La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica.

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Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 aprile 1777-Gottinga, 23 febbraio 1855).

Carl Friedrich Gauss è stato probabilmente il più poliedrico scienziato di tutti i tempi ed è stato il penultimo uomo a “sapere tutto” (è stato superato solo parecchio tempo dopo da un certo Poincaré 🙂 ). Durante la sua lunghissima e vastissima produzione scientifica, è stato matematico, fisico e astronomo.

Ha dato contributi fondamentali in tutte le branche della matematica e della fisica allora conosciute: dall’analisi matematica (sia reale che complessa vedi articolo sui numeri complessi) alla teoria dei numeri, statistica, calcolo numerico, geometria differenziale, geodesia, geofisica, al magnetismo e elettrostatica fino all’astronomia e all’ottica.

Viene ricordato come Universalista, dal momento che eccelse in tutti i campi della disciplina nota ai suoi giorni.

L’enfant prodige

La storiografia insegna che fin dai primi anni di vita è stato considerato come un bambino prodigio. Molti aneddoti sono raccontati sulla sua infanzia, certi più famosi di altri, certi più accreditati di altri.

In particolare due sono particolarmente conosciuti:

• Si narra che all’età di tre anni abbia corretto dei calcoli nelle finanze del padre; già dopo pochi mesi di vita, Gauss era in grado di fare operazioni algebriche, leggere e addirittura scrivere qualcosa.
• Un altro aneddoto racconta di come il suo il suo pigro insegnante, J.G. Büttner, per tenere occupati i suoi allievi, ordinò loro di fare la somma dei numeri da 1 a 100. A quel tempo il giovane Gauss aveva solo 9 anni ma ugualmente dopo pochi minuti riuscì a consegnare la somma corretta: 5050.

Molte ipotesi sono state avanzate su quale metodo Gauss abbia usato: l’ipotesi più accreditata è che Carl si sia accorto che i numeri che differiscono della stessa distanza dagli estremi della serie danno sempre la stessa somma. Probabilmente mise in una riga i numeri da 1 a 100 e in una riga sotto i numeri da 100 a 1, e vide che ogni colonna dava come somma 101:

$latex 1+2+\dots+99+100  $

$latex 100+99+\dots+2+1 $

non restava dunque che fare il semplice calcolo $latex \frac{100 \times 101}{2} $, ottenendo il risultato 5050 appunto. Aveva appena scoperto a 9 anni il risultato di quello che adesso noi chiameremo somma aritmetica, o in simboli

$latex \sum_{n=1}^{N} n  = \frac{N\times(N+1)}{2}  $

Büttner deve arrendersi davanti all’evidenza e dopo poco tempo supplicherà il Il Duca di Brunswick di finanziare il giovane prodigio per potergli permettere di proseguire gli studi all’Università di Braunschweig prima (la più antica di Germania) e di Gottinga poi, dove trascorse gran parte del resto della sua esistenza.

L’annus aureus

Giunto all’Università Gauss ottenne una serie di notevoli risultati. Finalmente il suo genio poteva esprimersi al meglio e soprattutto poteva essere supportato e indirizzato da professori del suo livello, perlomeno fintanto che non vennero surclassati. In particolare il 1796 viene ricordato come l’anno d’oro. Tra le maggiori scoperte possiamo citare:

• riuscì a dimostrare che un poligono regolare con un numero di lati che è un primo di Fermat è costruibile con riga e compasso. Questa fu una grande scoperta in un importante campo della matematica; la costruzione dei poligoni aveva occupato i matematici fin dall’epoca degli antichi greci, e la scoperta dette modo a Gauss di scegliere di intraprendere la carriera di matematico anziché di filologo.
• riuscì a costruire un eptadecagono;
• inventò l’aritmetica modulare, importantissimo strumento della teoria dei numeri che, solo per inciso, è la teoria dei numeri che tiene al sicuro i vostri e i miei soldi in banca 🙂 ;
• congetturò per primo la validità del teorema dei numeri primi, dando un’idea chiara di come i numeri primi siano distribuiti fra gli interi, cioè che se ne trovano sempre più di rado mano a mano che ci spostiamo verso l’infinito in un’ipotetica linea dei numeri, ma che seguono un andamento logaritmico;
• scoprì che tutti i numeri naturali sono rappresentabili al più come somma di tre numeri triangolari (Un numero intero positivo si dice triangolare se è uguale alla somma di una sequenza di numeri naturali consecutivi a partire da 1).

Aveva appena 19 anni. Per darvi l’idea, un ragazzo normale che studia matematica come il sottoscritto, non ha i mezzi per comprendere nemmeno un risultato. E pensatevi che molti dei suoi risultati sono stati pubblicati postumi o comunque dopo molti anni: voleva che fossero perfetti e riteneva molte delle dimostrazioni “non eleganti”.

A 22 anni completa il dottorato a Gottinga: nella sua tesi di dottorato Una nuova dimostrazione del teorema per il quale ogni funzione algebrica integrale di una variabile può essere risolta in fattori di primo o secondo grado, Gauss dimostra il teorema fondamentale dell’algebra. Era entrato nella storia.

Sfortunatamente per lui, era troppo avanti rispetto ai suoi contemporanei; la sua commissione giudicatrice non aveva i mezzi necessari per capire la sua dimostrazione e verrà completamente appresa grazie al lavoro del geometra (in senso matematico, sia chiaro 🙂 ) francese Jordan e alla completa definizione dei numeri complessi.

Per non farsi mancare nulla, prima della sua morte pubblicò altre 4 dimostrazioni di questo teorema.

La maturità

Nel 1801, all’età di 24 anni, presenta il suo lavoro “Disquisitiones Arithmeticae” che si rileva subito

Astronomia

Probabilità

Parallelamente ai lavori sull’astronomia, sviluppo una serie di fondamentali strumenti sull’analisi di dati e sulla distribuzione asintotica degli errori di misurazione. Stiamo parlando del teorema fondante della statistica e dell’econometria: il Teorema di Gauss-Markov.

Geodetiche e Geometrie non euclidee

Incaricato dal duca di Hannover nel 1821 a effettuare degli studi sui suoi possedimenti, Gauss diventa il principale studioso della cosiddetta geometria non-euclidea (purtroppo non mi posso dilungare troppo su questo punto, altrimenti un articolo non basterebbe per sviluppare solo questo paragrafo). Durante questo periodo sviluppa la teoria delle superfici e scopre il Teorema Egregium (con tutto il rispetto per gli altri teoremi).

In questo periodo parallelamente sviluppa anche quella che poi sarebbe stata chiamata “geometria sferica” negando il V postulato della geometria di Euclide. L’argomento però era scottante e Gauss decise di non pubblicare il risultato. Svariati anni dopo, il figlio di un suo intimo amico, dicasi Janos Bolyai, gli invia un lavoro rivoluzionario nel quale si sviluppano delle considerazioni sulla negazione del V postulato.

Gauss gli rivela privatamente che lo aveva anticipato di 30 anni. Questo amareggiò molto Janos, che mise fine ai rapporti con Gauss pensando che egli stesse rubando l’idea. Oggi la precedenza di Gauss è appurata ma quest’ultimo si rifiutò di pubblicare il lavoro per il timore della controversia.

Elettromagnetismo

Curiosità

Curioso segnalare che il matematico ebbe l’idea di applicare il suo ingegno anche all’economia, questa volta non per soli e nobili fini scientifici ma anche per giustificati fini…personali. Infatti, si dedicò anche ad uno studio accurato dei mercati finanziari fino a guadagnare una fortuna personale considerevole.

Morte e eredità

Questo è il mio primo articolo; se ti è piaciuto, se non ti è piaciuto per niente, se hai qualche annotazione, se mi sono dimenticato qualcosa che pensi sia rilevante (come se ce ne fossero poche 🙂 ) o anche se solo vuoi confrontarti su qualche argomento che ho citato, ti prego di dirmelo; ogni commento è ben accetto 😉

Ho voluto iniziare la mia lista di articoli proprio con Gauss perché ritengo che sia stato il più grande di tutti i tempi e da quando ho iniziato a studiare, non ho ancora trovato una materia in cui prima o poi non si faccia uso di uno dei teoremi di Gauss. Era in anticipo sui suoi contemporanei di 30 o addirittura 50 anni. Senza di lui, probabilmente molti problemi avrebbero ancora il punto interrogativo al posto della soluzione.

Grazie per avermi dedicato questi 5 minuti.

Ciao e a presto,

Erik