Meccanica quantistica (Parte 1) : introduzione storica e motivazioni

Vi siete mai chiesti come facciamo a studiare gli atomi, il principio di funzionamento di un transistor o perché avviene una reazione nucleare? Bene, a tutti questi (ed infiniti altri) quesiti molto diversi tra di loro si può rispondere grazie alla meccanica quantistica!

Meccanica quantistica

Questa parte della fisica moderna è ricca di fenomeni e concetti spesso controintuitivi o apparentemente illogici, e ci pone davanti a delle difficoltà che prima non si ponevano, come, ad esempio, nei concetti di misura di un sistema o di determinismo delle leggi fisiche. Esistono molti ottimi testi ed articoli divulgativi, come ad esempio:

Nella serie di articoli che sto scrivendo, a differenza di quelli divulgativi in generale, non mi soffermerò tanto sui concetti fisici, bensì farò cenno alla matematica fondamentale per potersi approcciare a questa branca.

Al contrario della meccanica classica, la fisica quantistica ha un formalismo matematico molto complicato per i “non addetti ai lavori”. Proverò a rendere questi strumenti matematici meno complicati da capire dopo queste letture.
In questo primo articolo inizierò spiegando brevemente la storia e gli esperimenti che hanno portato a formalizzare queste nuove leggi e per quali sistemi si deve considerare una trattazione quantistica e perché. Nei prossimi articoli, invece, verrà sviluppato il formalismo matematico.

C’è tanta carne da mettere sul fuoco, quindi, partiamo!

La nascita della meccanica quantistica

Per inquadrare una teoria, bisogna conoscere un minimo la storia che ci sta dietro. Cerchiamo dunque di dare un po’ di nozioni per iniziare.

Siamo a fine 1800 e la società attuale si scontra con grandi novità tecniche e scientifiche, in particolare, quelle che ci interessano sono due: le macchine a vapore, il cui studio porterà prima alla termodinamica e poi, grazie all’immenso e visionario lavoro di Ludwig Boltzmann, alla formulazione della fisica statistica (di cui spero di poter parlare meglio in futuro), e la scoperta dell’elettromagnetismo, che vedrà completa la sua descrizione teorica con la formulazione delle equazioni di Maxwell.
Si pensava così che l’interpretazione della realtà fosse totalmente completa, ma fu proprio lì che iniziarono i problemi…

Purtroppo, c’erano molti risultati che non quadravano con le teorie al tempo conosciute. Gli spettroscopisti, ovvero i fisici sperimentali che si occupano di studiare l’interazione tra la radiazione elettromagnetica e la materia, non riuscivano a spiegarsi l’esistenza di alcune delle righe di emissione da parte di atomi, e i decadimenti nucleari erano un mistero per tutta la comunità scientifica dell’epoca. Tuttavia, un esperimento ha portato per la prima volta all’introduzione del concetto di “quanto”; si tratta del problema della radiazione emessa da un corpo nero, anche detta “catastrofe ultravioletta”. Qui c’è un buon video (anche se in inglese) che spiega questo fenomeno:

Cerchiamo di introdurre il concetto di corpo nero, per capire meglio la natura di questa cosidetta catastrofe. Una delle proprietà principali di un materiale è quella di assorbire (o emettere) radiazione elettromagnetica. Questo fenomeno si chiama radiazione termica, poiché coinvolge uno scambio tra energia di radiazione del campo elettromagnetico intorno al corpo e l’energia termica dovuta al moto delle particelle contenute nel materiale (esempio classico: una sbarra di ferro diventa rossa se riscaldata).

Ma la lunghezza d’onda di questa radiazione, che nel caso del visibile si tratta del colore, come dipende dalla temperatura? Ci si chiede, cioè, quale sia la distribuzione dell’energia di radiazione emessa in funzione della frequenza emessa. L’emissione di radiazione del corpo avviene simultaneamente alla radiazione incidente sull’oggetto stesso. Questa radiazione incidente sul materiale può essere riflessa o assorbita dal sistema, e se non c’è riflessione di alcuni tipo da parte dell’oggetto, esso si chiama corpo nero, e viene considerato un emettitore perfetto, in quanto il suo spettro dipende solo dalla radiazione emessa. Un esempio tipo di corpo nero è un forno per pizze con una finestrella molto piccola, tale che l’unica luce che si vede è quella della legna presente all’interno.

Le teorie prima citate prevedevano che un corpo nero in equilibrio termico avrebbe dovuto emettere radiazione elettromagnetica con energia sempre maggiore all’aumentare della frequenza del sistema, fino ad arrivare ad un’intensità di emissione infinita (cosa totalmente illogica da un punto di vista fisico). Questa descrizione si deve al risultato ottenuto da J. Stefan e L. Boltzmann, che dimostrarono che l’emittanza spettrale $M_\nu^b (T)$, che rappresenta l’energia totale irradiata da un corpo nero a temperatura $T$ per unità di area e di tempo ad un certo intervallo di frequenza $\nu$ è uguale a:

$$M_\nu^b (T)= \sigma T^4$$

Dove $\sigma$ rappresenta una costante universale.

Gli esperimenti mostravano, invece, che l’intensità diminuiva all’aumentare della frequenza intorno alle lunghezze d’onda dell’ultravioletto (da qui il nome del fenomeno).

Meccanica quantistica
Grafico della radianza in funzione della lunghezza d’onda. Si vede bene la differenza tra il risultato aspettato classico (in nero) e i risultati effettivi.

Questo problema fu risolto da Max Planck nel 1900 ipotizzando che l’energia potesse essere scambiata solo a “pacchetti” chiamati quanti di energia la cui introduzione (da lui vista solo come un trucchetto matematico) portava alla soluzione del problema. L’energia di questi quanti doveva essere pari a $E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}$ dove $c$ è la velocità della luce, $\lambda$ è la lunghezza d’onda del quanto, e qui, per la prima volta, si trova l’uso della cosidettà costante di Planck $h$, costante che in seguito sarà fondamentale per la fisica quantistica.

Secondo passo teorico fondamentale è la spiegazione dell’effetto fotoelettrico da parte di Albert Einstein nel 1905, in quel caso il buon Albert ipotizzò per primo (vincendo il nobel per questo, ah sapevi che il premio nobel per la matematica non esiste? Leggi qui se ti interessa sapere il perchè: Nobel matematica) che in realtà quei quanti di energia si chiamavano fotoni ed erano le particelle che costituivano la luce e le onde elettromagnetiche in generale. Al tempo per la luce ci si basava su un dualismo onda-particella.

Tante altre scoperte portarono a conferme sull’esistenza di nuovi “strani” fenomeni. Come ad esempio l’esperimento di Stern-Gerlach che introdusse il concetto di spin di una particella, quantità non presente classicamente. Per capire però il motivo che ha portato all’uso della matematica che vogliamo introdurre servirà parlare del lavoro di Luis de Broglie.

Egli partì dal concetto di energia del fotone di Einstein/Planck e aggiunse l’ipotesi che le particelle, come la luce, esibiscono anche un comportamento ondulatorio (per le onde vale $p=\frac{c}{\nu}$, con $p$ quantità di moto) e così da queste 2 formule derivò una grandezza tipica della particella detta lunghezza d’onda di de Broglie:

$$\lambda=\frac{h}{p}$$

Questo concetto strano, ma verificabile, fu trovato sperimentalmente molto dopo grazie all’esperimento della doppia fenditura per gli elettroni. Venne mostrato che facendo passare un fascio di elettroni attraverso una doppia fenditura, la cui larghezza è confrontabile con la lunghezza di de Broglie dell’elettrone, si otteneva, in uno schermo posto a distanza, una figura di diffrazione identica a quella che formavano le onde elettromagnetiche. Bel colpo per de Broglie!

Meccanica quantistica
Schema dell’esperimento della doppia fenditura per elettroni.

Dopo questo sicuramente vi starete chiedendo: “Ma in tutto questo la matematica cosa c’entra?”.
Bene, è il momento di introdurre in nostri due eroi, ovvero Erwin Schrödinger e Werner Heisenberg. Essi cercarono di formalizzare matematicamente tutti i vari concetti e fenomeni di questa fisica strana. Il primo, basandosi sulla lunghezza d’onda di de Broglie, formulò la meccanica delle onde, mentre il secondo introdusse la meccanica delle matrici. Questi due formalismi sono stati poi dimostrati essere equivalenti e infine unificati dal lavoro successivo di Paul Dirac. Ed è su questi ultimi lavori che, fondamentalmente, si basa la descrizione della fisica quantistica fino ad oggi e che (spero) riuscirò a spiegarvi nelle prossime puntate.

Quando e per cosa si usa la meccanica quantistica

Bene adesso che abbiamo il quadro generale storico cerchiamo di capire quando si deve usare la meccanica quantistica e per cosa.

Se si vuole sapere quando usarla bisogna inquadrare se il nostro problema è microscopico o meno. Come si fa a distinguere se un sistema è microscopico o meno? Quanto “piccolo” deve essere per valere il problema?
La risposta è “dipende dal caso” e in ciò si può sfruttare il concetto di lunghezza d’onda di de Broglie!

Definizione di sistema quantistico: Se le dimensioni del nostro sistema fisico (si può pensare a usare il diametro d, inteso come distanza massima) sono confrontabili con $\lambda$ di de Broglie allora deve essere trattato quantisticamente.

Per chi conoscesse un po’ di meccanica analitica potrebbe trovare interessante quest’altra definizione, oggi attribuita perlopiù a Richard Feynman, che stima quando un sistema è quantistico in base alle energie in gioco (anche se questa affermazione è parecchio brutale).

Definizione alternativa: Se l’azione $S[x(t)]$ del sistema considerato è confrontabile con $\hbar=\frac{h}{2\pi}$ allora deve essere trattato quantisticamente.

Qui, volendo semplificare molto, si può stimare l’azione di un sistema moltiplicando la quantità di moto $p=mv$ con le dimensioni del corpo preso in considerazione. Il confronto con $\hbar$ darà il verdetto sul comportamento del sistema.

Facciamo un piccolo esempio. Trattiamo l’esperimento della doppia fenditura ipotizzando di avere delle sferette di massa $1g$ e che si muovono a $1cm/s$. Se calcoliamo$\lambda$:

$$\lambda=\frac{h}{p}=10^{-13} cm$$

Cioè $10^{-13}$ volte più piccola del raggio del protone! Per valori opportuni delle larghezze delle fenditura nello schermo si troverebbero solo tracce delle due sferette lanciate nello stesso punto. Un po’ come lanciare palle da tennis su una rete a buchi molto grossi praticamente. Se provate a fare gli stessi calcoli con le dimensioni dell’elettrone troverete tutt’altro risultato.

La domanda che possiamo porci adesso è: “Ma questa teoria per cosa la usiamo?”

Bhe, la risposta sarebbe per infinite situazioni. Ma se dobbiamo attenerci ad applicazioni tangibili forse vi stupirà che si usa per spiegare praticamente tutti i fenomeni che hanno a che fare con la materia.
Ad esempio: perché esistono oggetti solidi come metalli, cristalli e simili, perché esistono le molecole e come interagiscono tra loro, come fanno le stelle a bruciare idrogeno per funzionare, come interagisce la luce con la materia… si potrebbe andare avanti fino a domani!

Conclusioni

Bene adesso abbiamo appena appena visto i concetti base che ci servono a capire cosa sia la fisica quantistica e come sia nata. Una domanda che potreste porvi è: “perché è nata solo di “recente” rispetto alle teorie classiche?”, beh la risposta è semplice: dal 1900 circa si è riusciti ad accedere al mondo microscopico, con tutti i suoi segreti.

Dalla prossima volta andremo nel pieno del motivo per cui ho deciso di scrivere questa serie di articoli: sviscerare la matematica dietro a questa bellissima branca. Alla prossima volta con spazi di Hilbert e operatori!