esempio, e molti altri, possono essere quindi riassunti dicendo che i greci usarono solo l’infinito potenziale. Si appoggiavano quindi alla possibilità di poter far crescere una quantità a piacere, rimanendo sempre e comunque fermi ad un valore finito.

Un altro esempio di questo concetto di infinito potenziale, è la semplice dimostrazione fatta da Euclide relativa alla quantità di numeri primi. Ossia “Data una quantità arbitraria di numeri primi, esiste un numero primo diverso da questi.”

DIMOSTRAZIONE:

Dimostrazione: Consideriamo il prodotto dei numeri primi dati ed aggiungiamo 1. Ottieniamo un numero, piu grande di ` 1, che da come resto ` 1 per la divisione con uno qualunque dei numeri primi dati. Tuttavia questo numero si fattorizza come prodotto di numeri primi, necessariamente diversi dai numeri primi dati all’inizio. Q.E.D.

Per Pitagora, la scuola eleatica, e i filosofi Parmenide e Platone, l’infinito era accettato come concetto, ma con un connotato negativo: era inaccessibile; impossibile da descrivere in termini finiti, pertanto caratteristico dell’irrazionale; era senza forma dato che non si poteva aggiungere nulla, ne togliere nulla, all’infinito.

COSA E L’INFINITO MATEMATICO?

Il pensiero di Aristotele: L’infinito esiste soltanto in un senso implicito ma non puo essere mai raggiunto. L’infinito nella matematica non è necessario in quanto i matematici hanno in realtà soltanto bisogno di quantità grandi quanto si voglia, e di costruzioni ripetute quante volte si voglia, ma mai di quantità infinite o di costruzioni infinite quale potrebbe essere il passaggio al limite. L’infinito non fa parte della matematica, è soltanto una conveniente abbreviazione.

Alcune delle informazioni che ho riportato qui sopra, sono prese da un interessante PDF disponibile online. Se ti interessa approfondire, ti basta lasciare la tua email qui sotto, ti reindirizzerò immediatamente al PDF prima citato.

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Fin’ora abbiamo quindi visto come l’infinito sia stato una bestia nera nel corso dei secoli, tuttavia è stato molto spesso necessario “tirarlo in ballo”. Non è più sufficiente parlare di quantità finite, è necessario parlare di numeri e quantità infinitamente grandi. Ecco quindi il “concetto” di infinito. Il concetto di una quantità più grande di tutte, entità necessaria per comprendere svariate situazioni, fatti ed enunciati.

Un concetto fondamentale, associabile all’infinito è quello di limite. Ossia una valutazione del comportamento di una quantità, per variabili che assumono valori tanto grandi quanto vogliamo. In tal caso si può parlare anche di comportamenti di una quantità “in generale”, ossia comportamenti validi per variabili abbastanza grandi.

Faccio quindi un richiamo veloce al concetto di limite per x->infinito (x che tende ad infinito), giusto per avere un buon aggancio per i prossimi articoli. Quando si parla di limite per x->infinito di una funzione f(x), non si parla solitamente di quantità infinite. Si vuole determinare che valori assume f(x) per tutte le x>M, con M numero grande.

Ovviamente in queste ultime righe non ho detto niente, sono solo parole campate in aria. Prendile quindi con le pinze, soprattutto se è la prima volta che senti parlare di limite e di infinito. Avremo occasione di parlarne meglio in futuro.

Spero di averti illustrato abbastanza chiaramente i primi momenti della storia dell’infinito, che è ancora molto lunga e ricca di scoperte e problematiche. Tuttavia l’articolo è già troppo lungo per i miei gusti, quindi ho deciso di fermarmi qui. Con ancora moltissime questioni in sospeso e tanti punti interrogativi che immagino ti rimangano.

Ti consiglio comunque di lasciare la tua email qui sotto, riceverai una curiosità matematica ogni mattina (spesso parlo anche di infinito). Se decidi di iscriverti, riceverai immediatamente in regalo 50 indovinelli con soluzioni, non male come offerta direi 😉

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