Archivi autore: Davide Murari

Algoritmo calcolo radice quadrata

La radice quadrata, è un’operazione che impariamo a fare in vari contesti già dalle scuole medie. Per esempio, ci viene insegnato che in un triangolo rettangolo vale $i = \sqrt{c_1^2+c_2^2}$, dove $i,c_1,c_2$ sono ipotenusa e i due cateti di un triangolo rettangolo.

Spesso però non ci si pone la domanda: è possibile calcolare in maniera “abbastanza accurata” la radice quadrata di un numero con carta e penna?

Per presentare un possibile algoritmo per calcolarla, lavoriamo per tutto l’articolo su un esempio 729. Ci tengo a precisare che l’algoritmo che andremo ad esplorare, non è l’unico possibile. Infatti trovare la radice quadrata di un numero $n$ significa risolvere, seppur in maniera approssimata, l’equazione quadratica $x^2-n=0$ e la risoluzione di questo problema può essere ottenuta con davvero molti algoritmi. Se ti interessa vederne uno alternativo, ho fatto un video dedicato che trovi qui:

Torniamo però al nostro esempio, dove $n=729$. Questo numero non l’ho scelto proprio casualmente, infatti è il quadrato di 27. Questo sarà quindi il valore che ci aspetteremo di trovare una volta applicato correttamente l’algoritmo.

Bene, iniziamo!

L’algoritmo è particolarmente “visivo”, per cui ti consiglio di prendere carta e penna e seguire step by step i passaggi che vedremo.

Innanzitutto, partendo da destra, mettiamo un puntino (separatore) ogni due cifre. Ho scelto apposta un caso in cui le cifre sono dispari, così da vedere il caso meno ovvio (tra gli esempi di media difficoltà) che potrebbe capitare.

Rimarrà quindi una cifra spaiata, nel nostro caso il 7.

Ora pensiamo al più grande numero che elevato al quadrato sia minore o uguale al numero rappresentato dal primo blocco di cifre (da sinistra). Nel nostro caso la prima “coppia” è 7, quindi il numero da noi ricercato è il 2.

Siamo quindi pronti a costruire il risultato finale. Possiamo infatti scriver la cifra 2 alla sinistra del risultato, come prima cifra.

Per semplificarci la vita, possiamo usare una schematizzazione simile a quella usata per la divisione. 

Ora scriviamo il quadrato di 2 sotto il 7, e scriveremo poi la differenza tra i due (7-4) sotto il 4.

Copiamo ora la seconda coppia di cifre in fianco al precedente risultato (il 4). Nel nostro caso andremo quindi a terminare tutte le cifre disponibili scrivendo 29.

A questo punto dobbiamo quindi lavorare con il numero 329. Anche questo lo separiamo in “coppie” di cifre, questa volta partendo da sinistra.

Ora, sotto la prima cifra del risultato finale, ottenuta precedentemente, scriviamo il numero $2\cdot 2$ (ovvero il doppio della cifra che avevamo ottenuto).

La domanda che dobbiamo porci ora è la seguente: Quante volte ci sta il 4 ($2\cdot 2$) nel 32 (prima coppia del numero che abbiamo ottenuto a sinistra)?

Scriviamo quindi il risultato, 8, a fianco del 4 ($2\cdot 2$). Ottenendo quindi 48. Questo numero andiamo poi a moltiplicarlo sempre per l’8, il numero di volte che il 4 ci sta nel 32. Calcoliamo ora $48\cdot 8=384$. Purtroppo questo risultato è maggiore del 329, provo quindi riducendo di un’unità la prima cifra da destra di entrambi i fattori, calcolando quindi $47\cdot 7=329$.

Dovremmo continuare con questo tipo di riduzione fino a che il numero ottenuto non risulterà minore o uguale a 329.

Ora non ci resta che calcolare la differenza tra 329 (ottenuto a destra eseguendo la moltiplicazione) e 329 (ottenuto a sinistra dopo una differenza ed un abbassamento del numero 29) e scriviamo il risultato in una nuova riga.

Questo rappresenterà il resto delle nostra radice quadrata approssimata alle unità. Essendo il resto 0, possiamo concludere che il nostro numero $n$ è un quadrato perfetto.

Ora trascriviamo il 7 (la cifra che ci ha permesso di ottenere un numero $\leq 329$ poco fa) a fianco del 2, ottenendo quindi 27.

Ecco quindi terminato l’algoritmo.

Come potremmo proseguire l’algoritmo se al posto del 729 mettessimo un altro numero che non sia un quadrato perfetto? Per esempio come approssimo $\sqrt{731}$?

Nessun problema, quest’algoritmo è applicabile per qualsiasi numero. Possiamo infatti decidere quante volte iterare (ripetere) la procedura in relazione al numero di cifre del numero di cui vuoi trovare la radice, ma anche con che precisione trovare la tua radice.

Infatti se ci troviamo di fronte ad un resto diverso da 0, una volta abbassate tutte le cifre, ci basterà aggiungere tante coppie di zeri a fianco del numero iniziale quante sono le cifre che desideriamo dopo la virgola nel nostro risultato.

Se per esempio volessimo trovare una radice precisa fino ai decimi, ci basterà scrivere una coppia di zeri a fianco del 731, continuando quindi l’lgoritmo per un’ulteriore iterazione, chiaramente ricordandoci di aggiungere la virgola dopo la seconda cifra “scoperta” del risultato.

Detto ciò ti saluto, spero che questa discussione sul paradosso di Monty Hall ti sia piaciuta!

Se ti interessano altri articoli, ti consiglio di dare un’occhiata al blog.

Se preferisci invece i video agli articoli, qui trovi il mio canale Youtube con parecchi video: http://youtube.com/mathone-video

Alla prossima!

Davide 

Il paradosso di Monty Hall

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere fra tre porte: dietro una di esse c’è un’automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un’altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: “Vorresti scegliere la numero 2?” Cambieresti la tua scelta originale?

Questo paradosso nasce da un famoso gioco televisivo condotto appunto da Monty Hall. Ad un primo impatto, te cosa faresti? Cambieresti la tua porta o la terresti?

Ragionando intuitivamente e lasciando la matematica per dopo, secondo me è ragionevole decidere di tenere la scenta. Infatti, sapendo che il conduttore conosce dove si nasconda la macchina, è probabile che mi proponga un cambio porta soltanto quando riconosce che ho scelto la porta corretta. Ragionando quindi sulla psicologia inversa, io come penso molti altri, sceglierei di non cambiare la mia scelta.

La probabilità tuttavia dimostra che la mia scelta, da un punto di vista statistico, è errata.

Inizialmente infatti la probabilità di scegliere la porta che nasconde la macchina è di $\frac{1}{3}$. Quella di scegliere una capra è invece $\frac{2}{3}$. Ora, quando il conduttore apre una porta che nasconde una capra, le probabilità cambiano.

Analizziamo quindi i due casi:

  1. cambio la porta,
  2. non cambio la porta.

Nel primo caso, la probabilità che la mia porta nasconda una macchina rimane quella iniziale, anche dopo che la terza porta verrà aperta. Pertanto la probabilità che ho di vincere un’auto è del 33%.

Supponiamo di optare invece per il secondo caso. Se per “sfortuna” tu hai scelto fin da subito la porta con l’auto (33%) e cambiassi porta, ovviamente vinceresti una capra. Questo evento avrà quindi il 33% di probabilità di verificarsi. Mentre, se la tua prima scelta ti portasse ad una porta con una capra, ovviamente cambiando porta vinceresti un auto. Quindi la probabilità di vincere un auto è uguale a quella di scegliere una capra all’inizio, ovvero del 66%.

La matematica quindi ci aiuta a rispondere in maniera meno spontanea ma più corretta. Infatti, dopo questi ragionamenti, arriviamo a concludere che sia più conveniente cambiare porta quando ci viene richiesto.

Detto ciò ti saluto, spero che questa discussione sul paradosso di Monty Hall ti sia piaciuta!

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Alla prossima!

Davide 🙂