Nella storia della civiltà i Greci occupano un posto preminente; nella storia della matematica ciò è ancor più rilevante. Sebbene abbiano subito l’influenza delle civiltà che li circondavano, i Greci costruirono una civiltà e una cultura che sono le più influenti sullo sviluppo della cultura occidentale moderna e quelle decisive per la fondazione della matematica quale noi la concepiamo oggi.

Ai greci dobbiamo anche i famosi problemi con riga e compasso, tre dei quali sono passati alla storia come ‘i problemi greci insolubili’.

Questi tre problemi non solo non sono stati risolti al tempo di Euclide, ma è anche stato dimostrato che la loro risoluzione è impossibile. Queste dimostrazioni sono relativamente recenti e sono frutto di grandi progressi nel campo dell’algebra (soprattutto dovuti al grande Galois, riguardo il quale pubblicheremo un articolo la prossima settimana 😉 ). Tuttavia riprenderemo questo argomento più avanti.

Ecco qui i tre problemi di cui ti ho parlato nelle poche righe qui sopra:

1. La duplicazione del cubo, o il problema di costruire un cubo avente il volume doppio di un cubo dato.
2.La trisezione di un angolo, o il problema di dividere un dato angolo in tre parti uguali.
3.La quadratura del cerchio, o il problema di costruire un quadrato avente un’area uguale a quella di un cerchio dato.

Prima di addentrarci alla scoperta di questi tre problemi, è fondamentale inquadrare cosa si intende per ‘costruzioni con riga e compasso’.

Cosa si intende per costruzioni con riga e compasso?

Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare segmenti ed angoli servendosi esclusivamente di una riga e di un compasso. Occhio che con riga non si intende il solito righello che utilizziamo noi, ma “strumenti” non graduati, senza quindi la possibilità di far riferimento alle tacche della riga per prendere misure.

Non si può nemmeno ripetere una data apertura che il compasso aveva avuto in precedenza, dato che non è misurabile in alcun modo tale apertura.

Non possiamo quindi misurare nulla, nel senso in cui siamo soliti intenderlo, né angoli né distanze.

E’ molto tempo che volevo scrivere questo articolo perché la prima volta in cui ho sentito parlare di queste costruzioni le avevo sottovalutate molto. Dopo le ho esplorate nei loro dettagli e ho iniziato ad apprezzare la loro complessità e le loro problematiche.

Motivo per cui voglio provare a trasferire questo mio interesse in queste poche righe 🙂

Detto ciò, ecco qui un video con alcune costruzioni con riga e compasso che si possono fare senza troppe difficoltà (appena mi libero un po’ con gli esami faccio un video con qualche costruzione in più):

Vediamo ora un po’ di formalismi e nozioni (niente di eccessivo 😉 ) che ci saranno utili poi per capire il perché questi problemi non possano essere risolti.

D’ora in poi indicherò con $latex \mathbb{C} $ il campo dei numeri complessi, chiamerò con $latex M$ un suo sottoinsieme ($latex M \subset \mathbb{C}$). Denotiamo con $latex E(M)$ l’insieme di tutti i numeri complessi ottenuti da $latex M$ mediante una delle seguenti costruzioni elementari:

1. Intersezione di 2 rette
2. Intersezione di una circonferenza e una retta
3. Intersezione di due circonferenze

eseguite solo partendo dai punti appartenenti ad $latex M$, insieme che possiamo vedere come fornitoci dall’esterno.

Definiremo infine $latex a \in \mathbb{C} $ costruibile con riga e compasso se esiste una sequenza di operazioni elementari che, a partire da $latex M = \{0,1\}$ ci permettono di ottenerlo.

Qualche nozione algebrica utile ai nostri fini

Oltre agli esempi di costruzioni con riga e compasso che puoi vedere nel video qui sopra, possono essere costruiti anche i numeri complessi.

Per completezza, si potrebbe dimostrare che i numeri complessi costruibili, formano un campo intermedio tra i numeri razionali e i numeri complessi (per non divagare troppo non la inserisco qui).

Rimanendo nella teoria dei campi, è utile definire il concetto di campo intermedio (il cui significato è molto intuitivo) ed applicarlo a queste costruzioni sequenziali.

Siano $latex K,L$ due campi. $latex M $ si dice campo intermedio se è tale che $latex K \subset M \subset L$ e inoltre $latex M$ è un campo.

Se non hai idea di cosa sia un campo, ti consiglio di farti un’idea delle proprietà che ha questa struttura algebrica fondamentale cliccando sulla parola “campo” qui sopra.

Per finire, M campo intermedio, si dice estensione del campo K. Il campo M è ottenibile aggiungendo un certo numero di elementi di M a K.

Gli elementi che andremo ad aggiungere, sono radici di polinomi a coefficienti nel campo K.  (queste righe non sono fondamentali, ma utili per capire un po’ meglio il perché questi problemi non siano risolubili).

Teoremi e lemmi che useremo in seguito

Qui di seguito ho inserito, in maniera piuttosto sintetica, gli enunciati dei teoremi e lemmi che ci serviranno poi per capire il motivo dell’insolubilità di questi tre problemi. Per dimostrarne anche uno solo, ci vorrebbe ben più che un articolo, quindi lascio ai più interessati il compito di cercare la dimostrazione online (o magari provare a dimostrarli).

Lemma 1

Se $latex c \in \mathbb{C} $ tale che $latex c^2 \in \mathbb{C} $ è costruibile, allora anche c è costruibile.

Lemma 2 (non formale)

$latex c \in \mathbb{C}$ è costruibile se e solo se è radice di un polinomio irriducibile (polinomio a coefficienti razionali che però non ha radici razionali, per esempio $latex x^2-2 $) il cui grado è una potenza del 2.

Definizione Sia $latex a \in \mathbb{C}$. Si dice polinomio minimo di a in $latex \mathbb{Q}$ il polinomio irriducibile di grado minimo, di cui $latex a$ è radice.

Duplicazione del cubo

Il problema della duplicazione del cubo è di per sé semplice. Consiste nel cercare di costruire un cubo di volume doppio ad uno dato. Supponiamo quindi di avere un cubo di lato unitario, vorremmo costruire un cubo di volume 2 con soli riga e compasso.

Se non ci si limitasse all’utilizzo di questi due strumenti, questo problema sarebbe evidentemente di non difficile risoluzione. Basterebbe un righello in cui è possibile misurare, con sufficiente precisione, le distanze.

Il problema qui è però più sottile. Infatti la modalità con cui questo secondo cubo deve poter essere costruito, è solo come sequenza di costruzioni elementari (quelle viste prima).

Questo problema è giunto a noi sotto forma di mito. Le sue origini sono dubbie, ma le sue testimonianze sono prevalentemente due:

La prima testimonianza in merito è una lettera di Eratostene al re Tolomeo III. Si narra della messa in scena della situazione in cui il re Minosse, di fronte al sepolcro del re Galuco in costruzione (di forma cubica), disse: «piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la forma; si raddoppino, pertanto, tutti i lati».

Eratostene, dopo aver rilevato che l’ordine dato era erroneo, perché raddoppiando i lati di un cubo se ne ottiene un altro con volume otto volte maggiore, riferisce che nacque tra gli studiosi il cosiddetto “problema della duplicazione del cubo”.

La seconda testimonianza è conosciuta come Problema di Delo. Si narra che gli abitanti di Delo, avendo interrogato l’oracolo di Apollo sul modo di liberarsi dalla peste, avessero ricevuto l’ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente.

Quindi è possibile costruire questo cubo di volume doppio con gli strumenti elementari (riga e compasso)?

La risposta è no, non solo perché non è stato trovato un modo per costruirlo, ma perché ne è stata dimostrata l’impossibilità.

Ti ho già anticipato, nella parte introduttiva di questo articolo, che un ruolo fondamentale per la “risoluzione” di questi problemi, sono le innovazioni apportate all’algebra, in particolare dal grande Galois.

Il problema della duplicazione del cubo si riduce, algebricamente, alla costruzione con riga e compasso del numero $latex \sqrt[3]{2}$

Teorema La duplicazione del cubo è impossibile

Dimostrazione:

Non esiste un cubo il cui lato $latex a \in \mathbb{K}$ (sia costruibile) e il suo volume sia $latex a^3=2$. Questo perché se esistesse un tale $latex a$, avrebbe polinomio minimo, di grado 3. Il 3 non è evidentemente potenza di 2 (lemma 2), segue quindi la nostra tesi.

Q.E.D.

La trisezione di un angolo

Nei video proposti poco più sopra, puoi vedere come sia possibile bisecare un angolo. Non è per niente complicato, peccato però che non sia possibile dividerlo in tre parti uguali. Infatti, grazie ai risultati a cui si è arrivati in algebra dopo le innovazioni introdotte da Galois e le conseguenti scoperte, si è dimostrato impossibile trisezionare un angolo con riga e compasso.

Vediamolo un po’ più formalmente:

Teorema La trisezione di un angolo è impossibile

Dimostrazione:

Sia $latex a=60 =\frac{\pi}{3} $. Abbiamo quindi $latex a/3 = \pi/9 $ e $latex 2\cdot a/3 = 2\cdot \pi/9 $. Ma a è una delle radici none primitiva dell’unità, in particolare zero del polinomio $latex x^9-1=(x^3-1)*(x^6+x^3+1) $. Dunque a è zero del secondo fattore che è irriducibile nel campo dei razionali. Segue che esso è il polinomio minimo di a sui razionali. Si vede quindi che il grado del polinomio minimo è 6, che non è evidentemente una potenza del 2 (lemma 2). Segue quindi la nostra tesi.

Q.E.D.

Ci tengo a soffermarmi su un fatto per me rilevante, infatti questo problema ha suscitato molto interesse nel corso della storia. Il fatto che sia impossibile dividere equamente in 3 parti un angolo con riga e compasso, non esclude che ci siano molti altri modi interessanti per farlo.

Per esempio è possibile trisezionare un angolo con gli origami, sì, piegando un foglio di carta in una certa sequenza di mosse! Ecco qui un video molto chiaro in cui viene spiegato come farlo:

Ci sono molte altre modalità interessanti con cui si è riusciti, nel corso della storia, a trisezionare un angolo. L’ultima che voglio citarti è quella scoperta da Nicomede. Lui visse circa nello stesso periodo di Archimede (nel II secolo a.C.) e produsse la famosa curva concoide (conchiglia in greco). Qui sotto puoi vedere il grafico di questa curva.

Si può utilizzare tale grafico per trisezionare un qualsiasi angolo, se sei interessato a scoprirne di più guarda Quadratura del cerchio

Far quadrare il cerchio, quante volte ti sarà capitato di sentire queste parole…è infatti anche spesso usata come metafora nel momento in cui si trova la soluzione perfetta ad un problema difficile.

Infatti, come i due precedenti, è dimostrabile che non si può costruire un quadrato di area uguale a quella di un cerchio dato con soli riga e compasso.

Prendiamo l’esempio del cerchio unitario, la cui area è Pi Greco.

Cosa vorrebbe dire “costruire un quadrato di area Pi Greco”? Beh, a parole non è niente di complicato, significa infatti disegnare un quadrato di lato $latex \sqrt{\pi}$.

Come mai è impossibile costruire tale quadrato? Lo vediamo nella dimostrazione qui sotto:

Teorema La quadratura del cerchio è impossibile

Dimostrazione:

Supponiamo di poter costruire un quadrato di lato a avente area Pi Greco. Di conseguenza $latex a \in \mathbb(K)$ e si avrebbe $latex a^2 = \pi \in \mathbb(K)$ il che è assurdo dato che Pi sarebbe in tal modo un numero algebrico in quanto soluzione dell’equazione $latex x^2-\pi=0$.

Questo problema risale alle origini della geometria, e tenne occupati i matematici per secoli. 

Fu solo nel 1882 che l’impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell’antichità avevano afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità.

L’impossibilità di una tale costruzione, con le limitazioni imposte dall’uso esclusivo di riga e compasso, deriva dal fatto che il Pi Greco è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, e quindi non-costruibile. La sua trascendenza fu dimostrata da Ferdinand von Lindemann nel 1882.

Conclusione

Concludo dicendo che questi problemi mi hanno affascinato fin da quando ho iniziato a capire quanto restrittivi potessero essere questi limiti negli strumenti a disposizione. L’interesse è aumentato quando, dopo un corso di algebra, ho iniziato a capirci qualcosa in più sulla teoria di Galois e sul perché tali problemi siano impossibili.

Quindi, se avessi dubbi, approfondimenti o risorse consigliarmi da farmi conoscere, ti invito a lasciare un commento qui sotto o contattarci sulla pagina Facebook.

Visto che i cenni all’algebra e alla teoria di Galois sono stati parecchi in questo articolo, spero che un po’ di curiosità a riguardo ti sia sorta. In parte verrano approfondite, la prossima infatti pubblicheremo un articolo tutto dedicato a Galois e alle sue scoperte.

P.S. Questo articolo è stato un po’ più tecnico del solito, gradiremmo molto quindi sapere cosa ne pensi, se l’hai gradito e sapere ogni suggerimento che avresti da darci.

P.P.S. Sono consapevole che non esistano le mezze misure tra formalità (ed enunciati/teoremi rigorosi) e passare un’idea/concetto matematico. Cercando di fare ciò è inevitabile trascurare alcuni particolari o passaggi, dandoli per banali quando in realtà non lo sono. Spero di essere riuscito a limitare queste problematiche ma sono certo di non averle evitarle del tutto 🙂

Al prossimo articolo!

Davide