Le dimostrazioni sono i pezzi fondamentali su cui la matematica è stata costruita e viene costruita giorno dopo giorno. Sono delle costruzioni logicamente solide che portano da un insieme di ipotesi ad una tesi. Studiare dimostrazioni matematiche però è tutt’altro che facile, soprattutto senza un buon metodo.
Qualche tempo fa ho scritto un articolo introducendo cos’è una dimostrazione, e lo trovi qui Introduzione alle dimostrazioni matematiche.
In questo articolo ti racconterò il mio metodo e darò alcuni suggerimenti per migliorare il modo con cui ti approcci ad una dimostrazione, così da rendere il processo meno pesante.
Possiamo dividere il metodo in 6 steps, che ora elencherò brevemente, con qualche spiegazione che spero ti aiuterà. Il tutto sarà presentato in prima persona, perché racconto esattamente ciò che faccio per studiare una nuova dimostrazione.
Ora ti auguro una buona lettura e ti ricordo che se sei interessato/a a ripetizioni di matematica sia per corsi universitari che per le scuole superiori, puoi contattarmi a list@mathone.it così posso vedere se riesco ad aiutarti 🙂
Capire l’enunciato e le ipotesi
Il primo obiettivo che mi pongo è capire bene il teorema che vado a dimostrare. Provo a chiedermi perchè e se tutte le ipotesi siano necessarie, cercando di vedere cosa accadrebbe togliendone qualcuna. In questo modo sarà più coerente la dimostrazione e capirò meglio quando viene utilizzata una certa ipotesi, dato che ho in teoria scoperto il motivo per cui essa deve esserci.
Leggere attentamente la dimostrazione un paio di volte
Inizio leggendo la dimostrazione attentamente e cercando di capire l’argomento generale. Cerco quindi di individuare dove le ipotesi sono utilizzate e perché queste portino a concludere la tesi desiderata.
Identificare le parti della dimostrazione
In molti casi, le dimostrazioni possono essere suddivise in varie parti o passaggi. Quello che faccio è quindi dividerla in step indipendenti, quasi come fosse una serie di dimostrazioni correlate (non sempre questa fase è fattibile, ma è raro che non sia possibile ‘dividere in paragrafi’ la dimostrazione). Ad ognuno di questi pezzi assegno un titolo. Una volta fatto ciò, prendo un foglio e mi segno i titoli dei pezzi, legandoli con delle frecce. Cerco quindi di capire le seguenti cose:
- Quali sono le ipotesi e le tesi di ognuna di queste parti?
- Come si passa dalla tesi della prima parte all’ipotesi della seconda?
- E così via..
A questo punto mi trovo tra le mani uno schemino come quello qui sotto.
Capire bene ogni pezzo e procedere in ordine
Ora provo a capire ogni singolo pezzo della dimostrazione, andando in ordine sequenziale ovviamente. Per quanto mi riguarda l’importante è capire che risultato/certezza si è raggiunta al termine di ogni pezzetto della dimostrazione. Così da poterlo poi considerare come ‘ipotesi’ aggiuntiva per dimostrare il pezzo seguente.
In questa parte del metodo può essermi anche utile scrivere degli appunti su ciò che non ho capito o domande che ho. Queste le faccio in seguito ad altri compagni di corso o al professore direttamente.
Riprovare a dimostrare i risultati
Una volta letta e capita la dimostrazione, di solito passo a fare altro per un po’ (può andare bene qualche ora, ma anche un giorno). Una volta lasciato passare un po’ di tempo, provo a riscrivere la dimostrazione o a riprodurla da solo. Se ho a disposizione una lavagna, mi piace farlo in quel modo cercando anche di commentare a voce alta i passaggi, per la prima volta. Altrimenti un bel foglio di carta è più che sufficiente.
In questo modo, posso verificare se ho veramente compreso il ragionamento matematico.
Fidarsi del processo e studiare tante dimostrazioni
Per me è molto chiaro che il solo fatto di ripetere questi passaggi con altre dimostrazioni matematiche, mi aiuta molto a capire le dimostrazioni. La ripetizione aiuta a migliorare le mie abilità e la mia comprensione generale della matematica.
Alcuni consigli finali
E’ importante ricordare che la comprensione di una dimostrazione richiede tempo e pratica. Non scoraggiarti se ci vuole del tempo per capire un argomento matematico complesso. Continua a lavorare sodo e cerca sempre di approfondire la tua comprensione.
Inoltre, è fondamentale non trovarsi in situazioni con poco tempo disponibile. In tal caso infatti l’unica cosa possibile potrebbe essere imparare la dimostrazione a memoria. Tuttavia l’obiettivo di studiare una dimostrazione è quello di comprenderne i ragionamenti logici, estrapolarne tecniche e processi utili per costruirne di nuove, e anche quello di comprendere più a fondo il teorema stesso. Se la impari a memoria non migliorerai mai e non sarai mai in grado di adattare la dimostrazione a teoremi e risultati simili.
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