In questo articolo andremo a vedere una delle tante dimostrazioni del fatto che il pi greco è irrazionale. La dimostrazione è una versione con più dettagli di quella che si può trovare in questo articolo A simple proof that $\pi$ is irrational.
Supponiamo, per assurdo, che $\pi\in \mathbb{Q}$, ovvero che esistano due numeri naturali $a,b\in\mathbb{N}$ tali che $\pi=a/b$.
Definiamo poi una funzione
$ f_n(x) = \frac{b^nx^n}{n!}(\pi-x)^n$
per un generico numero naturale $n\in\mathbb{N}$. Nella formula qui sopra, con $n!$ denotiamo il fattoriale di $n$, ovvero il numero naturale $n!=n\cdot (n-1)\cdot … \cdot 1$, con $1!=0!=1$. Prima di proseguire, notiamo che $ f_n(x)=f_n(\pi-x)$. Di conseguenza, tutto ciò che diremo valido per $x=0$, sarà valido anche per $x=\pi$.
Il polinomio $f_n$ ha tutti termini di grado almeno $n$. Per questo motivo, se calcolassimo la sua derivata $j-$sima in $x=0$, ovvero $f_n^{(j)}(0)=d^j/dx^j f_j(0)$, con $j<n$ otterremo il valore $0$. Se invece la volessimo calcolare per $j\geq n$, potremmo partire dalla riscrittura di $f_n$
$f_n(x)=\frac{b^n}{n!}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\pi^{n-k}(-1)^k x^{n+k}$
basata sul coefficiente binomiale
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$
Le basi per riscrivere $f_n$ in questo modo le puoi trovare spiegate qui. Ora il calcolo della derivata $j-$sima si semplifica alla derivata della potenza del monomio $x$ e diventa
$f^{(j)}_n(x)=\frac{b^n}{n!}\sum_{j-n\leq k\leq n}\binom{n}{k}\pi^{n-k}(-1)^k\frac{(n+k)!}{(n+k-j)!}x^{n+k-j}.$
A questo punto notiamo che l’unico termine che sopravvive in $f^{(j)}_n(0)$ è quello di grado $0$, ovvero con $k=j-n$. In questo caso otteniamo quindi
$\begin{split} f_n^{(j)}(0)&=\frac{b^n}{n!}\binom{n}{k}\pi^{n-(j-n)}(-1)^{j-n}j!\\&=\frac{b^n}{n!}\binom{n}{k}\left(\frac{a}{b}\right)^{2n-j}(-1)^{j-n}j\cdot (j-1)\cdot … \cdot (n+1)\cdot n!\\ &=\binom{n}{k} a^{2n-j}b^{n-(2n-j)}(-1)^{j-n}j\cdot (j-1)\cdot … \cdot (n+1)\\&=\binom{n}{k} a^{2n-j}b^{j-n}(-1)^{j-n}j\cdot (j-1)\cdot … \cdot (n+1)\end{split}$
che è un numero intero dato che $n\leq j\leq 2n$ e $\binom{n}{k}$ è un numero intero che rappresenta le combinazioni che si possono fare con $n$ oggetti prendendoli $k$ alla volta.
Definiamo poi una seconda funzione
$F_n(x)=f_n(x) – f_n^{(2)}(x) + f_n^{(4)}(x) + … + (-1)^n f_n^{(2n)}(x),$
che sembra poco rilevante ma adesso vedremo come usare. La cosa interessante è che, per le proprietà di $f_n$ e delle sue derivate, $F_n(0)$ e $F_n(\pi)$ sono entrambi numeri interi.
Calcoliamo poi la seguente derivata
$\begin{split}&\frac{d}{dx}\left(F_n'(x)\sin{x}-F_n(x)\cos{x}\right)\\&=F_n^{(2)}(x)\sin{x}+F_n'(x)\cos{x}-F_n'(x)\cos{x}+F_n(x)\sin{x}\\&=\left(F_n^{(2)}(x)+F_n(x)\right)\sin{x}.\end{split}$
Per come è definita $F_n(x)$, otteniamo che
$\begin{split}F_n(x)+F_n^{(2)}(x)=f_n(x)&-f_n^{(2)}(x)+f_n^{(4)}(x)+…+(-1)^nf^{(2n)}(x)\\&+f_n^{(2)}(x)-f_n^{(4)}(x)+…+(-1)^{n-1}f^{(2n)}(x)\\&+(-1)^{n+1} f^{(2(n+1))}(x).\end{split}$
Essendo che $f_n$ è un polinomio di grado $2n$ e che a due a due tutti i termini tranne il primo e l’ultimo si semplificano, concludiamo che $F_n(x)+F_n^{(2)}(x)=f_n(x)$.
Vista questa identità, abbiamo che per il teorema fondamentale del calcolo
$\begin{split}\int_0^{\pi}\frac{d}{dx}\left(F_n'(x)\sin{x}-F_n(x)\cos{x}\right)\mathrm{d}x &=\int_0^{\pi}f_n(x)\sin{x}\mathrm{d}x\\&=F_n(0)+F_n(\pi)\in\mathbb{Z}.\end{split}$
A questo punto possiamo quasi concludere. Prima notiamo che per $x\in [0,\pi]$, la funzione $f_n(x)\sin{x}$ è sicuramente positiva. Inoltre $f_n(x)\leq \pi^na^n/n!$ (mostrare che questo è vero è lasciato come semplice esercizio). Di conseguenza, dato che possiamo scegliere $n$ grande quanto vogliamo, supporre $\pi\in\mathbb{Q}$ implicherebbe che
$\int_0^{\pi}f_n(x)\sin{x}\mathrm{d}x=F_n(0)+F_n(\pi)$
è arbitrariamente vicino allo $0$. Questo è un assurdo dato che $F_n(0)+F_n(\pi)\neq 0$ e $F_n(0)+F_n(\pi)\in\mathbb{Z}$. Segue che $\pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, ovvero che $\pi$ è un numero irrazionale. $\blacksquare$
Ho deciso di dedicare un articolo a questa dimostrazione perchè la trovo accessibile a chi ha delle buone basi dalle scuole superiori, o ha seguito un corso di analisi 1. Inoltre, vengono usate varie tecniche interessanti, come l’uso di funzioni ausiliarie per mostrare il risultato desiderato. Ho cercato di espandere il contenuto dell’articolo dove questa dimostrazione è stata presentata per cercare di renderlo più accessibile ancora.
Ho scritto altri articoli sui numeri irrazionali qui sul sito, e ti consiglio di leggere in particolare La scoperta dei numeri irrazionali. Se dopo aver capito come mostrare che pi greco è irrazionale vuoi sapere qualche altro dettaglio su questo numero, ti consiglio invece di leggere Pi Greco: un numero e infinite storie.
Se hai qualche domanda scrivi pure un commento qui sotto. Anche suggerimenti su altri temi da trattare sono più che ben accetti!
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