La congettura di Goldbach: cos’è e perchè è importante

Introduzione

La congettura di Goldbach, uno dei più importanti e vecchi problemi irrisolti della teoria dei numeri. In breve, essa afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. Essi possono anche essere uguali.

Vediamo qualche esempio che conferma la regola:

4 = 2+2

6 = 3+3

8 = 5+3

10=5+5

50=37+13

Potrei andare avanti ancora molto, ma purtroppo questi esempi confermano la regola. Non la dimostrano. E’ questo il problema. Per dimostrare una congettura simile, sarebbe necessario sicuramente appoggiarsi ad un concetto di induzione. Ossia dimostrare che tale enunciato, se è vero per i primi n pari, è vero anche per l’n+1-esimo pari.

Potrebbero esserti utili questi due articoli per comprendere ciò che ho scritto:

Introduzione al concetto di dimostrazione

Il principio di induzione: cos’è e a cosa serve

Un po’ di storia

Nel 1742, Goldbach (matematico prussiano), scrisse una lettera ad Eulero. In essa gli propose la seguente congettura:

Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

Eulero, interessato al problema, rispose riformulando il problema in una versione equivalente:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

Quando attualmente si parla di congettura di Goldbach si fa riferimento alla riformulazione di Eulero. Essa viene talvolta chiamata anche con il nome di congettura forte di Goldbach. Essa implica direttamente quella definita “debole”. Quest’ultima afferma che

Tutti i numeri dispari maggiori di 7 possono essere scritti come somma di tre primi.

Il problema? Beh, la maggior parte dei matematici crede nella validità di tali affermazioni. Tuttavia non è ancora stato dimostrato che tutti questi enunciati valgano per ogni n. Ci ha provato qualcuno? Si, in molti. Ora ti riassumerò i tentativi più rilevanti.

1923, Hardy e Littlewood hanno dimostrato che se l’ipotesi di Riemann generalizzata è vera, allora la congettura debole di Goldbach è vera per tutti gli interi dispari sufficientemente grandi.

Nel 1937, Ivan Vinogradov rimosse l’assunzione dell’ipotesi di Riemann generalizzata, mostrando che ogni numero dispari $n>3^{{3^{{15}}}}”> è somma di tre primi. Inoltre, basandosi sulle idee di Vinogradov, Chudakov,van der Corput, e Estermann hanno dimostrato che quasi tutti i numeri pari possono essere scritti come somma di due primi, ossia che la frazione dei numeri che possono essere scritti in tal modo tende a 1. Nel 1975, Hugh Montgomery e Robert Vaughan hanno dato una versione più precisa di questo risultato mostrando che il numero di interi pari minori di N che non sono rappresentabili come somma di due primi è minore di <img class=$ per due costanti $c,C>0″>. Nel 1939 L.G. Schnirelmann provò che ogni numero pari n ≥ 4 può essere scritto come somma di al più 20 numeri primi. Questo numero è stato successivamente abbassato da numerosi matematici; in particolare Olivier Ramaré nel 1995 ha dimostrato che ogni numero pari n ≥ 4 si può scrivere come somma di al più 6 numeri primi Nel corso del XX secolo ci sono stati molti altri importanti risultati che puoi scoprire con qualche semplice ricerca online. Per questo momento voglio citartene solo un paio abbastanza recenti. Un altro risultato importante è quello ottenuto da Chen Jingrun che nel 1966 ha dimostrato che ogni numero pari sufficientemente grande può essere scritto come somma o di due primi, o di un primo e un semiprimo (il prodotto di due primi-per esempio, 100 = 23 + 7·11). Infine, nel corso degli anni ci sono stati diversi risultati per abbassare il limite <img class=$ menzionato sopra oltre al quale la congettura debole di Goldbach è dimostrata. Tra questi, vi è la dimostrazione di Deshouillers, Effinger, te Riele e Zinoviev che l’ipotesi di Riemann generalizzata implica la congettura debole di Goldbach.Nel 2013 Harald Helfgott ha annunciato di aver dimostrato tale risultato senza l’assunzione dell’ipotesi di Riemann, risolvendo totalmente quindi la congettura debole di Goldbach.

Puoi trovare degli interessanti approfondimenti seguendo i seguenti link:

http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/la-congettura-di-goldbach/

http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_conjecture

Perchè dimostrare la congettura di Goldbach potrebbe essere importante?

Come ho sempre detto, da quando ho iniziato questo progetto, io non sono qui per insegnare niente a nessuno. Io sto semplicemente condividendo con voi appassionati di matematica i miei approfondimenti e le mie ricerche.

Abbastanza casualmente, ho incontrato questa congettura (di cui avevo solamente sentito il nome) leggendo il libro “Il teorema del pappagallo”. Ho deciso quindi di informarmi meglio su questa congettura, capire come siamo messi a livello di risultati raggiunti e che conseguenze potrebbe avere una dimostrazione corretta di tale enunciato.

Facendo qualche ricerca su dei forum inglesi (eh si, bisogna imparare a leggere in inglese se si vuole approfondire la matematica come tutte le scienze, ti si apre un mondo) del settore. Ho deciso di riportarti qui di seguito il riassunto di un post tradotto. Mette in evidenza, in poche righe, il perchè questa congettura possa essere importante per la teoria dei numeri.

Lo trovo molto interessante.

La congettura ha più di 250 anni. E’ ancora irrisolta, ma non è ancora stata dimostrata la sua impossibilità. E’ però possibile sbilanciarsi sull’importanza che la validità di tale congettura comporterebbe.

L’enunciato in sè, non è così importante. Se venisse trovata una dimostrazione, l’enunciato non sarebbe minimamente importante tanto quanto è interessante il metodo utilizzato per dimostrarlo. Nella teoria dei numeri, alla quale questa congettura appartiene, non è raro incontrare enunciati di semplicità simile. Ma è spesso incredibilmente difficile risolverli.

Per esempio, è ragionevole pensare che la congettura di Goldbach sia corretta. Questo perchè controllando numeri pari sempre più grandi, il numero delle possibili somme di interi con cui possiamo scrivere tale numero aumentano notevolmente. Diventa quindi sempre più plausibile che in quel gran numero di possibilità, ce ne sia una in cui entrambi gli addendi siano primi. Questo non è però niente di più che un procedimento euristico che supporta la validità della congettura.

Ma dimostrarne l’assoluta verità è tutt’altro problema. Dimostrarecorrettamente tale congettura, comportaunacomprensionepiena e profondadellerelazionitra i numeri e unaammirevoledimestichezza con numerosetecnichedimostrativesofisticate.

Problemi così semplici, nella teoria dei numeri, sono tanto complicati da dimostrare, quanto rilevanti per la teoria dei numeri stessa. Questa e molte altre congetture, infatti, non apportano alcun fantastico risultato, ma contribuiscono notevolmente a sviluppare nuovi teoremi, congetture e teorie in maniera lineare e solida con lo scopo di dimostrare una semplice congettura.

La congettura non è quindi tanto importante in sè, ma lo sarebbero certamente le tecniche utilizzate per risolvere il problema stesso.

Problemi come questo, sono come travi di legno attorno alle quali la matematica cresce come una vigna.

Le nuove teorie introdotte, anche se non aiutano a dimostrare la congettura di Goldbach, diventeranno senz’altro utili in futuro per risolvere qualche problema ben più importante. Fino al giorno in cui tale congettura verrà risolta (se mai ce ne sarà uno..) gli sviluppi che la teoria dei numeri avrà avuto saranno enormi.

Probabilmente il miglioesempio di unacongettura simile, è propriol’ultimoteorema di Fermat chenel 1995 è statodimostrato da Andrew Wiles dopo ben 350 anni di tentativicontinui.

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8 commenti

Francesco Di Noto
15/06/2017 5:08 pm

Salve, sono Francesco. Ottimo l’articolo sulla congettura di Gpldbach. Vorrei segnalare la mia prima dimostrazione, chiara e semplice, del 2004, poi ne sono seguite altre, e cioè sulla congettura debole, (N dispari maggiori o uguale a 7 come somme di tre numeri primi, a quelle estese ( N maggiori di 2k come somma di k pari numeri primi e di 2k +1 come somma di (k+1) dispari numeri primi, ecc. Qui indico il link della prima dimostrazione:
Dimostrazione della congettura di Goldbach – Giovanni Armillotta
http://www.giovanniarmillotta.it/metodo/di_noto14.html

Proof of Goldbach’s Conjecture. Abstract. This our Proof of Goldbach’s conjecture’s positive solution (Goldbach was right), is based on the complementary nature
, per le altre cercare con Google ” Congetture di Goldbach Di Noto
La congettura di Goldbach ci potrebbe far capire perché gli zeri della funzione zeta debbano essere tutti 8e infiniti) sulla retta critica 1/2, e di capire meglio anche l’algoritmo di fattorizzazione di Fermat: p=s -d e q = s+d, con s semisomma (p+q)/2 e d semidiffferenza (q -d)/2. E’ coinvolta la semisomma, e quindi, indirettamente, anche la somma
Esistono metodi di fattorizzazione basati sulla congettura forte e debole di Goldbach Grazie per l’attenzione e buona lettura, Francesco Di Noto

Rispondi
- Davide Murari
  15/06/2017 5:37 pm
  
  Grazie mille per il commento, guarderò sicuramente le dimostrazioni, complimenti 🙂
  
  Rispondi
  - Francesco
    24/06/2017 3:24 pm
    
    Grazie Davide, fammi sapere!
    Ciao, Francesco
    
    Rispondi
- francesco Di Noto
  13/08/2017 5:08 pm
  
  Errata corrige: Nel 13° rigo del mio post, 8 non c’entra, è solo un errore di battitura ; leggasi quindi ” tutti e infiniti…” Circa sempre la congettura di Goldbach, vorrei segnalare anche ” Congettura forte e debole di Goldbach” con Google.o sul nostro sito • http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
  • sezione : teoria delle stringhe e teoria dei numeri
  Grazie per l’attenzione, Francesco
  
  Rispondi
- davide manghisi
  22/02/2019 5:36 pm
  
  vi faccio vedere pure io una dimostrazione.
  Lemma 1 Trovare P e Q numeri naturali , sapendo che:
  a) P + Q = 2 ( 4 λ + 3)
  b) PQ = 4d – 1 +2 ( 4 λ + 3)
  Per ogni λ ≥ 1 e d ≥ 9 ( λ , d numeri naturali )
  Risolvendo si ottiene Δ = 16 [ (2λ + 1)^2 – d] .Se Δ è un quadrato perfetto
  Δ ≥ 0 ↔ λ ≥ [ √d – 1 ]/2
  Quindi :
  P = (4λ + 3) +2 √ [ (2λ+1)^2 – d ]
  Q = (4λ + 3) – 2√ [ (2λ+1)^2 – d ]
  sono numeri naturali
  
  Lemma 2 Trovare P e Q numeri naturali , sapendo che:
  a) P + Q = 2 ( 4 ε + 1)
  b) PQ = 4d – 1 +2 ( 4 ε + 1)
  Per ogni ε ≥ 1 e d ≥ 4 ( ε , d numeri naturali )
  Risolvendo si ottiene Δ = 16 [ (2ε)^2 – d] . Se Δ è un quadrato perfetto
  Δ ≥ 0 ↔ ε ≥ √d /2
  Quindi :
  P = (4ε + 1) +2 √[ (2ε)^2 – d]
  Q = (4ε + 1) -2 √[ (2ε)^2 – d]
  sono numeri naturali
  
  Proposizione I
  Siano:
  P,Q numeri naturali dispari con P ≥ 7 e Q ≥ 7
  w,v numeri naturali primi
  tali che
  v = (P -1)/2
  w = (Q – 1)/2
  
  Siano N , λ ,d numeri naturali tali che
  d = v * w con d ≥ 9
  N = 2(2 λ + 1) per ogni λ ≥ 1.
  v + w = N
  Posto Δ = 16 [ (2λ + 1)^2 – d] con Δ un quadrato perfetto
  Se si verificano una delle seguenti condizioni:
  a) Se (Δ = 0) e (v = w = 2λ + 1 è un numero primo ) e si ha
  φ( (2λ + 1 )^2) = (2λ+1)^2 – (2λ + 1) = 2λ *(2λ + 1).
  
  b) Se (Δ > 0) e ( MCD ( v , w ) = 1 ) e si ha
  φ(v • w) = φ(v) • φ(w) = (v − 1) • (w – 1) = d – 1 – 4λ .
  
  Allora è valida la congettura forte di Goldbach per i numeri del tipo N = 4 λ + 2 per ogni λ ≥ 1.
  
  Dimostrazione
  Se
  v = (P -1)/2
  w = (Q – 1)/2
  allora
  v + w = [P + Q – 2 ] / 2
  v * w = [ PQ – ( P + Q ) +1 ]/4
  Pertanto , essendo
  v + w = N = 2(2 λ + 1) per ogni λ ≥ 1
  d = v *w
  si ha :
  P + Q = 2 ( 4 λ + 3)
  PQ = 4d – 1 +2 ( 4 λ + 3)
  Osservando il LEMMA 1 si ha :
  v = (2λ + 1) + √ [ (2λ+1)^2 – d ]
  w = (2λ + 1) – √ [ (2λ+1)^2 – d ]
  e ho dimostrato la tesi.
  
  Proposizione II
  Siano:
  P,Q numeri naturali dispari con P ≥ 5 e Q ≥ 5
  w,v numeri naturali primi
  tali che
  v = (P -1)/2
  w = (Q – 1)/2
  
  Siano N , ε ,d numeri naturali tali che
  d = v * w con d ≥ 4
  N = 4ε per ogni ε ≥ 1.
  v + w = N
  Posto Δ = 16 [ (2ε)^2 – d] con Δ un quadrato perfetto
  Se si verificano una delle seguenti condizioni:
  a) Se (Δ = 0) e (v = w = 2ε è un numero primo ) e si ha
  φ( (2ε )^2) = (2ε)^2 – (2ε) = 2ε *(2ε – 1).
  
  b) Se (Δ > 0) e ( MCD ( v , w ) = 1 ) e si ha
  φ(v • w) = φ(v) • φ(w) = (v − 1) • (w – 1) = d + 1 – 4ε .
  
  Allora è valida la congettura forte di Goldbach per i numeri del tipo N = 4 ε per ogni ε ≥ 1.
  
  Dimostrazione
  Se
  v = (P -1)/2
  w = (Q – 1)/2
  allora
  v + w = [P + Q – 2 ] / 2
  v * w = [ PQ – ( P + Q ) +1 ]/4
  Pertanto , essendo
  v + w = N = 4ε per ogni ε ≥ 1
  d = v *w
  si ha :
  P + Q = 2 ( 4 ε + 1)
  PQ = 4d – 1 +2 ( 4 ε + 1)
  
  Osservando il LEMMA 2 si ha :
  v = 2ε + √[ (2ε)^2 – d]
  w = 2ε – √[ (2ε)^2 – d]
  
  e ho dimostrato la tesi.
  
  NB Se non si verificano le proposizioni, la congettura di Goldbach non è vera. Questo perché le serie:
  A(ε) = √[ (2ε)^2 – d] per ogni d ≥ 4 e per ogni ε ≥ 1
  B(λ) = √ [ (2λ+1)^2 – d ] per ogni d ≥ 9 e per ogni λ ≥ 1
  Divergono positivamente rispettivamente per ε→ + ∞ e per λ→ + ∞
  
  Rispondi
Francesco Di Noto
16/08/2019 8:06 pm

La congettura di Goldbach potrebbe essere connessa ai numeri perfetti La stima logaritmica di questi ultimi è N/(lnN)^2, formula che potrebbe essere connessa a quella per stimare con buona approssimazione il numero delle coppie di Goldbach per N pari , secondo un lavoretto in preparazione sull’argomento, a vendo intuito l’elemento matematico che regola la minore o maggiore quantità di queste coppie per N pari consecutivi, di forma ciclica 6k-2, 6k e 6k +2, per esempio 52,54,56. Tale lavoro è attualmente in visione ad un matematico per un parere. In caso di parere positivo sarà pubblicato dal medesimo Sulla carte, con apposite tabelle, però, funziona abbastanza bene… Grazie per l’attenzione, Francesco

Rispondi
giuseppe
17/08/2019 4:39 pm

non ci ho capito molto con queste formule letterali che generalizzano, tuttavia mi sono ingegnato a trovare una formula generale che vale per tutti i numeri primi naturali salvo uno ; e indovinate quel’è?
Il numero 2 naturalmente.
formula: sia n il numero primo da trovare;
allora n=( n+1)^2 – (n^2)
esempio: voglio sapere se 97 è un numero primo; come faccio?
lo divido per due e ottengo due numeri che arrotondo uno per eccesso ed uno per difetto; nel nostro caso
97:2= 48,5 ,quindi i numeri sono 48 e 49;
pone faccio la differenza dei quadrati e otteniamo 49^2-48^2= 97
Il nostro maestro Pitagora ci direbbe che il suo teorema ancor prima dei matematici tedeschi( quel
Goldbach) sapeva che i numeri primi si trovano così,
con questo metodo ho trovato tutti Numeri primi fino al numero 1000 e sono in numero pari mentre io avrei stimato che sarebbero stati disparire non avrei sbagliato ma quel numero 2 che capeggi i numeri dispari mi ha alzato il divino e mia detto”ragazzo! lo dovevi sapere che se la distribuzione dei NP nelle centinaia , sono in maggioranza pari allora anche la sommatoria finale dei NP sarà pari. infatti 4 centinaia anni un pari. di numeri dispari e le altre 6 centinaia sono pari.
i Pori sono: 3(14+16)=90;
i disprigioniamo sono: (25+21+17+15)=78;
sommano 90+78 =168 NP.
Riguardo alla formula di Goldbalk , la S= n^2+n + np = 0 ; (n ad iniziare da 2 ) poi 3 e via così
dove np è un numero primo (per ex 37)
allora ( 2^2)+2 (+/-37= 43 e -I 31 I dunque abbiamo trovato altri due numeri primi.
etc prov. con n=4 ; si ha (4^2+4)(+/-37) = 57 e – (17) altri due numeri primi presi con modulo positivo.
Capierete che è un metodo poco scientifico e non ha una dimostrazione geometrica.
Preferisco il metodo di Pitagora.
Saluti, li 17/8/19

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mario
22/01/2020 11:54 am

Leggo che la differenza di due quadrati da un numero primo, anche se qui numeri al quadrato sono consecutivi la differenza
dei loro quadrati dovrebbe essere un quadrato; ma è altro quello che mi preme di dire.
Tutti i numeri pari sono divisibili per due ciò significa che ogni numero pari è rappresentabile da un rettangolo di lati 2 e 1/2 n,
quindi se poniamo n=18 abbiamo : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9
17- 16-15-14-13-.12-11-10 – 9
troviamo 5-13 e 7-11. Più il numero è grande più coppie di primi troveremo ,che forniscono il numero indagato.
Vedi Gauss.

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