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Bentornati con l’ultimo articolo di questa rubrica sulle basi matematiche della meccanica quantistica. Dopo aver dato un’introduzione storica e concettuale e aver dato le basi matematiche in questa parte ci occupiamo di due aspetti importanti collegati ai concetti introdotti la scorsa volta: l’evoluzione temporale di un sistema e il principio di indeterminazione!

Evoluzione temporale di un sistema

Nella scorsa puntata abbiamo scoperto esattamente a cosa corrispondevano i concetti classici di sistema fisico e di osservabile. Adesso bisogna chiedersi come fanno a variare nel tempo i sistemi fisici, visto che il nostro universo va avanti nel tempo! Questa strada ci porterà alla famigerata equazione di Schrödinger.

Cercando di portare un ragionamento euristico passiamo per la meccanica classica (che puoi approfondire con i consigli di questo articolo). Infatti nella meccanica classica un modo per trattare i sistemi è quello di impostare una funzione, chiamata hamiltoniana, che descrive le interazioni del nostro sistema e si può dimostrare essere equivalente all’energia del sistema stesso. Ma che senso ha creare questa funzione vi chiederete? Bene grazie a questa funzione si possono impostare delle equazioni (dette di Hamilton) che legano le derivate temporali delle variabili fisiche del sistema (posizione e momento) alle derivate dell’hamiltoniana. In questo modo studiare l’evoluzione temporare diventa “facile” (anche se questo termine non sarà approvato da qualunque studente di meccanica analitica).

$ \begin{equation} \begin{array}{ll} \frac{dr(t)}{dt}=-\frac{\partial H(r,p)}{\partial q}\\ \frac{dp(t)}{dt}=\frac{\partial H(r,p)}{\partial p} \\ \end{array} \end{equation}$

Ma questo discorso come ci aiuta a capire la teoria quantistica? Come abbiamo imparato nello scorso articolo per passare ad un “mondo quantistico” ci basta solo considerare uno spazio di Hilbert e cambiare le nostre variabili (osservabili) con operatori giusto? Bene! L’hamiltoniana ha come variabili proprio queste quantità, ci basta quindi banalmente far diventare le nostre variabili continue operatori facendo di conseguenza diventare la nostra hamiltioniana un operatore e il gioco è fatto. In generale per un sistema fisico un hamiltoniana ha quasi sempre questa forma $H=\frac{p^2}{2m}+V(r)$, il primo pezzo è il termine cinetico (cioè di movimento) mentre $V(r)$ contiene i termini di interazione (ad esempio gravitazionale o elettromagnetica).

A questo punto torna la domanda dell’inizio: Come si evolvono nel tempo queste quantità? Se classicamente la risposta erano le equazioni di Hamilton in questo caso invece è l’equazione di Schrödinger !

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi(t)\right>=H\left|\Psi(t)\right>$

Ovviamente la trattazione matematica è molto più formale di così e quest’equazione può essere ricavata da altre ipotesi e non presa come principio primo. Però il senso fisico che sta dietro a questa matematica è il seguente: L’evoulzione nel tempo del nostro stato, data dalla derivata, è collegata a come l’hamiltoniana agisce sullo stato stesso… intuzione non banale direi!

Le applicazioni di questa equazione sono infinite e non basterebbe un libro per elencarle tutte, spero almeno di avervi dato un’idea di come funzioni uno dei pilastri della meccanica quantistica. Passiamo ora all’ultimo e interessantissimo argomento.

Principio di indeterminazione

Eh si, non può mancare una trattazione della meccanica quantistica senza parlare di questo strano fenomeno. Per cercare di capirlo abbiamo accennato negli scorsi articoli al fatto che uno stato ha diverse probabilità di tornare certi autovalori quando viene misurato rispetto a un osservabile (operatore) $\hat{O}$, immaginiamo ora di avere 2 operatori $ \hat{A}$ e $\hat{B}$ e definiamo un’operazione chiamata commutatore:

$ [ \hat{A}, \hat{B} ]= \hat{A} \hat{B} – \hat{B} \hat{B}$

Matematicamente si può dimostrare che se due osservabili non commutano, ovvero l’operazione definita prima non torna zero, allora il loro agire sullo stesso stato non sarà sulla stessa base di autostati (collegata agli autovalori di cui vi parlavo la scorsa volta). Allora che si fa? Semplice si cambia base!

Ma non dobbiamo dimenticarci che lo spazio in cui siamo è comunque di tipo $L^2$ allora come si comporta il cambio di base?… con una trasformata di Fourier!

Per vedere questo basta ricordare quando vi parlai della funzione d’onda $\psi(r)=<r|\psi>$, come base prendemmo le posizioni $|r>$ ma nessuno ci vieta di poterle cambiare con la base di autostati di qualche altro osservatore, come ad esempio $\hat{P}$. Si può dimostrare che il collegamente tra le due funzioni d’onda $\psi(r)$ e $\phi(p)$ è proprio la trasformata di Fourier, confermando quanto prima detto.

Questo ha applicazioni molto interessanti, in quanto come prima detto gli operatori $\hat{R} posizione e $\hat{P}$ l’impulso non commutano portando a questo formalismo.

Questo ci tuffa direttamente nel principio di indeterminazione in quanto le funzioni d’onda, essendo per l’appunto fenomeni ondulatori, hanno una certa indeterminazione intrinseca che è pari a:

$\sigma_A=\sqrt{<\hat{A}^2>-<\hat{A}>^2}$

E se due operatori che non commutano si trovano in gioco nello stesso momento come facciamo, ora che sappiamo che sono collegati da una trasformata di Fourier, a sapere come sono correlate tra di loro?

Esiste la dimostrazione ovviamente, lascerò la fonte ai lettori interessati ma la trovate anche su siti più comuni, l’importante è però sapere che il risultato di questo è il cosidetto principio di indeterminazione di Heisenberg:

$\sigma_A \sigma_B=\frac{|{<\hat{C}>}|}{2}$

Che nel caso di posizione e impulso, il cui commutatore è $[\hat{R},\hat{P}]=i\hbar $, ci da il più conosciuto $ \sigma_R \sigma_P=\frac{\hbar}{2} $

Vi lascio anche un video interessante sull’argomento sperando che vi aiuti meglio a capirlo meglio con la visualizzazione.

Conclusione

Con quest’ultimo articolo la mia serie sulla matematica della meccanica quantistica è finita. È stato un percorso lungo ma spero non complicato per voi da comprendere, anche se riconosco le mia scarse abilità di comunicatore. Quello che però spero sia stato chiaro e che voleva essere il mio obiettivo era far vedere come la matematica sia importantissima nelle scienze fisiche, facendolo con la scusa di parlare un po’ di meccanica quantistica. L’approccio divulgativo e filosofico a questa materia è importante e bello, ma non si può pensare di prescindere dalla matematica come sua parte fondamentale.

Per il resto le fonti per approfondire penso di averle messe un po’ tutte e mi auguro che andiate avanti con lo studio e la scoperta di questa bellissima branca della fisica, alla prossima!