Cosa si studia ad analisi 1?

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Ecco alcuni punti chiave del video:

I principali argomenti trattati nel corso sono i seguenti.

  1. Numeri reali: perché ne abbiamo bisogno? Modelli dei numeri reali e definizione assiomatica. Assioma di completezza di $\mathbb{R}$, estremo superiore, inferiore e densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$. Breve riassunto dei concetti topologici della retta reale, aperti, chiusi ecc..
  2. Definizione di limite e nozione di funzione continua. Descrizione dei punti di accumulazione, con altri teoremi fondamentali sui limiti (per esempio il teorema dei carabinieri) e sulla proprietà di continuità.
  3. Nozione di derivata, concetto di massimo e minimo, con teoremi annessi. Per esempio il teorema di Weierstrass. Calcolo delle derivate e relative proprietà.
  4. Teorema di espansione di Taylor, serie di Taylor e conseguenti tecniche per risolvere forme indeterminate nei limiti grazie a questi concetti. esempio $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + … = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}$$
  5. Sviluppo del concetto di serie, somma infinita. Ci si concentra su particolari serie numeriche, si vede cosa si intende per convergenza di serie e vari criteri per valutare questa proprietà.
  6. Introduzione del concetto di integrale, con integrale superiore ed inferiore.  Descrizione delle varie proprietà, delle classi di funzioni integrabili e per esempio del teorema fondamentale del calcolo. Ci si concentra anche sugli integrali impropri (convergenza ecc..)
  7. Equazioni differenziali ordinarie e problemi di Cauchy. Ci si concentra su teoremi di esistenza e unicità, varie classi di ODE per esempio a variabili separabili, a coefficienti costanti del secondo ordine, o metodo di somiglianza –> l’idea è di arrivare a costruire delle soluzioni generali e integrali particolari di ODE. Cenni sullo studio qualitativo.

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