Nel precedente articolo (che puoi leggere qui https://www.mathone.it/spazio-hilbert/) abbiamo introdotto il concetto di spazio di Hilbert da un punto di vista storico e abbiamo definito gli strumenti base che ci serviranno ora per fare un passo oltre, introducendo effettivamente da un punto di vista matematico cosa sia uno spazio di Hilbert.

Progettando un po’ l’articolo ho realizzato che diventerebbe troppo pesante e lungo se oltre alla definizione e alle prime proprietà andassimo a parlare di importanti teoremi in questo settore, per cui dedicheremo un’ultima puntata della “rubrica” a quei risultati.

Cos’è uno spazio vettoriale di dimensione infinita?

Nel precedente articolo abbiamo visto cos’è uno spazio vettoriale. Però ci siamo limitati a parlare del caso finito dimensionale. Tuttavia per parlare di spazi di Hilbert nella loro completezza dobbiamo lavorare su spazi a dimensione infinita.

Se non hai mai visto un corso di analisi funzionale o ragionato su questi spazi in precedenza, probabilmente ti è sorta una domanda: “Qual è l’esempio di uno spazio matematico che mi capita di usare ed abbia dimensione infinita?”.

Eccoti quindi accontentato, vediamo subito un esempio che poi prenderemo come esempio di riferimento nella costruzione di spazio di Hilbert che porteremo avanti nel corso dell’articolo.

Probabilmente hai già sentito parlare di funzioni reali ad una variabile continue giusto? Se non ti è ancora capitato per il momento ti consiglio di prendere questa definizione un po’ grossolana : “Una funzione $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ è continua se possiamo tracciarne il grafico senza staccare la penna dal foglio, ovvero il grafico è una curva senza salti”.

Ottimo, ma cosa centrano queste funzioni con gli spazi di Hilbert? In realtà poco infatti vedremo che per arrivare a quella costruzione dovremo puntualizzare qualche proprietà, però queste sono un perfetto esempio di spazio vettoriale a dimensione infinita.

Infatti se definiamo l’operazione di composizione come $f\circ g (x):= f(g(x))$ otteniamo che lo spazio $(C^0([a,b]),\circ)$ dove $C^0([a,b]):=\{f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}: f \text{ è continua }\}$ è uno spazio vettoriale.

Perché ha dimensione infinita? Semplicemente perché possiamo trovare infinite funzioni continue linearmente indipendenti l’una dall’altra. Vediamo perché particolare famiglia di funzioni continue linearmente indipendenti è data dalle funzioni trigonometriche:

\[T =  \{ \cos{nx} : n\in\mathbb{N} \} \]

Questa è per esempio anche utile per definire una base dello spazio in analisi. Tuttavia siccome avendo la dimensione infinita il concetto di base è un bel po’ più complesso rispetto al caso finito-dimensionale, preferisco sorvolare su questo argomento per questo articolo. Se ti interessa approfondire cosa sia una base di uno spazio vettoriale a dimensione finita ecco un sito che ti aiuterà : https://it.wikipedia.org/wiki/Base_(algebra_lineare)

Cos’è uno spazio normato?

Prima di passare a definire gli spazi di Hilbert, partendo dalla nozione di spazio vettoriale (a dimensione finita o infinita che sia) dobbiamo definire il concetto di spazio di Banach. Per farlo ci serve una norma ben definita sul nostro spazio che in questo paragrafo chiameremo $B$.

Una norma è da pensare come una funzione che associa ad ogni elemento dello spazio $v\in B$ un numero reale e non negativo. Questo numero che andiamo ad associare può essere visto come una misura della distanza dell’elemento $v$ dall’elemento neutro dello spazio, lo $0$.

Per far sì che questa funzione $|| \cdot || : B\rightarrow \mathbb{R}^+$ definisca effettivamente una norma su $B$ è necessario chiedere che sia non degenere, ovvero che $||v||=0$ se e soltanto se $v=0$.

A questo punto possiamo definire la coppia $(B,||\cdot ||)$ uno spazio normato.

Gli spazi di Banach sono spazi normati con una proprietà ulteriore che fra poco vedremo, ma prima direi che è utile  vedere un paio di esempi di spazio normati.

Partiamo da uno semplice che di sicuro conosci, in cui andremo a lavorare su uno spazio vettoriale a dimensione finita: $\mathbb{R}^n$.

Su questo spazio Euclideo possiamo definire la norma classica che associa al punto $x=(x_1,…,x_n)$ il numero non negativo $||x|| = \sqrt{x_1^2+…+x_n^2}$. Questa funzione è non degenere infatti la norma è 0 se e soltanto se $x_1=x_2=…=x_n=0$ ovvero se $x=0$ (dove qui con 0 si intende lo zero di $\mathbb{R}^n$, il suo elemento neutro quindi, con un abuso di notazione, stiamo dicendo 0=(0,…,0) ).

Passando ora ad un esempio a dimensione infinita, possiamo definire l’importantissimo spazio di Lebesgue $\mathcal{L}^2$ come segue:

\[ \mathcal{L}^2(a,b)=\{f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} : \int_a^b f^2(x)dx<+\infty\}. \]

Un esempio di funzione che sta qui dentro sono le funzioni trigonometriche. Infatti si può vedere che

$\int_a^b cos^2(x)dx < b-a <+\infty$ quindi richiesta soddisfatta. Se l’intervallo $[a,b]$ è limitato, allora per esempio abbiamo anche che tutte le funzioni continue sull’intervallo appartengono a questo spazio dato che, per il teorema di Weierstrass, sugli intervalli chiusi e limitati le funzioni continue ammettono massimo $M$ e minimo $m$ per cui se $f$ è continua nell’intervallo allora si ha

\[

\int_a^b f^2(x)dx < max{m^2,M^2}(b-a)<+\infty.

\]

Per definire con $\mathcal{L}^2(a,b)$ uno spazio normato dobbiamo avere una norma, che è definibile naturalmente come \[||f||=\Big(\int_a^b f^2(x)dx\Big)^{\frac{1}{2}}.\] La coppia $(\mathcal{L}^2(a,b),||\cdot ||)$ così costruita è uno spazio normato.

Dopo vedremo che questo spazio sarà davvero interessante e ricco di sorprese 😊

Ma veniamo ora alla definizione di spazio di Banach.

Cos’è uno spazio di Banach?

Uno spazio di Banach è uno spazio normato completo.

Abbiamo già visto cosa sia uno spazio normato, ci manca la definizione di spazio completo. Se hai visto un corso di Analisi uno saprai senz’altro che la retta dei numeri reali è completa e avrai già sentito parlare di assioma di completezza.

Se non hai mai sentito questi termini non disperare, intuitivamente la retta dei numeri reali si dice completa perché non ha buchi, ovvero presi a caso due numeri nell’insieme dei reali ne esiste sempre un terzo tra essi contenuti.

Questa però non è una definizione troppo operativa o generalizzabile agli spazi normati in generale, vediamo quindi qualcosa di più pratico:

Uno spazio di dice completo se una successione converge se e soltanto se è di Cauchy.

Non parlerò nel dettaglio di successioni di Cauchy qui perché sarebbe troppo dispersivo, mi limito quindi a caratterizzare le successioni con questo carattere con la seguente definizione:

La successione $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è di Cauchy se e solo se $\forall\,\varepsilon>0$ esiste un $n_0\in\mathbb{N}$ per cui $\forall n,m>n_0$ si ha $||x_n-x_m||<\varepsilon$.

Ottimo, quindi ora abbiamo visto la definizione di spazio di Banach.

Chiudiamo la sezione con un esempio di spazio di Banach per poi passare, finalmente, al concetto di spazio di Hilbert.

Grazie all’assioma di completezza di $\mathbb{R}$, estensibile naturalmente anche ad $\mathbb{R}^n$, se definiamo su questi spazi Euclidei la norma classica come visto poco più sopra, otteniamo uno spazio di Banach a dimensione finita.

Un altro esempio di spazio di Banach è sempre dato dall nostro $(\mathcal{L}^2(a,b),||\cdot||)$.

Concludiamo quindi in bellezza questo breve ma intenso excursus nell’analisi funzionale con il concetto di spazio di Hilbert che da tanto stiamo tenendo sott’occhio.

Cos’è uno spazio di Hilbert?

Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che generalizza la nozione di spazio Euclideo. Nello spazio euclideo abbiamo uno strumento molto utile a nostra disposizione: un prodotto scalare.

Di prodotto scalare e di proiezioni ne abbiamo parlato nello scorso articolo (lo trovi qui https://www.mathone.it/spazio-hilbert/ ) quindi in questo lo suppongo noto.

L’idea è quindi di definire gli spazi di Hilbert partendo da questo concetto. Formalmente abbiamo la seguente definizione di Spazio di Hilbert:

Uno spazio di Hilbert è una coppia $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ fatta da uno spazio vettoriale $H$ e un prodotto scalare su $H$. Inoltre la norma $||v||:=\sqrt{\langle v,v\rangle}$ naturalmente indotta dal prodotto scalare, definisce uno spazio di Banach $(H,||\cdot ||)$.

Bene, questa coppia $(H, \langle\cdot,\cdot\rangle )$ è una generalizzazione dello spazio euclideo dove si possono fare le stesse belle cose tra cui calcolare prodotti, proiettare, scomporre in serie di Fourier (generalizzate) e molto altro. Chiaramente non ce ne occuperemo nel dettaglio in questo articolo ma alcune proprietà interessanti tra queste le vedremo nel prossimo ed ultimo articolo della rubrica.

Chiudiamo però recuperando l’esempio $\mathcal{L}^2(a,b)$. Su questo possiamo infatti definire un prodotto scalare come segue:

$$ \langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)dx\quad\forall f,g\in \mathcal{L}^2(a,b). $$

Nel prossimo articolo vedremo molti risultati su questo spazio, per ora ci fermiamo così che sono convinto che abbiamo già visto un bel po’ di concetti.

Un paio di mesi fa ho visitato il museo oceanografico a Monaco. Girando al suo interno mi sono accorto che gran parte delle cose che leggevo e vedevo non le conoscevo e proprio per questo mi è piaciuto davvero molto.

Camminando poi mi è venuto in mente che questo è esattamente lo stesso motivo per cui mi piace e trovo utile leggere libri di divulgazione riguardo ad argomenti e temi che non conosco.

Prima di elencare 3 motivi per cui ti consiglio di leggere questa tipologia di libri e di suggerirti un paio di titoli da cui partire, nel caso tu fossi in alto mare, però ci tengo a specificare che in questo periodo io non ne sto leggendo nessuno.

Non perché non li trovi utili o interessanti, ma piuttosto perché leggo molti libri tecnici/didattici per l’universitá, poi leggo articoli per trovare idee per Mathone, capirai bene che quando poi trovo il tempo di leggere preferisco staccare dalla matematica e svagarmi con altro 😉

Comunque quando riesco a trovare periodi di pausa, magari durante l’estate, un paio riesco sempre a leggerli e ormai ne ho accumulati un bel po’ nel corso degli anni, magari potrei anche recensirne qualcuno in dei video o articoli dedicati se può interessarti.

Ma torniamo ai motivi per cui ti suggerisco di leggere libri di divulgazione:

1. Non sono quasi mai letture pesanti, spesso all’interno ci sono delle storie, e ti permettono di vedere sotto una luce diversa ciò che magari hai già studiato a scuola o all’università.
2. Sono utili per incuriosirsi ad argomenti sconosciuti. Se per esempio non hai mai provato a ragionare su cosa siano le dimensioni in geometria, o non hai mai studiato la geometria dello spazio, una prima lettura di Flatlandia di sicuro ti illuminerà e ti lascerà a tratti dubbioso.
3. Riescono a rispondere a domande un po’ più profonde, che spesso quando si studia su libri tecnici si lasciano in disparte. Per esempio sono interessanti le domande: Che cos’è la matematica? Perché studiare e fare matematica? E oltre a queste ce ne sarebbero molte altre, ma ho citato loro perché voglio suggeriti due letture davvero interessanti a riguardo, che sono: Che cos’è la matematica e Apologia di un matematico.

Vedrai che questi due libri non ti deluderanno, magari parti dal secondo che è molto breve e diretto.

E ora voglio rispondere ad un’ultima domanda: ma a cosa serve incuriosirmi ad un argomento? Comunque quando finisco il libro non sapró molto su questo!

Sono d’accordissimo con te! Infatti, proprio come quando trovi qualcosa di interessante in una cittá nuova, in un museo o nei discorsi con i tuoi amici vai ad approfondire dopo il tutto su dei testi piú tecnici o siti di riferimento, anche con i libri di divulgazione é cosí!

Se trovi un argomento che ti interessa o ti appassiona grazie ad un libro di divulgazione hai fatto bingo! Peró poi sta a te proseguire con gli approfondimenti tecnici se ti interessa veramente.

A dirla tutta questo “servizio” di incuriosire a vari temi é proprio quello che provo a dare io nei video o negli articoli, non ho nessuna pretesa di spiegarti in termini didattici cosa sia un’equazione alle derivate parziali, peró posso provare a presentarti esempi, situazioni reali e suggerirti qualche strumentio per approfondire in maniera rigorosa 😉

Ottimo, direi che ci siamo dilungati fin troppo, grazie per la lettura e alla prossima!

Intanto se vuoi leggerti un articolo in cui consiglio 50 libri di divulgazione matematica eccoti servito: https://www.mathone.it/migliori-libri-sulla-matematica/

Magari con un video o articolo in cui faccio una recensione 🙂

In questo articolo andremo a parlare di differenze finite. Questo sarà un articolo introduttivo all’argomento.

Oltre alla descrizione del metodo vedremo un paio di esempi molto semplici scritti con Matlab, dove andremo a risolvere l’equazione di Poisson su un intervallo $I\subset\mathbb{R}$ e una sua variante.

Se vuoi vedere anche un video che ho fatto su questo argomento lo trovi sul canale Youtube 😉

Di sicuro ti è stato detto o comunque hai studiato e letto da qualche parte che è davvero piccolo l’insieme di equazioni differenziali risolvibili in maniera analitica ed esatta. Molto poche ammettono una soluzione esprimibile tramite una funzione che ha una sua espressione precisa. Descrivibile in forma chiusa.

Per questo motivo è necessario trovare un’alternativa alla procedura analitica. La procedura esatta che ci permette di arrivare ad una soluzione delle equazioni è infatti spesso limitante.

Ok, è importante saper risolvere gli esercizi in cui viene chiesto di trovare un integrale generale di un’equazione differenziale, ma questi sono appunto esercizi. Spesso le equazioni che definiscono un modello matematico, una volta che si riesce a mostrare che una soluzione esista, sono trattati in termini numerici.

Infatti tutto quello che è presente nel mondo, nella realtà, è descritto da una variazione di certe quantità, di certe proprietà mentre il tempo scorre liberamente.

Quindi come possiamo descrivere tutti questi fenomeni? Beh, intanto dobbiamo necessariamente coinvolgere delle equazioni differenziali. Quindi chiaramente non possiamo fermarci davanti al fatto che non sia possibile risolvere un’equazione di questo tipo in maniera esatta, in forma chiusa.

Se a noi interessa fare previsioni su qualche modello, su qualche fenomeno, dobbiamo trovare comunque un modo per ottenere informazioni sulla soluzione. A questo punto si aprono due strade molto interessanti:

L’analisi qualitativa (di cui magari ci occuperemo in altri articoli e puoi trovare già un esempio in questo articolo https://www.mathone.it/pendolo-semplice/) ma puoi già trovare un mio video sull’argomento qui di seguito:

e l’approssimazione numerica della soluzione, argomento di cui inizieremo ad occuparci proprio in questo articolo.

Per questa prima introduzione parleremo di equazioni differenziali ordinarie, quindi del caso in cui compaiono solo derivate ordinarie e c’è una sola variabile. Non andiamo quindi a coinvolgere le equazioni alle derivate parziali anche perché in quel caso il metodo alle differenze finite è abbastanza limitante perché non è comodo per lavorare con domini di dimensioni di forma particolari perché è necessario avere delle griglie fatte in un certo modo (spesso in quel caso si usa il metodo degli elementi finiti).

Comunque di sicuro porterò qualche esempio riguardo al metodo applicato al caso delle derivate parziali perchè permette di analizzare, senza andare troppo nel complesso, sistemi che evolvono in spazio e tempo, ampliando così di molto la classe dei modelli che potremo analizzare.

Ma torniamo alle equazioni differenziali ordinarie. Questa tipologia di equazioni solitamente ci interessa risolverle in un certo dominio. Per poterle risolvere numericamente dobbiamo imporre un’importante condizione su questo dominio: deve essere limitato.

Numericamente infatti non possiamo direttamente risolvere un’equazione differenziale su tutta la retta reale, ma dobbiamo considerarne un sottodominio compatto della forma $[0,L]$ con $L<+\infty$.

Le differenze finite si prestano molto bene a risolvere equazioni differenziali ordinarie che descrivono fenomeni stazionari, ovvero nel caso le quantità non varino nel tempo ma nello spazio. Spesso ci si riferisce ad essi come problemi al bordo (boundary value problems o BVP). Per esempio parliamo dell’equazione di Poisson $$-\frac{d^2u(x)}{dx^2}= f(x)$$ con $x\in[0,L]$ ed $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ una funzione qualsiasi, con delle opportune condizioni al bordo $u(0)=a$ e $u(L)=b$.

Chiaramente vediamo subito che serve un minimo di regolarità per la funzione $f$ per poter dire di avere una soluzione classica in questo esempio, ovvero siccome dobbiamo calcolare la derivata seconda di $u$ si può richiedere di avere $u\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$ e quindi segue naturalmente $f\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Se hai già sentito parlare di soluzioni deboli sai che in realtà si può chiedere meno regolarità per $f$ in generale, ma non preoccupiamocene per questo articolo.

Andiamo quindi ad introdurci alle tecniche approsimative che ci porteranno a definire uno schema alle differenze finite per risolvere l’equazione differenziale precedente, che possiamo per esempio complicare anche passando a questa dove comprare anche la derivata prima :$$\frac{d^2u(x)}{dx^2}+\frac{du(x)}{dx}=f(x)$$ per ogni $x\in[0,L]$ e ancora delle buone condizioni al bordo.

La prima idea che dobbiamo avere per approcciare l’approssimazione di una derivata, perché è questo che vogliamo fare, con delle strategie alternative è quello di definire una discretizzazione del nostro dominio.

Cos’è una discretizzazione? Semplicemente vogliamo dividere il nostro intervallo $[0,L]$ in intervallini sufficientemente piccoli, la cui unione restituisce esattamente l’intero dominio:

Definiamo la discretizzazione $$\tau = \{x_1=0<x_2<…<x_{N-1}<x_N=L\}$$ in modo dale che $$\cup_{i=1}^{N-1} [x_i,x_{i+1}] = [0,L].$$

Questa discretizzazione può essere fatta in maniera uniforme o non uniforme nel senso che le distanze $$\Delta x_k = x_{k+1}-x_k$$ possono essere rispettivamente tutte uguali o diverse.

Per semplicità d’ora in poi nella trattazione e anche nel codice supporremo tale discretizzazione uniforme e chiamiamo quindi $\Delta x = x_{n+1}-x_n$.

Benissimo ora siamo pronti a fare lo step fondamentale dietro l’idea delle differenze finite.

Se ti ricordi un po’ come ti è stato introdotto il concetto di derivata, ti ricorderai senz’altro che è coinvolto il limite del rapporto incrementale

Infatti la derivata di una funzione $u:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ è definita come il limite del rapporto incrementale, qualora esso sia finito:

$$ u'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}. $$

Allo stesso modo si può definire anche la derivata seconda:

$$ u”(x) = (u'(x))’ = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{u'(x+\Delta x)-u'(x)}{\Delta x}.$$

Introduciamo quindi l’ultima notazione: $u(x_k) \approx u_k$, ovvero noi quello che andremo a calcolare sarà $u_k$ che è l’approssimazione numerica della soluzione esatta in $x_k$.

Ottimo, ora possiamo finalmente fornire un’approssimazione alle differenze finite di queste due derivate. Per farlo basta la semplice idea: invece di passare al limite su $\Delta x$, definiamo una discretizzazione sufficientemente raffinata del dominio $[0,L]$, ovvero tale che gli elementi $x_k$ e $x_{k+1}$ distano sufficientemente poco.

Ecco quindi una prima approssimazione della derivata

$$ u'(x_k)\approx \frac{u_{k+1}-u_k}{\Delta x}.$$

Questa è però una stima un po’ rozza infatti si può mostrare, espandendo con i polinomi di Taylor, che $$|u'(x_k)-\text{questa approssimazione}|$$ va a zero con la stessa velocità con cui ci va $\Delta x$, quindi è un’approssimazione di ordine 1:

$$ u(x_{k+1}) = u(x_k) + u'(x_k)(x_{k+1}-x_k) + o(\Delta x^2) $$

$$\frac{1}{\Delta x}(u(x_{k+1})-u(x_k)) = \frac{1}{\Delta x} (u(x_k)+u'(x_k)\Delta x + o(\Delta x^2)-u(x_k))$$

$$ = u'(x_k) + o(\Delta x).$$

Un modo per ottenere un’approssimazione più precisa, del secondo ordine, è quello di procedere con una differenza finita centrata invece che in avanti come abbiamo visto prima. Ti chiedo di provare a verificare da solo che la prossima approzione è precisa al secondo ordine 😉

$$ u'(x_k) \approx \frac{u_{k+1}-u_{k-1}}{2\Delta x}. $$

Similmente, partendo dalla differenza finita in avanti vista prima, si può ottenere un’approssimazione accurata al secondo ordine della derivata seconda come segue:

$$ u”(x_k) \approx \frac{\frac{u_{k+1}-u_k}{\Delta x} – \frac{u_k-u_{k-1}}{\Delta x}}{\Delta x} $$

$$ = \frac{u_{k+1}-2u_k+u_{k-1}}{\Delta x^2}.$$

Ottimo, direi che con la “teoria” siamo a posto. Vediamo di applicare questi risultati alle due equazioni prima introdotte. Prima però è importante rimarcare il fatto che il risultato del metodo delle differenze finite sarà un vettore che corrisponde alle approssimazioni della soluzione dell’equazione analizzata nei nodi della discretizzazione. Otterremo quindi un vettore $\vec{u}\in\mathbb{R}^N$ definito come segue:

$$ \vec{u} \approx \begin{bmatrix} u(x_1) \\ u(x_2) \\ . \\ .\\ . \\ u(x_N) \end{bmatrix} $$

e solitamente quando rappresenteremo graficamente la soluzione ottenuta si costruisce un’interpolazione lineare di tali valori, ovvero negli intervalli $(x_k,x_{k+1})$ si congiungono i punti $(x_k,u_k)$ e $(x_{k+1},u_{k+1})$ con un segmento come puoi vedere qui sotto:

Ottimo direi che la parte introduttiva può dirsi chiusa, qui di seguito oltre ai codici che ho scritto per Matlab e che puoi scaricare cliccando sul link di GitHub, ti riporto l’idea in breve dietro l’implementazione. La cosa interessante da precisare per il codice è che l’ho scritto in forma matriciale. Ho definito quindi due matrici $D1$ e $D2$ in modo tale che la loro azione sul vettore $u$ permetta di ottenere rispettivamente l’approssimazione della derivata prima e della derivata seconda. Ecco qui cosa intendo:

$$D1\, u = \begin{bmatrix}
0& 0&0& \dots &\dots \\
-1/(2\Delta x)& 0& 1/(2\Delta x)&0&\dots\\
0& -1/(2\Delta x)& 0& 1/(2\Delta x)&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\dots\\
\dots& \dots& \dots& 0& 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ . \\ .\\ . \\ u_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{u_3-u_1}{2\Delta x} \\ . \\ .\\ \frac{u_N-u_{N-2}}{2\Delta x}\\ 0 \end{bmatrix} $$

$$D2\, u = \frac{1}{\Delta x^2}\begin{bmatrix}
1& 0&0& \dots &\dots&\dots&\dots \\
1& -2& 1&0&0&0&\dots\\
0& 1& -2&1&0&\dots&\dots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\dots&\dots&\dots\\
\dots& \dots&\dots&\dots& \dots& 0& 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ . \\ .\\ . \\ u_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u_1}{\Delta x^2} \\ \frac{u_3-2u_2+u_1}{\Delta x^2} \\ . \\ .\\ \frac{u_N-2u_{N-1}+u_{N-2}}{\Delta x^2}\\ \frac{u_N}{\Delta x^2} \end{bmatrix} $$

E quindi i due problemi si ridurranno semplicemente a risolvere un sistema lineare. Il problema

$$\begin{cases}-u”(x) = 1,\quad x\in(0,1) \\ u(0)=u(1)=0\end{cases} $$

diventa quindi

$$ -D2\, u = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \\ . \\ .\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} .$$

Ecco quindi cosa otteniamo, dove la soluzione analitica con cui ho comparato quella numerica è la seguente parabola $$u_{\text{esatta}} (x)= -\frac{1}{2}x(1-x).$$

Invece il secondo problema

$$\begin{cases}u”(x)+u'(x) = 0,\quad x\in(0,1) \\ u(0)=0,u(1)=1\end{cases} $$

diventa quindi

$$ (D2+D1)\, u = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ . \\ .\\ 0\\ \frac{1}{\Delta x^2} \end{bmatrix} .$$

Ecco quindi cosa otteniamo, dove la soluzione analitica con cui ho comparato quella numerica è la seguente $$u_{\text{esatta}} (x)= \frac{e-e^{1-x}}{e-1}.$$

Codici che metto nei vari articoli di mathone.it e video del canale Youtube.
https://github.com/davidemurari/mathone
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Recent commits:

• Update u2u10.m, GitHub
• Codici differenze finite, GitHub

Qualche giorno fa, sulla pagina Instagram, ho fatto la domanda che trovi qui a destra. L’obiettivo era proprio trovare qualche spunto in più per scrivere questo articolo che spero ti sia utile. Fare regali non è mai facile, per cui ho provato a raccogliere qualche idea magari un po’ originale se ti interessa sorprendere qualche amico, parente o chiunque altro sia appassionato di matematica.

Ah..prima di proseguire 😉 In tanti mi hanno detto che come regalo vorrebbero un po’ di CFU o una laurea, purtroppo però non ho alcun link da suggerirvi per comprarli ahah Però posso suggerirvi questi due articoli in cui do qualche consiglio sull’università:

1. 8 consigli per gestire al meglio l’università di matematica
2. Libri di testo consigliati per l’università

Ho deciso di organizzare la lista in 6 consigli principali e un settimo aggiuntivo (ecco il perché del +1 nel titolo) che a tanti non sarà utile ma, a seconda dell’età dell’interessato, so che potrebbe esserlo e lo confermano anche i numerosi suggerimenti che ho ricevuto alla domanda qui a destra.

Inoltre ti ricordo che se non segui ancora la pagina Instagram la puoi trovare qui: @mathoneig .

Nella pagina posto ogni giorno una foto con descrizione che ha l’obiettivo di divulgare qualche tema particolare e verso sera troverai anche un meme divertente, per chiudere in allegria la giornata. Ok, quindi cominciamo con i suggerimenti! 😎🎅🏻

1. Libri divulgativi

Partiamo con il consiglio più scontato ma che sono sicuro sarà di grande impatto. Spesso succede che chi è appassionato di matematica lo sia perché gli piace studiarla, gli piace provare a costruire nuove idee e dimostrazioni, ma accade anche molto frequentemente che non abbia mai letto libri divulgativi o davvero molto pochi.

Questo può accadere per vari motivi, primo tra i quali il fatto che la divulgazione sia sottovalutata rispetto alla formazione tecnica. Certo, se vuoi capire nuovi settori della matematica e diventare esperto in quelli non puoi contare di farlo solo leggendo libri divulgativi, ma secondo me questi hanno un grande potere: sanno rendere semplici cose complicate e soprattutto incuriosire verso aspetti della matematica che magari non si conoscono nemmeno.

Per cui come primo punto di questa lista DOVEVO iniziare con i libri divulgativi. Ora te ne suggerirò tre in particolare, però qualche riga più in basso metto il link ad un articolo che avevo scritto in cui ne sono raccolti 50.

Se ti interessa acquistarne qualcuno, ci tengo a farti sapere che Amazon ha appena lanciato Prime Student, l’abbonamento Prime per gli studenti: tutti i benefici di Amazon Prime, ma a metà prezzo – solo EUR 18,00 all’anno.

Non è abbastanza? Hai un periodo d’uso gratuito di 90 giorni. Ti consiglio di sfruttarlo soprattutto se hai intenzione di leggere di più o fare i regali di natale 😎 http://bit.ly/sconto_studenti

Prima di iniziare con la lista però, ti lascio una breve puntata di podcast in cui ti parlo del perché, secondo me, leggere libri di divulgazione sia una gran cosa in quanto può aiutarti a riavvicinarti alla lettura e conoscere molte cose nuove riguardo la matematica in maniera leggera, per poi magari approfondirle:

Ecco la lista dei tre principali consigli che mi sento di darti. Ah..per semplicità quando scrivo nei paragrafi qui sotto farò finta che tu voglia farti un regalo, quindi parlo direttamente a te. Se stai cercando qualcosa per un amico, parente o chiunque altro cerca di valutare le cose che ti dico rispetto a lui/lei ovviamente 😉

Altra premessa, tutti i link ai libri qui sotto (e ai prodotti che si trovano su Amazon) sono link di affiliazione, per cui se acquisti direttamente da quelli non spenderai nulla in più ma mi verrà riconosciuta una percentuale, quindi senza alcuno sforzo e spesa aggiuntiva starai anche sostenendo il progetto Mathone e per questo ti ringrazio 😉

Apologia di un matematico

Se è un po’ che non leggi ma ti piacerebbe iniziare a scoprire il mondo della divulgazione e vedere se faccia per te, questo è sicuramente il libro da cui iniziare. Si legge in un pomeriggio, è scorrevole ed è molto ben scritto a mio parere. E’ un breve libro scritto da Hardy sul finire della sua vita, dove ha cercato di dare un senso a ciò che ha fatto per tutta la sua carriera: matematica.

Vuole infatti difendere (apologia vuol dire “difesa”) la matematica, dando spiegazioni dietro al suo motivo di esistere o di essere studiata. Ti consiglio vivamente di leggerlo 🙂

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Apologia di un matematico

Il flauto di Hilbert

Questo libro e il successivo li ho entrambi iniziati ma non ho mai avuto il tempo di finirli, non perchè fossero noiosi (per nulla) ma perché fatalità li avevo presi entrambi in biblioteca in periodi molto impegnati, per cui non ho avuto proprio tempo di finirli. Mi prometto però di leggerli a breve perché sono consigliati da chiunque sia davvero appassionato di divulgazione e, a quanto posso dire dalle prime 50-70 pagine che ho letto, sia questo che il successivo meritano sul serio.

Ovviamente non posso lasciare alcuna recensione, se non dirti che il Flauto di Hilbert è un libro di storia della matematica davvero ben presentata, di scorrevole lettura. E’ più lungo del precedente ma vale di sicuro lo sforzo.

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Il flauto di Hilbert

Gödel, Escher, Bach. Un’eterna ghirlanda brillante. Una fuga metaforica su menti e macchine nello spirito

Come anticipato, anche questo libro l’ho solo iniziato ma merita sul serio e per questo il prima possibile lo riprenderò per completarlo. E’ un viaggio tra matematica, arte, musica e intelligenza artificiale. Davvero un bel libro a quanto ho letto in giro e sentito da molti.

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Gödel, Escher, Bach

Per la lista completa dei 50 titoli suggeriti, nel caso questi non ti piacciano o non ti sembrano adatti, la puoi trovare qui: I 50 migliori libri di matematica.

2. Lavagna a muro

Questa è stata una grande aggiunta alla mia camera quasi un paio d’anni fa. Certo, serve spazio, ma se hai un po’ di muro libero (o sei disposto a liberarlo), ti assicuro che studiare dimostrazioni o risolvere esercizi alla lavagna è un’altra cosa. Un lato molto positivo di avere una lavagna a muro è che nei pomeriggi di studio intenso, magari poco prima di un esame, ti sarà pesante stare ore e ore seduto a studiare o provare a riscrivere dimostrazioni, quindi è molto utile (per la mia esperienza) alternare momenti seduto a momenti in cui ti alzi, continuando a ripassare ma questa volta scrivendo alla lavagna.

Io l’ho presa anche per fare video su Youtube, che da gennaio 2020 riprenderanno ad uscire (con regolarità) quindi ti consiglio intanto di iscriverti al canale da qui: Mathone Video.

A dirti la verità io non l’ho comprata su Amazon ma, grazie ad un amico, sono riuscito a recuperare una lavagna che era stata restituita perché leggermente difettosa. Ma prima di avere questa occasione mi sono informato parecchio sulle migliori possibilità che Amazon aveva da offrire e quindi qui di seguito ti riporto le 3 sulle quali al tempo ero indeciso, soprattutto leggendo le descrizioni e le recensioni lasciate dai clienti nei commenti.

Intanto ti lascio i pennarelli che ho provato e che continuo a ricomprare quando si scaricano perché mi trovo davvero bene, li trovi qui: Pennarelli cancellabili.

Per la ragione dei pennarelli più economici, ho optato per una lavagna bianca. Sarebbe molto figo anche avere una classica lavagna nera dove si può scrivere con gessi o pennarelli a gesso liquido (che costano un botto), però i gessi li ho provati per un paio d’anni in camera (avevo attaccato un foglio di lavagna adesiva alla scrivania che trovi qui: Lavagna adesiva) ma dopo un po’ la camera diventava invivibile per sporco e polvere di gesso ovunque 😉

Passiamo quindi ai consigli sulle Whiteboards:

AmazonBasics – Lavagna magnetica bianca, cancellabile a secco, con supporto porta-pennarelli e bordi in alluminio, 120 cm x 90 cm:

Se vuoi guardare le recensioni e descrizioni su Amazon clicca qui: LINK AMAZON.

Nobo 1903772 Lavagna magnetica cancellabile a secco, Kit di montaggio incluso, Bianco, 58.5 x 43 cm:

Se cerchi qualcosa di più piccolino, economico ma comunque funzionale questa potrebbe essere giusta per te: LINK DI AMAZON.

Bi-Office Maya – Lavagna Magnetica Bianca, 120 x 90 cm, Con Cornice In Alluminio, Superficie Magnetica Acciaio Laccato:

Questa mi è sempre piaciuta, era quella per cui propendevo maggiormente e la puoi vedere qui: LINK AMAZON.

3. Accessori matematici

Questa è la sezione per cui ho ricevuto più messaggi. Me ne sono arrivati alcuni in cui si parlava di sciarpe a forma di Nastro di Moebius, cappelli a forma di Bottiglia di Klein, lampade a forme particolari, soprammobili curiosi per un appassionato di matematica e chi più ne ha più ne metta.

Ho quindi fatto una ricerca su Google riguardo alcuni accessori che potrebbero piacere ad un matematico e alcuni sono davvero fighi, ti metto qui sotto per ognuno di questi 5 link per andare a guardarlo ed un’immagine. Sono tutti cliccabili e se hai qualche ulteriore aggeggino da suggerire sarebbe molto interessante se lo scrivessi sotto all’articolo in un commento 😉

Tutti questi li puoi trovare su Amazon perché ho pensato anche ai tempi di spedizione più ragionevole, se invece sei disposto ad aspettare anche 5-6 settimane di consegna, ho trovato questo negozio di gadget molto ricco che però, spedendo dall’Inghilterra, mi sono ben guardato dal citarlo qui sotto perché le attese salgono parecchio. Ma se può interessarti ecco anche quel negozio: https://mathsgear.co.uk/

1. Forma per dolci a forma di PI Greco

Questo devo ammettere che è una genialata, per una bella torta a tema matematico ci sta perfettamente: STAMPO PER TORTA.

2. Tazza bianca per il caffè o il tè a tema matematico

Ecco il link di una tazza che ho creato apposta per noi appassionati di matematica 😉 : LINK ALLA TAZZA.

3. 3D Illusione Lampada Bottiglia di Klein Luce notturna USB 7 colori LED

Ecco una delle cose che mi avete suggerito maggiormente nella storia di Instagram, devo ammettere che non è male l’idea di averne una in camera 😉 La trovi qui: LINK AMAZON.

Stando a tema bottiglia di Klein, puoi trovare anche questa, un po’ più sobria ma sempre bella: STAMPA 3D.

4. Orologio a tema matematico

Qui va a gusti, o piace o non piace, però anche questo in molti me l’avete suggerito su Instagram per cui, perché non metterlo? Lo puoi trovare qui: LINK OROLOGIO.

5. Pendoli sincronizzati

Questo è davvero bello, di test ne potete fare un mondo e ti lascio qui sotto un video sulla sincronizzazione di questi pendoli da cui potrete prendere spunto per divertirvi…ah il link è qui: LINK PENDOLO

4. Rompicapo in legno (e non)

Questa sezione non mi è stata suggerita da nessuno su Instagram, con mia gran sorpresa in realtà. Spesso a chi piace la matematica piace ragionare, piacciono i problemi, gli indovinelli e…i rompicapo! Perché no!

Io non ne ho testati molti di rompicapo ma nel momento in cui me ne si presenta uno davanti mi intestardisco sopra e ci perdo un botto di tempo, quindi o lo riesco a risolvere o dopo un po’ mi arrendo e voglio cercare la soluzione online (il grande potere di Youtube).

Qualche anno fa avevo anche registrato un video in cui ne risolvevo uno su Youtube 😉 ora non lo trovo più quindi immagino che lo avessi cancellato poco dopo, era registrato al volo tanto per…più che altro per essere certo di sapere dove recuperare la soluzione nel caso mi fosse interessato riprovare a farlo. Da qualche parte ce l’ho ancora, sono sicuro ahah.

I rompicapo che ho in casa o che ho testato provengono tutti da mercatini che trovavo prevalentemente quando ero in vacanza, però per curiosità ho fatto una ricerca online e ho trovato una piattaforma che li vende molto interessante e seria. Mi sono anche sentito con il proprietario e devo dire che si vede proprio che ci tiene a quel sito e ai rompicapo 🙂

Se può interessarti l’idea di regalare o regalarti un rompicapo in legno ( e non ) ti consiglio di dare un’occhiata al loro sito: https://www.logicagiochi.com/it/prodotti/rompicapo-in-legno .

Ti lascio qui sotto l’immagine di un paio di rompicapo che ho testato:

5. Maglietta con stampa matematica

Di magliette con meme, citazioni e immagini divertenti sulla matematica se ne trovano un’infinità online e, se ti piace la matematica e vuoi vantartene, perché non prendersi una maglietta che magari in pochi sono in grado di capire? 😉

A dirti la verità ogni tanto mi viene anche in mente di creare un negozio online del genere con prodotti e magliette matematiche, magari più avanti lo faccio dai 🙂 Se ti piacerebbe magari scrivimelo nei commenti e dammi qualche consiglio che mi farebbe di sicuro comodo!

Siccome non devo certo stare qui a presentarti e spiegarti cosa sia una maglietta sulla matematica, ti lascio qui sotto le immagini cliccabili di alcune magliette simpatiche, inoltre dal link che trovi qui potrai anche accedere alla ricerca “maglietta matematica” su Amazon, te l’ho preparata nel caso ti interessi la tipologia 😉 : http://bit.ly/magletteMate

6. Abbonamento brilliant.org

In pochi conoscono brilliant.org (con questo link hai il 20% di sconto) ma questo è un sito che consiglio sempre quando ne ho l’occasione. E’ ricco di sfide, corsi, indovinelli e cose divertenti da scoprire. E’ una piattaforma dedicata all’approfondimento di matematica, fisica, informatica e molto altro ed il tutto è fatto in maniera coinvolgente e divertente.

La piattaforma consente di accedere ai contenuti anche in maniera gratuita ed io faccio così quando ho tempo, non ho mai testato l’abbonamento a pagamento onestamente. Ma a quanto ho potuto leggere online, vedere su Youtube e a quanto dicono sulla loro pagina web direi che per uno che ha del tempo libero ed è appassionato delle varie tematiche matematiche direi che sarebbe un bel regalo da ricevere.

Per cui se non conosci il servizio/piattaforma ti lascio qui sotto il video introduttivo al corso sulla relatività, giusto per farti un’idea del loro bello stile , mentre più in basso troverai un link per andare a vedere la piattaforma ed eventualmente regalare l’abbonamento a qualcuno (anche a te se ti va 😉 ). Qui ti dico chiaramente che non ho alcuna affiliazione, te lo consiglio semplicemente perchè lo trovo sul serio un bel modo di apprendere e mettersi alla prova.

Ecco il link al sito di brilliant: https://brilliant.org/ (con questo link hai il 20% di sconto)

(+1) Calcolatrice grafica

Il motivo per cui ho messo questa voce come punto aggiuntivo (+1) è perché a molti probabilmente non servirebbe a nulla questo oggetto (a me per esempio, non saprei come usarla), però ho ricevuto molte risposte su Instagram in cui mi veniva detto che sarebbe molto apprezzata come regalo. Mi immagino per esempio che tanti ragazzi che dovranno affrontare la maturità quest’anno o in futuro sanno cosa farsene e come usarla 😉

Per cui semplicemente qui sotto ti riporto le 3 migliori calcolatrici grafiche in base alle Recensioni su Amazon, che sono solitamente ciò che guardo prima di un acquisto, ovviamente dopo aver sentito il parere di amici o partenti nel caso loro abbiano già usato il prodotto.

Ecco qui le 3 calcolatrici grafiche migliori secondo Amazon. Invece di mettertele in ordine di Recensioni positive, visto che sono tutte ottime da quel punto di vista, te le metto in ordine crescente di prezzo:

Casio FX-9750 GII Calcolatrice Grafica senza CAS, Ampio Display Monocromatico a 8 Righe, 61kB RAM, Blu Scuro

Ecco il link di Amazon per scoprire i dettagli di questo modello: LINK AMAZON.

Casio FX-CG50 Calcolatrice Grafica senza CAS con Display a 65.000 Colori, Grafici 3D e Alimentazione a Batteria

Ecco la pagina Amazon del prodotto: LINK AMAZON.

Texas Instruments TI-Nspire CX – Calcolatrice Grafica Scientifica Schermo Colori Con Touchpad

Ecco il link di Amazon per le recensioni: LINK AMAZON.

Con ciò la lista dei consigli termina qui, spero di averti dato qualche spunto interessante per fare o farti un bel regalo. Se pensi che questo articolo possa piacere a qualche tuo amico condividilo, basta anche una storia con lo screen all’articolo taggando la pagina @mathoneig 😉 su Instagram!