Fisica matematica: cos’è e molte risorse per approfondirla

Cos’è la fisica matematica? Se non hai mai studiato matematica probabilmente non ne hai mai sentito parlare e non ti è chiaro dove possa concludersi la fisica e iniziare la matematica, o viceversa. Quindi questo articolo vuole aiutarti ad avventurarti in questo mondo che ho scoperto un paio d’anni fa e mi sta piacendo sempre di più, non si sa mai che con questo articolo ti venga voglia di scaricarti una delle dispense che ti suggerisco o comprarti uno dei libri elencati per approfondirla da solo 🙂 Dopotutto con gli articoli sul blog non miriamo ad insegnare nulla, ma ad incuriosire e dare gli strumenti per successivi approfondimenti personali! Ma bando alle ciance…iniziamo!

Ah dimenticavo…se non lo sai ho anche un canale Youtube e la fisica matematica sarà senz’altro uno dei miei principali interessi nei video. Se non sei ancora iscritto lo trovi qui: CANALE YOUTUBE MATHONE.

Fisica matematica

Cos’è la fisica matematica?

Per iniziare questo paragrafo ti riporto la definizione di fisica matematica che puoi trovare anche su Wikipedia perchè mi sembra molto chiara ed un ottimo punto di partenza:

La fisica matematica è quella disciplina scientifica che si occupa delle “applicazioni della matematica ai problemi della fisica e dello sviluppo di metodi matematici adatti alla formulazione di teorie fisiche e alle relative applicazioni“.

Wikipedia

Vediamo un po’ di analizzare quanto scritto qui sopra. Partendo da cosa sia la fisica si può capire abbastanza semplicemente la definizione qui sopra. Infatti fisica vuol dire, anche in termini di origini della parola, “natura” o “le cose naturali”. È quindi la branca della scienza che si occupa letteralmente di studiare i fenomeni naturali, utilizzando un formalismo matematico e degli strumenti forniti dalla matematica.

Prima di proseguire, ci tengo a dirti che se vuoi vedere il video che ho fatto su questo argomento lo trovi qui:

Questi fenomeni naturali vengono quindi osservati, misurati e poi analizzati grazie a vari strumenti matematici. L’obiettivo ultimo della fisica è quello di costruire delle relazioni tra i fenomeni naturali (dei legami astratti) e quindi essere in grado di prevedere alcuni risultati a partire da delle misurazioni concretamente effettuabili.

Bene, se ci hai fatto caso, nelle righe qui sopra ho evidenziato in grassetto i termini “forniti dalla matematica”. È proprio qui che possiamo infatti far ricadere la linea di delimitazione tra fisica matematica e fisica. Chi si occupa di fisica matematica ha sostanzialmente l’obiettivo di fornire gli strumenti, i formalismi, i metodi che poi possono essere applicati dai fisici (in genere) per analizzare un particolare fenomeno naturale.

Da un punto di vista storico, possiamo trovare la motivazione che ha portato all’interesse per la fisica matematica già dalle parole di Galileo:

Il mondo naturale va descritto con il suo linguaggio, e questo linguaggio è la matematica.

Galileo Galilei

Quindi, in parole povere, possiamo dire che la differenza tra la fisica matematica e la fisica teorica sta nella particolare attenzione che la prima pone verso il formalismo tipico della matematica per descrivere fenomeni fisici, mentre la seconda ha il chiaro obiettivo, prima o dopo, di andare a relazionarsi con la fisica sperimentale e quindi, il reale mondo osservabile.

Differenti scale studiate dalla fisica matematica

Questa sezione è parecchio importante perchè permette un po’ di classificare i vari settori della fisica matematica in base al loro oggetto di studio. Più precisamente questa classificazione sarà basata sulla “grandezza” della scala analizzata da questi rami di studio.

Vediamo un esempio che ci permette di analizzare questo molto chiaramente:

Supponi di voler descrivere come si muove un gruppo di 2 palline che, partendo da punti diversi di un tavolo da biliardo, vengono lanciate verso il centro del tavolo così da interagire l’una con l’altra.

Bene, in questo caso la dinamica si può studiare a livello microscopico, ovvero analizzando con un’equazione differenziale ordinaria la dinamica di ogni pallina, andando quindi ad ottenere un sistema di 2 equazioni, basate fondamentalmente sulla legge di Newton, chiaramente non semplici ma sempre 2 equazioni ordinarie sono. Infatti in questo caso il numero degli oggetti coinvolti è basso, per cui non è eccessivamente costoso descrivere singolarmente le dinamiche delle singole particelle.

Ecco quindi vista la parte della fisica matematica che si occupa delle scale MICROSCOPICHE. Qui ricade la meccanica razionale, che coinvolge in maniera pesante l’analisi dei sistemi dinamici ed è la parte della fisica matematica a cui mi sto appassionando maggiormente.

Andiamo ad aumentare il numero degli oggetti coinvolti.

Supponiamo di avere 150 persone, chiuse all’interno di una stanza, che al momento di un incendio devono evacquare la stanza. Capisci bene che in questo caso descrivere la dinamica di ogni singola persona sarebbe troppo costoso, infatti si dovrebbero tenere in considerazione troppi dettagli, troppe interazioni, troppe equazioni. Avremo come minimo 150 equazioni ordinarie se seguissimo un approccio microscopico, tutte vincolate a certi fattori quali “la consapevolezza che l’individuo ha di dove sia l’uscita di sicurezza” o “quanto spaventato è il soggetto” e cose del genere, non semplice nemmeno da risolvere in termini di costi computazionali una volta “messo giù” il sistema.

Ecco quindi che qui si può decidere di coinvolgere un approccio che lavora ad una scala superiore, l’approccio CINETICO o meglio l’approccio che si dedica all’analisi dei fenomeni su scala MACROSCOPICA.

In quel caso, non ci si interessa del variare della posizione allo scorrere del tempo del singolo individuo, ma si analizza la densità di probabilità associata all’evento che gli individui si trovino in una certa zona ad un certo istante temporale.

Quindi si iniziano a trattare tutte insieme le persone come una sola cosa, avremo quindi delle equazioni cinetiche che coinvolgono le variabili di velocità, posizione e densità di probabilità. Meno equazioni ma più “legate” l’una all’altra.

Se ti interessa questa classe di problemi ti consiglio di andarti a leggere qualcosa sul problema di evacquazione, sulla dinamica degli stormi di uccelli o anche sull’equazione di Vlasov Poisson di cui sto ascoltando alcune lezioni qui a Nizza, la trovi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Vlasov_equation .

Passiamo quindi all’ultima, ma non meno importante, scala di analisi dei problemi della fisica matematica. La scala MESOSCOPICA. In questo caso si passa dalle equazioni cinetiche alle equazioni alle derivate parziali (PDE). Lo studio di questa classe di fenomeni è basata sul vedere gli oggetti coinvolti nella dinamica come un fluido continuo.

Ti faccio un esempio. Supponi di avere un’autostrada ad una sola corsia in cui la frequenza di macchine che passano da una certa posizione è così alta da poter approssimare la sequenza di macchine come un fiumiciattolo e descrivere lo scorrere delle macchine come la variazione di densità, in spazio e tempo, del fluido. Per esempio in questo caso si parla di equazione di Burgers $\partial_t u +\partial_x(u^2/2)=0$ ma le equazioni alle derivate parziali che si possono generare sono veramente infinite.

Per esempio si può far ricadere in questa macro area della fisica matematica lo studio matematico della dinamica dei fluidi, della turbolenza, delle onde sonore e molto altro ancora.

Risorse e libri di testo consigliati per iniziare a studiarla

Eccoci finalmente alla sezione che ritengo più utile dell’articolo 🙂 Fortunatamente infatti si possono trovare molti libri e dispense ben fatte riguardo a questi temi. Chiaramente la fisica matematica è un settore ampissimo perché si interessa dei più svariati fenomeni e delle più svariate scale.

Di alcuni di questi settori so poco o nulla, per cui mi limito ad elencarti qui sotto risorse per approfondire temi che ho avuto modo di studiare personalmente in maniera più o meno avanzata. Quindi settori come la teoria spettrale per la meccanica quantistica o altri non te li riporto perché ho avuto modo di studiarli in parte ma poco rivolti alla fisica, più come uno strumento generale della matematica poi eventualmente utilizzabile per la fisica, quindi preferisco evitare.

Delle scale di cui ti ho parlato qui sopra andremo a vedere qualche risorsa riguardante i fenomeni della dinamica (rivedendo quindi in maniera più formale e rigorosa, alla luce della geometria differenziale, la meccanica classica), qualche riferimento a testi riguardanti le PDE iperboliche e i modelli matematici per le PDE della fisica in generale. Ovviamente è molto restrittivo come panorama, ma preferisco evitare di suggerirti cose che non ho studiato personalmente almeno in parte.

Sistemi dinamici e meccanica razionale

Questo è il settore che preferisco tra quelli che ti ho nominato, è molto ampio, molto visivo nelle tecniche utilizzate e spesso tratta più o meno direttamente di fenomeni che puoi vedere tranquillamente nella vita quotidiana. Di suggerimenti da darti ne avrei quindi molti ma mi limito a fornirti qualcosa di ben mirato. Partiamo dai sistemi dinamici per i quali ti lascio una playlist di video (in inglese ma fatti da un italiano 😉 ) su Youtube che è davvero chiara:

Questo è solo il primo video del corso, se clicchi sul titolo poi ti si apriranno anche le successive lezioni

Se preferisci studiare su dei libri o delle dispense eccoti accontentato/a:

  1. Introduzione all’Analisi Qualitativa dei Sistemi Dinamici Discreti e Continui (qui si punta molto sulle tecniche qualitative del ritratto di fase, che permettono di ottenere molte informazioni sul sistema in analisi senza risolvere l’equazione che lo descrive, come spesso necessario…uno dei due autori è stato mio professore di Dinamica dei Fluidi 😉 ).
  2. Una passeggiata tra i sistemi dinamici (Dispensa di Giancarlo Benettin per l’università di Padova, ho avuto modo di usarla parecchio in questi 2-3 anni)

Purtroppo non posso lasciarti la dispensa da cui ho studiato al mio corso di sistemi dinamici perché è protetta da password e preferisco evitare casini 🙂

L’analisi qualitativa, che puoi apprendere qui sopra in maniera più o meno approfondita, diventa poi fondamentale se vuoi spostarti sull’approccio newtoniano, lagrangiano o hamiltoniano verso la dinamica classica. Per studiare questi approcci ecco le risorse che mi sento di suggerirti:

  1. Dispense per il corso di Istituzioni di Fisica Matematica – prof. F. Fassò : queste ho avuto modo di consultarle parecchio quest’anno per preparare l’esame di Meccanica Analitica
  2. Questa dispensa invece non l’ho mai consultata ma mi sembra ben fatta e tratta del formalismo Hamiltoniano: Dispensa UniMi
  3. Per studiare questi temi spesso è necessario utilizzare concetti e strumenti della geometria differenziale, di libri a riguardo ce ne sono tanti ma ultimamente mi sto trovando a guardare spesso questo libro in cui si utilizzano molti esempi e rappresentazioni grafiche per cui te lo consiglio: A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds.

Equazioni alle derivate parziali della fisica matematica

Come abbiamo visto nei paragrafi precedenti, non sempre per parlare di fisica matematica è sufficiente coinvolgere equazioni differenziali ordinarie, come per la meccanica razionale, spesso per analizzare la dinamica dei continui, vibrazioni, fluidi e molto altro sono necessarie equazioni alle derivate parziali. Questo è un mondo ampissimo, quindi è dura dare suggerimenti anche perché ho avuto modo di studiarle sotto vari aspetti ma chiaramente non so nulla in confronto a tutto ciò che è stato scoperto fino ad ora.

Ti do però qualche suggerimento riguardo a testi scorrevoli e che potrebbe interessarti studiare o sfogliare. Parto da un suggerimento che mi aveva dato il buon Erik ormai un anno fa, è un libro molto piacevole da leggere e consultare, in cui si parla dei modelli matematici della fisica, si analizzano le varie procedure per ricavarli e si studiano poi le equazioni ottenute da un punto di vista delle loro proprietà ed eventuali tecniche risolutive. In questo libro si spazia in tutte le principali classi di PDEs (Partial Differential Equations), guardando equazioni ellittiche, paraboliche, iperboliche e tutto ciò che ci sta intorno.

E’ in italiano ed il titolo è Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni.

Passiamo poi al classicone di questo campo di studi, non è di sicuro un testo leggero e semplice dato che generalizza, quando possibile, ad $\mathbb{R}^d$ mentre per farsi un’idea di ciò che si sta parlando spesso è utile ragionare direttamente in $\mathbb{R}^2$ per poter rappresentare quanto letto, ma comunque sto parlando dell’Evans, il libro è: Partial Differential Equations.

Tanto per dire 😉

Come per le equazioni differenziali ordinarie è raro poter risolvere analiticamente una PDE, per cui ti lascio anche un testo, in italiano, con cui mi sono trovato bene e si parla di risoluzione numerica di PDE: Modellistica Numerica per Problemi Differenziali.

Dopo chiaramente di testi da suggerire ce ne sarebbero molti altri, magari più specifici per un particolare settore o più rivolti alla modellizzazione matematica. Per questa tipologia di argomenti onestamente non mi sono mai trovato particolarmente bene con le dispense ma ho sempre preferito i libri, se proprio dovessi trovarne una, che però riguarda “solo” le equazioni e i sistemi di equazioni iperboliche, da cui ho studiato per preparare un esame in Erasmus è: Hyperbolic Conservation Laws An Illustrated Tutorial .

Sono consapevole che i libri e le dispense suggerite in queste ultime righe sono costosi e difficili, però per vedere questa tipologia di argomenti lo sforzo richiesto è parecchio alto. In realtà anche per la meccanica razionale e i sistemi dinamici lo sforzo è molto alto però per iniziare a studiarle, avendo usato delle dispense universitarie, sono riuscito a suggerirti qualche risorsa più passo a passo/introduttiva. Qui invece non ho mai trovato nulla onestamente.

Bene, spero che questo articolo introduttivo alla fisica matematica ti sia piaciuto. Ti anticipo che la lista delle risorse per approfondire questi temi la amplierò mano a mano che studierò cose nuove (e ne studierò parecchie anche solo per la tesi), inoltre questo è solo l’inizio. Infatti più avanti farò molti articoli e video dedicati a questi temi, magari più specializzati su un esempio, su un’equazione o un modello. Se ti piace come tema dimmelo con un commento qui sotto e se hai suggerimenti di ogni genere fammi sapere 🙂

6 (+1) regali di natale da fare ad un appassionato di matematica

Qualche giorno fa, sulla pagina Instagram, ho fatto la domanda che trovi qui a destra. L’obiettivo era proprio trovare qualche spunto in più per scrivere questo articolo che spero ti sia utile. Fare regali non è mai facile, per cui ho provato a raccogliere qualche idea magari un po’ originale se ti interessa sorprendere qualche amico, parente o chiunque altro sia appassionato di matematica.

Ah..prima di proseguire 😉 In tanti mi hanno detto che come regalo vorrebbero un po’ di CFU o una laurea, purtroppo però non ho alcun link da suggerirvi per comprarli ahah Però posso suggerirvi questi due articoli in cui do qualche consiglio sull’università:

  1. 8 consigli per gestire al meglio l’università di matematica
  2. Libri di testo consigliati per l’università

Ho deciso di organizzare la lista in 6 consigli principali e un settimo aggiuntivo (ecco il perché del +1 nel titolo) che a tanti non sarà utile ma, a seconda dell’età dell’interessato, so che potrebbe esserlo e lo confermano anche i numerosi suggerimenti che ho ricevuto alla domanda qui a destra.

Inoltre ti ricordo che se non segui ancora la pagina Instagram la puoi trovare qui: @mathoneig .

Nella pagina posto ogni giorno una foto con descrizione che ha l’obiettivo di divulgare qualche tema particolare e verso sera troverai anche un meme divertente, per chiudere in allegria la giornata. Ok, quindi cominciamo con i suggerimenti! 😎🎅🏻

Regali matematica

1. Libri divulgativi

Partiamo con il consiglio più scontato ma che sono sicuro sarà di grande impatto. Spesso succede che chi è appassionato di matematica lo sia perché gli piace studiarla, gli piace provare a costruire nuove idee e dimostrazioni, ma accade anche molto frequentemente che non abbia mai letto libri divulgativi o davvero molto pochi.

Questo può accadere per vari motivi, primo tra i quali il fatto che la divulgazione sia sottovalutata rispetto alla formazione tecnica. Certo, se vuoi capire nuovi settori della matematica e diventare esperto in quelli non puoi contare di farlo solo leggendo libri divulgativi, ma secondo me questi hanno un grande potere: sanno rendere semplici cose complicate e soprattutto incuriosire verso aspetti della matematica che magari non si conoscono nemmeno.

Per cui come primo punto di questa lista DOVEVO iniziare con i libri divulgativi. Ora te ne suggerirò tre in particolare, però qualche riga più in basso metto il link ad un articolo che avevo scritto in cui ne sono raccolti 50.

Se ti interessa acquistarne qualcuno, ci tengo a farti sapere che Amazon ha appena lanciato Prime Student, l’abbonamento Prime per gli studenti: tutti i benefici di Amazon Prime, ma a metà prezzo – solo EUR 18,00 all’anno.

Non è abbastanza? Hai un periodo d’uso gratuito di 90 giorni. Ti consiglio di sfruttarlo soprattutto se hai intenzione di leggere di più o fare i regali di natale 😎 http://bit.ly/sconto_studenti

Prima di iniziare con la lista però, ti lascio una breve puntata di podcast in cui ti parlo del perché, secondo me, leggere libri di divulgazione sia una gran cosa in quanto può aiutarti a riavvicinarti alla lettura e conoscere molte cose nuove riguardo la matematica in maniera leggera, per poi magari approfondirle:

Ecco la lista dei tre principali consigli che mi sento di darti. Ah..per semplicità quando scrivo nei paragrafi qui sotto farò finta che tu voglia farti un regalo, quindi parlo direttamente a te. Se stai cercando qualcosa per un amico, parente o chiunque altro cerca di valutare le cose che ti dico rispetto a lui/lei ovviamente 😉

Altra premessa, tutti i link ai libri qui sotto (e ai prodotti che si trovano su Amazon) sono link di affiliazione, per cui se acquisti direttamente da quelli non spenderai nulla in più ma mi verrà riconosciuta una percentuale, quindi senza alcuno sforzo e spesa aggiuntiva starai anche sostenendo il progetto Mathone e per questo ti ringrazio 😉

Apologia di un matematico

Se è un po’ che non leggi ma ti piacerebbe iniziare a scoprire il mondo della divulgazione e vedere se faccia per te, questo è sicuramente il libro da cui iniziare. Si legge in un pomeriggio, è scorrevole ed è molto ben scritto a mio parere. E’ un breve libro scritto da Hardy sul finire della sua vita, dove ha cercato di dare un senso a ciò che ha fatto per tutta la sua carriera: matematica.

Apologia di un matematico

Vuole infatti difendere (apologia vuol dire “difesa”) la matematica, dando spiegazioni dietro al suo motivo di esistere o di essere studiata. Ti consiglio vivamente di leggerlo 🙂

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Apologia di un matematico

Il flauto di Hilbert

Questo libro e il successivo li ho entrambi iniziati ma non ho mai avuto il tempo di finirli, non perchè fossero noiosi (per nulla) ma perché fatalità li avevo presi entrambi in biblioteca in periodi molto impegnati, per cui non ho avuto proprio tempo di finirli. Mi prometto però di leggerli a breve perché sono consigliati da chiunque sia davvero appassionato di divulgazione e, a quanto posso dire dalle prime 50-70 pagine che ho letto, sia questo che il successivo meritano sul serio.

Regali di natale matematica

Ovviamente non posso lasciare alcuna recensione, se non dirti che il Flauto di Hilbert è un libro di storia della matematica davvero ben presentata, di scorrevole lettura. E’ più lungo del precedente ma vale di sicuro lo sforzo.

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Il flauto di Hilbert

Gödel, Escher, Bach. Un’eterna ghirlanda brillante. Una fuga metaforica su menti e macchine nello spirito

Regali di natale libri

Come anticipato, anche questo libro l’ho solo iniziato ma merita sul serio e per questo il prima possibile lo riprenderò per completarlo. E’ un viaggio tra matematica, arte, musica e intelligenza artificiale. Davvero un bel libro a quanto ho letto in giro e sentito da molti.

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Gödel, Escher, Bach

Per la lista completa dei 50 titoli suggeriti, nel caso questi non ti piacciano o non ti sembrano adatti, la puoi trovare qui: I 50 migliori libri di matematica.

2. Lavagna a muro

Questa è stata una grande aggiunta alla mia camera quasi un paio d’anni fa. Certo, serve spazio, ma se hai un po’ di muro libero (o sei disposto a liberarlo), ti assicuro che studiare dimostrazioni o risolvere esercizi alla lavagna è un’altra cosa. Un lato molto positivo di avere una lavagna a muro è che nei pomeriggi di studio intenso, magari poco prima di un esame, ti sarà pesante stare ore e ore seduto a studiare o provare a riscrivere dimostrazioni, quindi è molto utile (per la mia esperienza) alternare momenti seduto a momenti in cui ti alzi, continuando a ripassare ma questa volta scrivendo alla lavagna.

Io l’ho presa anche per fare video su Youtube, che da gennaio 2020 riprenderanno ad uscire (con regolarità) quindi ti consiglio intanto di iscriverti al canale da qui: Mathone Video.

A dirti la verità io non l’ho comprata su Amazon ma, grazie ad un amico, sono riuscito a recuperare una lavagna che era stata restituita perché leggermente difettosa. Ma prima di avere questa occasione mi sono informato parecchio sulle migliori possibilità che Amazon aveva da offrire e quindi qui di seguito ti riporto le 3 sulle quali al tempo ero indeciso, soprattutto leggendo le descrizioni e le recensioni lasciate dai clienti nei commenti.

Intanto ti lascio i pennarelli che ho provato e che continuo a ricomprare quando si scaricano perché mi trovo davvero bene, li trovi qui: Pennarelli cancellabili.

Per la ragione dei pennarelli più economici, ho optato per una lavagna bianca. Sarebbe molto figo anche avere una classica lavagna nera dove si può scrivere con gessi o pennarelli a gesso liquido (che costano un botto), però i gessi li ho provati per un paio d’anni in camera (avevo attaccato un foglio di lavagna adesiva alla scrivania che trovi qui: Lavagna adesiva) ma dopo un po’ la camera diventava invivibile per sporco e polvere di gesso ovunque 😉

Passiamo quindi ai consigli sulle Whiteboards:

AmazonBasics – Lavagna magnetica bianca, cancellabile a secco, con supporto porta-pennarelli e bordi in alluminio, 120 cm x 90 cm:

Regali di natale matematica

Se vuoi guardare le recensioni e descrizioni su Amazon clicca qui: LINK AMAZON.

Nobo 1903772 Lavagna magnetica cancellabile a secco, Kit di montaggio incluso, Bianco, 58.5 x 43 cm:

Regali di natale

Se cerchi qualcosa di più piccolino, economico ma comunque funzionale questa potrebbe essere giusta per te: LINK DI AMAZON.

Bi-Office Maya – Lavagna Magnetica Bianca, 120 x 90 cm, Con Cornice In Alluminio, Superficie Magnetica Acciaio Laccato:

Lavagna a muro

Questa mi è sempre piaciuta, era quella per cui propendevo maggiormente e la puoi vedere qui: LINK AMAZON.

3. Accessori matematici

Questa è la sezione per cui ho ricevuto più messaggi. Me ne sono arrivati alcuni in cui si parlava di sciarpe a forma di Nastro di Moebius, cappelli a forma di Bottiglia di Klein, lampade a forme particolari, soprammobili curiosi per un appassionato di matematica e chi più ne ha più ne metta.

Ho quindi fatto una ricerca su Google riguardo alcuni accessori che potrebbero piacere ad un matematico e alcuni sono davvero fighi, ti metto qui sotto per ognuno di questi 5 link per andare a guardarlo ed un’immagine. Sono tutti cliccabili e se hai qualche ulteriore aggeggino da suggerire sarebbe molto interessante se lo scrivessi sotto all’articolo in un commento 😉

Tutti questi li puoi trovare su Amazon perché ho pensato anche ai tempi di spedizione più ragionevole, se invece sei disposto ad aspettare anche 5-6 settimane di consegna, ho trovato questo negozio di gadget molto ricco che però, spedendo dall’Inghilterra, mi sono ben guardato dal citarlo qui sotto perché le attese salgono parecchio. Ma se può interessarti ecco anche quel negozio: https://mathsgear.co.uk/

1. Forma per dolci a forma di PI Greco

Questo devo ammettere che è una genialata, per una bella torta a tema matematico ci sta perfettamente: STAMPO PER TORTA.

2. Tazza bianca per il caffè o il tè a tema matematico

Ecco il link per questa meraviglia, poi una volta che vai su Amazon ne troverai molte altre, magari che ti piacciono di più: LINK ALLA TAZZA.

3. 3D Illusione Lampada Bottiglia di Klein Luce notturna USB 7 colori LED

Ecco una delle cose che mi avete suggerito maggiormente nella storia di Instagram, devo ammettere che non è male l’idea di averne una in camera 😉 La trovi qui: LINK AMAZON.

Stando a tema bottiglia di Klein, puoi trovare anche questa, un po’ più sobria ma sempre bella: STAMPA 3D.

4. Orologio a tema matematico

Qui va a gusti, o piace o non piace, però anche questo in molti me l’avete suggerito su Instagram per cui, perché non metterlo? Lo puoi trovare qui: LINK OROLOGIO.

5. Pendoli sincronizzati

Questo è davvero bello, di test ne potete fare un mondo e ti lascio qui sotto un video sulla sincronizzazione di questi pendoli da cui potrete prendere spunto per divertirvi…ah il link è qui: LINK PENDOLO

4. Rompicapo in legno (e non)

Questa sezione non mi è stata suggerita da nessuno su Instagram, con mia gran sorpresa in realtà. Spesso a chi piace la matematica piace ragionare, piacciono i problemi, gli indovinelli e…i rompicapo! Perché no!

Io non ne ho testati molti di rompicapo ma nel momento in cui me ne si presenta uno davanti mi intestardisco sopra e ci perdo un botto di tempo, quindi o lo riesco a risolvere o dopo un po’ mi arrendo e voglio cercare la soluzione online (il grande potere di Youtube).

Qualche anno fa avevo anche registrato un video in cui ne risolvevo uno su Youtube 😉 ora non lo trovo più quindi immagino che lo avessi cancellato poco dopo, era registrato al volo tanto per…più che altro per essere certo di sapere dove recuperare la soluzione nel caso mi fosse interessato riprovare a farlo. Da qualche parte ce l’ho ancora, sono sicuro ahah.

I rompicapo che ho in casa o che ho testato provengono tutti da mercatini che trovavo prevalentemente quando ero in vacanza, però per curiosità ho fatto una ricerca online e ho trovato una piattaforma che li vende molto interessante e seria. Mi sono anche sentito con il proprietario e devo dire che si vede proprio che ci tiene a quel sito e ai rompicapo 🙂

Se può interessarti l’idea di regalare o regalarti un rompicapo in legno ( e non ) ti consiglio di dare un’occhiata al loro sito: https://www.logicagiochi.com/it/prodotti/rompicapo-in-legno .

Ti lascio qui sotto l’immagine di un paio di rompicapo che ho testato:

Di questo avevo fatto la video risoluzione, è una figata 😉 Si chiama Rompicapo Evasione

5. Maglietta con stampa matematica

Di magliette con meme, citazioni e immagini divertenti sulla matematica se ne trovano un’infinità online e, se ti piace la matematica e vuoi vantartene, perché non prendersi una maglietta che magari in pochi sono in grado di capire? 😉

A dirti la verità ogni tanto mi viene anche in mente di creare un negozio online del genere con prodotti e magliette matematiche, magari più avanti lo faccio dai 🙂 Se ti piacerebbe magari scrivimelo nei commenti e dammi qualche consiglio che mi farebbe di sicuro comodo!

Siccome non devo certo stare qui a presentarti e spiegarti cosa sia una maglietta sulla matematica, ti lascio qui sotto le immagini cliccabili di alcune magliette simpatiche, inoltre dal link che trovi qui potrai anche accedere alla ricerca “maglietta matematica” su Amazon, te l’ho preparata nel caso ti interessi la tipologia 😉 : http://bit.ly/magletteMate

6. Abbonamento brilliant.org

In pochi conoscono brilliant.org (con questo link hai il 20% di sconto) ma questo è un sito che consiglio sempre quando ne ho l’occasione. E’ ricco di sfide, corsi, indovinelli e cose divertenti da scoprire. E’ una piattaforma dedicata all’approfondimento di matematica, fisica, informatica e molto altro ed il tutto è fatto in maniera coinvolgente e divertente.

La piattaforma consente di accedere ai contenuti anche in maniera gratuita ed io faccio così quando ho tempo, non ho mai testato l’abbonamento a pagamento onestamente. Ma a quanto ho potuto leggere online, vedere su Youtube e a quanto dicono sulla loro pagina web direi che per uno che ha del tempo libero ed è appassionato delle varie tematiche matematiche direi che sarebbe un bel regalo da ricevere.

Per cui se non conosci il servizio/piattaforma ti lascio qui sotto il video introduttivo al corso sulla relatività, giusto per farti un’idea del loro bello stile , mentre più in basso troverai un link per andare a vedere la piattaforma ed eventualmente regalare l’abbonamento a qualcuno (anche a te se ti va 😉 ). Qui ti dico chiaramente che non ho alcuna affiliazione, te lo consiglio semplicemente perchè lo trovo sul serio un bel modo di apprendere e mettersi alla prova.

Ecco il link al sito di brilliant: https://brilliant.org/ (con questo link hai il 20% di sconto)

(+1) Calcolatrice grafica

Il motivo per cui ho messo questa voce come punto aggiuntivo (+1) è perché a molti probabilmente non servirebbe a nulla questo oggetto (a me per esempio, non saprei come usarla), però ho ricevuto molte risposte su Instagram in cui mi veniva detto che sarebbe molto apprezzata come regalo. Mi immagino per esempio che tanti ragazzi che dovranno affrontare la maturità quest’anno o in futuro sanno cosa farsene e come usarla 😉

Per cui semplicemente qui sotto ti riporto le 3 migliori calcolatrici grafiche in base alle Recensioni su Amazon, che sono solitamente ciò che guardo prima di un acquisto, ovviamente dopo aver sentito il parere di amici o partenti nel caso loro abbiano già usato il prodotto.

Ecco qui le 3 calcolatrici grafiche migliori secondo Amazon. Invece di mettertele in ordine di Recensioni positive, visto che sono tutte ottime da quel punto di vista, te le metto in ordine crescente di prezzo:

Casio FX-9750 GII Calcolatrice Grafica senza CAS, Ampio Display Monocromatico a 8 Righe, 61kB RAM, Blu Scuro

Ecco il link di Amazon per scoprire i dettagli di questo modello: LINK AMAZON.

Casio FX-CG50 Calcolatrice Grafica senza CAS con Display a 65.000 Colori, Grafici 3D e Alimentazione a Batteria

Ecco la pagina Amazon del prodotto: LINK AMAZON.

Texas Instruments TI-Nspire CX – Calcolatrice Grafica Scientifica Schermo Colori Con Touchpad

Ecco il link di Amazon per le recensioni: LINK AMAZON.

Con ciò la lista dei consigli termina qui, spero di averti dato qualche spunto interessante per fare o farti un bel regalo. Se pensi che questo articolo possa piacere a qualche tuo amico condividilo, basta anche una storia con lo screen all’articolo taggando la pagina @mathoneig 😉 su Instagram!

Spazio di Hilbert (PARTE 1) : concetti base e cenni storici

Magari ti è già capitato di sentire nominare Hilbert, ma a meno che tu non abbia già seguito un corso di analisi funzionale o qualcosa di analogo, probabilmente non sai cosa sia uno spazio di Hilbert.

Andremo quindi alla scoperta di questi particolari spazi, vedendone un po’ di storia, una caratterizzazione formale e rigorosa, le principali proprietà, alcuni esempi e per finire introdurremo l’importante concetto di Serie di Fourier generalizzata parlando di proiezioni.

In questo articolo lascerò da parte gli ultimi tre punti di questa lista, “limitandomi” quindi a introdurre alcuni concetti base e a fare un preambolo storico, perché altrimenti verrebbe troppo lungo. Termineremo quindi questo percorso alla scoperta degli spazi di Hilbert in un secondo episodio che scriverò tra non molto. Se vedo che sarebbe troppo lungo anche il secondo non si sa mai che lo spezzi in un ulteriore terzo, tanto di cose da dire ce ne sarebbero una marea 😉

Di strada da fare quindi ne abbiamo parecchia, ma cercherò di renderla il più scorrevole e piacevole possibile quindi, cosa stiamo aspettando?! Iniziamo con il succo dell’articolo!

Spazio di Hilbert

Prima di iniziare ti lascio una piccola legenda della notazione matematica che userò, e che è usata classicamente, per rendere il testo più scorrevole (nel caso tu non ci fossi già abituato):

  • $v\in V$ vuol dire che l’elemento $v$ appartiene all’insieme $V$
  • $\exists x\in X$ significa che esiste una $x$ nell’insieme $X$
  • $\forall x\in X$ sta ad indicare per ogni $x$ dell’insieme $X$.

Definizioni e concetti base che useremo per scoprire gli spazi di Hilbert

Per poter parlare di spazi di Hilbert, è necessario che alcuni concetti siano noti, vediamo quindi di sintetizzarli in questo paragrafo 😉 . Non voglio fare sbrodoloni inutili in questa sezione, per cui tutte queste nozioni sono organizzate qui sotto in maniera sintetica ma più che sufficiente per capire il seguito dell’articolo e soprattutto le prossime puntate.

Spazio vettoriale su $\mathbb{R}$

Diciamo spazio vettoriale rispetto al campo $\mathbb{R}$ un insieme $V$, i cui elementi saranno chiamati vettori, equipaggiato di due operazioni

$+ : V\times V\rightarrow V$ e $* : \mathbb{R}\times V \rightarrow V$ tali che soddisfino le seguenti proprietà:

  • $(V,+)$ è un gruppo abeliano, ovvero:
  1. Esiste un elemento neutro $0_V$ rispetto a $+$, quindi esiste $0_V$ tale che $a+0_V=a\,\forall a\in V$.
  2. Esiste un elemento inverso rispetto a $+$, quindi esiste un $\bar{a}$ tale che $a+\bar{a}=0_V\,\forall a\in V$.
  3. L’operazione $+$ è associativa, ovvero $(a+b)+c=a+(b+c)$, $\forall a,b,c\in V$.
  4. Vale la proprietà commutativa (perché è abeliano): $a+b=b+a$, $\forall a,b\in V$.
  • Vale la proprietà distributiva tra $*$ e $+$:
  1. $k*(a+b) = k*a + k*b$, $\forall a,b\in V,\,k\in\mathbb{R}$.
  2. $(k+m)*a = k*a + m*a$, $\forall k,m\in\mathbb{R},\,a\in V$.
  • Proprietà di neutralità
  1. Se $1_{\mathbb{R}}*k = k\,\forall k\in\mathbb{R}$, allora deve valere che $1_{\mathbb{R}}*a=a\,\forall a\in V$.

P.S. Ci tengo a sottolineare che le due operazioni $+$ e $*$ non sono necessariamente le classiche addizione e moltiplicazione che siamo abituati a usare con i numeri reali. Si possono definire le più svariate operazioni sullo spazio $V$, purché la terna $(V,+,*)$ soddisfi le proprietà elencate qui sopra 🙂 . D’ora in poi parleremo di spazio vettoriale $V$ per denotare questa terna, quindi si sottintende che esso sia equipaggiata di due operazioni come sopra.

Prodotto scalare

Dato uno spazio vettoriale $V$ possiamo introdurvi un prodotto scalare, che è un’operazione tra elementi $v,w\in V$ che soddisfa alcune proprietà. Vediamo quindi come definirlo:

Un prodotto scalare sullo spazio vettoriale $V$ è un’operazione $\langle\cdot\,,\,\cdot\rangle : V\times V\rightarrow \mathbb{R}$ tale che

  1. $\langle v,v \rangle \geq 0$ per ogni $v\in V$, ovvero è un’operazione definita positiva, in particolare è $=0$ se e solo se $v=0_V$.
  2. Sia simmetrica, ovvero $\langle v,w\rangle = \langle w,v\rangle$ per ogni $v,w\in V$.
  3. Sia bilineare, data la simmetria però basta la linearità rispetto al primo termine:
  • $\langle kv,w \rangle = k\langle v,w\rangle$ per ogni $k\in\mathbb{R}$ e $v,w\in V$.
  • $\langle v+v’,w\rangle = \langle v,w \rangle + \langle v’,w\rangle.$

Si dice il prodotto scalare essere degenere, e quindi non ben definito, se esiste un vettore $w\neq 0$ tale che

$\langle v,w \rangle = 0$ per ogni $v\in V$, ovvero un vettore $w\in V$ perpendicolare a tutti gli altri vettori di $V$.

Infatti il concetto di prodotto scalare, deve essere ricondotto da un punto di vista geometrico al concetto di proiezione ortogonale. In particolare quando si calcola $\langle v,w\rangle$ non si sta altro che cercando la lunghezza della proiezione di $v$ lungo $w$ (o viceversa) rispetto ad una particoalre proiezione.

Questo è un classico esempio dove lo spazio vettoriale usato è $\mathbb{R}^2$ e la proiezione standard, quella basata sul prodotto scalare euclideo.

Un prodotto scalare è in grado di definire una norma, ovvero una nozione di lunghezza, sullo spazio $V$. Per farlo si può semplicemente procedere così: $||v|| = \langle v,v \rangle ^{\frac{1}{2}}$ per ogni $v\in V$. L’idea dietro a questa definizione e di definire la norma come la lunghezza della proiezione di un vettore su se stesso.

Prima di proseguire, vediamo un’importante proprietà che segue da quelle che caratterizzano il prodotto scalare: la disuguaglianza triangolare.

Questa si può esprimere così: $||u+v||\leq ||u|| + ||v||$ per ogni $u,v\in V$. In termini pratici, hai già visto di sicuro questa disuguaglianza quando hai studiato i triangoli. Ricordi infatti che la somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo singolarmente? Ecco, se ogni lato lo vedi come un vettore tutto torna 😉

Se vuoi approfondire il concetto di prodotto scalare ti consiglio questa pagina: Prodotto scalare.

Proiezione ortogonale

Ci siamo, vediamo l’ultimo concetto per poi passare a parlare sul serio di spazi di Hilbert! 🙂 Se ti è capitato di studiare un minimo la geometria nello spazio euclideo $\mathbb{R}^n$, anche solo in $\mathbb{R}^2$ è sufficiente, certo saprai che in questo spazio è ben definito un prodotto scalare.

In particolare lo possiamo definire come segue presi due vettori $\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$, dove $\vec{x}=(x_1,x_2,…,x_n)$ mentre $\vec{y}=(y_1,y_2,…,y_n)$:

$\langle (x_1,x_2,…,x_n), (y_1,y_2,…,y_n)\rangle := x_1\cdot y_1 + x_2\cdot y_2 + … +x_n\cdot y_n = \sum_{i=1}^n x_i\cdot y_i.$

Grazie all’esistenza di un prodotto scalare possiamo anche parlare di proiezione ortogonale , che in termini intuitivi si equivale al concetto di ombra. Infatti ti sarai certamente accorto che, nella realtà, quando un oggetto come una matita è posto in posizione inclinata sopra una superficie, con una luce che lo illumina dall’alto, sul tavolo potrai vedere un’ombra. Bene, da un punto di vista matematico quest’ombra si chiama la proiezione ortogonale del vettore matita sul piano del tavolo 😉 .

In alternativa potresti anche proiettare un vettore su un altro vettore, rappresentando il concetto intuitivamente nello stesso modo.

Proiezione ortogonale

Nell’immagine qui sopra non ho una luce perfettamente sopra la penna, ma il concetto penso sia chiaro. Infatti nonostante la luce venga un po’ in diagonale, abbiamo un ombra sul tavolo. Questa non sarà una proiezione ortogonale ma qualcosa di leggermente diverso, ma non curiamocene visto che non è questo il tema dell’articolo. La foto qui sopra vuole solo essere da immagine per capire ciò di cui stiamo parlando 😉

Per concludere, come si calcola la proiezione ortogonale (che d’ora in poi chiamerò solo con proiezione) di un vettore $v=(v_1,…,v_n)\in\mathbb{R}^n$ su un vettore $w=(w_1,…,w_n)\in\mathbb{R}^n$?

Beh, è molto semplice! Per trovare la lunghezza del vettore di proiezione basta fare il prodotto scalare tra i due vettori, poi basta trovare la direzione lungo la quale si trova $w$ e quindi moltiplicare la lunghezza della proiezione per questo vettore unitario di direzione 😉 Ma vediamo un po’ di conti che sono sicuro che ti chiariranno il concetto. Qui sotto denoteremo con $P_w(v)$ il vettore proiezione ortogonale di $v$ lungo il vettore $w$.

$P_w(v) = \langle v,w\rangle \frac{w}{||w||} = \frac{1}{\sqrt{w_1^2+…+w_n^2}}(w_1,…,w_n) \sum_{i=1}^n v_i\cdot w_i $.

Dove all’inizio vedi il vettore $w’= \frac{w}{||w||} $, intendo il vettore unitario di direzione lungo la quale vive il vettore $w$, infatti ho usato il vettore $w$ è l’ho diviso per la sua norma, così che $||w’||=1$. Chiaramente, visto che stiamo parlando di $\mathbb{R}^n$ mi è venuto naturale spiegarti questi concetti usando norma euclidea e il classico prodotto scalare euclideo, ma si può fare lo stesso discorso con un qualunque prodotto scalare e la relativa norma indotta. Infatti la prima uguaglianza qui sopra vale ancora, poi quando ho esplicitato i conti invece va sostituita la corretta norma e prodotto scalare.

Ci siamo! Ora siamo pronti per addentrarci negli spazi di Hilbert, che sostanzialmente ambiscono a definire questi strumenti su spazi più generali, a dimensione infinita in particolare. Ma non spaventarti, pian piano ti sarà tutto più chiaro.

Ti faccio una doverosa premessa…la parte storica qui sotto nomina parecchi concetti avanzati che provo a spiegarti ma se non li hai mai sentiti immagino sarà di difficile lettura. Per cui se ti interessa sapere cosa si nasconde nella storia dietro il concetto di Spazio di Hilbert ti consiglio di fare un tentativo, magari non capirai tutto ma in linea generale lo sviluppo e le motivazioni dietro questo oggetto matematico ti saranno chiari 🙂

Altrimenti, se al momento non hai voglia di cose difficili o se non ti interessa la parte storica e preferisci aspettare che esca la seconda puntata sulle proprietà e sugli esempi, ci possiamo salutare qui e amici come prima 😎 .

Un po’ di storia sugli spazi di Hilbert

Prima dello sviluppo del concetto di spazio di Hilbert, furono ottenute altre generalizzazioni degli spazi Euclidei $\mathbb{R}^n$, che erano note ed utilizzate sia da fisici che matematici. In particolare, l’idea di uno spazio lineare astratto maturò e ricevette sempre più interesse verso la fine del 19° secolo.

Questo spazio a cui si arrivò, era uno spazio i cui elementi potessero essere sommati tra loro e moltiplicati per uno scalare (un numero reale o complesso per esempio) senza però doverli necessariamente associare con il classico vettore geometrico di $\mathbb{R}^n$. Un esempio classico sono gli spazi di matrici, che godono tranquillamente di queste proprietà ma non sono intuitivamente associabili all’immagine di un vettore (in realtà si può fare questa associazione, ma non è necessaria per poter lavorare con le matrici).

Anche altri oggetti studiati dai matematici a cavallo del 20° secolo, in particolare gli spazi di sequenze e gli spazi di funzioni, possono essere naturalmente intesi come spazi lineari (ti ricordo che per spazi lineari, di per sè, intendiamo gli spazi vettoriali di cui abbiamo parlato prima 😉 ).

Le funzioni, per esempio, possono essere sommate tra loro e moltiplicate per una costante, e queste operazioni obbediscono alle classiche proprietà delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare che rispettano i vettori nello spazio Euclideo.

Nel primo decennio del 20° secolo, sviluppi paralleli portarono all’introduzione degli spazi di Hilbert. Il primo di questi sviluppi fu l’osservazione, emersa quando David Hilbert e Erhard Schimidt stavano studiando le equazioni integrali (se non ne hai mai vista una ecco qui qualcosa che può esserti utile: equazioni integrali), che due funzioni quadrato sommabili a valori reali, $f$ e $g$, su un intervallo $[a,b]$ (ovvero $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$), ammettono un prodotto scalare:

$\langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)dx$

che ha tutte le classiche proprietà a cui siamo abituati per il prodotto scalare dei vettori nello spazio $\mathbb{R}^n$ e di cui abbiamo parlato in generale nel paragrafo sopra.

Ah…per non spaventare nessuno, quando scrivo che una funzione è “quadrato sommabile”, intendo che l’integrale del quadrato della funzione è finito:

$\int_a^b f^2(x)dx < +\infty$.

Un esempio di funzione che non è quadrato sommabile è la funzione $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ nell’intervallo $[0,1]$, infatti si ha:

$\int_0^1 \Big(\frac{1}{\sqrt{x}}\Big)^2dx = \int_0^1 \frac{1}{x} dx = \log{1}-\lim_{x\to 0^+} \log{x} = +\infty$.

Giusto per completezza, ti dico che lo spazio delle funzioni che hanno questa proprietà si denota solitamente con $\mathcal{L}^2([a,b])$ ed è uno spazio di Hilbert se equipaggiato del prodotto scalare definito qualche riga più in su.

Schmidt sfruttò le somiglianze tra questo prodotto interno (scalare) con il classico prodotto di $\mathbb{R}^n$ per dimostrare una versione ampliata del teorema spettrale dell’algebra lineare (se non lo conosci qui trovi una bella spiegazione: Teorema spettrale) per ottenere una decomposizione di un operatore della forma:

$f(x)\rightarrow \int_a^b K(x,y)f(y)dy$

con $K$ che è una funzione continua e simmetrica di $x$ ed $y$. Questo operatore è chiamato operatore di Hilbert-Schmidt 😎 (questa non tutti la capiranno, ma va bene così: symmetric 👉🏼 self-adjoint, smooth 👉🏼 compact!)

Il secondo sviluppo che portò alla costruzione della nozione di spazio di Hilbert fu l’integrale di Lebesgue. Questo è un’alternativa all’integrale di Riemann che solitamente si studia ad analisi 1 e che è poi quello che si vede anche in quinta superiore 😉

Questo “nuovo integrale” fu introdotto da Henri Lebesgue nel 1904 e permise di integrare più funzioni, una classe più ampia di funzioni. Questo integrale permise, nel 1907, a Frigyes Riesz e Ernst Sigismund Fischer di dimostrare, indipendentemente, che lo spazio $\mathcal{L}^2$ di cui ti ho parlato prima è uno spazio metrico completo.

La completezza è una proprietà fondamentale di $\mathbb{R}^n$ e questo non fa che aumentare le somiglianze tra gli spazi euclidei e questa nuova tipologia di spazi che questi grandi matematici stavano introducendo. Se non conosci il termine spazio completo ti consiglio di dare una letta qui, è spiegato in modo chiaro: Spazio metrico completo.

Come conseguenza naturale del forte legame tra la geometria dello spazio Euclideo e il risultato di completezza, i risultati del 19° secolo raggiunti da Joseph Fourier (se vuoi qui trovi un articolo che avevo scritto sulla Trasformata di Fourier che è strettamente legata con ciò di cui stiamo parlando), Friedrich Bessel e Marc-Antoine Parseval sulle serie di Fourier, o comunque sulle serie trigonometriche, si generalizzarono a questi spazi più ricchi e “potenti”. Andarono così a costituire la struttura geometrica e analitica del teorema di Riesz-Fischer.

Chiudo questa serie di teoremi importanti con il riferimento a un altro che è obbligatorio citare, il teorema di Rappresentazione di Riesz. Questo, in linea pratica, dice che ogni funzione lineare

$L(\alpha v + w) = \alpha L(v) + L(w)$, $\forall \alpha\in\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ e $\forall v,w\in H$

e continua definita da uno spazio di Hilbert a $\mathbb{C}$ oppure $\mathbb{R}$ (a seconda del campo su cui $H$ è spazio vettoriale), che in gergo è chiamato funzionale lineare a continuo $L:H\rightarrow \mathbb{R}\,(L\in H’)$, può essere associata ad uno ed un solo elemento $v_L$ dello spazio di Hilbert, in modo che applicare la funzione $L$ ad un vettore $w\in H$ equivale a moltiplicare questo vettore $w$ per il rappresentante $v_L$:

$L(w) = \langle v_L,w \rangle$ per ogni $w\in H$.

Se ci pensi, è un po’ come la matrice associata univocamente ad ogni funzione lineare che si vede in algebra lineare (se non conosci questo risultato, qui trovi una spiegazione molto chiara : Matrice associata a un’applicazione lineare) , solo che qui va richiesta la continuità perché, su spazi a dimensione infinita, si possono costruire funzioni lineari ma non continue 😉 .

Bene, prima di passare alle motivazioni fisiche dello sviluppo della teoria sugli spazi di Hilbert, ci tengo a dirti che quest’ultimo teorema fu dimostrato in via indipendente da Maurice Fréchet e Frigyes Riesz nel 1907.

Ah..un’ultima cosa! Ma chi ha introdotto il termine SPAZIO DI HILBERT? Il colpevole è John von Neumann, che coniò il termine spazio di Hilbert astratto nel suo lavoro sugli operatori Hermitiani illimitati. Von Neumann fu di per sé il primo a fornire una trattazione completa e assiomatica di questi spazi, prima di lui i matematici li utilizzavano ma più per interesse fisico.

Ma quindi servono a qualcosa questi spazi? Sono usati per la fisica? Proprio così, la motivazione principale che portò alla formalizzazione di questi spazi fu il fornire una struttura matematica alla meccanica quantistica. Infatti gli stati in un sistema quantistico sono vettori in un certo spazio di Hilbert.

Ma non mi dilungo oltre su questo tema, dato che Gianluca sta trattando proprio questi aspetti nei suoi articoli! Il primo lo trovi qui: https://www.mathone.it/meccanica-quantistica-1/

P.S. Questa parte storica l’ho tradotta e rielaborata a partire dalla pagina inglese di Wikipedia, che se vuoi più dettagli puoi trovare qui: Wikipedia – Hilbert Spaces

Conclusione

Perfetto, con questa parte storica direi che può dirsi conclusa una prima panoramica su questi strani oggetti, gli spazi di Hilbert. Se hai notato nel corso dell’articolo ho disseminato link per tuoi eventuali approfondimenti, perché come mi piace dire spesso, qui sul blog non abbiamo l’obiettivo di insegnare nulla ma solamente di incuriosire e dare gli strumenti per approfondire 😉

Detto ciò, se può interessarti qui sotto trovi un video davvero molto chiaro sugli spazi vettoriali astratti (è inglese) e il link a un libro di testo in cui si parla anche di questo argomento (più in generale di analisi funzionale) che magari può interessarti. Inoltre ti ricordo che questa è solo la prima puntata di due e tre che farò sugli spazi di Hilbert, quindi ti aspetto per le prossime 😉 !

Il libro che ti voglio suggerirti è un classico dell’analisi funzionale e lo trovi qui: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations .

Il video invece è questo:

Toro (geometria) : tra ciambelle e topologia

Cos’è il toro, inteso come superficie? Beh, partiamo dalle cose che conosci di sicuro…ti piacciono le ciambelle? Perfetto, sei già a un ottimo punto di partenza, perché nelle prossime righe andremo a scoprire come definire matematicamente la forma di una bella ciambella, proprio come quella riportata nell’immagine qui sotto.

Non so se sei uno/a che analizza ciò che vede e prova a darci una spiegazione matematica o scientifica, però spesso quando mi trovo a contatto con oggetti anche comuni io ci provo e, effettivamente, quando ho provato a pensare come descrivere una palla nessun problema, un dado nessun problema, ma una ciambella?!

Mi sono trovato in una situazione simile quando ho provato a descrivere la forma delle nuvole, inutilmente chiaramente. Queste domande però mi hanno portato a scoprire l’esistenza dei frattali, sui quali puoi anche trovare un interessante articolo qui: Frattali in natura, alla scoperta di questi strani oggetti.

In questo articolo andremo a scoprire cos’è il toro, la superficie che più si addice per descrivere la tua amata ciambella che mangi a colazione. Vedremo come costruirlo, la sua equazione, come rappresentarlo in due dimensioni e anche un sistema dinamico semplice e interessante su esso definito (parleremo di biliardi).

Per cui le cose da studiare sono tante quindi…iniziamo!

Toro

Costruzione geometrica del toro

Per costruire il toro si può partire da un pezzettino di plastica o qualunque materiale abbastanza flessibile. Puoi ritagliarlo di forma quadrata o rettangolare, come la figura qui sotto.

Ora per fornire le istruzioni che ti permetteranno di ottenere il toro partendo da questo pezzettino di plastica, userò le lettere indicate nella figura qui sopra. Per cui devi andare a incollare tra loro i due lati $b$ a $b’$, ottenendo così un cilindro senza tappi, come rappresentato qui sotto:

Nel cilindro qui sopra, come puoi vedere, abbiamo identificato i due lati $b$ e $b’$, il che vuol dire che abbiamo definito una relazione di equivalenza tra due dei quattro lati del quadrato, ovvero $b\equiv b’$. Per concludere la nostra costruzione non ci resta che incollare tra loro anche i lati $a$ e $a’$, stando però attenti a non cambiare l’orientamento delle due circonferenze, ovvero senza attorcigliare il cilindro su se stesso.

Ah..una cosa importante! Se invece di mantenere l’orientamento facessi un cambio di orientamento, ovvero artorcigliassi una volta il cilindro, otterresti la bottiglia di Klein, altra superificie parecchio interessante di cui parleremo in un articolo in futuro.

Identifichiamo quindi $a\equiv a’$ e otteniamo il nostro toro come rappresentato qui sotto:

Interessante come costruzione, no?! Se ti interessa sapere come ho creato le immagini qui sopra (e anche quelle che seguiranno), ci tengo a dirti che ho usato GeoGebra, un software che se non conosci ti consiglio davvero di scoprire, è molto potente ed intuitivo. Io non lo so usare in maniera troppo spinta (si possono fare davvero delle figate assurde) ma mi basta per rappresentare situazioni e oggetti in modo da chiarirmi come sono fatti.

Detto ciò, come vedi nella figura del toro qui sopra, ho evidenziato due circonferenze e non l’ho fatto a caso. Infatti queste corrispondono ai punti in cui tu hai messo la colla sul pezzettino di plastica. Come puoi vedere una è associata all’identificazione (equivalenza) dei lati $a\equiv a’$ a l’altra relativa alla relazione di equivalenza $b\equiv b’$.

Questo ci porta evidentemente a motivare la costruzione, ben più formale e astratta, che di solito viene proposta quando si parla del toro:

Il toro geometrico è ottenuto come il prodotto cartesiano di due circonferenze: $\mathbb{T}=S^1\times S^1$

Qualsiasi libro di testo di geometria

Data la costruzione semplice che abbiamo appena fatto, risulta molto più evidente il perché di questa costruzione più rigorosa e matematica. Infatti il prodotto cartesiano non fa altro che associare a ogni fissato elemento del primo insieme, tutti quelli del secondo.

Pensa di muoverti lungo la circonferenza verticale (quella che abbiamo denotato con $a\equiv a’$) e a ciascun suo punto traccia il cerchio massimo che seziona orizzontalmente il toro. Vedi quindi chiaramente che unendo tutte queste circonferenze al variare dell’elemento fissato sul cerchio verticale, ottieni esattamente tutta la superficie torica 🙂

Il toro in fondo è una tazza…

Questo è un tema di cui sei di sicuro a conoscenza se hai studiato un po’ di topologia o geometria o segui la pagina Instagram @mathoneig (fallo se non la segui ancora, la trovi qui: Pagina Instagram 😉 ).

Partiamo dal definire cosa sia uno spazio topologico, per poi introdurci al concetto omeomorfismo così da poter capire quantomeno intuitivamente l’immagine qui sopra.

Definizione (Topologia) Dato un qualunque insieme $X$, si dice topologia su $X$ un suo qualunque sottoinsieme $T\subset \mathcal{P}(X)$ (dove con $\mathcal{P}(X)$ intendiamo l’insieme delle parti di $X$) che soddisfi le 3 seguenti proprietà:

  1. L’insieme vuoto $\emptyset$ e $X$ appartengono a $T$
  2. L’unione di una quantità arbitraria di elementi di $T$ appartiene a $T$
  3. L’intersezione di due elementi di $T$ appartiene ancora a $T$

Un generico elemento di $T$ è detto sottoinsieme aperto di $X$.

Definizione (Spazio Topologico) Si dice spazio topologico una coppia $(X,T)$ dove $X$ è un insieme qualsiasi e $T$ è una topologia su $X$, secondo la precedente definizione.

Facciamo due esempi semplici di spazio topologico, ovvero la retta reale $\mathbb{R}$ dotata della classica distanza euclidea e l’insieme $A=\{1,2,3,4\}$ dotato di un’opportuna topologia che ora vedremo.

Sulla retta reale possiamo definire una topologia basata sugli intervalli $(a,b)\subset\mathbb{R}$. Infatti l’intersezione di due di questi è ancora un intervallo. Unione arbitraria di intervalli è ancora un intervallo e chiaramente l’insieme vuoto e anche $\mathbb{R}$ sono intervalli.

Magari è utile spendere due parole sul perchè $\mathbb{R}$ sia un intervallo, ma è abbastanza semplice. Si può infatti scriverlo come unione numerabile di intervalli ed è quindi un intervallo, ecco qui come si può fare:

$\mathbb{R} = \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty} (-n,n)$,

per cui abbiamo mostrato che questa definisce una topologia su $\mathbb{R}$ e la possiamo scrivere come segue:

$T=\{(a,b): a<b, a,b\in\mathbb{R}\}$

Passiamo poi all’insieme $A$. Qui possiamo definire una topologia data dal seguente insieme:

$T=\{\emptyset,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\}\}$.

Infatti se tu guardi, l’intersezione di due elementi sta ancora in $T$, allo stesso modo la loro unione e gli insiemi banali appartengono all’insieme.

Una volta definito cosa vuol dire essere uno spazio topologico, vediamo quando due spazi topologici si possono dire omeomorfi:

Definizione (Omeomorfismo) Dati due spazi topologici $(X,T_1)$ e $(Y,T_2)$, si dice omeomorfismo tra $X$ e $Y$ una funzione continua $f:X\rightarrow Y$ che sia anche biiettiva e la cui inversa $f^{-1}:Y\rightarrow X$ è ancora continua.

Non voglio spaventarti inutilmente, infatti ecco una definizione molto intuitiva di omeomorfismo: due oggetti si dicono omeomorfi se, nel caso fossero fatti di gomma malleabile, fosse possibile rimodellare il primo oggetto per ottenere il secondo senza però eseguire operazioni come lo strappo o il taglio.

Ecco perché la topologia è chiamata geometria del foglio di gomma 😉

Bene, ora penso ti sia chiaro il senso dell’immagine qui sopra, infatti da un punto di vista topologico una tazza da caffè e una ciambella sono la stessa cosa. Su questi oggetti si è solito utilizzare la topologia dello spazio $\mathbb{R}^3$ nei quali essi vivono e sono immersi, ma non è importante approfondire questo concetto al momento, se però ti interessa lascia un commento all’articolo dicendomelo che così ci scriverò un articolo in futuro.

Giusto per non farci mancare nulla, rimanendo sul tema topologia faccio una piccola parentesi per parlarti del buco della ciambella 😉

Intuitivamente si può capire come la presenza di buchi nelle superfici, viste come spazi topologici, sia un invariante topologico, ovvero qualcosa che non cambia tra spazi che sono tra loro omeomorfi.

Infatti, come vedi, la tazza ha un buco nel manico, mentre la ciambella ha un buco al centro. In termini più formali i buchi, per superfici orientabili(e quindi più in generale spazi topologici con particolari proprietà), vengono caratterizzati da ciò che è detto genere di una superificie, che nel caso del toro e della tazza è $g=1$.

Ma non voglio dilungarmi oltre su questo tema, se può interessarti il concetto di genere e la famosa formula di Eulero, ecco qui un bel link di approfondimento: Caratteristica di Eulero

Ah…se possono interessarti questi temi nella mia tesi triennali li avevo spiegati abbastanza in maniera estesa, la puoi scaricare da qui: Tesi Triennale : Una panoramica sulla teoria ergodica e i biliardi.

Equazione del toro come superficie $\mathbb{T}\subset\mathbb{R}^3$

Per rappresentare il toro nel paragrafo qui sopra ho usato un’equazione in forma parametrica perché molto più comoda (o comunque di intuitiva comprensione), ma ora vedremo diversi modi per definire il toro in termini di espressione matematica.

In questo paragrafo andremo a vedere l’equazione parametrica e l’equazione cartesiana del toro. Partiamo da quella parametrica che, secondo me, è più facile da ricavare partendo dalla definizione di toro che abbiamo dato poche righe più in alto.

Supponiamo che $r$ sia il raggio della circonferenza $a\equiv a’$ che abbiamo rappresentato sopra e che $R$ sia il raggio della circonferenza dove vivono i centri delle circonferenze del precedente tipo, ovvero quella in mezzo alla ciambella 🙂 . Bene, se noi vogliamo individuare un punto sulla prima delle due circonferenze, è chiaro che basta fissare un angolo $v\in[0,2\pi)$ e siamo a posto, analogamente per i punti sulla seconda circonferenza, per i quali possiamo usare un altro angolo $u\in[0,2\pi)$.

Cosa vuol dire? Vuol dire che per ogni punto della superficie del toro possiamo univocamente associare una coppia di angoli $(u,v)\in[0,2\pi)\times[0,2\pi)=S^1\times S^1$, ovvero la parametrizzazione che andremo a definire tra poco è una funzione di questa forma:

$\varphi: [0,2\pi)\times [0,2\pi) \rightarrow \mathbb{T}\subset \mathbb{R}^3 $ dove $\varphi(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$.

Vediamo ora come si può ottenere intuitivamente la seguente parametrizzazione, che è proprio l’equazione parametrica classica del toro

$\varphi(u,v) = ((R+r\cos{v})\cos{u},(R+r\sin{v})\cos{u},r\sin{u}).$

La cosa più ragionevole da fare, a parer mio, è fissare un punto sulla circonferenza verticale, ovvero un angolo $v\in[0,2\pi)$. A questo punto se noi proiettiamo sul piano $x-y$ la circonferenza orizzontale definita in corrispondenza di quel punto, otteniamo una circonferenza centrata nell’origine e di raggio opportuno, come puoi vedere in figura qui sotto:

Ora possiamo vedere come si può descrivere questa circonferenza rossa e poi possiamo lavorare sulla rimanente componente lungo $z$. Di sicuro essendo una circonferenza orizzontale, andremo ad utilizzare l’angolo $u$ e quindi il tutto sarà della forma $(\rho(v)\cos{u},\rho(v)\sin{u},0)$, dove dobbiamo però trovare il corretto raggio $\rho(v)$ che è chiaramente dipendente in qualche modo dall’angolo della circonferenza sulla verticale $v$.

Nel grafico qui sopra possiamo vedere, visto che ho tolto il toro, come ricavarci ciò che ci serve ovvero $\rho(v)$. Infatti ci basta calcolare la lunghezza del segmento $\bar{AB}$ e sottrarla ad $R$:

$\overline{AB} = r\cos{\beta} = r\cos{(180-v)} = -r\cos{v}$

segue che $\rho(v) = R+r\cos{v}$. Eccoci quindi ad aver parametrizzato la circonferenza proiettata sul piano $x-y$, ottenendo questa espressione:

$\tilde{\varphi}(u,v) = ((R+r\cos{v})\cos{u},(R+r\cos{v})\sin{u},0)$.

Ma ora è praticamente fatta, infatti ci basta “tirare su” la nostra circonferenza sul corretto piano $z=c(v)$. Ma questo piano lo possiamo vedere facilmente dal grafico che ho riportato qui sopra. Infatti è lo stesso dove vive il segmento $\overline{AB}$!

Questo piano è $z=r\sin{\beta} = r\sin{v}$. Ottimo, abbiamo ora l’intera parametrizzazione, come desiderato:

$\varphi(u,v) = \tilde{\varphi}(u,v) + (0,0,r\sin{v}) = ((R+r\cos{v})\cos{u},(R+r\cos{v})\sin{u},r\sin{v})$

Per concludere questa sezione, vediamo l’equazione cartesiana senza ricavarla, poi andremo a verificare che la forma parametrica soddisfa l’equazione cartesiana per completezza. In giro sul web e nei libri è più probabile trovare questa formula cartesiana ricavata piuttosto che quella parametrica, ecco perché ho deciso di fare la scelta opposta 😉

Il toro può essere definito implicitamente come il seguente luogo di punti:

$\mathbb{T} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : (R-\sqrt{x^2+y^2})^2+z^2=r^2\}$

Vediamo subito che questa vale nel caso della formula parametrica che abbiamo appena ricavato:

$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(R+r\cos{v})^2\cos^2{v} + (R+r\cos{v})^2\sin^2v} = R+r\cos{v}$

Quindi otteniamo $(R-\sqrt{x^2+y^2})^2=r^2\cos^2{v}$ che sommato a $z^2=r^2\sin^2{v}$ ci dà esattamente $r^2$.

Rappresentazione due dimensionale con relazione di equivalenza

Ne abbiamo fatti di progressi da inizio articolo! Complimenti se sei arrivato a leggere fin qui 😉 Mi farebbe molto piacere se lo condividessi con i tuoi amici, magari potrebbe essere interessante anche per loro!

Ora andiamo a vedere come sia possibile rappresentare il toro sul piano, utilizzando una relazione di equivalenza. Anche in questo caso ci sarà di grande utilità la costruzione che hai fatto con il pezzettino di plastica all’inizio (l’hai fatta vero?! 🙂 ).

Ricordiamo un attimo i passaggi:

  • Abbiamo identificato, incollandoli, i due lati verticali $b\equiv b’$
  • Nel cilindro senza tappi risultante, abbiamo identificato le due circonferenze chiudendo il tubo a ciambella, ovvero incollando $a\equiv a’$. Siamo anche stati attenti a non attorcigliare il tubo, altrimenti avremmo ottenuto qualcosa di molto più strano 😉

Ottimo! Rappresentare il toro sul piano, ovvero definire il cosiddetto TORO PIATTO, significa proprio indurre una relazione di equivalenza tra le due coppie di lati del quadrato di partenza.

Ti ricordo al volo che cos’è una relazione di equivalenza, nel caso non lo ricordassi o non l’avessi mai sentita nominare.

Dato un insieme $A=\{x_1,…,x_n\}$, si dice relazione di equivalenza su $A$ una relazione che soddisfa le seguenti proprietà:

  • Riflessività: Ogni elemento $x_i$ è in relazione con se stesso
  • Simmetria: Se l’elemento $x_i$ è in relazione con $x_k$, allora anche $x_k$ è in relazione con $x_i$
  • Transitività: Se $x_i$ è in relazione con $x_j$ e $x_j$ è in relazione con $x_k$, allora anche $x_i$ è in relazione con $x_k$

Un esempio semplice di relazione di equivalenza che puoi definire sui numeri naturali è la seguente: Due numeri naturali sono in relazione tra loro se sono entrambi pari o entrambi dispari. Per esercizio ti consiglio di verificare le 3 proprietà in questo caso, è una cosa veloce 😉

Bene, noi stiamo proprio andando a definire una relazione di equivalenza tra gli infiniti punti dei due segmenti $a$ e $a’$ e similarmente sui due segmenti $b$ e $b’$, incollandoli.

Ecco qui sopra rappresentato il nostro toro piatto. Come mai oltre a colorare i segmenti per rappresentare le identificazioni a 2 a 2 ho usato dei vettori (frecce) invece che dei segmenti?

Beh, semplice! Perché non vogliamo solo identificarli in quanto “insieme di punti” ma vogliamo anche mantenere l’ordine con cui sono posizionati, per evitare di ottenere poi attorcigliamenti o deformazioni strane quando si va a replicare questa identificazione incollando effettivamente i lati.

Figata, no?! Bene, questa costruzione ci sarà davvero importante qui di seguito, dove andremo a vedere qualcosina sulle superfici di traslazione e sui biliardi a tavolo quadrato. Ti dico qualche pillola di ciò che avevo studiato per la tesi della triennale, che era proprio sui biliardi e se la vuoi puoi scaricarla da qui.

Traslazione sul toro e biliardi

Ora parleremo di biliardi, si proprio quello con cui giochi con i tuoi amici il venerdì sera 😉 . Chiaramente i biliardi che andremo a vedere sono ideali, ovvero senza attrito e con urti perfettamente elastici con le pareti del tavolo, e i tavoli su cui si può giocare (da bravi matematici) possono avere le più svariate forme ed essere addirittura illimitati.

Nel campo della teoria dei biliardi dinamici la ricerca è molto attiva anche attualmente e i progressi stanno arrivando molto lentamente, perché è un campo molto complicato. Ti basti pensare che ci sono problemi aperti anche semplici, per esempio non si sa quali siano (e se esistano sempre) le traiettorie periodiche nei biliardi su un tavolo triangolare con un angolo ottuso (maggiore di $90^°$).

In queste prossime righe andremo andremo ad iniziare a studiare i biliardi quadrati, perché la dinamica su questi può essere associata ad una dinamica sul toro, interessante no?! 😉

Intanto ti suggerisco di guardare questo video che avevo fatto a riguardo qualche tempo fa:

Ma torniamo a noi!

Quindi abbiamo questo tavolo quadrato, l’idea è che se abbiamo una traiettoria che incide una parete con un certo angolo, grazie al fatto che il biliardo è ideale, andrà a rimbalzare con lo stesso angolo della parte opposta. Puoi vedere questa cosa nell’immagine qui sotto, andando a concentrarti sul primo segmento, del quadrato in basso a sinistra, $\overline{EF}$ e poi sulla parte tratteggiata.

Per esempio questa è una traiettoria periodica nel biliardo. Ma cosa sono gli altri quadrati?

Questa è una costruzione nota come Costruzione di Katok-Zemliakov. L’idea di questa costruzione è che appena una traiettoria incontra una parete e cambia direzione, possiamo riflettere il quadrato sul lato colpito dalla traiettoria e proseguire in linea retta la traiettoria invece di rifletterla nel biliardo originale.

Per costruzione quindi ogni lato di ogni copia del biliardo é identificato con esattamente un lato di un’altra copia del biliardo. Ecco che si inizia ad intravedere il toro.

Infatti se tu guardi, il lato $\overline{CB}$ è sia lato destro del primo quadrato ma anche sinistro del secondo quadrato, che sono quindi identificati come avevamo fatto con $a\equiv a’$ all’inizio dell’articolo.

Allo stesso modo abbiamo che il lato $\overline{CD}$, che è il secondo ad essere colpito dalla reale traiettoria ed è il lato superiore del primo quadrato, verrà identificato con $\overline{CD’}$, che è il lato inferiore del terzo quadrato.

Non mi aspetto di averti chiarito questa costruzione, se l’hai capita però sono contento 😉 , però la cosa importante è che capisca l’importanza di quello che stiamo facendo. Infatti in questo modo abbiamo semplificato notevolmente la dinamica della pallina del biliardo, rendendola di per sè estendibile all’infinito come una retta ed essendo poi in grado anche di risalire ai punti di contatto reali di questa traiettoria con il biliardo originale.

Per concludere ti chiedo uno sforzo mentale. Se passiamo da questa costruzione sul piano ad una visualizzazione tridimensionale, ci credi che questa retta non è altro che una curva nel toro che si ottiene incollando i lati identificati?

Henri Poincaré : L’ultimo universalista

Nel 1954 la comunità scientifica ha celebrato il 100° anniversario della nascita di Henri Poincaré. In quegli anni, la fama di Poincaré non era ai suoi massimi livelli tra i matematici e nelle menti matematiche che al tempo erano invase dallo spirito di un altro grande, David Hilbert.

Nonostante ciò, l’anniversario fu molto importante nei vari posti dove il nome o la presenza di Poincaré hanno lasciato il segno. Nel 2004, nel momento del 150° anniversario dalla sua nascita, la sua popolarità aveva raggiunto livelli molto più alti. Infatti i suoi contributi nel campo della teoria del caos e della relatività speciale hanno reso il suo nome e la sua foto famosi su molte importanti riviste scientifiche.

Nelle prossime righe, andremo ad analizzare la vita di questo grande genio, considerato l’ultimo matematico universalista, ovvero in grado di occuparsi di un’immensa varietà di temi nel campo matematico. Ah…giusto per farti capire il livello di questi universalisti (se già non avessi sentito questo termine), prima di lui c’era un altro “ragazzino” chiamato Carl Friedrich Gauss 😉 (se vuoi una biografia di Gauss trovi un nostro articolo qui: Gauss: Il principe dei matematici).

Ma bando alle ciance..andiamo a scoprire un po’ di più sulla sua vita e sui suoi importanti contributi al mondo della matematica e della scienza.

Ah dimenticavo…se vuoi che anche i tuoi amici sappiano chi era questo grande matematico (e contaminiamoli tutti questi amici che dicono che la matematica fa schifo 😉 ), fai una storia su Instagram con lo screen a questo articolo e tagga la pagina @mathoneig 🙂

Henri Poincaré

Famiglia, infanzia e studi di Poincaré

Poincaré è nato il 29 Aprile 1854 a Nancy. La sua famiglia era ben nota nella regione della Lorena e aveva un albero genealogico ricco di scienziati: il suo bisnonno fu un farmacista, suo papà un neurologo e professore nella Facoltà di Medicina, suo zio si laureò all’École polytechnique e svolse il ruolo di ispettore generale di strade e ponti.

Tranne per una pericolosa malattia da lui contratta a 5 anni, l’infanzia di Poincaré assomigliò a quelle descritte nei libri di fiabe vecchio stampo. I giochi che si inventava con sua sorella e i suoi cugini rivelavano la sua immaginazione senza confini. In questi anni, inoltre, fu seguito da un insegnante privato per coltivare i suoi talenti e la sua memoria.

Già alle superiori, a Nancy nella scuola che ora è nota come Lycée Henri-Poincaré, fu presto notato come uno studente di primo livello, mostrando di essere un “mostro della matematica” negli ultimi anni di liceo. Dopo aver conseguito la maturità in lettere e scienze, diventò parecchio famoso durante i due anni trascorsi a prepararsi per il test di ammissione all’università di matematica (cosa da tutti insomma 😉 )

Lycée Henri-Poincaré

Si classificò come il quinto miglior studente ammesso all’ École normale supérieure e come il migliore ammesso all’École Polytechnique. Poincaré decise di optare per quest’ultima università.

In seguito andò anche all’École des Mines, dove si appassionò alla cristallografia da un punto di vista matematico, portandolo poi ad interessarsi alla teoria dei gruppi per molto tempo. Dopo essergli stato impedito di seguire le lezioni alla Sorbona, Poincaré ricevette la sua laurea in Matematica dalla Facoltà di Scienze di Parigi nell’Agosto del 1876.

Durante gli ultimi suoi due anni all’École des Mines, preparò la sua tesi di dottorato in matematica, che fu poi difesa il 1° Agosto 1879. Questa tesi mirava ad estendere alle equazioni alle derivate parziali alcuni risultati classici relativi alle equazioni differenziali ordinarie.

Carriera e personalità

Poincaré iniziò a lavorare come ingegnere minerario a Vésoul nell’Aprile del 1879. La sua carriera accademica iniziò nella facoltà di Scienze di Caen, dove insegnò analisi a partire dal 1879. Due anni dopo si spostò a Parigi sempre per insegnare analisi.

Successivamente, nel 1885, è stato nominato professore di fisica meccanica e fisica sperimentale, nel 1886 professore di fisica matematica e probabilità e in seguito nel 1896 di astronomia matematica e meccanica celeste.

I suoi primi studenti descrivevano Poincaré come un insegnante più devoto che brillante. Ecco alcune frasi che descrivono come erano le sue lezioni:

Dall’inizio, la lavagna era piena di formule, e chi seguiva le sue lezioni aveva una straordinaria sensazione di potere; le parole gli uscivano veloci e senza esitazione. Le sue lezioni erano quasi solenni.

Robert d’Adhémar

Non si può dire che Poincaré fosse un professore meraviglioso. Non aveva i doni oratori richiesti per eccellere nell’insegnamento.

Maurice d’Ocagne.

L’ho visto allontanarsi dai suoi appunti molte volte, annunciando che avrebbe provato un nuovo metodo e improvvisato davanti a noi alla lavagna.

Léon Brillouin

Poincaré, nel 1910 e 1911, era uno scienziato famoso e attraeva molta gente comune di Parigi ad ascoltarlo alle lezioni. Durante le prime lezioni, la stanza era più che piena, ma rapidamente e felicemente “il pubblico” diminuiva presto. Dalla terza lezione in poi, solamente pochi studenti e pochi dei curiosi rimanevano. Poincaré finiva sempre con delle formule semplici, tradotte in un linguaggio pieno di immaginazione, che eravamo obbligati a capire.

Louis Bourgoin
Poincaré

Senza perderci oltre su queste descrizioni, andiamo a parlare del suo famoso Annus Mirabilis ovvero anno meraviglioso.

Annus Mirabilis e periodo molto prolifico

La permanenza a Caen fu senz’altro un doppio annus mirabilis per Poincaré. Tra l’Agosto 1879 e l’Ottobre 1881, non solo sposò Louise Poullain d’Andecy , ma mandò anche più di 20 note alla Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris relative a tre argomenti completamente diversi:

  • aritmetica delle forme
  • teoria qualitativa delle equazioni differenziali
  • funzioni automorfe.

Il suo studio riguardo le forme quadratiche e cubiche fu ispirato dal lavoro di Charles Hermite, che al tempo era punto di riferimento della matematica francese. Lui fu professore di analisi di Henri all’École Polytechnique, e uno dei suoi risultati più rilevanti riguarda la dimostrazione del carattere trascendente del numero $e$.

Dal punto di vista delle equazioni differenziali, in questo periodo è da ricordare l’utilizzo che Poincaré faceva di strumenti topologici per studiare la natura dei punti singolari e cicli limite. Per esempio è da ricordare lo studio delle orbite periodiche del problema dei tre corpi o anche delle biforcazioni delle forme di equilibrio di un fluido in rotazione all’aumentare della velocità di rotazione.

In questi anni vinse molti riconoscimenti, ma uno in particolare è da ricordare. Nel 1885 il re svedese Oscar II decise di celebrare il suo sessantesimo compleanno assegnando un premio che incoronasse una grande scoperta nel campo dell’analisi matematica. Il premio era anche parecchio consistente. Ogni progetto da sottomettere avrebbe dovuto essere legato ad uno dei seguenti argomenti:

  • Il problema degli n-corpi nella meccanica celeste
  • La generalizzazione delle funzioni ultraellittiche di Fuchs
  • Le funzioni definite da un’equazione differenziale del primo ordine
  • Le relazioni algebriche tra due funzioni di Fuchs aventi un gruppo comune.

Premetto che non so nulla, o quasi, riguardo questi argomenti, però se ti possono interessate ti consiglio di farti qualche ricerca su Google, di sicuro troverai brevi spiegazioni che ti chiariscono di cosa si parla.

Beh, detto ciò…la competizione rientrava perfettamente negli interessi matematici di Poincaré, che decise di lavorare alla prima domanda. Nel maggio 1888 consegnò un memoriale di 160 pagine intitolato “Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique”, che evidentemente è legato al problema dei 3-corpi.

Nonostante non rispose completamente alla domanda, la commissione (composta da Weierstrass, Hermite e Mittag-Leffler) gli assegnò il premio, aggiungendo che :

È il lavoro approfondito ed originale di un genio della matematica, che è anche uno tra i matematici più grandi di questo secolo. Le domande più importanti e difficili, come la stabilità del sistema, sono trattate usando metodi che aprono una nuova era nella meccanica celeste.

La Commissione

In seguito Poincaré scoprì che nel suo memoriale c’erano alcuni errori anche parecchio importanti, infatti la conclusione riguardo la stabilità del sistema solare non era valida! Nel Giugno 1890 pubblicò una nuova versione del memoriale, lunga 270 pagine. Nel correggere i suoi errori, Poincaré scoprì una miniera d’oro per la matematica e la scienza in generale essendo il pioniere della Teoria del Caos.

Effetto Farfalla

In uno dei suoi scritti più famosi, successivamente spiegò quasi in modo profetico, le possibili conseguenze delle scoperte che fece in quel memoriale:

Può succedere che piccole differenze nelle condizioni iniziali di un sistema possano produrre grandi differenze in fenomeno finale .

Poincaré

Questo diede quindi origine al famoso effetto farfalla, ma gestire questa farfalla fu molto difficile per Poincaré.

Fisica matematica

Il periodo straordinario e turbolento in cui Poincaré si dedicò alla ricerca per il premio del re svedese non gli impedì di prendere davvero seriamente la sua posizione come professore di fisica matematica. Anche se non era, come abbiamo già visto, un professore straordinario, era uno davvero coscienzioso. Ogni semestre sceglieva nuovi argomenti e scriveva delle premesse/prefazioni agli appunti dei suoi migliori studenti, modificandoli anche leggermente. Dopo questa revisione li pubblicava tutti, organizzandoli in più di una dozzina di volumi, coprendo tutta la fisica classica (idrodinamica, elasticità, teoria del potenziale, ottica, elettromagnetismo) e la probabilità, dove Poincaré mostrò la sua creatività e le sue doti matematiche.

I suoi libri sulla teoria di Maxwell contengono le origini della relatività speciale e lo portarono ad analizzare, correttamente, e introdurre le trasformazioni di Lorentz.

Riguardo i contributi di Poincaré alla fisica matematica trovi un libro molto interessanti qui:

Nel 1905 Poincaré pubblicò una serie di note ed un memoriale sulla dinamica dell’elettrone, contenenti tutta la matematica della relatività speciale. Per questo motivo gli storici della scienza stanno ancora discutendo sulla paternità della relatività speciale tra Einstein e Poincaré. Di sicuro si sa che Poincaré anticipò il cosiddetto Spaziotempo di Minkowski (non ho mai studiato la teoria della relatività quindi mi limito a riportare quanto ho trovato online, puoi vedere qualcosa su questo risultato qui: Relatività Ristretta 7 – Lo spazio Tempo di Minkowski).

Spaziotempo di Minkowsi

Tra il 1890 e 1895 Poincaré dedicò tre lunghi memoriali alle equazioni alle derivate parziali della fisica matematica classica. Una delle ultime conferenze a cui partecipò fu il primo Congesso di Solvay, a Bruxelles, dal 30 Ottobre al 3 Novembre del 1911. Fu tenuto all’Hotel Metropole e tra i partecipanti si possono ricordare Lorentz, Poincaré, Planck, Marie Curie, Einstein, Perrin, Langevin, Rutherford e molti altri che, insieme, discussero sui più recenti sviluppi nella teoria quantistica.

Con 49 candidature tra il 1901 e il 1912 Poincaré è lo scienziato più nominato della storia al premio Nobel per la fisica. Tuttavia non riuscì a togliersi lo sfizio di vincerne uno, morì infatti senza aggiungere il Premio Nobel alla lista dei suoi successi scientifici.

Primo congresso Solvay

Congettura di Poincaré

Tra il 1892 e il 1901 Poincaré creò, quasi da zero, gli elementi fondanti della topologia algebrica. Abbozzò addirittura la struttura della de Rham cohomology. Inoltre dimostrò che ogni varietà 2-dimensionale che sia compatta e semplicemente connessa (per esempio un cubo) è omeomorfa alla classica sfera (omeomorfa vuol dire che si può passare dal cubo alla sfera, supponendoli fatti di gomma, semplicemente rimodellandola, senza strappare o tagliare nulla…l’esempio classico è che una tazza e una ciambella sono omeomorfi).

Congettura di Poincaré

Ma non si fermò qui…andò oltre ed enunciò la famosa “congettura”:

Ogni varietà 3-dimensionale che sia compatta e semplicemente connessa è omeomorfa alla sfera 3-dimensionale.

Henri Poincaré

Questa ad oggi non è più una congettura, ma un teorema. Essa è infatti l’unico problema del Clay Mathematics Institute che in questi anni è stato dimostrato. Se ti interessano questi famosi Problemi del millennio, trovi un articolo dedicato qui: I 7 problemi del millennio.

Se ti interessa approfondire con calma questa “congettura” e la sua storia ti consiglio vivamente questo libro, le premesse sembrano ottime ma non l’ho letto al momento in cui sto scrivendo:

La dimostrazione è dovuta ad un matematico russo, Perelman, che si rifiutò anche di ritirare il premio monetario assegnato a questo problema:

Conclusione

Quando Poincaré morì improvvisamente nel 17 Luglio 1912, a causa di un’embolia a seguito di un intervento, il mondo scientifico era ancora lontano dall’essere pronto a beneficiare dei suoi risultati scientifici. Secondo il grande matematico francese Jean Leray:

Molti pochi uomini sono stati capaci di seguire i suoi ragionamenti; praticamente non aveva studenti. Dopo un secolo di lavoro nella matematica, possiamo capire i suoi risultati e pensieri più facilmente, parlare di essi in un modo più familiare; ma più li approfondiamo, più è naturale ammirare e rispettare il grande Poincaré

Jean Leray

Concludiamo con le parole pronunciate dal famoso fisico matematico David Ruelle:

La fisica matematica prova a capire un mondo di sconosciute e infinite complessità con strumenti che sappiamo essere limitati. Questo richiede audacia e modestia allo stesso tempo. Chiaramente Henri Poincaré non si fece mancare nè l’una nè l’altra qualità.

David Ruelle

Su Poincaré e i suoi traguardi scientifici si potrebbe dire molto altro, ma preferisco limitarmi a quanto scritto. Ti lascio qui di seguito qualche risorsa se vuoi approfondire personalmente la sua vita e le sue opere:

Ah..se sai il francese c’è questo documentario fatto davvero bene (è solo un parere che ti dò ad una prima occhiata dato che al momento non capisco il francese 🙂 ) e lo trovi qui:

Se ti interessano articoli di approfondimento su altri matematici ti consiglio questi:

Il sogno di Leibniz: la caratteristica universale

Cantor: quanto è infinito l’infinito?