La scoperta dei numeri irrazionali

Un numero irrazionale (del latino “ratio” ovvero rapporto) è un numero che non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi. Non sottovalutate la loro importanza, poiché sono fondamentali per la matematica. Ogni volta che fate calcoli con funzioni logaritmiche, esponenziali, trigonometriche e perfino polinomiali è molto probabile che spuntino fuori. Senza di loro nessuna di queste operazioni sarebbe possibile. Inoltre, a sottovalutare la loro importanza manchereste di rispetto al povero Ippaso di Metaponto, che diede letteralmente la vita per loro. Scopritore dei numeri irrazionali, fu condannato a morte proprio a causa loro.

irrazionale

Un po’ di storia

Per capire bene perché la loro scoperta causò grandi problemi, bisogna per forza fare un po’ di Storia e di Filosofia. Torniamo indietro, circa tra il VI e il V secolo a.C. a Crotone, nella Magna Grecia (ai giorni nostri, Italia). Lì visse Pitagora: illustre filosofo, matematico, astronomo, scienziato, uomo politico e capo religioso. Per farvi capire quanto quest’uomo fosse avanti anni luce, considerate che fu il primo a capire quanto bene la matematica descrivesse la realtà. Da questo concetto è nata la fisica.

Come può essere che la matematica, un prodotto del pensiero umano indipendente dall’esperienza, sia così mirabilmente adattata agli oggetti della realtà?

Albert Einstein

Se anche Einstein si domandava una cosa del genere, non dev’essere stato così banale esserci arrivati per primi, no? Questa è una delle domande che più mi hanno personalmente affascinato, e se vi interessa saperne di più vi consiglio assolutamente di leggere “L’Universo matematico: La ricerca della natura ultima della realtà” di Max Tegmark.

Ma torniamo al nostro Pitagora. Fu il fondatore a Crotone di una scuola, la Scuola Pitagorica. Essa si presentava come setta mistico-religiosa, comunità scientifica e partito politico.

Pitagora
copia di un busto del I sec a.C. raffigurante Pitagora

La loro dottrina, come recita prontamente il mio vecchio libro di filosofia delle superiori, si fondava principalmente su questo concetto:

Alla base del principio pitagorico vi è un ordine misurabile. Affermare che le cose sono costituite di numeri e che quindi tutto il mondo è fatto di numeri significa che la vera natura del mondo, come delle singole cose, consiste in un ordinamento geometrico esprimibile in numeri (misurabile). Infatti, mediante il numero è possibile spiegare le cose più disparate dell’esperienza: dal moto degli astri al succedersi delle stagioni, dalle armonie musicali al ciclo della vegetazione. Per cui, anche ciò che sembra lontano dal numero risulta, a ben guardare, riconducibile a una struttura quantitativa e quindi misurabile. Questa è la grande importanza dei Pitagorici, che per primi hanno ricondotto la natura, o meglio il carattere che fa della natura qualcosa di oggettivo (di veramente reale), all’ordine misurabile; e hanno riconosciuto in quest’ordine ciò che da al mondo la sua unità, la sua armonia, quindi anche la sua bellezza.

Da questo potete intravedere i danni che facevano i numeri irrazionali: non sono più esprimibili come numeri interi, né tanto meno come rapporti. Di conseguenza, non sono più misurabili. Vanno a minare dalle fondamenta la dottrina Pitagorica, facendola crollare interamente. Se volete vedere la faccenda in modo un po’ analogo ma forse più chiaro, sostituite Galileo a Ippaso e l’eliocentrismo ai numeri irrazionali. Le affermazioni di Galileo erano problematiche per la Chiesa, e per questo fu costretto ad abiurare. Le dimostrazioni logiche sono pericolose per le dottrine dogmatiche.

Il primo numero irrazionale

I pitagorici avevano fatto moltissime scoperte, la più conosciuta di tutte è sicuramente il teorema di Pitagora. Grazie a questo, i triangoli rettangoIi non avevano più segreti ormai. Con pochi calcoli, si potevano sapere le misure precise di cateti e ipotenusa. Inoltre potevano calcolare le terne pitagoriche, ovvero terne di 3 numeri interi che possono essere usate per creare triangoli rettangoli. Queste erano molto utili e avevano applicazioni pratiche, e alcune erano conosciute già da molto.

Già gli antichi Babilonesi conoscevano le terne pitagoriche, ed esse venivano utilizzate per creare angoli retti in modo molto preciso. Se per esempio prendete una corda e la dividete in 12 parti uguali, e ci costruite un triangolo i cui lati misurano 3,4 e 5, ottenete un angolo retto. Per noi adesso è abbastanza scontato, ma allora avere un goniometro che ti segnava i 90° con precisione era molto comodo, soprattutto nell’ambito delle costruzioni.

Utilizzando il teorema di Pitagora, però, venivano fuori dei problemi. Le radici di quadrati perfetti erano molto semplici da calcolare, ma le altre? Una questione aperta, per esempio, era lo studio della diagonale del quadrato. Ci si raccapezzavano in molti, tra i pitagorici. Se considerate un quadrato di lato 1, ottene facilmente che la diagonale è $\sqrt{2}$. Per noi è un problema facile, per i pitagorici no.

Cercavano costantemente di capire in che rapporto fossero lato e diagonale, senza ottenere risposta. Il problema stava proprio nel loro sistema numerico: usando solo numeri interi e frazioni, non si può trovare risposta. Proprio mentre stava lavorando su questo problema, Ippaso di Metaponto fece una scoperta incredibile: se si prova a calcolare il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato, si ottiene un paradosso! Non importa quanti sforzi matematici si facessero, le due grandezze erano incommensurabili. Detto in termini semplici, se sono incommensurabili, il rapporto tra i due è un numero irrazionale. Ippaso aveva appena scoperto dei nuovi numeri, “incommensurabili”.

Questa scoperta era assolutamente pericolosa. Inoltre, nessuno dei Pitagorici riusciva a contrastare questa dimostrazione. La matematica e la logica sono scienze esatte, c’è poco da fare. Capirete anche voi che l’esistenza di grandezze incommensurabili, per una dottrina spiegava tutto l’universo partendo dall’ordine commensurabile matematico di tutta la realtà, era proprio un bel problema. Ippaso divulgò questa scoperta, e venne condannato dai propri compagni a morire affogato. Purtroppo, la dimostrazione che fece Ippaso è andata perduta, e sappiamo solamente che era geometrica e non algebrica, ma nulla di più.

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il problema di Ippaso

Vi riporto la dimostrazione che si studia adesso ai corsi di analisi. Questa è svolta per assurdo, cioè parto dal presupposto che qualcosa sia possibile e se poi procedo per semplici deduzioni logiche mi imbatto in un paradosso. Dunque l’ipotesi iniziale era sbagliata. Per farvi un esempio analogo, è come quando in una partita di scacchi sacrificate un pezzo per mangiarne un altro all’avversario. L’unica differenza è che un matematico non sta offrendo un solo pezzo, ma tutta la partita. Se volete approfondire meglio questa tipologia di dimostrazioni, vi consiglio questo articolo incentrato su questo tema: https://www.mathone.it/dimostrazione-per-assurdo/

Quindi, facciamo la nostra ipotesi per assurdo: esiste una frazione tale che $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ con $a$ e $b$ ridotti ai minimi termini. Attenzione al fatto dei minimi termini che è importante: $a$ e $b$ non possono essere entrambi pari, per definizione. Bene, adesso vediamo se vengono fuori dei paradossi. Eleviamo tutto al quadrato e otteniamo $a^{2}=2b^{2}$. Notiamo subito che $a^{2}$ è pari, poiché è 2 volte un qualcosa. Adesso ricordiamoci della cosa dei minimi termini: $b^{2}$ deve per forza essere dispari.

Però notiamo una cosa: il quadrato di un numero pari è pari ($(2k)^{2}=2(2k^{2})$), il quadrato di un numero dispari è dispari ($(2k+1)^{2}=2(2k^{2}+2k)+1$), quindi dato che $a^{2}$ era pari, anche $a$ è pari, e lo possiamo scrivere come $a=2k$. Di conseguenza, $a^{2} = 4k^{2}$. Se sostituiamo nell’equazione iniziale, otteniamo che $4k^{2}=2b^{2}$. Qua iniziamo a intuire il problema, se dividiamo per 2 otteniamo che $b^{2}=2k^{2}$ quindi anche $b$ è per forza pari. Aspetta, avevamo detto che $b$ doveva essere per forza dispari, come può adesso essere per forza pari? Può essere sia pari che dispari contemporaneamente? No, e abbiamo trovato il paradosso. Quindi l’ipotesi iniziale “Esiste una frazione $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$” era errata.

Una dimostrazione priva di matematica: è irrazionale?

Ora che forse ho reso un po’ più chiaro il concetto di “dimostrazione per assurdo” utilizzando un po’ di matematica molto familiare, facciamo un passo avanti. Anche se la dimostrazione esatta è andata perduta, possiamo farci un’idea di come potesse essere quella di Ippaso. I pitagorici, infatti, usavano molto di più la geometria, piuttosto che l’algebra. Ma cosa significa esattamente? Come si potrebbe dimostrare geometricamente che un numero è irrazionale? Ma è molto semplice, sempre per assurdo!

Ripartiamo dal nostro caso del lato e della diagonale di un quadrato. Per il teorema di Pitagora sappiamo che il quadrato costruito sulla diagonale è uguale alla somma dei due quadrati costruiti sul lato. Chiamiamo il quadrato più grande $v$ (che sta per verde) e i due più piccoli $r$ (rosa). Sappiamo che $v=r+r$. Quindi $v=2r$. N.B. sappiamo che $\frac{v}{r}=2$ quindi se facciamo il rapporto dei lati di questi quadrati, avremo che $\frac{lv}{lr}=\sqrt{2}$. Bene, ora ci manca una ipotesi per assurdo, e il gioco è fatto.

Questa è la parte importante: sappiamo che il rapporto dei lati ci darà $\sqrt{2}$. Questo rapporto, essendo una frazione, sarà riducibile fino a un certo punto. Se $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, $a$ e $b$ saranno le misure più piccole possibili dei lati di questi quadrati. Una frazione non può essere infinitamente riducibile, quindi devono esistere due quadrati, uno di lato $a$ e uno di lato $b$ tali che l’area di uno è uguale a due volte l’area dell’altro.

Quindi la nostra ipotesi per assurdo è che esistono dei quadrati, tali per cui 2 volte l’area di uno sia uguale all’area dell’altro e sappiamo che la soluzione deve essere la più piccola di tutte. Immaginiamo quindi di avere due quadrati $r$ e $v$ tali che $2r=v$ e sono i due quadrati più piccoli possibili. Ora proviamo a sovrapporli, come nella figura qui sotto.

numeri irrazionali

Per ipotesi, sappiamo che l’area dei 2 rosa è uguale a quello verde. Questo significa che l’area del quadrato rosso interno, è uguale all’area dei 2 quadrati verdi. E qui c’è un grosso problema, perché abbiamo appena detto che doveva per forza essere la soluzione più piccola possibile, ma ne abbiamo appena trovata una ancora più piccola. Paradosso! Inoltre, il procedimento può essere ripetuto infinite volte, ottenendo quadrati sempre più piccoli. Pensate al significato matematico: se posso trovare quadrati infinitamente piccoli, anche i loro lati saranno infinitamente piccoli. Ma se, come abbiamo detto prima, il rapporto dei lati era $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$, significa che posso prendere $a$ e $b$ sempre più piccoli. Ma una frazione non può essere infinitamente riducibile, quindi abbiamo il nostro paradosso, et voilà.

Altri numeri irrazionali

Bene, abbiamo scoperto che $\sqrt{2}$ è un numero irrazionale. Pensate abbia intenzione di fermarmi qui? Forse non mi conoscete abbastanza. I pitagorici scoprirono anche che $\sqrt{5}$ è irrazionale, ma si fermarono qui. Il problema è che facevano matematica mediante la geometria, e questo rende complesso generalizzare. A partire dalla scoperta di Ippaso, successive scoperte matematiche hanno fornito nuovi mezzi per lo studio dei numeri irrazionali, ma la cosa più sorprendente è che il metodo utilizzato è sempre quello usato dai greci: la dimostrazione per assurdo. Le successive scoperte in questo campo si devono a Euclide, poi tutti matematici di epoca molto più recente. Ma così come Ippaso nel 500 a.C. faceva i suoi procedimenti, anche adesso, a distanza di 2500 anni, usiamo lo stesso procedimento. Vediamone alcune.

Tutte le radici quadrate

Ogni $\sqrt{n}$ è irrazionale, se $n$ non è un quadrato perfetto. Il metodo è molto simile a quello appena visto, ma ci viene in aiuto il teorema fondamentale dell’aritmetica.

Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione è unica, se si prescinde dall’ordine in cui compaiono i fattori.

In particolare, ci interessa un aspetto di questo teorema. Se $a$ è rappresentabile in un singolo modo come prodotto di primi, sappiamo per certo che $a^{2}$ avrà esattamente la stessa rappresentazione, solo che con ogni primo elevato al quadrato. Dimostriamo facilmente quindi che se $a^{2}$ è divisibile per $k$ (N.B. $k$ non deve essere un quadrato perfetto), sicuramente anche $a$ lo sarà. Notiamo un’altra cosa, se $k$ divide $a$, allora $a^{2}$ sarà addirittura divisibile per $k^{2}$. Abbiamo tutto quello che ci serve.

Ipotesi per assurdo: $\sqrt{k}=\frac{a}{b}$, ridotta ai minimi termini ($k$ non è un quadrato perfetto). Eleviamo al quadrato e otteniamo che $a^{2}=kb^{2}$. A questo punto sappiamo che $a^{2}$ è multiplo di $k$ e di conseguenza divisibile per $k^{2}$. Quindi, $a^{2}=k^{2}n$. Ora se sostituiamo nell’equazione di prima otteniamo che $k^{2}n=kb$. Adesso non basta altro che dividere per $k$ e otteniamo che $kn=b$ quindi anche $b$ è divisibile per $k$. Questo è il nostro paradosso: $a$ e $b$ erano ridotti ai minimi termini, ma adesso sono entrambi divisibili per $k$. Logicamente è un assurdo, e $\sqrt{k}$ è dunque irrazionale. Attenzione: tutto il nostro ragionamento funzionava bene se e solo se $k$ non era un quadrato perfetto. Ma è perfettamente logico: in questo caso, la dimostrazione di irrazionalità casca, e la radice non è irrazionale, ma un numero intero.

Il numero $e$ è irrazionale?

Ora facciamo una piccola pausa. Il problema è che le dimostrazioni iniziano a diventare abbastanza difficili. Fino a qui, credo siano state tutte abbastanza comprensibili e soprattutto “visualizzabili”. Le altre che ho trovato iniziano ad essere lunghette e piene zeppe di matematica, difficili da seguire leggendo. Se l’argomento vi interessa, vi consiglio di andare a spulciare su youtube, perché vedere una dimostrazione è più efficace che leggerla. Vi lascio qui sotto un assaggio di un’ultima dimostrazione, e un link a un video youtube. La dimostrazione è sull’irrazionalità del numero e, scoperta nel 1737 da Eulero. Ve ne riporto una più semplice, opera di Cohn nel 2006. Se siete stufi di dimostrazioni, vi lascio un articolo molto interessante sul numero e, che merita sicuramente una letta: https://www.mathone.it/numero-di-nepero/

Torniamo a noi. Prima di addentrarci in quest’ultima irrazionalità vi serve solo sapere una formula per calcolare $e$. Poi possiamo iniziare.

nepero irrazionale
Formula per il numero di Nepero

Ormai credo che avrete le idee ben chiare: come possiamo dimostrare che e è un numero irrazionale? Per assurdo, che domande. Allora ipotizziamo che $e = \frac{a}{b}$. Sostituiamo subito la formula vista prima e otteniamo che $\frac{a}{b}=1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + … + \frac{1}{n!}$. Adesso separiamo in due il termine di destra fin dove il denominatore è $b!$ e otteniamo:

$ \frac{a}{b}=(qualcosa) + \frac{1}{(b+1)!} + \frac{1}{(b+2)!} +…+ \frac{1}{(b+n)!}$

Adesso moltiplichiamo da entrambe le parti per $b!$ In particolare, vogliamo vedere se quello che otteniamo è un numero intero o no. Analizziamo la parte di sinistra, $ \frac{a}{b}$ e se moltiplichiamo per $b!$ otteniamo $\frac{a}{b}*b!$ ovvero $a(b-1)!$ che è un numero intero. Ora guardiamo la parte a destra, che avevamo scritto come: (qualcosa) $+ \frac{1}{(b+1)!} + \frac{1}{(b+2)!} +…+ \frac{1}{(b+n)!}$. Guardiamo solo il primo pezzo, che io ho comodamente chiamato “qualcosa”. Era tutta la prima parte della formula di Nepero, quindi:

$(qualcosa) = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + … + \frac{1}{b!}$ a questo punto, è facile notare che $b!$ è divisibile per ogni denominatore ($b!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot …\cdot b$) quindi ogni singolo addendo è un numero intero. Di conseguenza, anche il secondo pezzo è un numero intero. Adesso manca solo l’ultimo pezzo: $b!(\frac{1}{(b+1)!}+…+\frac{1}{(b+n)!})$. Questo è un po’ più complesso, ma potete vedere facilmente che è per forza minore di 1, visto che state sommando frazioni che diventano esponenzialmente più piccole. Io me la sono cavata con una sola frase, in modo molto poco rigoroso, ma solo per risparmiarvi un po’ di tempo.

Adesso mettiamo assieme i pezzi. Inizialmente avevamo:

$ \frac{a}{b}b! = (qualcosa) + b!(\frac{1}{(b+1)!}+…+\frac{1}{(b+n)!}) $ e sappiamo che il primo e il secondo sono numeri interi, mentre l’ultimo è sicuramente minore di 1, quindi:

un numero intero = un numero intero + un numero minore di 1

è forse possibile? Ovviamente no, è un paradosso. La nostra dimostrazione per assurdo è completa, il numero e è irrazionale.

Approfondimenti

Se siete arrivati fin qui, vi faccio i miei complimenti. Sappiate che in questo articolo abbiamo visto solo la punta dell’iceberg. Potrei tornare sull’argomento, parlarvi di altri numeri irrazionali o addirittura dei numeri trascendentali, ma forse in futuro. Intanto vi lascio un paio di video youtube se volete approfondire l’argomento, ma vi avviso che sono in inglese e usano matematica un po’ più complessa.

Fonti

Ci tengo a fare una piccola precisazione. Non sono uno storico, e sicuramente le mie fonti non saranno super precise. Inoltre, pure uno storico affermato non saprebbe precisamente dirvi cosa succedeva nella Magna Grecia, per motivi che credo immaginerete. Tra le diverse ipotesi e versioni, ho deciso di raccontarvi quella che personalmente trovavo più convincente. Potrebbero esserci imprecisioni e errori. http://lcalighieri.racine.ra.it/pescetti/ricerca_geometrie_non_euclidee_2004_05/somm_mate%20greci/mategreci5.htm

https://it.wikipedia.org/wiki/Ippaso_(filosofo)

https://it.wikipedia.org/wiki/Scuola_pitagorica

https://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/11/24/ippaso-2-e-i-falsi-storici/

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  1. secondo me ti sei inserito nella tradizionale via (mai lasciare la strada maestra) dei tuoi /nostri maestri o prof.
    Consentimi di dirti tuttavia che c’è un modo per dimostrare che un numero offre un ‘immagine irrazionale quando non si trova nello spazio dei numeri naturali.
    In fin dei conti nelle scuole si insegna indirettamente ed implicitamente che il Numero(intendo per ora quello naturale) ha più nature ed il suo valore quantitativo dipende dalla sua posizione.infatti noi sappiamo che una cifra nel computo di una somma ha un valore diverso e così anche in geometria.
    Ma qui mi riallaccio alla dimostrazione del numero irrazionale.
    Pitagora sapeva bene che esistevano ma non voleva perdere la fama del Maestro e non trasmetteva il sapere ai suoi “acusmatici”.
    Egli infatti il suo teorema (3.4.5) era fondamento di altre applicazioni ma lui lo scrisse in altra forma affermando e scrivendo che la somma dei primi due quadrati meno il terzo quadrato è uguale a zero. ovvero ; (a^2+b^2)-c^2=0 ; domandone: che cosa rappresenta quello zero al secondo membro? Risposta: elementare Davide, il coseno di 90°! Non lo sapevi che l’angolo opposto al diametro è un angolo retto e che per dimostrare graficamente è necessario che il triangolo in questione sia inscritto nel cerchio di diametro/ipotenusa=c=5? e qui comprendi anche perché Pitagora costruisce la sacralità di tale numero.
    il povero Ippaso aveva compreso la questione e lo misero al suo posto:poveraccio!.
    Pitagora lo sapeva . ma il resto della Storia te la racconto nella seconda puntata.