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Ruota quadrata

La ruota quadrata : nascita del problema e una sua analisi

La ruota è considerata una delle invenzioni più rivoluzionarie della storia dell’uomo. Ha subito numerosi perfezionamenti nel tempo, ma la forma è rimasta sempre inalterata: un cerchio. Per questo motivo, una ruota di forma differente sembra un’idea bizzarra e inutile, men che meno una ruota quadrata.

Nascita del problema della ruota quadrata

Ora immaginate di trovarvi nell’antico Egitto, e per la costruzione di un edificio dovete spostare dei pesantissimi blocchi di roccia squadrati. Quale potrebbe essere il metodo più efficace?

Gli antichi egizi notarono una cosa: se tagliavano in più parti dei tronchi di legno, e li disponevano per terra uno a fianco dell’altro, i blocchi potevano rotolare! Era la prima formulazione e soluzione approssimativa del problema: “Quale dovrebbe essere la forma della strada per far si che una ruota quadrata rotoli regolarmente?”.

Risoluzione analitica

Perchè le ruote rotolano? Tutta la loro efficienza deriva dal fatto che il loro baricentro rimane sempre alla stessa altezza, e che il peso è sempre perfettamente concentrato nel suo punto d’appoggio. Quindi, dobbiamo trovare un pavimento che permetta le stesse caratteristiche anche a una ruota quadrata.

Vi invito a provare a risolvere questo problema, è necessario solo sapere un po’ di matematica da quinta liceo e avere un buon intuito.

Cerchiamo l’equazione di un singolo dosso, che permetta il rotolamento a una ruota quadrata di lato 2 (questo aiuta la risoluzione semplificando i calcoli). Il baricentro deve rimanere sempre alla stessa altezza.

rappresentazione analitica del problema

Ecco in breve i passaggi risolutivi. Se affrontati senza timore, ci ricompenseranno, scoprendo una proprietà molto interessante di questa curva. Tranquilli, io cercherò di essere il più chiaro possibile, ma se la sola vista di integrali e equazioni differenziali vi causa un pochino di nausea, potete tranquillamente scrollare al prossimo sottotitolo, nessuno lo verrà mai a sapere. Forse 😉

Chiamiamo $B$ il segmento che unisce il baricentro del quadrato al punto di appoggio con la curva. La richiesta è che il baricentro sia sempre alla stessa altezza, quindi che $f(x) + B = \kappa$ dove $\kappa$ è una costante. Si nota facilmente che l’altezza deve essere esattamente metà della diagonale del quadrato, quindi $\kappa = \sqrt{2}$. Siamo sulla buona strada, dopo aver ottenuto $f(x) + B = \sqrt{2} $ , dobbiamo solo capire come varia $B$ rispetto a $f(x)$.

Se applichiamo il teorema dei seni al triangolo (guardate la figura qua sopra), otteniamo che $\frac{\sqrt{2}}{sin(90+\alpha)}=\frac{B}{sin(45°) }$ quindi che $B=\frac{1}{sin(90+\alpha)}$. Sostituiamo $sin(90°+\alpha)=cos(\alpha)$ e otteniamo $B=\frac {1}{cos(\alpha)}$. In seguito, sappiamo che il lato del quadrato è tangente alla curva, quindi che l’angolo $\alpha$ dipende dalla derivata della funzione. In particolare, $\alpha=\arctan{(f'(x))}$ . Ora ci siamo quasi.

Ripartendo da $f(x)+B= \sqrt{2} $, sostituiamo tutti i calcoli e otteniamo $ f(x) + \frac{1} {cos(arctan[f'(x)])} = \sqrt{2}$

Qui vengono in aiuto delle comode formule sulle funzioni goniometriche composte, in particolare $cos(arctan(x))=\frac {1} {\sqrt {1+x^2}}$

Sostituendo tutto, otteniamo che $f(x)+\sqrt {1+[f'(x)]^2} = \sqrt{2}$, una equazione differenziale piuttosto minacciosa. Per trovare la sua soluzione esatta ci manca solo un valore numerico. Per esempio, se vogliamo ottenere la curva simmetrica rispetto all’asse delle ascisse, $f'(0)=0$, è abbastanza intuitivo. Così otteniamo il seguente problema di Cauchy, sempre piuttosto minaccioso.

$\begin {cases}f(x)+\sqrt {1+[f'(x)]^2} = \sqrt{2} \\f'(0)=0\end{cases}$

A questo punto, Wolfram Alpha non è poi una cattiva idea. Tuttavia, se siamo proprio coraggiosi, possiamo proseguire e notare che nell’espressione compare solo $f(x)$ e mai la $x$, quindi è un’equazione differenziale a variabili separabili. Basta elevare tutto alla seconda per sbarazzarsi della radice, isolare $f'(x)$, separare $dy$ e $dx$ e integrare da entrambe le parti; una passeggiata praticamente.

Soluzione

Adesso che abbiamo risolto il problema, con o senza qualche aiutino, arriva la parte interessante. L’equazione del pavimento che permetterebbe a una ruota quadrata di rotolare è la seguente: $f(x) = \sqrt{2}-\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$, ovvero $f(x) = \sqrt{2} -\ cosh{(x)}$; vi ricorda qualcosa questa funzione? Siamo davanti a una catenaria!

(Nel caso non conosciate questo tipo di curva, vi invito a dare un’occhiata a questo articolo: La catenaria: una curva ricca di proprietà e che piace alla natura).

Bene. Una ruota quadrata rotolerebbe perfettamente su un pavimento fatto di catenarie rovesciate, ovvero la stessa figura che forma una catena tenuta sospesa tra due pali. Aspetta un secondo, perchè?? I due problemi sono correlati? Sarà una coincidenza? No, non fidatevi mai delle coincidenze della matematica.

Stiamo guardando la stessa situazione da 2 diversi punti di vista. La catena si dispone in modo che tutto il suo peso sia egualmente distribuito in ogni punto. In modo analogo, il baricentro della ruota quadrata, mentre rotola, coincide sempre con il punto d’appoggio, dunque il suo peso è egualmente distribuito in ogni punto della superficie sottostante. Di conseguenza, è chiara la correlazione tra le due curve, dubitate sempre delle coincidenze!

Inoltre, questa è esattamente la stessa proprietà per la quale la catenaria viene utilizzata in architettura: distribuire uniformemente il peso di un ponte o di un arco, per rendere più stabile e resistente la struttura.

Esempio dell’utilizzo di catenarie in architettura

Possibili applicazioni della ruota quadrata

Adesso, se fossimo nell’antico Egitto, saremmo in grado di spostare i nostri massi con il minimo sforzo e poter costruire il nostro bell’edificio. Ma a noi, a cosa è servito?

Analizzare e risolvere un problema ci permette di studiare e capire un modello semplificato. Con tutto ciò che abbiamo appreso, possiamo studiare situazioni simili, dalla maggiore complessità, ma più reali.

Per esempio, quale sarebbe la forma migliore per uno pneumatico da competizione per moto? Rotondo sì, ma se consideriamo la sua sezione? Bisogna avere una forma che permetta alla moto, anche se a grandi angoli di piega, di garantire la massima aderenza con il terreno.

Sezione di uno pneumatico da moto

Sapreste dire quale equazione descrive il profilo dello pneumatico? O almeno quale sarebbe quello matematicamente ideale? Sicuramente ci troviamo davanti a un problema molto più complesso, nel quale entrano in gioco molte più variabili da tener conto. I diversi angoli di piega, la deformazione della gomma, la pressione interna… Ma aver risolto precedentemente il problema della ruota quadrata almeno ci fornisce indizi per approcciare il problema. Se siete appassionati di moto, vi lascio un video youtube a riguardo, da un punto di vista più fisico e ingegneristico, che personalmente ho trovato molto interessante:

Se invece siete più interessati solo all’aspetto matematico, potete provare a risolvere lo stesso problema non solo per una ruota quadrata, ma anche per una pentagonale, esagonale… Potete generalizzare e trovare la soluzione per un qualsiasi poligono regolare al variare del numero dei lati e delle sue dimensioni. Le ipotesi di partenza sono molto simili, diventa solo via via sempre più complesso. Vi sorprenderà forse sapere che la catenaria non salta fuori solo nello studio di una ruota quadrata, ma da qualsiasi tipo di ruota poligonale, con dei parametri leggermente variati. Se davvero vi siete innamorati dell’idea di trovare pavimenti per qualsiasi tipo di ruota, sono un po’ preoccupato per voi, ma vi lascio un articolo qua sotto che analizza il caso più generale possibile.

Per concludere, visto che abbiamo tanto parlato di ruota quadrata di qua e ruota quadrata di là, ma ancora non avete visto una sua applicazione, vi lascio qua sotto il video di una bicicletta bizzarra che scorre in modo perfettamente regolare su un pavimento composto da dossi:

Risorse per approfondire l’argomento

Generalizzazione totale: esiste un pavimento per ogni possibile ruota? https://www.researchgate.net/publication/254616950_Roads_and_Wheels

Il problema della ruota quadrata (esame di maturità 2017): https://redooc.com/it/superiori/matematica-maturita/soluzioni-matematica-maturita-2017/maturita-2017-problema-1-soluzione#problema1-introduzione

La catenaria: una curva ricca di proprietà e che piace alla natura

Catenaria? Che cos’è?! Un insetto? Beh, in realtà è una curva che conosci molto bene e di sicuro ti è capitato più di una volta di scambiare per una parabola. Quando prendi da due estremità una corda con peso uniformemente distribuito, generi proprio una catenaria. Oppure anche quando vedi le catene a penzoloni attaccate a dei paletti vedi delle catenarie, ma anche i ponticelli di legno si dispongono in quel modo. Questa curva geometrica è anche utilizzata in arte ed architettura perché gode di proprietà di stabilità molto interessanti, che  vedremo nei prossimi paragrafi. 

Ti sembrerà strano ma nonostante la catenaria sia una curva poco nota ai più, essa è davvero ovunque e nelle prossime righe cercherò di illustrarti in breve la sua storia con alcune applicazioni e proprietà.

Studiare matematica a volte può risultare noioso. Uno stratagemma che secondo me funziona con chiunque per capire ed interessarsi a ciò che si studia è partire da degli esempi e da delle cose osservabili concretamente nel mondo in cui viviamo (ne ho parlato anche nell’articolo COME STUDIARE LA MATEMATICA). Studiare le proprietà e l’equazione della catenaria è quindi per me un ottimo modo per introdursi alla geometria differenziale delle curve e scoprire come la matematica sia sempre intorno a noi senza che ce ne rendiamo conto.

Un po’ di storia della catenaria

Lo studio della catenaria non è da farsi risalire a tempi molto antichi, almeno a quanto sappiamo. Il primo ad interessarsene fu Galileo Galilei nel 1638. Lui però la confuse con la parabola, infatti si convinse che la forma di una corda appesa per i suoi due estremi sotto la sola forza di gravità, fosse una parabola.

Ecco quello che Salviati afferma nella Seconda giornata del dialogo Discorsi e
dimostrazioni intorno a due nuove scienze (Ecco il link del libro di Galilei : LIBRO):

Salviati: …Ferminsi ad alto due chiodi in un parete, equidistanti all’orizonte e tra di loro lontani il doppio della larghezza del rettangolo su ‘l quale vogliamo notare la semiparabola, e da questi due chiodi penda una catenella sottile, e tanto lunga che la sua sacca si stenda quanta è la lunghezza del prisma: questa catenella si piega in figura parabolica, sì che andando punteggiando sopra ‘l muro la strada che vi fa essa catenella, aremo descritta un’intera parabola, la quale con un  perpendicolo, che penda dal mezo di quei due chiodi, si dividerà in parti eguali….

Il primo a dimostrare che tale curva non fosse una parabola è Joachim Jungius nel 1669. Tale risultato fu affermato e rafforzato dai fratelli Bernoulli, Huygens e Leibniz che nel 1691 dimostrarono anche che tale curva non fosse algebrica (in caso di dubbi si veda: “Curve algebriche: Nozioni di base“) e fu battezzata catenaria da Huygens.

Questa curva e talvolta chiamata funicolare velaria e fu studiata anche da Eulero che nel 1744 dimostrò che la sua rotazione attorno all’asse $x$ del piano cartesiano genera una superficie minima, chiamata catenoide.

Equazione della catenaria e alcuni risultati interessanti

Sulla storia di questa strana curva ci si potrebbe dilungare ancora molto, ma il mio interesse in questo articolo è quello di concentrarci sulle proprietà più caratteristiche e sugli esempi che possiamo trovare tranquillamente uscendo di casa.

La catenaria è una curva trascendente (si veda: Curve trascendenti ) che ammette la seguente equazione:

$y=a \cosh(\frac{x}{a}) = a\big (\frac{\mathrm{e}^{x/a}+\mathrm{e}^{-x/a}}{2}\big)$

dove $a$ è una costante che rappresenta la distanza del punto più basso con il “terreno”. Dall’equazione si nota che la curva non dipende dalla distanza dei punti a cui è appesa la fune. Inoltre la curva è simmetrica rispetto all´asse $y$.

Ruote quadrate

Un problema interessante che coinvolge la geometria e le equazioni differenziali è il problema della ruota quadrata. La domanda è: Quale dovrebbe essere la forma della strada per far si che una ruota quadrata rotoli/scorra regolarmente?

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Si può dimostrare che nel caso di ruote poligonali, la strada deve essere composta da catenarie ribaltate collegate tra loro. Se vuoi vedere come mostrare tale risultato anche solo per il caso di ruote quadrate puoi guardare lo svolgimento dell’esame di maturità (seconda prova) del liceo scientifico un paio di anni fa : PROBLEMA RUOTA QUADRATA. Per un analisi più generale del problema si veda: Roads and Wheels.

Catenaria e trattrice

La curva trattrice, qui sopra raffigurata, gode di una proprietà essenziale: la lunghezza della tangente tra la stessa e l’asse x rimane costante per qualsiasi punto. Bene, una volta introdotta questa particolare curva, vediamo al volo il legame che c’è tra essa e la catenaria 😉

Nella geometria differenziale delle curve, si dice involuta ( o anche evolvente) una curva ottenuta da un’altra curva data seguendo questa procedura:

Si incolla una ipotetica striscia non allungabile ad un punto della curva data. Poi si tira il suo estremo libero e si fa aderire alla curva data la rimanente parte della striscia.

Nel caso della catenaria, l’estremo libero va ad individuare una metà della  curva trattrice se ne si disegna l’involuta 🙂 Legame strano ma interessante, no?!

Dove trovare la catenaria in natura?

Come già detto per i frattali in un precedente articolo (Frattali in natura), anche la catenaria è molto presente in natura, nell’arte, in architettura e molti altri ambiti, soprattutto grazie alle sue proprietà caratteristiche.

Lasciamo quindi ora le proprietà puramente geometriche viste nella precedente sezione per parlare della curva catenaria in natura e nei suoi molteplici utilizzi.

Catenoide e bolle di sapone

Come già citato prima, la rotazione della catenaria attorno all’asse delle ascisse, genera una superficie minima detta catenoide. Tale risultato, oltre che mediante il calcolo differenziale, è mostrabile come nella figura qui in alto mediante le bolle di sapone. Esse tendono ad occupare meno spazio possibile distribuendosi su superfici minime, soprattutto a causa della tensione superficiale. Su questo tema ci sarebbe davvero molto da dire, ma di sicuro dedicherò un apposito articolo all’argomento più avanti.

Per ora ti basti notare che immergendo due strutture a forma circolare (uguale) nell’acqua e sapone si genera proprio il catenoide, che è quindi superficie minima 😉

Archi e catenarie rovesciate

Numerose sono le applicazioni in vari ambiti dell’architettura. La catenaria ha la proprietà di avere in ogni suo punto una distribuzione uniforme del suo peso totale. Essa è stata quindi spesso utilizzata per realizzare manufatti e strutture architettoniche. Le strutture realizzate secondo tale curva subiscono soltanto sforzi a trazione, come le funi di sostegno nei ponti sospesi, oppure, in alternativa, a compressione, quando la struttura realizzata ha la forma di una catenaria rovesciata, come nelle strutture di cupole. (Fonte : https://goo.gl/VRNxBQ ) Ne sono un esempio la cupola della cattedrale di St. Paul a Londra e la Sagrada Familia a Barcellona.

                 

Anche molti ponti sono stati costruiti sulla base della struttura della catenaria, come il famoso ponte di Santa Trinità a Firenze . Infine citiamo il famoso Gateway Arch

dell’architetto finlandese Saarinen, posto nel parco del Jefferson National Expansion Memorial.

Gateway Arch – Catenaria

Ponte santa trinità – Catenaria

Catenaria e gravità

          

Il termine CATENARIA deriva del Latino catenaria ed è per definizione “la curva che descrive la forma di una catena flessibile appesa o di un cavo priva/o di pesi aggiuntivi o esterni”. Tutti i cavi appesi liberi da altri pesi o striscie di materiali vari assumono questa forma. Il requisito affichè essa si formi è che la massa del corpo deve essere distribuita uniformemente nella lunghezza del corpo, ovvero esso deve avere densità uniforme. Inoltre il corpo (cavo o catena che sia) deve essere soggetto alla sola forza di gravità.

Conclusione

La catenaria, come molte altre curve che vedremo magari in futuro, è un esempio lampante di come l’analisi matematica della realtà non sia una perdita di tempo ma piuttosto un mezzo in grado di concederci nuovi e più avanzati strumenti e conoscenze. Spero di averti quantomeno incuriosito e interessato, ho appositamente cercato di usare anche più immagini e contenuti visuali possibili 😉

Se vuoi proseguire nell’approfondimento, qui sotto trovi i contenuti che ho usato per comporre questo articolo e alcune risorse per studiare qualcosa in più, sono sicuro che ti divertirai!

Bibliografia e approfondimenti

Lectures on minimal surfaces in $\mathbb{R}^3$ : PDF

La catenaria – Progetto matematica : ARTICOLO

Mathematics and technology: LIBRO

The catenary – Mathematics all around us : VIDEO 

Una non parabola – La catenaria : PDF

Hyperbolic Functions: Catenary: Formula and Proof : VIDEO

The Catenary: Art, Architecture, History, and Mathematics : PDF

Catenary: Wikipedia

Catenary: Wolfram  MathWorld