Archivi autore: Gianluca Castorina

Meccanica quantistica (parte 3): Evoluzione temporale e principio d’indeterminazione

Bentornati con l’ultimo articolo di questa rubrica sulle basi matematiche della meccanica quantistica. Dopo aver dato un’introduzione storica e concettuale e aver dato le basi matematiche in questa parte ci occupiamo di due aspetti importanti collegati ai concetti introdotti la scorsa volta: l’evoluzione temporale di un sistema e il principio di indeterminazione!

Evoluzione temporale di un sistema

Nella scorsa puntata abbiamo scoperto esattamente a cosa corrispondevano i concetti classici di sistema fisico e di osservabile. Adesso bisogna chiedersi come fanno a variare nel tempo i sistemi fisici, visto che il nostro universo va avanti nel tempo! Questa strada ci porterà alla famigerata equazione di Schrödinger.

Cercando di portare un ragionamento euristico passiamo per la meccanica classica (che puoi approfondire con i consigli di questo articolo). Infatti nella meccanica classica un modo per trattare i sistemi è quello di impostare una funzione, chiamata hamiltoniana, che descrive le interazioni del nostro sistema e si può dimostrare essere equivalente all’energia del sistema stesso. Ma che senso ha creare questa funzione vi chiederete? Bene grazie a questa funzione si possono impostare delle equazioni (dette di Hamilton) che legano le derivate temporali delle variabili fisiche del sistema (posizione e momento) alle derivate dell’hamiltoniana. In questo modo studiare l’evoluzione temporare diventa “facile” (anche se questo termine non sarà approvato da qualunque studente di meccanica analitica).

$ \begin{equation} \begin{array}{ll} \frac{dr(t)}{dt}=-\frac{\partial H(r,p)}{\partial q}\\ \frac{dp(t)}{dt}=\frac{\partial H(r,p)}{\partial p} \\ \end{array} \end{equation}$

Ma questo discorso come ci aiuta a capire la teoria quantistica? Come abbiamo imparato nello scorso articolo per passare ad un “mondo quantistico” ci basta solo considerare uno spazio di Hilbert e cambiare le nostre variabili (osservabili) con operatori giusto? Bene! L’hamiltoniana ha come variabili proprio queste quantità, ci basta quindi banalmente far diventare le nostre variabili continue operatori facendo di conseguenza diventare la nostra hamiltioniana un operatore e il gioco è fatto. In generale per un sistema fisico un hamiltoniana ha quasi sempre questa forma $H=\frac{p^2}{2m}+V(r)$, il primo pezzo è il termine cinetico (cioè di movimento) mentre $V(r)$ contiene i termini di interazione (ad esempio gravitazionale o elettromagnetica).

A questo punto torna la domanda dell’inizio: Come si evolvono nel tempo queste quantità? Se classicamente la risposta erano le equazioni di Hamilton in questo caso invece è l’equazione di Schrödinger !

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi(t)\right>=H\left|\Psi(t)\right>$

Ovviamente la trattazione matematica è molto più formale di così e quest’equazione può essere ricavata da altre ipotesi e non presa come principio primo. Però il senso fisico che sta dietro a questa matematica è il seguente: L’evoulzione nel tempo del nostro stato, data dalla derivata, è collegata a come l’hamiltoniana agisce sullo stato stesso… intuzione non banale direi!

Le applicazioni di questa equazione sono infinite e non basterebbe un libro per elencarle tutte, spero almeno di avervi dato un’idea di come funzioni uno dei pilastri della meccanica quantistica. Passiamo ora all’ultimo e interessantissimo argomento.

Principio di indeterminazione

Eh si, non può mancare una trattazione della meccanica quantistica senza parlare di questo strano fenomeno. Per cercare di capirlo abbiamo accennato negli scorsi articoli al fatto che uno stato ha diverse probabilità di tornare certi autovalori quando viene misurato rispetto a un osservabile (operatore) $\hat{O}$, immaginiamo ora di avere 2 operatori $ \hat{A}$ e $\hat{B}$ e definiamo un’operazione chiamata commutatore:

$ [ \hat{A}, \hat{B} ]= \hat{A} \hat{B} – \hat{B} \hat{B}$

Matematicamente si può dimostrare che se due osservabili non commutano, ovvero l’operazione definita prima non torna zero, allora il loro agire sullo stesso stato non sarà sulla stessa base di autostati (collegata agli autovalori di cui vi parlavo la scorsa volta). Allora che si fa? Semplice si cambia base!

Ma non dobbiamo dimenticarci che lo spazio in cui siamo è comunque di tipo $L^2$ allora come si comporta il cambio di base?… con una trasformata di Fourier!

Per vedere questo basta ricordare quando vi parlai della funzione d’onda $\psi(r)=<r|\psi>$, come base prendemmo le posizioni $|r>$ ma nessuno ci vieta di poterle cambiare con la base di autostati di qualche altro osservatore, come ad esempio $\hat{P}$. Si può dimostrare che il collegamente tra le due funzioni d’onda $\psi(r)$ e $\phi(p)$ è proprio la trasformata di Fourier, confermando quanto prima detto.

Questo ha applicazioni molto interessanti, in quanto come prima detto gli operatori $\hat{R} posizione e $\hat{P}$ l’impulso non commutano portando a questo formalismo.

Questo ci tuffa direttamente nel principio di indeterminazione in quanto le funzioni d’onda, essendo per l’appunto fenomeni ondulatori, hanno una certa indeterminazione intrinseca che è pari a:

$\sigma_A=\sqrt{<\hat{A}^2>-<\hat{A}>^2}$

E se due operatori che non commutano si trovano in gioco nello stesso momento come facciamo, ora che sappiamo che sono collegati da una trasformata di Fourier, a sapere come sono correlate tra di loro?

Esiste la dimostrazione ovviamente, lascerò la fonte ai lettori interessati ma la trovate anche su siti più comuni, l’importante è però sapere che il risultato di questo è il cosidetto principio di indeterminazione di Heisenberg:

$\sigma_A \sigma_B=\frac{|{<\hat{C}>}|}{2}$

Che nel caso di posizione e impulso, il cui commutatore è $[\hat{R},\hat{P}]=i\hbar $, ci da il più conosciuto $ \sigma_R \sigma_P=\frac{\hbar}{2} $

Vi lascio anche un video interessante sull’argomento sperando che vi aiuti meglio a capirlo meglio con la visualizzazione.

Conclusione

Con quest’ultimo articolo la mia serie sulla matematica della meccanica quantistica è finita. È stato un percorso lungo ma spero non complicato per voi da comprendere, anche se riconosco le mia scarse abilità di comunicatore. Quello che però spero sia stato chiaro e che voleva essere il mio obiettivo era far vedere come la matematica sia importantissima nelle scienze fisiche, facendolo con la scusa di parlare un po’ di meccanica quantistica. L’approccio divulgativo e filosofico a questa materia è importante e bello, ma non si può pensare di prescindere dalla matematica come sua parte fondamentale.

Per il resto le fonti per approfondire penso di averle messe un po’ tutte e mi auguro che andiate avanti con lo studio e la scoperta di questa bellissima branca della fisica, alla prossima!

Meccanica quantistica – introduzione alla matematica (Parte 2)

Bentornati in questa serie sulle basi matematiche della meccanica quantistica. Se hai letto il primo articolo sarai curioso di conoscere quale sia il formalismo che si usa (e perchè). Come promesso questa volta mettiamo le mani in pasta con la matematica!

Prima di iniziare voglio fare alcune doverose premesse. Oltre a leggere la prima parte dei questa serie di articoli, ovviamente, consiglio vivamente (anzi direi che è praticamente necessario ) di leggere la serie di articoli di Davide sugli spazi di Hilbert . La serie di articoli in questione sarà parallela alla mia e in molti sensi saranno collegate: infatti la formulazione matematica della meccanica quantistica è nata grazie alla teoria fatta per gli spazi lineari e gli spazi lineari hanno giovato molto del lavoro fatto per la meccanica quantistica (come già accennato nell’articolo da Davide), un altro dei tanti esempi della prolifica e utilissima collaborazione tra matematica e fisica. In quell’articolo sono presenti concetti fondamentali che ci aiuteranno a capire perchè e come i padri fondatori che ho citato nello scorso articolo abbiano formalizzato in questo modo la meccanica quantistica, che è il punto focale della mia serie di articoli.

Il lettore più interessato ed esperto può consultare tranquillamente come fonti quelle lasciate da Davide. Volendo, per esperienza personale, un ottimo libro (anzi un classico per dire la verità) su questi argomenti è il A. Kolmogorov: Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale.

Spazi di Hilbert

Adesso passiamo finalmente alla matematica! Come detto nella parte storica dello scorso articolo il formalismo che si usa è prettamente dovuto a Dirac-Schrödinger-Heisenberg.

La prima domanda che possiamo farci è “dove vive il nostro sistema?”, che è un modo per chiederci quale sia lo spazio da considerare. Come da titolo possiamo sfruttare gli spazi di Hilbert. La serie di articoli di Davide fa una trattazione più chiara della mia, quindi cercherò solo di mostrare alcune proprietà fondamentali (magari ripetendole) e come si collegano alla fisica. Ultima piccola digressione: In realtà la teoria matematica richiesta sugli spazi è leggermente più complicata di questa, però si può già sfruttare la matematica che esporrò di seguito per capire bene come formalizziamo la meccanica quantistica. Adesso, cominciamo!

Definizione (Spazio di Hilbert): Uno spazio vettoriale $H$ in cui è definito un prodotto scalare e che risulta essere completo (cioè in cui ogni successione di Cauchy converge) rispetto alla norma definita dal prodotto scalare si dice di Hilbert.

Effetivamente questa definizione, anche se da manuale, è troppo generale per quello che ci interessa. Molti spazi rientrano in questa definizione, tra cui gli spazi $ \mathbb{R} ^n$ e $ \mathbb{C} ^n$, la cosa interessante però è che con questa definizione di possono trovare anche spazi a dimensione infinita (quindi con una base infinita) in cui succedono molte cose “strane”. Possiamo cercare una definizione di spazio più semplice, ma che sia sempre di Hilbert, e lavorare con quella (anche se per tradizione continueremo a chiamarla spazio di Hilbert). Introduciamo alcuni concetti interessanti:

Definizione (Spazio Euclideo): Uno spazio $X$ Euclideo è uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare.

Adesso sfruttiamo un concetto che potete trovare in questo articolo del sito insieme alla storia e le idee di Cantor, ovvero quello della cardinalità di uno spazio. Ti invito inoltre a dare una lettura al concetto di punto di accumulazione.

Definizione (Spazio separabile): Uno spazio euclideo $X$ si dice separabile se esiste un sottospazio numerabile (cioè con la stessa cardinalità dell’insieme $\mathbb{N}$) e denso (ovvero se ogni punto del sottospazio appartiene all’insieme o ne è punto di accumulazione).

In questa parte introdurrò alcuni concetti molto avanzati, con cui forse non tutti voi avete dimestichezza. Quindi nel caso ti consiglio di leggerli ed approfondirli con il testo prima citato o eventualmente aspettare che la serie di articoli di Davide vada avanti nella teoria degli spazi di Hilbert.

Definizione (vettori ortonormali): Un insieme di vettori $\{ \alpha_i \} $ si dice ortonormale quando il prodotto scalare tra due vettori risulta essere $\alpha_i \cdot \alpha_j=0$ per $i \ j$ e $\alpha_i \cdot \alpha_i=1$.

Definizione (set ortonormale completo): Un set ortonormale $\{\alpha_i\}$ è un insieme di vettori ortonormali, esso è completo quando $\forall$ $x\in X$ la serie di Fourier di x rispetto al set converge, nella norma di H, ad x stesso.

In questo caso abbiamo appena introdotto un nuovo concetto, ovvero le serie di Fourier! Questo strumento fondamentale della matematica torna più volte utile in fisica e questo è solo uno dei tantissimi casi.

Definizione alternativa (set ortonormale completo): $\{\alpha_i\}$ è completo se è una base per lo spazio vettoriale. Essa si può dimostrare equivalente alla precendente.

Grazie a questa definizione, più comoda e facile in molti sensi, procediamo illustrando un teorema molto utile:

Teorema: Uno spazio $X$ euclideo è separabile se e solo se $\exists$ un $\{\alpha_i\}$ ortonormale, completo e numerabile.

Bene, ma perchè introdurre tutti questi concetti? Come detto prima cerchiamo una definizione di spazio di Hilbert più semplice, che usiamo poi nella nostra descrizione fisica. Si può facilmente dimostrare infatti che uno spazio $H$ euclideo che sia completo e separabile è uno spazio di Hilbert! Introduciamo ora un teorema fondamentale:

Teorema: Uno spazio di Hilbert (come definito prima) è isomorfo a $L^2$.

Non conoscete lo spazio $L^2$? Sul sito è presente un ottimo articolo sulle trasformate che ti consiglio di leggere per avere idea di cosa siano e in che spazio siano definite. Questo ci aiuto molto, poichè connette tutti gli elementi dello spazio di Hilbert fisico con funzioni a quadrato sommabile.

Senza continuare col formalismo matematico, di cui ci sarebbero infinite cose da dire in realtà, carchiamo di capire il motivo fisico. Sicuramente sarà strano per voi pensare perchè i grandi fisici abbiano deciso di usare questa matematica apparentemente astrusa per descrivere la realtà fisica, cerchiamo di fare chiarezza. Ogni sistema fisico è associato con uno spazio di Hilbert, la scelta dell’utilizzo di questi spazi è data principlamente da:

  • Linearità: la sovrapposizione di più vettori restituisce ancora un vettore dello spazio, fondamentale per spiegare fenomeni come la diffrazione e l’interferenza.
  • Completezza: fa in modo che se applichiamo un operatore (ne parleremo dopo di cosa siano) restituisce ancora uno stato, sarà utile per lavorare con le grandezza fisiche.
  • Separabilità: garantisce che un vettore ha una base ortonormale numerabile che lo definisce univocamente, servirà per proiettare i vettori rispetto a certe basi con un particolare significato fisico.

Parliamo della natura di questi “vettori”, qual è il significato che la meccanica quantistica da a questi elementi che “abitano lo spazio”?

Chiamiamo $|{\psi}> \in H$ una rappresentazione dello stato fisico del sistema, in breve “ket”. Mentre $<\psi| \in H^*$ è un elemento dello spazio duale e si chiama “bra” (qui per sapere cosa sia lo spazio duale) . Questo modo di scrivere i vettori si chiama notazione di Dirac, i nomi vengono dal fatto che in inglese la parentesi si chiama “bracket”… capito la battuta? Che simpaticone Dirac!

Definizione (funzionale lineare): Il funzionale è una funzione su uno spazio vettoriale $F:$ $H \rightarrow \mathbb{C} $ tale che $F[\psi] \in \mathbb{C} $. Esso è lineare poichè $F[x\psi+y\psi’]=xF[\psi]+yF[\psi’]$ $\forall \psi , \psi’ \in H$.

Grazie ai funzionali si può esprimere il prodotto scalare già definito nel nostro spazio come un funzionale: $F_\phi[\psi]=<\phi|\psi>$ $\forall \psi\in H$. Potreste chiedervi, giustamente, come fa un elemento dello spazio duale ad associarsi con un elemento dello spazio stesso? Ci viene in aiuto questo teorema:

Teorema (Riesz): Dato uno spazio di Hilbert $H$ allora $\forall$ $F:H \rightarrow \mathbb{C} $ lineare e continuo (dove vale una condizione simile alla continuità per funzioni) allora $\exists$ un solo $\phi_F \in H$ tale che $<\phi_F|\psi>=F[\psi]$ $\forall \psi \in H$.

Fisicamente questo prodotto scalare $<\phi|\psi>$ consiste nel proiettare uno stato “vecchio” in uno “nuovo”, così che il prodotto scalare definisce l’ampiezza di probabilità del passaggio da uno stato all’altro. La probabilità di misurare il sistema nello stato del bra (se lo stato è normalizzato con $<\psi|\psi>$) è data per definizione da $P=>{|<\phi|\psi>|}^2$… ecco a voi la famosa interpretazione probabilistica della meccanica quantistica! La linearità dello spazio (e del prodotto scalare) garantisce così la cosidetta sovrapposizione di stati, con questa si risolve il problema della doppia fenditura citato inizialmente immaginando che ogni elettrone che passi per una fenditura abbia uno stato diverso (in questo caso saranno 2) o una somma dei due. È infatti questo il modo in cui viene formalizzata la famosa idea che un osservatore cambi lo stato fisico del sistema (su cui spesso la fantascienza gioca), essa è data semplicemente dal fato che nel misurare si sta in realtà “facendo” un prodotto scalare con uno stato deciso da noi (quello della misura)!

Ultimo concetto fondamentale: Se come stato bra decidiamo di prendere una base otteniamo come risultato le cosidette funzioni d’onda. Se si usa la base delle posizioni $<r|$ otteniamo la funzione d’onda della posizione $\psi(r)=<r|\psi>$ che fornisce in modo diretto la posizione della particella. Mentre $<p|$ è la base degli impulsi e fornisce la funzione d’onda degli impulsi $\psi(r)=<r|\psi>$ che fornisce la quantità di moto. Esse sono funzioni complesse e si usano per calcolare i prodotti scalari che abbiamo definito prima come integrali, della connessione tra le due funzioni parleremo in un altro articolo.

Ottimo, adesso sappiamo un accenno di cosa siano le funzioni d’onda e gli stati. Andiamo avanti scoprendo cosa siano gli osservabili fisici e come spunti fuori la quantizzazione.

Operatori e fisica quantistica

Adesso parliamo degli operatori in fisica quantistica. Le seconda domanda che ci poniamo viene da un semplice ragionamento basato sulla prima, in un certo senso. Se lo spazio in cui “vive” la nostra fisica è H e il vettore bra $|\psi>$ rappresenta il nostro sistema fisico allora ci si chiede: “Ma le variabili come quantità di moto, energia, posizione, ecc. cosa diventano?”… la risposta è operatori!

Definizione (operatore): Si dice $\hat{A}$ operatore lineare un’ applicazione $H_1 \rightarrow H_2$ tale che $ \hat{A} |h_1>=|h_2>$ con $|h_1> \in H_1 , |h_2> \in H_2$ e per cui valgono le consizioni di linearità analoghe al prodotto scalare:

  • $( \hat{A} + \hat{B} )h= \hat{A} h+ \hat{B} h$
  • $a( \hat{A} h)= \hat{A} (ah)$ con $a \in \mathbb{R}$
  • $\hat{A} \hat{B} h= \hat{A} ( \hat{B} h)$

Questa definizione è generale ma se come spazi si scelgono quelli “fisici” dello spazio di Hilbert prima detto e quindi gli stati come vettori allora si sta cambiando stato dopo un’osservazione (data dall’applicare l’operatore), e una scrittura del tipo $<\psi| \hat{A} |\phi>$ rapprensenta un prodotto scalare dopo aver trasformato il vettore $|\phi>$. Una definizione importante è la seguente:

Definizione (operatore aggiunto): Si può scrivere un prodotto scalare $<\psi|\hat{A}|\phi>$ anche nella forma $<\hat{A ^\dagger } \psi| |\phi>$, dove $ \hat{A ^\dagger } $ si chiama operatore aggiunto. Se un operatore è uguale al suo aggiunto allora si dice operatore hermitiano.

Adesso, come per il paragrafo precedente, cerchiamo di spiegare a cosa serva tutta questa matematica appena definita. Gli operatori possono essere rappresentati come matrici sotto opportune condizioni dello spazio, quindi in quanto tali la loro applicazione ad un vettore (nel nostro caso uno stato) da luogo ad uno spettro di autovalori discreto, ovvero ad un insieme di valori discreti $\lambda \in \mathbb{C} $ per cui $\hat{A}|\psi>=\lambda|\psi>$ (cioè il l’operatore applicato al vettore torna il vettore stesso per un valore complesso). Come accennato prima ipotizzando che gli operatori (aggiungiamo ora) hermitiani siano osservabili fisici gli autovalori non sono altro che i valori che una misura di una variabile fisica torna se fatta su di un certo stato quantistico, cioè se andiamo in un laboratorio e misuriamo per esempio la quantità di moto di una particella mi aspetto che l’apparato sperimentale mi dia sullo schermo proprio quelli. Il fatto che questi autovalori siano discreti adesso ci fa capire in che senso la fisica quantistica accetta solo certi valori discreti… sono infatti proprio gli autovalori! Ed il fatto che questi $\lambda$ siano complessi non deve preoccuparci (poichè non esistono misure fisiche complesse), esiste per fortuna un teorema che garantisce che gli operatori hermitiani ammettano solo autovalori reali.

Alcuni esempi di questi concetti?:

  • Immaginiamo un atomo di idrogeno: L ‘energia si misura grazie all’operatore hamiltoniano $\hat{H}$ che applicato allo stato da come autovalori i livelli energetici $ \hat{H}|\psi>=E|\psi>$ anche detti orbitali, che molti di voi conosceranno magari dalla chimica e che giustificano tra le moltissime cose la presenza dei colori (dall’idrogeno o meno).
  • Prendendo in esempio l’effetto fotoelettrico: La creazione di un fotone viene descritta da degli operatori chiamati di creazione e annichilazione, anche se quello è il regime della Quantum Electrodynamics.
  • L’operatore posizione , come da nome, l’autovalore che rappresenta la posizione della particella. Sempre nel caso dell’atomo questa rapprensenta il cosidetto raggio dell’orbitale.

Esistono molte altri operatori diversi. L’idea è che rispetto alla fisica classica si ribalta il concetto di una variabile che descrive tutto passando ad un operatore che è un concetto totalmente diverso. Ultimo concetto importante è che se si vuole avere un valore di aspettazione per un certo osservabile, cioè il valore che ci si aspetta probabilisticamente da una misura fatta in un esperimento, in uno stato esso è per definizione: $<\psi|\hat{A}|\psi>$.

Conclusione

Questa “puntata” della serie è stata davvero complicata vero? Ho cercato di fare del mio meglio ma purtroppo certi concetti richiedono tanto studio per poter essere digeriti bene. Mi scuso quindi se non sono riuscito e rendere chiarissimo questo articolo e ti invito anzi ad approfondire meglio grazie alla serie di Davide e alle risorse fornite. Ci vediamo alla prossima e ultima puntata sulla matematica che sta alla base della meccanica quantistica parlando, anche, del principio di indeterminazione!

Meccanica quantistica (Parte 1) : introduzione storica e motivazioni

Vi siete mai chiesti come facciamo a studiare gli atomi, il principio di funzionamento di un transistor o perché avviene una reazione nucleare? Bene, a tutti questi (ed infiniti altri) quesiti molto diversi tra di loro si può rispondere grazie alla meccanica quantistica!

Questa parte della fisica moderna è ricca di fenomeni e concetti spesso controintuitivi o apparentemente illogici, e ci pone davanti a delle difficoltà che prima non si ponevano, come, ad esempio, nei concetti di misura di un sistema o di determinismo delle leggi fisiche. Esistono molti ottimi testi ed articoli divulgativi, come ad esempio:

Nella serie di articoli che sto scrivendo, a differenza di quelli divulgativi in generale, non mi soffermerò tanto sui concetti fisici, bensì farò cenno alla matematica fondamentale per potersi approcciare a questa branca.

Al contrario della meccanica classica, la fisica quantistica ha un formalismo matematico molto complicato per i “non addetti ai lavori”. Proverò a rendere questi strumenti matematici meno complicati da capire dopo queste letture.
In questo primo articolo inizierò spiegando brevemente la storia e gli esperimenti che hanno portato a formalizzare queste nuove leggi e per quali sistemi si deve considerare una trattazione quantistica e perché. Nei prossimi articoli, invece, verrà sviluppato il formalismo matematico.

C’è tanta carne da mettere sul fuoco, quindi, partiamo!

La nascita della meccanica quantistica

Per inquadrare una teoria, bisogna conoscere un minimo la storia che ci sta dietro. Cerchiamo dunque di dare un po’ di nozioni per iniziare.

Siamo a fine 1800 e la società attuale si scontra con grandi novità tecniche e scientifiche, in particolare, quelle che ci interessano sono due: le macchine a vapore, il cui studio porterà prima alla termodinamica e poi, grazie all’immenso e visionario lavoro di Ludwig Boltzmann, alla formulazione della fisica statistica (di cui spero di poter parlare meglio in futuro), e la scoperta dell’elettromagnetismo, che vedrà completa la sua descrizione teorica con la formulazione delle equazioni di Maxwell.
Si pensava così che l’interpretazione della realtà fosse totalmente completa, ma fu proprio lì che iniziarono i problemi…

Purtroppo, c’erano molti risultati che non quadravano con le teorie al tempo conosciute. Gli spettroscopisti, ovvero i fisici sperimentali che si occupano di studiare l’interazione tra la radiazione elettromagnetica e la materia, non riuscivano a spiegarsi l’esistenza di alcune delle righe di emissione da parte di atomi, e i decadimenti nucleari erano un mistero per tutta la comunità scientifica dell’epoca. Tuttavia, un esperimento ha portato per la prima volta all’introduzione del concetto di “quanto”; si tratta del problema della radiazione emessa da un corpo nero, anche detta “catastrofe ultravioletta”. Qui c’è un buon video (anche se in inglese) che spiega questo fenomeno:

Cerchiamo di introdurre il concetto di corpo nero, per capire meglio la natura di questa cosidetta catastrofe. Una delle proprietà principali di un materiale è quella di assorbire (o emettere) radiazione elettromagnetica. Questo fenomeno si chiama radiazione termica, poiché coinvolge uno scambio tra energia di radiazione del campo elettromagnetico intorno al corpo e l’energia termica dovuta al moto delle particelle contenute nel materiale (esempio classico: una sbarra di ferro diventa rossa se riscaldata).

Ma la lunghezza d’onda di questa radiazione, che nel caso del visibile si tratta del colore, come dipende dalla temperatura? Ci si chiede, cioè, quale sia la distribuzione dell’energia di radiazione emessa in funzione della frequenza emessa. L’emissione di radiazione del corpo avviene simultaneamente alla radiazione incidente sull’oggetto stesso. Questa radiazione incidente sul materiale può essere riflessa o assorbita dal sistema, e se non c’è riflessione di alcuni tipo da parte dell’oggetto, esso si chiama corpo nero, e viene considerato un emettitore perfetto, in quanto il suo spettro dipende solo dalla radiazione emessa. Un esempio tipo di corpo nero è un forno per pizze con una finestrella molto piccola, tale che l’unica luce che si vede è quella della legna presente all’interno.

Le teorie prima citate prevedevano che un corpo nero in equilibrio termico avrebbe dovuto emettere radiazione elettromagnetica con energia sempre maggiore all’aumentare della frequenza del sistema, fino ad arrivare ad un’intensità di emissione infinita (cosa totalmente illogica da un punto di vista fisico). Questa descrizione si deve al risultato ottenuto da J. Stefan e L. Boltzmann, che dimostrarono che l’emittanza spettrale $M_\nu^b (T)$, che rappresenta l’energia totale irradiata da un corpo nero a temperatura $T$ per unità di area e di tempo ad un certo intervallo di frequenza $\nu$ è uguale a:

$$M_\nu^b (T)= \sigma T^4$$

Dove $\sigma$ rappresenta una costante universale.

Gli esperimenti mostravano, invece, che l’intensità diminuiva all’aumentare della frequenza intorno alle lunghezze d’onda dell’ultravioletto (da qui il nome del fenomeno).

Grafico della radianza in funzione della lunghezza d’onda. Si vede bene la differenza tra il risultato aspettato classico (in nero) e i risultati effettivi.

Questo problema fu risolto da Max Planck nel 1900 ipotizzando che l’energia potesse essere scambiata solo a “pacchetti” chiamati quanti di energia la cui introduzione (da lui vista solo come un trucchetto matematico) portava alla soluzione del problema. L’energia di questi quanti doveva essere pari a $E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}$ dove $c$ è la velocità della luce, $\lambda$ è la lunghezza d’onda del quanto, e qui, per la prima volta, si trova l’uso della cosidettà costante di Planck $h$, costante che in seguito sarà fondamentale per la fisica quantistica.

Secondo passo teorico fondamentale è la spiegazione dell’effetto fotoelettrico da parte di Albert Einstein nel 1905, in quel caso il buon Albert ipotizzò per primo (vincendo il nobel per questo, ah sapevi che il premio nobel per la matematica non esiste? Leggi qui se ti interessa sapere il perchè: Nobel matematica) che in realtà quei quanti di energia si chiamavano fotoni ed erano le particelle che costituivano la luce e le onde elettromagnetiche in generale. Al tempo per la luce ci si basava su un dualismo onda-particella.

Tante altre scoperte portarono a conferme sull’esistenza di nuovi “strani” fenomeni. Come ad esempio l’esperimento di Stern-Gerlach che introdusse il concetto di spin di una particella, quantità non presente classicamente. Per capire però il motivo che ha portato all’uso della matematica che vogliamo introdurre servirà parlare del lavoro di Luis de Broglie.

Egli partì dal concetto di energia del fotone di Einstein/Planck e aggiunse l’ipotesi che le particelle, come la luce, esibiscono anche un comportamento ondulatorio (per le onde vale $p=\frac{c}{\nu}$, con $p$ quantità di moto) e così da queste 2 formule derivò una grandezza tipica della particella detta lunghezza d’onda di de Broglie:

$$\lambda=\frac{h}{p}$$

Questo concetto strano, ma verificabile, fu trovato sperimentalmente molto dopo grazie all’esperimento della doppia fenditura per gli elettroni. Venne mostrato che facendo passare un fascio di elettroni attraverso una doppia fenditura, la cui larghezza è confrontabile con la lunghezza di de Broglie dell’elettrone, si otteneva, in uno schermo posto a distanza, una figura di diffrazione identica a quella che formavano le onde elettromagnetiche. Bel colpo per de Broglie!

Schema dell’esperimento della doppia fenditura per elettroni.

Dopo questo sicuramente vi starete chiedendo: “Ma in tutto questo la matematica cosa c’entra?”.
Bene, è il momento di introdurre in nostri due eroi, ovvero Erwin Schrödinger e Werner Heisenberg. Essi cercarono di formalizzare matematicamente tutti i vari concetti e fenomeni di questa fisica strana. Il primo, basandosi sulla lunghezza d’onda di de Broglie, formulò la meccanica delle onde, mentre il secondo introdusse la meccanica delle matrici. Questi due formalismi sono stati poi dimostrati essere equivalenti e infine unificati dal lavoro successivo di Paul Dirac. Ed è su questi ultimi lavori che, fondamentalmente, si basa la descrizione della fisica quantistica fino ad oggi e che (spero) riuscirò a spiegarvi nelle prossime puntate.

Quando e per cosa si usa la meccanica quantistica

Bene adesso che abbiamo il quadro generale storico cerchiamo di capire quando si deve usare la meccanica quantistica e per cosa.

Se si vuole sapere quando usarla bisogna inquadrare se il nostro problema è microscopico o meno. Come si fa a distinguere se un sistema è microscopico o meno? Quanto “piccolo” deve essere per valere il problema?
La risposta è “dipende dal caso” e in ciò si può sfruttare il concetto di lunghezza d’onda di de Broglie!

Definizione di sistema quantistico: Se le dimensioni del nostro sistema fisico (si può pensare a usare il diametro d, inteso come distanza massima) sono confrontabili con $\lambda$ di de Broglie allora deve essere trattato quantisticamente.

Per chi conoscesse un po’ di meccanica analitica potrebbe trovare interessante quest’altra definizione, oggi attribuita perlopiù a Richard Feynman, che stima quando un sistema è quantistico in base alle energie in gioco (anche se questa affermazione è parecchio brutale).

Definizione alternativa: Se l’azione $S[x(t)]$ del sistema considerato è confrontabile con $\hbar=\frac{h}{2\pi}$ allora deve essere trattato quantisticamente.

Qui, volendo semplificare molto, si può stimare l’azione di un sistema moltiplicando la quantità di moto $p=mv$ con le dimensioni del corpo preso in considerazione. Il confronto con $\hbar$ darà il verdetto sul comportamento del sistema.

Facciamo un piccolo esempio. Trattiamo l’esperimento della doppia fenditura ipotizzando di avere delle sferette di massa $1g$ e che si muovono a $1cm/s$. Se calcoliamo$\lambda$:

$$\lambda=\frac{h}{p}=10^{-13} cm$$

Cioè $10^{-13}$ volte più piccola del raggio del protone! Per valori opportuni delle larghezze delle fenditura nello schermo si troverebbero solo tracce delle due sferette lanciate nello stesso punto. Un po’ come lanciare palle da tennis su una rete a buchi molto grossi praticamente. Se provate a fare gli stessi calcoli con le dimensioni dell’elettrone troverete tutt’altro risultato.

La domanda che possiamo porci adesso è: “Ma questa teoria per cosa la usiamo?”

Bhe, la risposta sarebbe per infinite situazioni. Ma se dobbiamo attenerci ad applicazioni tangibili forse vi stupirà che si usa per spiegare praticamente tutti i fenomeni che hanno a che fare con la materia.
Ad esempio: perché esistono oggetti solidi come metalli, cristalli e simili, perché esistono le molecole e come interagiscono tra loro, come fanno le stelle a bruciare idrogeno per funzionare, come interagisce la luce con la materia… si potrebbe andare avanti fino a domani!

Conclusioni

Bene adesso abbiamo appena appena visto i concetti base che ci servono a capire cosa sia la fisica quantistica e come sia nata. Una domanda che potreste porvi è: “perché è nata solo di “recente” rispetto alle teorie classiche?”, beh la risposta è semplice: dal 1900 circa si è riusciti ad accedere al mondo microscopico, con tutti i suoi segreti.

Dalla prossima volta andremo nel pieno del motivo per cui ho deciso di scrivere questa serie di articoli: sviscerare la matematica dietro a questa bellissima branca. Alla prossima volta con spazi di Hilbert e operatori!