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Questo articolo è molto importante in quanto, visti un po’ i miei interessi, mi dedicherò particolarmente al mondo della matematica applicata e in questo settore il concetto di modello matematico è fondamentale.

Ora ti auguro una buona lettura e ti ricordo che se sei interessato/a a ripetizioni di matematica sia per corsi universitari che per le scuole superiori, puoi contattarmi a list@mathone.it così posso vedere se riesco ad aiutarti 🙂

Se alla lettura preferisci la visione di un video, puoi guardare la versione video di questo articolo qui:

In futuro probabilmente andremo ad analizzare qualche modello in particolare, come per esempio modelli per la diffusione di epidemie, per il trasporto del calore, per l’andamento del traffico o quant’altro… Quindi questa introduzione sarà fondamentale.

Cos’è un modello matematico?

Infatti, nelle scienze applicate e nel mondo fisico, i modelli matematici vengono utilizzati quotidianamente, soprattutto per dare una formalizzazione a quello che succede nella realtà e poter poi avere degli strumenti per capire cosa sta succedendo, cosa potrebbe succedere e perché.

Infatti, per modello matematico, intendiamo un insieme di relazioni e/o leggi matematiche in grado di catturare gran parte delle caratteristiche di un fenomeno e permetterci poi quindi di controllarne lo sviluppo, il cambiamento, l’andamento e poter trarre informazioni utili riguardo esso.

Da ciò segue naturalmente che il modello e la struttura matematica che si va a costruire è fondamentale che sia rilevante e coerente con il mondo fisico e l’applicazione a cui andiamo a riferirci.

Questo è un approccio molto diverso rispetto a quello tipico della matematica pura. Per esempio, nella congettura di Goldbach questo legame tra applicabilità del risultato e importanza dello stesso non è necessario da un punto di vista matematico. Se non sai cosa sia la congettura di Goldbach ecco un video in cui te la introduco:

Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe, e finché sono certe, non si riferiscono alla realtà.

(Albert Einstein)

È importante specificare inoltre, che quando parliamo di scienze applicate non stiamo solo andandoci a riferire a quelle classiche, quelle a cui riusciamo a pensare più naturalmente in quanto legate alla matematica (come per esempio la fisica o la chimica), ma facciamo riferimento a molte altre scienze complesse tra le quali ricadono la medicina, la finanza, la biologia, l’ecologia e varie altre.

Proprietà ed elementi fondamentali dei modelli matematici

La modellazione matematica intesa come

• costruzione di un modello matematico, a cui segue poi
• una fase di analisi e implementazione numerica e
• un confronto dei risultati ottenuti con la realtà )quindi tramite via sperimentale),

è ormai all’ordine del giorno. Precisamente, questi modelli matematici ormai si è capito che sono davvero fondamentali e ci permetteranno di capire fenomeni complessi in maniera più rigorosa, così da poter quindi prevedere i possibili esiti degli stessi.

Sostanzialmente, l’origine di un modello matematico può essere ridotta a due elementi fondamentali: il primo sono delle leggi generali, il secondo sono delle relazioni costitutive.

Quindi vediamo che cosa sono questi due mattoni della costruzione di un modello matematico. Partiamo dalle leggi generali. Queste sono di natura abbastanza teorica, quindi possono essere per esempio le leggi della meccanica e i principi di conservazione dell’energia o del momento angolare. Esse sono quindi delle relazioni fisiche oppure delle leggi di bilanciamento chimiche e quant’altro. L’importanza di queste leggi è che non sono specifiche del singolo modello, ma possono descrivere vari fenomeni.

Per quanto riguarda invece le relazioni costitutive, abbiamo qualcosa di carattere più sperimentale. Infatti, in questo caso si vanno per esempio a utilizzare delle peculiarità del fenomeno in analisi. Tramite via sperimentale, si vanno a introdurre delle particolari costanti, oppure si va a modellizzare una particolare funzione in conseguenza a qualche risultato ottenuto sul campo. Questo secondo mattone quindi è un qualcosa di strettamente legato al modello e non generalizzabile, differentemente per esempio dalle leggi della meccanica che valgono per vari fenomeni, varie applicazioni.

Alcuni esempi di leggi costitutive sono la legge di Fourier per il flusso di calore oppure ci sono molte altre leggi che ci permettono di decidere, per esempio, che forma dare a un flusso numerico oppure a un flusso in generale. Queste scelte le faremo chiaramente in base a quello che stiamo analizzando.

Il risultato della combinazione di questi due mattoni fondamentali di un modello matematico è solitamente descrivibile in forma sintetica tramite un’equazione o un sistema di equazioni, spesso differenziali alle derivate parziali.

Questa struttura complessa non è necessaria in ogni circostanza. Può benissimo esserci qualche modello, comunque interessante e utile per certi fenomeni, che non coinvolge nemmeno equazioni differenziali. Magari vedremo qualcosa riguardo questo tema.

Comunque spesso i modelli che si vanno a costruire per analizzare situazioni che evolvono nel tempo (o nello spazio), coinvolgono equazioni alle derivate parziali e in questo ambito ti consiglio (nel caso tu sia interessato a questi temi) di guardarti questo libro: Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni. Questo libro si concentra soprattutto sulla costruzione dei modelli e fornisce anche molti strumenti per analizzare questi modelli, vederne le proprietà e magari risolvere (nel caso sia possibile) anche le equazioni alle derivate parziali sottostanti. La risoluzione di queste equazioni non è sempre possibile e magari questo sarà argomento di altri video o articoli (un argomento legato a questo sono gli spazi di Hilbert, se ti interessa puoi capire di cosa si parla in questo articolo https://www.mathone.it/spazio-hilbert/).

Esiste un solo modello per ogni fenomeno?

Un’altra cosa importante da evidenziare, è che nel momento in cui andiamo a interessarci a un fenomeno legato a una delle scienze complesse, è quasi certo che il modello che possiamo andare a costruire non sia unico. È quindi importante chiedersi se il modello che andiamo a costruire vada bene o meno e bisogna essere in grado di capire se questo modello possa funzionare o meno.

Ecco che dobbiamo introdurre il concetto di problema ben posto:

Di modelli ce ne sono un’infinità, alcuni sono di semplice comprensione e interpretazione…altri non lo sono. C’è sempre margine per complicare le cose anche se è importante evidenziare il fatto che non è detto che un modello più complicato di un altro sia in grado di spiegare meglio un certo fenomeno. Spesso la sintesi è una grande qualità di un modello a volte. Non è infatti raro che sia premiata la disponibilità a sacrificare la capacità di prevedere un fenomeno a favore di rendere il modello un po’ più semplice. Il perché dietro a questo fatto è che, grazie a questa scelta, magari possiamo abbassare i tempi di calcolo o i costi computazionali per poter elaborare le informazioni. Da ciò segue che potremmo riuscire a trovare delle informazioni utili su una situazione concreta in tempi ragionevoli. La velocità può essere davvero utile.

Per esempio, nel campo dello studio delle epidemie, la velocità e la capacità di prevedere in fretta dove potrebbe diffondersi un’epidemia, oppure le tempistiche con cui intervenire con un certo farmaco a volte possono premiare più dell’avere una descrizione estremamente accurata e dettagliata della realtà. Chiudiamo quindi notando che spesso è utile ponderare precisione con velocità di elaborazione.

Se ti interessa vedere un modello per l’analisi delle epidemie, il modello SIR, davvero snello ma comunque efficace per descrivere il numero di infetti di un’epidemia, ti consiglio di guardare questo mio video: