Fondamenti di teoria delle curve

Qualunque corso di base di geometria differenziale, inizia parlando di curve e superifici. Ho quindi pensato di iniziare questa serie di post che dedicherò alla geometria differenziale con un paio di articoli sulle curve e un altro paio sulle superfici.

Il mio intento è provare a spiegare i concetti fondamentali di quest’area della matematica, senza l’ambizione di essere esaustivo (per quello ci sono i libri di testo) ma con l’obiettivo di far arrivare l’intuzione dietro a concetti molto astratti quali quello di varietà. Cercherò di farlo tramite esempi e spiegazioni discorsive quando possibile.

Ovviamente ci saranno anche definizioni, enunciati e risultati matematici, però eviterò spesso di proporre le dimostrazioni (per le quali però darò delle referenze). In questo articolo e nel prossimo, dedicati alle curve, farò riferimento ad un libro per me davvero ottimo, ovvero l’Abate Tovena. Ti consiglio davvero di leggerne almeno i pezzi più importanti.

Ma veniamo quindi a questi due articoli…cosa esploreremo della teoria delle curve? Ho pensato di organizzarlo nei seguenti punti:

  • Definizione del concetto di curva
  • Cos’è la parametrizzazione con lunghezza d’arco
  • Cosa sono curvatura e torsione
  • Triedro di Frenet-Serret
  • Cos’è il grado di una curva
  • Cosa intendiamo per intorno tubolare di una curva

Cos’è una curva?

Iniziamo subito con la definizione, per poi passare a qualche esempio che di sicuro chiarirà il concetto.

Definizione (Curva parametrizzata) Una curva parametrizzata in $\mathbb{R}^n$ è una mappa $\sigma: I \rightarrow\mathbb{R}^n$, dove $I$ è un intervallo della retta reale. Diciamo $t\in I$ il parametro della curva, che definisce un punto (almeno) $\sigma(t)$ lungo quello che è chiamato sostegno della curva, ovvero l’immagine $\sigma(I)\subset\mathbb{R}^n$. Supposto $I=[a,b]$, diciamo $\sigma$ una curva chiusa se $\sigma(a)=\sigma(b)$.

In base a quante volte possiamo derivare la mappa $\sigma$, possiamo definire la regolarità della curva. Più precisamente, se la curva ammette le prime $k$ derivate continue, allora la curva sarà almeno di classe $C^k$.

Prima di sviscerare per bene la definizione, ci tengo a soffermarmi su una cosa importante ovvero

L’idea di curva che abbiamo di solito è di un sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$, dato che se ti chiedono di disegnare una curva sul foglio vai a colpo sicuro. Però matematicamente è importante fare distinzione tra l’immagine in $\mathbb{R}^n$ della curva (ovvero quello che disegnamo), e la curva (parametrizzata) stessa.

Per fissare questo concetto, direi che è ora di vedere un esempio! Vediamo quindi due curve diverse, i cui sostegni però coincidono. Ovvero, in parole povere, i due disegni delle curve coincidono ma le loro parametrizzazioni no.

Esempio Consideriamo due curve $\sigma,\gamma : [0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}^2$ definite come segue:

  • $\sigma(t) = (\cos{t},\sin{t})$
  • $\gamma(t) = (\cos{(2t)}, \sin{(2t)})$.

Intanto vediamo che essendo entrambe le componenti di queste curve delle funzioni trigonometriche, queste curve possono essere derivabili infinite volte e quindi sono curve di classe $C^{\infty}$.

Probabilmente hai già visto queste curve e sai già come rappresentarle, però ho pensato di mostrarti un’animazione in cui è evidente come stiamo parametrizzando ciascuna curva:

https://www.mathone.it/wp-content/uploads/2021/05/SquareToCircle-1.mp4
Qui puoi vedere due punti che scorrono sulla circonferenza unitaria, uno alla velocità doppia dell’altro..ovvero nel tempo in cui un punto fa un singolo giro, l’altro ne fa 2, esattamente come descritto dalle parametrizzazioni viste sopra (il video è realizzato con Manim).

Non c’è molto da approfondire della definizione vista poco fa, se non il fatto che non necessariamente una curva è definita su un dominimo che è un aperto (intervallo) della retta reale. Per esempio, nel caso l’intervallo $I$ sia un insieme compatto (per esempio nel caso $I=[a,b]$) possiamo estendere la definizione della curva su un aperto che contiene tale insieme $I$ propriamente.

Una cosa molto interessante da precisare è che non necessariamente le curve che consideriamo sono iniettive. Un esempio di questa possibilità l’abbiamo visto con la parametrizzazione $\gamma$ vista sopra. Ciò significa che potremmo avere due punti distinti dell’intervallo $I$ che sono mandati nello stesso punto di $\mathbb{R}^n$. Un altro classico esempio è fornito dalla seguente curva:

$$ t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi\right)\mapsto (\cos{t},\sin{t}\cos{t}) $$

Ciò significa, in particolare, che non tutte le curve parametrizzate devono essere rappresentate da un omeomorfismo dell’intervallo $I$ sul sostegno della curva, nel caso tu abbia già utilizzato questo concetto

Un altro classico esempio di curva che di sicuro avrai utilizzato in passato, è quello ottenibile dal grafico di una funzione. Supponi infatti di avere una funzione $f:I\rightarrow\mathbb{R}^{n-1}$ di classe $C^k$. Allora essa definirà il sostegno di una curva, altrettanto regolare, parametrizzata come segue $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n,$ $\sigma(t) = (t,f(t))$.

Prima di passare a vedere il concetto di parametrizzazione tramite lunghezza d’arco, direi che è molto interessante (anche da un punto di vista applicativo) parlare di riparametrizzazione di curve e di curve equivalenti.

Date due curve parametrizzate $\sigma: I \rightarrow\mathbb{R}^n$, $\sigma’:\tilde{I}\rightarrow \mathbb{R}^n$ di classe $C^k$, diciamo che esse sono equivalenti se esiste un diffeomorfismo (funzione differenziabile e invertible, con inversa differenziabile) $h:\tilde{I}\rightarrow I$ della stessa regolarità, tale che $\sigma’ = \sigma\circ h$. Si dice quindi che $\sigma’$ è una riparametrizzazione di $\sigma$.

Prima abbiamo per esempio visto la riparametrizzazione $t\rightarrow 2t$ per muoverci al doppio della velocità lungo la circonferenzia unitaria.

Questo esempio, è anche uno dei vari che potremmo fare per parlare di curve chiuse. Chiaramente le curve chiuse non sono iniettive. La nozione di curva chiusa è stata introdotta nella definizione all’inizio di questa sezione, ma non mi ci soffermo più di tanto dato che penso sia abbastanza intuitivo. Giusto per non trascurare nulla però, ecco un altro esempio di curva chiusa: $$ t\in [0,6\pi]\mapsto (1+\sin{t}, 3+3(\cos{t})^3) $$

Parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco

Essendo che in tutta la serie di articoli che sto iniziando con questo parleremo di geometria differenziale, vogliamo almeno essere in grado di calcolare le derivate prime degli oggetti che introduciamo. Nel caso delle curve, parametrizzate da $\sigma(t)$, vogliamo quindi che la funzione sia almeno di classe $C^1$.

Un ottimo modo per vedere una curva parametrizzata e capire anche il senso della sua derivata, è quello di pensare in termini fisici. Infatti se noi ci riferiamo al parametro $t\in I$ come un tempo, possiamo dire che il sostegno della curva rappresenta la strada percorsa da una particella in $\mathbb{R}^n$ nell’intervallo temporale $I$.

Ogni particella, oltre ad una strada che percorre, è anche caratterizzata da una velocità con cui la percorre. In un qualche modo (complicato) abbiamo già visto il concetto di velocità di percorrenza di una curva quando abbiamo introdotto la nozione di curve equivalenti. Infatti in tal caso abbiamo detto che due curve sono equivalenti se hanno lo stesso sostegno, il quale è però "coperto" in tempi diversi, ovvero con velocità diverse.

La velocità di una particella, non è altro che la derivata temporale della sua traiettoria. Nel caso quindi di una curva parametrizzata $\sigma(t) = (\sigma_1(t),…,\sigma_n(t))$, possiamo calcolare la derivata che sarà ancora un vettore di $\mathbb{R}^n$ definito come $\dot{\sigma}(t) = (\dot{\sigma}_1(t), … ,\dot{\sigma}_n(t))$. Questa derivata, come siamo abituati a pensare per qualsiasi funzione $f$, geometricamente rappresenta il vettore tangente nel punto $\sigma(t)\in\mathbb{R}^n$ al sostegno della curva in $\sigma(t)$.

Vediamo quindi un esempio di curva parametrizzata con rispettivo calcolo e rappresentazione del vettore tangente. Consideriamo la curva $\sigma(t) = (t,\sin{t})$ con $t\in [0,2\pi]$. La sua derivata definisce il vettore tangente $\sigma’(t) = (1,\cos{t})$ ottenuto semplicemente derivando le singole componenti rispetto a $t$. Qui sotto puoi vedere la rappresentazione grafica di ciò che stiamo facendo:

Una definizione importante in questo contesto è quella di curva regolare.

Diciamo una curva $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$ regolare se per ogni $t\in I$, si ha $\sigma’(t)\neq 0\in\mathbb{R}^n$.

Prima di vedere un esempio di curva non regolare, ci tengo a stressare il fatto che nel caso di curve derivanti dal grafico di una funzione $f$, non avremo mai punti non regolari, ovvero dove la velocità è zero. Infatti tutte le curve di questo tipo prendono la forma $\sigma(t) = (t,f(t))$ e quindi $\sigma’(t) = (1,f'(t))$ che è sempre diverso dal vettore nullo.

Ecco un semplice esempio di curva non regolare: $\sigma(t) = (t^2,t^3)$ con $t\in [0,1]$. Infatti qui abbiamo $\sigma’(t) = (2t,3t^2)$ che si azzera in $t=0$. Ecco qui il grafico di questa situazione:

Come puoi vedere, il vettore tangente continua ad allungarsi mano a mano che $t$ cresce, però coincide con il vettore nullo nel caso $t=0$.

Questo allungamento del vettore tangente, non è sempre una cosa desiderabile dato che ci impone di "portarci dietro" delle normalizzazioni per definire concetti quale curvatura o torsione della curva. Ecco quindi che entra in gioco la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco di cui volevo parlarti in questa sezione.

Una curva $\sigma$ di classe $C^k$, con $k\geq 1$, che è parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco ha $|\sigma’(t)|\equiv 1$.

Parleremo di curve parametrizzate rispetto alla lunghezza d’arco quando la velocità istantanea di queste è unitaria in termini di modulo. Ogni sostegno di una curva ammette una ed una sola parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco. E’ abbastanza chiaro poi che nel caso di questa scelta della parametrizzazione, il vettore tangente non potrà mai annullarsi e quindi avremo sempre curve regolari.

Per tutte queste belle proprietà, spesso questa parametrizzazione viene chiamata parametrizzazione naturale. Per riferirci ad una curva parametrizzata in questo modo, invece di $t$ useremo il parametro $s$. Vediamo quindi un semplice esempio.

Consideriamo la curva $\sigma(t) = (r\cos{t},r\sin{t})$, con $t\in [0,2\pi]$. Essa chiaramente non ha vettore tangente in norma unitaria, quindi questa non è una parametrizzazione naturale della circonferenza unitaria. Cerchiamo quindi di ricavarla.

Per ricavare il parametro lunghezza d’arco di $\sigma$ possiamo ricorrere alla seguente definizione

Consideriamo una curva $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$ di classe $C^k$ con $k\geq 1$. Fissato un $t_0\in I$, la lunghezza d’arco di $\sigma$ a partire da $t_0$ è la funzione $s:I\rightarrow \mathbb{R}$ data da $$ s(t) = \int_{t_0}^t |\sigma’(r)|dr. $$

Ciò ci porta a dire che una curva è parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco se e solo se $s(t) = t-t_0$, ovvero se a meno di traslazioni $t$ coincide con $s(t)$.

Torniamo quindi al nostro esempio. In questo caso $\sigma’(t) = (-r\sin{t},r\cos{t})$ e quindi $|\sigma’(t)|=r$. Possiamo quindi calcolare la lunghezza d’arco di questa curva tramite l’integrale visto poco fa, ovvero $$ s(t) = \int_{t_0}^t |\sigma’(r)|dr = r(t-t_0). $$ Questo implica che, scegliendo $t_0=0$, otterremo la lunghezza d’arco $s(t) = rt$.

Se quindi sostituiamo a $t$, la quantità $s/r$ nella parametrizzazione $\sigma(t) = (r\cos{t},r\sin{t})$ otterremo una curva parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco $s$ : $$\sigma(s/r) = \left(r\cos{\left(\frac{s}{r}\right)},r\sin{\left(\frac{s}{r}\right)}\right) = \tilde{\sigma}(s).$$ Se infatti calcoliamo la norma del vettore tangente a $\tilde{\sigma}$ otterremo $|\tilde{\sigma}'(s)|=\left(r^2\left(\frac{1}{r^2}\cos{(s/r)}^{2}+\frac{1}{r^2}\sin{(s/r)}^2\right)\right)^{1/2} = 1$.

Puoi divertirti ora a calcolare la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco di tutte le curve che abbiamo visto negli esempi sopra

Prima di passare alla prossima sezione, direi che è un buon momento per vedere un altro esempio molto interessante. Infatti di sicuro hai avuto modo di disegnare e studiare delle rette del piano o dello spazio. Queste sono curve tanto quanto quelle "che curvano" e abbiamo visto fino ad adesso. Ecco quindi brevemente quello che possiamo fare per parametrizzare una retta del piano e come trasformarla rispetto alla lunghezza d’arco. La retta che consideriamo è della forma $\sigma(t) = (t,mt+q)$, la cui derivata è $\dot{\sigma}(t) = (1,m)$. Intanto notiamo una cosa molto importante, ovvero che il vettore tangente che abbiamo trovato è costante, cosa che non è successa per nessuna delle curve precedenti.

La norma di tale vettore è costantemente uguale a $|\dot{\sigma}(t)| = \sqrt{1+m^2}$.

Abbiamo quindi visto che la lunghezza d’arco rispetto a $t_0=0$ è $s(t) = t\sqrt{1+m^2}$. Se sostituiamo $t = s/\sqrt{1+m^2}$ otteniamo la riparametrizzazione della retta rispetto alla lunghezza d’arco : $$ \sigma\left(\frac{s}{\sqrt{1+m^2}} \right) = \left(\frac{s}{\sqrt{1+m^2}},s\frac{m}{\sqrt{1+m^2}} + q \right). $$

Ottimo, ora siamo pronti per vedere in modo più chiaro cosa intendiamo con la frase la retta non è una curva che cuva mentre le altre che abbiamo visto sì. In particolare vedremo che una retta è una curva con curvatura zero.

Curvatura e torsione

Nel concludere la precedente sezione abbiamo realizzato che il vettore tangente ad una retta è costante e ciò si è verificato solo in quel caso. Possiamo quindi pensare ad una "curva che curva" come una curva il cui vettore tangente non è costante rispetto al parametro $t$ o $s$ nel caso della lunghezza d’arco.

Il vettore tangente a $\sigma(t)$, qualora essa sia una curva regolare e di classe almeno $C^1$, è sempre derivabile ed ha norma sempre maggiore di zero. Per cui possiamo tranquillamente anche definire una normalizzazione di questo vettore, semplicemente dividendo $\sigma’$ rispetto alla sua norma. Il motivo per cui vogliamo fare ciò, è che ci interessa parlare di come il vettore tangente varia lungo la curva, ma non ci interessano variazioni in norma, ma solo in direzione. E’ infatti intuitivo pensare a come una "curva curvi" parlando della variazione in direzione di tale vettore tangente.

Ecco quindi quello che possiamo chiamare versore tangente a $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$ di classe $C^k$: $$ u(t) = \frac{\sigma’(t)}{|\sigma’(t)|}$$ che è una ben definita funzione da $I$ a $\mathbb{R}^n$ di classe $C^{k-1}$.

Una cosa importante da notare è che nel caso $\sigma$ sia parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco, abbiamo $|\sigma’(s)|\equiv 1$. In tal caso quindi abbiamo semplicemente $u(s) = \dot{\sigma}(s) = d\sigma(s)/ds$.

Ora abbiamo tutti gli strumenti per poter parlare di curvatura, semplicemente come norma della derivata del versore tangente. Infatti l’unico modo in cui può variare il versore tangente è in direzione, dato che la sua norma è fissata, quindi tale derivata misura effettivamente quanto la nostra curva $\sigma$ curva.

Definiamo quindi la curvatura di $\sigma$ come la funzione $k:I\rightarrow\mathbb{R}^+$ di classe $C^{k-2}$ data da $$ k(s) = |\dot{u}(s)| = |\ddot{\sigma}(s)|. $$ Introduciamo anche un’altra notazione, che ci verrà comoda anche per i ragionamenti futuri, ovvero quella di curva biregolare. Abbiamo visto che una curva è regolare se la sua derivata non si annulla mai, mentre è biregolare se la sua curvatura non è mai zero.

E’ quindi un ottimo momento per vedere qual è la curvatura della retta che abbiamo parametrizzato rispetto alla lunghezza d’arco prima, ovvero $$ \sigma(s) = \left(\frac{s}{\sqrt{1+m^2}},s\frac{m}{\sqrt{1+m^2}} + q \right). $$ La derivata è $$ \dot{\sigma}(s) = \left(\frac{1}{\sqrt{1+m^2}},\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}\right) = u(s). $$ La curvatura è quindi la norma di $$ \ddot{\sigma}(s) = \left(0,0\right). $$ Ecco quindi "mostrato" che la curvatura di una retta è 0, come avevamo intuito in precedenza ma ora è più rigoroso.

Il perfetto esempio di "curva che curva" è una circonferenza, in tal caso vedremo che la curvatura è costante. La curvatura infatti ci fornisce un valore che è il reciproco di quello che chiamiamo raggio di curvatura. Data una curva $\sigma(s)$ ed un punto $\sigma(\bar{s})$ su essa, possiamo localmente vedere l’archetto nel sostegno intorno al punto $\sigma(\bar{s})$ come l’arco di una circonferenza, questa circonferenza avrà raggio pari a $1/k(\bar{s})$, ed è chiamato raggio di curvatura. Chiaramente tale raggio di curvatura è ben definito solo per curve biregolari, dato che dividiamo per la curvatura che deve essere diversa da zero. Nel caso di curvatura nulla, possiamo invece pensare ad un raggio di curvatura "infinito".

Per capire meglio il concetto ecco un paio di grafici legati alla curva $\sigma(s) = (\log{(s+\sqrt{1+s^2})}, \sqrt{1+s^2}) $ che dovrebbero aiutare:

Qui sopra abbiamo la circonferenza che nel punto $(0,1)$ è in grado di descrivere il modo in cui essa curva, che ha raggio $1 =1/k(0)$. Penso che con queste immagini sia parecchio chiaro cosa intendiamo per curvatura e raggio di curvatura, nel caso ciò non lo sia non farti problemi a scrivere un commento sotto all’articolo .

Oltre al versore tangente, possiamo anche definire un altro vettore molto importante per la curva $\sigma$, che è il versore normale. Intanto notiamo subito una cosa interessante, ovvero che la derivata del versore tangente $\dot{u}(s)$ è perpendicolare al vettore tangente $u(s)$ rispetto al prodotto scalare standard di $\mathbb{R}^n$. Infatti sappiamo che la norma di $u$ è costanetemente uguale a $1$ per costruzione, e quindi $u^T(s)u(s) \equiv 1$. Ciò implica che, se deriviamo entrambi i membri dell’equazione, otteniamo $\dot{u}^T(s)u(s) \equiv 0$, ovvero che $u(s)$ è ortogonale a $\dot{u}(s)$ per ogni $s$.

Possiamo quindi semplicemente normalizzare il vettore normale appena trovato e definire il versore normale alla curva nella posizione $s$. Esso è $n(s) = \dot{u}(s) /|\dot{u}(s)| = \dot{u}(s)/k(s)$. La curva $\sigma(s)$ localmente vive anche in un piano molto particolare, quello che è chiamato piano osculatore. Esso è quello definito dal vettore tangente e dal vettore normale appena definiti, ovvero $\sigma(s) + Span(n(s),u(s))$. Esso varia con $s$ ed è proprio questa variazione che ci permette di definire un altro concetto super importante per la teoria delle curve, ovvero quello di torsione.

Ah..prima di passare a parlare di torsione, ci tengo a dire che il versore normale e la curvatura sono calcolabili anche senza avere disponibile la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco, però ho deciso di non trattarla in questo articolo. Se però ti interessa, puoi per esempio andare a studiarti il lemma 1.3.10 del libro Abate Tovena.

Andando ad intuito, come definiresti una curva piana? Probabilmente ti verrà da pensare a delle curve nel piano cartesiano o, se hai un po’ più di esperienza in termini matematici, parlerai di curve in spazi di dimensione più alta ma che però sono contenuti in un singolo piano.

Avendo però appena introdotto cosa intendiamo per piano osculatore, possiamo quindi definire rigorosamente cosa intendiamo per curva piana:

Una curva piana è una curva per la quale il piano osculatore è costante per ogni $s$.

Tuttavia una curva è abbastanza chiaro che possa uscire da un piano, e quindi il piano osculatore torcersi. Per provare a chiarire l’idea, ecco qui un’immagine:

Chiaramente questa curva non sta tutta sullo stesso piano. Calcolare il piano osculatore di questa curva, di parametrizzazione $\sigma(t) = (\cos{t},\sin{t},t)$ passando per la lunghezza d’arco, sarebbe bello intricato e quindi evitiamo. Se però ti va di provare a farlo, ti consiglio di andarti a recuperare la formula menzionata prima (lemma 1.3.10 del libro).

Ora ci concentriamo sulle curve nello spazio $\mathbb{R}^3$. Una cosa molto interessante, è che un piano nello spazio $\mathbb{R}^3$ è unicamente identificato dal vettore normale ad esso. Ricordando quindi che il piano osculatore, nel quale la curva sta in un intorno di un suo punto, è definito dai versori tangente e normale, possiamo calcolare l’unico versore ad essi ortogonali. Questo definirà univocamente tale piano osculatore.

Tale vettore ha anche un nome, è infatti chiamato versore binormale. Esso è definito come $b = u\wedge n$ dove $\wedge$ definisce il prodotto vettoriale tra il versore tangente e il versore normale. Il motivo per cui esso abbia norma 1, e quindi possa essere chiamato versore, è che $u$ e $n$ sono ortogonali e $|b|= |u|\cdot|n|\cdot|\sin{\alpha}| = |u|\cdot|n| = 1$, dove $\alpha$ è l’angolo tra i due vettori, che in questo caso è $\pi/2$.

Tutto ciò ha anche una denominazione, infatti i versori tangente, normale e binormale sono particolarmente rilevanti per lo studio delle curve nello spazio, essi sono chiamati (insieme) triedro di Frenet-Serret associato alla curva $\{u(s),n(s),b(s)\}$.

A questo punto possiamo concludere la nostra discussione definendo cosa si intende per torsione e vedendo un modo semplice per caprie se una curva è piana. Diciamo infatti una curva biregolare piana, se il vettore binormale è sempre costante, infatti esso definisce il vettore ortogonale al piano osculatore. Se quindi lui non varia al variare di $s$, allora nemmeno il piano osculatore lo farà. Di conseguenza, anche il sostegno della curva sarà interamente contenuto in un piano.

Tutto quest’ultimo ragionamento ci porta al dire che il vettore binormale, e il modo in cui varia, è in grado di definire la torsione della curva. Per costruzione, il vettore binormale sarà ortogonale alla sua derivata rispetto ad $s$. Infatti ancora $b^T(s)b(s)\equiv 1$ e quindi $\dot{b}^T(s)b(s)\equiv 0$. Ciò implica che, essendo che ci stiamo riferendo a curve in $\mathbb{R}^3$, se un vettore è ortogonale a $b$, allora vive nel piano definito da $u(s)$ e $n(s)$, ovvero nel piano osculatore. Infatti $$\dot{b}(s) = \dot{u}(s)\wedge n(s) + u(s)\wedge \dot{n}(s) = u(s)\wedge \dot{n}(s) $$ visto che $\dot{u}(s)$ è parallelo a $n(s)$ (è solo la sua normalizzazione). Ciò ci porta anche a dire che $\dot{b}(s)$ è perpendicolare sia a $u(s)$ che a $\dot{n}(s)$, deve quindi essere un multiplo di $n(s)$.

Siamo finalmente pronti a parlare di torsione. Essa è la funzione $\tau:I\rightarrow\mathbb{R}$ di classe $C^{k-3}$, dove $\sigma\in C^k$, tale che $\dot{b}(s) = -\tau(s) n(s)$. Quindi la curva è piana se e solo se la curvatura $\tau(s)$ è identicamente nulla.

In questa trattazione fatta fino ad ora ho preferito dare spazio all’intuizione piuttosto che al ragionamento rigoroso, quindi in certi punti ho omesso requisiti di regolarità delle curve e funzioni utilizzate. Questo non perchè non siano importanti, tutt’altro, però per una comprensione iniziale ritengo sia più importante concentrarsi sul "big picture", dopo per capire meglio il tutto basta addentrarsi nei libri tecnici (come l’Abate Tovena. )

Potremmo dire dell’altro o fare più esempi, ma per ora direi che possiamo finire qui, ci leggiamo al prossimo articolo per proseguire con la discussione riguardo le curve .

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