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La scoperta dei numeri immaginari

“Numeri immaginari”. La prima volta che sentii questa parola nell’aula del mio liceo, durante l’ora di matematica, storsi un po’ il naso. Adesso va bene tutto, bella la matematica eh, ma pure studiare quella immaginaria mi sembra un po’ un’esagerazione, pensai tra me e me. Poi, però, approfondendo maggiormente, si scopre che di immaginario hanno ben poco, anzi: sono un’arma, e bella potente. Proseguendo negli studi scoprii che questi simpaticoni spuntano fuori quando meno te lo aspetti e ti permettono di risolvere problemi a prima vista impossibili. Ma andiamo con ordine.

Un po’ di storia

Facciamo un piccolo salto indietro, circa al 1500, ma restiamo in Italia. Tra i matematici c’era una simpatica usanza molto diffusa: 2 contendenti si sfidavano a una gara matematica, e il vincitore acquisiva fama, gloria, ed era un ottimo modo per mettersi in mostra con i potenti nobili di allora. La sfida era così costituita: ognuno doveva stilare 30 problemi matematici che era in grado di risolvere, consegnarli all’avversario e questo aveva un po’ di giorni per risolverne il più possibile. Poi, dopo una certa data, i due si ritrovavano davanti alla folla per decretare il vincitore. Potete considerarlo come un analogo delle battaglie freestyle tra rapper, solo che molto più nerd. A Bologna, questa era la piazza dove si ritrovavano, davanti alla Basilica di Santa Maria dei Servi.

Immaginatevi due matematici battagliare qui davanti alla folla

Questa usanza ebbe conseguenze curiose e forse un po’ negative. Appena un matematico faceva un’importante scoperta, invece che diffonderla, se la teneva tutta per sè. Quando poi sfidava un altro matematico, gli dava 30 problemi tutti su quell’argomento, e di solito vinceva a mani basse. Per questo motivo risalire al primo scopritore di determinate soluzioni è un po’ difficile, ma ci si prova. Questo è quello che accadde per la formula generale delle equazioni di terzo grado.

La formula per le equazioni di terzo grado

I babilonesi e i greci sapevano risolvere alcuni casi particolari, ma una formula generale era ancora sconosciuta. Il primo a scoprire una formula fu Scipione del Ferro, ma, per motivi che ormai sapete, non divulgò mai. Solo in punto di morte decise di svelare qualcosa al suo migliore studente, Antonio Maria del Fiore, obbligandolo a non rivelare nulla. Successivamente anche Niccolò Fontana, detto Tartaglia per la sua balbuzie, scoprì la stessa formula, e diventato famoso per le numerose gare matematiche vinte, fu invitato da Gerolamo Cardano e Lodovico Ferrari a Milano, e rivelò loro le sue scoperte, con la promessa di non rivelarle a nessuno.

Gerolamo Cardano

Tartaglia così descrisse a Cardano la formula scoperta, vediamo se anche voi riuscite a risolvere l’indovinello.

«Quando che’l cubo con le cose appresso
Se agguaglia à qualche numero discreto
Trovan dui altri differenti in esso.

Dapoi terrai questo per consueto
Che’llor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto,

El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varra la tua cosa principale.»

Cardano in seguito venne a sapere dei risultato già ottenuti da Scipione del Ferro, e scoprì che erano gli stessi. Decise allora di infrangere la sua promessa e di pubblicarla, con il nome di Formula di Cardano, la quale permette di risolvere qualsiasi equazione di terzo grado, o quasi. Mai si sarebbe aspettato che questa formula avrebbe fatto sorgere problemi ben peggiori di quelli che risolveva. Per farvi capire, vi mostro qui di seguito il procedimento.

Come risolvere le equazioni di terzo grado

Partendo da una generica equazione di terzo grado, $ a x^3+bx^2+cx+d=0 $ , dovete applicare la sostituzione $x=y-\frac{b}{3a} $ così da eliminare il termine $x^2$ e ottenere un’equazione nella forma $y^3+py+q=0$ e adesso dovreste applicare questa facile facile formula:

$y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} $

“La bellezza è un requisito fondamentale: al mondo non c’è un posto perenne per la matematica brutta”

(Godfrey Harold Hardy)

Sarà bella questa formula? Ai posteri l’ardua sentenza. Quello che invece voglio farvi notare sono le due radici quadrate presenti nella formula. Dovreste sapere bene che un’equazione di terzo grado ha SEMPRE almeno una soluzione, e questo lo sapevano bene già i matematici ai tempi di Cardano. Però loro sapevano anche che una radice quadrata negativa non ha soluzioni, e qui nasce il problema. Partendo dal presupposto che almeno una soluzione doveva per forza esserci, per alcuni valori non riuscivano a trovarlo comunque: $\sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}$ era irrisolvibile. Come trattare le radici negative? Per il momento si decise di utilizzare il termine “caso irriducibile” e arrendersi davanti alla potenza dell’ignoranza.

I “numeri silvestri”

Poi, arrivò una bella intuizione da parte di Raffaele Bombelli, matematico bolognese. La sua idea era molto semplice: “ok, le radici quadrate negative non sappiamo calcolarle…. non possiamo semplicemente ignorare il problema e andare avanti lo stesso?” decise allora di definirle “quantità silvestri” e procedette con lo studiarne le proprietà. Per Bombelli erano “quantità silvestri”, per Leibniz erano “mostri di un mondo ideale” e per Eulero erano “numeri che per la loro natura sono impossibili, che esistono solo nella nostra immaginazione”. Potete immaginare quanto abbiano scombussolato il mondo matematico. Cartesio fu il primo a dargli il nome che conosciamo, numeri immaginari.

Personalmente mi trovo un po’ in disaccordo su queste definizioni. Definire “immaginario” un campo della matematica sembra voler fare intendere che sia un qualcosa di inventato dall’uomo, che esiste solo nella sua immaginazione, quasi come se fosse falso. La parola “inventato” non deve mai essere usata in matematica. La matematica viene scoperta, non inventata.

Le leggi della matematica non sono semplici invenzioni o creazioni umane. Esse semplicemente “sono”; esistono abbastanza indipendentemente dall’intelletto umano. Il meglio che chiunque possa fare è di scoprire che queste esistono e di prenderne conoscenza.

(Maurits Cornelis Escher )

La più bella equazione della matematica

Dopo aver fatto un po’ di storia, ci terrei anche a fare un po’ di matematica. Se non avete la più pallida idea di cosa siano i numeri immaginari e di come usarli nei calcoli e vorreste una spiegazione chiara e rigorosa, vi consiglio di leggere questo articolo prima di andare avanti: https://www.mathone.it/numeri-complessi/

In questo articolo vorrei dimostrarvi come i numeri immaginari saltano fuori dove meno ve lo aspettereste. Vi ricordate quando a scuola facevate le prime funzioni, seno, coseno, logaritmo , arcocoseno e vi facevano mettere le condizioni di esistenza? Vi siete mai chiesti quali pericoli vi aspettano in quelle lande desolate al di fuori delle C.E? volete sapere quanto vale $\log{(-1)}$ o per quali valori $\cos{(x)} = 3$? Sarà che ho sempre avuto un’indole avventuriera e ho sempre odiato avere vincoli, ma io le condizioni di esistenza non le ho mai sopportate. O forse sono semplicemente pazzo, spiegherebbe molte cose. Ho sempre desiderato avventurarmi in quel regno desolato, e a fornirmi la mappa ci pensò proprio Eulero.

La più bella equazione esistente in matematica, la mappa che unisce regno reale e immaginario

Credo che anche a prima vista riuscite a capire perchè è considerata l’equazione più bella di tutta la matematica. $e$ è il numero di Nepero, $\pi$ è il rapporto tra circonferenza e diametro e $i$ è un numero immaginario dotato della proprietà tale che $i^2 = -1$. Gli altri due numeri spero li conosciate.

La formula di Eulero

Adesso, dimostrarvela interamente potrebbe essere un po’ impegnativo, magari in un prossimo articolo. Per il momento mi piacerebbe darvi una prova del fatto che sia vera, ma nel caso vogliate dimostrarla voi stessi, vi darò qualche piccolo indizio. Vi serve sapere solo gli sviluppi in serie di Taylor. Se non ne avete mai sentito parlare, vi basta sapere che è un modo per trasformare funzioni complicate in semplici polinomi di lunghezza infinita. Ecco gli esempi che mi servono, se non gli avete mai visti, potete provare a disegnarli su una qualsiasi app e vedrete che sono perfettamente valide.

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!} $ …… e così via

$cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} +$ …… e così via

$sin(x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} +$ ….. e così via

Notate una leggera somiglianza uno dall’altro? Sono praticamente uguali, cambia solo un po’ il segno. E qui arrivano in aiuto i numeri immaginari, e vi permettono di risolvete tutto. Sostituite $e^x$ con $e^{ix}$ e $\sin{x}$ con $i\sin{x}$ e il gioco è fatto. La prima riga è esattamente uguale alla somma delle altre due. Usiamo $z$ al posto della $x$ perchè mi piace di più e otteniamo:

A questo punto, vi basta sostituire $z=\pi$ e riotterrete la formula vista prima.

Logaritmi negativi

Ora che abbiamo tutto quello che ci serve, iniziamo ad avventurarci nella desolata landa fuori dalle C.E. Partirei dal logaritmo naturale, molto semplice. Sapete bene che quando studiate $\log{x}$ dovete sempre porre $x>0$ ma per quale motivo? Cosa succede quando $x$ assume valori negativi? E’ presto detto. Considerate la prima formula, $e^{i\pi} +1 =0$ spostate il $+1$ a destra ed eseguiamo il logaritmo da entrambe le parti dell’uguale, per ottenere $\log{(e^{i\pi})} = \log{(-1)}$ .

Applicando le formule dei logaritmi troviamo che $i\pi\log{(e)} = \log{(-1)}$ e quindi che $\log{(-1)} = i\pi$.

Ora ci basta ricordare la formula del prodotto, $\log{(ab)} = \log{(a)} + \log{(b)}$ e possiamo generalizzare per qualsiasi numero negativo. infatti, $\log{(-n)} = \log{(n)} + \log{(-1)}$ ovvero che $\log{(-n)} = \log{(n)} + i\pi$ .

Il valore di un logaritmo negativo è esattamente quello che ha per valori positivi, più $i\pi$

Se quindi volessimo disegnare il grafico di $\log{(-n)}$ dovremmo semplicemente specchiare quello di $\log{(n)}$ e traslarlo nel piano immaginario di un vettore lungo esattamente $\pi$. Fermatevi un attimo a cercare di visualizzare questa cosa. Non pensate sia un risultato incredibile? La parte immaginaria di un logaritmo in base $e$ di un qualsiasi numero negativo è sempre esattamente $\pi$.

Seni e Coseni

Un’altra delle funzioni che avevano un dominio abbastanza ristretto erano l’arcoseno e l’arcocoseno, con $x$ compreso tra -1 e 1. Perchè? Cosa succede se usiamo altri valori? Considerando che queste funzioni sono esattamente l’inversa di seno e coseno, la domanda equivale a chiedersi se esistono valori di $x$ per i quali $sin(x)>1$ o $cos(x)>1$

Per rispondere, ci serve la formula più generale di Eulero, $e^{xi}=cos(x) + i*sin(x)$ effettuare prima la sostituzione $x=n*i$ dove $n$ stà ad indicare un generico multiplo. Facciamo poi qualche passaggio algebrico, ricordando che $cos(-x)=cos(x)$ e che $sin(-x)=-sin(x)$

Ecco quello che otteniamo:

$e^{n(i)(i)}=cos(in) + isin(in)$

$e^{-n}=cos(in) + isin(in)$

E in seguito ripetere sostituendo invece $x=-i\cdot n$ per ottenere:

$e^{-n(i)(i)}=cos(-in) + isin(-in)$

$e^{n}=cos(in) – isin(in)$

Mettiamo ora la seconda e la quarta assieme per ottenere:

$\begin{cases} e^{-n}=cos(in) + isin(in) \\ e^{n}=cos(in) – isin(in) \end{cases}$

Sommando e sottraendo le due righe, ottenete un espressione per calcolare seni e coseni immaginari:

$cos(in) = \frac{e^n + e^{-n}}{2}$

$sin(in) = \frac{e^n-e^{-n}}{2}i$

Ci terrei giusto a farvi notare la bellezza di quello che abbiamo appena calcolato. Per prima cosa, il seno di un numero immaginario è un numero immaginario. E fin qui non sembra nulla di troppo strano. Invece, il coseno di un qualsiasi numero immaginario è un numero Reale. Vi sareste mai aspettati prima di iniziare a leggere questo articolo che $cos(i)=\frac{e+\frac{1}{e}}{2}$?

Ora lascio a voi il compito, se l’argomento vi interessa, di approfondire. Il campo della matematica coi numeri complessi è enorme e affascinante. Pensate che qualsiasi argomento abbiate studiato nel campo Reale, può essere studiato anche in campo immaginario e complesso, e le applicazioni sono innumerevoli e utilissime.

Esiste qualcosa di più complesso dei numeri complessi?

Pensate che non ci sia altro dopo i numeri complessi? Sbagliatissimo. Così come ci sono i numeri Reali, e ci sono i numeri complessi (che possiamo chiamare bidimensionali) esistono poi i Quaternioni, numeri quadri-dimesionali, scrivibili nella forma $a+bi+cj+dk$ con $a, b, c, d$ numeri reali e $i, j, k$ che sono analoghi alla $i$ dei numeri complessi. Esistono poi gli Ottetti i Sedenioni, e chi più ne ha più ne metta, seguendo gli esponenti di $2^n$.

E così come esiste l’analisi in campo reale, esiste l’analisi complessa e l’analisi ipercomplessa, che non ho mai avuto il piacere di provare ma non faccio fatica a credere sia davvero un macello. L’unica cosa davvero interessante che so dirvi è che ogni gradino che saliamo verso la complessità, la difficoltà aumenta a livelli imbarazzanti. Non solo il numero di costanti complesse aumenta di un fattore 2^n ogni volta, ma anche perdete ogni volta una proprietà.

Nei numeri Reali, avete numeri del tipo $a$ e valgono tutte le proprietà che conoscete.

Nel numeri complessi, avete numeri del tipo $a + bi$ e perdete la relazione d’ordine.

Nei quaternioni, avete numeri del tipo $a+bi+cj+dk$ e perdete anche la proprietà commutativa

Negli ottetti, avete numeri del tipo $a+bi+cj+dk+el+fm+gn+ho$ e perdete anche la proprietà associativa

Mi fermo qui, perchè direi di avervi già terrorizzato abbastanza. Potrei magari in un prossimo articolo parlarvi dei quaternioni, numeri che hanno applicazioni gigantesche e sono usati dappertutto. Pensate che i vostri telefoni li usano costantemente per capire la loro posizione e angolazione nello spazio.

Approfondimenti

Se volete approfondire bene l’argomento, sinceramente non potrei fare altro che consigliarvi di prendere libri universitari di analisi matematica. E’ un argomento così vasto, che cibarsi di bricioline non ne renderebbe sicuramente il sapore originario. Se volete giusto affacciarvi a questo argomento per cercare di capirci meglio, vi lascio sotto dei video molto interessanti che io stesso ho guardato per imparare a naufragare dolcemente in questo mare.

Un altro video interessante è questo : https://www.youtube.com/watch?v=19c4c3SwtS8

Fonti

https://it.wikipedia.org/wiki/Storia_dei_numeri_complessi

https://it.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano

https://it.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli

https://st.ilsole24ore.com/art/cultura/2012-02-05/numeri-grande-schermo-081450_PRN.shtml

https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/6122-identita-eulero.html

La scoperta dei numeri irrazionali

Un numero irrazionale (del latino “ratio” ovvero rapporto) è un numero che non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi. Non sottovalutate la loro importanza, poiché sono fondamentali per la matematica. Ogni volta che fate calcoli con funzioni logaritmiche, esponenziali, trigonometriche e perfino polinomiali è molto probabile che spuntino fuori. Senza di loro nessuna di queste operazioni sarebbe possibile. Inoltre, a sottovalutare la loro importanza manchereste di rispetto al povero Ippaso di Metaponto, che diede letteralmente la vita per loro. Scopritore dei numeri irrazionali, fu condannato a morte proprio a causa loro.

Un po’ di storia

Per capire bene perché la loro scoperta causò grandi problemi, bisogna per forza fare un po’ di Storia e di Filosofia. Torniamo indietro, circa tra il VI e il V secolo a.C. a Crotone, nella Magna Grecia (ai giorni nostri, Italia). Lì visse Pitagora: illustre filosofo, matematico, astronomo, scienziato, uomo politico e capo religioso. Per farvi capire quanto quest’uomo fosse avanti anni luce, considerate che fu il primo a capire quanto bene la matematica descrivesse la realtà. Da questo concetto è nata la fisica.

Come può essere che la matematica, un prodotto del pensiero umano indipendente dall’esperienza, sia così mirabilmente adattata agli oggetti della realtà?

Albert Einstein

Se anche Einstein si domandava una cosa del genere, non dev’essere stato così banale esserci arrivati per primi, no? Questa è una delle domande che più mi hanno personalmente affascinato, e se vi interessa saperne di più vi consiglio assolutamente di leggere “L’Universo matematico: La ricerca della natura ultima della realtà” di Max Tegmark.

Ma torniamo al nostro Pitagora. Fu il fondatore a Crotone di una scuola, la Scuola Pitagorica. Essa si presentava come setta mistico-religiosa, comunità scientifica e partito politico.

copia di un busto del I sec a.C. raffigurante Pitagora

La loro dottrina, come recita prontamente il mio vecchio libro di filosofia delle superiori, si fondava principalmente su questo concetto:

Alla base del principio pitagorico vi è un ordine misurabile. Affermare che le cose sono costituite di numeri e che quindi tutto il mondo è fatto di numeri significa che la vera natura del mondo, come delle singole cose, consiste in un ordinamento geometrico esprimibile in numeri (misurabile). Infatti, mediante il numero è possibile spiegare le cose più disparate dell’esperienza: dal moto degli astri al succedersi delle stagioni, dalle armonie musicali al ciclo della vegetazione. Per cui, anche ciò che sembra lontano dal numero risulta, a ben guardare, riconducibile a una struttura quantitativa e quindi misurabile. Questa è la grande importanza dei Pitagorici, che per primi hanno ricondotto la natura, o meglio il carattere che fa della natura qualcosa di oggettivo (di veramente reale), all’ordine misurabile; e hanno riconosciuto in quest’ordine ciò che da al mondo la sua unità, la sua armonia, quindi anche la sua bellezza.

Da questo potete intravedere i danni che facevano i numeri irrazionali: non sono più esprimibili come numeri interi, né tanto meno come rapporti. Di conseguenza, non sono più misurabili. Vanno a minare dalle fondamenta la dottrina Pitagorica, facendola crollare interamente. Se volete vedere la faccenda in modo un po’ analogo ma forse più chiaro, sostituite Galileo a Ippaso e l’eliocentrismo ai numeri irrazionali. Le affermazioni di Galileo erano problematiche per la Chiesa, e per questo fu costretto ad abiurare. Le dimostrazioni logiche sono pericolose per le dottrine dogmatiche.

Il primo numero irrazionale

I pitagorici avevano fatto moltissime scoperte, la più conosciuta di tutte è sicuramente il teorema di Pitagora. Grazie a questo, i triangoli rettangoIi non avevano più segreti ormai. Con pochi calcoli, si potevano sapere le misure precise di cateti e ipotenusa. Inoltre potevano calcolare le terne pitagoriche, ovvero terne di 3 numeri interi che possono essere usate per creare triangoli rettangoli. Queste erano molto utili e avevano applicazioni pratiche, e alcune erano conosciute già da molto.

Già gli antichi Babilonesi conoscevano le terne pitagoriche, ed esse venivano utilizzate per creare angoli retti in modo molto preciso. Se per esempio prendete una corda e la dividete in 12 parti uguali, e ci costruite un triangolo i cui lati misurano 3,4 e 5, ottenete un angolo retto. Per noi adesso è abbastanza scontato, ma allora avere un goniometro che ti segnava i 90° con precisione era molto comodo, soprattutto nell’ambito delle costruzioni.

Utilizzando il teorema di Pitagora, però, venivano fuori dei problemi. Le radici di quadrati perfetti erano molto semplici da calcolare, ma le altre? Una questione aperta, per esempio, era lo studio della diagonale del quadrato. Ci si raccapezzavano in molti, tra i pitagorici. Se considerate un quadrato di lato 1, ottene facilmente che la diagonale è $\sqrt{2}$. Per noi è un problema facile, per i pitagorici no.

Cercavano costantemente di capire in che rapporto fossero lato e diagonale, senza ottenere risposta. Il problema stava proprio nel loro sistema numerico: usando solo numeri interi e frazioni, non si può trovare risposta. Proprio mentre stava lavorando su questo problema, Ippaso di Metaponto fece una scoperta incredibile: se si prova a calcolare il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato, si ottiene un paradosso! Non importa quanti sforzi matematici si facessero, le due grandezze erano incommensurabili. Detto in termini semplici, se sono incommensurabili, il rapporto tra i due è un numero irrazionale. Ippaso aveva appena scoperto dei nuovi numeri, “incommensurabili”.

Questa scoperta era assolutamente pericolosa. Inoltre, nessuno dei Pitagorici riusciva a contrastare questa dimostrazione. La matematica e la logica sono scienze esatte, c’è poco da fare. Capirete anche voi che l’esistenza di grandezze incommensurabili, per una dottrina spiegava tutto l’universo partendo dall’ordine commensurabile matematico di tutta la realtà, era proprio un bel problema. Ippaso divulgò questa scoperta, e venne condannato dai propri compagni a morire affogato. Purtroppo, la dimostrazione che fece Ippaso è andata perduta, e sappiamo solamente che era geometrica e non algebrica, ma nulla di più.

il problema di Ippaso

Vi riporto la dimostrazione che si studia adesso ai corsi di analisi. Questa è svolta per assurdo, cioè parto dal presupposto che qualcosa sia possibile e se poi procedo per semplici deduzioni logiche mi imbatto in un paradosso. Dunque l’ipotesi iniziale era sbagliata. Per farvi un esempio analogo, è come quando in una partita di scacchi sacrificate un pezzo per mangiarne un altro all’avversario. L’unica differenza è che un matematico non sta offrendo un solo pezzo, ma tutta la partita. Se volete approfondire meglio questa tipologia di dimostrazioni, vi consiglio questo articolo incentrato su questo tema: https://www.mathone.it/dimostrazione-per-assurdo/

Quindi, facciamo la nostra ipotesi per assurdo: esiste una frazione tale che $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ con $a$ e $b$ ridotti ai minimi termini. Attenzione al fatto dei minimi termini che è importante: $a$ e $b$ non possono essere entrambi pari, per definizione. Bene, adesso vediamo se vengono fuori dei paradossi. Eleviamo tutto al quadrato e otteniamo $a^{2}=2b^{2}$. Notiamo subito che $a^{2}$ è pari, poiché è 2 volte un qualcosa. Adesso ricordiamoci della cosa dei minimi termini: $b^{2}$ deve per forza essere dispari.

Però notiamo una cosa: il quadrato di un numero pari è pari ($(2k)^{2}=2(2k^{2})$), il quadrato di un numero dispari è dispari ($(2k+1)^{2}=2(2k^{2}+2k)+1$), quindi dato che $a^{2}$ era pari, anche $a$ è pari, e lo possiamo scrivere come $a=2k$. Di conseguenza, $a^{2} = 4k^{2}$. Se sostituiamo nell’equazione iniziale, otteniamo che $4k^{2}=2b^{2}$. Qua iniziamo a intuire il problema, se dividiamo per 2 otteniamo che $b^{2}=2k^{2}$ quindi anche $b$ è per forza pari. Aspetta, avevamo detto che $b$ doveva essere per forza dispari, come può adesso essere per forza pari? Può essere sia pari che dispari contemporaneamente? No, e abbiamo trovato il paradosso. Quindi l’ipotesi iniziale “Esiste una frazione $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$” era errata.

Una dimostrazione priva di matematica: è irrazionale?

Ora che forse ho reso un po’ più chiaro il concetto di “dimostrazione per assurdo” utilizzando un po’ di matematica molto familiare, facciamo un passo avanti. Anche se la dimostrazione esatta è andata perduta, possiamo farci un’idea di come potesse essere quella di Ippaso. I pitagorici, infatti, usavano molto di più la geometria, piuttosto che l’algebra. Ma cosa significa esattamente? Come si potrebbe dimostrare geometricamente che un numero è irrazionale? Ma è molto semplice, sempre per assurdo!

Ripartiamo dal nostro caso del lato e della diagonale di un quadrato. Per il teorema di Pitagora sappiamo che il quadrato costruito sulla diagonale è uguale alla somma dei due quadrati costruiti sul lato. Chiamiamo il quadrato più grande $v$ (che sta per verde) e i due più piccoli $r$ (rosa). Sappiamo che $v=r+r$. Quindi $v=2r$. N.B. sappiamo che $\frac{v}{r}=2$ quindi se facciamo il rapporto dei lati di questi quadrati, avremo che $\frac{lv}{lr}=\sqrt{2}$. Bene, ora ci manca una ipotesi per assurdo, e il gioco è fatto.

Questa è la parte importante: sappiamo che il rapporto dei lati ci darà $\sqrt{2}$. Questo rapporto, essendo una frazione, sarà riducibile fino a un certo punto. Se $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, $a$ e $b$ saranno le misure più piccole possibili dei lati di questi quadrati. Una frazione non può essere infinitamente riducibile, quindi devono esistere due quadrati, uno di lato $a$ e uno di lato $b$ tali che l’area di uno è uguale a due volte l’area dell’altro.

Quindi la nostra ipotesi per assurdo è che esistono dei quadrati, tali per cui 2 volte l’area di uno sia uguale all’area dell’altro e sappiamo che la soluzione deve essere la più piccola di tutte. Immaginiamo quindi di avere due quadrati $r$ e $v$ tali che $2r=v$ e sono i due quadrati più piccoli possibili. Ora proviamo a sovrapporli, come nella figura qui sotto.

Per ipotesi, sappiamo che l’area dei 2 rosa è uguale a quello verde. Questo significa che l’area del quadrato rosso interno, è uguale all’area dei 2 quadrati verdi. E qui c’è un grosso problema, perché abbiamo appena detto che doveva per forza essere la soluzione più piccola possibile, ma ne abbiamo appena trovata una ancora più piccola. Paradosso! Inoltre, il procedimento può essere ripetuto infinite volte, ottenendo quadrati sempre più piccoli. Pensate al significato matematico: se posso trovare quadrati infinitamente piccoli, anche i loro lati saranno infinitamente piccoli. Ma se, come abbiamo detto prima, il rapporto dei lati era $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$, significa che posso prendere $a$ e $b$ sempre più piccoli. Ma una frazione non può essere infinitamente riducibile, quindi abbiamo il nostro paradosso, et voilà.

Altri numeri irrazionali

Bene, abbiamo scoperto che $\sqrt{2}$ è un numero irrazionale. Pensate abbia intenzione di fermarmi qui? Forse non mi conoscete abbastanza. I pitagorici scoprirono anche che $\sqrt{5}$ è irrazionale, ma si fermarono qui. Il problema è che facevano matematica mediante la geometria, e questo rende complesso generalizzare. A partire dalla scoperta di Ippaso, successive scoperte matematiche hanno fornito nuovi mezzi per lo studio dei numeri irrazionali, ma la cosa più sorprendente è che il metodo utilizzato è sempre quello usato dai greci: la dimostrazione per assurdo. Le successive scoperte in questo campo si devono a Euclide, poi tutti matematici di epoca molto più recente. Ma così come Ippaso nel 500 a.C. faceva i suoi procedimenti, anche adesso, a distanza di 2500 anni, usiamo lo stesso procedimento. Vediamone alcune.

Tutte le radici quadrate

Ogni $\sqrt{n}$ è irrazionale, se $n$ non è un quadrato perfetto. Il metodo è molto simile a quello appena visto, ma ci viene in aiuto il teorema fondamentale dell’aritmetica.

Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione è unica, se si prescinde dall’ordine in cui compaiono i fattori.

In particolare, ci interessa un aspetto di questo teorema. Se $a$ è rappresentabile in un singolo modo come prodotto di primi, sappiamo per certo che $a^{2}$ avrà esattamente la stessa rappresentazione, solo che con ogni primo elevato al quadrato. Dimostriamo facilmente quindi che se $a^{2}$ è divisibile per $k$ (N.B. $k$ non deve essere un quadrato perfetto), sicuramente anche $a$ lo sarà. Notiamo un’altra cosa, se $k$ divide $a$, allora $a^{2}$ sarà addirittura divisibile per $k^{2}$. Abbiamo tutto quello che ci serve.

Ipotesi per assurdo: $\sqrt{k}=\frac{a}{b}$, ridotta ai minimi termini ($k$ non è un quadrato perfetto). Eleviamo al quadrato e otteniamo che $a^{2}=kb^{2}$. A questo punto sappiamo che $a^{2}$ è multiplo di $k$ e di conseguenza divisibile per $k^{2}$. Quindi, $a^{2}=k^{2}n$. Ora se sostituiamo nell’equazione di prima otteniamo che $k^{2}n=kb$. Adesso non basta altro che dividere per $k$ e otteniamo che $kn=b$ quindi anche $b$ è divisibile per $k$. Questo è il nostro paradosso: $a$ e $b$ erano ridotti ai minimi termini, ma adesso sono entrambi divisibili per $k$. Logicamente è un assurdo, e $\sqrt{k}$ è dunque irrazionale. Attenzione: tutto il nostro ragionamento funzionava bene se e solo se $k$ non era un quadrato perfetto. Ma è perfettamente logico: in questo caso, la dimostrazione di irrazionalità casca, e la radice non è irrazionale, ma un numero intero.

Il numero $e$ è irrazionale?

Ora facciamo una piccola pausa. Il problema è che le dimostrazioni iniziano a diventare abbastanza difficili. Fino a qui, credo siano state tutte abbastanza comprensibili e soprattutto “visualizzabili”. Le altre che ho trovato iniziano ad essere lunghette e piene zeppe di matematica, difficili da seguire leggendo. Se l’argomento vi interessa, vi consiglio di andare a spulciare su youtube, perché vedere una dimostrazione è più efficace che leggerla. Vi lascio qui sotto un assaggio di un’ultima dimostrazione, e un link a un video youtube. La dimostrazione è sull’irrazionalità del numero e, scoperta nel 1737 da Eulero. Ve ne riporto una più semplice, opera di Cohn nel 2006. Se siete stufi di dimostrazioni, vi lascio un articolo molto interessante sul numero e, che merita sicuramente una letta: https://www.mathone.it/numero-di-nepero/

Torniamo a noi. Prima di addentrarci in quest’ultima irrazionalità vi serve solo sapere una formula per calcolare $e$. Poi possiamo iniziare.

Formula per il numero di Nepero

Ormai credo che avrete le idee ben chiare: come possiamo dimostrare che e è un numero irrazionale? Per assurdo, che domande. Allora ipotizziamo che $e = \frac{a}{b}$. Sostituiamo subito la formula vista prima e otteniamo che $\frac{a}{b}=1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + … + \frac{1}{n!}$. Adesso separiamo in due il termine di destra fin dove il denominatore è $b!$ e otteniamo:

$ \frac{a}{b}=(qualcosa) + \frac{1}{(b+1)!} + \frac{1}{(b+2)!} +…+ \frac{1}{(b+n)!}$

Adesso moltiplichiamo da entrambe le parti per $b!$ In particolare, vogliamo vedere se quello che otteniamo è un numero intero o no. Analizziamo la parte di sinistra, $ \frac{a}{b}$ e se moltiplichiamo per $b!$ otteniamo $\frac{a}{b}*b!$ ovvero $a(b-1)!$ che è un numero intero. Ora guardiamo la parte a destra, che avevamo scritto come: (qualcosa) $+ \frac{1}{(b+1)!} + \frac{1}{(b+2)!} +…+ \frac{1}{(b+n)!}$. Guardiamo solo il primo pezzo, che io ho comodamente chiamato “qualcosa”. Era tutta la prima parte della formula di Nepero, quindi:

$(qualcosa) = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + … + \frac{1}{b!}$ a questo punto, è facile notare che $b!$ è divisibile per ogni denominatore ($b!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot …\cdot b$) quindi ogni singolo addendo è un numero intero. Di conseguenza, anche il secondo pezzo è un numero intero. Adesso manca solo l’ultimo pezzo: $b!(\frac{1}{(b+1)!}+…+\frac{1}{(b+n)!})$. Questo è un po’ più complesso, ma potete vedere facilmente che è per forza minore di 1, visto che state sommando frazioni che diventano esponenzialmente più piccole. Io me la sono cavata con una sola frase, in modo molto poco rigoroso, ma solo per risparmiarvi un po’ di tempo.

Adesso mettiamo assieme i pezzi. Inizialmente avevamo:

$ \frac{a}{b}b! = (qualcosa) + b!(\frac{1}{(b+1)!}+…+\frac{1}{(b+n)!}) $ e sappiamo che il primo e il secondo sono numeri interi, mentre l’ultimo è sicuramente minore di 1, quindi:

un numero intero = un numero intero + un numero minore di 1

è forse possibile? Ovviamente no, è un paradosso. La nostra dimostrazione per assurdo è completa, il numero e è irrazionale.

Approfondimenti

Se siete arrivati fin qui, vi faccio i miei complimenti. Sappiate che in questo articolo abbiamo visto solo la punta dell’iceberg. Potrei tornare sull’argomento, parlarvi di altri numeri irrazionali o addirittura dei numeri trascendentali, ma forse in futuro. Intanto vi lascio un paio di video youtube se volete approfondire l’argomento, ma vi avviso che sono in inglese e usano matematica un po’ più complessa.

Fonti

Ci tengo a fare una piccola precisazione. Non sono uno storico, e sicuramente le mie fonti non saranno super precise. Inoltre, pure uno storico affermato non saprebbe precisamente dirvi cosa succedeva nella Magna Grecia, per motivi che credo immaginerete. Tra le diverse ipotesi e versioni, ho deciso di raccontarvi quella che personalmente trovavo più convincente. Potrebbero esserci imprecisioni e errori. http://lcalighieri.racine.ra.it/pescetti/ricerca_geometrie_non_euclidee_2004_05/somm_mate%20greci/mategreci5.htm

https://it.wikipedia.org/wiki/Ippaso_(filosofo)

https://it.wikipedia.org/wiki/Scuola_pitagorica

https://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/11/24/ippaso-2-e-i-falsi-storici/

La ruota quadrata : nascita del problema e una sua analisi

La ruota è considerata una delle invenzioni più rivoluzionarie della storia dell’uomo. Ha subito numerosi perfezionamenti nel tempo, ma la forma è rimasta sempre inalterata: un cerchio. Per questo motivo, una ruota di forma differente sembra un’idea bizzarra e inutile, men che meno una ruota quadrata.

Nascita del problema della ruota quadrata

Ora immaginate di trovarvi nell’antico Egitto, e per la costruzione di un edificio dovete spostare dei pesantissimi blocchi di roccia squadrati. Quale potrebbe essere il metodo più efficace?

Gli antichi egizi notarono una cosa: se tagliavano in più parti dei tronchi di legno, e li disponevano per terra uno a fianco dell’altro, i blocchi potevano rotolare! Era la prima formulazione e soluzione approssimativa del problema: “Quale dovrebbe essere la forma della strada per far si che una ruota quadrata rotoli regolarmente?”.

Risoluzione analitica

Perchè le ruote rotolano? Tutta la loro efficienza deriva dal fatto che il loro baricentro rimane sempre alla stessa altezza, e che il peso è sempre perfettamente concentrato nel suo punto d’appoggio. Quindi, dobbiamo trovare un pavimento che permetta le stesse caratteristiche anche a una ruota quadrata.

Vi invito a provare a risolvere questo problema, è necessario solo sapere un po’ di matematica da quinta liceo e avere un buon intuito.

Cerchiamo l’equazione di un singolo dosso, che permetta il rotolamento a una ruota quadrata di lato 2 (questo aiuta la risoluzione semplificando i calcoli). Il baricentro deve rimanere sempre alla stessa altezza.

rappresentazione analitica del problema

Ecco in breve i passaggi risolutivi. Se affrontati senza timore, ci ricompenseranno, scoprendo una proprietà molto interessante di questa curva. Tranquilli, io cercherò di essere il più chiaro possibile, ma se la sola vista di integrali e equazioni differenziali vi causa un pochino di nausea, potete tranquillamente scrollare al prossimo sottotitolo, nessuno lo verrà mai a sapere. Forse 😉

Chiamiamo $B$ il segmento che unisce il baricentro del quadrato al punto di appoggio con la curva. La richiesta è che il baricentro sia sempre alla stessa altezza, quindi che $f(x) + B = \kappa$ dove $\kappa$ è una costante. Si nota facilmente che l’altezza deve essere esattamente metà della diagonale del quadrato, quindi $\kappa = \sqrt{2}$. Siamo sulla buona strada, dopo aver ottenuto $f(x) + B = \sqrt{2} $ , dobbiamo solo capire come varia $B$ rispetto a $f(x)$.

Se applichiamo il teorema dei seni al triangolo (guardate la figura qua sopra), otteniamo che $\frac{\sqrt{2}}{sin(90+\alpha)}=\frac{B}{sin(45°) }$ quindi che $B=\frac{1}{sin(90+\alpha)}$. Sostituiamo $sin(90°+\alpha)=cos(\alpha)$ e otteniamo $B=\frac {1}{cos(\alpha)}$. In seguito, sappiamo che il lato del quadrato è tangente alla curva, quindi che l’angolo $\alpha$ dipende dalla derivata della funzione. In particolare, $\alpha=\arctan{(f'(x))}$ . Ora ci siamo quasi.

Ripartendo da $f(x)+B= \sqrt{2} $, sostituiamo tutti i calcoli e otteniamo $ f(x) + \frac{1} {cos(arctan[f'(x)])} = \sqrt{2}$

Qui vengono in aiuto delle comode formule sulle funzioni goniometriche composte, in particolare $cos(arctan(x))=\frac {1} {\sqrt {1+x^2}}$

Sostituendo tutto, otteniamo che $f(x)+\sqrt {1+[f'(x)]^2} = \sqrt{2}$, una equazione differenziale piuttosto minacciosa. Per trovare la sua soluzione esatta ci manca solo un valore numerico. Per esempio, se vogliamo ottenere la curva simmetrica rispetto all’asse delle ascisse, $f'(0)=0$, è abbastanza intuitivo. Così otteniamo il seguente problema di Cauchy, sempre piuttosto minaccioso.

$\begin {cases}f(x)+\sqrt {1+[f'(x)]^2} = \sqrt{2} \\f'(0)=0\end{cases}$

A questo punto, Wolfram Alpha non è poi una cattiva idea. Tuttavia, se siamo proprio coraggiosi, possiamo proseguire e notare che nell’espressione compare solo $f(x)$ e mai la $x$, quindi è un’equazione differenziale a variabili separabili. Basta elevare tutto alla seconda per sbarazzarsi della radice, isolare $f'(x)$, separare $dy$ e $dx$ e integrare da entrambe le parti; una passeggiata praticamente.

Soluzione

Adesso che abbiamo risolto il problema, con o senza qualche aiutino, arriva la parte interessante. L’equazione del pavimento che permetterebbe a una ruota quadrata di rotolare è la seguente: $f(x) = \sqrt{2}-\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$, ovvero $f(x) = \sqrt{2} -\ cosh{(x)}$; vi ricorda qualcosa questa funzione? Siamo davanti a una catenaria!

(Nel caso non conosciate questo tipo di curva, vi invito a dare un’occhiata a questo articolo: La catenaria: una curva ricca di proprietà e che piace alla natura).

Bene. Una ruota quadrata rotolerebbe perfettamente su un pavimento fatto di catenarie rovesciate, ovvero la stessa figura che forma una catena tenuta sospesa tra due pali. Aspetta un secondo, perchè?? I due problemi sono correlati? Sarà una coincidenza? No, non fidatevi mai delle coincidenze della matematica.

Stiamo guardando la stessa situazione da 2 diversi punti di vista. La catena si dispone in modo che tutto il suo peso sia egualmente distribuito in ogni punto. In modo analogo, il baricentro della ruota quadrata, mentre rotola, coincide sempre con il punto d’appoggio, dunque il suo peso è egualmente distribuito in ogni punto della superficie sottostante. Di conseguenza, è chiara la correlazione tra le due curve, dubitate sempre delle coincidenze!

Inoltre, questa è esattamente la stessa proprietà per la quale la catenaria viene utilizzata in architettura: distribuire uniformemente il peso di un ponte o di un arco, per rendere più stabile e resistente la struttura.

Esempio dell’utilizzo di catenarie in architettura

Possibili applicazioni della ruota quadrata

Adesso, se fossimo nell’antico Egitto, saremmo in grado di spostare i nostri massi con il minimo sforzo e poter costruire il nostro bell’edificio. Ma a noi, a cosa è servito?

Analizzare e risolvere un problema ci permette di studiare e capire un modello semplificato. Con tutto ciò che abbiamo appreso, possiamo studiare situazioni simili, dalla maggiore complessità, ma più reali.

Per esempio, quale sarebbe la forma migliore per uno pneumatico da competizione per moto? Rotondo sì, ma se consideriamo la sua sezione? Bisogna avere una forma che permetta alla moto, anche se a grandi angoli di piega, di garantire la massima aderenza con il terreno.

Sezione di uno pneumatico da moto

Sapreste dire quale equazione descrive il profilo dello pneumatico? O almeno quale sarebbe quello matematicamente ideale? Sicuramente ci troviamo davanti a un problema molto più complesso, nel quale entrano in gioco molte più variabili da tener conto. I diversi angoli di piega, la deformazione della gomma, la pressione interna… Ma aver risolto precedentemente il problema della ruota quadrata almeno ci fornisce indizi per approcciare il problema. Se siete appassionati di moto, vi lascio un video youtube a riguardo, da un punto di vista più fisico e ingegneristico, che personalmente ho trovato molto interessante:

Se invece siete più interessati solo all’aspetto matematico, potete provare a risolvere lo stesso problema non solo per una ruota quadrata, ma anche per una pentagonale, esagonale… Potete generalizzare e trovare la soluzione per un qualsiasi poligono regolare al variare del numero dei lati e delle sue dimensioni. Le ipotesi di partenza sono molto simili, diventa solo via via sempre più complesso. Vi sorprenderà forse sapere che la catenaria non salta fuori solo nello studio di una ruota quadrata, ma da qualsiasi tipo di ruota poligonale, con dei parametri leggermente variati. Se davvero vi siete innamorati dell’idea di trovare pavimenti per qualsiasi tipo di ruota, sono un po’ preoccupato per voi, ma vi lascio un articolo qua sotto che analizza il caso più generale possibile.

Per concludere, visto che abbiamo tanto parlato di ruota quadrata di qua e ruota quadrata di là, ma ancora non avete visto una sua applicazione, vi lascio qua sotto il video di una bicicletta bizzarra che scorre in modo perfettamente regolare su un pavimento composto da dossi:

Risorse per approfondire l’argomento

Generalizzazione totale: esiste un pavimento per ogni possibile ruota? https://www.researchgate.net/publication/254616950_Roads_and_Wheels

Il problema della ruota quadrata (esame di maturità 2017): https://redooc.com/it/superiori/matematica-maturita/soluzioni-matematica-maturita-2017/maturita-2017-problema-1-soluzione#problema1-introduzione