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Tecniche dimostrative

Principali tecniche dimostrative

In un articolo recente ho scritto una breve introduzione al concetto e al mondo delle dimostrazioni.(Lo puoi trovare qui). Essendo le tecniche dimostrative un qualcosa di parecchio ampio e complesso, ho pensato di dedicarvi un apposito articolo.

 

Nelle prossime righe imparerai a dimostrare teoremi di natura abbastanza semplice, tuttavia devi sapere che senza queste basi tutto ciò che viene dopo è impossibile. Ti introdurrò quindi alle principali tecniche dimostrative, dalle quali si sviluppano poi le più avanzate.

Se vuoi approfondire il tema delle dimostrazioni e non temi l’inglese , inviami un messaggio cliccando qui e ti invierò un ebook fatto davvero bene 😉

Vedremo quindi come si dimostrano i seguenti costrutti logici:

  • implicazione
  • doppia implicazione
  • per ogni x
  • esiste una x
  • negazione quantificatori

Inoltre vedremo un accenno all’induzione e alla dimostrazione per assurdo, che ritengo degne di un articolo riservato.

Prima di iniziare ti ricordo i seguenti valori di verità:

“A e B” è vero se e solo se (Sse) sia A che B sono vere (congiunzione).

“A o B” è vero se A o B o entrambe sono vere (disgiunzione).

“non A” è vero sse A è falso (negazione).

“A->B” è vero  sse A falso o B vero (implicazione).

“A<->B” è vero sse A->B e B->A sono veri (doppia implicazione).

 


Iniziamo quindi dall’implicazione. Ossia dal costrutto “se A, allora B”. Ossia A implica B, che in formule si scrive A->B.

Un esempio banale potrebbe essere il seguente: “Se un numero è pari, allora è divisibile per 2”.

Vediamo quindi come dimostrare un enunciato dotato di questa struttura logica. Il tutto te lo spiegherò in maniera abbastanza schematica, in quanto la ritengo più utile e diretta.

Supponi che A sia vera, ora partendo da questa ipotesi dimostra che B è vera. L’enunciato A, una volta riformulato e sviscerato, ti porterà a dire che B è vero.

Per esempio nel caso dei numeri pari, che quindi sono divisibili per due, è sufficiente fare il seguente ragionamento:

N pari, allora N=2*k con k numero intero. Allora N è divisibile per 2. E questo è un ragionamento valido per ogni N pari, perciò hai dimostrato il tuo enunciato.

A volte può essere più semplice dimostrare un enunciato del genere, supponendo che B sia falsa ed arrivando a dire che allora anche A è falsa. Quindi non  B implica non A, che è logicamente un costrutto equivalente ad A implica B.

Per cui, supponi che N (intero) non sia divisibile per 2. Allora N è evidentemente dispari, perciò hai dimostrato il tuo teorema.

Una considerazione che ritengo importante fare, è il concetto di ex falso. Ossia è importante sapere che l’implicazione A->B è vera se sono vere sia A che B, ma anche se A è falsa. Per cui occhio a considerare questa possibilità nelle tue dimostrazioni!

Per questi motivi potresti trasformare la dimostrazione di un’implicazione nella dimostrazione di una disgiunzione: non A o B.

Se lo ritieni opportuno, potrei parlare meglio di questo costrutto logico in un articolo apposito. Fammelo sapere per messaggio o nei commenti 😉 di cose da dire ce ne sarebbero parecchie.

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Passiamo ora alla doppia implicazione, più comunemente chiamata equivalenza. Con equivalenza si intende un costrutto del tipo A sse (se e solo se) B. Ossia A implica B e B implica A. In formule si scrive A<->B.

Per quanto riguarda le tecniche dimostrative di questo costrutto, non mi soffermo più di tanto in quanto penso possa essere chiaro che la via primaria sia spezzare il tutto in due implicazioni e dimostrarle come detto sopra. Per cui A<->B è  equivalente ad A->B e B->A.

Tante volte può risultare utile dimostrare l’implicazione più semplice e poi sfruttarla per dimostrare la negazione dell’altra. Infatti essendo che A->B è equivalente a non B->non A, si ha che per dimostrare A<->B basta dimostrare A->B e non A->non B.

Prima dell’esempio, voglio farti notare come l’enunciato di prima (se un numero è pari, allora è divisibile per due) in realtà sia un’equivalenza in quanto entrambe le implicazioni sono vere. Potremmo quindi dire che un numero è pari sse è divisibile per 2.

Vediamo ora un altro esempio. Un numero naturale è divisibile per 5 sse termina con una delle seguenti cifre: 0,5. In questo caso dovrai dimostrare prima che se un numero naturale è divisibile per 5, allora termina con 0 o 5. Poi il contrario.

Se ritieni necessario qualche approfondimento scrivimi o lascia un commento, sarò felice di aiutarti.


Passiamo ora all’analisi del costrutto “Per ogni x vale E(x)”. Ossia del quantificatore universale. Questo sostanzialmente è vero se l’enunciato E(x), dipendente da x, vale per una x generica appartenente al dominio di discorso opportuno. Per cui se per esempio si ha un enunciato come questo “Per ogni numero naturale ne esiste uno più grande”, si intende che un N naturale generico, ammette un N’ tale che N’>N. Questo enunciato è banale in quanto basta prendere N’=N+1, comunque penso sia utile per farti capire.

Quindi per dimostrare un enunciato di questo tipo, è sufficiente prendere un valore generico (senza alcuna condizione o supposizione particolare) e verificare che l’enunciato E(x) valga per tale valore.


Vediamo ora il costrutto “Esiste un x per cui E(x)”. Ossia il quantificatore esistenziale. Questo sostanzialmente è vero se esiste una x, appartenente ad un opportuno dominio di discorso, tale che valga E(x). Per dimostrare ciò è quindi sufficiente trovare un testimone ossia un valore che verifichi tale enunciato.

Un enunciato di questo genere potrebbe essere il seguente: “Esiste un numero intero minore di ogni quadrato”. Tale enunciato afferma quindi che esiste un Z intero tale che Z<N*N per ogni N intero. Per dimostrare ciò è sufficiente dire che Z può essere un qualsiasi numero negativo, dato che il quadrato di un numero è sempre positivo.


Terminiamo quindi con la negazione. Similmente al caso precedente, un enunciato del tipo “Non per ogni numero naturale ne esiste uno minore” può essere dimostrato semplicemente portando un controesempio ossia un valore per cui l’enunciato negato è falso. In quanto tale enunciato significa che esiste un naturale che non ha alcun naturale minore. Basta pensare allo 0!

Se invece sei di fronte ad un enunciato del tipo “Non esiste un numero naturale dispari divisibile per 2”, basta dimostrare che per ogni dispari, questo non è divisibile per 2.

Sono consapevole che tutto ciò possa non risultare immediato, tuttavia ti assicuro che con la pratica ti verrà tutto più semplice.


Prima di terminare l’articolo, ti lascio con un’introduzione alla dimostrazione per assurdo e alla tecnica dell’induzione.

La dimostrazione per assurdo consiste sostanzialmente nell’assumere, tra le ipotesi, che la tesi sia falsa, arrivando così ad una contraddizione delle ipotesi.

La dimostrazione per induzione invece è uno strumento davvero potente. Ti permette di dimostrare che un enunciato vale per tutti i naturali, oppure per tutti i naturali maggiori di un N fissato. Si articola in due fasi:

  1. CASO BASE
  2. PASSO INDUTTIVO

Quindi una volta che dimostri che il tuo enunciato è verificato se n=0 o n=N (numero di partenza), supponi che esso valga per  un ‘m’ generico e da ciò devi ricavare che tale enunciato vale anche per ‘m+1’. In formule quindi un enunciato E(x) vale per ogni N naturale, basta dimostrare E(0) e E(n)->E(n+1).

Comunque sono consapevole dell’impossibilità di descrivere questi due ultimi metodi in poche righe. Per questo motivo a breve pubblicherò un articolo dedicato all’induzione ed un altro dedicato alla dimostrazione per assurdo.

Se vuoi approfondire il tema delle dimostrazioni e non temi l’inglese , inviami un messaggio cliccando qui e ti invierò un ebook fatto davvero bene 😉

Spero di essermi chiarito abbastanza, se hai dubbi, critiche o suggerimenti da farmi scrivimi pure un messaggio qui o su Facebook oppure lascia pure un commento. Sarò lieto di ascoltarti! 😉

 

 

Introduzione alle dimostrazioni matematiche

Con questo articolo voglio parlare di un argomento particolarmente delicato, ossia le dimostrazioni matematiche. Sono pienamente consapevole del fatto che per esaurire la tematica non sia sufficiente nemmeno un libro intero, dato che le dimostrazioni sono uno dei fondamenti della matematica. Infatti l’articolo non nasce con lo scopo di dire tutto sulle dimostrazioni, ma questo è un articolo fatto per evolvere.

L’obiettivo principale è parlare delle dimostrazioni matematiche, partendo da alcuni concetti fondamentali per la trattazione, parlando poi dell’importanza delle dimostrazioni nella matematica e infine (in un articolo separato) delle principali e più basilari tecniche dimostrative, toccando alcuni argomenti di particolare importanza. Essi probabilmente in un futuro più o meno prossimo verranno approfonditi in questo articolo o in altra sede.

La premessa termina qui, ora possiamo finalmente iniziare a parlare delle dimostrazioni matematiche! 🙂

Una definizione abbastanza formale del concetto di dimostrazione può essere la seguente:

Una dimostrazione matematica è un processo di deduzione che, partendo da premesse assunte come valide (ipotesi) o da proposizioni dimostrate in virtù di queste premesse, determina la necessaria validità di una nuova proposizione in virtù della (sola) coerenza formale del ragionamento.

Forse non è comprensibile facilmente a tutti come definizione, tuttavia non è troppo complessa. Ora vediamo comunque di semplificarla ed approfondirla.

Partiamo fornendo due definizioni preliminari abbastanza importanti per le circostanze:

Enunciato: E’ una proposizione di cui ha senso dire che sia vera o falsa, ossia una frase con un valore di verità determinato (Vero o Falso).

Teorema: E’ una proposizione con la quale si vuole affermare che un enunciato sia vero. Solitamente si presenta nella forma A,B,C,D… -> T, dove A,B,C,D sono le ipotesi e T la tesi.

Ho appositamente deciso di non descrivere i due concetti in modo troppo preciso perdendomi in formalismi in quanto ora non voglio entrare in descrizioni e trattazioni troppo rigorose matematicamente. Ciò che ritengo importante ora è fornire un’infarinatura sui concetti e sulle tecniche principali, fornendo esempi prevalentemente di carattere concreto.

Bene, ora possiamo passare ad una definizione più terra terra del concetto di dimostrazione matematica.

Una dimostrazione matematica è un ragionamento con il quale si vuole convincersi e si vuole convincere che un teorema sia vero. Ossia che al verificarsi delle ipotesi A,B,C,D… la tesi si verifichi certamente.

Messa giù così credo che la definizione fornita inizialmente possa risultare più chiara. Tuttavia vediamo di chiarire le idee con un esempio.

Teorema: Se febbraio ha 29 giorni allora siamo in un anno con 366 giorni.

Dimostrazione: L’obiettivo della dimostrazione di tale teorema è dire che partendo dal fatto che febbraio abbia 29 giorni si giunga a dire che certamente ci si trova in un anno di 366 giorni.

Giunti a questo punto, spero di aver chiarito il concetto di dimostrazione matematica, tuttavia ora rimangono in sospeso due concetti importanti (sono due solo perchè per ora non mi pongo l’obiettivo di una trattazione esauriente, davvero difficile a mio parere) : a cosa servono le dimostrazioni e come dimostrare una teorema.

Il primo punto, ossia a cosa servono le dimostrazioni, ha una (o più) risposte molto chiare e importanti.

Per non perdersi in chiacchiere superflue (per il momento) mi limito ad un semplice accenno relativo all’importanza delle dimostrazioni.

La matematica, differentemente dalle scienze empiriche, si basa su un processo assiomatico deduttivo. Esso sostanzialmente ha come fondamento la dimostrazione, in quanto per giungere ad una qualsiasi affermazione è necessario dimostrare in modo logicamente corretto e coerente che partendo da alcuni assiomi (enunciati dati per veri o comunque accettati da tutti) si giunga naturalmente ad una determinata conclusione.

In questo processo è quindi nascosta (ma neanche tanto) l’importanza della dimostrazione matematica. Tuttavia non ritengo questo il momento adatto per parlare in modo approfondito di questa tematica.

Se sei particolarmente ferrato sull’argomento o comunque ti appassiona, sarei molto grato se mi inviassi alcune righe in cui spieghi qual è l’importanza delle dimostrazioni nella matematica, fra qualche settimana pubblicherò un articolo unicamente dedicato a questa tematica, quindi un’articolo collaborativo credo che possa essere la migliore soluzione 🙂

Siccome penso che questo articolo abbia già un buon numero di spunti ed informazioni importanti, per agevolare la lettura ho deciso di parlare del secondo argomento lasciato in sospeso, come dimostrare un teorema, in un articolo a parte.

Intanto ti lascio un link che ritengo utile, sono alcune righe dedicate a fornire un metodo per studiare le dimostrazioni fatte da altri. Infatti spesso risulta più difficile comprendere il ragionamento fatto da altri che farne uno proprio. Ecco l’articolo: Come studiare le dimostrazioni.