Frattali, cosa diavolo sono? Più e più volte ho sentito nominare questo termine in video su Youtube o articoli di divulgazione che mi divertivo a leggere. Tuttavia ho sempre immaginato fossero qualcosa di molto lontano dalla realtà, decidendo così di non interessarmi nemmeno a capire cosa fossero.

Poi è arrivato il momento di scegliere che argomento approfondire nella tesi e, tra le varie proposte, c’erano anche loro, i famigerati FRATTALI.

Prima di prendere scelte affrettate, decisi di informarmi e capire cosa fossero, scoprendo che in realtà sono degli “oggetti” molto più vicino a noi di quanto potessi pensare.

Alla fine la tesi non l’ho fatta su questo argomento, ma questa è un’altra storia 😉 Vediamo però di farci un’idea, senza fasciarci troppo la testa di formule ed equazioni, di cosa siano i frattali e di come si possano trovare i frattali in natura.

Prima di iniziare, ecco un video che ti farà entrare nel mood dei frattali 🙂

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Hai mai provato a guardare attentamente le nuvole, alcune foglie particolari, le linee costiere di uno stato o altri “oggetti” con forme un po’ particolari?

Hai mai provato a definirli associandovi una particolare forma geometrica di quelle che insegnano nei primi anni di scuola?

Una nuvola ha la forma di un cerchio, o di un ovale, o di un rettangolo? Siamo in grado di definirne i contorni mediante le forme regolari che ormai conosciamo bene?

Beh, non proprio, tutti gli esempi che ho citato fin’ora sono particolari forme ben modellizzate e rappresentate dalla geometria frattale.

Frattali?! E cosa sono?

Come possiamo definire intuitivamente un FRATTALE?

Ecco un video sui frattali:

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Se volessimo fornirne una caratterizzazione rigorosa e formale, avremmo un po’ di lavoro da fare (che preferisco eventualmente rimandare ad un post più avanzato più avanti se vedo che siete interessati).

Proprietà caratteristiche dei frattali

Vediamo di farci un’idea di cosa siano i frattali, elencandone alcune proprietà:

1. SONO DEGLI OGGETTI CHE GODONO DI FORTE SELF-SIMILARITY.

Sono simili a se stessi. In parole più semplici, se io facessi uno zoom  sull’immagine di un frattale, troverei gli stessi tratti caratterizzanti l’oggetto da cui sono partito.

Prova ad immaginarti di guardare la linea costiera di una regione, ora immaginati di fare lo zoom su una sua particolare area…Riusciresti a renderti conto di aver INGRANDITO l’immagine o ti sembra abbia più o meno la stessa conformazione della linea costiera originale? 

Ecco quindi chiarito cosa si intende per self similarity, di sicuro il video qui sopra è più chiaro delle mie spiegazioni 

2. IL FRATTALE VIENE SPESSO DEFINITO APPLICANDO UNA REGOLA RICORSIVA

Per quanto detto prima, le confromazioni frattali vengono spesso definite mediante l’applicazione della stessa funzione più volte.

Di esempi ne possiamo fare molti, ma per non andare a parlare di equazioni/formule, vorrei che tu ti creassi un’immagine chiara in testa di questi oggetti, ecco quindi come costruire ricorsivamente un oggetto frattale (con carta e penna), chiamato CURVA DI KOCH:

Disegna un segmento su un foglio, meglio se a quadretti e se ha una lunghezza (L) che è multiplo di 3 (solo per chiarezza, dato che magari è la prima volta che incontri questi “oggetti” strani).

Ora, dividilo in 3 parti uguali e cancella quella in mezzo.

Il buco che si è creato in mezzo, riempilo con i lati obliqui di un triangolo equilatero, ossia con segmenti di lunghezza L/3.

Ora ripeti questa procedura su ogni lato infinite volte…ecco che si crea il segmento di Koch, che probabilmente avrai già visto da qualche parte nella sua conformazione a fiocco di neve 

Come chiarimento, ecco un video che ti mostra come originare tale curva:

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Come spunto di riflessione invece ti lascio poi pensare al fatto che quest’ultima figura che hai imparato a rappresentare, ha la particolarità di avere area finita e perimetro infinito. Com’è possibile?! Per mostrare tale risultato, se vedo che c’è interesse, scriverò un post in futuro (non preoccuparti, ho già in programma di fare un articolo dedicato al fiocco di Koch ).

3. UN FRATTALE E’ TROPPO IRREGOLARE PER POTER ESSERE DESCRITTO IN TERMINI DI FUNZIONI ABBASTANZA LISCE

Cosa si intende con ‘funzioni abbastanza lisce’? Beh, è molto semplice. Ricordi quando qualche riga più in su ho provato a farti descrivere una nuvola mediante il paragone con una delle figure geometriche note?

Ecco, quelle figure geometriche (ovale, cerchio, esagono…) possiamo definirle curve, funzioni sufficientemente regolari. Chiaramente, come penso tu abbia potuto provare personalmente, non è possibile descrivere nei loro dettagli le nuvole con questa tipologia di funzioni.

Alcuni esempi dei frattali in natura

I frattali in natura si presentano sotto varie forme, dalle foglie, alle nuvole, profili costieri, addirittura nel broccolo romanesco 😉

Analogamente, molte strutture del corpo umano riproducono un’organizzazione di tipo frattale.

E’ interessante notare come tale struttura abbia una giustificazione funzionale: anche in questo caso la natura si organizza in tal modo per ottimizzare il sistema.

Anche i vasi sanguigni del cuore presentano ramificazioni di tipo frattale.

Da quando Benoit Mandelbrot introdusse per la prima volta il concetto di frattale, la geometria frattale fu utilizzata per modellizzare moltissime situazioni reali, a partire dalla finanza che in alcuni campi utilizza questi comportamenti autosimilari per descrivere l’andamento dei mercati.

Chiaramente queste poche righe che hai letto non avevano l’obiettivo di farti diventare un esperto sui frattali, anche perchè non sarei la persona a cui affidarsi 😉 , ma condividere con te la passione che si può avere verso l’interpretazione della natura in termini matematici.

Infatti, come non mi stuferò mai di scrivere, secondo me la matematica non è inventata dall’uomo, è scoperta per la necessità di comprendere come procede il mondo e per risolvere problemi che si presentano all’occhio umano.

Chiaramente sto parlando di matematica applicata (che è ciò che preferisco), senza nulla togliere alla matematica teorica/pura, anche a me piace la matematica fine a se stess ma non nego che la possibilità di usarla come chiave interpretativa dell’universo (scritto nel linguaggio matematico, come disse un caro amico 😉 ) mi piaccia un sacco ed è ciò che mi spinge a parlarne qui sul sito!