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Il mondo della probabilità: il caso esiste?

Sin dall’antichità gli uomini sono stati affascinati dal mondo del gioco d’azzardo, del betting e di tutto ciò che sembra imprevedibile e sul quale vale la pena scommettere per avere quel brivido dato dalla speranza che un evento avvenga. Su come sia nata la probabilità ve ne avevamo già parlato in questo articolo molto interessante, ma adesso vogliamo andare un po’ oltre e chiederci: ma la probabilità esiste? Ossia, il caso (quindi la fortuna) governa questo mondo? Se lo dovessimo chiedere a Woody Allen, avremmo già la risposta nell’incipit del suo film “Match Point”.

Ma chiaramente questo non è un articolo di cinema, quindi andiamo ad analizzare velocemente i due rami filosofici che hanno caratterizzato il pensiero umano dagli antichi greci in poi. Sostanzialmente ci si può riferire a due filoni diversi: per primi ci sono quelli che pensano che il caso non esista e dunque quello che comunemente viene definito come tale è soltanto “ignoranza” sul fenomeno in analisi. Cioè si attribuisce una probabilità ad eventi che aleatori non sono semplicemente perché non si può fare di meglio con gli strumenti che si hanno a disposizione. Si parla quindi di probabilità epistemica.

Questo atteggiamento è adottato dalla filosofia cristiana, secondo cui tutto sta nel disegno della Provvidenza, e da altri filosofi quali Spinosa ad esempio. Ma anche gli scettici, che pensavano che la verità assoluta fosse irraggiungibile, assumevano una posizione di questo tipo – detta probabilismo gnoseologico. Dunque sospettiamo che un evento sia casuale, ma approfondiamo la conoscenza per arrivare il più possibile alla verità.

Se vi sembra un atteggiamento banale, ricordiamo che inizialmente i fenomeni meteorologici erano considerati totalmente casuali, mentre oggi sappiamo che le leggi che lo governano sono caotiche e deterministiche – e della differenza tra caos e caso già vi abbiamo detto qui.

Il secondo filone risponde che sì, il caso esiste perché non vi è nessuna legge deterministica (di tipo lineare) che governa il fenomeno in analisi. Ossia il caso è insito nell’essenza dell’evento che stiamo studiando, per questo parliamo di probabilismo ontico. Dunque non ha senso andarne ad analizzare il suo carattere dinamico – o perché non vi è niente di deterministico sotto o piuttosto perché le leggi che lo governano sono troppo intricate – piuttosto accettiamo di studiarlo soltanto dal punto di vista stocastico/probabilistico. Questo ramo è quello che ha preso maggiormente largo grazie alla meccanica quantica, dove alcuni fenomeni sono fisicamente stocastici.

Per fare un esempio pratico, è inutile studiare le leggi che governano il lancio di una monetina – a seconda di come viene lanciata, del peso, ecc. – piuttosto accettiamo di assegnare una probabilità agli eventi testa e croce.

L’ultima frase ci permette di spostarci dal campo filosofico a quello matematico: che cosa significa “assegnare una probabilità”? Cos’è la probabilità? Allora diamo velocemente le quattro diverse definizioni di probabilità che hanno preso piede dal 1600 fino ad oggi. Iniziamo con la definizione classica:

Definizione 1 (Probabilità Classica)

Si definisce probabilità di un evento $E$ il rapporto fra i casi favorevoli in cui si verifica $E$, diciamo $m$, e il numero di casi totali che indicheremo con $n$, con la condizione che tutti i casi siano equiprobabili. Ossia:

\[ \mathbb{P}(E)=\frac{m}{n} \]

dove con $\mathbb{P}(E)$ stiamo indicando la probabilità dell’evento E. Dunque, in un esempio, se il caso in analisi è il lancio di una moneta e $E$ è l’evento testa , allora $m=1$ e $n=2$, in quanto i casi totali sono testa e croce. Per cui $\mathbb{P}(E)=\frac{1}{2}$, che è effettivamente la probabilità naturale che diamo alle facce di una moneta. La definizione però ha enormi pecche: innanzitutto dobbiamo sapere quanti sono i casi che fanno sì che si verifichi $E$, si applica solo al caso discreto ma soprattutto tutti i casi devono essere equiprobabili. Ma che significa equiprobabili se ho appena definito la probabilità? Insomma, la definizione è circolare e non può essere utilizzata. Viene anche detta probabilità a priori in quanto assegno un numero ad ogni evento prima che questo si verifichi.

Definizione 2 (Probabilità Frequentista)

Si supponga di poter svolgere $n$ prove tutte nelle stesse condizioni e indipendenti. Si definisce probabilità di un evento $E$ il rapporto tra le prove in cui l’evento $E$ si è verificato, che indichiamo con $m$ e le prove che sono state effettuate, che facciamo tendere ad infinito. Ossia:

\[ \mathbb{P}(E)=\lim_{n \to +\infty} \frac{m}{n} \]

Per cui, facendo un esempio, per valutare la probabilità dell’evento testa in un lancio di moneta, farò un numero elevato di prove e segnerò tutte le volte in cui è effettivamente uscito testa. La probabilità classica e quella frequentista vanno a coincidere nei casi in cui sono entrambe calcolabili. Anche in questo caso abbiamo un problema: non è sempre possibile svolgere $n$ esperimenti – se vogliamo calcolare la probabilità che un determinato asteroide colpisca la Terra, evidentemente non possiamo farlo. Questa viene definita anche probabilità a posteriori in quanto assegno una probabilità agli eventi dopo che essi si sono verificati. Ora stiamo per dare la definizione probabilmente meno matematica che abbiate mai visto – eppure molto più efficace delle due precedenti.

Definizione 3 (Probabilità Soggettiva)

Si definisce probabilità di un evento $E$ il grado di fiducia che un individuo razionale pone al realizzarsi di quell’evento, date le conoscenze che possiede in quel momento. Per grado di fiducia si intende un prezzo $p \in [0,1]$ che si è disposti a pagare per ricevere $1$ nel caso in cui $E$ si realizzi.

Facciamo un esempio pratico: quanto siete disposti a pagare per ricevere un euro nel caso in cui, lanciando una moneta, esca testa? Poiché l’individuo è razionale, con le conoscenze che ha dirà ovviamente 50 centesimi, cosicché se esce testa vince 50 centesimi mentre se esce croce ha perso quelli della scommessa. Questo però si applica anche a casi in cui gli eventi non siano bilanciati né di tipo dicotomico – ossia due soli eventi.

La prospettiva è totalmente rivoltata: la probabilità è dentro di noi, non fuori. Quanto volete scommettere per ricevere un euro nel caso in cui la Juventus riesca a battere il Chievo? Qualcuno dirà 90 centesimi, qualcun altro 85, a seconda delle informazioni che hanno e del grado di fiducia. Per una partita di calcio, le altre due definizioni non erano applicabili – posso dire che vittoria, pareggio e sconfitta siano equiprobabili in Real Madrid-Pergolettese? Né posso far giocare mille e mille volte la stessa partita nelle stesse condizioni. E arriviamo finalmente alla definizione che viene attualmente utilizzata e che racchiude le tre precedenti.

Definizione 4 (Probabilità Assiomatica di Kolmogorov)

Sia $\Omega$ l’insieme degli eventi elementari del fenomeno in analisi e sia $\mathcal{F}$ la $\sigma$-algebra costruita su $\Omega$, ossia una famiglia di sottoinsieme delle informazioni – o eventi composti. Allora definiamo probabilità una funzione $\mathbb{P}: (\Omega, \mathcal{F}) \to [0,1]$ tale per cui

  1. $\mathbb{P}(\Omega)=1$
  2. Siano $A,B \in \mathcal{F}$ due eventi incompatibili (ossia $A  \cap B= \emptyset  $), allora \[
    \mathbb{P} (A \cup B)= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B) \]

Questa definizione, una volta capiti cosa siano $\Omega$ e una $\sigma$-algebra, è di sicuro la più rigorosa dal punto di vista matematico nonché quella più applicabile. Per capirla bene, però, vi rimandiamo ai prossimi appuntamenti in cui parleremo anche di processi stocastici – un esempio, la rovina del giocatore.

Se ti è piaciuto il mio primo articolo su Mathone, fammelo sapere così possiamo andare avanti con questi nostri incontri. Fammi sapere anche se ti interessa il campo probabilistico-statistico, un ramo della matematica che ultimamente trova tantissime richieste in ambito lavorativo e tantissima attenzione anche nell’opinione pubblica, e se vorresti qualche approfondimento particolare o qualche curiosità!

Alla prossima da Federico!

Teoria del caos: Introduzione e primi esempi

La teoria del caos è la scienza delle sorprese, dei fenomeni non lineari e imprevedibili. Ci insegna ad aspettarci l’inaspettabile. Mentre la scienza tradizionale ha a che fare con fenomeni supposti prevedibili come la gravità, l’elettricità, o le reazioni chimiche, la teoria del caos tratta situazioni non lineari che sono effettivamente impossibili da prevedere o controllare, come la turbolenza, il tempo meteorologico, il mercato delle azioni e molto altro.

La parola caos deriva dal latino chaos, e indirettamente dal greco χάος (che contiene la stessa base χα- dei verbi χαίνωχάσκω «essere aperto, spalancato»). In matematica e in fisica, pur mantenendo un collegamento metaforico con il suo significato ordinario, il termine ha assunto un’importanza crescente, specialmente nello studio dei sistemi complessi: si dice che un sistema tende al caos quando le sue leggi di evoluzione comportano, dopo un certo caratteristico intervallo di tempo, comportamenti del tutto imprevedibili (senza sapere con esattezza le condizioni iniziali del sistema) e irregolari, mancando qualsiasi forma di correlazione tra stati successivi.

Caos non è Caso

La teoria del caos è un campo di studi relativamente recente e spesso frainteso nell’uso comune.Siamo abituati ad usare la parola caos abbastanza di frequente, chiaramente non con significato matematico. Tuttavia questa varietà di significati porta talvolta a fraintendere il termine nel campo matematico. Ti sarà capitato più volte di dire “La mia scrivania è un caos” volendo dire che “Nella mia scrivania ci sono tante cose messe a caso” o qualcosa di simile. In matematica però Caos e Caso sono due termini che si discostano, e di molto!

Le dinamiche caotiche non hanno necessariamente un carattere casuale/probabilistico nascosto. In questi sistemi se conosciamo l’ESATTA posizione attuale o iniziale, possiamo trarre tutte le informazioni che desideriamo sull’evoluzione futura della dinamica. Il problema non è quindi la casualità della dinamica o della posizione attuale, il problema è alla radice: conoscere la condizione esatta dalla quale il sistema inizia ad evolvere. Nel caso di dinamiche semplici (o meglio, non caotiche), anche conoscendo la condizione iniziale in maniera approssimativa, si possono comunque trarre delle rilevanti considerazioni sull’evoluzione della dinamica. Infatti in questi casi abbiamo una dipendenza continua della dinamica dai dati iniziali, ovvero almeno localmente se partiamo sufficientemente vicini alla condizione iniziale di riferimento, otterremo un comportamento dinamico simile. Nel caso di sistemi dinamici caotici, invece, nel tempo il comportamento relativo a condizioni iniziali approssimativamente simili a quella di nostro interesse sono COMPLETAMENTE IRRILEVANTI.

Come puoi vedere dai due esempi che ho fatto qui sopra, nel sistema caotico può essere che anche se ti avvicini arbitrariamente bene alla condizione iniziale con traiettoria rossa, ottieni sempre dinamiche completamente diverse oppure che variano completamente dopo un certo tempo, il quale non dipende però minimamente con la distanza tra le condizioni iniziali. Mentre nel caso della prima immagine, ovvero dinamica non caotica, hai sempre un certo tempo $T>0$ tale che per $0<t<T$ la distanza tra le due traiettorie è controllata dalla distanza dei punti iniziali. Inoltre la cosa importante è che in questo caso il tempo $T$ è strettamente legato alla distanza tra le due condizioni iniziali, più queste sono vicine, più le due traiettorie saranno simili a lungo, ovvero $T$ sarà grande.

Giusto per fare chiarezza, comunque nella seconda immagine le due traiettorie che ho disegnato non sono soggette al caso, sono loro certamente, sono traiettorie deterministiche 😉

Prima di proseguire ti consiglio un ottimo libro divulgativo se vuoi approfondire questi temi, è stato scritto da Ian Stewart e se intitola Dio gioca a dadi? La nuova matematica del caos, ti assicuro che vale la pena leggerlo 😉

Ecco perché spesso si coinvolge il termine caos deterministico. Partendo da un problema apparentemente semplice, il moto di tre corpi che interagiscono tra loro attraverso la forza di gravità (che tratteremo approfonditamente in un seguente articolo), Poincaré arrivò a descrivere in modo chiaro il fenomeno del caos deterministico, scrivendo nel 1903:

Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, e allora diciamo che l’effetto è dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell’universo all’istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto. Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile

Poincaré

Ah dimenticavo, il primo contributo sostanziale alla teoria del caos fu fornito da Henri Poincaré, su cui ho di recente scritto un articolo biografico in cui analizzo anche i suoi principali riconoscimenti e contributi alla ricerca, lo puoi trovare qui: Henri Poincaré – L’ultimo universalista.

Immagine trovata su un video Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=GDp8w19WGUo

Si parla quindi di determinismo nel senso che se sapessimo esattamente il nostro punto di partenza avremmo la certezza della dinamica evolutiva che lo caratterizza, mentre di caos per sottolineare la forte sensibilità ai dati iniziali e all’impossibilità di approssimarli per trarre informazioni rilevanti per la dinamica in analisi.

La teoria del caos ha come oggetto di interesse i sistemi dinamici, ma non tutti. La particolarità dei sistemi che seguono un comportamento caotico è la loro forte sensibilità ai dati iniziali. Ovvero sistemi in cui partendo da due situazioni iniziali di poco diverse, si verifica un’evoluzione nel tempo COMPLETAMENTE diversa.

Per non lasciare troppe idee astratte vagare nell’aria, iniziamo subito con un esempio chiaro da un punto di vista visivo, ma non per questo di semplice analisi matematica (la cui trattazione rimando a un articolo/video futuro), il PENDOLO DOPPIO.

Pendolo doppio – un classico esempio di teoria del caos

Il pendolo lo conosci giusto? Ci sono varie modalità per costruire un pendolo, tutte più o meno vicine alla situazione ideale che di solito si studia sui libri. In quest’ultima si suppone la totale assenza di attrito con l’aria solitamente. Si considera in particolare un punto materiale (massa supposta concentrato in un punto nello spazio) vincolato ad una corda/asta rigida e lasciato muoversi partendo da una condizione inziale, la cui altezza non verrà raggiunta periodicamente ma mai superata.

Se vuoi studiare qualcosina sul pendolo semplice ho scritto un articolo qui sul Blog a riguardo, potrai trovare un’analisi dell’equazione che ne regola la dinamica, il disegno del ritratto di fase e qualche considerazione finale a seguito di questo grafico, in pieno stile sistemi dinamici e analisi qualitativa 😉 , eccolo qui: Pendolo semplice.

Per complicare questo sistema dinamico ci si può muovere in varie direzioni, si può analizzare un pendolo 3-dimensionale in cui la particella non è vincolata a muoversi in sole due direzioni (si veda Pendolo di Foucault) o considerare un pendolo forzato da agenti esterni (si veda Oscillatore armonico forzato), oppure si possono analizzare situazioni a queste simili. Quella che però ci interessa per i nostri scopi è il pendolo doppio.

Questo oggetto si costruisce semplicemente vincolando un’altra asta rigida/corda al punto materiale del pendolo semplice. Ancorando all’estremità di questo nuovo “braccio” una nuova massa puntiforme. Avrai già intuito che in questo prolungamento si può giocare sulla lunghezza del braccio, sulla variazione della massa e così via per ottenere i comportamenti più strani. Però forse non immagini che in realtà non serve nemmeno giocare troppo per ottenere un comportamento strano, caotico in particolare.

Prima di analizzare un attimo l’evoluzione, ti consiglio di guardarti questo video per farti un’idea del fenomeno 😉

Già qui nel video è interessante vedere la particolare evoluzione della dinamica. Ma di per sé non è evidente alcun comportamento caotico in questo video, il caos lo si vede sensibilmente confrontando l’evoluzione di due dinamiche che partono da condizioni iniziali molto vicine. La dinamica in questi due casi (simili inizialmente) è completamente diversa all’avanzare del tempo. Guarda qua per fartene un’idea 😉

Non posso negarti di aver guardato il video 3-4 volte, è davvero spettacolare come fenomeno ma soprattutto contro intuitivo. Noi siamo abituati a pensare a dipendenze continue dai dati iniziali, siamo abituati a pensare che oggetti che seguono le stesse leggi e partono vicini, rimarranno vicini. Il che è esattamente il contrario rispetto al pendolo doppio!

Il fenomeno della caoticità è molto ampio e si può approfondirlo sotto vari aspetti ma per non mettere troppa carne al fuoco chiudiamo l’articolo con un esempietto semplce e numerico di dinamica caotica, per poi salutarci 🙂 .  Intanto spero che l’esempio appena fatto e il confronto tra caos e caso ti siano chiari. In caso di qualsiasi dubbio puoi contattarmi a list@mathone.it oppure lascia pure un commento qui sotto 😉

Un semplice esempio di teoria del caos con la calcolatrice

Prova a calcolare più volte consecutive, sulla tua calcolatrice $f(x) = 2x^2-1$ partendo da due $x$ iniziali molto simili, per esempio $x_1 = 0.54322$ e $x_2 = 0.54321$ e vedrai che dopo una cinquantina di iterazioni otterrai cose completamente diverse. Ecco un esempio molto semplice di caos in una mappa iterativa discreta. Perchè questa differenza? Prova un po’ a pensarci 😉

Ti ricordo che se ti piace guardare video, Mathone ha anche un canale Youtube, lo puoi trovare qui: CANALE

Fonti e approfondimenti

Dio gioca a dadi?  La nuova matematica del caos

La fisica del caos. Dall’effetto farfalla ai frattali

What is Chaos theory?

Sistemi dinamici e caos deterministico

Sistemi Dinamici Caotici – Liceo Locarno

Teoria del caos.pdf – Studio Legale Masciarelli