George Boole: la logica diventa matematica

Nell’ultimo articolo abbiamo parlato del sogno di Leibniz: costruire una lingua dotata di regole di manipolazione grammaticale in grado di mettere in luce automaticamente le relazioni logiche esistenti tra le proposizioni.

Dopo la sua morte nel 1716, l’interesse degli intellettuali di tutta Europa si concentrò sugli altri innumerevoli apporti che Leibniz diede ai più disparati campi del sapere. Per molto tempo però, la sua idea di una Caratteristica Universale, sembrava destinata a perdersi.

A inizio ‘Ottocento, l’Inghilterra era rimasta notevolmente indietro nello sviluppo della matematica rispetto al resto d’Europa. La controversia tra Newton e Leibniz sulla priorità nell’invenzione del calcolo infinitesimale aveva portato i matematici inglesi ad un isolazionismo intellettuale che costò caro alla matematica d’oltremanica. Eppure fu proprio lì che si ebbe il più grande balzo in avanti verso il sogno di Leibniz.

Nasce l’algebra astratta

La svolta nella matematica inglese coincise con la fondazione nel 1815 a Cambridge dell’Analytical Society, di cui facevano parte tre giovani matematici: l’algebrista George Peacock, l’astronomo John Herschel e Charles Babbage, rimasto alla storia per le sue macchine calcolatrici.

La società aveva come scopo la riforma dell’insegnamento, anche attraverso l’adozione della notazione del calcolo differenziale più comoda (quella di Leibniz) usata nell’Europa continentale.

Proprio Peacock con il suo Treatise on Algebra (1830) fu tra i primi a tentare di dare all’algebra una struttura logica paragonabile a quella data alla geometria dagli Elementi di Euclide. Si inizia a sviluppare così l’algebra simbolica.

Cosa succede se definiamo delle operazioni generiche che rispettano alcune proprietà (per esempio la commutatività, associatività o distributività)? Quali proprietà possiede un insieme su cui sono definite tali operazioni? Queste sono le domande che affascinavano gli algebristi inglesi in quegli anni.

Pian piano ci si accorse che non era necessario attribuire nessun significato specifico alle lettere usate né ai simboli delle operazioni. Una volta sviluppata un’algebra simbolica con le sue regole essa può diventare la grammatica di centinaia di algebre differenti dotate di significati specifici.

A partire da queste considerazioni nacquero i quaternioni di Hamilton, la teoria dell’estensione lineare di Grassmann, le matrici di Cayley, la teoria dei gruppi, degli anelli, dei campi e tantissime altre pietre preziose dell’algebra moderna, di cui sicuramente parleremo in articoli futuri.

Tra tutte queste forme di algebra, una in particolare fu talmente rivoluzionaria da sconfinare nel campo della logica, creando effettivamente il ponte tra la logica e la matematica: l’algebra di Boole.

L’algebra di Boole

Boole trovò effettivamente un modo di aritmetizzare la logica, rendendo possibile analizzare le proposizioni logiche attraverso gli strumenti della matematica.

La logica fino a quel momento coincideva sostanzialmente con la logica aristotelica e studiava enunciati del tipo: “tutti i mammiferi sono animali”, “nessun gatto abbaia”, “alcune persone sanno nuotare”. Boole comprese che ai fini del ragionamento logico, l’aspetto significativo di parole come mammifero, gatto o persone è la classe (o collezione) di tutti gli oggetti descritti da quella parola (la classe dei mammiferi, la classe dei gatti, la classe delle persone).

Indicava quindi le classi mediante lettere, per esempio $m$ per la classe dei mammiferi.

Sull’insieme di tutte le classi definisce allora delle operazioni:

  • prodotto: date due classi $x$ e $y$, la classe $xy$ è la classe formata da tutti gli oggetti che appartengono tanto alla classe $x$ quanto alla classe $y$. In senso moderno è l’intersezione tra gli insiemi $x$ e $y$.
  • somma: date due classi $x$ e $y$, la classe $x+y$ è la classe formata da tutti gli oggetti presenti in $x$ o in $y$. Oggi è detta unione tra $x$ e $y$.

Ora che abbiamo definito delle operazioni sui nostri elementi (che sono le classi) possiamo chiederci quali proprietà soddisfino. È facile verificare che le cinque proprietà fondamentali dell’aritmetica vengono rispettate:

  • commutativa della somma: $x+y=y+x$
  • commutativa del prodotto: $xy=yx$
  • associativa della somma: $x+(y+z)=(x+y)+z$
  • associativa del prodotto: $x(yz)=(xy)z$
  • distributiva del prodotto rispetto all’addizione: $x(y+z)=xy+xz$

Non tutte le regole dell’algebra ordinaria però continuano a essere valide, per esempio:

  • $x+x=x$: l’unione tra la classe $x$ e se stessa non può che essere $x$ stessa
  • $xx=x$: l’intersezione tra la classe $x$ e se stessa è $x$ stessa

Fu proprio la seconda di queste due particolari proprietà a suggerire a Boole un’idea geniale!

L’equazione $x^2=x$ possiede, nell’algebra ordinaria, soltanto due soluzioni: $x=0$ e $x=1$.

Fu così che Boole arrivò a concepire che l’algebra della logica non è altro che l’algebra ordinaria limitata a due soli valori, 0 e 1. (Ecco che torna in gioco il sistema binario tanto caro a Leibniz)

Solo che per dare senso a questa conclusione era necessario interpretare i simboli 0 e 1 non come numeri, bensì come classi!

Vediamo in che modo: 0 nell’algebra ordinaria è l’elemento assorbente del prodotto (per ogni numero $x$, $0x=0$), mentre 1 è l’elemento neutro del prodotto ($1x=x$).

Se vogliamo mantenere le stesse proprietà nell’algebra delle classi, affinché $0x$ sia uguale a 0 per ogni classe $x$ basta interpretare 0 come la classe a cui non appartiene nessun elemento. Analogamente $1x$ sarà invece uguale a $x$ per ogni classe $x$ se interpretiamo 1 come la classe che contiene qualunque oggetto.

In termini moderni diremmo che 0 è l’insieme vuoto e 1 l’insieme universo.

Ci rimane soltanto da dare un significato all’operazione inversa della somma per poter sfruttare molte delle procedure che eseguiamo nell’algebra ordinaria. Definiamo quindi la differenza $x-y$ come la classe degli oggetti che stanno in $x$ ma non in $y$. (Osserviamo che come nell’algebra ordinaria, per la sottrazione non vale la proprietà commutativa: $x-y$ è diverso da $y-x$)

Giocando con l’equazione fondamentale $x^2=x$, scrivendola nella forma $x^2-x=0$ e raccogliendo a fattor comune, Boole ottenne l’identità $x(1-x)=0$, che espressa a parole sarebbe “l’intersezione tra $x$ e il suo complementare è l’insieme vuoto” cioè “nessun oggetto può tanto appartenere quanto non appartenere ad una classe $x$”.

Per Boole fu un risultato davvero entusiasmante: a partire dalle sue semplici regole algebriche aveva riscoperto l’importantissimo principio di non contraddizione che Aristotele descriveva come l’assioma fondamentale di tutta la filosofia “È impossibile che la stessa proprietà appartenga e non appartenga alla stessa cosa”.

La logica aristotelica

A quei tempi la logica non aveva fatto grandi passi in avanti rispetto ai risultati ottenuti da Aristotele ben due millenni prima, sembrava quasi che la logica aristotelica godesse di una certa immunità nei confronti delle imperfezioni e del progresso che invece minacciano qualsiasi altra teoria scientifica.

La logica di Aristotele si occupava di particolari deduzioni logiche, i cosiddetti sillogismi: da due proposizioni dette premesse si può dedurre, a volte, un’altra proposizione, detta conclusione.

Non tutte le proposizioni sono analizzabili dalla logica aristotelica, devono poter essere esprimibili da enunciati di una di queste quattro forme:

  • Tutti gli $X$ sono $Y$
  • Nessun $X$ è un $Y$
  • Alcuni $X$ sono $Y$
  • Alcuni $X$ non sono $Y$

Vediamo un esempio di sillogismo: Tutti gli $X$ sono $Y$, Tutti gli $Y$ sono $Z$ $\implies$ Tutti gli $X$ sono $Z$.

Dire che un sillogismo è valido significa che sostituendo alle variabili $X$, $Y$, $Z$ proprietà qualsiasi, se le premesse sono vere sarà vera anche la conclusione. Il sillogismo dell’esempio precedente è valido, vediamolo con un esempio di sostituzione:

Tutti i cani ($X$) sono mammiferi ($Y$), Tutti i mammiferi ($Y$) sono vertebrati ($Z$) $\implies$ Tutti i cani ($X$) sono vertebrati ($Z$)

Naturalmente non tutti i sillogismi sono validi, per esempio “Tutti gli $X$ sono $Y$, Tutti gli $X$ sono $Z$ $\implies$ Tutti gli $Y$ sono $Z$”.

Lewis Carroll, maestro di giochi di parole, nel suo romanzo Sylvie e Bruno scriveva che in un “sillygism” (da silly, “ridicolo”, in assonanza con syllogism) a partire da due “prim Misses” (da miss, “fallire, sbagliare”, in assonanza con premises) si deduce una “delusion” (assonanza con conclusion).

Diagramma di “The Game of Logic”

I problemi della logica appassionarono molto Carroll (Charles L. Dodgson) matematico e scrittore dell’epoca, famoso per i suoi romanzi sulle avventure di Alice nel Paese delle Meraviglie, che si divertiva molto a giocare con i sillogismi. Il suo Logica Fantastica, una raccolta di sillogismi assurdi ne è un esempio.

Scrisse perfino un libro (The Game of Logic) in cui mostrava come la logica aristotelica potesse essere trasformata in un semplice e interessante gioco, utilizzando un diagramma apposito e nove gettoni.

L’analisi della logica di Boole

Abbiamo già visto che l’algebra di Boole è in grado di esprimere il principio di non contraddizione aristotelico, vediamo ora che è in grado di esprimere qualsiasi sillogismo!

Prendiamo ad esempio “Tutti gli $X$ sono $Y$”. Significa che non c’è niente che appartiene alla classe $X$ che non appartenga alla classe $Y$. Nel linguaggio dell’algebra di Boole: $X(1-Y)=0$ o, equivalentemente, $X=XY$. Allo stesso modo “Tutti gli $Y$ sono $Z$” si può scrivere come $Y=YZ$.

Usando queste equazioni otteniamo $X=XY=X(YZ)=(XY)Z=XZ$, cioè la conclusione desiderata: “Tutti gli $X$ sono $Z$”.

Per un sillogismo non valido, per esempio “Tutti gli $X$ sono $Y$, Tutti gli $X$ sono $Z$ $\implies$ Tutti gli $Y$ sono $Z$” non c’è modo di usare le premesse $X=XY$ e $X=XZ$ per ottenere $Y=YZ$.

Algebricamente, la dimostrazione di validità di un sillogismo, è analoga all’eliminazione di una variabile da un sistema di due equazioni in tre variabili.

Non tutti i ragionamenti logici però sono di tipo sillogistico. La vera forza dell’algebra di Boole è che la sua potenza espressiva non si limita alla logica aristotelica, ma si spinge ancora oltre!

Gran parte del ragionamento ordinario si basa su quelle che Boole chiamava proposizioni secondarie, cioè proposizioni che esprimono relazioni fra altre proposizioni.

Si accorse che la stessa algebra che funzionava per le classi avrebbe funzionato anche per studiare proposizioni di questo tipo. Per dire che una proposizione $X$ è vera basta porre a sistema l’equazione $X=1$, analogamente, se $X$ è falsa, poniamo $X=0$. Se due proposizioni $X$ e $Y$ sono entrambe vere scriveremo $XY=1$.

Ma più importante di tutte è l’asserzione “Se $X$, allora $Y$” che può essere rappresentata dall’equazione $X(1-Y)=0$.

Vediamo perché: “Se $X$ allora $Y$” significa, nella nostra notazione, “Se $X=1$ allora $Y=1$”. Se nell’equazione $X(1-Y)=0$ sostituiamo la nostra premessa ($X=1$) otteniamo $1(1-Y)=0$, che è verificata se e solo se $1-Y=0$, cioè quando $Y=1$.

Boole e il sogno di Leibniz

La potenza espressiva del sistema logico di Boole andava molto più in là di quello di Aristotele, ciò nonostante, rimaneva decisamente al di qua di ciò che sarebbe stato necessario per realizzare il sogno di Leibniz.

Per esempio la logica di Boole non è in grado di manipolare con sufficiente espressività enunciati del tipo “Tutti gli $X$ sono $Y$ o Z”, non permettendo alcun ragionamento che possa distinguere la classe $Y$ dalla classe Z. Nel prossimo articolo vedremo come Gottlob Frege riuscì a sviluppare un sistema logico in grado di esprimere anche questi ragionamenti più sottili.

Effettivamente però l’algebra di Boole è il primo esempio di linguaggio che permette di stabilire, per mezzo di calcoli simbolici, quali suoi enunciati sono veri e quali falsi, nel pieno spirito del calculus ratiocinator del sogno di Leibniz.

La grande conquista di George Boole fu quella di dimostrare definitivamente che la logica poteva essere trattata come un ramo della matematica, dando origine alla logica matematica.

Ma l’algebra di Boole è molto di più! Abbiamo visto come l’1 e lo 0 possono rappresentare il vero e il falso, ma allora se rappresentiamo l’1 e lo 0 con, ad esempio, il passaggio o meno di corrente in un cavo elettrico, utilizzando esattamente le stesse leggi logiche e matematiche del sistema di Boole possiamo costruire la teoria dei circuiti elettrici. Questo permette di ridurre non soltanto la logica, ma anche l’elettronica, al linguaggio della matematica, permettendo di sviluppare, circa un secolo più tardi, i primi calcolatori elettronici.

Dopo di Boole queste discipline hanno avuto uno sviluppo ininterrotto fino ai giorni nostri, a cui daremo un’occhiata nei prossimi articoli.

Per approfondire

Quella presentata in questo articolo è una trattazione storica e divulgativa: oggi il concetto di algebra booleana è stato formalizzato con tutto il rigore che la matematica richiede.

Formalmente si dice Algebra di Boole un qualunque reticolo distributivo complementato $< K, \cdot, +, \neg >$

In parole povere è un insieme $K$, detto supporto, (ad esempio $K= \{0,1\} $) dotato di tre operazioni (il prodotto logico $\cdot$, la somma logica $+$ e la complementazione (o negazione) $\neg$) che rispettano determinate proprietà.

A chi volesse saperne di più consiglio la pagina su Wikipedia Algebra di Boole, molto approfondita, o la serie di video a riguardo di YouSciences Academy: Algebra di Boole e funzioni booleane

Per approfondimenti riguardo la biografia di Boole, e tutto lo sviluppo della logica fino ai primi calcolatori elettronici, consiglio ancora una volta il libro Il calcolatore universale di Martin Davis.

4 pensieri su “George Boole: la logica diventa matematica

  1. DEB JYOTI MITRA

    Mathone youtube was subscribedby me thinking that there shall be English Translation, but it was not there, so I could not understand Italian ,It was then unsubscribed.
    BUT Linkedin Article GEORGE BOOLE: LOGIC BECOMES MATHEMATICS which gets automatically translated into English, So I like it . Article is interesting. It is to gone slowly to understand it properly.

    Rispondi
    1. Lorenzo Venieri
      Lorenzo Venieri Autore articolo

      I’m really glad you still had the possibility to read the article translated. If you find some passages of difficult comprehension and you have any questions about it don’t hesitate to ask.

      Rispondi
    1. Lorenzo Venieri
      Lorenzo Venieri Autore articolo

      Grazie mille, ci tengo molto a dare un po’ di contesto per comprendere meglio gli step che hanno portato alle varie scoperte della matematica.

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