I numeri complessi, spesso avvolti in un alone di mistero e incomprensione, costituiscono una parte fondamentale del panorama matematico e fisico. In questo articolo, ci immergeremo nel mondo affascinante dei numeri complessi e dei numeri immaginari, svelando il loro ruolo cruciale nelle scienze e nella comprensione del nostro universo.
Introduzione
Cominciamo con una definizione chiara e semplice:
Un numero complesso è una coppia di numeri reali $(a, b)$.
Puoi immaginare facilmente ogni numero complesso come un punto sul piano cartesiano, dove $a$ rappresenta la componente lungo $x$, e $b$ lungo $y$. Questa rappresentazione grafica è solo uno dei modi per visualizzare questi numeri complessi.
Ora, come ogni buona definizione matematica, questa ci permette di eseguire operazioni tra numeri complessi simili. Ad esempio, considera le coppie $(2, 3)$ e $(3, 7)$.
Possiamo introdurre il concetto di somma tra numeri complessi (nella forma di coppia ordinata) come segue: $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$. Questa è anche la regola della somma tra vettori del piano, e quindi il tutto è pienamente compatibile con l’interpretazione geometrica di questo insieme numerico.
La moltiplicazione in questa notazione è leggermente più complicata, ma vedremo presto delle rappresentazioni dei numeri complessi che semplificano questa operazione.
In generale, per moltiplicare due coppie ordinate $(a, b)$ e $(c, d)$, eseguiamo le seguenti operazioni:
$(a, b) \cdot (c, d) = (a\cdot c- b\cdot d, a\cdot d + b\cdot c)$.
Per esempio:
$(2, 3) \cdot (1, 2) = (2 \cdot 1 – 3 \cdot 2, 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1) = (-2, 7)$.
Ora che abbiamo compreso queste definizioni di base e le due operazioni di somma e prodotto, potrebbero sorgere alcune domande come:
- Perché abbiamo bisogno dei numeri complessi? Non ci bastano i numeri reali?
- Esiste una relazione tra numeri complessi ed i numeri reali?
- I numeri complessi possono risolvere problemi che i numeri reali non riescono a gestire?
- Le regole matematiche valide per gli altri tipi di numeri valgono anche per i numeri complessi?
Non cerchiamo di rispondere a tutte queste domande ora, ma iniziamo dal principio: perché abbiamo dovuto introdurre i numeri complessi?
Perchè sono stati introdotti?
Il motivo basilare principale è la risoluzione di equazioni del tipo $x^2+1=0$.
Ragionando in termini di soluzioni reali, siamo sempre (giustamente) stati abituati ad affermare che tale equazione sia priva di soluzioni. Il grafico della parabola $x^2+1$ sta infatti sempre ben sopra l’asse delle $x$, non intersecandola mai.
Nel campo dei numeri complessi, invece, tale equazione ha due soluzioni. Esse sono $(0,1)$ e $(0,-1)$. Vedremo meglio in seguito il perchè di tali risultati.
Prima è opportuno introdurre (o rinfrescare) il teorema fondamentale dell’algebra:
Il teorema fondamentale dell’algebra asserisce che ogni polinomio di grado $n>0$ (cioè non costante), a coefficienti reali o complessi del tipo $p(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2+…+a_nz^n$, ammette almeno una radice complessa o zero. Dal teorema segue che il polinomio $p$ ammette precisamente $n$ radici complesse contate con la loro molteplicità.
In parole povere, ogni equazione di grado $n>0$, ha esattamente $n$ radici. Esse possono essere complesse o reali.
Vediamo un semplice esempio:
Sia $p(z)=z^3-1=(z-1)(z^2 + z + 1)$. Questo polinomio ha chiaramente la radice reale $z=1$, mentre l’altro fattore in cui l’ho scomposta non ha radici reali dato che il discriminante è $1 – 4 = -3<0$. Pertanto, vista la validità del teorema fondamentale dell’algebra, l’equazione qui sopra ha 1 radice reale e 2 complesse, dato che abbiamo visto non possono essere reali.
Quindi il motivo primario per introdurre i numeri complessi è che i matematici si accorsero che per poter caratterizzare le soluzioni di un’equazione, i numeri reali non erano abbastanza.
Numeri reali
C’è qualche relazione tra numeri reali e numeri immaginari? Infatti vedendo le varie classi di numeri come insiemi, possiamo definire la seguente relazione di inclusione: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$, dove denotiamo con $\mathbb{C}$ i numeri complessi. Gli altri simboli nella precedente catena di inclusioni, rappresentano in ordine i numeri naturali, interi, razionali e reali.
Si può quindi chiaramente vedere che i numeri reali sono dei particolari numeri complessi. Più precisamente, sfruttando la definizione in quanto coppie ordinate, abbiamo che $\mathbb{R}=\{(a,0):\,\,a\in\mathbb{R}\}$. In altre parole, i numeri reali corrispondono alle coppie aventi seconda componente nulla.
Si noti infatti che tutte le operazioni tra numeri reali, come siamo abituati a vederli fin dalle medie, rimangono vere anche con le definizioni di somma e moltiplicazione:
$(a,0)+(c,0)=(a+c,0)$ e $(a,0)\cdot (c,0) = (a\cdot c, 0)$ .
Numeri immaginari
Dato che la prima componente ci permette di rappresentare tutti i numeri reali, risulta evidente che la “magia” viene fatta dalla seconda componente. Essa è infatti quella che ci permette di rappresentare più numeri rispetto ai soli reali.
Partiamo dal cercare di capire come sono fatti quei numeri in cui la prima componente è $0$, mentre la seconda un generico numero reale. Per farlo, direi di partire da un esempio interessante e anche un po’ sorprendente: $z=(0,1)$. Proviamo a calcolare $z^2$, ovvero $z\cdot z = (0,1)\cdot (0,1)$. Usando la definizione otteniamo immediatamente $z\cdot z = (-1,0)$. Ti sarà probabilmente tornato in mente che $(-1,0)$ è un numero reale, dato che la seconda componente, ed è anche negativo.
Questa è una cosa a cui non siamo abituati quando lavoriamo con i numeri naturali, dato che abbiamo calcolato il quadrato di un numero e abbiamo trovato un numero negativo. Tale proprietà è precisamente quella che permette di risolvere tutte le equazioni polinomiali con i numeri complessi, ma non con i numeri i reali!
I numeri della forma $(0,b)$, con $b\in\mathbb{R}$, sono chiamati i numeri immaginari.
In particolare si definisce unità immaginaria e la si caratterizza con il simbolo $i$ il numero immaginario $(0,1)$ che abbiamo studiato poco fa. Esso sarà fondamentale per esprimere i numeri complessi in una forma più pratica rispetto a quella geometrica, quella algebrica.
La forma algebrica dei numeri complessi
Finora abbiamo visto i numeri complessi come semplici coppie ordinate di numeri reali, ma questa rappresentazione, sebbene intuitiva da un punto di vista geometrico, non è la più pratica quando si tratta di effettuare operazioni tra numeri complessi.
Introduciamo quindi la seconda forma in cui si possono esprimere i questi numeri: la forma algebrica.
Dato il numero complesso $(a,b)$, la sua forma algebrica è semplicemente espressa come segue $a+ib$, dove $i$ è l’unità immaginaria vista sopra.
Infatti, dato che $i=(0,1)$, sia ha che $z=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+ib$, dove abbiamo abusato leggermente della notazione $a=(a,0)$.
Dato un numero complesso $z=a+ib$, possiamo poi definirne la parte reale $a=\mathrm{Re}(z)$, e la sua parte immaginaria $b=\mathrm{Im}(z)$.
I numeri complessi possono essere sommati e moltiplicati in maniera molto naturale quando espressi nella loro forma algebrica. Si può infatti considerare la $i$ come fosse una costante qualsiasi. L’unico accorgimento da avere è che la potenza dell’unità immaginaria segue un andamento particolare. Infatti abbiamo già visto $i^2=-1$. Da ciò possiamo anche ricavare $i^3 = i(i^2) = -i$, $i^4 = i(i^3)=i(-i) = – (i^2)= 1$ e per finire $i^5 = i(i^4)=i$. Da qui in poi le potenze si ripeteranno.
Facciamo quindi un paio di esempi:
- $(5+2i) + (3+8i) = (5+3)+i(2+8) = 8 + 10i$.
- $(5+2i)(3+8i) = (15+40i+6i+16(i^2))=(15+46i-16)=-1+46i$
Confrontare numeri complessi
Abbiamo coperto le basi dei numeri complessi, ma prima di concludere questa introduzione, ci sono alcune nozioni importanti da comprendere.
Hai sicuramente familiarità con il concetto di ordinamento per i numeri naturali. In altre parole, sono certo che sai che data una coppia di numeri naturali $a,b\in\mathbb{N}$, si può sempre decidere se $a=b$, se $a<b$ o se $a>b$. Anche per i numeri complessi possiamo definire una sorta di ordinamento.
Prendiamo $z_1 = a + ib$ e $z_2 = c + id$. Possiamo confrontarli in base al loro “modulo”, che è un numero non-negativo definito come:
$|z_1| = \sqrt{a^2+b^2}$ e $|z_2|=\sqrt{c^2+d^2}$.
Possiamo quindi confrontare la “lunghezza” dei due numeri $z_1$ e $z_2$, e giudicare chi tra i due è più grande.
Se hai seguito attentamente finora, potresti aver notato che il modulo $|z_1|$ rappresenta la distanza tra il punto $(a, b)\in\mathbb{R}^2$ e l’origine del piano cartesiano $(0,0)\in\mathbb{R}^2$, il famoso teorema di Pitagora.
Un concetto finale da menzionare è quello del numero complesso coniugato. Per un numero complesso $z = a + ib$, il suo coniugato è rappresentato come $z^* = a – ib$, talvolta indicato semplicemente con una barra sopra il numero, come $\bar{z}$. Una delle particolarità di questo complesso coniugato, è che $z\cdot z^*=(a+ib)\cdot (a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2-i^2b^2=a^2+b^2=|z|^2$.
Questi sono solo gli accenni iniziali a un mondo di conoscenze più profonde sui numeri complessi. Se ti va di approfondire il tema in autonomia, ti consiglio vivamente uno di questi libri:
- Visual complex analysis : https://amzn.to/3r57dWe
- Numeri complessi : https://amzn.to/3RelVVr
- Elementi di analisi complessa : https://amzn.to/45Ko9jF
Spero che questa introduzione ti abbia intrigato abbastanza da voler esplorare ulteriormente questo affascinante argomento. Intanto puoi anche leggerti quest’altro articolo sui numeri immaginari che ho scritto : La scoperta dei numeri immaginari
Alla prossima!
Lascia un commento