Hai letto attentamente la frase citata qui sopra? Non sembra essere una frase molto complicata, giusto? 😉 Questo è quello che viene chiamato il paradosso del mentitore.
Ora ti faccio un piccola domanda e ti chiedo uno sforzo un po’ più grande: Sapresti dimostrarmi se la frase sopra citata è vera o falsa?
Hai provato a pensare ad una possibile dimostrazione/spiegazione?
Bene 🙂 sono contento che, incuriosito, hai deciso di proseguire la lettura. Purtroppo però devo dirti che non c’è alcun modo per rispondere alla domanda che ti ho posto. Analizziamo quindi i due casi possibili relativi alla proposizione prima citata, il caso in cui sia vera e quello in cui sia falsa.
Se fosse vera, allora la frase non sarebbe veramente falsa (la verità della proposizione non invalida la falsità espressa nel contenuto della proposizione).
Se invece la proposizione fosse falsa, allora il contenuto si capovolgerebbe (è come se dicesse “Questa frase è vera“) quando abbiamo appena affermato il contrario.
Spero che tu non ci sia rimasto male…comunque sono sicuro che ci hai pensato almeno un attimo alla possibilità che non vi sia risposta a tale domanda. Dopotutto…il titolo dell’articolo contiene la parola paradosso 🙂
Questo è conosciuto come paradosso del mentitore, o meglio antinomia del mentitore. Talvolta puoi trovarlo anche sotto un nome ancor più suggestivo: Paradosso di autoreferenzialità.
Questo paradosso è stato di particolare interesse per molti personaggi illustri nel corso della storia, alcuni di essi hanno anche provato a fornire un’elaborata e spesso poco lineare soluzione al problema che ti ho posto prima. Ti lascio la possibilità di documentarti liberamente su tali soluzioni, se vuoi a questo link ne potrai leggere alcune 😉
Spero che l’articolo ti abbia incuriosito e che ti abbia lasciato un po’ perplesso, perchè in fondo è questo il bello di un teorema, di un paradosso e della matematica, subito non sono del tutto chiari, ma dopo sono affascinanti 🙂 Lascia pure un commento se hai dubbi, suggerimenti o critiche da pormi, sarò lieto di risponderti.
Il paradosso di Russell, formulato dall’omonimo Bertrand Russell tra il 1901 e il 1902, è una delle antinomie più importanti della storia della filosofia e della logica. E’ anche conosciuto dai più come il paradosso del barbiere.
In questa sede ho pensato che fosse più appropriato farne una trattazione più generalizzata, limitandomi quindi ad una semplice enunciazione del paradosso in termini della teoria degli insiemi.
Il paradosso di Russell dice quindi che:
L’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso. Formalmente,
Ora, ho pensato di limitarmi ad enunciare tale paradosso in maniera formale, perchè credo che a fini divulgativi sia più interessante presentarlo proprio come il paradosso del barbiereche, senza particolari sforzi, può essere ricondotto all’enunciato sopra citato.
Il paradosso del barbiere è il seguente:
Un certo Villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato che rade tutti – e unicamente – gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Questi sono i fatti. La domanda è: << Chi rade il barbiere?? >>
Ora potresti pensare, se per caso non avessi mai sentito parlare di questa antinomia, che il barbiere si rada da solo. Tuttavia in tal caso, essendo che lui stesso è un barbiere, lui non dovrebbe essere in grado di radersi da solo in quanto si fa radere dal barbiere. Nel caso in cui invece lui supponga di non essere in grado di radersi e decida di andare a farsi radere dal barbiere, lui stesso, sarebbe necessariamente in grado di radersi da solo.
Forse non ti è proprio chiaro, tuttavia questo è evidentemente un paradosso, una situazione senza alcuna via d’uscita. Sostanzialmente è una contestualizzazione ad una situazione verosimile dell’effettivo paradosso di Russell prima citato.
Per adesso ritengo sufficiente averti introdotto a questo paradosso, quindi ti lascio qui di seguito qualche riferimento nel caso tu voglia approfondire personalmente l’argomento, comunque penso proprio che in futuro ci ritornerò su questo tema, dato che mi attrae parecchio.
Per una spiegazione video del paradosso del barbiere clicca qui
Per un topic dedicato alla spiegazione formale ma non troppo complicata del paradosso di Russel clicca qui
Bene, spero di esserti stato utile e di averti stimolato almeno un po’ di stupore e curiosità. Questo articolo non aveva infatti lo scopo di trattare ogni tematica relativa all’argomento, ma semplicemente vuole metterti a conoscenza di questa bizzarra situazione e stimolarti a pensarci su.
Se ti è stato utile o comunque se ritieni l’articolo interessante mi renderesti molto felice se lasciassi un tuo commento qui sotto e/o condividessi l’articolo con i tuoi amici 😉
Detto ciò ti saluto, spero che possa nascere qualche discussione interessante qui o sulla pagina Facebook MATHONE.
Ecco una lista con numerose citazioni e aforismi matematici. Se ti interessano questo tipo di contenuti, ti consiglio di seguire la pagina Instagram https://www.instagram.com/mathoneig/ in cui ne ho condivise e ne condividerò parecchie 🙂
Ora ti auguro una buona lettura e ti ricordo che se sei interessato/a a ripetizioni di matematica sia per corsi universitari che per le scuole superiori, puoi contattarmi a list@mathone.it così posso vedere se riesco ad aiutarti 🙂
Se le persone credono che la matematica non sia semplice, è soltanto perché non si rendono conto di quanto la vita sia complicata. (John von Neumann)
Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi. (Alfréd Rényi)
La matematica è l’arte di dare lo stesso nome a cose diverse. (Henri Poincaré)
Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice. (Alfréd Rényi)
La matematica in generale è fondamentalmente la scienza delle cose evidenti. (Felix Klein)
“Ovviamente” è la parola più pericolosa in matematica.
L’essenza della matematica è la sua libertà. (Georg Cantor)
La matematica è la regina delle scienze, la teoria dei numeri è la regina della matematica. (Carl Friedrich Gauss)
Regola sicura: quando un matematico o un filosofo scrive cose nebbiosamente profonde, enuncia delle assurdità. (Alfred North Whitehead)
Il cinema è uno dei tre linguaggi universali; gli altri due sono la matematica e la musica. (Frank Capra)
L’algebra è generosa, spesso ci dà più di quanto le chiediamo.
(D’Alembert)
Another roof, another proof
(Paul Erdős)
Sapere cosa è grande e cosa è piccolo è più importante che saper risolvere le equazioni differenziali alle derivate parziali. (Stan Ulam)
Immortalità è forse una parola ingenua ma, qualunque cosa significhi, un matematico ha le migliori probabilità di conseguirla. (Godfrey Harold Hardy)
La matematica non s’apprende. È un occhio che hai dentro, qualcuno ti mostra il campo, e tu vedi. Subito
L’infinito! Nessun altro problema ha mai scosso così profondamente lo spirito umano; nessuna altra idea ha stimolato così proficuamente il suo intelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di chiarificazione che quello di infinito
(D. Hilbert)
Nessun romano ha perso la vita mentre contemplava un diagramma matematico
(Whitehead)
La matematica è più di una forma d’arte.
(Takakazu Seki)
Una verità matematica non è né semplice né complessa: è semplicemente.
(Emile Lemoine)
Un matematico che non abbia un po’ del poeta non può essere un perfetto matematico.
(Karl Weierstrass)
I matematici sono come gli innamorati. […] Date loro l’ultimo principio, e ne trarranno una conseguenza che sarete obbligati a concedere, e da questa un’altra ancora.
(Bernard Le Bovier De Fontanelle)
Com’è possibile che la matematica, essendo fondamentalmente un prodotto del pensiero umano indipendente dall’esperienza, spieghi in modo così ammirevole le cose reali?
(Albert Einstein)
Dio geometrizza sempre.
(Platone)
Esistono 10 tipi di persone al mondo, quelle che capiscono il sistema binario e quelle che non lo capiscono
Esistono due persone al mondo. Quelle che amano la matematica e quelle che ancora non hanno scoperto di amare la matematica.
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La radice quadrata, è un’operazione che impariamo a fare in vari contesti già dalle scuole medie. Per esempio, ci viene insegnato che in un triangolo rettangolo vale $i = \sqrt{c_1^2+c_2^2}$, dove $i,c_1,c_2$ sono ipotenusa e i due cateti di un triangolo rettangolo.
Spesso però non ci si pone la domanda: è possibile calcolare in maniera “abbastanza accurata” la radice quadrata di un numero con carta e penna?
Per presentare un possibile algoritmo per calcolarla, lavoriamo per tutto l’articolo su un esempio 729. Ci tengo a precisare che l’algoritmo che andremo ad esplorare, non è l’unico possibile. Infatti trovare la radice quadrata di un numero $n$ significa risolvere, seppur in maniera approssimata, l’equazione quadratica $x^2-n=0$ e la risoluzione di questo problema può essere ottenuta con davvero molti algoritmi. Se ti interessa vederne uno alternativo, ho fatto un video dedicato che trovi qui:
Torniamo però al nostro esempio, dove $n=729$. Questo numero non l’ho scelto proprio casualmente, infatti è il quadrato di 27. Questo sarà quindi il valore che ci aspetteremo di trovare una volta applicato correttamente l’algoritmo.
Bene, iniziamo!
L’algoritmo è particolarmente “visivo”, per cui ti consiglio di prendere carta e penna e seguire step by step i passaggi che vedremo.
Innanzitutto, partendo da destra, mettiamo un puntino (separatore) ogni due cifre. Ho scelto apposta un caso in cui le cifre sono dispari, così da vedere il caso meno ovvio (tra gli esempi di media difficoltà) che potrebbe capitare.
Rimarrà quindi una cifra spaiata, nel nostro caso il 7.
Ora pensiamo al più grande numero che elevato al quadrato sia minore o uguale al numero rappresentato dal primo blocco di cifre (da sinistra). Nel nostro caso la prima “coppia” è 7, quindi il numero da noi ricercato è il 2.
Siamo quindi pronti a costruire il risultato finale. Possiamo infatti scriver la cifra 2 alla sinistra del risultato, come prima cifra.
Per semplificarci la vita, possiamo usare una schematizzazione simile a quella usata per la divisione.
Ora scriviamo il quadrato di 2 sotto il 7, e scriveremo poi la differenza tra i due (7-4) sotto il 4.
Copiamo ora la seconda coppia di cifre in fianco al precedente risultato (il 4). Nel nostro caso andremo quindi a terminare tutte le cifre disponibili scrivendo 29.
A questo punto dobbiamo quindi lavorare con il numero 329. Anche questo lo separiamo in “coppie” di cifre, questa volta partendo da sinistra.
Ora, sotto la prima cifra del risultato finale, ottenuta precedentemente, scriviamo il numero $2\cdot 2$ (ovvero il doppio della cifra che avevamo ottenuto).
La domanda che dobbiamo porci ora è la seguente: Quante volte ci sta il 4 ($2\cdot 2$) nel 32 (prima coppia del numero che abbiamo ottenuto a sinistra)?
Scriviamo quindi il risultato, 8, a fianco del 4 ($2\cdot 2$). Ottenendo quindi 48. Questo numero andiamo poi a moltiplicarlo sempre per l’8, il numero di volte che il 4 ci sta nel 32. Calcoliamo ora $48\cdot 8=384$. Purtroppo questo risultato è maggiore del 329, provo quindi riducendo di un’unità la prima cifra da destra di entrambi i fattori, calcolando quindi $47\cdot 7=329$.
Dovremmo continuare con questo tipo di riduzione fino a che il numero ottenuto non risulterà minore o uguale a 329.
Ora non ci resta che calcolare la differenza tra 329 (ottenuto a destra eseguendo la moltiplicazione) e 329 (ottenuto a sinistra dopo una differenza ed un abbassamento del numero 29) e scriviamo il risultato in una nuova riga.
Questo rappresenterà il resto delle nostra radice quadrata approssimata alle unità. Essendo il resto 0, possiamo concludere che il nostro numero $n$ è un quadrato perfetto.
Ora trascriviamo il 7 (la cifra che ci ha permesso di ottenere un numero $\leq 329$ poco fa) a fianco del 2, ottenendo quindi 27.
Ecco quindi terminato l’algoritmo.
Come potremmo proseguire l’algoritmo se al posto del 729 mettessimo un altro numero che non sia un quadrato perfetto? Per esempio come approssimo $\sqrt{731}$?
Nessun problema, quest’algoritmo è applicabile per qualsiasi numero. Possiamo infatti decidere quante volte iterare (ripetere) la procedura in relazione al numero di cifre del numero di cui vuoi trovare la radice, ma anche con che precisione trovare la tua radice.
Infatti se ci troviamo di fronte ad un resto diverso da 0, una volta abbassate tutte le cifre, ci basterà aggiungere tante coppie di zeri a fianco del numero iniziale quante sono le cifre che desideriamo dopo la virgola nel nostro risultato.
Se per esempio volessimo trovare una radice precisa fino ai decimi, ci basterà scrivere una coppia di zeri a fianco del 731, continuando quindi l’lgoritmo per un’ulteriore iterazione, chiaramente ricordandoci di aggiungere la virgola dopo la seconda cifra “scoperta” del risultato.
Detto ciò ti saluto, spero che questa discussione sul paradosso di Monty Hall ti sia piaciuta!
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Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere fra tre porte: dietro una di esse c’è un’automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un’altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: “Vorresti scegliere la numero 2?” Cambieresti la tua scelta originale?
Questo paradosso nasce da un famoso gioco televisivo condotto appunto da Monty Hall. Ad un primo impatto, te cosa faresti? Cambieresti la tua porta o la terresti?
Ragionando intuitivamente e lasciando la matematica per dopo, secondo me è ragionevole decidere di tenere la scenta. Infatti, sapendo che il conduttore conosce dove si nasconda la macchina, è probabile che mi proponga un cambio porta soltanto quando riconosce che ho scelto la porta corretta. Ragionando quindi sulla psicologia inversa, io come penso molti altri, sceglierei di non cambiare la mia scelta.
La probabilità tuttavia dimostra che la mia scelta, da un punto di vista statistico, è errata.
Inizialmente infatti la probabilità di scegliere la porta che nasconde la macchina è di $\frac{1}{3}$. Quella di scegliere una capra è invece $\frac{2}{3}$. Ora, quando il conduttore apre una porta che nasconde una capra, le probabilità cambiano.
Analizziamo quindi i due casi:
cambio la porta,
non cambio la porta.
Nel primo caso, la probabilità che la mia porta nasconda una macchina rimane quella iniziale, anche dopo che la terza porta verrà aperta. Pertanto la probabilità che ho di vincere un’auto è del 33%.
Supponiamo di optare invece per il secondo caso. Se per “sfortuna” tu hai scelto fin da subito la porta con l’auto (33%) e cambiassi porta, ovviamente vinceresti una capra. Questo evento avrà quindi il 33% di probabilità di verificarsi. Mentre, se la tua prima scelta ti portasse ad una porta con una capra, ovviamente cambiando porta vinceresti un auto. Quindi la probabilità di vincere un auto è uguale a quella di scegliere una capra all’inizio, ovvero del 66%.
La matematica quindi ci aiuta a rispondere in maniera meno spontanea ma più corretta. Infatti, dopo questi ragionamenti, arriviamo a concludere che sia più conveniente cambiare porta quando ci viene richiesto.
Detto ciò ti saluto, spero che questa discussione sul paradosso di Monty Hall ti sia piaciuta!
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