Quante persone ci devono essere in una stanza perchè la probabilità che due di loro siano nate lo stesso giorno sia maggiore al 50% ?

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Se non sai che cosa sia un paradosso, ti consiglio di leggerti l’articolo: Che cos’è una paradosso?

Bene, spero che tu abbia provato a trovare una risposta alla domanda del Paradosso del compleanno:) .

Ho pensato che fosse meglio illustrare la spiegazione passo per passo, basandomi su un ragionamento ad esclusione che penso sia naturale seguire.

Quindi…partiamo!

Per semplificare leggermente la situazione, non considero la possibilità che un anno possa essere bisestile. Prendiamo quindi come riferimento un anno di 365 giorni. Comunque, se vuoi essere più preciso, puoi risolvere il paradosso del compleanno anche considerando la possibilità dell’anno bisestile, non si complicherà nulla di molto 😉 .

Il primo numero che facilmente ti è saltato in mente è 366. Infatti necessariamente se ci sono 366 persone, con 365 compleanni disponibili, due di queste sono certamente nate lo stesso giorno. Tuttavia qui siamo di fronte ad una probabilità che l’evento si verifichi che è pari a 100%. Il problema ci dice di trovare il numero sufficiente ad avere una probabilità maggiore al 50%.

Iniziamo quindi a fare qualche taglio sul numero di persone…

Per evitare di perdersi in inutili conti, mi avvicino un po’ alla soluzione, senza però dirti ancora il risultato finale. Ti sembrerà strano infatti, ma con sole 57 persone si ha già il 99% di probabilità che due persone siano nate lo stesso giorno. Strano, vero? Si chiama paradosso del compleanno per qualcosa 😉

Tuttavia per avere poco più del 50% di probabilità ne bastano molte meno…

Ma ora veniamo al ragionamento matematico da seguire per arrivare alla soluzione. C’è infatti un piccolo accorgimento da seguire: non ragionare sulla singola persona ma ragionare a coppie. Infatti non ci interessa in che giorno sono nati i singoli, ci interessa che due dei presenti siano nati lo stesso giorno.

Iniziamo quindi a considerare il numero di coppie possibili con n persone presenti.

Partiamo dal caso in cui vi siano tre persone, mettiamo che siano P1, P2, P3. Le coppie possibili sono quindi (P1,P2), (P1,P3) e (P2,P3). Ora con un ragionamento analogo, si può arrivare a dire che con 4 persone (P1, P2, P3, P4) si possono formare al massimo 6 coppie. Se non te ne sei ancora accorto, si può trovare il numero delle coppie possibili applicando una semplice formula, che coinvolge l’utilizzo del fattoriale (!).

La formula in questione è la seguente:

dove nel nostro caso n è il numero delle persone presenti e k è 2, ovvero la dimensione dei gruppi in cui vogliamo combinare le persone.

Non mi soffermo più di tanto sull’aspetto teorico (magari in futuro potrei dedicare un po’ di articoli a questi argomenti..), quindi se non ti riesci a spiegare questi risultati, ti consiglio di ricercare su Google “Combinazioni semplici”, troverai le risposte a tutte le tue domande 🙂 .

Ora prova a calcolare quante coppie possibili ci sono con 57 persone…

Adesso inizia a sembrarti un po’ più plausibile che con 57 persone ci sia quasi la certezza che due siano nate lo stesso giorno?

Ma veniamo finalmente agli ultimi passaggi, quelli che ci porteranno ad arrivare al risultato esatto.

Ora diventa un fatto di puri calcoli, infatti la strategia da adottare te l’ho già spiegata. Devi sostanzialmente cominciare con una coppia, continuare ad aggiungere gente (il nostro n) e vedere come cambia la probabilità. Tuttavia c’è un ultimo consiglio che posso darti. Non ti consiglio di controllare la probabilità di condividere un compleanno, ma ti suggerisco di calcolare la probabilità che ogni nuova persona abbia un compleanno diverso da quelle già presenti.

Quindi, partendo da una persona sola, puoi vedere facilmente come la probabilità che la seconda persona non sia nata lo stesso giorno della prima sia del 364/365. La terza persona ora avrà un giorno in meno (disponibile) rispetto alla precedente, quindi ha a disposizione 363 giorni. Tuttavia essendo la nascita di una persona non influenzata del compleanno degli altri, nella teoria della probabilità si impara che due eventi del genere, affinchè accadano insieme hanno una probabilità del 364/365*363/365=0,9918, cioè del 99,18%.

Ricapitolando il ragionamento, quindi, con tre persone si ha la probabilità del 99,18% che queste tre siano nate in giorni diversi.

Procedendo analogamente, aggiungendo persone, magari evitando di fare troppi conti per niente (quindi provando ad aggiungere 4-5 persone ogni volta), dovresti arrivare a scoprire il numero di persone sufficiente per avere una probabilità maggiore al 50% che due di questa siano nate lo stesso giorno.

Dai conti, dovrebbe risultarti che sono necessarie 23 persone per avere una probabilità maggiore al 50%. Infatti moltiplicando le prime 23 frazioni (rappresentanti le probabilità che l’evento non si verifichi), come abbiamo fatto prima, si giunge a dire che con 23 frazioni il prodotto è 0,493. Ossia con 23 persone c’è il 49,3% di probabilità che due non siano nate lo stesso giorno.

Quindi in questa situazione ci sarà il 50,7% di probabilità che due siano nate lo stesso giorno, proprio come volevamo noi.

Bene, il percorso che abbiamo dovuto fare per arrivare alla soluzione non è stato molto breve, tuttavia le analisi fatte non hanno nulla di complicato al loro interno.

Quindi se nella lettura hai accumulato dubbi, richieste o suggerimenti, ti invito a commentare o a contattarmi con l’apposito form disponibile qui. Anche una rilettura potrebbe esserti utile ;).

Ti sarei molto grato anche se condividessi l’articolo con i tuoi amici.

Se vuoi un’ulteriore spiegazione puoi guardare anche questo video che trovo molto ben fatto:

Spero di essere stato abbastanza chiaro, alla prossima!