I numeri sono uno strumento spesso utilizzato in matematica. Nonostante non siano il focus principale della matematica, quella vera intendo 😉 , ritengo importante condividere la storia e qualche informazione interessante sulle principali costanti numeriche e numeri interessanti. Iniziamo questa serie, probabilmente interminabile, di articoli sui numeri.
Qual è il miglior modo di iniziare la raccolta di articoli? Probabilmente non ce n’è uno più interessante di altri, io però apprezzo molto il numero di Nepero ed il Pi Greco (che sarà il prossimo 😉 ). Pertanto ho deciso di inizare da qui, per qualsiasi dubbio o chiarimento, non farti problemi a mandarmi una mail a list@mathone.it o lasciare un commento qui sotto.
Ora ti auguro una buona lettura e ti ricordo che se sei interessato/a a ripetizioni di matematica sia per corsi universitari che per le scuole superiori, puoi contattarmi a list@mathone.it così posso vedere se riesco ad aiutarti 🙂
Prima di proseguire, ti lascio un libro molto interessante su Eulero e la bellezza della matematica: L‘equazione di Dio. Eulero e la bellezza della matematica.
Buona lettura.
Storia e utilizzi
Insieme a Pi greco e all’unità immaginaria i, il numero di Nepero è uno dei numeri più affascinanti della Matematica.
Viene chiamata costante di Nepero, in onore del matematico scozzese John Napier perché sua è l’introduzione dei logaritmi. Talvolta viene definito numero di Eulero perché egli fu il primo ad indicare tale costante con la lettera e.
Il numero e è un numero non periodico, irrazionale (non esprimibile con una frazione) e trascendente (cioè non può essere ottenuto come soluzione di alcuna equazione polinomiale a coefficienti razionali).
E’ un numero che gioca un ruolo fondamentale non solo in matematica, ma in tante applicazioni. Ad esempio nello studio del decadimento radioattivo, della crescita di una popolazione, della diffusione di un’epidemia e soprattutto di problemi economici.
Tempo di decadimento radiattivo:
N= Atomi radioattivi finali N0= Atomi radioattivi iniziali
t= Tempo trascorso τ= Emivalore dell’atomo radioattivo
Iperbole equilatera 1/x :
L’area sottesa tra l’iperbole e i punti (1;0) (e;0) è uguale a 1
Il primo riferimento ad e in letteratura risale al 1618 ed è contenuto nella tavola di un’appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. La prima espressione di e come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli (uno dei tanti della famiglia 😉 ):
Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.
La sua prima citazione, rappresentata con la lettera e compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera e per la costante nel 1727 e il primo uso di e compare nella Mechanica di Eulero (1736).
Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera e, poi l’uso di e si è fatto più comune. Oggi è usato come simbolo definitivo.
Si sostiene che e fosse usata:
- dai Greci, per la costruzione del Partenone,
- dagli Egizi, per la costruzione della Grande Piramide.
In realtà in queste costruzioni si trovano due lunghezze tipiche che hanno come rapporto il suo valore.
Per calcolare il valore di questo numero, esistono essenzialmente 2 metodi.
Il primo si basa sull’espressione:
Più grande è n, più questa espressione approssima il valore di e.
Per esempio,
per n = 1000, troviamo il valore 2,7169239322358924573830881219476….
per n = 10000, troviamo il valore 2,7181459268252248640376646749131….
per n = 100000 troviamo il valore 2,718268237174489668035064824426….
per n = 1000000 troviamo il valore 2,7182804693193768838197997084544….
e così via.
Si può dunque affermare che il valore numerico di e è:
Il secondo metodo si basa su di un’identità che coinvolge i fattoriali.
Nel caso di e vale questa relazione:
Se sei un po’ più avanzato con gli studi della matematica, sai che questo è anche lo sviluppo in serie di Taylor del esponenziale $e^x$.
Quindi e non può essere espresso sotto forma di frazione, ma, col metodo delle frazioni continue, si possono ricavare frazioni che approssimano sempre meglio il suo valore.
Prima di procedere con l’ultima curiosità, ti consiglio di guardare questo video davvero interessante 😉
Curiosità
| e ^iα = cos α + i sin α |
Questa è la formula di Eulero
Se α=Pi
| e ^iPi + 1 = 0 |
Essa rappresenta una specie di totem della conoscenza matematica poiché contiene i cinque numeri fondamentali:
0 lo zero, senza il quale la moderna notazione posizionale non sarebbe possibile;
1 il primo numero della successione dei numeri naturali;
Pi il rapporto tra circonferenza e diametro;
e il numero di nepero, base dei logaritmi naturali;
i l ‘unità immaginaria;
Contiene anche le operazioni fondamentali: prodotto, somma e il segno di uguaglianza; e pone in relazione la Geometria e l’Algebra, attraverso Pi, numero fondamentale per la geometria euclidea, e i, unità immaginaria.
Ci sarebbe molto altro da dire su questa costante, ma prefersco non caricare con troppe informazioni questo articolo. Magari approfondirò qualche suo aspetto in futuro.
Lascia un commento