Oggi esploreremo uno dei problemi più iconici e affascinanti della teoria dei numeri: la Congettura di Collatz. Questo problema, noto anche come “Problema di Collatz” o “Congettura $3n + 1$”, è tanto semplice da enunciare quanto difficile da dimostrare. È un mistero matematico che ha sfidato alcune delle più brillanti menti nel campo della matematica per decenni.
Se vuoi vedere un video riguardo questo tema, ne ho registrato uno un po’ di tempo fa 🙂
L’Origine della Congettura di Collatz
La congettura prende il nome da Lothar Collatz, il matematico tedesco che la formulò nel 1937. La congettura inizia con un numero intero positivo, generalmente indicato come $n$. Il procedimento è semplice:
- Se $n$ è pari, dividilo per 2.
- Se $n$ è dispari e diverso da 1, moltiplica $n$ per 3 e aggiungi 1.
- Ripeti questi passi fino a quando $n$ diventa 1.
La congettura sostiene che, indipendentemente dal numero iniziale scelto, alla fine si raggiungerà sempre il numero 1. In altre parole, l’algoritmo concluderà in tempo finito. Ad esempio, se iniziamo con $n = 6$, il procedimento sarebbe il seguente:
- 6 è pari, quindi dividi per 2 e ottieni 3.
- 3 è dispari, moltiplica per 3 e aggiungi 1, ottenendo 10.
- 10 è pari, quindi dividi per 2 e ottieni 5.
- 5 è dispari, moltiplica per 3 e aggiungi 1, ottenendo 16.
- Continua il procedimento fino a raggiungere 1: 16, 8, 4, 2, 1.
Puoi notare che, nel nostro esempio, il procedimento ha richiesto 8 iterazioni per raggiungere 1. La domanda fondamentale è: questa congettura è vera per tutti i numeri naturali? Nessuno è stato in grado di dimostrarlo in modo completo fino a oggi.
Per divertirmi un po’, ho generato le sequenze per 50 valori iniziali casuali, e ho rappresentato i risultati ottenuti qui nella figura. Ogni punto nel grafico rappresenta un valore ottenuto applicando l’algoritmo qui sopra. Come si può vedere, alcuni numeri iniziali portano a una crescita considerevole dei valori ottenuti, e anche del numero di passi necessari a convergere. Nonostante ciò, tutti i valori iniziali hanno portato a terminare nel valore 1.
Fare però un esperimento numerico non è sufficiente, ciò che vorrebbero molti matematici è una dimostrazione che valga per ogni $n$!
La Sfida di Collatz
La Congettura di Collatz sembra incredibilmente semplice e può essere compresa da chiunque abbia una conoscenza elementare dei numeri naturali. Tuttavia, la sua dimostrazione è tutto tranne che semplice. La ragione per cui è così difficile dimostrare questa congettura sta nel fatto che coinvolge una dinamica complessa e imprevedibile.
I matematici hanno cercato di dimostrare la congettura attraverso metodi induttivi, analisi numerica, e altre tecniche avanzate. Ma finora nessuno è riuscito a trovare una dimostrazione completa. Paul Erdos, un famoso matematico del XX secolo, ha scherzato dicendo che
La matematica non è ancora pronta per problemi di questo tipo.
(Paul Erdos)
Progressi recenti ed il ruolo di Terrence Tao
Negli ultimi anni, ci sono stati significativi progressi verso la dimostrazione della Congettura di Collatz, grazie in gran parte all’innovativo lavoro di Terrence Tao, un eminente matematico contemporaneo. Tao è noto per aver contribuito a molte aree della matematica, ed è stato premiato con una Medaglia Fields, uno dei più alti riconoscimenti in matematica.
A un certo punto, Tao ha letto un commento su uno dei suoi blog che gli chiedeva perché non cercasse di risolvere la Congettura di Collatz. Questo commento lo ha ispirato a intraprendere uno studio più approfondito del problema, e ha ottenuto risultati sorprendenti.
Tao è riuscito a dimostrare che la congettura è “quasi vera” per la maggior parte dei numeri. Questo significa che per la stragrande maggioranza dei numeri naturali, il procedimento di Collatz alla fine raggiungerà il numero 1. Tuttavia, ci sono ancora alcune eccezioni che rimangono da esplorare.
Il Futuro della Congettura di Collatz
Sebbene la Congettura di Collatz non sia ancora stata dimostrata in modo completo, i progressi compiuti negli ultimi anni ci avvicinano sempre di più a una soluzione. È importante sottolineare che questa congettura ha generato una vasta quantità di interesse e ricerca nella comunità matematica, dimostrando quanto anche i problemi apparentemente semplici possano essere sorprendentemente complessi.
Se sei un appassionato di matematica o semplicemente ti piace l’idea di sfidare te stesso con un rompicapo matematico, puoi esplorare la Congettura di Collatz da solo. Puoi scrivere un codice per eseguire le iterazioni e vedere come si comporta la dinamica al variare dei numeri iniziali. È un modo affascinante per esplorare un problema aperto nella matematica e contribuire alla nostra comprensione di questo mistero numerico.
In conclusione, la Congettura di Collatz rimane uno dei problemi più intriganti e iconici nella teoria dei numeri. Mentre i matematici continuano a lavorare su questa sfida, resta un affascinante enigma che ci ricorda quanto possa essere complessa e sorprendente la matematica, anche nei suoi aspetti più semplici.
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Trovi anche delle slides super interessanti fatte da Terrence Tao su questo tema al link : https://terrytao.files.wordpress.com/2020/02/collatz.pdf
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