Archivi autore: Davide Murari

Devo essere un genio per studiare matematica?

Beh, chiaramente deve essere un genio!

Ciao. Eccoci con un nuovo articolo. Oggi andremo a rispondere ad una domanda che mi è stata fatta parecchie volte e che ho trovato anche molto richiesta su Quora e altri siti.

La domanda è: “Per studiare matematica, devo essere un genio? Devo essere dotato in maniera innata? Devo essere nato con un quoziente intellettivo parecchio elevato? Oppure chiunque sostanzialmente può andare a studiarla?”.

Intanto, prima di proseguire la lettura, ti ricordo che se preferisci guardare video al leggere articoli, qui trovi la versione video dei contenuti che ho poi trascritto qui sotto :

Beh, l’affermazione con cui ho aperto l’articolo era abbastanza una provocazione chiaramente. Infatti, per quanto mi riguarda, per esperienza personale e per i miei amici che ho conosciuto nei 5 anni di università, non è necessario essere un genio per studiare matematica.

Le tre cose più importanti, per me, sono

  • la determinazione,
  • la passione e
  • l’interesse nel portare avanti questi studi.

E’ innegabile, chiaramente, che esistono persone dotate naturalmente, persone che arrivano prima alla soluzione dei problemi, persone che comprendono prima i risultati matematici della gran parte degli altri. Ovviamente loro sono avvantaggiati nel percorso universitario in matematica.

Però, andiamo un po’ a vedere qual è la definizione classica che puoi trovare su un qualunque dizionario del termine genio.

Solitamente si definisce genio una persona con una spiccata intelligenza, dove questa intelligenza che lo contraddistingue dagli altri, dalla massa, è un qualcosa di innato.

Ovviamente quindi, una persona che abbia questa dote naturale è avvantaggiata nella possibile carriera in quanto matematico o matematica e, in particolare, in quanto studente di questa disciplina.

Tuttavia, secondo me, questo non impedisce agli altri, con lo studio, il dovuto tempo e la fatica, di arrivare ad ottimi risultati. Funziona un po’ come negli sport, dove le capacità innate aiutano ma non sono tutto. Se uno è particolarmente dotato in termini fisici e di talento naturale nel giocare a basket, per esempio, è chiaro che abbia una marcia in più rispetto ad un ragazzo minuto e basetto.

E’ anche chiaro che, in termini probabilistici, questo abbia maggiori possibilità di arrivare in NBA rispetto alla seconda persona.

Però, se questo ragazzo dotato di natura non ci mette impegno, non ci mette dedizione e costanza andandosi ad allenare, andando alle partite e mettendoci la testa, difficilmente arriverà a competere con i grandi del basket.

Cosa diversa invece è se andiamo a vedere quale potrebbe essere la carriera dell’altro ragazzo, quello più minuto. Lui, magari, è molto appassionato, la natura non è dalla sua parte però è determinato, si allena costantemente, continua a migliorare giorno dopo giorno e, soprattutto, punta sul gioco di squadra. Ovvero, fa sue delle capacità che vanno a colmare le lacune che la natura purtroppo gli ha dato..

In parole povere, questo secondo ragazzo non si rassegna al fatto che ci sia qualcuno che è più forte di lui. Invece, continua a lavorare e, magari, un giorno può diventare un ottimo giocatore di serie B o magari anche in serie A .

Insomma, secondo me la cosa importante nello sport come nello studio della matematica, è il voler capire le cose, il voler capire come risolvere un problema e quindi l’essere determinati e costanti nello studio.

Ovviamente il parallelo che ho fatto con lo sport vale in modo limitato, è solo per dare un’idea. E’ evidente che la competizione sportiva non abbia alcun legame nella matematica, dato che il successo di una persona nel risolvere un problema non implica in nessun modo la sconfitta degli altri 😉 . Comunque, penso possa essere sufficientemente esplicativo.

Dai discorsi che ho fatto qui sopra, probabilmente capirai che io non ritengo un motivo valido per rinunciare all’iscrizione all’università di matematica la frase “ma io non vado bene in matematica alle superiori”.

Infatti, se comunque il tuo interesse verso la matematica è forte (intendo verso la matematica, non verso il saper fare i conti correttamente 😉 ), allora secondo me hai tutte le carte in regola per iscriverti e studiare matematica.

Questo era un breve articoletto in cui ho condiviso la mia idea riguardo questo tema. Mi farebbe ovviamente piacere leggere qui sotto nei commenti cosa ne pensi, o se hai qualsiasi suggerimento per nuovi video/articoli.

Con ciò ti saluto e ci leggiamo alla prossima, ciao!

principio del terzo escluso – Cos’e’ e qualche esempio

Ciao. Eccoci con un nuovo articolo. Oggi andremo a continuare la lista di terminologie matematiche spiegate brevemente. In questa sequenza di articoli/video ho previsto contenuti un po’ enciclopedici, in cui cerco di prendere quei termini/concetti che all’università vengono dati per scontati (e magari ti fai anche dei problemi a porre delle domande a riguardo perché pensi siano stupide).

Prima di proseguire, se preferisci guardare video alla lettura, qui trovi il video:

Oggi andremo a vedere che cosa si intende per principio del terzo escluso.Questo è un risultato molto semplice da capire. E’ un principio che è abbracciato in maniera molto aperta da gran parte dei rami della matematica. Vedremo poi però che ci sono anche dei matematici che non lo approvano, che non prendono in considerazione questo principio e sono chiamati matematici costruttivisti.

Il principio del terzo escluso si basa su un’idea molto semplice, o meglio evidenzia un’idea molto semplice: una proposizione matematica può essere o vera o falsa, non può esserci una terza possibilità.

Per esempio, quando sei davanti ad un numero naturale e affermi che è pari, ci sono solo 2 possibilità: hai ragione o hai torto. Infatti un numero naturale o è pari o non lo è, e in tal caso lo chiamiamo dispari. Però non può esserci una terza possibilità, ed ecco perché parliamo di “escludere il terzo”.

Questo è anche il principio che regola fondamentalmente la dimostrazione per assurdo. Infatti l’idea alla base di questa tecnica dimostrativa è di partire da un’assunzione (che solitamente è l’opposto di quello che vogliamo dimostrare) e poi, tramite dei ragionamenti logici e coerenti, arrivare ad una contraddizione.

Da ciò, possiamo dedurre che siccome partendo dall’assunzione di partenza, siamo arrivati ad una contraddizione, allora questa è errata. A questo punto entra a gamba tesa il principio del terzo escluso. Infatti, siccome non c’è alcuna possibilità oltre al fatto che un’assunzione sia errata o corretta, questa contraddizione vuol dire che abbiamo mostrato la validità della tesi.

Occhio però! Abbiamo mostrato la tesi non in modo costruttivo, ma l’abbiamo fatto escludendo l’altro caso possibile. Ecco dove arrivano i matematici costruttivisti, che si rifiutano di accettare risultati mostrati in questo modo e, più in generale, decidono di rinunciare completamente al principio del terzo escluso.

I matematici costruttivisti, vogliono mostrare tutti i risultati in modo costruttivo, ovvero concretamente partire dalle ipotesi e, logicamente, arrivare alla tesi.Detto ciò, magari non hai mai sentito parlare di questo principio, ma probabilmente avrai già utilizzato, magari senza accorgertene, tutti questi concetti di cui abbiamo parlato. Perché? Perché semplicemente è un principio molto ragionevole.

Noi infatti siamo abituati a dare per scontato che un concetto matematico sia o vero o falso. Chiaramente, nel mondo reale, nei problemi della vita concreta, ci sono delle verità opinabili, ci sono delle situazioni dove non c’è solo l’attributo di verità o falsità, e ci sono cose discutibili.

Però in questi casi si parla di “problemi” del linguaggio comune o di situazioni legate alle opinioni, ovvero tutte cose che in matematica non sono ben viste e presenti.

Con ciò spero di aver chiarito il principio del terzo escluso. Ti ricordo poi che se hai altri termini/concetti che ti interesserebbe che trattassi, puoi lasciare tranquillamente un commento qui sotto e proverò a trattarlo in altri video/articoli.

Con ciò ti saluto, e ci leggiamo al prossimo articolo 😉

Davide

Modello matematico: cos’e’ e a cosa serve?

Questo articolo è molto importante in quanto, visti un po’ i miei interessi, mi dedicherò particolarmente al mondo della matematica applicata e in questo settore il concetto di modello matematico è fondamentale.

Se alla lettura preferisci la visione di un video, puoi guardare la versione video di questo articolo qui:

In futuro probabilmente andremo ad analizzare qualche modello in particolare, come per esempio modelli per la diffusione di epidemie, per il trasporto del calore, per l’andamento del traffico o quant’altro… Quindi questa introduzione sarà fondamentale.

Cos’è un modello matematico?

Infatti, nelle scienze applicate e nel mondo fisico, i modelli matematici vengono utilizzati quotidianamente, soprattutto per dare una formalizzazione a quello che succede nella realtà e poter poi avere degli strumenti per capire cosa sta succedendo, cosa potrebbe succedere e perché.

Infatti, per modello matematico, intendiamo un insieme di relazioni e/o leggi matematiche in grado di catturare gran parte delle caratteristiche di un fenomeno e permetterci poi quindi di controllarne lo sviluppo, il cambiamento, l’andamento e poter trarre informazioni utili riguardo esso.

Da ciò segue naturalmente che il modello e la struttura matematica che si va a costruire è fondamentale che sia rilevante e coerente con il mondo fisico e l’applicazione a cui andiamo a riferirci.

Questo è un approccio molto diverso rispetto a quello tipico della matematica pura. Per esempio, nella congettura di Goldbach questo legame tra applicabilità del risultato e importanza dello stesso non è necessario da un punto di vista matematico. Se non sai cosa sia la congettura di Goldbach ecco un video in cui te la introduco:

Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe, e finché sono certe, non si riferiscono alla realtà.

(Albert Einstein)

È importante specificare inoltre, che quando parliamo di scienze applicate non stiamo solo andandoci a riferire a quelle classiche, quelle a cui riusciamo a pensare più naturalmente in quanto legate alla matematica (come per esempio la fisica o la chimica), ma facciamo riferimento a molte altre scienze complesse tra le quali ricadono la medicina, la finanza, la biologia, l’ecologia e varie altre.

Proprietà ed elementi fondamentali dei modelli matematici

La modellazione matematica intesa come

  • costruzione di un modello matematico, a cui segue poi
  • una fase di analisi e implementazione numerica e
  • un confronto dei risultati ottenuti con la realtà )quindi tramite via sperimentale),

è ormai all’ordine del giorno. Precisamente, questi modelli matematici ormai si è capito che sono davvero fondamentali e ci permetteranno di capire fenomeni complessi in maniera più rigorosa, così da poter quindi prevedere i possibili esiti degli stessi.

Sostanzialmente, l’origine di un modello matematico può essere ridotta a due elementi fondamentali: il primo sono delle leggi generali, il secondo sono delle relazioni costitutive.

Quindi vediamo che cosa sono questi due mattoni della costruzione di un modello matematico. Partiamo dalle leggi generali. Queste sono di natura abbastanza teorica, quindi possono essere per esempio le leggi della meccanica e i principi di conservazione dell’energia o del momento angolare. Esse sono quindi delle relazioni fisiche oppure delle leggi di bilanciamento chimiche e quant’altro. L’importanza di queste leggi è che non sono specifiche del singolo modello, ma possono descrivere vari fenomeni.

Per quanto riguarda invece le relazioni costitutive, abbiamo qualcosa di carattere più sperimentale. Infatti, in questo caso si vanno per esempio a utilizzare delle peculiarità del fenomeno in analisi. Tramite via sperimentale, si vanno a introdurre delle particolari costanti, oppure si va a modellizzare una particolare funzione in conseguenza a qualche risultato ottenuto sul campo. Questo secondo mattone quindi è un qualcosa di strettamente legato al modello e non generalizzabile, differentemente per esempio dalle leggi della meccanica che valgono per vari fenomeni, varie applicazioni.

Alcuni esempi di leggi costitutive sono la legge di Fourier per il flusso di calore oppure ci sono molte altre leggi che ci permettono di decidere, per esempio, che forma dare a un flusso numerico oppure a un flusso in generale. Queste scelte le faremo chiaramente in base a quello che stiamo analizzando.

Il risultato della combinazione di questi due mattoni fondamentali di un modello matematico è solitamente descrivibile in forma sintetica tramite un’equazione o un sistema di equazioni, spesso differenziali alle derivate parziali.

Questa struttura complessa non è necessaria in ogni circostanza. Può benissimo esserci qualche modello, comunque interessante e utile per certi fenomeni, che non coinvolge nemmeno equazioni differenziali. Magari vedremo qualcosa riguardo questo tema.

Comunque spesso i modelli che si vanno a costruire per analizzare situazioni che evolvono nel tempo (o nello spazio), coinvolgono equazioni alle derivate parziali e in questo ambito ti consiglio (nel caso tu sia interessato a questi temi) di guardarti questo libro: Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni. Questo libro si concentra soprattutto sulla costruzione dei modelli e fornisce anche molti strumenti per analizzare questi modelli, vederne le proprietà e magari risolvere (nel caso sia possibile) anche le equazioni alle derivate parziali sottostanti. La risoluzione di queste equazioni non è sempre possibile e magari questo sarà argomento di altri video o articoli (un argomento legato a questo sono gli spazi di Hilbert, se ti interessa puoi capire di cosa si parla in questo articolo https://www.mathone.it/spazio-hilbert/).

Esiste un solo modello per ogni fenomeno?

Un’altra cosa importante da evidenziare, è che nel momento in cui andiamo a interessarci a un fenomeno legato a una delle scienze complesse, è quasi certo che il modello che possiamo andare a costruire non sia unico. È quindi importante chiedersi se il modello che andiamo a costruire vada bene o meno e bisogna essere in grado di capire se questo modello possa funzionare o meno.

Ecco che dobbiamo introdurre il concetto di problema ben posto:

Di modelli ce ne sono un’infinità, alcuni sono di semplice comprensione e interpretazione…altri non lo sono. C’è sempre margine per complicare le cose anche se è importante evidenziare il fatto che non è detto che un modello più complicato di un altro sia in grado di spiegare meglio un certo fenomeno. Spesso la sintesi è una grande qualità di un modello a volte. Non è infatti raro che sia premiata la disponibilità a sacrificare la capacità di prevedere un fenomeno a favore di rendere il modello un po’ più semplice. Il perché dietro a questo fatto è che, grazie a questa scelta, magari possiamo abbassare i tempi di calcolo o i costi computazionali per poter elaborare le informazioni. Da ciò segue che potremmo riuscire a trovare delle informazioni utili su una situazione concreta in tempi ragionevoli. La velocità può essere davvero utile.

Per esempio, nel campo dello studio delle epidemie, la velocità e la capacità di prevedere in fretta dove potrebbe diffondersi un’epidemia, oppure le tempistiche con cui intervenire con un certo farmaco a volte possono premiare più dell’avere una descrizione estremamente accurata e dettagliata della realtà. Chiudiamo quindi notando che spesso è utile ponderare precisione con velocità di elaborazione.

Se ti interessa vedere un modello per l’analisi delle epidemie, il modello SIR, davvero snello ma comunque efficace per descrivere il numero di infetti di un’epidemia, ti consiglio di guardare questo mio video:

Sistemi dinamici integrabili : cosa sono e alcuni esempi introduttivi

Cos’è un sistema integrabile? Ci sono esempi semplici di sistemi integrabili? In questo articolo cercheremo di capire il concetto di integrabilità di un sistema dinamico, partendo da degli esempi e derivando quindi qualche risultato più generale.

Introduzione al concetto di integrabilità

In un vecchio articolo sul sito abbiamo parlato di cosa sia un integrale primo ed un sistema dinamico (se vuoi lo trovi qui https://www.mathone.it/integrale-primo/ ), oggi invece andremo a scoprire quando un sistema sia integrabile.

Cosa si può intuire dal termine “integrabile”? Supponiamo di partire da una semplice equazione differenziale : $x'(t) = 6x(t)$. Secondo te questa è integrabile?

Beh, intuitivamente sì, nel senso che possiamo integrarla, ovvero possiamo calcolarne la soluzione in forma chiusa. Infatti la funzione $x(t) = x(0)e^{6t}$ risolve l’equazione, per cui siamo riusciti ad integrare l’equazione.

Bene, questo era un esempio semplice potresti dire, ma come possiamo capire se un sistema più complicato sia o meno integrabile? Cosa vuol dire che esso è integrabile?

Intanto definiamo più rigorosamente un generico sistema dinamico, seguendo però un approccio geometrico, ovvero parlando di campi vettoriali invece che di sistemi di equazioni differenziali. Riguardo la distinzione tra questi due punti di vista puoi vedere un video che ho fatto qui sotto:

Definiamo quindi un campo vettoriale $X:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ che sia di classe $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$, così che valga il teorema di esistenza e unicità. Il sistema di equazioni differenziali associato è $$\dot{x}(t)=X(x(t)).$$

Tale sistema si dice integrabile se si può trovare una funzione $x=x(t)$, tramite una sequenza di operazioni algebriche e integrazioni, che risolva il sistema di equazioni differenziali qui sopra presentato.

Bene, una volta introdotto questo concetto però è interessante scoprire se ci sono dei risultati, delle ipotesi, che ci garantiscano l’integrabilità del sistema senza integrarlo direttamente.

Infatti, immagino tu ci abbia fatto caso, la semplice equazione $x’=6x$ l’abbiamo definita integrabile perchè l’abbiamo esplicitamente risolta, ovvero integrata.

Ma la domanda importante è: esistono delle ipotesi che quando soddisfatte da un sistema ci permettono di definirlo integrabile?

Ci tengo ad evidenziare un parallelismo con le equazioni algebriche e la loro risolubilità. La teoria della risolubilità in quel caso fa riferimento ai gruppi di Galois e non andremo certo ad approfondirla, visto che non so praticamente nulla a riguardo. Però se tu avessi dimestichezza con quegli argomenti, sappi che c’è uno stretto legame almeno in termini di approccio ed intuizioni tra queste due aree della mateamatica.

Prima di vedere il più semplice risultato di questo tipo (la teoria dell’integrabilità è molto ampia e richiede buone basi teoriche nel campo della geometria differenziale e teoria dei sistemi dinamici), è importante fare una precisazione.

L’integrabilità di un sistema dinamico ( o di un campo vettoriale più in generale ), è strettamente legata alla presenza di quantità/oggetti invarianti per il sistema. Per esempio in questo campo diventano molto importanti insiemi invarianti, misure invarianti, integrali primi o simmetrie dinamiche (campi vettoriali invarianti).

Se ti interessa capire cosa sia un integrale primo, qui ho fatto un video in cui introduco questo concetto:

Integrabilità algebrica: teorema di integrabilità di Lie

Supponiamo di avere ancora un generico campo vettoriale $X=X(x_1,…,x_n)$ che sia sufficientemente regolare, per esempio $\mathcal{C}^1$. Supponiamo inoltre che esso ammetta $(n-1)$ integrali primi che siano funzionalmente indipendenti.

Prima di tutti specifichiamo cosa si intenda con quest’ultima frase. Vuol dire che ci sono $(n-1)$ funzioni $f_1,…,f_{n-1}:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ che soddisfano le due seguenti proprietà:

  • $\mathcal{L}_Xf_i = \nabla f_i \cdot X = 0 ,\;\forall i=1,…,n-1,$

  • $\nabla f_i \text{ e }\nabla f_j \text{ non sono paralleli per ogni }i\neq j.$

Allora se ciò è vero, possiamo integrare il sistema. Nel caso ci sia un integrale primo, come spiego nel video, abbiamo che gli insiemi di livello di ognuna di queste funzioni è invariante. Inoltre essendo che i gradienti di queste funzioni non sono paralleli, ovvero non sono linearmente dipendenti, ciò vuol dire che gli insiemi di livello di questi integrali primi sono tutti diversi.

Quest’ultimo fatto è dovuto alla proprietà geometrica del gradiente di essere localmente ortogonale agli insiemi di livello di $f$, per esempio se $f(x,y)=x^2+y^2$, il gradiente è $\nabla f (x,y) = [2x,2y]^T$ che, come puoi vedere nel grafico qui sotto, è localmente ortogonale alle circonferenze che definiscono gli insiemi di livello di $f$.

Cosa vuol dire nel concreto questo? Vuol dire che se fissiamo un punto iniziale da cui lasciare evolvere la dinamica, $y_0\in\mathbb{R}^n$, sappiamo che per ogni $i=1,…,n-1$, la dinamica evolverà per ogni tempo $t$ nell’insieme di livello dove vive $y_0$ di $f_i$.

Quindi supponiamo che $f_i(y_0)=c_i\in\mathbb{R}$ per ogni $i=1,…,n-1$. Allora abbiamo che l’orbita del punto $y_0$ rispetto al campo vettoriale $X$, ovvero l’insieme

$$orb(y_0) = \{\Phi_t(y_0):\,t\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^n$$

è contenuto nell’insieme di livello $\{x\in\mathbb{R}^n : f_i(x)=c_i\}$ per ogni $i=1,…,n-1$. Di conseguenza esso apparterrà all’insieme di livello della funzione vettoriale

$$ F : \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^{n-1} ,\quad F(x):=(f_1(x),…,f_{n-1}(x))$$

associato al punto $\boldsymbol{c}=(c_1,…,c_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1}$. Essendo gli integrali primi indipendenti, questa è una funzione suriettiva e l’insieme di livello $\{x\in\mathbb{R}^n: \,F(x)=\boldsymbol{c}\}$ è di dimensione 1, ed è invariante rispetto alla dinamica. Di conseguenza sappiamo che le orbite sono contenute in questi sottoinsiemi invarianti.

In più si vede facilmente che il sistema può essere integrato esplicitamente, questo è anche chiamato teorema di integrabilità di Lie.

Giusto per essere chiari, il fatto che sia integrabile esplicitamente non vuol dire che non rimarranno integrali da calcolare nell’espressione finale, vuol dire che a meno di essere in grado di calcolare quegli integrali, abbiamo un’espressione esplicita. Spesso infatti si incontrano i cosiddetti integrali ellittici che non sono risolvibili, ma ciò non è un problema o almeno non è un ostacolo verso la definizione di integrabilità.

Per accertarci della possibilità di integrare il sistema e trovarne l’integrale generale in forma chiusa, senza perderci in formalismi eccessivi, supponiamo di definire $n-1$ variabili come segue: $y_1=f_1$, …., $y_{n-1}=f_{n-1}$. Prendiamo poi una $n-$esima variabile da esse indipendente (questa esiste visto che abbiamo uno spazio di dimensione $n$: $\mathbb{R}^n$), chiamiamola $y_n$.

Allora siccome, per quanto abbiamo visto prima riguardo gli integrali primi, gli insiemi di livello di queste funzioni sono invarianti, esiste una funzione $g:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ tale che il sistema può essere riscritto, nelle nuove coordinate $\boldsymbol{y}$ come segue:

$$ \dot{y}_1 = 0 $$

$$ …. $$

$$ \dot{y}_{n-1} = 0 $$

$$ \dot{y}_n = g(y_1,…,y_n) $$

dove l’ultima equazione può essere integrata e possiamo quindi risolvere in forma chiusa il sistema.

Proviamo a ragionare più nel dettaglio su questa nuova formulazione del sistema. Quello che abbiamo fatto è trasformare il campo vettoriale di partenza, che era nelle coordinate $\boldsymbol{x}=(x_1,…,x_n)$, nelle nuove coordinate $\boldsymbol{y}=(y_1,…,y_n)$ che non sono prese a caso ma sono “speciali”. Per precisazione, questa operazione si dice coniugazione topologica del campo vettoriale.

Detto ciò, come possiamo sfruttare queste coordinate? Beh, vediamo facilmente che le prime $(n-1)$ equazioni sono integrabili e restituiscono $y_i=c_i$ con $i=1,…,n-1$. Da ciò segue che non resta che risolvere l’ultima equazione differenziale:

$$ \frac{dy_n}{dt}(t) = g(c_1,…,c_{n-1},y_n) = \tilde{g}_{\boldsymbol{c}}(y_n(t)), $$

che ci permette di ricavare $y_n(t)$, a meno di risolvere integrali.

Conclusione

La teoria dell’integrabilità è un campo molto interessante sia nel caso di campi vettoriali su spazi vettoriali (o varietà) di dimensione finita che infinita (nel caso della teoria quantistica per esempio). I risultati però si fanno parecchio complicati e quindi ho preferito concentrarmi solo su uno tra i risultati più intuitivi, ovvero il teorema di Lie.

Un altro famoso e classico risultato invece riguarda i sistemi Hamiltoniani, esso è il teorema di Liouville-Arnol’d e, nel caso le sue assunzioni siano soddisfatte da un sistema Hamiltoniano, esso ci porta a definire completamente integrabile tale sistema.

Magari su questo risultato possiamo soffermarci in un articolo più avanti, dopo averne dedicato uno all’introduzione dei campi vettoriali Hamiltoniani, così da definire un po’ di contesto.

Per questo articolo direi che possiamo concludere, se hai qualche domanda o suggerimento lascia pure un commento qui sotto, appena posso ti risponderò 🙂

Spazi di hilbert parte 2

Nel precedente articolo (che puoi leggere qui https://www.mathone.it/spazio-hilbert/) abbiamo introdotto il concetto di spazio di Hilbert da un punto di vista storico e abbiamo definito gli strumenti base che ci serviranno ora per fare un passo oltre, introducendo effettivamente da un punto di vista matematico cosa sia uno spazio di Hilbert.

Progettando un po’ l’articolo ho realizzato che diventerebbe troppo pesante e lungo se oltre alla definizione e alle prime proprietà andassimo a parlare di importanti teoremi in questo settore, per cui dedicheremo un’ultima puntata della “rubrica” a quei risultati.

Cos’è uno spazio vettoriale di dimensione infinita?

Nel precedente articolo abbiamo visto cos’è uno spazio vettoriale. Però ci siamo limitati a parlare del caso finito dimensionale. Tuttavia per parlare di spazi di Hilbert nella loro completezza dobbiamo lavorare su spazi a dimensione infinita.

Se non hai mai visto un corso di analisi funzionale o ragionato su questi spazi in precedenza, probabilmente ti è sorta una domanda: “Qual è l’esempio di uno spazio matematico che mi capita di usare ed abbia dimensione infinita?”.

Eccoti quindi accontentato, vediamo subito un esempio che poi prenderemo come esempio di riferimento nella costruzione di spazio di Hilbert che porteremo avanti nel corso dell’articolo.

Probabilmente hai già sentito parlare di funzioni reali ad una variabile continue giusto? Se non ti è ancora capitato per il momento ti consiglio di prendere questa definizione un po’ grossolana : “Una funzione $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ è continua se possiamo tracciarne il grafico senza staccare la penna dal foglio, ovvero il grafico è una curva senza salti”.

Ottimo, ma cosa centrano queste funzioni con gli spazi di Hilbert? In realtà poco infatti vedremo che per arrivare a quella costruzione dovremo puntualizzare qualche proprietà, però queste sono un perfetto esempio di spazio vettoriale a dimensione infinita.

Infatti se definiamo l’operazione di composizione come $f\circ g (x):= f(g(x))$ otteniamo che lo spazio $(C^0([a,b]),\circ)$ dove $C^0([a,b]):=\{f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}: f \text{ è continua }\}$ è uno spazio vettoriale.

Perché ha dimensione infinita? Semplicemente perché possiamo trovare infinite funzioni continue linearmente indipendenti l’una dall’altra. Vediamo perché particolare famiglia di funzioni continue linearmente indipendenti è data dalle funzioni trigonometriche:

\[T =  \{ \cos{nx} : n\in\mathbb{N} \} \]

Questa è per esempio anche utile per definire una base dello spazio in analisi. Tuttavia siccome avendo la dimensione infinita il concetto di base è un bel po’ più complesso rispetto al caso finito-dimensionale, preferisco sorvolare su questo argomento per questo articolo. Se ti interessa approfondire cosa sia una base di uno spazio vettoriale a dimensione finita ecco un sito che ti aiuterà : https://it.wikipedia.org/wiki/Base_(algebra_lineare)

Cos’è uno spazio normato?

Prima di passare a definire gli spazi di Hilbert, partendo dalla nozione di spazio vettoriale (a dimensione finita o infinita che sia) dobbiamo definire il concetto di spazio di Banach. Per farlo ci serve una norma ben definita sul nostro spazio che in questo paragrafo chiameremo $B$.

Una norma è da pensare come una funzione che associa ad ogni elemento dello spazio $v\in B$ un numero reale e non negativo. Questo numero che andiamo ad associare può essere visto come una misura della distanza dell’elemento $v$ dall’elemento neutro dello spazio, lo $0$.

Per far sì che questa funzione $|| \cdot || : B\rightarrow \mathbb{R}^+$ definisca effettivamente una norma su $B$ è necessario chiedere che sia non degenere, ovvero che $||v||=0$ se e soltanto se $v=0$.

A questo punto possiamo definire la coppia $(B,||\cdot ||)$ uno spazio normato.

Gli spazi di Banach sono spazi normati con una proprietà ulteriore che fra poco vedremo, ma prima direi che è utile  vedere un paio di esempi di spazio normati.

Partiamo da uno semplice che di sicuro conosci, in cui andremo a lavorare su uno spazio vettoriale a dimensione finita: $\mathbb{R}^n$.

Su questo spazio Euclideo possiamo definire la norma classica che associa al punto $x=(x_1,…,x_n)$ il numero non negativo $||x|| = \sqrt{x_1^2+…+x_n^2}$. Questa funzione è non degenere infatti la norma è 0 se e soltanto se $x_1=x_2=…=x_n=0$ ovvero se $x=0$ (dove qui con 0 si intende lo zero di $\mathbb{R}^n$, il suo elemento neutro quindi, con un abuso di notazione, stiamo dicendo 0=(0,…,0) ).

Passando ora ad un esempio a dimensione infinita, possiamo definire l’importantissimo spazio di Lebesgue $\mathcal{L}^2$ come segue:

\[ \mathcal{L}^2(a,b)=\{f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} : \int_a^b f^2(x)dx<+\infty\}. \]

Un esempio di funzione che sta qui dentro sono le funzioni trigonometriche. Infatti si può vedere che

$\int_a^b cos^2(x)dx < b-a <+\infty$ quindi richiesta soddisfatta. Se l’intervallo $[a,b]$ è limitato, allora per esempio abbiamo anche che tutte le funzioni continue sull’intervallo appartengono a questo spazio dato che, per il teorema di Weierstrass, sugli intervalli chiusi e limitati le funzioni continue ammettono massimo $M$ e minimo $m$ per cui se $f$ è continua nell’intervallo allora si ha

\[

\int_a^b f^2(x)dx < max{m^2,M^2}(b-a)<+\infty.

\]

Per definire con $\mathcal{L}^2(a,b)$ uno spazio normato dobbiamo avere una norma, che è definibile naturalmente come \[||f||=\Big(\int_a^b f^2(x)dx\Big)^{\frac{1}{2}}.\] La coppia $(\mathcal{L}^2(a,b),||\cdot ||)$ così costruita è uno spazio normato.

Dopo vedremo che questo spazio sarà davvero interessante e ricco di sorprese

Ma veniamo ora alla definizione di spazio di Banach.

Cos’è uno spazio di Banach?

Uno spazio di Banach è uno spazio normato completo.

Abbiamo già visto cosa sia uno spazio normato, ci manca la definizione di spazio completo. Se hai visto un corso di Analisi uno saprai senz’altro che la retta dei numeri reali è completa e avrai già sentito parlare di assioma di completezza.

Se non hai mai sentito questi termini non disperare, intuitivamente la retta dei numeri reali si dice completa perché non ha buchi, ovvero presi a caso due numeri nell’insieme dei reali ne esiste sempre un terzo tra essi contenuti.

Questa però non è una definizione troppo operativa o generalizzabile agli spazi normati in generale, vediamo quindi qualcosa di più pratico:

Uno spazio di dice completo se una successione converge se e soltanto se è di Cauchy.

Non parlerò nel dettaglio di successioni di Cauchy qui perché sarebbe troppo dispersivo, mi limito quindi a caratterizzare le successioni con questo carattere con la seguente definizione:

La successione $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è di Cauchy se e solo se $\forall\,\varepsilon>0$ esiste un $n_0\in\mathbb{N}$ per cui $\forall n,m>n_0$ si ha $||x_n-x_m||<\varepsilon$.

Ottimo, quindi ora abbiamo visto la definizione di spazio di Banach.

Chiudiamo la sezione con un esempio di spazio di Banach per poi passare, finalmente, al concetto di spazio di Hilbert.

Grazie all’assioma di completezza di $\mathbb{R}$, estensibile naturalmente anche ad $\mathbb{R}^n$, se definiamo su questi spazi Euclidei la norma classica come visto poco più sopra, otteniamo uno spazio di Banach a dimensione finita.

Un altro esempio di spazio di Banach è sempre dato dall nostro $(\mathcal{L}^2(a,b),||\cdot||)$.

Concludiamo quindi in bellezza questo breve ma intenso excursus nell’analisi funzionale con il concetto di spazio di Hilbert che da tanto stiamo tenendo sott’occhio.

Cos’è uno spazio di Hilbert?

Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che generalizza la nozione di spazio Euclideo. Nello spazio euclideo abbiamo uno strumento molto utile a nostra disposizione: un prodotto scalare.

Di prodotto scalare e di proiezioni ne abbiamo parlato nello scorso articolo (lo trovi qui https://www.mathone.it/spazio-hilbert/ ) quindi in questo lo suppongo noto.

L’idea è quindi di definire gli spazi di Hilbert partendo da questo concetto. Formalmente abbiamo la seguente definizione di Spazio di Hilbert:

Uno spazio di Hilbert è una coppia $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ fatta da uno spazio vettoriale $H$ e un prodotto scalare su $H$. Inoltre la norma $||v||:=\sqrt{\langle v,v\rangle}$ naturalmente indotta dal prodotto scalare, definisce uno spazio di Banach $(H,||\cdot ||)$.

Bene, questa coppia $(H, \langle\cdot,\cdot\rangle )$ è una generalizzazione dello spazio euclideo dove si possono fare le stesse belle cose tra cui calcolare prodotti, proiettare, scomporre in serie di Fourier (generalizzate) e molto altro. Chiaramente non ce ne occuperemo nel dettaglio in questo articolo ma alcune proprietà interessanti tra queste le vedremo nel prossimo ed ultimo articolo della rubrica.

Chiudiamo però recuperando l’esempio $\mathcal{L}^2(a,b)$. Su questo possiamo infatti definire un prodotto scalare come segue:

$$ \langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)dx\quad\forall f,g\in \mathcal{L}^2(a,b). $$

Nel prossimo articolo vedremo molti risultati su questo spazio, per ora ci fermiamo così che sono convinto che abbiamo già visto un bel po’ di concetti.

DIVULGAZIONE MATEMATICA? ECCO Perché leggere I libri divulgativi

Un paio di mesi fa ho visitato il museo oceanografico a Monaco. Girando al suo interno mi sono accorto che gran parte delle cose che leggevo e vedevo non le conoscevo e proprio per questo mi è piaciuto davvero molto.

Camminando poi mi è venuto in mente che questo è esattamente lo stesso motivo per cui mi piace e trovo utile leggere libri di divulgazione riguardo ad argomenti e temi che non conosco.

Prima di elencare 3 motivi per cui ti consiglio di leggere questa tipologia di libri e di suggerirti un paio di titoli da cui partire, nel caso tu fossi in alto mare, però ci tengo a specificare che in questo periodo io non ne sto leggendo nessuno.

Non perché non li trovi utili o interessanti, ma piuttosto perché leggo molti libri tecnici/didattici per l’universitá, poi leggo articoli per trovare idee per Mathone, capirai bene che quando poi trovo il tempo di leggere preferisco staccare dalla matematica e svagarmi con altro

Comunque quando riesco a trovare periodi di pausa, magari durante l’estate, un paio riesco sempre a leggerli e ormai ne ho accumulati un bel po’ nel corso degli anni, magari potrei anche recensirne qualcuno in dei video o articoli dedicati se può interessarti.

Ma torniamo ai motivi per cui ti suggerisco di leggere libri di divulgazione:

  1. Non sono quasi mai letture pesanti, spesso all’interno ci sono delle storie, e ti permettono di vedere sotto una luce diversa ciò che magari hai già studiato a scuola o all’università.
  2. Sono utili per incuriosirsi ad argomenti sconosciuti. Se per esempio non hai mai provato a ragionare su cosa siano le dimensioni in geometria, o non hai mai studiato la geometria dello spazio, una prima lettura di Flatlandia di sicuro ti illuminerà e ti lascerà a tratti dubbioso.
  3. Riescono a rispondere a domande un po’ più profonde, che spesso quando si studia su libri tecnici si lasciano in disparte. Per esempio sono interessanti le domande: Che cos’è la matematica? Perché studiare e fare matematica? E oltre a queste ce ne sarebbero molte altre, ma ho citato loro perché voglio suggeriti due letture davvero interessanti a riguardo, che sono: Che cos’è la matematica e Apologia di un matematico.

Vedrai che questi due libri non ti deluderanno, magari parti dal secondo che è molto breve e diretto.

E ora voglio rispondere ad un’ultima domanda: ma a cosa serve incuriosirmi ad un argomento? Comunque quando finisco il libro non sapró molto su questo!

Sono d’accordissimo con te! Infatti, proprio come quando trovi qualcosa di interessante in una cittá nuova, in un museo o nei discorsi con i tuoi amici vai ad approfondire dopo il tutto su dei testi piú tecnici o siti di riferimento, anche con i libri di divulgazione é cosí!

Se trovi un argomento che ti interessa o ti appassiona grazie ad un libro di divulgazione hai fatto bingo! Peró poi sta a te proseguire con gli approfondimenti tecnici se ti interessa veramente.

A dirla tutta questo “servizio” di incuriosire a vari temi é proprio quello che provo a dare io nei video o negli articoli, non ho nessuna pretesa di spiegarti in termini didattici cosa sia un’equazione alle derivate parziali, peró posso provare a presentarti esempi, situazioni reali e suggerirti qualche strumentio per approfondire in maniera rigorosa

Ottimo, direi che ci siamo dilungati fin troppo, grazie per la lettura e alla prossima!

Intanto se vuoi leggerti un articolo in cui consiglio 50 libri di divulgazione matematica eccoti servito: https://www.mathone.it/migliori-libri-sulla-matematica/

Magari con un video o articolo in cui faccio una recensione 🙂

Cosa sono le differenze finite

In questo articolo andremo a parlare di differenze finite. Questo sarà un articolo introduttivo all’argomento.

Oltre alla descrizione del metodo vedremo un paio di esempi molto semplici scritti con Matlab, dove andremo a risolvere l’equazione di Poisson su un intervallo $I\subset\mathbb{R}$ e una sua variante.

Se vuoi vedere anche un video che ho fatto su questo argomento lo trovi sul canale Youtube 😉

Di sicuro ti è stato detto o comunque hai studiato e letto da qualche parte che è davvero piccolo l’insieme di equazioni differenziali risolvibili in maniera analitica ed esatta. Molto poche ammettono una soluzione esprimibile tramite una funzione che ha una sua espressione precisa. Descrivibile in forma chiusa.

Per questo motivo è necessario trovare un’alternativa alla procedura analitica. La procedura esatta che ci permette di arrivare ad una soluzione delle equazioni è infatti spesso limitante.

Ok, è importante saper risolvere gli esercizi in cui viene chiesto di trovare un integrale generale di un’equazione differenziale, ma questi sono appunto esercizi. Spesso le equazioni che definiscono un modello matematico, una volta che si riesce a mostrare che una soluzione esista, sono trattati in termini numerici.

Infatti tutto quello che è presente nel mondo, nella realtà, è descritto da una variazione di certe quantità, di certe proprietà mentre il tempo scorre liberamente.

Quindi come possiamo descrivere tutti questi fenomeni? Beh, intanto dobbiamo necessariamente coinvolgere delle equazioni differenziali. Quindi chiaramente non possiamo fermarci davanti al fatto che non sia possibile risolvere un’equazione di questo tipo in maniera esatta, in forma chiusa.

Se a noi interessa fare previsioni su qualche modello, su qualche fenomeno, dobbiamo trovare comunque un modo per ottenere informazioni sulla soluzione. A questo punto si aprono due strade molto interessanti:

L’analisi qualitativa (di cui magari ci occuperemo in altri articoli e puoi trovare già un esempio in questo articolo https://www.mathone.it/pendolo-semplice/) ma puoi già trovare un mio video sull’argomento qui di seguito:

e l’approssimazione numerica della soluzione, argomento di cui inizieremo ad occuparci proprio in questo articolo.

Per questa prima introduzione parleremo di equazioni differenziali ordinarie, quindi del caso in cui compaiono solo derivate ordinarie e c’è una sola variabile. Non andiamo quindi a coinvolgere le equazioni alle derivate parziali anche perché in quel caso il metodo alle differenze finite è abbastanza limitante perché non è comodo per lavorare con domini di dimensioni di forma particolari perché è necessario avere delle griglie fatte in un certo modo (spesso in quel caso si usa il metodo degli elementi finiti).

Comunque di sicuro porterò qualche esempio riguardo al metodo applicato al caso delle derivate parziali perchè permette di analizzare, senza andare troppo nel complesso, sistemi che evolvono in spazio e tempo, ampliando così di molto la classe dei modelli che potremo analizzare.

Ma torniamo alle equazioni differenziali ordinarie. Questa tipologia di equazioni solitamente ci interessa risolverle in un certo dominio. Per poterle risolvere numericamente dobbiamo imporre un’importante condizione su questo dominio: deve essere limitato.

Numericamente infatti non possiamo direttamente risolvere un’equazione differenziale su tutta la retta reale, ma dobbiamo considerarne un sottodominio compatto della forma $[0,L]$ con $L<+\infty$.

Le differenze finite si prestano molto bene a risolvere equazioni differenziali ordinarie che descrivono fenomeni stazionari, ovvero nel caso le quantità non varino nel tempo ma nello spazio. Spesso ci si riferisce ad essi come problemi al bordo (boundary value problems o BVP). Per esempio parliamo dell’equazione di Poisson $$-\frac{d^2u(x)}{dx^2}= f(x)$$ con $x\in[0,L]$ ed $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ una funzione qualsiasi, con delle opportune condizioni al bordo $u(0)=a$ e $u(L)=b$.

Chiaramente vediamo subito che serve un minimo di regolarità per la funzione $f$ per poter dire di avere una soluzione classica in questo esempio, ovvero siccome dobbiamo calcolare la derivata seconda di $u$ si può richiedere di avere $u\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$ e quindi segue naturalmente $f\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Se hai già sentito parlare di soluzioni deboli sai che in realtà si può chiedere meno regolarità per $f$ in generale, ma non preoccupiamocene per questo articolo.

Andiamo quindi ad introdurci alle tecniche approsimative che ci porteranno a definire uno schema alle differenze finite per risolvere l’equazione differenziale precedente, che possiamo per esempio complicare anche passando a questa dove comprare anche la derivata prima :$$\frac{d^2u(x)}{dx^2}+\frac{du(x)}{dx}=f(x)$$ per ogni $x\in[0,L]$ e ancora delle buone condizioni al bordo.

La prima idea che dobbiamo avere per approcciare l’approssimazione di una derivata, perché è questo che vogliamo fare, con delle strategie alternative è quello di definire una discretizzazione del nostro dominio.

Cos’è una discretizzazione? Semplicemente vogliamo dividere il nostro intervallo $[0,L]$ in intervallini sufficientemente piccoli, la cui unione restituisce esattamente l’intero dominio:

Definiamo la discretizzazione $$\tau = \{x_1=0<x_2<…<x_{N-1}<x_N=L\}$$ in modo dale che $$\cup_{i=1}^{N-1} [x_i,x_{i+1}] = [0,L].$$

Questa discretizzazione può essere fatta in maniera uniforme o non uniforme nel senso che le distanze $$\Delta x_k = x_{k+1}-x_k$$ possono essere rispettivamente tutte uguali o diverse.

Per semplicità d’ora in poi nella trattazione e anche nel codice supporremo tale discretizzazione uniforme e chiamiamo quindi $\Delta x = x_{n+1}-x_n$.

Benissimo ora siamo pronti a fare lo step fondamentale dietro l’idea delle differenze finite.

Se ti ricordi un po’ come ti è stato introdotto il concetto di derivata, ti ricorderai senz’altro che è coinvolto il limite del rapporto incrementale

Infatti la derivata di una funzione $u:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ è definita come il limite del rapporto incrementale, qualora esso sia finito:

$$ u'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}. $$

Allo stesso modo si può definire anche la derivata seconda:

$$ u”(x) = (u'(x))’ = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{u'(x+\Delta x)-u'(x)}{\Delta x}.$$

Introduciamo quindi l’ultima notazione: $u(x_k) \approx u_k$, ovvero noi quello che andremo a calcolare sarà $u_k$ che è l’approssimazione numerica della soluzione esatta in $x_k$.

Ottimo, ora possiamo finalmente fornire un’approssimazione alle differenze finite di queste due derivate. Per farlo basta la semplice idea: invece di passare al limite su $\Delta x$, definiamo una discretizzazione sufficientemente raffinata del dominio $[0,L]$, ovvero tale che gli elementi $x_k$ e $x_{k+1}$ distano sufficientemente poco.

Ecco quindi una prima approssimazione della derivata

$$ u'(x_k)\approx \frac{u_{k+1}-u_k}{\Delta x}.$$

Questa è però una stima un po’ rozza infatti si può mostrare, espandendo con i polinomi di Taylor, che $$|u'(x_k)-\text{questa approssimazione}|$$ va a zero con la stessa velocità con cui ci va $\Delta x$, quindi è un’approssimazione di ordine 1:

$$ u(x_{k+1}) = u(x_k) + u'(x_k)(x_{k+1}-x_k) + o(\Delta x^2) $$

$$\frac{1}{\Delta x}(u(x_{k+1})-u(x_k)) = \frac{1}{\Delta x} (u(x_k)+u'(x_k)\Delta x + o(\Delta x^2)-u(x_k))$$

$$ = u'(x_k) + o(\Delta x).$$

Un modo per ottenere un’approssimazione più precisa, del secondo ordine, è quello di procedere con una differenza finita centrata invece che in avanti come abbiamo visto prima. Ti chiedo di provare a verificare da solo che la prossima approzione è precisa al secondo ordine 😉

$$ u'(x_k) \approx \frac{u_{k+1}-u_{k-1}}{2\Delta x}. $$

Similmente, partendo dalla differenza finita in avanti vista prima, si può ottenere un’approssimazione accurata al secondo ordine della derivata seconda come segue:

$$ u”(x_k) \approx \frac{\frac{u_{k+1}-u_k}{\Delta x} – \frac{u_k-u_{k-1}}{\Delta x}}{\Delta x} $$

$$ = \frac{u_{k+1}-2u_k+u_{k-1}}{\Delta x^2}.$$

Ottimo, direi che con la “teoria” siamo a posto. Vediamo di applicare questi risultati alle due equazioni prima introdotte. Prima però è importante rimarcare il fatto che il risultato del metodo delle differenze finite sarà un vettore che corrisponde alle approssimazioni della soluzione dell’equazione analizzata nei nodi della discretizzazione. Otterremo quindi un vettore $\vec{u}\in\mathbb{R}^N$ definito come segue:

$$ \vec{u} \approx \begin{bmatrix} u(x_1) \\ u(x_2) \\ . \\ .\\ . \\ u(x_N) \end{bmatrix} $$

e solitamente quando rappresenteremo graficamente la soluzione ottenuta si costruisce un’interpolazione lineare di tali valori, ovvero negli intervalli $(x_k,x_{k+1})$ si congiungono i punti $(x_k,u_k)$ e $(x_{k+1},u_{k+1})$ con un segmento come puoi vedere qui sotto:

Ottimo direi che la parte introduttiva può dirsi chiusa, qui di seguito oltre ai codici che ho scritto per Matlab e che puoi scaricare cliccando sul link di GitHub, ti riporto l’idea in breve dietro l’implementazione. La cosa interessante da precisare per il codice è che l’ho scritto in forma matriciale. Ho definito quindi due matrici $D1$ e $D2$ in modo tale che la loro azione sul vettore $u$ permetta di ottenere rispettivamente l’approssimazione della derivata prima e della derivata seconda. Ecco qui cosa intendo:

$$D1\, u = \begin{bmatrix}
0& 0&0& \dots &\dots \\
-1/(2\Delta x)& 0& 1/(2\Delta x)&0&\dots\\
0& -1/(2\Delta x)& 0& 1/(2\Delta x)&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\dots\\
\dots& \dots& \dots& 0& 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ . \\ .\\ . \\ u_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{u_3-u_1}{2\Delta x} \\ . \\ .\\ \frac{u_N-u_{N-2}}{2\Delta x}\\ 0 \end{bmatrix} $$

$$D2\, u = \frac{1}{\Delta x^2}\begin{bmatrix}
1& 0&0& \dots &\dots&\dots&\dots \\
1& -2& 1&0&0&0&\dots\\
0& 1& -2&1&0&\dots&\dots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\dots&\dots&\dots\\
\dots& \dots&\dots&\dots& \dots& 0& 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ . \\ .\\ . \\ u_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u_1}{\Delta x^2} \\ \frac{u_3-2u_2+u_1}{\Delta x^2} \\ . \\ .\\ \frac{u_N-2u_{N-1}+u_{N-2}}{\Delta x^2}\\ \frac{u_N}{\Delta x^2} \end{bmatrix} $$

E quindi i due problemi si ridurranno semplicemente a risolvere un sistema lineare. Il problema

$$\begin{cases}-u”(x) = 1,\quad x\in(0,1) \\ u(0)=u(1)=0\end{cases} $$

diventa quindi

$$ -D2\, u = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \\ . \\ .\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} .$$

Ecco quindi cosa otteniamo, dove la soluzione analitica con cui ho comparato quella numerica è la seguente parabola $$u_{\text{esatta}} (x)= -\frac{1}{2}x(1-x).$$

Invece il secondo problema

$$\begin{cases}u”(x)+u'(x) = 0,\quad x\in(0,1) \\ u(0)=0,u(1)=1\end{cases} $$

diventa quindi

$$ (D2+D1)\, u = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ . \\ .\\ 0\\ \frac{1}{\Delta x^2} \end{bmatrix} .$$

Ecco quindi cosa otteniamo, dove la soluzione analitica con cui ho comparato quella numerica è la seguente $$u_{\text{esatta}} (x)= \frac{e-e^{1-x}}{e-1}.$$

Fisica matematica: cos’è e molte risorse per approfondirla

Cos’è la fisica matematica? Se non hai mai studiato matematica probabilmente non ne hai mai sentito parlare e non ti è chiaro dove possa concludersi la fisica e iniziare la matematica, o viceversa. Quindi questo articolo vuole aiutarti ad avventurarti in questo mondo che ho scoperto un paio d’anni fa e mi sta piacendo sempre di più, non si sa mai che con questo articolo ti venga voglia di scaricarti una delle dispense che ti suggerisco o comprarti uno dei libri elencati per approfondirla da solo 🙂 Dopotutto con gli articoli sul blog non miriamo ad insegnare nulla, ma ad incuriosire e dare gli strumenti per successivi approfondimenti personali! Ma bando alle ciance…iniziamo!

Ah dimenticavo…se non lo sai ho anche un canale Youtube e la fisica matematica sarà senz’altro uno dei miei principali interessi nei video. Se non sei ancora iscritto lo trovi qui: CANALE YOUTUBE MATHONE.

Cos’è la fisica matematica?

Per iniziare questo paragrafo ti riporto la definizione di fisica matematica che puoi trovare anche su Wikipedia perchè mi sembra molto chiara ed un ottimo punto di partenza:

La fisica matematica è quella disciplina scientifica che si occupa delle “applicazioni della matematica ai problemi della fisica e dello sviluppo di metodi matematici adatti alla formulazione di teorie fisiche e alle relative applicazioni“.

Wikipedia

Vediamo un po’ di analizzare quanto scritto qui sopra. Partendo da cosa sia la fisica si può capire abbastanza semplicemente la definizione qui sopra. Infatti fisica vuol dire, anche in termini di origini della parola, “natura” o “le cose naturali”. È quindi la branca della scienza che si occupa letteralmente di studiare i fenomeni naturali, utilizzando un formalismo matematico e degli strumenti forniti dalla matematica.

Prima di proseguire, ci tengo a dirti che se vuoi vedere il video che ho fatto su questo argomento lo trovi qui:

Questi fenomeni naturali vengono quindi osservati, misurati e poi analizzati grazie a vari strumenti matematici. L’obiettivo ultimo della fisica è quello di costruire delle relazioni tra i fenomeni naturali (dei legami astratti) e quindi essere in grado di prevedere alcuni risultati a partire da delle misurazioni concretamente effettuabili.

Bene, se ci hai fatto caso, nelle righe qui sopra ho evidenziato in grassetto i termini “forniti dalla matematica”. È proprio qui che possiamo infatti far ricadere la linea di delimitazione tra fisica matematica e fisica. Chi si occupa di fisica matematica ha sostanzialmente l’obiettivo di fornire gli strumenti, i formalismi, i metodi che poi possono essere applicati dai fisici (in genere) per analizzare un particolare fenomeno naturale.

Da un punto di vista storico, possiamo trovare la motivazione che ha portato all’interesse per la fisica matematica già dalle parole di Galileo:

Il mondo naturale va descritto con il suo linguaggio, e questo linguaggio è la matematica.

Galileo Galilei

Quindi, in parole povere, possiamo dire che la differenza tra la fisica matematica e la fisica teorica sta nella particolare attenzione che la prima pone verso il formalismo tipico della matematica per descrivere fenomeni fisici, mentre la seconda ha il chiaro obiettivo, prima o dopo, di andare a relazionarsi con la fisica sperimentale e quindi, il reale mondo osservabile.

Differenti scale studiate dalla fisica matematica

Questa sezione è parecchio importante perchè permette un po’ di classificare i vari settori della fisica matematica in base al loro oggetto di studio. Più precisamente questa classificazione sarà basata sulla “grandezza” della scala analizzata da questi rami di studio.

Vediamo un esempio che ci permette di analizzare questo molto chiaramente:

Supponi di voler descrivere come si muove un gruppo di 2 palline che, partendo da punti diversi di un tavolo da biliardo, vengono lanciate verso il centro del tavolo così da interagire l’una con l’altra.

Bene, in questo caso la dinamica si può studiare a livello microscopico, ovvero analizzando con un’equazione differenziale ordinaria la dinamica di ogni pallina, andando quindi ad ottenere un sistema di 2 equazioni, basate fondamentalmente sulla legge di Newton, chiaramente non semplici ma sempre 2 equazioni ordinarie sono. Infatti in questo caso il numero degli oggetti coinvolti è basso, per cui non è eccessivamente costoso descrivere singolarmente le dinamiche delle singole particelle.

Ecco quindi vista la parte della fisica matematica che si occupa delle scale MICROSCOPICHE. Qui ricade la meccanica razionale, che coinvolge in maniera pesante l’analisi dei sistemi dinamici ed è la parte della fisica matematica a cui mi sto appassionando maggiormente.

Andiamo ad aumentare il numero degli oggetti coinvolti.

Supponiamo di avere 150 persone, chiuse all’interno di una stanza, che al momento di un incendio devono evacquare la stanza. Capisci bene che in questo caso descrivere la dinamica di ogni singola persona sarebbe troppo costoso, infatti si dovrebbero tenere in considerazione troppi dettagli, troppe interazioni, troppe equazioni. Avremo come minimo 150 equazioni ordinarie se seguissimo un approccio microscopico, tutte vincolate a certi fattori quali “la consapevolezza che l’individuo ha di dove sia l’uscita di sicurezza” o “quanto spaventato è il soggetto” e cose del genere, non semplice nemmeno da risolvere in termini di costi computazionali una volta “messo giù” il sistema.

Ecco quindi che qui si può decidere di coinvolgere un approccio che lavora ad una scala superiore, l’approccio CINETICO o meglio l’approccio che si dedica all’analisi dei fenomeni su scala MACROSCOPICA.

In quel caso, non ci si interessa del variare della posizione allo scorrere del tempo del singolo individuo, ma si analizza la densità di probabilità associata all’evento che gli individui si trovino in una certa zona ad un certo istante temporale.

Quindi si iniziano a trattare tutte insieme le persone come una sola cosa, avremo quindi delle equazioni cinetiche che coinvolgono le variabili di velocità, posizione e densità di probabilità. Meno equazioni ma più “legate” l’una all’altra.

Se ti interessa questa classe di problemi ti consiglio di andarti a leggere qualcosa sul problema di evacquazione, sulla dinamica degli stormi di uccelli o anche sull’equazione di Vlasov Poisson di cui sto ascoltando alcune lezioni qui a Nizza, la trovi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Vlasov_equation .

Passiamo quindi all’ultima, ma non meno importante, scala di analisi dei problemi della fisica matematica. La scala MESOSCOPICA. In questo caso si passa dalle equazioni cinetiche alle equazioni alle derivate parziali (PDE). Lo studio di questa classe di fenomeni è basata sul vedere gli oggetti coinvolti nella dinamica come un fluido continuo.

Ti faccio un esempio. Supponi di avere un’autostrada ad una sola corsia in cui la frequenza di macchine che passano da una certa posizione è così alta da poter approssimare la sequenza di macchine come un fiumiciattolo e descrivere lo scorrere delle macchine come la variazione di densità, in spazio e tempo, del fluido. Per esempio in questo caso si parla di equazione di Burgers $\partial_t u +\partial_x(u^2/2)=0$ ma le equazioni alle derivate parziali che si possono generare sono veramente infinite.

Per esempio si può far ricadere in questa macro area della fisica matematica lo studio matematico della dinamica dei fluidi, della turbolenza, delle onde sonore e molto altro ancora.

Risorse e libri di testo consigliati per iniziare a studiarla

Eccoci finalmente alla sezione che ritengo più utile dell’articolo 🙂 Fortunatamente infatti si possono trovare molti libri e dispense ben fatte riguardo a questi temi. Chiaramente la fisica matematica è un settore ampissimo perché si interessa dei più svariati fenomeni e delle più svariate scale.

Di alcuni di questi settori so poco o nulla, per cui mi limito ad elencarti qui sotto risorse per approfondire temi che ho avuto modo di studiare personalmente in maniera più o meno avanzata. Quindi settori come la teoria spettrale per la meccanica quantistica o altri non te li riporto perché ho avuto modo di studiarli in parte ma poco rivolti alla fisica, più come uno strumento generale della matematica poi eventualmente utilizzabile per la fisica, quindi preferisco evitare.

Delle scale di cui ti ho parlato qui sopra andremo a vedere qualche risorsa riguardante i fenomeni della dinamica (rivedendo quindi in maniera più formale e rigorosa, alla luce della geometria differenziale, la meccanica classica), qualche riferimento a testi riguardanti le PDE iperboliche e i modelli matematici per le PDE della fisica in generale. Ovviamente è molto restrittivo come panorama, ma preferisco evitare di suggerirti cose che non ho studiato personalmente almeno in parte.

Sistemi dinamici e meccanica razionale

Questo è il settore che preferisco tra quelli che ti ho nominato, è molto ampio, molto visivo nelle tecniche utilizzate e spesso tratta più o meno direttamente di fenomeni che puoi vedere tranquillamente nella vita quotidiana. Di suggerimenti da darti ne avrei quindi molti ma mi limito a fornirti qualcosa di ben mirato. Partiamo dai sistemi dinamici per i quali ti lascio una playlist di video (in inglese ma fatti da un italiano 😉 ) su Youtube che è davvero chiara:

Questo è solo il primo video del corso, se clicchi sul titolo poi ti si apriranno anche le successive lezioni

Se preferisci studiare su dei libri o delle dispense eccoti accontentato/a:

  1. Introduzione all’Analisi Qualitativa dei Sistemi Dinamici Discreti e Continui (qui si punta molto sulle tecniche qualitative del ritratto di fase, che permettono di ottenere molte informazioni sul sistema in analisi senza risolvere l’equazione che lo descrive, come spesso necessario…uno dei due autori è stato mio professore di Dinamica dei Fluidi 😉 ).
  2. Una passeggiata tra i sistemi dinamici (Dispensa di Giancarlo Benettin per l’università di Padova, ho avuto modo di usarla parecchio in questi 2-3 anni)

Purtroppo non posso lasciarti la dispensa da cui ho studiato al mio corso di sistemi dinamici perché è protetta da password e preferisco evitare casini 🙂

L’analisi qualitativa, che puoi apprendere qui sopra in maniera più o meno approfondita, diventa poi fondamentale se vuoi spostarti sull’approccio newtoniano, lagrangiano o hamiltoniano verso la dinamica classica. Per studiare questi approcci ecco le risorse che mi sento di suggerirti:

  1. Dispense per il corso di Istituzioni di Fisica Matematica – prof. F. Fassò : queste ho avuto modo di consultarle parecchio quest’anno per preparare l’esame di Meccanica Analitica
  2. Questa dispensa invece non l’ho mai consultata ma mi sembra ben fatta e tratta del formalismo Hamiltoniano: Dispensa UniMi
  3. Per studiare questi temi spesso è necessario utilizzare concetti e strumenti della geometria differenziale, di libri a riguardo ce ne sono tanti ma ultimamente mi sto trovando a guardare spesso questo libro in cui si utilizzano molti esempi e rappresentazioni grafiche per cui te lo consiglio: A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds.

Equazioni alle derivate parziali della fisica matematica

Come abbiamo visto nei paragrafi precedenti, non sempre per parlare di fisica matematica è sufficiente coinvolgere equazioni differenziali ordinarie, come per la meccanica razionale, spesso per analizzare la dinamica dei continui, vibrazioni, fluidi e molto altro sono necessarie equazioni alle derivate parziali. Questo è un mondo ampissimo, quindi è dura dare suggerimenti anche perché ho avuto modo di studiarle sotto vari aspetti ma chiaramente non so nulla in confronto a tutto ciò che è stato scoperto fino ad ora.

Ti do però qualche suggerimento riguardo a testi scorrevoli e che potrebbe interessarti studiare o sfogliare. Parto da un suggerimento che mi aveva dato il buon Erik ormai un anno fa, è un libro molto piacevole da leggere e consultare, in cui si parla dei modelli matematici della fisica, si analizzano le varie procedure per ricavarli e si studiano poi le equazioni ottenute da un punto di vista delle loro proprietà ed eventuali tecniche risolutive. In questo libro si spazia in tutte le principali classi di PDEs (Partial Differential Equations), guardando equazioni ellittiche, paraboliche, iperboliche e tutto ciò che ci sta intorno.

E’ in italiano ed il titolo è Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni.

Passiamo poi al classicone di questo campo di studi, non è di sicuro un testo leggero e semplice dato che generalizza, quando possibile, ad $\mathbb{R}^d$ mentre per farsi un’idea di ciò che si sta parlando spesso è utile ragionare direttamente in $\mathbb{R}^2$ per poter rappresentare quanto letto, ma comunque sto parlando dell’Evans, il libro è: Partial Differential Equations.

Tanto per dire 😉

Come per le equazioni differenziali ordinarie è raro poter risolvere analiticamente una PDE, per cui ti lascio anche un testo, in italiano, con cui mi sono trovato bene e si parla di risoluzione numerica di PDE: Modellistica Numerica per Problemi Differenziali.

Dopo chiaramente di testi da suggerire ce ne sarebbero molti altri, magari più specifici per un particolare settore o più rivolti alla modellizzazione matematica. Per questa tipologia di argomenti onestamente non mi sono mai trovato particolarmente bene con le dispense ma ho sempre preferito i libri, se proprio dovessi trovarne una, che però riguarda “solo” le equazioni e i sistemi di equazioni iperboliche, da cui ho studiato per preparare un esame in Erasmus è: Hyperbolic Conservation Laws An Illustrated Tutorial .

Sono consapevole che i libri e le dispense suggerite in queste ultime righe sono costosi e difficili, però per vedere questa tipologia di argomenti lo sforzo richiesto è parecchio alto. In realtà anche per la meccanica razionale e i sistemi dinamici lo sforzo è molto alto però per iniziare a studiarle, avendo usato delle dispense universitarie, sono riuscito a suggerirti qualche risorsa più passo a passo/introduttiva. Qui invece non ho mai trovato nulla onestamente.

Bene, spero che questo articolo introduttivo alla fisica matematica ti sia piaciuto. Ti anticipo che la lista delle risorse per approfondire questi temi la amplierò mano a mano che studierò cose nuove (e ne studierò parecchie anche solo per la tesi), inoltre questo è solo l’inizio. Infatti più avanti farò molti articoli e video dedicati a questi temi, magari più specializzati su un esempio, su un’equazione o un modello. Se ti piace come tema dimmelo con un commento qui sotto e se hai suggerimenti di ogni genere fammi sapere 🙂

6 (+1) regali di natale da fare ad un appassionato di matematica

Qualche giorno fa, sulla pagina Instagram, ho fatto la domanda che trovi qui a destra. L’obiettivo era proprio trovare qualche spunto in più per scrivere questo articolo che spero ti sia utile. Fare regali non è mai facile, per cui ho provato a raccogliere qualche idea magari un po’ originale se ti interessa sorprendere qualche amico, parente o chiunque altro sia appassionato di matematica.

Ah..prima di proseguire 😉 In tanti mi hanno detto che come regalo vorrebbero un po’ di CFU o una laurea, purtroppo però non ho alcun link da suggerirvi per comprarli ahah Però posso suggerirvi questi due articoli in cui do qualche consiglio sull’università:

  1. 8 consigli per gestire al meglio l’università di matematica
  2. Libri di testo consigliati per l’università

Ho deciso di organizzare la lista in 6 consigli principali e un settimo aggiuntivo (ecco il perché del +1 nel titolo) che a tanti non sarà utile ma, a seconda dell’età dell’interessato, so che potrebbe esserlo e lo confermano anche i numerosi suggerimenti che ho ricevuto alla domanda qui a destra.

Inoltre ti ricordo che se non segui ancora la pagina Instagram la puoi trovare qui: @mathoneig .

Nella pagina posto ogni giorno una foto con descrizione che ha l’obiettivo di divulgare qualche tema particolare e verso sera troverai anche un meme divertente, per chiudere in allegria la giornata. Ok, quindi cominciamo con i suggerimenti!

1. Libri divulgativi

Partiamo con il consiglio più scontato ma che sono sicuro sarà di grande impatto. Spesso succede che chi è appassionato di matematica lo sia perché gli piace studiarla, gli piace provare a costruire nuove idee e dimostrazioni, ma accade anche molto frequentemente che non abbia mai letto libri divulgativi o davvero molto pochi.

Questo può accadere per vari motivi, primo tra i quali il fatto che la divulgazione sia sottovalutata rispetto alla formazione tecnica. Certo, se vuoi capire nuovi settori della matematica e diventare esperto in quelli non puoi contare di farlo solo leggendo libri divulgativi, ma secondo me questi hanno un grande potere: sanno rendere semplici cose complicate e soprattutto incuriosire verso aspetti della matematica che magari non si conoscono nemmeno.

Per cui come primo punto di questa lista DOVEVO iniziare con i libri divulgativi. Ora te ne suggerirò tre in particolare, però qualche riga più in basso metto il link ad un articolo che avevo scritto in cui ne sono raccolti 50.

Se ti interessa acquistarne qualcuno, ci tengo a farti sapere che Amazon ha appena lanciato Prime Student, l’abbonamento Prime per gli studenti: tutti i benefici di Amazon Prime, ma a metà prezzo – solo EUR 18,00 all’anno.

Non è abbastanza? Hai un periodo d’uso gratuito di 90 giorni. Ti consiglio di sfruttarlo soprattutto se hai intenzione di leggere di più o fare i regali di natale http://bit.ly/sconto_studenti

Prima di iniziare con la lista però, ti lascio una breve puntata di podcast in cui ti parlo del perché, secondo me, leggere libri di divulgazione sia una gran cosa in quanto può aiutarti a riavvicinarti alla lettura e conoscere molte cose nuove riguardo la matematica in maniera leggera, per poi magari approfondirle:

Ecco la lista dei tre principali consigli che mi sento di darti. Ah..per semplicità quando scrivo nei paragrafi qui sotto farò finta che tu voglia farti un regalo, quindi parlo direttamente a te. Se stai cercando qualcosa per un amico, parente o chiunque altro cerca di valutare le cose che ti dico rispetto a lui/lei ovviamente 😉

Altra premessa, tutti i link ai libri qui sotto (e ai prodotti che si trovano su Amazon) sono link di affiliazione, per cui se acquisti direttamente da quelli non spenderai nulla in più ma mi verrà riconosciuta una percentuale, quindi senza alcuno sforzo e spesa aggiuntiva starai anche sostenendo il progetto Mathone e per questo ti ringrazio 😉

Apologia di un matematico

Se è un po’ che non leggi ma ti piacerebbe iniziare a scoprire il mondo della divulgazione e vedere se faccia per te, questo è sicuramente il libro da cui iniziare. Si legge in un pomeriggio, è scorrevole ed è molto ben scritto a mio parere. E’ un breve libro scritto da Hardy sul finire della sua vita, dove ha cercato di dare un senso a ciò che ha fatto per tutta la sua carriera: matematica.

Vuole infatti difendere (apologia vuol dire “difesa”) la matematica, dando spiegazioni dietro al suo motivo di esistere o di essere studiata. Ti consiglio vivamente di leggerlo 🙂

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Apologia di un matematico

Il flauto di Hilbert

Questo libro e il successivo li ho entrambi iniziati ma non ho mai avuto il tempo di finirli, non perchè fossero noiosi (per nulla) ma perché fatalità li avevo presi entrambi in biblioteca in periodi molto impegnati, per cui non ho avuto proprio tempo di finirli. Mi prometto però di leggerli a breve perché sono consigliati da chiunque sia davvero appassionato di divulgazione e, a quanto posso dire dalle prime 50-70 pagine che ho letto, sia questo che il successivo meritano sul serio.

Ovviamente non posso lasciare alcuna recensione, se non dirti che il Flauto di Hilbert è un libro di storia della matematica davvero ben presentata, di scorrevole lettura. E’ più lungo del precedente ma vale di sicuro lo sforzo.

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Il flauto di Hilbert

Gödel, Escher, Bach. Un’eterna ghirlanda brillante. Una fuga metaforica su menti e macchine nello spirito

Come anticipato, anche questo libro l’ho solo iniziato ma merita sul serio e per questo il prima possibile lo riprenderò per completarlo. E’ un viaggio tra matematica, arte, musica e intelligenza artificiale. Davvero un bel libro a quanto ho letto in giro e sentito da molti.

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Gödel, Escher, Bach

Per la lista completa dei 50 titoli suggeriti, nel caso questi non ti piacciano o non ti sembrano adatti, la puoi trovare qui: I 50 migliori libri di matematica.

2. Lavagna a muro

Questa è stata una grande aggiunta alla mia camera quasi un paio d’anni fa. Certo, serve spazio, ma se hai un po’ di muro libero (o sei disposto a liberarlo), ti assicuro che studiare dimostrazioni o risolvere esercizi alla lavagna è un’altra cosa. Un lato molto positivo di avere una lavagna a muro è che nei pomeriggi di studio intenso, magari poco prima di un esame, ti sarà pesante stare ore e ore seduto a studiare o provare a riscrivere dimostrazioni, quindi è molto utile (per la mia esperienza) alternare momenti seduto a momenti in cui ti alzi, continuando a ripassare ma questa volta scrivendo alla lavagna.

Io l’ho presa anche per fare video su Youtube, che da gennaio 2020 riprenderanno ad uscire (con regolarità) quindi ti consiglio intanto di iscriverti al canale da qui: Mathone Video.

A dirti la verità io non l’ho comprata su Amazon ma, grazie ad un amico, sono riuscito a recuperare una lavagna che era stata restituita perché leggermente difettosa. Ma prima di avere questa occasione mi sono informato parecchio sulle migliori possibilità che Amazon aveva da offrire e quindi qui di seguito ti riporto le 3 sulle quali al tempo ero indeciso, soprattutto leggendo le descrizioni e le recensioni lasciate dai clienti nei commenti.

Intanto ti lascio i pennarelli che ho provato e che continuo a ricomprare quando si scaricano perché mi trovo davvero bene, li trovi qui: Pennarelli cancellabili.

Per la ragione dei pennarelli più economici, ho optato per una lavagna bianca. Sarebbe molto figo anche avere una classica lavagna nera dove si può scrivere con gessi o pennarelli a gesso liquido (che costano un botto), però i gessi li ho provati per un paio d’anni in camera (avevo attaccato un foglio di lavagna adesiva alla scrivania che trovi qui: Lavagna adesiva) ma dopo un po’ la camera diventava invivibile per sporco e polvere di gesso ovunque 😉

Passiamo quindi ai consigli sulle Whiteboards:

AmazonBasics – Lavagna magnetica bianca, cancellabile a secco, con supporto porta-pennarelli e bordi in alluminio, 120 cm x 90 cm:

Se vuoi guardare le recensioni e descrizioni su Amazon clicca qui: LINK AMAZON.

Nobo 1903772 Lavagna magnetica cancellabile a secco, Kit di montaggio incluso, Bianco, 58.5 x 43 cm:

Se cerchi qualcosa di più piccolino, economico ma comunque funzionale questa potrebbe essere giusta per te: LINK DI AMAZON.

Bi-Office Maya – Lavagna Magnetica Bianca, 120 x 90 cm, Con Cornice In Alluminio, Superficie Magnetica Acciaio Laccato:

Questa mi è sempre piaciuta, era quella per cui propendevo maggiormente e la puoi vedere qui: LINK AMAZON.

3. Accessori matematici

Questa è la sezione per cui ho ricevuto più messaggi. Me ne sono arrivati alcuni in cui si parlava di sciarpe a forma di Nastro di Moebius, cappelli a forma di Bottiglia di Klein, lampade a forme particolari, soprammobili curiosi per un appassionato di matematica e chi più ne ha più ne metta.

Ho quindi fatto una ricerca su Google riguardo alcuni accessori che potrebbero piacere ad un matematico e alcuni sono davvero fighi, ti metto qui sotto per ognuno di questi 5 link per andare a guardarlo ed un’immagine. Sono tutti cliccabili e se hai qualche ulteriore aggeggino da suggerire sarebbe molto interessante se lo scrivessi sotto all’articolo in un commento 😉

Tutti questi li puoi trovare su Amazon perché ho pensato anche ai tempi di spedizione più ragionevole, se invece sei disposto ad aspettare anche 5-6 settimane di consegna, ho trovato questo negozio di gadget molto ricco che però, spedendo dall’Inghilterra, mi sono ben guardato dal citarlo qui sotto perché le attese salgono parecchio. Ma se può interessarti ecco anche quel negozio: https://mathsgear.co.uk/

1. Forma per dolci a forma di PI Greco

Questo devo ammettere che è una genialata, per una bella torta a tema matematico ci sta perfettamente: STAMPO PER TORTA.

2. Tazza bianca per il caffè o il tè a tema matematico

Ecco il link di una tazza che ho creato apposta per noi appassionati di matematica 😉 : LINK ALLA TAZZA.

3. 3D Illusione Lampada Bottiglia di Klein Luce notturna USB 7 colori LED

Ecco una delle cose che mi avete suggerito maggiormente nella storia di Instagram, devo ammettere che non è male l’idea di averne una in camera 😉 La trovi qui: LINK AMAZON.

Stando a tema bottiglia di Klein, puoi trovare anche questa, un po’ più sobria ma sempre bella: STAMPA 3D.

4. Orologio a tema matematico

Qui va a gusti, o piace o non piace, però anche questo in molti me l’avete suggerito su Instagram per cui, perché non metterlo? Lo puoi trovare qui: LINK OROLOGIO.

5. Pendoli sincronizzati

Questo è davvero bello, di test ne potete fare un mondo e ti lascio qui sotto un video sulla sincronizzazione di questi pendoli da cui potrete prendere spunto per divertirvi…ah il link è qui: LINK PENDOLO

4. Rompicapo in legno (e non)

Questa sezione non mi è stata suggerita da nessuno su Instagram, con mia gran sorpresa in realtà. Spesso a chi piace la matematica piace ragionare, piacciono i problemi, gli indovinelli e…i rompicapo! Perché no!

Io non ne ho testati molti di rompicapo ma nel momento in cui me ne si presenta uno davanti mi intestardisco sopra e ci perdo un botto di tempo, quindi o lo riesco a risolvere o dopo un po’ mi arrendo e voglio cercare la soluzione online (il grande potere di Youtube).

Qualche anno fa avevo anche registrato un video in cui ne risolvevo uno su Youtube 😉 ora non lo trovo più quindi immagino che lo avessi cancellato poco dopo, era registrato al volo tanto per…più che altro per essere certo di sapere dove recuperare la soluzione nel caso mi fosse interessato riprovare a farlo. Da qualche parte ce l’ho ancora, sono sicuro ahah.

I rompicapo che ho in casa o che ho testato provengono tutti da mercatini che trovavo prevalentemente quando ero in vacanza, però per curiosità ho fatto una ricerca online e ho trovato una piattaforma che li vende molto interessante e seria. Mi sono anche sentito con il proprietario e devo dire che si vede proprio che ci tiene a quel sito e ai rompicapo 🙂

Se può interessarti l’idea di regalare o regalarti un rompicapo in legno ( e non ) ti consiglio di dare un’occhiata al loro sito: https://www.logicagiochi.com/it/prodotti/rompicapo-in-legno .

Ti lascio qui sotto l’immagine di un paio di rompicapo che ho testato:

Di questo avevo fatto la video risoluzione, è una figata 😉 Si chiama Rompicapo Evasione

5. Maglietta con stampa matematica

Di magliette con meme, citazioni e immagini divertenti sulla matematica se ne trovano un’infinità online e, se ti piace la matematica e vuoi vantartene, perché non prendersi una maglietta che magari in pochi sono in grado di capire? 😉

A dirti la verità ogni tanto mi viene anche in mente di creare un negozio online del genere con prodotti e magliette matematiche, magari più avanti lo faccio dai 🙂 Se ti piacerebbe magari scrivimelo nei commenti e dammi qualche consiglio che mi farebbe di sicuro comodo!

Siccome non devo certo stare qui a presentarti e spiegarti cosa sia una maglietta sulla matematica, ti lascio qui sotto le immagini cliccabili di alcune magliette simpatiche, inoltre dal link che trovi qui potrai anche accedere alla ricerca “maglietta matematica” su Amazon, te l’ho preparata nel caso ti interessi la tipologia 😉 : http://bit.ly/magletteMate

6. Abbonamento brilliant.org

In pochi conoscono brilliant.org (con questo link hai il 20% di sconto) ma questo è un sito che consiglio sempre quando ne ho l’occasione. E’ ricco di sfide, corsi, indovinelli e cose divertenti da scoprire. E’ una piattaforma dedicata all’approfondimento di matematica, fisica, informatica e molto altro ed il tutto è fatto in maniera coinvolgente e divertente.

La piattaforma consente di accedere ai contenuti anche in maniera gratuita ed io faccio così quando ho tempo, non ho mai testato l’abbonamento a pagamento onestamente. Ma a quanto ho potuto leggere online, vedere su Youtube e a quanto dicono sulla loro pagina web direi che per uno che ha del tempo libero ed è appassionato delle varie tematiche matematiche direi che sarebbe un bel regalo da ricevere.

Per cui se non conosci il servizio/piattaforma ti lascio qui sotto il video introduttivo al corso sulla relatività, giusto per farti un’idea del loro bello stile , mentre più in basso troverai un link per andare a vedere la piattaforma ed eventualmente regalare l’abbonamento a qualcuno (anche a te se ti va 😉 ). Qui ti dico chiaramente che non ho alcuna affiliazione, te lo consiglio semplicemente perchè lo trovo sul serio un bel modo di apprendere e mettersi alla prova.

Ecco il link al sito di brilliant: https://brilliant.org/ (con questo link hai il 20% di sconto)

(+1) Calcolatrice grafica

Il motivo per cui ho messo questa voce come punto aggiuntivo (+1) è perché a molti probabilmente non servirebbe a nulla questo oggetto (a me per esempio, non saprei come usarla), però ho ricevuto molte risposte su Instagram in cui mi veniva detto che sarebbe molto apprezzata come regalo. Mi immagino per esempio che tanti ragazzi che dovranno affrontare la maturità quest’anno o in futuro sanno cosa farsene e come usarla 😉

Per cui semplicemente qui sotto ti riporto le 3 migliori calcolatrici grafiche in base alle Recensioni su Amazon, che sono solitamente ciò che guardo prima di un acquisto, ovviamente dopo aver sentito il parere di amici o partenti nel caso loro abbiano già usato il prodotto.

Ecco qui le 3 calcolatrici grafiche migliori secondo Amazon. Invece di mettertele in ordine di Recensioni positive, visto che sono tutte ottime da quel punto di vista, te le metto in ordine crescente di prezzo:

Casio FX-9750 GII Calcolatrice Grafica senza CAS, Ampio Display Monocromatico a 8 Righe, 61kB RAM, Blu Scuro

Ecco il link di Amazon per scoprire i dettagli di questo modello: LINK AMAZON.

Casio FX-CG50 Calcolatrice Grafica senza CAS con Display a 65.000 Colori, Grafici 3D e Alimentazione a Batteria

Ecco la pagina Amazon del prodotto: LINK AMAZON.

Texas Instruments TI-Nspire CX – Calcolatrice Grafica Scientifica Schermo Colori Con Touchpad

Ecco il link di Amazon per le recensioni: LINK AMAZON.

Con ciò la lista dei consigli termina qui, spero di averti dato qualche spunto interessante per fare o farti un bel regalo. Se pensi che questo articolo possa piacere a qualche tuo amico condividilo, basta anche una storia con lo screen all’articolo taggando la pagina @mathoneig 😉 su Instagram!

Spazio di Hilbert (PARTE 1) : concetti base e cenni storici

Magari ti è già capitato di sentire nominare Hilbert, ma a meno che tu non abbia già seguito un corso di analisi funzionale o qualcosa di analogo, probabilmente non sai cosa sia uno spazio di Hilbert.

Andremo quindi alla scoperta di questi particolari spazi, vedendone un po’ di storia, una caratterizzazione formale e rigorosa, le principali proprietà, alcuni esempi e per finire introdurremo l’importante concetto di Serie di Fourier generalizzata parlando di proiezioni.

In questo articolo lascerò da parte gli ultimi tre punti di questa lista, “limitandomi” quindi a introdurre alcuni concetti base e a fare un preambolo storico, perché altrimenti verrebbe troppo lungo. Termineremo quindi questo percorso alla scoperta degli spazi di Hilbert in un secondo episodio che scriverò tra non molto. Se vedo che sarebbe troppo lungo anche il secondo non si sa mai che lo spezzi in un ulteriore terzo, tanto di cose da dire ce ne sarebbero una marea 😉

Di strada da fare quindi ne abbiamo parecchia, ma cercherò di renderla il più scorrevole e piacevole possibile quindi, cosa stiamo aspettando?! Iniziamo con il succo dell’articolo!

Prima di iniziare ti lascio una piccola legenda della notazione matematica che userò, e che è usata classicamente, per rendere il testo più scorrevole (nel caso tu non ci fossi già abituato):

  • $v\in V$ vuol dire che l’elemento $v$ appartiene all’insieme $V$
  • $\exists x\in X$ significa che esiste una $x$ nell’insieme $X$
  • $\forall x\in X$ sta ad indicare per ogni $x$ dell’insieme $X$.

Definizioni e concetti base che useremo per scoprire gli spazi di Hilbert

Per poter parlare di spazi di Hilbert, è necessario che alcuni concetti siano noti, vediamo quindi di sintetizzarli in questo paragrafo 😉 . Non voglio fare sbrodoloni inutili in questa sezione, per cui tutte queste nozioni sono organizzate qui sotto in maniera sintetica ma più che sufficiente per capire il seguito dell’articolo e soprattutto le prossime puntate.

Spazio vettoriale su $\mathbb{R}$

Diciamo spazio vettoriale rispetto al campo $\mathbb{R}$ un insieme $V$, i cui elementi saranno chiamati vettori, equipaggiato di due operazioni

$+ : V\times V\rightarrow V$ e $* : \mathbb{R}\times V \rightarrow V$ tali che soddisfino le seguenti proprietà:

  • $(V,+)$ è un gruppo abeliano, ovvero:
  1. Esiste un elemento neutro $0_V$ rispetto a $+$, quindi esiste $0_V$ tale che $a+0_V=a\,\forall a\in V$.
  2. Esiste un elemento inverso rispetto a $+$, quindi esiste un $\bar{a}$ tale che $a+\bar{a}=0_V\,\forall a\in V$.
  3. L’operazione $+$ è associativa, ovvero $(a+b)+c=a+(b+c)$, $\forall a,b,c\in V$.
  4. Vale la proprietà commutativa (perché è abeliano): $a+b=b+a$, $\forall a,b\in V$.
  • Vale la proprietà distributiva tra $*$ e $+$:
  1. $k*(a+b) = k*a + k*b$, $\forall a,b\in V,\,k\in\mathbb{R}$.
  2. $(k+m)*a = k*a + m*a$, $\forall k,m\in\mathbb{R},\,a\in V$.
  • Proprietà di neutralità
  1. Se $1_{\mathbb{R}}*k = k\,\forall k\in\mathbb{R}$, allora deve valere che $1_{\mathbb{R}}*a=a\,\forall a\in V$.

P.S. Ci tengo a sottolineare che le due operazioni $+$ e $*$ non sono necessariamente le classiche addizione e moltiplicazione che siamo abituati a usare con i numeri reali. Si possono definire le più svariate operazioni sullo spazio $V$, purché la terna $(V,+,*)$ soddisfi le proprietà elencate qui sopra 🙂 . D’ora in poi parleremo di spazio vettoriale $V$ per denotare questa terna, quindi si sottintende che esso sia equipaggiata di due operazioni come sopra.

Prodotto scalare

Dato uno spazio vettoriale $V$ possiamo introdurvi un prodotto scalare, che è un’operazione tra elementi $v,w\in V$ che soddisfa alcune proprietà. Vediamo quindi come definirlo:

Un prodotto scalare sullo spazio vettoriale $V$ è un’operazione $\langle\cdot\,,\,\cdot\rangle : V\times V\rightarrow \mathbb{R}$ tale che

  1. $\langle v,v \rangle \geq 0$ per ogni $v\in V$, ovvero è un’operazione definita positiva, in particolare è $=0$ se e solo se $v=0_V$.
  2. Sia simmetrica, ovvero $\langle v,w\rangle = \langle w,v\rangle$ per ogni $v,w\in V$.
  3. Sia bilineare, data la simmetria però basta la linearità rispetto al primo termine:
  • $\langle kv,w \rangle = k\langle v,w\rangle$ per ogni $k\in\mathbb{R}$ e $v,w\in V$.
  • $\langle v+v’,w\rangle = \langle v,w \rangle + \langle v’,w\rangle.$

Si dice il prodotto scalare essere degenere, e quindi non ben definito, se esiste un vettore $w\neq 0$ tale che

$\langle v,w \rangle = 0$ per ogni $v\in V$, ovvero un vettore $w\in V$ perpendicolare a tutti gli altri vettori di $V$.

Infatti il concetto di prodotto scalare, deve essere ricondotto da un punto di vista geometrico al concetto di proiezione ortogonale. In particolare quando si calcola $\langle v,w\rangle$ non si sta altro che cercando la lunghezza della proiezione di $v$ lungo $w$ (o viceversa) rispetto ad una particoalre proiezione.

Questo è un classico esempio dove lo spazio vettoriale usato è $\mathbb{R}^2$ e la proiezione standard, quella basata sul prodotto scalare euclideo.

Un prodotto scalare è in grado di definire una norma, ovvero una nozione di lunghezza, sullo spazio $V$. Per farlo si può semplicemente procedere così: $||v|| = \langle v,v \rangle ^{\frac{1}{2}}$ per ogni $v\in V$. L’idea dietro a questa definizione e di definire la norma come la lunghezza della proiezione di un vettore su se stesso.

Prima di proseguire, vediamo un’importante proprietà che segue da quelle che caratterizzano il prodotto scalare: la disuguaglianza triangolare.

Questa si può esprimere così: $||u+v||\leq ||u|| + ||v||$ per ogni $u,v\in V$. In termini pratici, hai già visto di sicuro questa disuguaglianza quando hai studiato i triangoli. Ricordi infatti che la somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo singolarmente? Ecco, se ogni lato lo vedi come un vettore tutto torna 😉

Se vuoi approfondire il concetto di prodotto scalare ti consiglio questa pagina: Prodotto scalare.

Proiezione ortogonale

Ci siamo, vediamo l’ultimo concetto per poi passare a parlare sul serio di spazi di Hilbert! 🙂 Se ti è capitato di studiare un minimo la geometria nello spazio euclideo $\mathbb{R}^n$, anche solo in $\mathbb{R}^2$ è sufficiente, certo saprai che in questo spazio è ben definito un prodotto scalare.

In particolare lo possiamo definire come segue presi due vettori $\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$, dove $\vec{x}=(x_1,x_2,…,x_n)$ mentre $\vec{y}=(y_1,y_2,…,y_n)$:

$\langle (x_1,x_2,…,x_n), (y_1,y_2,…,y_n)\rangle := x_1\cdot y_1 + x_2\cdot y_2 + … +x_n\cdot y_n = \sum_{i=1}^n x_i\cdot y_i.$

Grazie all’esistenza di un prodotto scalare possiamo anche parlare di proiezione ortogonale , che in termini intuitivi si equivale al concetto di ombra. Infatti ti sarai certamente accorto che, nella realtà, quando un oggetto come una matita è posto in posizione inclinata sopra una superficie, con una luce che lo illumina dall’alto, sul tavolo potrai vedere un’ombra. Bene, da un punto di vista matematico quest’ombra si chiama la proiezione ortogonale del vettore matita sul piano del tavolo 😉 .

In alternativa potresti anche proiettare un vettore su un altro vettore, rappresentando il concetto intuitivamente nello stesso modo.

Nell’immagine qui sopra non ho una luce perfettamente sopra la penna, ma il concetto penso sia chiaro. Infatti nonostante la luce venga un po’ in diagonale, abbiamo un ombra sul tavolo. Questa non sarà una proiezione ortogonale ma qualcosa di leggermente diverso, ma non curiamocene visto che non è questo il tema dell’articolo. La foto qui sopra vuole solo essere da immagine per capire ciò di cui stiamo parlando 😉

Per concludere, come si calcola la proiezione ortogonale (che d’ora in poi chiamerò solo con proiezione) di un vettore $v=(v_1,…,v_n)\in\mathbb{R}^n$ su un vettore $w=(w_1,…,w_n)\in\mathbb{R}^n$?

Beh, è molto semplice! Per trovare la lunghezza del vettore di proiezione basta fare il prodotto scalare tra i due vettori, poi basta trovare la direzione lungo la quale si trova $w$ e quindi moltiplicare la lunghezza della proiezione per questo vettore unitario di direzione 😉 Ma vediamo un po’ di conti che sono sicuro che ti chiariranno il concetto. Qui sotto denoteremo con $P_w(v)$ il vettore proiezione ortogonale di $v$ lungo il vettore $w$.

$P_w(v) = \langle v,w\rangle \frac{w}{||w||} = \frac{1}{\sqrt{w_1^2+…+w_n^2}}(w_1,…,w_n) \sum_{i=1}^n v_i\cdot w_i $.

Dove all’inizio vedi il vettore $w’= \frac{w}{||w||} $, intendo il vettore unitario di direzione lungo la quale vive il vettore $w$, infatti ho usato il vettore $w$ è l’ho diviso per la sua norma, così che $||w’||=1$. Chiaramente, visto che stiamo parlando di $\mathbb{R}^n$ mi è venuto naturale spiegarti questi concetti usando norma euclidea e il classico prodotto scalare euclideo, ma si può fare lo stesso discorso con un qualunque prodotto scalare e la relativa norma indotta. Infatti la prima uguaglianza qui sopra vale ancora, poi quando ho esplicitato i conti invece va sostituita la corretta norma e prodotto scalare.

Ci siamo! Ora siamo pronti per addentrarci negli spazi di Hilbert, che sostanzialmente ambiscono a definire questi strumenti su spazi più generali, a dimensione infinita in particolare. Ma non spaventarti, pian piano ti sarà tutto più chiaro.

Ti faccio una doverosa premessa…la parte storica qui sotto nomina parecchi concetti avanzati che provo a spiegarti ma se non li hai mai sentiti immagino sarà di difficile lettura. Per cui se ti interessa sapere cosa si nasconde nella storia dietro il concetto di Spazio di Hilbert ti consiglio di fare un tentativo, magari non capirai tutto ma in linea generale lo sviluppo e le motivazioni dietro questo oggetto matematico ti saranno chiari 🙂

Altrimenti, se al momento non hai voglia di cose difficili o se non ti interessa la parte storica e preferisci aspettare che esca la seconda puntata sulle proprietà e sugli esempi, ci possiamo salutare qui e amici come prima .

Un po’ di storia sugli spazi di Hilbert

Prima dello sviluppo del concetto di spazio di Hilbert, furono ottenute altre generalizzazioni degli spazi Euclidei $\mathbb{R}^n$, che erano note ed utilizzate sia da fisici che matematici. In particolare, l’idea di uno spazio lineare astratto maturò e ricevette sempre più interesse verso la fine del 19° secolo.

Questo spazio a cui si arrivò, era uno spazio i cui elementi potessero essere sommati tra loro e moltiplicati per uno scalare (un numero reale o complesso per esempio) senza però doverli necessariamente associare con il classico vettore geometrico di $\mathbb{R}^n$. Un esempio classico sono gli spazi di matrici, che godono tranquillamente di queste proprietà ma non sono intuitivamente associabili all’immagine di un vettore (in realtà si può fare questa associazione, ma non è necessaria per poter lavorare con le matrici).

Anche altri oggetti studiati dai matematici a cavallo del 20° secolo, in particolare gli spazi di sequenze e gli spazi di funzioni, possono essere naturalmente intesi come spazi lineari (ti ricordo che per spazi lineari, di per sè, intendiamo gli spazi vettoriali di cui abbiamo parlato prima 😉 ).

Le funzioni, per esempio, possono essere sommate tra loro e moltiplicate per una costante, e queste operazioni obbediscono alle classiche proprietà delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare che rispettano i vettori nello spazio Euclideo.

Nel primo decennio del 20° secolo, sviluppi paralleli portarono all’introduzione degli spazi di Hilbert. Il primo di questi sviluppi fu l’osservazione, emersa quando David Hilbert e Erhard Schimidt stavano studiando le equazioni integrali (se non ne hai mai vista una ecco qui qualcosa che può esserti utile: equazioni integrali), che due funzioni quadrato sommabili a valori reali, $f$ e $g$, su un intervallo $[a,b]$ (ovvero $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$), ammettono un prodotto scalare:

$\langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)dx$

che ha tutte le classiche proprietà a cui siamo abituati per il prodotto scalare dei vettori nello spazio $\mathbb{R}^n$ e di cui abbiamo parlato in generale nel paragrafo sopra.

Ah…per non spaventare nessuno, quando scrivo che una funzione è “quadrato sommabile”, intendo che l’integrale del quadrato della funzione è finito:

$\int_a^b f^2(x)dx < +\infty$.

Un esempio di funzione che non è quadrato sommabile è la funzione $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ nell’intervallo $[0,1]$, infatti si ha:

$\int_0^1 \Big(\frac{1}{\sqrt{x}}\Big)^2dx = \int_0^1 \frac{1}{x} dx = \log{1}-\lim_{x\to 0^+} \log{x} = +\infty$.

Giusto per completezza, ti dico che lo spazio delle funzioni che hanno questa proprietà si denota solitamente con $\mathcal{L}^2([a,b])$ ed è uno spazio di Hilbert se equipaggiato del prodotto scalare definito qualche riga più in su.

Schmidt sfruttò le somiglianze tra questo prodotto interno (scalare) con il classico prodotto di $\mathbb{R}^n$ per dimostrare una versione ampliata del teorema spettrale dell’algebra lineare (se non lo conosci qui trovi una bella spiegazione: Teorema spettrale) per ottenere una decomposizione di un operatore della forma:

$f(x)\rightarrow \int_a^b K(x,y)f(y)dy$

con $K$ che è una funzione continua e simmetrica di $x$ ed $y$. Questo operatore è chiamato operatore di Hilbert-Schmidt (questa non tutti la capiranno, ma va bene così: symmetric self-adjoint, smooth compact!)

Il secondo sviluppo che portò alla costruzione della nozione di spazio di Hilbert fu l’integrale di Lebesgue. Questo è un’alternativa all’integrale di Riemann che solitamente si studia ad analisi 1 e che è poi quello che si vede anche in quinta superiore 😉

Questo “nuovo integrale” fu introdotto da Henri Lebesgue nel 1904 e permise di integrare più funzioni, una classe più ampia di funzioni. Questo integrale permise, nel 1907, a Frigyes Riesz e Ernst Sigismund Fischer di dimostrare, indipendentemente, che lo spazio $\mathcal{L}^2$ di cui ti ho parlato prima è uno spazio metrico completo.

La completezza è una proprietà fondamentale di $\mathbb{R}^n$ e questo non fa che aumentare le somiglianze tra gli spazi euclidei e questa nuova tipologia di spazi che questi grandi matematici stavano introducendo. Se non conosci il termine spazio completo ti consiglio di dare una letta qui, è spiegato in modo chiaro: Spazio metrico completo.

Come conseguenza naturale del forte legame tra la geometria dello spazio Euclideo e il risultato di completezza, i risultati del 19° secolo raggiunti da Joseph Fourier (se vuoi qui trovi un articolo che avevo scritto sulla Trasformata di Fourier che è strettamente legata con ciò di cui stiamo parlando), Friedrich Bessel e Marc-Antoine Parseval sulle serie di Fourier, o comunque sulle serie trigonometriche, si generalizzarono a questi spazi più ricchi e “potenti”. Andarono così a costituire la struttura geometrica e analitica del teorema di Riesz-Fischer.

Chiudo questa serie di teoremi importanti con il riferimento a un altro che è obbligatorio citare, il teorema di Rappresentazione di Riesz. Questo, in linea pratica, dice che ogni funzione lineare

$L(\alpha v + w) = \alpha L(v) + L(w)$, $\forall \alpha\in\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ e $\forall v,w\in H$

e continua definita da uno spazio di Hilbert a $\mathbb{C}$ oppure $\mathbb{R}$ (a seconda del campo su cui $H$ è spazio vettoriale), che in gergo è chiamato funzionale lineare a continuo $L:H\rightarrow \mathbb{R}\,(L\in H’)$, può essere associata ad uno ed un solo elemento $v_L$ dello spazio di Hilbert, in modo che applicare la funzione $L$ ad un vettore $w\in H$ equivale a moltiplicare questo vettore $w$ per il rappresentante $v_L$:

$L(w) = \langle v_L,w \rangle$ per ogni $w\in H$.

Se ci pensi, è un po’ come la matrice associata univocamente ad ogni funzione lineare che si vede in algebra lineare (se non conosci questo risultato, qui trovi una spiegazione molto chiara : Matrice associata a un’applicazione lineare) , solo che qui va richiesta la continuità perché, su spazi a dimensione infinita, si possono costruire funzioni lineari ma non continue 😉 .

Bene, prima di passare alle motivazioni fisiche dello sviluppo della teoria sugli spazi di Hilbert, ci tengo a dirti che quest’ultimo teorema fu dimostrato in via indipendente da Maurice Fréchet e Frigyes Riesz nel 1907.

Ah..un’ultima cosa! Ma chi ha introdotto il termine SPAZIO DI HILBERT? Il colpevole è John von Neumann, che coniò il termine spazio di Hilbert astratto nel suo lavoro sugli operatori Hermitiani illimitati. Von Neumann fu di per sé il primo a fornire una trattazione completa e assiomatica di questi spazi, prima di lui i matematici li utilizzavano ma più per interesse fisico.

Ma quindi servono a qualcosa questi spazi? Sono usati per la fisica? Proprio così, la motivazione principale che portò alla formalizzazione di questi spazi fu il fornire una struttura matematica alla meccanica quantistica. Infatti gli stati in un sistema quantistico sono vettori in un certo spazio di Hilbert.

Ma non mi dilungo oltre su questo tema, dato che Gianluca sta trattando proprio questi aspetti nei suoi articoli! Il primo lo trovi qui: https://www.mathone.it/meccanica-quantistica-1/

P.S. Questa parte storica l’ho tradotta e rielaborata a partire dalla pagina inglese di Wikipedia, che se vuoi più dettagli puoi trovare qui: Wikipedia – Hilbert Spaces

Conclusione

Perfetto, con questa parte storica direi che può dirsi conclusa una prima panoramica su questi strani oggetti, gli spazi di Hilbert. Se hai notato nel corso dell’articolo ho disseminato link per tuoi eventuali approfondimenti, perché come mi piace dire spesso, qui sul blog non abbiamo l’obiettivo di insegnare nulla ma solamente di incuriosire e dare gli strumenti per approfondire 😉

Detto ciò, se può interessarti qui sotto trovi un video davvero molto chiaro sugli spazi vettoriali astratti (è inglese) e il link a un libro di testo in cui si parla anche di questo argomento (più in generale di analisi funzionale) che magari può interessarti. Inoltre ti ricordo che questa è solo la prima puntata di due e tre che farò sugli spazi di Hilbert, quindi ti aspetto per le prossime 😉 !

Il libro che ti voglio suggerirti è un classico dell’analisi funzionale e lo trovi qui: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations .

Il video invece è questo: