Archivi autore: Erik Pillon

Informazioni su Erik Pillon

Studente Magistrale in Mathematics, Università degli Studi di Verona. Appassionato di Fisica della Materia Condensata e Cosmologia. Direttore sportivo di 3° livello di Ciclismo.

La scommessa più disastrosa (e importante) della storia

Questa storia ha inizio nel 1684 quando tre uomini si incontrarono in un caffè a Londra.

Questi erano tre accademici e amici, ognuno dei quali aveva una reputazione che li anticipava: Edmond Halley, il poliedrico Robert Hooke e il rinomato architetto Sir Christopher Wren (nell’immagine sopra, da sinistra a destra).

Impegnandosi in vivaci conversazioni sui recenti sviluppi scientifici, la loro attenzione si spostò presto su un argomento che era stato a lungo fonte di mistero e intrighi nella comunità scientifica: i movimenti degli oggetti celesti.All’epoca si sapeva che i pianeti viaggiavano in orbite ellittiche attorno al Sole. In realtà, questo era stato stabilito meno di un secolo prima dall’astronomo Johannes Kepler (italianizzato Keplero), attraverso la prima delle tre leggi riguardanti il ​​moto planetario.Ma le leggi di Keplero erano basate sull’analisi dei dati empirici, senza una teoria matematica generale a sostegno dei risultati. In sostanza, si sapeva che i pianeti viaggiavano su orbite ellittiche, ma perché? Questo era ciò che incuriosì i tre uomini.E così, avvenne che quel giorno fu fatta una scommessa memorabile: Wren offrì un premio di quaranta scellini all’uomo che avesse fornito un’elegante soluzione al problema.


Hooke, che si dice fosse una figura piuttosto litigiosa, si affrettò ad affermare di avere già la soluzione. Ma scelse di tenerla per sé, promettendo di rivelarlo solo quando gli altri avessero ammesso la sconfitta. È improbabile che avesse davvero una soluzione, poiché non ne avrebbe potuta produrre una al volo. Ma quello che si può dire è che la scommessa fatta in questo giorno, anche se seminale, si sarebbe rivelata piuttosto catastrofica per un uomo: Edmond Halley.


Halley si ossessionò al problema nei mesi successivi. Sebbene incerto sulla soluzione, era sicuro che la chiave fosse qualcosa chiamata “legge del quadrato inverso”.Sin dai tempi di Keplero, si pensava che ci fosse una sorta di forza attrattiva che manteneva i pianeti in orbita attorno al Sole. Nello specifico, si credeva che questa forza fosse inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro; Keplero aveva detto altrettanto nella sua seconda e terza legge planetaria.Per Halley, la domanda era meno sul motivo per cui i pianeti viaggiassero in orbite ellittiche, ma piuttosto su quale sarebbe la forma dell’orbita di un pianeta se la legge del quadrato inverso fosse stata mantenuta. Ma non sapeva come procedere da lì.Così, nell’estate di quell’anno, si recò a Cambridge per chiedere aiuto al professore di matematica lucasiano dell’università: l’unico e solo Isaac Newton.

Con sorpresa e gioia di Halley, Newton aveva già risolto il problema: la forma dell’orbita era infatti un’ellisse!Ma quando Halley chiese se poteva mostrare i suoi calcoli, Newton non potè mostrare il documento. Tuttavia, su richiesta di Halley, promise di rifare il lavoro e mostrarglielo.In effetti, Newton non solo mantenne la sua promessa, ma andò ben oltre. Da tempo pensava ai principi del movimento sin dai tempi in cui studiava all’università e la richiesta di Halley lo spinse a consolidare tutto il lavoro che aveva svolto negli ultimi vent’anni. E, dopo diciotto estenuanti mesi, il testo rivoluzionario era finito.Si chiamava Philosophia Naturalis Principia Mathematica, che si traduce in Principi matematici della filosofia naturale. Al giorno d’oggi, è semplicemente noto come Principia.Questo testo conteneva tutto il lavoro di Newton sulla cinematica, dalle tre leggi del moto alla legge universale di gravitazione. La ricerca di Halley di una spiegazione matematica sottostante per il moto planetario non era stata vana; tuttavia, non fu senza costi da parte sua.

Da un lato, Newton aveva scelto di pubblicare il suo lavoro in tre volumi, ma dopo che scoppiò una disputa tra lui e Hooke, si rifiutò di pubblicare il terzo, che era un pezzo fondamentale per la comprensione dei primi due. Solo con molta diplomazia e adulazione da parte di Halley venne alla luce il volume finale. Anche la pubblicazione del libro stesso divenne difficile. Halley inizialmente si era assicurato la promessa della Royal Society di farlo, ma alla fine rinnegarono. L’anno prima avevano sponsorizzato la pubblicazione di The History of Fishes, che si rivelò un immenso flop.

Dopo questo fiasco, i membri della società non erano propensi all’idea di rischiare le proprie finanze su un trattato di matematica. Così, Halley fece il generoso sforzo di pagare la sua pubblicazione con il proprio stipendio, mentre Newton come al solito non contribuì. A peggiorare le cose, Halley ricevette subito dopo la notizia che la Società, sotto la quale lavorava, non poteva più permettersi di pagare il suo stipendio annuale di cinquanta sterline. Invece, sarebbe stato pagato in copie di The History of Fishes.


In retrospettiva, la scommessa di Wren si rivelò piuttosto dannosa per Halley. Per il prezzo di quaranta scellini, aveva scommesso la sua carriera, reputazione e stipendio per assicurarsi che il lavoro di Newton venisse alla luce.Ma le implicazioni furono senza dubbio gloriose. I Principia non si limitavano a spiegare il moto dei corpi planetari; spiegava tutto, dal movimento delle maree alla traiettoria di una palla lanciata in aria. Le sue pagine iniziali sono giustamente considerate l’inizio della scienza moderna, poiché Newton creò magistralmente una solida comprensione di come il nostro universo operasse in termini di movimento.Fu sicuramente una scommessa catastrofica per Edmond Halley, ma senza dubbio decisiva per la rivoluzione scientifica!

Crediti per la storia: Bill Bryson, Breve storia di (quasi) tutto

Nota: Questo articolo è stato preso dalla risposta di Quora: https://it.quora.com/Qual-è-stata-la-scommessa-più-catastrofica-mai-presa/answer/Erik-Pillon

Il Nobel per la matematica

Abbiamo il premio Nobel per la Fisica, il Nobel per la Chimica, per la Medicina, per la Letteratura, per l’Economia e addirittura per la Pace cosiccome per la mate… NO! Tra tutte le scienze proprio la matematica, quella che Gauss aveva definito la Regina della scienze e che Galileo aveva definito il Linguaggio dell’Universo, viene esclusa dal florilegio delle declinazioni del famoso premio. Ma perchè? Perchè non esiste il Nobel della Matematica?

Come mai non c’è il Nobel per la matematica?

Beh la domanda sorge abbastanza spontanea e anche con un po’ di perplessità e amarezza. Facciamo dunque un passo indietro e capiamo dove nasce il famoso premio…

Il premio prende il nome da Alfred Nobel, l’industriale e chimico svedese che ha inventato la dinamite. È stato lui, con le sue ultime volontà, a istituire il prestigioso riconoscimento. Ma perché? La filantropia non sempre si può spiegare, ma nel caso di Nobel forse sì.

La storia, abbastanza veritiera dato che è comprovata da numerose fonti autorevoli, dice che Nobel era negli ultimi anni della sua vita tormentato da avere creato un tale strumento distruttivo… Come se ciò non bastasse, alla morte del fratello nel 1888 la stampa, avendo scambiato il celebre Alfred con il fratello Ludvig, sentenziò a caratteri cubitali “Morto il mercante di morte”. “Oltre al danno, la beffa” verrebbe da dire!

Il denaro può dunque migliorare l’opinione che la gente ha di te? Beh a posteriori si direbbe di si! Fu dunque istituito un premio a favore di chi fosse riuscito a apportare «considerevoli benefici all’umanità».

La leggenda si mischia alla storia

La domanda iniziale rimane comunque ancora aperta… Perchè tra tutte le vie in cui qualcuno potrebbe migliorare la vita dell’Umanità, non ci sarebbe la Matematica?! Leggenda vuole che alla base del gesto del signor Nobel ci sia una storia di intrighi e tradimenti bell’e buona; pare infatti che la consorte tradisse l’industriale svedese con un illustre matematico, svedese anche lui, Gösta Mittag-Leffler.

Beh, purtroppo, sebbene pittoresca e curiosa, questa storia è sostanzialmente falsa! Nobel non è mai stato sposato! Alcuni hanno avanzato ipotesi che i due si odiassero ma, nonostante entrambi fossero di Stoccolma, non hanno avuto molte occasioni per conoscersi: senza contare i 10 anni di differenza, non ci sono nemmeno prove che i due abbiano avuto modo di incontrarsi in quanto il primo espatriò dalla Svezia quando il secondo era ancora uno studente.

Ma allora perché la matematica è stata tagliata fuori? Non c’è una risposta certa.

Quando il premio è stato creato, però, esisteva già un riconoscimento internazionale per la matematica istituito dal re di Svezia Oscar II: forse Nobel voleva evitare un doppione. O forse, più banalmente, non reputava la matematica capace di apportare «considerevoli benefici all’umanità».

A che premi può dunque ambire un matematico?

Ok, ammettiamolo, oltre alla gloria eterna conferita da un Nobel, a chiunque farebbe gola anche il milioncino che ci arriva correlato (anche se è vero che molti ricercatori devolvono il premio alla ricerca). Tuttavia anche i matematici hanno svariati premi a cui ambire… il più famoso è sicuramente il premio Clay, di cui abbiamo già parlato ampiamente nell’articolo dei 7 problemi da un milione di dollari!.

Oltre a ciò c’è il famoso premio Abel, dato per la prima volta nel 2003 e di cadenza annuale, con “lo scopo di promuovere la matematica, rendendo più prestigiosa questa scienza, specialmente agli occhi delle nuove generazioni”. L’ammontare in denaro è all’incira di un milione di dollari anche per questo premio.

Ma nonostante il guadagno economico non sia così grande, il vero Nobel per la Matematica è la Medaglia Fields e viene data ogni 4 anni (giusto per renderla ancora più prestigiosa) e, come se ciò non bastasse, la si può dare solo a ricercatori con meno di 41 anni.

C’est la vie, come si dice qui in Francia.

Buon pi-day a tutti!

Ci siamoooo! Era da tantissimo tempo che volevo scrivere questo (breve) articoletto e finalmente ci siamo! Il motivo mi sembra abbastanza chiaro di questa esaltazione dato che per un giorno anche i matematici possono avere il loro breve periodo di gloria e tutti ci possiamo sentire un po’ più nerd e compiacerci di esserlo! 😉 Qui su Mathone ci siamo già più di una volta dedicati a questa famigerata costante, ma credo non vi dispiacerà sentire qualche curiosità in più 😉

Di cose da dire sul pi greco ce ne sarebbero tantissime, tuttavia dirle tutte sarebbe lungo e noioso. Mi soffermerò solo su quelle che trovo più interessanti 😉 Pronti, ai posti, via!

Dove e quando

è oramai l’emblema di come la matematica ci pervada nella vita di tutti i giorni. È stato elevato nei secoli quasi come simbolo stesso della matematica (provate per esempio a pensare a quante volte lo si vede nei film ogni volta che si comincia a parlare di matematica!) tanto che perfino i Simpsons ne sono stati testimonial!

Scherzi a parte, sebbene il pi greco, con la sua irrazionalità, trascendenza, aperiodicità, infinità e vattelappesca sia noto e studiato da tantissimo tempo (già i greci avevano cominciato a darci dentro ai loro tempi, Archimede stimando una circonferenza con poligoni regolari inscritti e circoscritti era riuscito a trovare un’approssimazione fino a diverse cifre decimali…), è solo dal 1988 che si è cominciato a celebrare il pi-day.

L’iniziativa parte, tanto per cambiare, dagli Stati Uniti, a San Francisco per l’esattezza, con l’intento nobile di portare al centro dell’attenzione la matematica: una scienza (per alcuni LA Scienza) che non trova spesso motivi per festeggiare. La data designata non poteva non essere il giorno 14 del mese 3; 3,14 appunto!

Dove lo si trova

Per tutti quelli che non sono matematici o fisici purosangue, il pi-greco è solamente il rapporto tra Area e raggio di un cerchio, oppure tra sfera e raggio e così via… ma questo è vero solo in parte… è dappertutto. No veramente, DAPPERTUTTO! Lo si ritrova nella matematica pura (teoria dei numeri e teoria dei gruppi), nell’analisi complessa, nell’analisi, nella probabilità, nella statistica, nella fisica, e mi si seccherebbe la lingua a elencarli tutti!

Tanto per citarvi qualche esempio:

  • nella formula di Eulero definita da Richard Feynman «la più notevole formula della matematica».
  • formule di Green
  • nell’analisi complessa a tout court
  • in statistica
  • In mecanica quantistica! Solo per citarvi il caso più famoso, il principio di indeterminazione di Heisenberg dice che . Vabbeh. Non fa una piega.
  • In algebra! In algebra! che (sembra) abbia solo a che fare con moduli, anelli, gruppi e ideali! È per esempio connesso strettamente alla funzione di Riemann… per esempio la seguente equazione è storicamente famosa come Problema di Basilea e fu risolto da Eulero:

  • nel celebre integrale di Gauss

… No seriamente, ceh vi pare una cosa naturale?

Perchè è così importante?

Il pi greco, al dilà di tutta la divulgazione più o meno scientifica di cui se ne è fatta a proposito, rimane tuttora uno dei veri punti interrogativi moderni della matematica e, sopratutto, della fisica.

C’è chi dice che dato che il nostro è un modello approssimato della realtà e che noi abbiamo inventato numeri e operazioni per poter dare senso a quello che ci circonda, allora è ovvio che il pi greco ritorni in maniera sistematica, perchè avendolo “inventato” noi, ritorna ogni volta che abbiamo a che fare con una sfera o un cerchio.

Onestamente però non sono di questa opinione: dove sono le sfere e i cerchi nella formula di Gauss? O nella teoria quantistica dei campi? O per esempio in algebra e nella funzione di Riemann?

Queste sono domande ancora aperte… ma del resto, citando Eulero, pi greco non è altro che

dove i è l’unità immaginaria e il logaritmo è definito classicamente solo per numeri maggiori di zero. Tutto normale dunque.

La matematica romantica

Per secoli il pi greco con i suoi misteri e l’impossibilità di determinarlo esattamente ha alimentato un sentimento quasi romantico nei confronti della matematica. Solo per oggi desidererei che ci dimenticassimo di quanto possa essere bastarda e ostile questa materia e lasciarci coccolare dalla bellezza e dall’eleganza di questa disciplina: il pi greco è infinito e aperiodico, quindi vuol dire che al suo interno c’è codificato tutto il nostro patrimonio genetico, tutto quello che pensiamo, che abbiamo pensato e che mai potremo pensare; c’è codificato tutta l’informazione che internet possa mai raccogliere e tutte le informazioni racchiuse nel nostro universo. E tutto questo è

.

Buon -day a tutti!

Caffè matematico n°6: Cédric Villani

Matematico francese, 43 anni, attivo nel campo delle equazioni differenziali e della fisica matematica, conosciuto per il suo look fatto di cravatte da dandy, panciotti con orologio nel taschino e una spilla a forma di ragno sul bavero della giacca. Ma chi é Cédric Villani?! Come mai tutti ne parlano?

Biografia

Cèdric Villani compie i suoi studi all’École Normale Superiore a Parigi (la sorella maggiore della Scuola Normale di Pisa, per intenderci, nonchè uno degli istituti più importanti dell’intera Europa) dal 1992 al 1996, dove diventa anche assistant professor. Nel 2000 si trasferisce a Lione, dove ottiene la cattedra e lavora tuttora, mentre dal 2009 è anche direttore dell’isituto Poincaré.

Sempre nel 2009 riceve la Medaglia Fermat mentre nel 2010 riceve la Medaglia Fields. Ha solo 37 anni.

Nel 2012 esce il suo celebre libro Théorème vivant (il Teorema vivente, edito da Rizzoli) nel quale spiega il suo lavoro e cosa vuol dire fare ricerca nel ramo della matematica. Nel 2016 è protagonista del TED talk di Vancouver [3] mentre dal 2016 è un parlamentare della legislazione Macron.

Vita privata e celebrità

Cédric Villani è considerato un personaggio curioso per il suo aspetto e le sue passioni (divora fumetti manga giapponesi), dotato di un intuito fuori dal comune. Un genio della matematica, un vero ninja, in grado però di spiegare anche i temi più complessi con parole semplici e al grande pubblico. In molti lo hanno conosciuto con la pubblicazione del già citato saggio «Il Teorema vivente. La mia più grande avventura matematica». [1] Lo puoi acquistare qui se sei interessato 😉 )

Ma cosa fa dunque Cédric Villani? Ebbene i suoi studi riguardano la teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali coinvolte nella meccanica statistica; in particolare sull’equazione di Boltzmann, sulla quale ha vinto la celebre Medaglia. Ha lavorato inoltre sulla teoria del trasporto ottimale e sulle sue applicazioni in geometria differenziale. So che alcuni di voi potrebbero essersi persi, però il tempo di un caffè non è sufficiente per dilungarsi su cosa vertano questi argomenti. Per conoscenza però vi dico solo che sono alcuni degli argomenti più “caldi” della fisica matematica moderna.

Il sogno della «città della scienza»

A qualcuno leggendo le prossime righe potrebbe tornare in mente Platone e la sua idea della società perfetta guidata dai filosofi… ma vediamo perchè 😉

Nelle ultime elezioni legislative francesi è stato candidato per il dipartimento francese della regione dell’Ile-de-France (Francia sud, per capirci, dove ci sono Lione, Grenoble e Saclay). Proprio là dove si trova la città di Saclay, considerata la Silicon Valley alla francese, e dove Villani avrebbe il desiderio di creare una cittadella della scienza e della tecnologia. Questo progetto è da molti considerato quasi utopico, ma se ci crede una Medaglia Fields, merita di farci un pensierino…

Spero con queste poche righe di avere suscitato in voi l’interesse per questa eclettica persona dagli interessi più svariati. Per approfindimento ti consiglio questa intervista sul sito di Madmaths! [2] Attualmente in Francia è considerato come una celebrità e di sicuro se ne sentirà ancora parlare di lui.

A presto col prossimo caffè matematico 😉

Au revoir

 

Bibliografia

1. Bibliografia esterna
2. Bibliografia esterna
3. TED Vancouver

Caffè matematico n°5 : La somma di tutti i naturali

Già Gauss quando aveva 7 anni aveva trovato una formula per calcolare la somma dei primi numeri naturali… Ma quanto fa la somma di tutti i numeri naturali? “Ovviamente è infinito” verrebbe da dire… e invece NO! la somma esiste, è finita e fa

Dove sta l’inganno?

Spoiler: non trattate i passaggi matematici come oro colato, l’idea di fondo è sbagliata! (si vedano i commenti finali a tal proposito)

Scherzi a parte, la serie è ovviamente divergente (cioè fa ), tuttavia se la tronchiamo ad un certo la somma, essa risulta ben definita e fa

Tuttavia se facciamo tendere la serie a inifinito, le cose cambiano… Prendiamo il problema con leggerezza e vediamo come dimostrare che la somma fa !

Prima di proseguire, se ti interessano i numeri e la matematica mi permetto di suggerirti questo libro molto semplice e divertente: Il mago dei numeri. Un libro da leggere prima di addormentarsi, dedicato a chi ha paura della matematica.

Vi anticipo già che nella dimostrazione non c’è nessuna intuizione perchè per come il problema è definito esso è tremendamente anti-intuitivo!

Siamo ai primi del ‘900 e un talentuoso fisico indiano annota sul suo taccuino il giusto risultato a questo problema. Stiamo parlando del celebre Ramanujan[1] il quale risolvette questo problema in modo euristico; l’idea di base si fondava sul fatto che si poteva trasformare la serie 1+2+3+4+… in 1-2+3-4+… (per informazioni riguardo alla serie alternata rimando a link in bibliografia ) sottraendo 4 al secondo termine, 8 al quarto, 12 al sesto e così via. Il totale sottratto era quindi 4+8+12+16+… , ovvero quattro volte la serie originale!

Già Eulero, molti anni prima, aveva dimostrato che (paradossalmente!) la somma alternata faceva 1/4 ! Quello che fece Ramanujan fu di porre semplicemente

e

.

Dunque il gioco era fatto! Basta sottrarre la seconda dalla prima e si ottiene semplicemente:

quindi abbiamo vinto perchè Eulero aveva già giocato a questo gioco! Basta porre:

ottenendo dunque


Attenzione! Il risultato rimane in ogni caso errato!

Questo risultato è chiaramente errato in quanto le serie infinite vanno maneggiate prima trovando la funzione generale somma e poi passando al limite all’infinito. Infatti se si manipolano le serie inifinte come fossero finite (come nella “soluzione” riportata da Ramanujan), è possibile dimostrare praticamente qualsiasi risultato. [2]

Il principio di fondo è che la somma è definita in modo induttivo e dunque non si può usare l’induzione con troppa leggerezza quando si parla di somme infinite!


Nota (importante)

Sebbene come precedentemente detto questo risultato è sostanzialmente errato, quest’ultimo trova notevoli applicazioni in analisi complessa, teoria dei numeri, teoria quantistica dei campi e teoria M (per gli amici: teoria delle stringhe). Il motivo per cui questo è valido è molto più profondo ed è legato al fatto che per particolari funzioni un approssimazione finita di somme infinite produce un errore tendente a zero (per chi ne sa un po’ di più, sto parlando ovviamente dell’operatore troncamento).

Paradossi matematici: Dalla moltiplicazione della sfera al paradosso del mentitore

Stavo bazzicando un po’ di tempo fa su Quora (ehm, si in effetti ci sto passando più tempo di quanto dovrei ultimamamente…) quando mi sono imbattuto nella domanda “Quali sono alcuni Paradossi matematici?” e senza pensarci due volte ho deciso di rispondere. Ho colto l’occasione al volo e mi sono documentato; nella risposta originale non mi sono dilungato troppo, ma qui possiamo scavare un po’ di più.

Prima di inziare però avviso chiunque abbia voglia di continuare, che a volte l’argomento sarà, per così dire, indigesto e abbastanza paradossale, appunto. Non posso non citare a questo punto quello che il mio professore di Analisi II mi ha detto una delle prime volte che è entrato in classe:

Chiedi quello che non devi e otterrai quello che non vuoi. ~AM

Ebbene preparatevi, perché si è giunti al punto di non ritorno. Di seguito ne elenco solo due (quelli che di più mi hanno colpito durante il mio percorso), ma una lista abbastanza esaustiva sui paradossi più famosi si può trovare qui.

Il paradosso di Banach-Tarski

Esso risale a due tra i più famosi matematici del ‘900, dicasi Stefan Banach e Alfred Tarski. Ma prima di enunciare il paradosso facciamo un passo indietro. Probabilmente nella vita di un matematico ci si imbatte prima o poi nell’assioma della scelta. Ebbene cosa dice? Immaginate di avere un certo insieme (di oggetti, di numeri, di calzini, di monete… poco importa). Ebbene nulla ci vieta in questo insieme di poterne scegliere un elemento… Ecco. L’assioma della scelta dice proprio questo:

Esiste una funzione che ad un insieme non vuoto fa corrispondere un suo elemento.

A dire il vero la definizione matematichese è un po’ più sottile, ma per quello che ci interessa ci possiamo fermare qui.1

Nulla di irragionevole a quanto pare… Appunto. Pare. Ebbene riporto qui una delle conseguenze più sconcertanti di questo assioma (attenzione: assioma significa che lo si può accettare come no! Se non lo si accetta, la matematica continua ad avere senso, ma si passerebbe allora ad un punto di vista cosiddetto costruttivista e questa diventa una storia moooolto lunga).

Prendiamo dunque una sfera in senso classico, cioè in . Suddividiamola in un insieme finito di pezzi non misurabili (detto in soldoni: dobbiamo suddividerlo in un modo sufficientemente complicato) . Utilizzando solo rotazioni e traslazioni è possibile riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio dell’originale. È abbastanza controintuitivo riuscire a creare due sfere al posto di uno solo usando rotazioni e traslazioni senza usare allungamenti, stiramenti o aggiungendo punti. Ebbene però è così, perchè se i pezzi sono scelti in modo abbastanza strano, non si può definire una nozione di volume ben definita e quindi non è irragionevole aspettarsi che non si conservi.

[Gentile concessione di Wikipedia.org]

Confusi: ebbene non è finita qui! Questo “smantellamento” e “riassemblamento” può essere fatto anche con soli 5 pezzi! Niente dice che questi pezzi debbano essere infiniti! Beh non rimane che provarci a casa! Dividendo e riassemblando una pesca un numero finito di volte possiamo costruire una palla grande come il sole!

Breve nota storica

In realtà con questo risultato, Banach e Tarski intendevano fornire argomenti a sostegno della loro decisione di non avvalersi dell’assioma della scelta e speravano di spingere alle medesime conclusioni gli altri matematici dell’epoca. Contrariamente a quanto da loro auspicato, tuttavia, la maggior parte dei matematici preferisce utilizzare tale assioma e vedere nel risultato paradossale di Banach e Tarski semplicemente un risultato controintuitivo (e tuttavia di per sé non contraddittorio).[1]


1. [In matematichese, un’enuciazione appropriata dell’assioma della scelta potrebbe essere “Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.” Notiamo che la cardinalità dell’insieme potrebbe anche essere infinita, ecco perchè questo assioma è abbastanza contestato. Una certa classe di matematici neanche troppo ristretta è abbastanza restia ad accettare questo assioma in quanto considerato in qualche modo “non naturale” e preferiscono lavorare solo con gli assiomi che si possono realmente “costruire” nella vita reale, ecco perchè si chiamano “costruttivisti” appunto, ma questa è un altra storia…]

Il paradosso di Russell

Se qualcuno si sta chiedendo perché la parola paradosso sia in corsivo, sappia che la risposta sta arrivandola risposta è scritta poco sotto… Questo paradosso (o per lo meno presunto tale) può essere enunciato così:

L’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso.

Dunque risulta un po’ più chiaro perché questo non sia un paradosso ma piuttosto un’antimonia… Citando Wikipedia “un paradosso è una conclusione logica e non contraddittoria che si scontra con il nostro modo abituale di vedere le cose, mentre un’antinomia è una proposizione che risulta autocontraddittoria sia nel caso che sia vera, sia nel caso che sia falsa”. [2]

Ebbene, questo problema fu sollevato in un periodo in cui la matematica stava attraversando un grave periodo di insicurezza e di instabilità in quanto non si riusciva a darle delle basi solide su cui fondarla. La questione sollevata da Russell alimentò in maniera significativa la necessità di trovare delle basi solide e stabili su cui fondare la regina delle scienze. Il rischio era che trovare che la matematica avesse delle contraddizioni interne o delle basi non consistenti, demolisse a cascata tutte le altre scienze che si fondavano sulla matematica stessa! Si lo so, sembra catastrofico messa così, ma in realtà lo è!

Storicamente il paradosso di Russell viene scoperto proprio nel periodo in cui Frege stava scrivendo (in realtà aveva già pubblicato il primo volume) un’opera monumentale in cui procedeva alla vera e propria “logicizzazione” dei concetti che Dedekind e Peano avevano dimostrato essere alla base dell’aritmetica e, di conseguenza, di tutta la matematica. Sto parlando dei Principî dell’aritmetica.

Immaginatevi la faccia di Frege ricevendo la lettera di Russell in cui gli viene detto che tutto il lavoro della sua vita era da buttare via…

Il problema tuttavia rimaneva aperto! Si può veramente fondare la matematica su qualcosa di solido/certo/lapidario/incontestabile/uguale per tutto e per tutti? Bisogna aspettare altri 29 anni per inquadrare questo paradosso all’interno di una cornice più grande… Fu il logico dall’altisonante nome di Kurt Gödel che, nel 1931, risolse definitivamente la questione dimostrando l’impossibilità tout court di produrre una fondazione certa dell’aritmetica.

I suoi risultati sono ora una pietra miliare e vanno sotto il nome di teoremi di incompletezza. Per completezza riporto qui di seguito il principale risultato di Godel che va anche a chiudere il cerchio di questa breve storia, ma che purtroppo lascia un senso di impotenza devastante:

Teorema (primo Teorema di Incompletezza) In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali — vale a dire, sufficientemente potente da definire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto — è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all’interno dello stesso sistema.2


2. [L’idea di fondo della dimostrazione può essere così riassunta: Supponiamo esista una proposizione G la cui interpretazione standard sia “ non è dimostrabile in “. Se , cioè se $latexG$ fosse dimostrabile in $latexP, G$ risulterebbe falsa. Ma per il teorema di completezza di Gödel, ogni proposizione dimostrabile in risulta vera, dunque G non può essere dimostrabile in P e quindi è vera. Quindi risulta falsa e, per lo stesso motivo, non può essere dimostrabile in P. Pertanto se esiste una proposizione il cui contenuto è “io non sono dimostrabile in P”, tale proposizione risulterà vera ma non dimostrabile.]


So che sarà dura, ma questa notte cercate di riuscire a dormire…

Au revoir,

Erik

Bibliografia

[1] https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Banach-Tarski

[2] https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Russell

Caffè matematico n°3: Perchè usiamo la x per le incognite?

Andiamo, ammettetelo! Almeno una volta nella vita ce lo siamo chiesto tutti! Perchè quando risolviamo un’equazione, una proporzione, scriviamo le funzioni sempre in funzione di un’incognita e la chiamiamo sempre x? Prima di dare la fatidica risposta, avviciniamoci pian piano e diamo un po’ di contesto storico…

I cosisti

Tutto parte dalla culla della civiltà (anche se attualmente i vari movimenti anarchici che stanno nascendo non tengono alto il nome… ), cioè dagli arabi. Ebbene la matematica classica deve molto agli arabi… Pensate che le parole algoritmo e aritmetica per esempio derivano proprio da loro, ossia da diverse traslitterazioni del nome del amtematico al-Khuwārizmī (sec. IX), attratto nella famiglia del gr. arithmós ‘numero, quantità’. Ebbene gli arabi indicavano l’incognita, in una equazione che ne conteneva una sola, come “la cosa”. In arabo, “cosa” si dice “shay”, un suono molto simile ad x.

Anche nell’Italia rinascimentale, l’incognita era chiamata “la cosa”. La scienza delle equazioni era nota come “l’arte della cosa” e gli specialisti che le risolvevano erano i “cosisti”. [1]

Cogito Ergo Sum

Ebbene si, il merito alla fine va al nostro amico transalpino. Cartesio è attualmente il secondo francese più famoso dopo Napoleone. È stato uno dei primi matematici ad aver dato contributi importanti alla matematica, non greco. Oggi è ricordato per – beh, molte cosa a dire il vero… Essendo uno dei francesi che la matematica la capiva, doveva anche divulgarla in qualche modo e l’unico modo era farlo attraverso i caratteri mobili di Gutenberg!

Ecco però che qui succede il fattaccio: Cartesio ha appena finito di scrivere “La géométrie”, e forse ricordando proprio la shay, decise di utilizzare le lettere minuscole all’inizio dell’alfabeto (a,b,c,…) per le quantità note e quelle minuscole della fine dell’alfabeto per le incognite(z,y,x,…). Tuttavia nella lingua francese, le lettere z,y e x non sono molto frequenti e il tipografo (sembra che) rimase a corto di lettere. Dopo essersi accordato con l’autore, decise di sostituire tutte le incognite con la lettera x (la meno frequente delle 3) ed ecco che la storia si compì.

Nella cultura popolare

Ed ecco come si è andata a insediare nella cultura popolare l’idea di X come qualcosa che non si sa e non si conosce: parliamo oggi degli x-files, degli X-men e ancora prima c’erano i misteriosi raggi x!

E voi? Avete sempre usato la x come incognita? Sarò felice di commentare qualche vostro aneddoto se avete voglia di lasciarlo nei commenti 🙂 .

Au revoir

Erik

Bibliografia

1. Bibliografia esterna

Caffè matematico n° 2 – Il cubo di Rubik – Il gioco del Demonio

Benvenuti a questo secondo caffè matematico: oggi parliamo un po’ di algebr… ehm, del cubo di Rubik! Dato che il tempo a disposizione è poco (il tempo di un caffè appunto 😉 ) sarò breve, ma l’argomento è molto interessante e merita di essere approfondito, pertanto prometto di scriverne al riguardo tra non molto ;).

Il cubo di Rubik

Praticamente tutti conoscono il famosissimo cubo del professore Ernő Rubik. Esso è probabilmente il gioco più venduto della storia ed è considerato da coloro che non sono mai riusciti a risolverlo un vero rompicapo.

Ma cosa vuol dire effettivamente risolverlo? Beh, matematicamente si potrebbe dire che il problema è ben posto, cioè che la soluzione esiste ed è unica. Essa altro non è che il procedimento algoritmico che riesce a permutare i singoli blocchetti in modo che su tutte le facce compaia un solo colore, diverso per tutte e 6 le facce.

Un po’ di algebra

Ma in quanti modi differenti si possono permutare le facce del cubo? Beh, facciamo un po’ di calcoli… Ci sono 3 strati verticali e 3 orizzontali in ogni faccia e possono essere ruotati singolarmente 3 volte, fino a tornare alla posizione originaria. Dunque siamo già a 3x3x3 possibilità di modificarlo. Tutto questo va considerato per 6 facce. Giusto? SBAGLIATO! Attenzione! Se ruotate una faccia, anche tutte quelle intorno vengono di conseguenza modicate! Trovare tutte le possibili permutazioni non è purtroppo così facile come sembra…

Si potrebbe andare avanti parecchio, ma meglio se vi do la soluzione… Si può dimostrare che il numero di configurazioni differenti che un cubo di Rubik può assumere è dato da:

227314537211=43252003274489856000,

cioè circa 0.4*1020. Immaginiamo che per guardare ogni possibile configurazione ci voglia un secondo. 60 fanno un minuto. Per 60 e siamo a un’ora e così via… Se adesso dividiamo 43252003274489856000 per i secondi che ci sono in un anno, otteniamo 1370 miliardi. Il nostro Universo ha poco meno di 14 miliardi di anni, la terra 4. Il sole ne brucerà per circa altri 5. Insomma, riuscire ad elencare tutte le configurazioni di un cubo di Rubik sembra un’impresa assolutamente impossibile.

Giochi senza frontiere

Questo fatto però non deve scoraggiarci: per trovare la soluzione al rompicapo infatti non è necessario conoscere tutte le possibili configurazioni, ma basta saper destreggiarsi tra un po’ di esse con sufficiente abilità. Tra le tante soluzioni che si possono trovare in rete, tutte quante hanno come denominatore comune l’approccio algoritmico: non importa avere un’idea geniale e ogni volta rimettersi a pensarne una nuova: basta solo osservare la configurazione in cui il cubo si trova e procedere algoritmicamente sistemando gruppi di tasselli alla volta.

Attualmente nessuno riesce a farlo in meno di 4 secondi e 73. Voi ci siete mai riusciti? In quanto?

A mercoledì prossimo con il prossimo caffè 😉

Au revoir

Erik

ceterum censeo festascienze esse facendam

Galois – Il profeta che non aveva tempo

Sfortunatamente non si comprende come i libri scientifici più validi siano quelli in cui

l’autore indica chiaramente cosa non sa;

un autore fa infatti maggiormente del male ai suoi lettori quando nasconde le difficoltà.

Évariste Galois (25 Ottobre 1811 – 31 Maggio 1832)

Évariste Galois – Il profeta

Rivoluzionario, guerrafondaio, irrispettoso, insofferente verso la mediocrità, passionale e romantico. Del tutto incostante negli studi; geniale, ma refrattario all’istruzione formale e insofferente verso chi non era in grado di seguirlo mentre svolgeva complicati calcoli a mente (inclusi i propri esaminatori). Ancora diciannovenne aveva già risolto un problema che resisteva da secoli agli attacchi dei matematici, ma poiché pochissimi lo avevano capito, era convinto che sarebbe stato dimenticato.

Eppure la storia oggi gli rende giustizia ricordandolo come uno dei grandi della matematica. Forse il migliore algebrista di sempre. Ma chi era dunque Galois? Perché viene ricordato come l’ultimo matematico romantico?

Una vita appassionata

1811. L’Impero di Napoleone è all’apogeo. La campagna di Russia è alle porte. Ed è in questo clima che alle porte di Parigi, a Bourg-la-Reine, il 25 ottobre nasce Évariste Galois. Già da giovanissimo mostrò tutti i caratteri dell’énfant prodige. Leggeva e studiava manoscritti dei grandissimi del tempo: Lagrange, Gauss e Abel. Tuttavia mentre i suoi maestri di Matematica lo incoraggiavano e lo seguivano, quelli di tutte le altre materie lo ritenevano tutt’altro che un genio: non si applicava, non eccelleva in nessuna materia che non fosse la matematica e come se ciò non bastasse non si faceva nemmeno problemi a nascondere la sua insofferenza verso le cariche istituzionali che non gli andavano a genio.

Dal padre, sostenitore della Repubblica e sindaco del proprio villaggio nel periodo della Restaurazione, e dallo zio paterno (ufficiale napoleonico) prende la passione politica e comincia ad accostarsi al movimento repubblicano. Tuttavia il suicidio del padre assurdamente provocato per ragioni politiche segnerà profondamente lo spirito del giovane figlio.

Un matematico incompreso

Galois trascorreva talmente tanto tempo in profondi studi astratti che i suoi contemporanei non lo capivano. Eccone un esempio. Siamo nel 1829. Gaois ha 18 anni. I suoi lavori riguardavano le frazioni continue e la scoperta di nuovi insiemi numerici. Vuole entrare nel più prestigioso istituto di matematica dell’epoca: l’Accademia delle Scienze di Parigi. Presenta come domanda per l’ammissione alcune note sulla risoluzione tramite radicali di equazioni algebriche. Teniamo a mente che gran parte dell’algebra moderna viene da quelle note (se vuoi vedere qualche applicazione delle sue scoperte ecco un nostro recente articolo: I problemi con riga e compasso). I professori del tempo, restii alle idee di un diciottenne e abituati a ben altri calcoli, rifiutano il lavoro. Altri addirittura cestinano le note. Figuratevi come non reagì Galois che non solo si riteneva superiore alla sua commissione giudicatrice ma si mise addirittura a discutere con loro rinfacciandogli di non aver capito la portata delle sue idee.

Dovette a malincuore ripiegare sulla ben meno prestigiosa Scuola Normale.

Il matematico romantico

Cambiando scuola però i problemi non finirono. Durante i moti del 1830 ha i primi contrasti con le autorità. Ma non si piega. Al contrario, aumenta la propria posizione radicale. Viene prima arrestato, sbattuto in prigione e poi espulso dalla Scuola.

Alexandre Dumas a proposito dell’evento incriminato dell’arresto del giovane scrive:

All’improvviso, nel bel mezzo di una conversazione privata tra me e la persona seduta a sinistra, le mie orecchie sentirono il nome di Luigi Filippo, seguito da cinque o sei fischi. Mi voltai. A quindici o venti posti di distanza da me si stava svolgendo una delle scene più animate della serata. Un giovane che teneva nella stessa mano un bicchiere e un pugnale aperto cercava di farsi sentire dagli altri.
Si trattava di Évariste Galois. Riuscii a percepire solo che si trattava di una minaccia, e che era stato pronunciato il nome di Luigi Filippo. Il coltello aperto lasciava trasparire le intenzioni del giovane.

Uno spirito passionale

Rilasciato dal carcere nel 1832, si invaghisce di una ragazza. Da qui in poi ci sono ancora molte ombre sulle sua vita ma vi posso raccontare quella che la versione più accreditata racconta.

Lei si chiamava Stephanie Potterin du Motel e Galois l’aveva conosciuta solo pochi mesi prima. La relazione tra i due, però, si era interrotta quasi subito per ragioni che non sono note. Si sa solo che di lì a poco Galois fu sfidato a duello per difendere l’onere della donzella e a sfidarlo fu Ernest Duchatelet, “patriota” e una delle migliori pistole di Francia. E tirarsi indietro non era contemplabile all’epoca.

Oggi possiamo dire con un certo grado di sicurezza che quella di Galois fu probabilmente una congiura: tutto fu organizzato in modo che il giovine si trovasse nel posto giusto al momento sbagliato.

Galois sapeva che quella sarebbe stata la sua ultima notte. Rabbiosamente si rinchiude in casa per raccogliere tutti i suoi lavori e cercare di commentarli in modo che qualcuno possa un giorno riprenderli e fare in modo che le sue idee non vadano perdute. A margine dei fogli si può spesso leggere “non ho tempo… non ho tempo” proprio ad indicare l’ineluttabilità del momento e la pressione che si sentiva addosso… Provate ad immaginare cosa vuol dire avere la completa padronanza di un argomento che attanaglia la mente di matematici illustri da secoli, sapere che da lì a qualche ora la vostra morte si sta avvicinando e non avere il tempo per poter ordinare le vostre idee per evitare che vadano perdute!

Ed è proprio in questa notte che scrive la celebra lettera all’amico Chevalier. Essa è oggi considerata il suo testamento spirituale ai posteri, nonché base della moderna matematica. Nella stessa lettera si pregava Chavalier di far recapitare a Gauss e Jacobi tutti i lavori sulla sua opera di matematico.

Pregherai pubblicamente Jacobi o Gauss di dare il loro parere, non sulla verità, ma sull’importanza dei teoremi. Dopo questo ci sarà, spero, qualcuno che troverà il suo profitto a decifrare tutto questo guazzabuglio”.

Personalmente, l’ultima volta che ho controllato il profitto si è trovato eccome!

Galois inoltre lascia nella lettera i principali teoremi della futura teoria dei gruppi che porta il suo nome e il legame profondo con la teoria della risoluzione algebrica delle equazioni.

 

La teoria di Galois

Prima di concludere però vorrei fare un breve accenno sulla teoria dei gruppi citando un esempio che ho trovato online a questa pagina.

Considerate una gara di ciclismo a cui partecipano solo tre corridori. Quanti sono i possibili esiti della gara se i partecipanti non possono tagliare il traguardo contemporaneamente? Se indichiamo i ciclisti con i simboli A, B, C, il problema dei possibili esiti della gara sta allora nel capire in quanti e quali modi si possono mettere in ordine gli oggetti A, B, C.

Un modo efficace di procedere è di mettere in prima posizione, a turno, uno degli elementi e vedere cosa succede dopo, nelle altre posizioni. Per esempio, se il ciclista A finisce primo, negli altri due posti, cioè in seconda e in terza posizione, possono andare solo gli altri due elementi, e in due soli modi possibili; ripetendo il ragionamento per B e C si vede che i modi possibili per ordinarli sono 6, cioè in matematichese .

Una sostituzione equivale a operare in un certo modo sugli elementi A, B, C, rispetto a una sostituzione di base (per esempio ABC) presa come riferimento. Allora, la sostituzione CBA corrisponde al fatto che A→C, B→B, C→A; cioè, in sostanza, al fatto che A e C si sono scambiati di posto.

Inoltre, le sostituzioni possono essere anche moltiplicate tra loro, un po’ come si fa con i numeri. Se avete la sostituzione CBA (A→C, B→B, C→A) e la sostituzione ACB (A→A, B→C, C→B), fare il prodotto tra le due sostituzioni vuole dire applicarle successivamente: si ottiene così (A→C→B, B→B→C, C→A→A), cioè BCA.

Esiste sempre la sostituzione che lascia inalterato il risultato finale del prodotto, cioè l’elemento neutro (è la sostituzione identica ABC, A→A, B→B, C→C) e la sostituzione che moltiplicata per un’altra dà come risultato la sostituzione identica ABC.

Il concetto di Gruppo

Queste sono alcune delle principali proprietà di ciò che nella matematica moderna va sotto il nome di gruppo. Ossia, l’insieme delle sostituzioni su tre elementi possiede una struttura di gruppo; e il discorso è valido indipendentemente dal numero n di oggetti considerati.

L’idea di gruppo di sostituzioni è emersa soprattutto in relazione allo studio delle equazioni algebriche, come per esempio l’equazione: . In questo caso, si tratta di un’equazione molto semplice da risolvere, ma quando l’equazione è più complessa, in particolare quando è più alto il suo grado, allora il gruppo di sostituzioni permette di risolvere il problema in quella che è ora nota come teoria di Galois.

Il matematico che non aveva tempo

La mattina del 29 maggio una carrozza viene a prendere Galois. Lo condurrà in una pineta. Non sarà lui il vincitore del duello. A ritrovarlo è un contadino del luogo.

Prima di morire disse al fratello:” Ho bisogno di tutto il mio coraggio per morire a 20 anni”. Il 30 maggio 1832 Évariste Galois muore per traumi subiti allo stomaco da un colpo di arma da fuoco in ospedale. Non aveva nemmeno 20 anni. Viene sepolto in una fossa comune fuori Parigi, dove ancora risiede.

“Mantenete la mia memoria, perché la sorte non mi ha dato abbastanza vita affinché la patria conosca il mio nome

I lavori di Galois rimasero pressoché sconosciuti fino al 1846, quando il matematico francese Joseph Liouville li pubblicò sul suo Journal de mathématiques pures et appliqueés, ben 14 anni dopo.

Oggi il suo nome è leggenda.

 

A presto con il prossimo articolo,

Au revoir

Erik

Ceterum censeo festascienze facendam esse

Problemi del Millennio: I 7 Problemi da 1 milione di Dollari

Nella vita di un matematico in erba sarà capitato almeno una volta di sentir parlare degli altisonanti “Problemi del Millennio”. Ebbene: Cosa sono? Perché periodicamente ritornano in auge? Perché le soluzioni sono viste come il sacro Graal della matematica moderna?

Cerchiamo innanzitutto di fare ordine spiegandone l’origine. Poi ci concentreremo su cosa sono e perché in tutto il mondo si venderebbe l’anima al diavolo per poterne risolvere uno (perlomeno l’autore di queste poche righe lo farebbe, pertanto mi scuso per essere stato così generalista 🙂 ).

Prima di proseguire, ecco un libro che potrebbe interessarti ed è fatto molto bene: L’equazione da un milione di dollari 

Hilbert “il complessato”

8 agosto 1900. Parigi. Il mondo è in fermento. La famosa Esposizione di Parigi è in corso e la torre dell’ingegnere Eiffel è stata appena completata. Tuttavia la storia sta per ricordare quel giorno per un altro motivo: David Hilbert, visto già allora come una leggenda vivente (e di cui scriverò sicuramente in futuro), annuncia al “Congresso internazionale dei matematici” i suoi 23 problemi. La storia stava per cambiare.

I problemi, per ammissione stessa di Hilbert, non erano i problemi al tempo più difficili da risolvere ma erano delle questioni aperte la cui risoluzione si sarebbe rivelata fondamentale per lo sviluppo della società e delle scienze in generale. Essi spaziavano dall’algebra, all’analisi e al calcolo delle variazioni, alla teoria dei numeri fino alla fisica teorica intesa in senso moderno.

Originariamente i problemi non erano 23; Hilbert ne enunciò solo 10, gli altri arrivarono 2 anni dopo, nel 1902. Oggi molti problemi sono stati risolti (le medaglie Fields sono fioccate grazie alla risoluzione di anche uno solo di questi problemi), altre risposte sono ancora in fase di validazione, altri problemi sono ora considerati “non-ben posti” in quanto troppo vaghi o comunque non abbastanza precisi mentre solo due sono considerati ancora “problemi aperti”.

Filantropia portami via

Nel 1998 l’impreditore milionario filantropo Landon T. Clay fonda con sua moglie e con il matematico Arthur Jaffe in una piccola cittadina del Massachusetts quello cha da li a poco sarebbe diventato l’Istituto matematico Clay (Clay Mathematics Institute o CMI). L’intento era di creare un ente privato no-profit dedicato all’accrescimento ed alla diffusione della conoscenza della matematica.

Ad oggi l’associazione è famosa soprattutto per il Millenum Prize Problems ma si occupa a tutti gli effetti di volontariato tot court: ogni anno borse di studio vengono erogate per studenti promettenti, summer schools vengono organizzate e sostenute nonché convegni, conferenze pubbliche e attività di pubblicizzazione della matematica rivolte soprattutto ai giovani, dal livello dei diplomati fino a quello dei ricercatori.

I modesti “Problemi del Millennio”

Il 24 maggio 2000, durante il Convegno del Millennio a Parigi (del resto non poteva non essere a Parigi e non chiamarsi così 🙂 ), sulla falsa riga dell’idea di Hilbert di un secolo prima, l’istituto Clay pubblica una lista di 7 problemi ancora irrisolti. Allo stesso tempo viene pubblicata anche la procedura con la quale le eventuali soluzioni saranno verificate, nonché il premio che l’istituto offrirà al primo che avanzerà una soluzione accettabile di almeno un problema: l’esorbitante cifra di un milione di Dollari (come se la gloria eterna non fosse già abbastanza).

Come nell’idea originale di Hilbert, questi non sono né i più difficili da dimostrare computazionalmente, né i problemi con le dimostrazioni più difficili: sono solo una lista di problemi estremamente importanti. Va notato inoltre come la lista proposta dal Clay Institute sia tutt’altro che esaustiva! Tuttavia molte soluzioni di problemi quantomai attuali possono essere corroborate o smentite grazie agli strumenti matematici che la soluzione a uno dei problemi del millennio può fornire (si veda per esempio alcune possibili soluzioni alla gravitazione quantistica o della rinomata Teoria delle Stringhe).

Attualmente solo uno ne è stato risolto (dunque i milioni a disposizione, se la matematica non è un’opinione, e non lo è, sono ancora 6) e rispetto alla lista originale di Hilbert ne ricompare solo uno e probabilmente il più famoso…

Vediamo dunque quali sono questi famigerati problemi! Ne darò solo un assaggio (un libro intero non potrebbe bastare solo per uno solo, figuriamoci per tutti e 7 😉 ) e mi soffermerò in particolar modo su quelli che mi hanno toccato in prima persona in una maniera o nell’altra.

1. Congettura di Poincaré (Unico problema attualmente risolto)

Il problema è a cavallo tra la Topologia e la Geometria Differenziale. È stato risolto nel 2003 grazie soprattutto al contributo del ninja della matematica, il russo Grigori Perelman.

Attualmente è uno dei matematici più famosi al mondo
Dopo che gli venne riconosciuta la paternalità del risultato, si tentò subito di fargli recapitare il premio a 6 zeri. Perelman, con nonchalance, rifiutò.

E fin qui uno può dire: ”Ok”. Nel mentre si procedette a proclamarlo vincitore della medaglia Fields. Perelman, testardamente, rifiutò anche quella. Ok. La sua motivazione è stata ”il mio contibuto non è stato poi così importante”. Ok. Adesso vive con la madre nella periferia di San Pietroburgo. De gustibus verrebbe da dire… della serie: fate vobis.

Per scoprire qualcosa in più sul problema in sè, per niente facile da descrivere in poche righe, qui utile ad introdurlo:

2. P versus NP (probabilmente verrà risolto nei prossimi 50 anni)

Immaginate di essere al ristorante; davanti a voi avete un menù lungo 10 pagine. Vi viene chiesto di dire tutte le possibile combinazioni di piatti, in ogni quantità vogliate, la cui somma dia, diciamo, 46,00€.

Questo problema può essere facilmente reso più difficile aggiungendo magari qualche costrizione, come per esempio “bisogna prendere almeno una porzione di Strudel della nonna di Erik” (una volta assunto che sia nel menù 😉 ). Bene, ma non benissimo.

Questo è il Knapsack Problem (problema dello zaino).Questi tipi di problemi sono detti NP-completi. Ovviamente è molto facile verificare se una soluzione è valida; totalmente diverso è trovarla!

Adesso la questione è: problemi che hanno la verifica semplice di un’ipotetica soluzione, hanno anche almeno un algoritmo semplice per trovarla?

Innanzitutto bisogna capire cosa vuol dire semplice… per comodità diciamo che un algoritmo semplice è uno che ci mette al più un tempo polinomiale rispetto alla grandezza dell’input per terminare. I problemi per cui ciò accade vengono detti P da polynomial appunto. I problemi invece per cui è richiesto un tempo polinomiale per verificare se la soluzione è corretta, sono detti NP (da Nondeterministic Polynomial time).

Molti sono convinti che P non sia equivalente a NP, ma attualmente nessuno sa la risposta. Se per caso un giorno si mostrerà che P=NP, beh vi consiglio di correre in banca a ritirare i vostri soldi prima e cancellarvi da Facebook poi. Le vostre passwords non serviranno più a nulla.

3. Esistenza e regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes.

Il problema è forse il più attuale in fisica matematica e nel campo dell’Analisi Reale.

Le equazioni (meglio, sistema di equazioni) descrivono il moto di un fluido in regime turbolento.

Sappiamo già risolvere le equazioni nel caso laminare (il caso per esempio dell’aria che passa sul parabrezza della vostra macchina quando siete in movimento), ma il caso turbolento è tutto un altro paio di maniche.

Per completezza scrivo di seguito la famosa equazione nel caso di un fluido compressibile (l’aria per esempio lo è, l’acqua no)

dove indica la velocità del fluido, è la pressione del fluido, è la viscosità dinamica del fluido e è la densità del fluido.

A sinistra puoi vedere un fluido nel regime turbolento, a destra nel regime laminare.

4. Congettura di Riemann

Un classico. Famosissimo e rinomatissimo. Esso fa parte sia dell’analisi complessa sia della teoria dei numeri. É l’unico tra i 7 problemi del millennio che faceva già parte dei problemi di Hilbert. Tutto si basa sulla funzione (si legge zeta) di Riemann(-Eulero).

La funzione, scoperta da Eulero e poi estesa da Riemann, è la seguente

dove è un numero complesso. È già dimostrato che la serie converge (cioè la somma non va a , che è un bene) per .

L’ipotesi di Riemann dice che gli zeri non-banali di questa funzione si distribuiscono sulla retta complessa .

Ci si potrebbe benissimo chiedere perché questa funzione sia così importante… Ebbene, verificare se un numero è primo oppure no richiede un sacco di tempo. Per esempio 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331 sono tutti primi.

Ma per qualche stramaledetta ragione, 333333331 non lo è!! Risolvere la congettura di Riemann ci potrebbe dare uno strumento potentissimo per la risoluzione di problemi di questo tipo.

5. Esistenza di Yang–Mills e differenza di massa

Siamo di nuovo nella Fisica-Matematica, questa volta nella teoria quantistica dei campi. Chiariamo la situazione; la Teoria di Yang-Mills è un insieme di equazioni che predicono il comportamento di un sistema di particelle all’interno di un campo quantistico.

Un campo quantistico a sua volta è una struttura matematica che segue un certo numero di regole.

Bene. Questo problema richiede una dimostrazione che Young e Mills hanno fatto solo per spazi euclidei di dimensione 4 e può predire in modo corretto il comportamento di particelle di massa maggiore di zero (cioè tutte quelle con cui abbiamo a che fare tutti i giorni, ma non i fotoni tanto per capirci).

Questa dimostrazione tuttavia non è basata su una teoria matematica solida, sebbene il risultato sia probabilmente vero (ad oggi non ci sono evidenze sperimentali che la contraddicano).

La riformulazione della soluzione porterà probabilmente alla nascita di una nuova matematica.

6. Congettura di Hodge

Topologia algebrica e Geometria Algebrica. Eh? Niente paura, tanti si spaventano… L’origine della geometria è insita nel procedimento di prendere oggetti (anche astratti) semplici e farne delle combinazioni per renderli più complicati.

La congettura di Hodge dice che per un particolare tipo di spazio, chiamato spazio algebrico proiettivo, gli spazi che lo compongono sono combinazioni lineari di strutture geometriche.

La difficoltà nel riuscire a dimostrarlo risiede anche nella difficoltà a comprenderlo. Ancora non è stato compreso a fondo e probabilmente la sua soluzione richiederà molta matematica “nuova”.

7. Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

Teoria dei numeri – Questo problema è il più difficile di quelli enunciati. Potrebbe non essere mai risolto.

Esso è relativo all’equazione diofantea preferita da tutti ( le equazioni diofanteee, che prendono il nome da Diofanto, sono equazioni algebriche la cui particolarità è che le soluzioni devono essere numeri interi), cioè

Euclide ha risolto questo problema per la dimensione 2. Per curve più complicate questo diviene più difficile e sopratutto non ci sono metodi generali per risolverlo!

Questa affascinante congettura dice che la dimensione del gruppo dei numeri razionali che risolvono l’equazione è in qualche modo legata alla Funzione Zeta di Riemann (sempre Lei!) valutata in quel punto!

Cioè se è zero, ci sono infiniti punti razionali che la soddisfano, altrimenti sono finiti.

Come faccio a ottenere il premio?

Bene, siamo alla fine. ma ora la domanda è: come faccio a ottenere il premio nel caso abbia trovato la soluzione di uno dei problemi del millennio?

Innanzitutto la soluzione deve essere scritta sottoforma di articolo e essere pubblicata su una rivista di prestigio internazionale. Dopo ciò, il Clay Institute provvederà a formare una commissione con il compito di verificare innanzitutto se la proposta merita una certa considerazione. A questo punto possono essere già passati anche un paio d’anni. La commissione di addetti dovrà ora comprovare l’effettiva correttezza della soluzione, cosa che non è affatto banale. La commissione può avvalersi dell’opinione di qualche membro esterno riconosciuto a livello internazionale come esperto in quel determinato campo. Nel mentre bisogna anche verificare l’effettiva paternalità del risultato: al di là del fatto che può essere stata copiata, può anche essere la rivisitazione di un’idea già usata per un altro problema con tutt’altro intento!

Nel caso la commissione non arrivi a nessuna decisione, nessun premio verrà assegnato. Perlomeno non fino a che altri dettagli verranno svelati. Nel caso invece in cui abbiate pubblicato la giusta soluzione, beh allora la procedura che dovete seguire è la seguente (anche se dubito che Perelman l’abbia seguita):

  1. Sedetevi
  2. Prendete una bella boccata d’aria
  3. Chiamate vostra mamma e ditele che da quel giorno avrà un motivo in più per essere fiera di voi
  4. Chiamate vostra moglie (o marito) e dite di tenersi forte, perché state per essere proiettati nella storia: l’Olimpo della matematica ha aperto i cancelli.

Au revoir

Erik

Ceterum censeo festascienze esse facendam