Le matrici, ma che strana bestia sono? Beh, probabilmente ne hai già viste parecchie e ne hai anche sentito parlare.

Alle scuole superiori, raramente si approfondisce l’argomento come effettivamente meriterebbe. Esse sono infatti fondamentali in molti campi, dall’algebra, all’analisi, pensa che sono uno degli strumenti alla base dell’algoritmo di Google 😉

Partiamo però dall’inizio, per poi introdurre qualche interessante utilizzo e applicazione.

Che cos’è una matrice?

Siano m ed n due numeri naturali (finiti) non nulli. Allora definiamo matrice, una tabella con m righe ed n colonne. All’interno di ogni posizione, ovviamente, verrà posizionato un dato, un elemento. Il campo di appartenenza di questo elemento può variare, ma per gli scopi che ha questo articolo (niente di troppo avanzato), supponiamo di avere tutti numeri reali all’interno della matrice.

La definizione che ti ho fornito è abbastanza approssimativa, ma sufficiente per comprendere cosa associare alla parola matrice.

Possiamo inoltre associare ad ogni elemento una coppia di indici, che ne specificano la posizione. Come puoi vedere dall’immagine qui sopra, infatti, ad ogni elemento a, associamo una coppia di indici i e j. Essi rappresentano rispettivamente la riga e la colonna alle quali tale elemento appartiene.

Infine, definiamo una matrice quadrata se m=n, ossia se la nostra “tabella” ha lo stesso numero di righe e di colonne.

Si definisce diagonale principale di una matrice quadrata, il vettore composto dagli elementi in cui i=j. Ovvero dagli elementi che formano la diagonale del “quadrato” da in alto a sinistra a in basso a destra.

Se una matrice è formata da tutti zeri, a parte almeno un elemento della diagonale principale non nullo, in tal caso si dice matrice diagonale.

Alcune matrici particolari

Ora che abbiamo chiaro in testa che mostro sia una matrice, vediamo alcune matrici interessanti e particolari.

Matrice nulla

Questa è la matrice banale, è composta da tutti zeri. Può sembrarti inutile, ma è fondamentale in quanto, per esempio, ci permette di definire un gruppo additivo composto dalle matrici quadrate. La matrice nulla è infatti l’elemento neutro di tale gruppo.

Se non sai che cosa sia un gruppo, non preoccuparti, puoi approfondire su Google, oppure aspettare qualche settimana che probabilmente dedicherò un articolo a questo argomento.

Matrice identità

Questa matrice si indica spesso con la lettera I ed è sostanzialmente la matrice non nulla più semplice. E’ una matrice fondamentale, è l’elemento neutro del gruppo moltiplicativo delle matrici quadrate. La matrice identità è una matrice quadrata, che ha sulla diagonale principale tutti 1. Le altre entrate sono tutte nulle. E’ quindi una particolare matrice diagonale.

Una delle sue particolarità, è che moltiplicata ad una qualsiasi matrice quadrata (delle stesse dimensioni), restituisce la matrice di partenza: AxI = A = IxA.

Intanto, se non hai mai sentito parlare di matrici, ti chiedo di fidarti del fatto che esista un modo per moltiplicare due matrici, fra qualche riga scoprirai anche come si fa.

Matrice triangolare

Una matrice triangolare (in questa sede vediamo solo il caso in cui essa sia quadrata) è una matrice che è metà nulla. Dopo questa definizione molto a spanne, ma abbastanza intuitiva, vediamo di chiarire il concetto con un esempio:

Oltre a questo caso, in cui è la metà di sotto ad essere nulla, si può definire matrice triangolare anche il caso in cui sotto ci siano numeri e sopra la diagonale principale, solo zeri.

Non ti ho dato la definizione formale di nessuna di queste matrici, ma ripeto che questo non è il mio obiettivo in questo articolo. Mi preme che tutti abbiano in testa un’idea intuitiva del concetto di matrice e di alcuni casi particolari.

Se vuoi qualcosa di più rigoroso, ho trovato un PDF davvero ben fatto, lo puoi scaricare inserendo la tua email qui sotto:

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Operazioni base tra matrici

Come per i numeri reali, è possibile introdurre la nozione di addizione e prodotto tra matrici. Ci sono però alcune regole e condizioni da sapere per poter eseguire queste due operazioni, vediamo di scoprirle senza complicarci troppo la vita 😉

Addizione tra matrici

Per poter sommare due matrici tra loro, l’unica condizione che deve essere verificata, è che esse abbiano le stesse dimensioni. Ossia, esse devono avere lo stesso numero di righe e di colonne, altrimenti la loro somma non esiste.

Questa condizione, potrebbe già farti venire in mente come si andrà ad eseguire la somma. Infatti, per sommare due matrici A e B, non devi fare altro che sommare l’entrata i,j della matrice A, con l’entrata i,j della matrice B. Devi fare così, per ognuna delle mxn entrate delle due matrici.

Ovviamente, può sembrarti stupido farlo notare, ma è davvero importante, se sommi una matrice A, con la matrice nulla delle stesse dimensioni, otterrai ancora la matrice A.

Semplice no?! 😉 Bene, vediamo ora come si esegue il prodotto, che non è proprio così semplice, ma una volta che ci si prende la mano non è complicato. Serve solo un po’ di pratica.

Prodotto tra matrici

Eccoci arrivati alla definizione di prodotto tra matrici. Esso si definisce anche prodotto righe per colonne, ora vedrai perchè.

Innanzitutto, vediamo quale condizione deve verificarsi perchè, date due matrici A e B, esse siano moltiplicabili tra di loro.

La condizione necessaria è che il numero delle colonne della prima matrice coincida con il numero delle righe della seconda. Ci hai fatto caso che non ho detto che la prima è A e la seconda è B?!

Beh, non è proprio un caso. La moltiplicazione tra matrici non è infatti commutativa in generale, ossia AxB potrebbe essere diverso da BxA. Questo ti prego di ricordartelo bene!

Ma vediamo ora perchè è necessaria la precedente condizione per moltiplicare due matrici. Ecco un esempio semplice di prodotto tra matrici quadrate 2×2:

Sostanzialmente, come puoi vedere qui sopra, si prende ciascuna riga della prima matrice e si esegue la somma dei prodotti delle sue entrate con quelle di ciascuna colonna della seconda matrice. Non è difficile, ma spiegarlo scrivendo non è proprio semplice, ho quindi trovato un video che fa al caso nostro 😉

Ah, due piccioni con una fava, in questo video viene spiegata anche che cos’è la matrice trasposta. Essa è sostanzialmenta la matrice che ottieni scambiando le righe con le colonne. In pratica, la prima riga diventerà la prima colonna della trasposta e così via.

Piccola chicca di terminologia: se una matrice A quadrata, coincide con la sua trasposta, essa si dice simmetrica 😉

Rimarrebbe da vedere il concetto di determinante, ma non è molto semplice per cui preferisco dedicare un secondo articolo in futuro alle matrici, in cui parlerò di questo concetto e di altri più avanzati. Lasciamo ora spazio ad un’applicazione interessante.

Non è proprio un esempio alla portata di tutti, però devi sapere che il più grande motore di ricerca al momento (Google) basa il proprio algoritmo di ricerca e l’ottimizzazione di tale algoritmo sulle matrici.

Ovviamente però, essendo che esso deve indicizzare miliardi di contenuti, le dimensioni delle matrici su cui operano a Mountain View sono enormi. Quindi sono state implementate delle strategie di approssimazione sensazionale in tali matrici.

Tuttavia, se mi mettessi qui a provare a spiegare la teoria delle matrici che sta dietro a questa azienda multimiliardaria, non finirei più. Per fortuna però, Google mi ha permesso di trovare un PDF completo sull’argomento 😉

Lo puoi scaricare inserendo la tua email qui sotto:

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Se sei interessato a qualche esempio meno complesso, lascia un commento qui sotto oppure contattami per mail. Magari pubblicherò qualcosa di più semplice in un post su Facebook, vediamo com’è la risposta 😉

Con questo ti saluto, spero di averti fornito un’idea (seppur sommaria) chiara del concetto di matrice e delle sue proprietà base.

Se hai dubbi, critiche o suggerimenti, sai dove trovarmi.