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A Zenone di Elea (450 a.C.) viene attribuita la creazione di numerosi paradossi famosi e forse il più noto è il paradosso di Achille e la tartaruga (Achille era il grande eroe greco dell’Iliade di Omero). Ha ispirato molti scrittori e pensatori nel corso dei secoli, in particolare Lewis Carroll (vedi Paradox di Carroll) e Douglas Hofstadter, entrambi i quali hanno scritto dialoghi espositivi che coinvolgono la Achille e la tartaruga.

Varie formulazioni del Paradosso di Achille e la tartaruga

La traduzione della versione originale di questo paradosso di Zeonone è più o meno come scritto qui sotto:

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La tartaruga ha sfidato Achille ad una gara, sostenendo che avrebbe vinto a patto che Achille gli avesse dato un piccolo vantaggio. Achille rise di questo, perché ovviamente era un potente guerriero ed era rapido, mentre la tartaruga era pesante e lenta.

“Di che grande vantaggio hai bisogno?” Chiese sorridendo alla tartaruga.

“Dieci metri”, rispose quest’ultimo.

Achille rise più forte che mai, “Perderai sicuramente, amico mio”, disse alla Tartaruga, “ma facciamola pure questa gara, se lo desideri.”

“Al contrario”, disse la tartaruga, “vincerò e posso dimostrartelo con una semplice discussione”.

“Continua allora”, rispose Achille, con meno sicurezza di prima. Sapeva di essere un’atleta superiore, ma sapeva anche che la Tartaruga era più furba e acuta, e aveva perso molte discussioni al limite dell’assurdo con lei in passato.

“Supponiamo” iniziò la Tartaruga, “che mi dai un vantaggio di 10 metri. Pensi che saresti in grado di percorrere questi 10 metri di svantaggio iniziale rapidamente?”

“Molto rapidamente” affermò Achille.

“E quando avrai percorso quei 10 metri, fino a dove pensi che sarò arrivata?”

“Forse avrai fatto un metro, non di più”, disse Achille dopo un momento di riflessione.

“Molto bene”, rispose la tartaruga, “quindi ora c’è un metro tra di noi. E pensi di colmare quella distanza molto velocemente? ”

“Molto rapidamente, davvero!”

“Eppure, in quel momento sarò andata ancora un po’ più avanti, saresti ancora in grado di recuperare quella distanza, giusto?”

“Sì”, disse Achille lentamente.

“E mentre lo fai, sarò andata ancora un po’ più lontano, in modo che tu debba poi recuperare ancora la nuova distanza”, continuò la Tartaruga senza intoppi.

Achille non disse nulla.

“Ecco quindi che inizi a realizzare che, in ogni momento, devi recuperare una distanza tra noi, inoltre io – nel tempo a te richiesto per recuperarmi – percorrerò ancora nuova strada, per quanto piccola, così che dopo tu debba recuperare di nuovo.”

“In effetti, deve essere così”, disse stancamente Achille.

“E così non potresti mai raggiungermi” concluse la Tartaruga con simpatia.

“Hai ragione, come sempre”, disse tristemente Achille – e concesse la corsa.

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Il paradosso di Zenone può essere riformulato in maniera “più moderna” come segue. Supponiamo che io voglia attraversare la stanza. Innanzitutto, ovviamente, devo percorrere metà della distanza. Quindi, dopo, devo coprire metà della distanza rimanente. E dopo devo coprire metà della distanza rimanente. E poi devo coprire metà della distanza rimanente… e così via per sempre. La conseguenza è che non riesco mai ad arrivare dall’altra parte della stanza.

Quest’immagine, seppur in inglese penso ti chiarirà il concetto:

Nell’immagine qui sopra si può vedere un criceto che vuole rasarsi il pelo, va quindi in un negozio dove ad ogni sessione gli radono metà del pelo che ha attualmente…esattamente come Achille non prende mai la tartaruga, anche in questo caso il criceto non potra mai essere completamente rasato, dato che:

$\Big(\frac{1}{2}\Big)^n>0\;\;\;\forall n\in\mathbb{N}.$

Una delle descrizioni più famose del paradosso è dello scrittore argentino Jorge Luis Borges:

«Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla».

Jorge Luis Borges

Ovviamente questo è un paradosso perchè porta a risultati parecchio controintuitivi. Se ti interessa sapere qualcosa di più approfondito sulla nozione di Paradosso e su altri esempi avevo scritto questi articoli a riguardo:

• Il paradosso di Monty Hall
• Paradossi matematici: dalla moltiplicazione di sfere ai teoremi di incompletezza
• Che cos’è un paradosso?
• Paradosso del compleanno
• Paradosso del mentitore
• Paradosso di Russel (o del barbiere)

Vediamo però ora i problemi che si incontrano quando si vuole “verificare” questo paradosso nel mondo reale.

Il paradosso di Achille e la tartaruga nel mondo reale

Quando si parla di matematica del continuo e di numeri reali, tutto quanto detto nelle varie formulazioni del paradosso torna. Infatti i numeri reali godono di una proprietà davvero importante, riassunta nel cosiddetto Assioma di completezza.

Data una qualunque coppia $A,B\subset\mathbb{R}$, entrambi non vuoti e tali che $a\leq b$ $\forall (a,b)\in A\times B$, allora esiste un numero reale $c$ tale che $a\leq c \leq b,\;\;\forall (a,b)\in A\times B.$ Questo $c$ è detto separatore degli insiemi $A$ e $B$

Assioma di Completezza numeri reali

Questo implica che ogni insieme limitato superiormente ammetta estremo superiore e se limitato inferiormente ammetta estremo inferiore e, in parole povere, dice che la retta reale è senza buchi.

Come può questo aiutarci a costruire il paradosso di Achille e la tartaruga?

Beh, semplicemente perché in questo modo sappiamo che di ogni distanza possiamo calcolarne una frazione e quindi dire che Achille non raggiungerà mai, lungo la retta reale, la tartaruga.

Cosa succede invece nel mondo reale? Facciamola molto semplice, supponiamo che i piedi di Achille sia di 20cm per semplicità. Bene, supponiamo in oltre che il vantaggio iniziale sia di 10 metri e che Achille sia 2 volte più veloce della tartaruga. Ottimo, vediamo cosa succede nella gara:

1. Quando Achille percorre i 10 metri iniziali di vantaggio, la tartaruga ne ha fatti altri 5 (“nuovo svantaggio”)
2. Quando recupera anche questi 5, la tartaruga ne ha fatti altri 2.50m
3. In seguito, nel tempo che Achille recupera questi 2.5m la Tartaruga ne fa 1.25m
4. Poi percorrono rispettivamente 2.5m e 0.625m
5. Quindi 0.625m e 0.3125m (Anche se sarebbero difficili da misurare, supponiamo però di riuscire senza errori)
6. Eccoci al punto critico: ora Achille ne fa 0.3125 e la tartaruga 0.15625‬m

Ottimo, il distacco tra i due a questo punto è quindi di 0.15625m, che è meno della lunghezza del piede di Achille. Supponiamo che tutte le misurazioni delle distanze sono state prese dal tallone di Achille, ciò vuol dire che la punta dei suoi piedi ha ormai raggiunto la tartaruga.

Ora, sono consapevole che è un po’ buttato lì questo ragionamento, ma con i numeri volevo farti vedere come nella realtà questo sia davvero impossibile, dato che gli esseri viventi non sono puntiformi e non siamo nemmeno in grado di dividere infinitamente bene una distanza. Quindi nel mondo reale prima o dopo i due sarebbero allo stesso livello.

Si può dimostrare anche matematicamente che nella vita reale Achille avrebbe raggiunto la tartaruga in tempo finito, come vedremo qui di seguito (il ragionamento è preso da Wikipedia ma è molto naturale procedere in questo modo).

Il tutto sarà basato sullo studio di una serie geometrica. Definiamo con $T$ il tempo necessario ad Achille per raggiungere la tartaruga, come possiamo scrivere questo tempo?

$T=t_0+t_1+t_2+….$

dove $t_i$, $i\in\mathbb{N}$ sono i tempi necessari ad Achille per colmare l’$i-$simo divario con la tartaruga. Quindi a priori sono infiniti contributi da sommare. Andremo però a mostrare, grazie a qualche semplice legge fisica, che nel concreto questa somma è in realtà finita. Definiamo però ora un sistema di riferimento in cui lavorare:

• Fissiamo l’origine dell’asse $x$ alla posizione iniziale di Achille, mentre quella iniziale della tartaruga la diciamo $L_0$.

• Definiamo con $L_1,L_2,…$ le successive distanze, quelle colmate in $t_1,t_2,…$ dall’eroe.

• La velocità di Achille è definita $v_A$ mentre quella della tartaruga $v_T$, dove chiaramente $v_A>v_T$ altrimenti possiamo già concludere che l’eroe non raggiungerà mai l’avversaria.

• Nel paradosso è supposta l’esistenza di una costante $d$ tale che $\frac{v_T}{v_A}=d$, ad esempio $d=1/10$ se Achille va 10 volte più veloce della tartaruga.

La legge del moto rettilineo uniforme afferma che $x_A(t)=s_0 + v_At = v_At$ visto che fissiamo la posizione iniziale di Achille a 0. Per la tartaruga vale invece $x_T(t) = L_0 + v_Tt$. Il tempo $t_0=\frac{L_0}{v_A}$ è quello richiesto ad Achille per percorrere il distacco iniziale di $L_0$.

Quanto spazio ha percorso la tartaruga in questo tempo $t_0$? Beh, basta usare la legge oraria:

$L_1 = x(t_0)-x(0) = L_0+v_Tt_0-L_0=v_Tt_0=v_T\frac{L_0}{v_A}.$ A questo punto si può procedere calcolando $t_1$, ovvero il tempo necessario ad Achille per percorrere $L_1$, vedendo che ancora si ha $t_1=\frac{L_1}{v_A}$, tempo durante il quale la tartaruga si muoverà di $L_2 = v_Tt_1$ e così via per gli spostamenti futuri…

Quindi

$t_n=\frac{L_n}{v_A} = \frac{v_Tt_{n-1}}{v_A} =t_{n-1}\frac{v_T}{v_A} = dt_{n-1},$ da cui segue per ragionamento induttivo, che $t_n=d^nt_0$.

Eccoci quindi quasi alla conclusione, riassembliamo i pezzi per ricavare

$T = t_0+t_1+t_2+…=t_0+dt_0+d^2t_0+…+d^nt_0+… = \sum_{n=0}^{+\infty} d^nt_0 = t_0 \sum_{n=0}^{+\infty} d^n $

che è effettivamente una serie geometrica. Siccome $d<1$, si ha che essa converge e il valore a cui converge sarà:

$T=t_0\frac{1}{1-d}=t_0\frac{1}{1-v_T/v_A} = \frac{v_At_0}{v_A-v_T}=\frac{L_0}{v_A-v_T}<+\infty.$

Eccoci a concludere quindi che nel mondo reale, i due si incontreranno dopo un tempo $T$ che è finito e, chiaramente, dopo questo istante Achille supererà la tartaruga. Una cosa che ci tengo a farti notare, più $v_A-v_T$ è piccola, ovvero le due velocità sono simili, più il tempo necessario a pareggiare le posizioni cresce.

Un’altra cosa interessante è che se, per assurdo $v_A<v_T$ otterremmo un tempo $T<0$, che può essere interpretato nel senso che nel passato la tartaruga era dietro ad Achille ma l’ha superato.

Questa è una dimostrazione del perché questo è considerabile un paradosso. Infatti abbiamo che il risultato matematico è controintuitivo rispetto a quello che ci aspettiamo accada (e accade realmente).

La dimostrazione si basa unicamente sullo studio delle serie geometriche convergenti. Ah, se non conosci questi oggetti, puoi studiarli qui: Serie Geometrica – Youmath.

Però il ragionamento fatto dalla tartaruga fila nel momento in cui ci si pensa, giusto?