Spazi di hilbert parte 2

Nel precedente articolo (che puoi leggere qui https://www.mathone.it/spazio-hilbert/) abbiamo introdotto il concetto di spazio di Hilbert da un punto di vista storico e abbiamo definito gli strumenti base che ci serviranno ora per fare un passo oltre, introducendo effettivamente da un punto di vista matematico cosa sia uno spazio di Hilbert.

spazi di Hilbert

Progettando un po’ l’articolo ho realizzato che diventerebbe troppo pesante e lungo se oltre alla definizione e alle prime proprietà andassimo a parlare di importanti teoremi in questo settore, per cui dedicheremo un’ultima puntata della “rubrica” a quei risultati.

Cos’è uno spazio vettoriale di dimensione infinita?

Nel precedente articolo abbiamo visto cos’è uno spazio vettoriale. Però ci siamo limitati a parlare del caso finito dimensionale. Tuttavia per parlare di spazi di Hilbert nella loro completezza dobbiamo lavorare su spazi a dimensione infinita.

Se non hai mai visto un corso di analisi funzionale o ragionato su questi spazi in precedenza, probabilmente ti è sorta una domanda: “Qual è l’esempio di uno spazio matematico che mi capita di usare ed abbia dimensione infinita?”.

Eccoti quindi accontentato, vediamo subito un esempio che poi prenderemo come esempio di riferimento nella costruzione di spazio di Hilbert che porteremo avanti nel corso dell’articolo.

Probabilmente hai già sentito parlare di funzioni reali ad una variabile continue giusto? Se non ti è ancora capitato per il momento ti consiglio di prendere questa definizione un po’ grossolana : “Una funzione $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ è continua se possiamo tracciarne il grafico senza staccare la penna dal foglio, ovvero il grafico è una curva senza salti”.

Ottimo, ma cosa centrano queste funzioni con gli spazi di Hilbert? In realtà poco infatti vedremo che per arrivare a quella costruzione dovremo puntualizzare qualche proprietà, però queste sono un perfetto esempio di spazio vettoriale a dimensione infinita.

Infatti se definiamo l’operazione di composizione come $f\circ g (x):= f(g(x))$ otteniamo che lo spazio $(C^0([a,b]),\circ)$ dove $C^0([a,b]):=\{f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}: f \text{ è continua }\}$ è uno spazio vettoriale.

Perché ha dimensione infinita? Semplicemente perché possiamo trovare infinite funzioni continue linearmente indipendenti l’una dall’altra. Vediamo perché particolare famiglia di funzioni continue linearmente indipendenti è data dalle funzioni trigonometriche:

\[T =  \{ \cos{nx} : n\in\mathbb{N} \} \]

Questa è per esempio anche utile per definire una base dello spazio in analisi. Tuttavia siccome avendo la dimensione infinita il concetto di base è un bel po’ più complesso rispetto al caso finito-dimensionale, preferisco sorvolare su questo argomento per questo articolo. Se ti interessa approfondire cosa sia una base di uno spazio vettoriale a dimensione finita ecco un sito che ti aiuterà : https://it.wikipedia.org/wiki/Base_(algebra_lineare)

Cos’è uno spazio normato?

Prima di passare a definire gli spazi di Hilbert, partendo dalla nozione di spazio vettoriale (a dimensione finita o infinita che sia) dobbiamo definire il concetto di spazio di Banach. Per farlo ci serve una norma ben definita sul nostro spazio che in questo paragrafo chiameremo $B$.

Una norma è da pensare come una funzione che associa ad ogni elemento dello spazio $v\in B$ un numero reale e non negativo. Questo numero che andiamo ad associare può essere visto come una misura della distanza dell’elemento $v$ dall’elemento neutro dello spazio, lo $0$.

Per far sì che questa funzione $|| \cdot || : B\rightarrow \mathbb{R}^+$ definisca effettivamente una norma su $B$ è necessario chiedere che sia non degenere, ovvero che $||v||=0$ se e soltanto se $v=0$.

A questo punto possiamo definire la coppia $(B,||\cdot ||)$ uno spazio normato.

Gli spazi di Banach sono spazi normati con una proprietà ulteriore che fra poco vedremo, ma prima direi che è utile  vedere un paio di esempi di spazio normati.

Partiamo da uno semplice che di sicuro conosci, in cui andremo a lavorare su uno spazio vettoriale a dimensione finita: $\mathbb{R}^n$.

Su questo spazio Euclideo possiamo definire la norma classica che associa al punto $x=(x_1,…,x_n)$ il numero non negativo $||x|| = \sqrt{x_1^2+…+x_n^2}$. Questa funzione è non degenere infatti la norma è 0 se e soltanto se $x_1=x_2=…=x_n=0$ ovvero se $x=0$ (dove qui con 0 si intende lo zero di $\mathbb{R}^n$, il suo elemento neutro quindi, con un abuso di notazione, stiamo dicendo 0=(0,…,0) ).

Passando ora ad un esempio a dimensione infinita, possiamo definire l’importantissimo spazio di Lebesgue $\mathcal{L}^2$ come segue:

\[ \mathcal{L}^2(a,b)=\{f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} : \int_a^b f^2(x)dx<+\infty\}. \]

Un esempio di funzione che sta qui dentro sono le funzioni trigonometriche. Infatti si può vedere che

$\int_a^b cos^2(x)dx < b-a <+\infty$ quindi richiesta soddisfatta. Se l’intervallo $[a,b]$ è limitato, allora per esempio abbiamo anche che tutte le funzioni continue sull’intervallo appartengono a questo spazio dato che, per il teorema di Weierstrass, sugli intervalli chiusi e limitati le funzioni continue ammettono massimo $M$ e minimo $m$ per cui se $f$ è continua nell’intervallo allora si ha

\[

\int_a^b f^2(x)dx < max{m^2,M^2}(b-a)<+\infty.

\]

Per definire con $\mathcal{L}^2(a,b)$ uno spazio normato dobbiamo avere una norma, che è definibile naturalmente come \[||f||=\Big(\int_a^b f^2(x)dx\Big)^{\frac{1}{2}}.\] La coppia $(\mathcal{L}^2(a,b),||\cdot ||)$ così costruita è uno spazio normato.

Dopo vedremo che questo spazio sarà davvero interessante e ricco di sorprese 😊

Ma veniamo ora alla definizione di spazio di Banach.

Cos’è uno spazio di Banach?

Uno spazio di Banach è uno spazio normato completo.

Abbiamo già visto cosa sia uno spazio normato, ci manca la definizione di spazio completo. Se hai visto un corso di Analisi uno saprai senz’altro che la retta dei numeri reali è completa e avrai già sentito parlare di assioma di completezza.

Se non hai mai sentito questi termini non disperare, intuitivamente la retta dei numeri reali si dice completa perché non ha buchi, ovvero presi a caso due numeri nell’insieme dei reali ne esiste sempre un terzo tra essi contenuti.

Questa però non è una definizione troppo operativa o generalizzabile agli spazi normati in generale, vediamo quindi qualcosa di più pratico:

Uno spazio di dice completo se una successione converge se e soltanto se è di Cauchy.

Non parlerò nel dettaglio di successioni di Cauchy qui perché sarebbe troppo dispersivo, mi limito quindi a caratterizzare le successioni con questo carattere con la seguente definizione:

La successione $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è di Cauchy se e solo se $\forall\,\varepsilon>0$ esiste un $n_0\in\mathbb{N}$ per cui $\forall n,m>n_0$ si ha $||x_n-x_m||<\varepsilon$.

Ottimo, quindi ora abbiamo visto la definizione di spazio di Banach.

Chiudiamo la sezione con un esempio di spazio di Banach per poi passare, finalmente, al concetto di spazio di Hilbert.

Grazie all’assioma di completezza di $\mathbb{R}$, estensibile naturalmente anche ad $\mathbb{R}^n$, se definiamo su questi spazi Euclidei la norma classica come visto poco più sopra, otteniamo uno spazio di Banach a dimensione finita.

Un altro esempio di spazio di Banach è sempre dato dall nostro $(\mathcal{L}^2(a,b),||\cdot||)$.

Concludiamo quindi in bellezza questo breve ma intenso excursus nell’analisi funzionale con il concetto di spazio di Hilbert che da tanto stiamo tenendo sott’occhio.

Cos’è uno spazio di Hilbert?

Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che generalizza la nozione di spazio Euclideo. Nello spazio euclideo abbiamo uno strumento molto utile a nostra disposizione: un prodotto scalare.

Di prodotto scalare e di proiezioni ne abbiamo parlato nello scorso articolo (lo trovi qui https://www.mathone.it/spazio-hilbert/ ) quindi in questo lo suppongo noto.

L’idea è quindi di definire gli spazi di Hilbert partendo da questo concetto. Formalmente abbiamo la seguente definizione di Spazio di Hilbert:

Uno spazio di Hilbert è una coppia $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ fatta da uno spazio vettoriale $H$ e un prodotto scalare su $H$. Inoltre la norma $||v||:=\sqrt{\langle v,v\rangle}$ naturalmente indotta dal prodotto scalare, definisce uno spazio di Banach $(H,||\cdot ||)$.

Bene, questa coppia $(H, \langle\cdot,\cdot\rangle )$ è una generalizzazione dello spazio euclideo dove si possono fare le stesse belle cose tra cui calcolare prodotti, proiettare, scomporre in serie di Fourier (generalizzate) e molto altro. Chiaramente non ce ne occuperemo nel dettaglio in questo articolo ma alcune proprietà interessanti tra queste le vedremo nel prossimo ed ultimo articolo della rubrica.

Chiudiamo però recuperando l’esempio $\mathcal{L}^2(a,b)$. Su questo possiamo infatti definire un prodotto scalare come segue:

$$ \langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)dx\quad\forall f,g\in \mathcal{L}^2(a,b). $$

Nel prossimo articolo vedremo molti risultati su questo spazio, per ora ci fermiamo così che sono convinto che abbiamo già visto un bel po’ di concetti.

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