logica matematica

La crisi dei fondamenti: Possiamo fidarci della matematica?

Nel nostro tentativo di ripercorrere le tappe che hanno portato alla moderna concezione della matematica e della logica ci siamo fermati alla lettera di Russell al povero Frege, che ha visto crollare davanti ai propri occhi il lavoro di una vita. Era riuscito ad erigere un monumento grandioso alla potenza espressiva della pura logica, un palazzo curato nei minimi particolari, che però poggiava le proprie fondamenta sul paradosso.

In quegli stessi anni inoltre i lavori di Cantor stavano prendendo piede nella comunità matematica, e i suoi risultati estremamente controintuitivi non facevano altro che aumentare la preoccupazione riguardo i metodi utilizzati dalla matematica. Come possiamo essere certi che le dimostrazioni siano corrette se non abbiamo nemmeno una definizione univoca di cosa sia una dimostrazione? Come possiamo dunque fidarci della matematica?

Ed ora, proprio quando si sentiva maggiormente il bisogno di una formalizzazione dei metodi matematici, l’ennesimo paradosso salta fuori e manda all’aria il più grande tentativo di formalizzazione nella storia della matematica.

Una battaglia grandiosa e decisiva

Ben dieci anni prima di ricevere la devastante lettera di Russell, lo stesso Frege, commentando i lavori di Cantor sul transfinito, scriveva:

Alla fine, infatti, l’infinito rifiuterà di lasciarsi escludere dall’aritmetica … Possiamo dunque prevedere che questo problema costituirà lo scenario di una battaglia grandiosa e decisiva”.

Non poteva certo immaginare che la prima vittima di questa battaglia sarebbe stata proprio la sua Ideografia. È evidente infatti come il metodo diagonale di Cantor sia stato di ispirazione per la costruzione dell’insieme paradossale di Russell: l’insieme di tutti gli insiemi che non hanno se stessi come elemento.

La lettera di Russell mise nero su bianco che l’allora concezione sui fondamenti della matematica poggiava su principi contraddittori. Non sorprende quindi che i più grandi matematici dell’epoca iniziarono ad interessarsi al problema, scendendo in campo in diverse fazioni nella battaglia grandiosa e decisiva pronosticata da Frege.

I logicisti

Bertrand Russell e Alfred North Whitehead

Una di queste fazioni fu quella dei logicisti. Questi, proprio come Frege, sostenevano con convinzione che la matematica discende dalla logica.

Uno dei massimi esponenti di questo lato del campo di battaglia fu proprio colui che aveva appena sferrato un colpo quasi mortale alla corrente logicista: Bertrand Russell.

Russell infatti credeva che i problemi riscontrati con l’Ideografia fossero peculiari della costruzione di Frege e non inerenti nell’approccio logicista. Tentò quindi di rimediare ai danni che provocò la scoperta del suo paradosso, elaborando con il suo ex professore a Cambridge Alfred North Whitehead, i tre volumi dei Principia Mathematica.

Secondo Russell il problema al cuore del paradosso era l’autoriferimento, che dunque andava evitato in tutti i modi. Per questo elaborò la teoria dei tipi: nella costruzione dei Principia Mathematica ogni oggetto, ogni proposizione, ogni insieme, ha un proprio livello, e ogni oggetto non può riferirsi ad oggetti di livello pari o superiore al proprio. In questo modo, per esempio, l’insieme A non può avere come elemento l’insieme A. Non può esserci alcun “insieme di tutti gli insiemi”, che dovrebbe contenere se stesso. Non può esserci una proposizione che afferma “Questa proposizione è falsa”…

Con questa costruzione estremamente cauta e vincolante Russell sperava di evitare paradossi come quello enunciato nella lettera a Frege.

Vedremo però che l’autoriferimento sarà un nemico molto più difficile da sconfiggere di quel che Russell credeva. Riuscirà infatti a celarsi tra le maglie strette della costruzione dei Principia Mathematica senza essere smascherato fino a diversi anni dopo, quando, nel 1931, proprio facendo uso dell’autoriferimento nascosto nell’opera di Russell e Whitehead, una delle più grandi menti dello scorso secolo dimostrò il risultato più sconvolgente nella storia della matematica. Ma andiamo con calma, ci arriveremo.

Gli intuizionisti

Sul lato opposto del campo di battaglia era schierata la fazione degli intuizionisti. Contrariamente ai logicisti, questi credevano che la sola logica non avrebbe mai potuto comprendere tutti i ragionamenti matematici, che non si basano sulla logica, bensì sull’intuizione. Per loro la matematica è un’attività costruttiva che precede la logica, che invece è solo descrittiva.

Tra le fila degli intuizionisti possiamo trovare grandi matematici dell’epoca come Leopold Kronecker, acerrimo oppositore di Cantor, Henri Poincaré, Hermann Weyl, e Luitzen Brouwer, il fondatore vero e proprio dell’intuizionismo.

Da sinistra a destra: L. Kronecker, H. Poincarè, H. Weyl, L. Brouwer

Per loro il concetto di “esistenza” in matematica era stato travisato ormai da tempo, ed era stato questo a portare ai risultati controintuitivi di Cantor: per dire che una qualche entità esiste in matematica occorre esporre un metodo costruttivo per trovarla, non basta dimostrare che la sua non-esistenza porta a contraddizioni. In questo modo l’intuizionismo rifiutava il ruolo del principio del terzo escluso in matematica, il principio logico su cui si basano le dimostrazioni per assurdo.

Il grande David Hilbert, che trovava assurde le pretese del costruttivismo, commentò a riguardo:

Privare un matematico della possibilità di fare dimostrazioni per assurdo sarebbe come fare combattere un pugile con le mani legate dietro la schiena.

O anche, durante una sua lezione:

“Sono certo che tra i presenti in aula c’è sicuramente qualcuno che ha in testa meno capelli di tutti gli altri, e il fatto che io non abbia un modo ovvio di individuarlo non nega la sua esistenza”.

L’approccio formalista

David Hilbert

Le ultime citazioni ci fanno capire quanto Hilbert fosse critico nei confronti dell’approccio intuizionista. La sua concezione della matematica era del tutto diversa. Per Hilbert la matematica è pura forma e non ha, ne ha la pretesa di avere, alcun significato fisico. La matematica non si intuisce, si crea.

Proprio per questo le caratteristiche fondamentali da ricercare in un sistema formale non sono l’evidenza degli assiomi o la costruttività delle dimostrazioni, bensì la coerenza e la completezza del formalismo adottato.

Facciamo il punto della situazione. Frege aveva costruito un sistema formale in grado di rappresentare gli usuali ragionamenti matematici come manipolazione di simboli. Aveva posto alla base della sua costruzione i due assiomi che abbiamo visto essere responsabili dell’antinomia di Russell: il principio di comprensione e il principio di astrazione. Sembravano evidenti a prima vista, e questo è un punto fondamentale: se anche partendo da due principi evidenti si giunge a contraddizione, che speranza c’è di fondare la matematica su basi solide?

Ecco che viene fuori la prima caratteristica fondamentale che un sistema formale deve avere, la coerenza: non deve essere contraddittorio. Non basta che gli assiomi siano evidenti, occorre che non sia possibile derivare da essi, seguendo le regole fissate, sia una formula $A$ sia la sua negazione non-$A$.

Ora, tra tutti i possibili sistemi formali non contraddittori, ce ne serve uno in grado di rappresentare la matematica, o almeno l’aritmetica (i lavori di Dedekind e Peano avevano già mostrato che dall’aritmetica è possibile ricavare il resto della matematica), ci serve dunque che sia completo: se una proprietà è vera in matematica, deve essere possibile raggiungere, a partire dagli assiomi del nostro sistema formale, la formula corrispondente a quella proprietà.

Piccola nota: la completezza è sempre una nozione relativa all’insieme dei ragionamenti che vogliamo rappresentare nel nostro sistema formale. Per esempio la logica del primo ordine è completa nel senso che ogni formula logicamente valida è raggiungibile a partire dagli assiomi seguendo le regole di inferenza. Ovviamente le formule logicamente valide sono un sottoinsieme delle formule vere nell’aritmetica. Prendiamo ad esempio la formula “$\forall x \exists y , y>x$”. Questa è vera nella struttura dei numeri naturali, ma possiamo trovare tantissime strutture numeriche in cui non è vera, per esempio un qualunque insieme finito dotato dell’usuale relazione d’ordine $>$, quindi non è una formula logicamente valida.

Un sistema formale coerente e completo

Ora si pone il problema di trovare un tale sistema formale, che sia allo stesso tempo non contraddittorio e completo. Prima di tutto, ne esiste uno?

Certo che esiste! Basta prendere il sistema che ha per assiomi tutte le formule vere nell’aritmetica e nessuna regola di inferenza. Bene, abbiamo risolto tutti i nostri problemi? Abbiamo trovato finalmente dei fondamenti solidi per la matematica? Sfortunatamente no. Con un tale sistema, per quanto completo e coerente, non saremmo in grado né di trovare risultati nuovi, né di verificare se un risultato sia vero o meno.

Se vogliamo fare matematica ci serve un’ulteriore vincolo per il sistema: la decidibilità. Deve esistere una procedura effettiva in grado di decidere se una dimostrazione data sia corretta o meno.

Ecco dunque il Programma di Hilbert: trovare un sistema formale coerente, completo e decidibile.

Ricordate il sogno di Leibniz? Eccolo di nuovo, due secoli dopo. Certo, Leibniz sognava un sistema completo rispetto a tutto lo scibile umano, mentre Hilbert si sarebbe accontentato di comprendere anche solo la matematica, ma l’idea fondamentale è sempre la stessa.

Ora non rimane che cercare questa moderna characteristica universalis.

Da dove nascono le considerazioni di Hilbert?

Il primo risultato che rese famoso Hilbert fu la dimostrazione della congettura di Gordan, un problema della teoria degli invarianti algebrici. La dimostrazione di Hilbert all’epoca destò molto scalpore perché si trattava di una dimostrazione non costruttiva: sfruttando un risultato molto più generale e profondo, oggi noto come Teorema della base di Hilbert, dimostrò che ipotizzando falsa la congettura di Gordan si sarebbe generata una contraddizione.

Kronecker, fermo costruttivista, era un personaggio molto influente nella matematica tedesca e per questo le critiche alla dimostrazione di Hilbert non tardarono ad arrivare. Lo stesso Gordan, quando lesse per la prima volta la dimostrazione di Hilbert esclamò: “Questa non è matematica, è teologia!”. Poco tempo dopo allora Hilbert presentò una nuova dimostrazione, stavolta pienamente costruttiva. La prima dimostrazione rimaneva però un’emblema della potenza del pensiero astratto e spalancò una finestra sulla matematica del nuovo secolo.

Anni dopo, quando l’utilità del metodo di Hilbert fu universalmente riconosciuta, anche Gordan fece un passo indietro e disse pubblicamente: “Debbo ammettere che anche la teologia ha i suoi pregi.”

I fondamenti della geometria

Nel 1898 Hilbert tenne all’università di Gottinga un corso di geometria euclidea. Geometria euclidea? Ma non è un argomento troppo semplice per un corso universitario? Dopotutto oggi, così come allora, si studia alle scuole secondarie.

Ma Hilbert aveva in mente un modo del tutto nuovo di approcciare la geometria. Nel suo corso ne avrebbe esposto una nuova assiomatizzazione in modo da renderla una disciplina pienamente formale, in cui l’intuizione non avrebbe avuto più alcuno spazio.

Gli Elementi di Euclide è stata una delle opere più importanti della storia della matematica. In essa il matematico greco, a partire dai famosi cinque postulati sviluppava tutte le proposizioni ed i teoremi della geometria elementare che ci hanno insegnato a scuola. Un’opera maestosa, che dalla sua prima stesura nel IV secolo a.C. fino ad Hilbert, a inizio ‘900, fu usata per l’insegnamento della geometria, resistendo a più di due millenni di storia.

Si scoprì però che gli assiomi di Euclide non erano in realtà sufficienti a dedurre tutte le proposizioni che Euclide faceva discendere da essi, si potrebbe dire che non erano completi. Il primo ad accorgersene fu il vecchio Leibniz, che abbiamo già incontrato.

Già la prima proposizione del primo libro degli Elementi di Euclide infatti non discende direttamente dai 5 assiomi. Essa spiega come “Sopra una data retta finita (segmento), costruire un triangolo equilatero”.


Euclide prescrive di tracciare gli archi AC e BC, di centro rispettivamente A e B e ampiezza AB. Il punto in cui i due archi si intersecano sarà equidistante dai punti A e B, sarà quindi un vertice del triangolo equilatero ABC.

Ma come possiamo essere sicuri che i due archi di cerchio si incontrino? Sembra evidente, ma noi stiamo cercando di fondare la matematica sul puro formalismo, proprio perché non vogliamo che l’intuito, che più volte ci ha ingannato, continui a intrufolarsi nelle nostre deduzioni.

Come recita una famosa citazione di Hilbert, la geometria dovrebbe funzionare ugualmente se ai termini “piano”, “retta” e “punto” sostituissimo “tavoli”, “sedie” e “boccali di birra”, a patto che le relazioni tra questi oggetti siano quelle descritte dagli assiomi.

Ebbene, nessun assioma assicura che due archi, o anche due rette, se non sono parallele, debbano per forza incontrarsi in un punto. Dalla necessità di esplicitare questo fatto si formulò un nuovo assioma: l’assioma di continuità della retta.

Pian piano si scoprì che questa non fu l’unica dimenticanza di Euclide.

L’opera di Hilbert aveva lo scopo proprio di trovare tutti gli assiomi necessari a costruire la geometria descritta da Euclide.

La grande novità in questo lavoro è che Hilbert fu il primo a porsi il problema di come dimostrare la completezza e la coerenza del suo sistema di assiomi.

Riuscì nell’impresa di dimostrare che il suo sistema era coerente. Per farlo ebbe l’idea di applicare i metodi della matematica al suo sistema. Capì che per analizzare le dimostrazioni matematiche sarebbe stata necessaria una metamatematica: una teoria della dimostrazione.

(Dimostrarne anche la completezza era un problema più delicato: nel 1951 il logico polacco Alfred Tarski riuscì a dimostrare la completezza di una versione della geometria euclidea)

L’idea fondamentale della dimostrazione di coerenza della geometria fu quella di ridurre il problema alla consistenza della teoria dei numeri reali, che a sua volta poggiava le basi sull’aritmetica. In questo modo se l’aritmetica è consistente, allora deve esserlo necessariamente anche la geometria.

Ora però il problema si è spostato: chi ci dice che l’aritmetica non sia contraddittoria?

Dalla necessità di rispondere a questa domanda nacque il Programma di Hilbert, di cui abbiamo parlato qualche riga più su.

In matematica non ci sono ignorabimus

Hilbert era più che certo del fatto che il suo programma avrebbe avuto successo, si trattava solo di capire quanto tempo sarebbe stato necessario a trovare il sistema formale giusto.

Dopotutto il trovare un tale sistema significherebbe avere una prova di qualcosa che sembra essere del tutto naturale: in matematica non esistono domande senza risposta.

Chiunque si sia mai appassionato alla matematica deve sicuramente parte di questa passione a questa certezza che si instilla in noi ogni volta che incontriamo una nuova dimostrazione.

Douglas Hofstadter, autore di Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante, chiama questa certezza “Il credo del matematico”, che si compone di due proposizioni:

$A$ è vero perché esiste una dimostrazione di $A$

$A$ è vero e quindi esiste una dimostrazione di $A$

Il sistema decidibile, coerente e completo del Programma di Hilbert avrebbe dato la prova definitiva che per ogni affermazione nel campo della matematica sarebbe stato possibile trovare una dimostrazione di essa o una dimostrazione della sua negazione.

Sono ormai passate alla storia le parole di Hilbert con cui mise in luce questo fatto:

Come esempio del modo in cui le questioni fondamentali possono essere trattate [nella teoria della dimostrazione], vorrei scegliere la tesi che ogni problema matematico può essere risolto. Ne siamo tutti convinti. Dopotutto, una delle cose che ci attraggono maggiormente quando ci dedichiamo a un problema matematico è precisamente che, dentro di noi, sentiamo sempre il richiamo: ecco il problema, cerca la soluzione; puoi trovarla col puro pensiero, perché in matematica non ci sono ignorabimus. Ora, certamente la mia teoria della dimostrazione non può specificare un metodo generale per risolvere ogni problema matematico, ciò non esiste. Ma la dimostrazione che l’assunzione della risolvibilità di ogni problema matematico è coerente cade interamente entro l’ambito della nostra teoria.

Wir müssen wissen, wir werden wissen

L’8 settembre 1930 a Königsberg, in occasione del suo pensionamento, Hilbert venne insignito della cittadinanza onoraria della sua città natale. Durante la cerimonia pronunciò un famoso discorso, pieno di ottimismo, che si concludeva così:

Una volta il filosofo Comte, volendo menzionare un problema insolubile, disse che la scienza non sarebbe mai riuscita a conoscere a fondo il segreto della composizione chimica dei corpi celesti, ma alcuni anni più tardi questo problema fu risolto mediante l’analisi spettrale di Kirchhoff e Bunsen. Il vero motivo per cui Comte non riuscì a trovare un problema insolubile sta, a mio parere, nel fatto che non esiste alcun problema insolubile. Al posto dello stolto ignorabimus, il nostro motto è invece wir müssen wissen, wir werden wissen, “dobbiamo sapere, sapremo”.

Le potenti parole finali furono incise sulla tomba di Hilbert a Gottinga. Paradossalmente però, le aveva pronunciate il giorno dopo, e nello stesso luogo, in cui un giovane matematico, Kurt Gödel, aveva annunciato al mondo il suo sconcertante teorema di incompletezza, che sarà il protagonista del prossimo articolo: in qualunque sistema formale contenente l’aritmetica ci sono proposizioni indecidibili, che non possono essere né dimostrate, né refutate.

Era la fine per il Programma di Hilbert e per il “credo del matematico”.

Per saperne di più

Questo capitolo della storia della matematica è estremamente affascinante e densissimo di avvenimenti, dispute, idee… sarebbe impossibile dire tutto in un articolo.

Se vi interessa l’argomento consiglio qualche risorsa su cui approfondire:

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