Che cos’è un paradosso? Spesso si sente nominare questa parola che assume significati diversi in base al contesto. Con questo articolo ho quindi l’obiettivo di fare chiarezza su questo concetto. Intanto ti suggerisco un libro molto interessante su questo argomento: C’era una volta un paradosso. Storie di illusioni e verità rovesciate.

Ovviamente non sarà un semplice articolo teorico, ma ci saranno anche svariati esempi.

Ora ti auguro una buona lettura e ti ricordo che se sei interessato/a a ripetizioni di matematica sia per corsi universitari che per le scuole superiori, puoi contattarmi a list@mathone.it così posso vedere se riesco ad aiutarti 🙂

Prima di iniziare, ti consiglio di andarti a leggere questi articoli che avevo pubblicato ormai qualche mese fa. Riguardano alcuni interessanti paradossi:

Il paradosso di Monty Hall

Il paradosso del compleanno

Il paradosso di Russel

Il paradosso del mentitore

Direi che per ora è abbastanza. 🙂

Possiamo iniziare con un po’ di teoria e definizioni.

Introduzione

Che cos’è un paradosso per il dizionario? Ecco qui:

Proposizione che per forma o contenuto si oppone all’opinione comune o all’esperienza quotidiana, riuscendo perciò sorprendente o bizzarra.

Non male come definizione, ma noi vogliamo di più. Rimangono infatti alcune questioni in sospeso leggendo le righe qui sopra. Cosa vuol dire opporsi all’opinione comune? Quando un’affermazione è definibile “bizzarra”?

Vediamo un’altra definizione data da Mark Sainsbury. Per lui, si tratta di “una conclusione evidentemente inaccettabile, che deriva da premesse evidentemente accettabili per mezzo di un ragionamento evidentemente accettabile”.

Forse un po’ contorta, ma fornisce abbastanza l’idea di ciò di cui siamo parlando.

Noi, che siamo matematici e ci chiediamo il perchè di ogni cosa, vogliamo andarne più a fondo. Giusto?!

Il paradosso abbiamo visto che è sostanzialmente un’affermazione insolita. Definiamo paradosso una proposizione (o tesi) che, partendo da determinate ipotesi, arriva a delle conclusioni che sono inaspettate e/o non verosimili.

In senso logico-linguistico indica un ragionamento contraddittorio che dev’essere accettato o un ragionamento corretto che porta ad una contraddizione.

In matematica è invece una proposizione eventualmente dimostrata e logicamente coerente, ma lontana dall’intuizione.

A breve pubblicherò una puntata del podcast sui paradossi e la potrai ascoltare qui o sulle varie piattaforme di podcasting.

In filosofia ed economia il termine paradosso è usato spesso anche come sinonimo di antinomia. In matematica invece si distinguono i due termini: il paradosso consiste in una proposizione eventualmente dimostrata e logicamente coerente, ma lontana dall’intuizione; l’antinomia, invece, consiste in una vera e propria contraddizione logica.

Analizziamo un semplice paradosso per capire meglio le definizioni appena lette. Il paradosso che stai per leggere, si chiama paradosso di Achille e la Tartaruga. Esso è frutto della mente del filosofo greco Zenone.

Il paradosso racconta di una corsa tra Achille ed una tartaruga che parte con 500 metri di vantaggio. Sulla carta non c’è storia. Achille è destinato a superare la testuggine. Ed anche al momento del via Achille parte molto più veloce dell’animale.

Il Pieveloce copre 500 metri mentre la tartaruga ne ha percorsi solo 50. Ha quindi 50 metri di vantaggio sull’eroe. Achille copre 550 metri, ma la tartaruga nel frattempo ne ha fatti altri 5. Achille recupera i cinque metri, ma la tartaruga ne ha fatto 0.5.

E così via, in una serie di distanze sempre più piccole tra Achille e la tartaruga, con quest’ultima che andrà sempre più veloce. Logicamente Achille supererà l’animale ma, con il suo paradosso, Zenone vuole dimostrarci quanto la scomposizione dei numeri sia potenzialmente infinita.

Questo esempio penso sia abbastanza semplice da capire, ma allo stesso tempo davvero utile per interpretare le definizioni di “paradosso” che ho scritto nelle prime righe dell’articolo.

Nella concezione comune, infatti, Achille è più veloce della tartaruga. Viene quindi logico pensare che lui superi la tartaruga. Da un punto di vista matematico, però, risulta chiaro che (con questi dati) la tartaruga riesca sempre ad avere un vantaggio su Achille, seppur infinitesimo.

Un po’ strano, no?! Non preoccuparti perchè ne vedremo di più strani 😉

Un po’ di storia

Il più antico paradosso si ritiene essere il paradosso di Epimenide, in cui il Cretese Epimenide afferma: “Tutti i cretesi sono bugiardi”. Non volendo dilungarmi troppo in questo articolo, non lo approfondisco nelle prossime righe. Tuttavia, puoi leggere un intero articolo riguardo a questo paradosso: Il paradosso del mentitore. Esso è esattamente il paradosso che ti ho citato qualche riga più sopra.

Diciamo che il concetto di paradosso non ha una vera e propria origine, è intrinseco a noi e al nostro modo di ragionare. Ci sono tracce di paradossi sin dall’inizio della storia scritta, ma probabilmente sono solo i primi ad essere documentati.

Sono abbastanza sicuro che si parlasse di paradossi, magari definendoli in maniere diverse, già da prima, molto prima!

Se ti interessa approfondire questo aspetto dei paradossi, potresti trovare qualche informazione interessante su questo libro:

Paradossi, lo trovi qui: https://goo.gl/JfBLQ6

Se non ti spaventa l’inglese, invece, ho trovato un PDF di quasi 200 pagine davvero fantastico sui paradossi e sulla loro origine che tratta molti aspetti molto interessanti dell’argomento. Per accederci, ti basta inserire la tua email qui sotto (se ti iscrivi, riceverai una mia email ogni mattina alle 8, con alcuni indovinelli, curiosità e consigli)

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3 paradossi famosi

Concludiamo questo articolo, per me molto interessante, citando tre dei paradossi più famosi e interessanti. Ovviamente non ti parlerò di quelli a cui ho già dedicato un intero articolo 😉

Paradosso di Don Chisiotte (Miguel Cervantes, 1547 – 1616):

“Una guardia chiede a tutti i visitatori ‘Perché sei venuto?’ Se il visitatore risponde in modo veritiero, tutto bene. Se risponde falsamente, viene impiccato. Un giorno un visitatore rispose: ‘Vengo per essere impiccato’. Cosa dovrà fare la guardia ?”
Se non lo avesse fatto impiccare, avrebbe voluto dire che aveva mentito e che quindi doveva essere impiccato. Ma se lo avesse fatto impiccare, avrebbe voluto dire che aveva detto la verità e quindi non avrebbe dovuto essere impiccato.

Il condannato a morte

“In un paese esotico governato da un tiranno abbastanza stupido ma con l’amore per i giochini matematici un bel giorno si presentano alla corte di sua maestà un gendarme e il più illustre matematico del paese. Il gendarme accusa il matematico di essere stato colto sul fatto in uno dei più atroci reati, non importa quale, e il matematico in effetti non fa altro che ammettere le sue colpe… La pena prevista è la condanna a morte.
Tuttavia il tiranno non vuole perdere una delle mente più brillanti del paese e così gli concede un modo per salvarsi la vita, esprimendo così la sua sentenza di condanna:
“Sarai rinchiuso oggi nelle prigioni del castello e verrai ghigliottinato un giorno qualsiasi a partire da oggi nell’arco di una settimana, ma la cosa più terribile è che non potrai mai prevedere con certezza il giorno della tua morte!!!”.
Ebbene, il matematico riuscì con facilità a dimostrare l’inapplicabiltà della condanna ed ebbe così salva la vita.”
In questo modo il condannato non potrà essere impiccato il settimo giorno perché altrimenti il sesto saprebbe già in anticipo il giorno in cui morirà. Di conseguenza anche se venisse ucciso il sesto giorno saprebbe in anticipo la data dell’esecuzione, che non potrebbe avvenire il giorno seguente.

Continuando in questo modo il prigioniero potrebbe concludere che non sarà mai ucciso perché altrimenti l’affermazione del giudice risulterebbe falsa. Questo è un caso interessante di come la realtà possa essere diversa dalla logica!

L‘impercettibile raddoppiamento notturno

Supponiamo che la scorsa notte, mentre tutti dormivamo, tutto l’universo abbia raddoppiato le proprie dimensioni. Vi sarebbe un qualche modo di accorgersi di ciò che è successo?
Chiaramente NO!

Questo non me la sento di affrontarlo in qualche riga, penso di utilizzarlo per iniziare un futuro articolo sulle dimensioni. Argomento non facile e per questo avrò bisogno di parecchi esempi 😉

Ovviamente, se non l’hai ancora letto, puoi informarti anche sul paradosso dell’albergo di Hilbert. E’ davvero molto interessante e ne ho parlato qui: L’albergo di Hilbert.

Per questo articolo, è tutto. Se hai consigli, domande o critiche da farmi, dimmi pure. Puoi lasciare un commento qui sotto, contattarmi sulla pagina Facebook MATHONE o inviarmi una mail a list@mathone.it.

Alla prossima! 😉