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Algoritmo calcolo radice quadrata

La radice quadrata, è un’operazione che impariamo a fare in vari contesti già dalle scuole medie. Per esempio, ci viene insegnato che in un triangolo rettangolo vale $i = \sqrt{c_1^2+c_2^2}$, dove $i,c_1,c_2$ sono ipotenusa e i due cateti di un triangolo rettangolo.

Spesso però non ci si pone la domanda: è possibile calcolare in maniera “abbastanza accurata” la radice quadrata di un numero con carta e penna?

Per presentare un possibile algoritmo per calcolarla, lavoriamo per tutto l’articolo su un esempio 729. Ci tengo a precisare che l’algoritmo che andremo ad esplorare, non è l’unico possibile. Infatti trovare la radice quadrata di un numero $n$ significa risolvere, seppur in maniera approssimata, l’equazione quadratica $x^2-n=0$ e la risoluzione di questo problema può essere ottenuta con davvero molti algoritmi. Se ti interessa vederne uno alternativo, ho fatto un video dedicato che trovi qui:

Torniamo però al nostro esempio, dove $n=729$. Questo numero non l’ho scelto proprio casualmente, infatti è il quadrato di 27. Questo sarà quindi il valore che ci aspetteremo di trovare una volta applicato correttamente l’algoritmo.

Bene, iniziamo!

L’algoritmo è particolarmente “visivo”, per cui ti consiglio di prendere carta e penna e seguire step by step i passaggi che vedremo.

Innanzitutto, partendo da destra, mettiamo un puntino (separatore) ogni due cifre. Ho scelto apposta un caso in cui le cifre sono dispari, così da vedere il caso meno ovvio (tra gli esempi di media difficoltà) che potrebbe capitare.

Rimarrà quindi una cifra spaiata, nel nostro caso il 7.

Ora pensiamo al più grande numero che elevato al quadrato sia minore o uguale al numero rappresentato dal primo blocco di cifre (da sinistra). Nel nostro caso la prima “coppia” è 7, quindi il numero da noi ricercato è il 2.

Siamo quindi pronti a costruire il risultato finale. Possiamo infatti scriver la cifra 2 alla sinistra del risultato, come prima cifra.

Per semplificarci la vita, possiamo usare una schematizzazione simile a quella usata per la divisione. 

Ora scriviamo il quadrato di 2 sotto il 7, e scriveremo poi la differenza tra i due (7-4) sotto il 4.

Copiamo ora la seconda coppia di cifre in fianco al precedente risultato (il 4). Nel nostro caso andremo quindi a terminare tutte le cifre disponibili scrivendo 29.

A questo punto dobbiamo quindi lavorare con il numero 329. Anche questo lo separiamo in “coppie” di cifre, questa volta partendo da sinistra.

Ora, sotto la prima cifra del risultato finale, ottenuta precedentemente, scriviamo il numero $2\cdot 2$ (ovvero il doppio della cifra che avevamo ottenuto).

La domanda che dobbiamo porci ora è la seguente: Quante volte ci sta il 4 ($2\cdot 2$) nel 32 (prima coppia del numero che abbiamo ottenuto a sinistra)?

Scriviamo quindi il risultato, 8, a fianco del 4 ($2\cdot 2$). Ottenendo quindi 48. Questo numero andiamo poi a moltiplicarlo sempre per l’8, il numero di volte che il 4 ci sta nel 32. Calcoliamo ora $48\cdot 8=384$. Purtroppo questo risultato è maggiore del 329, provo quindi riducendo di un’unità la prima cifra da destra di entrambi i fattori, calcolando quindi $47\cdot 7=329$.

Dovremmo continuare con questo tipo di riduzione fino a che il numero ottenuto non risulterà minore o uguale a 329.

Ora non ci resta che calcolare la differenza tra 329 (ottenuto a destra eseguendo la moltiplicazione) e 329 (ottenuto a sinistra dopo una differenza ed un abbassamento del numero 29) e scriviamo il risultato in una nuova riga.

Questo rappresenterà il resto delle nostra radice quadrata approssimata alle unità. Essendo il resto 0, possiamo concludere che il nostro numero $n$ è un quadrato perfetto.

Ora trascriviamo il 7 (la cifra che ci ha permesso di ottenere un numero $\leq 329$ poco fa) a fianco del 2, ottenendo quindi 27.

Ecco quindi terminato l’algoritmo.

Come potremmo proseguire l’algoritmo se al posto del 729 mettessimo un altro numero che non sia un quadrato perfetto? Per esempio come approssimo $\sqrt{731}$?

Nessun problema, quest’algoritmo è applicabile per qualsiasi numero. Possiamo infatti decidere quante volte iterare (ripetere) la procedura in relazione al numero di cifre del numero di cui vuoi trovare la radice, ma anche con che precisione trovare la tua radice.

Infatti se ci troviamo di fronte ad un resto diverso da 0, una volta abbassate tutte le cifre, ci basterà aggiungere tante coppie di zeri a fianco del numero iniziale quante sono le cifre che desideriamo dopo la virgola nel nostro risultato.

Se per esempio volessimo trovare una radice precisa fino ai decimi, ci basterà scrivere una coppia di zeri a fianco del 731, continuando quindi l’lgoritmo per un’ulteriore iterazione, chiaramente ricordandoci di aggiungere la virgola dopo la seconda cifra “scoperta” del risultato.

Detto ciò ti saluto, spero che questa discussione sul paradosso di Monty Hall ti sia piaciuta!

Se ti interessano altri articoli, ti consiglio di dare un’occhiata al blog.

Se preferisci invece i video agli articoli, qui trovi il mio canale Youtube con parecchi video: http://youtube.com/mathone-video

Alla prossima!

Davide