Paradossi matematici: Dalla moltiplicazione della sfera al paradosso del mentitore

Stavo bazzicando un po’ di tempo fa su Quora (ehm, si in effetti ci sto passando più tempo di quanto dovrei ultimamamente…) quando mi sono imbattuto nella domanda “Quali sono alcuni Paradossi matematici?” e senza pensarci due volte ho deciso di rispondere. Ho colto l’occasione al volo e mi sono documentato; nella risposta originale non mi sono dilungato troppo, ma qui possiamo scavare un po’ di più.

Paradossi

Prima di inziare però avviso chiunque abbia voglia di continuare, che a volte l’argomento sarà, per così dire, indigesto e abbastanza paradossale, appunto. Non posso non citare a questo punto quello che il mio professore di Analisi II mi ha detto una delle prime volte che è entrato in classe:

Chiedi quello che non devi e otterrai quello che non vuoi. ~AM

Ebbene preparatevi, perché si è giunti al punto di non ritorno. Di seguito ne elenco solo due (quelli che di più mi hanno colpito durante il mio percorso), ma una lista abbastanza esaustiva sui paradossi più famosi si può trovare qui.

Il paradosso di Banach-Tarski

Esso risale a due tra i più famosi matematici del ‘900, dicasi Stefan Banach e Alfred Tarski. Ma prima di enunciare il paradosso facciamo un passo indietro. Probabilmente nella vita di un matematico ci si imbatte prima o poi nell’assioma della scelta. Ebbene cosa dice? Immaginate di avere un certo insieme (di oggetti, di numeri, di calzini, di monete… poco importa). Ebbene nulla ci vieta in questo insieme di poterne scegliere un elemento… Ecco. L’assioma della scelta dice proprio questo:

Esiste una funzione che ad un insieme non vuoto fa corrispondere un suo elemento.

A dire il vero la definizione matematichese è un po’ più sottile, ma per quello che ci interessa ci possiamo fermare qui.1

Nulla di irragionevole a quanto pare… Appunto. Pare. Ebbene riporto qui una delle conseguenze più sconcertanti di questo assioma (attenzione: assioma significa che lo si può accettare come no! Se non lo si accetta, la matematica continua ad avere senso, ma si passerebbe allora ad un punto di vista cosiddetto costruttivista e questa diventa una storia moooolto lunga).

Prendiamo dunque una sfera in senso classico, cioè in \mathbb{R}^3. Suddividiamola in un insieme finito di pezzi non misurabili (detto in soldoni: dobbiamo suddividerlo in un modo sufficientemente complicato) . Utilizzando solo rotazioni e traslazioni è possibile riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio dell’originale. È abbastanza controintuitivo riuscire a creare due sfere al posto di uno solo usando rotazioni e traslazioni senza usare allungamenti, stiramenti o aggiungendo punti. Ebbene però è così, perchè se i pezzi sono scelti in modo abbastanza strano, non si può definire una nozione di volume ben definita e quindi non è irragionevole aspettarsi che non si conservi.

Paradosso Banach-Tarski

[Gentile concessione di Wikipedia.org]

Confusi: ebbene non è finita qui! Questo “smantellamento” e “riassemblamento” può essere fatto anche con soli 5 pezzi! Niente dice che questi pezzi debbano essere infiniti! Beh non rimane che provarci a casa! Dividendo e riassemblando una pesca un numero finito di volte possiamo costruire una palla grande come il sole!

Breve nota storica

In realtà con questo risultato, Banach e Tarski intendevano fornire argomenti a sostegno della loro decisione di non avvalersi dell’assioma della scelta e speravano di spingere alle medesime conclusioni gli altri matematici dell’epoca. Contrariamente a quanto da loro auspicato, tuttavia, la maggior parte dei matematici preferisce utilizzare tale assioma e vedere nel risultato paradossale di Banach e Tarski semplicemente un risultato controintuitivo (e tuttavia di per sé non contraddittorio).[1]


1. [In matematichese, un’enuciazione appropriata dell’assioma della scelta potrebbe essere “Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.” Notiamo che la cardinalità dell’insieme potrebbe anche essere infinita, ecco perchè questo assioma è abbastanza contestato. Una certa classe di matematici neanche troppo ristretta è abbastanza restia ad accettare questo assioma in quanto considerato in qualche modo “non naturale” e preferiscono lavorare solo con gli assiomi che si possono realmente “costruire” nella vita reale, ecco perchè si chiamano “costruttivisti” appunto, ma questa è un altra storia…]

Il paradosso di Russell

Se qualcuno si sta chiedendo perché la parola paradosso sia in corsivo, sappia che la risposta sta arrivandola risposta è scritta poco sotto… Questo paradosso (o per lo meno presunto tale) può essere enunciato così:

L’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso.

Dunque risulta un po’ più chiaro perché questo non sia un paradosso ma piuttosto un’antimonia… Citando Wikipedia “un paradosso è una conclusione logica e non contraddittoria che si scontra con il nostro modo abituale di vedere le cose, mentre un’antinomia è una proposizione che risulta autocontraddittoria sia nel caso che sia vera, sia nel caso che sia falsa”. [2]

Ebbene, questo problema fu sollevato in un periodo in cui la matematica stava attraversando un grave periodo di insicurezza e di instabilità in quanto non si riusciva a darle delle basi solide su cui fondarla. La questione sollevata da Russell alimentò in maniera significativa la necessità di trovare delle basi solide e stabili su cui fondare la regina delle scienze. Il rischio era che trovare che la matematica avesse delle contraddizioni interne o delle basi non consistenti, demolisse a cascata tutte le altre scienze che si fondavano sulla matematica stessa! Si lo so, sembra catastrofico messa così, ma in realtà lo è!

Storicamente il paradosso di Russell viene scoperto proprio nel periodo in cui Frege stava scrivendo (in realtà aveva già pubblicato il primo volume) un’opera monumentale in cui procedeva alla vera e propria “logicizzazione” dei concetti che Dedekind e Peano avevano dimostrato essere alla base dell’aritmetica e, di conseguenza, di tutta la matematica. Sto parlando dei Principî dell’aritmetica.

Immaginatevi la faccia di Frege ricevendo la lettera di Russell in cui gli viene detto che tutto il lavoro della sua vita era da buttare via…

Il problema tuttavia rimaneva aperto! Si può veramente fondare la matematica su qualcosa di solido/certo/lapidario/incontestabile/uguale per tutto e per tutti? Bisogna aspettare altri 29 anni per inquadrare questo paradosso all’interno di una cornice più grande… Fu il logico dall’altisonante nome di Kurt Gödel che, nel 1931, risolse definitivamente la questione dimostrando l’impossibilità tout court di produrre una fondazione certa dell’aritmetica.

Paradossi

I suoi risultati sono ora una pietra miliare e vanno sotto il nome di teoremi di incompletezza. Per completezza riporto qui di seguito il principale risultato di Godel che va anche a chiudere il cerchio di questa breve storia, ma che purtroppo lascia un senso di impotenza devastante:

Teorema (primo Teorema di Incompletezza) In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali — vale a dire, sufficientemente potente da definire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto — è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all’interno dello stesso sistema.2


2. [L’idea di fondo della dimostrazione può essere così riassunta: Supponiamo esista una proposizione G la cui interpretazione standard sia “G non è dimostrabile in P“. Se P\vdash G, cioè se $latexG$ fosse dimostrabile in $latexP, G$ risulterebbe falsa. Ma per il teorema di completezza di Gödel, ogni proposizione dimostrabile in P risulta vera, dunque G non può essere dimostrabile in P e quindi è vera. Quindi -G risulta falsa e, per lo stesso motivo, non può essere dimostrabile in P. Pertanto se esiste una proposizione il cui contenuto è “io non sono dimostrabile in P”, tale proposizione risulterà vera ma non dimostrabile.]


So che sarà dura, ma questa notte cercate di riuscire a dormire…

Au revoir,

Erik

Bibliografia

[1] https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Banach-Tarski

[2] https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Russell

Caffè matematico n°3: Perchè usiamo la x per le incognite?

Andiamo, ammettetelo! Almeno una volta nella vita ce lo siamo chiesto tutti! Perchè quando risolviamo un’equazione, una proporzione, scriviamo le funzioni sempre in funzione di un’incognita e la chiamiamo sempre x? Prima di dare la fatidica risposta, avviciniamoci pian piano e diamo un po’ di contesto storico…

x come incognita

I cosisti

Tutto parte dalla culla della civiltà (anche se attualmente i vari movimenti anarchici che stanno nascendo non tengono alto il nome… ), cioè dagli arabi. Ebbene la matematica classica deve molto agli arabi… Pensate che le parole algoritmo e aritmetica per esempio derivano proprio da loro, ossia da diverse traslitterazioni del nome del amtematico al-Khuwārizmī (sec. IX), attratto nella famiglia del gr. arithmós ‘numero, quantità’. Ebbene gli arabi indicavano l’incognita, in una equazione che ne conteneva una sola, come “la cosa”. In arabo, “cosa” si dice “shay”, un suono molto simile ad x.

Anche nell’Italia rinascimentale, l’incognita era chiamata “la cosa”. La scienza delle equazioni era nota come “l’arte della cosa” e gli specialisti che le risolvevano erano i “cosisti”. [1]

Cogito Ergo Sum

Ebbene si, il merito alla fine va al nostro amico transalpino. Cartesio è attualmente il secondo francese più famoso dopo Napoleone. È stato uno dei primi matematici ad aver dato contributi importanti alla matematica, non greco. Oggi è ricordato per – beh, molte cosa a dire il vero… Essendo uno dei francesi che la matematica la capiva, doveva anche divulgarla in qualche modo e l’unico modo era farlo attraverso i caratteri mobili di Gutenberg!

Ecco però che qui succede il fattaccio: Cartesio ha appena finito di scrivere “La géométrie”, e forse ricordando proprio la shay, decise di utilizzare le lettere minuscole all’inizio dell’alfabeto (a,b,c,…) per le quantità note e quelle minuscole della fine dell’alfabeto per le incognite(z,y,x,…). Tuttavia nella lingua francese, le lettere z,y e x non sono molto frequenti e il tipografo (sembra che) rimase a corto di lettere. Dopo essersi accordato con l’autore, decise di sostituire tutte le incognite con la lettera x (la meno frequente delle 3) ed ecco che la storia si compì.

Nella cultura popolare

Ed ecco come si è andata a insediare nella cultura popolare l’idea di X come qualcosa che non si sa e non si conosce: parliamo oggi degli x-files, degli X-men e ancora prima c’erano i misteriosi raggi x!

E voi? Avete sempre usato la x come incognita? Sarò felice di commentare qualche vostro aneddoto se avete voglia di lasciarlo nei commenti 🙂 .

Au revoir

Erik

Bibliografia

1. Bibliografia esterna

Come studiare la matematica: consigli e tecniche pratiche per non farsi intimorire dalla matematica

Come studiare la matematica? Beh questa è una domanda che tutti ci siamo posti almeno una volta..in effetti le differenze rispetto ad una qualsiasi altra disciplina sono evidenti. Quindi, se un buon metodo di studio ci può aiutare molto per alcune materie, spesso questo non è efficace nella matematica.

Per fornirci una buona traccia su cui impostare le sessioni di studio di matematica, soprattutto a livello liceale, ci ha aiutato Alberto Seles 😉

Ci ha contattati qualche settimana fa, interessato a contribuire al sito, e quindi bando alle ciance, lascio la parola ad Alberto!

Prima però ti lascio un mio video in cui do alcuni consigli sul metodo di studio:


“La matematica è impossibile, questa roba non ha senso”

“Basta, non ci capisco un cavolo, ci riprovo domani”

“Ma si, tanto non serve a nulla”

“Come studiare la matematica?”

Come studiare la matematica

Ecco queste sono frasi tipiche, un pochino censurate, di chi, per un motivo o per un altro, non riesce a mettersi in testa quei cavolo di geroglifici sul maledetto libro di Matematica.

Ecco, se fai parte di questa categoria, ed è probabile, visto che stai leggendo questo articolo, vediamo un po’ come risolvere la situazione.
Oggi scopriremo un (non è l’unico funzionante, ma è una traccia molto buona per tutti) metodo per lo studio della Matematica.

Un metodo che non è magico (purtroppo ), ma è come una buona automobile: potrà essere la migliore macchina del mondo, veloce ed efficiente, ma senza carburante non va lontano, giusto?

Bene il carburante qui sono l’impegno e il tempo. So che è una brutta notizia, ma cerchiamo di essere pragmatici, del resto si tratta di matematica 😉 .
Fatte le dovute e amare premesse possiamo partire: ti fornirò una scaletta da seguire, con qualche consiglio pratico, e cercherò di lasciarti una traccia.

A te poi la volontà di provare ad implementarlo.

P.S. Molti cercano un metodo veloce per studiare questa materia e “togliersela” e può essere che nemmeno gli piaccia molto. È comprensibile, i gusti sono gusti. Qui troverai un metodo utile, secondo me, sia a chi ama la Matematica sia a chi invece se la vuole “togliere dai piedi”. L’importante è dedicarci il giusto tempo e vedrai che i risultati saranno concreti!

Partiamo alla scoperta di un metodo in cui imparerai come studiare la matematica!

studiare matematica è difficile

Fonte: aforismi.meglio.it

PASSO 1: PRIMO SGUARDO

Innanzitutto dobbiamo prendere un bel respirone, aprire il libro e andare alla primissima pagina del nostro nuovo argomento.
Ora comincia pure a leggere, ATTIVAMENTE E CON ATTENZIONE( quindi senza pensare ai ca…stelli tuoi ) e noterai che succederà una cosa magica: non capirai una parola! O almeno non capirai molto di ciò che hai letto.

Ebbene sì, mi dispiace, ma non c’è nulla di male a non capire un argomento la prima volta. La cosa importante è dare uno sguardo per entrare nell’ottica di quel che abbiamo per le mani.

primo sguardo all'esercizio di matematica

Fai una prima lettura attiva, come dicevo, cerca di capire cosa sta succedendo, di cosa si parla. Guarda i teoremi, leggi gli esempi e fatti un’idea generale del contenuto di queste infernali pagine.
Mentre avanziamo in questo primo sguardo dovremo fare un lavoro, cioè farci alcune domande e reagire di conseguenza:

  • Cosa è chiaro?
  • Cosa non sappiamo di basilare?
  • Cosa non abbiamo capito?

Se c’è qualcosa che ci è chiaro fin da subito e su cui non abbiamo dubbi, bene, avremo del lavoro in meno più avanti. Ovviamente non possiamo già saperlo spiegare bene, per il momento ci è sufficiente essere consapevoli che è una cosa “sensata” e che sappiamo di poterla imparare con tranquillità.

Guardiamo anche se c’è qualcosa di fondamentale che proprio non sappiamo: questo è il momento di risolvere il problema. Con “fondamentali” intendo cose che sono state studiate in precedenza e sono basilari per quelle che stai facendo ora!

Se, per esempio, stai studiando le derivate, ma non sai cosa sia una funzione, c’è qualcosa che non va!
Ovviamente è un esempio estremo (speriamo!) però è fatto perché si capisca che dobbiamo andare in ordine: se nel nostro argomento si usano i logaritmi per arrivare a qualcosa di più complesso, noi dobbiamo aver ben chiari i logaritmi, mi pare ragionevole giusto?

Assicurati quindi di sapere queste cose. Se hai qualche dubbio dai una rispolverata ai vecchi argomenti e sarai pronto ad andare avanti.

Ovviamente più studierai con continuità e meno ti accadrà di dover tornare sui tuoi passi a colmare lacune, quindi facciamoci furbi e rendiamoci la vita più tranquilla.

Durante la nostra avanzata segniamo inoltre quelle parti che proprio non ci tornano, ci sembrano astruse perché sono nuove e ancora non ne capiamo la logica. Magari una dimostrazione che a primo sguardo ci sembra impossibile, un calcolo i cui passaggi non sono chiari, e tutte quelle cose che NON possiamo catalogare come “questo l’ho capito, devo solo memorizzarlo”.

Segnateli con un punto di domanda a lato della pagina e stai tranquilli, ci ritornerai in futuro.

Questo lavoro serve a porre le basi per lo studio, hai appena acquistato una mappa per il tuo viaggio e fidati che nella pratica aiuta molto prendere un primo assaggio di ciò che c’è da sapere, infatti quando andremo a studiare seriamente avremo in mente il filo conduttore della faccenda e sarà più facile capire. Provare per credere 😉

PASSO 2: LAVORO DURO

È arrivato il momento di “attraversare il buio”. Perché ho usato questa espressione? Beh perché questo momento è un po’ come attraversare una casa con una torcia in mano, mentre c’è un buio pesto, ed accendere pian piano gli interruttori di ogni camera: prima la cucina, poi il bagno, poi la camera da letto e così via.

studiare matematica mi stanca

Fonte: https://complottismo.blogspot.com

Dovrai andare con calma e stare attento ad ogni passo che farai, ma pian piano vedrai che le luci si accenderanno e le cose appariranno via via più chiare.
Parti dall’inizio e vai avanti con calma, parola per parola, esempio dopo esempio, teorema dopo teorema.

Ad ogni passo reagisci in base a quello che incontri.

Se si tratta di regole utili nella pratica cerca di capirle e soprattutto guarda gli esempi del libro per capire come verranno poi utilizzate in seguito.

Non preoccuparti troppo di saperle a macchinetta, le imparerai meglio nella fase di applicazione.
Ciò che purtroppo va imparato a memoria sono i teoremi. Occhio però, perchè solo l’enunciato va imparato a memoria, nella sua sintassi formale e rigorosa. Poi va anche capito e ovviamente la sua dimostrazione non va imparata a memoria, ma compresa in ogni suo passaggio (puoi trovare qui una strategia per studiare le dimostrazioni: Come studiare una dimostrazione matematica ).

Fatti il favore di non imparare semplicemente a ripeterli perché è facilissimo fare un errore poi nella verifica o nell’esame. Cerca invece di CAPIRE e vedrai che sarà tutto più semplice. In questo modo imparerai “a memoria”, sì, ma in modo attivo e consapevole, il ché renderà molto difficile scordarsi le nozioni apprese.

Per quanto riguarda i teoremi ti consiglio innanzitutto di comprendere il significato, e seguire il percorso che dalla tesi porta all’ipotesi.
Solo a questo punto prova a ripeterlo e a spiegarlo, oltre che con termini rigorosi, anche con parole vostre. Impara, insomma, il teorema in sé, ma anche cosa vuole dire in parole povere, il suo significato.

Per le dimostrazioni il metodo è simile: capisci il processo e guarda i singoli passaggi, attento a cosa si sta dimostrando e a qual è l’obiettivo di quei conti/ragionamenti. Prova poi a riprodurle su un foglio e vedrai che avendo fatto i passi precedenti sarà tutto più semplice, in quanto avrai in mano la logica e le informazioni verranno da sé.

CAPIRE è fondamentale, lo sto ripetendo spesso, e c’è un motivo, è la base di tutto!! 😉 Se vuoi imparare come studiare la matematica, è fondamentale che ti chiarisci prima di tutto questo!

Ti starai chiedendo:”ma per quei famosi punti di domanda?”
Vai con calma per la tua strada e vedrai che alcuni di essi si risolveranno da soli: semplicemente ora che conosci la parte precedente avrai gli strumenti per comprendere quel particolare passaggio.

Se invece ancora non capisci è il momento di “capire perché non capisci”:
Non vi torna un passaggio?
Controllate l’algebra, magari semplicemente viene usata una proprietà che non ricordi (mi è capitato spesso). Per esempio una proprietà dei logaritmi, dei radicali, qualche regola di trigonometria. Sforzati di capire cosa non funziona.

Fatto ciò può capitare che comunque non capisci come mai quella cosa funzioni così. Questo può succedere ed è frustrante, ma la soluzione è semplice. Prova innanzitutto ad andare un pochino avanti, magari il vostro dubbio è chiarito poco dopo. Prova poi a ragionarci sopra da solo, anche alla luce di quello fatto prima. Di solito infatti un argomento matematico parte dalle fondamenta e si innalza con molto ordine, quindi se non stai capendo qualcosa, fare un passo indietro potrebbe avere senso.

Se proprio non riesci a capire (capita molto spesso soprattutto con la matematica un po’ più avanzata), allora chiedi!

Prova a cercare su internet e vedere se quell’argomento è spiegato meglio da qualche parte, chiedi ad un compagno , chiedi al prof, non importa, ma risolvi il tuo dubbio.
Fatto ciò potrai andare avanti e dovrai fare questo per ogni punto di domanda.

Una volta risolto il dubbio, tratta quella cosa come detto prima (se è un teorema, una regola pratica, una dimostrazione eccetera reagite di conseguenza).

Nota: prima di andare da un professore sarebbe utile raccogliere tutti i vari dubbi su un argomento (per evitare di andare a chiedere mille volte) e soprattutto formulare le domande in modo intelligente e conciso. Non diree “non ho capito questo argomento”. Il prof non può rispiegarti tutto. Chiedi piuttosto “mi può spiegare questa dimostrazione? questo passaggio non mi è chiaro”. Sii furbo e fai domande intelligenti, il prof apprezzerà e otterrai risposte utili.

Perfetto il secondo passaggio è finito, ora dovresti essere arrivato a fine capitolo e avere un’idea chiara di quello che c’è scritto e aver risolto i tuoi dubbi.

È il passo più “noioso”, ma è la parte in cui crei le fondamenta del tuo sapere, quindi è importante.
Mi raccomando ancora una volta, cerca di CAPIRE e non scoraggiarti, la matematica va affrontata lentamente, quindi prendeiti il tempo che ti serve e non demordere, avrai i tuoi frutti, e il tuo bel voto, te lo auguro!

PASSO 3: ESERCIZIO

Perfetto, siamo arrivati al campo di prova, vediamo insieme come fare per consolidare ciò che abbiamo imparato.
Innanzitutto riprendi il tuo argomento e ripassatelo velocemente, soffermati su ciò che è stato ostico all’inizio e riguardati un po’ il tutto, tanto per avere le idee chiare.

Riguarda bene gli esempi svolti, che ovviamente saranno la base della parte pratica.
Questi sono molto importanti perché ti danno un’idea di come risolvere i problemi che incontrerai, non sottovalutarli.

Detto questo cerca gli esercizi relativi all’argomento studiato, la vostra penna preferita, un bel foglio spazioso e iniziate ad allenarvi.
Per molti studenti, questa è la parte più traumatica, ma il motivo è semplice. Gli esercizi sembrano non avere senso, ed anzi, essere quasi scollegati dalla teoria appena studiata.

Questo accade perché dalle nozioni all’applicazione non sempre la strada è chiarissima, ma vedrai, te lo assicuro, che con un po’ di impegno gli esercizi prenderanno logica e diventerà quasi semplice eseguirli, e avrai anche qualche grande soddisfazione!

Forse starai dicendo “si ma a me della matematica non frega niente, voglio passare la prova!!”
Bene, fidati e vedrai che prenderai il tua voto tanto agognato ahah, ti serve solo un buon metodo e tanta pratica. 😉

Proseguiamo!

Come affrontare gli esercizi?
Beh, per non ampliare eccessivamente l’articolo, ti consiglio di leggere ciò che avevamo pubblicato qualche mese fa sul sito: Come risolvere gli esercizi di matematica.

Ottimo, dopo aver fatto tutti gli esercizi che ti eri proposto vai pure avanti con il quarto passo.

PASSO 4: RIPASSO

È arrivato il momento dell’ultimo passo, quello finale (si finalmente abbiamo quasi finito).

Dobbiamo riprendere in mano la teoria e ripassarla, ripetere i teoremi, le dimostrazioni e tutte le cose che dobbiamo sapere. Assicurati ancora una volta di aver capito tutto, riguarda bene le regole e gli esempi svolti.

Dopodiché puoi dare un’occhiata ad ancora qualche esercizio e rivedere quelli che più ti hanno fatto faticare.
Insomma, fai il punto della situazione e metti una pezza dove è necessario, anche se, avendo fatto bene le cose in precedenza, questa fasse dovrebbe essere molto veloce.

Abbiamo finito!
Ma aspetta!
Ultime raccomandazioni importanti:

Ripeti pure questo processo per ogni capitolo o argomento e vai avanti così finché avete materiale da studiare.

Organizzati il tempo a disposizione e lasciati qualche giorno prima della prova per riguardare tutto almeno una volta, per assicurarti di sapere bene tutto.
Non demordere mei momenti in cui c’è più da faticare e ricorda che pian piano tutto diventa più chiaro.

In conclusione. La Matematica è una materia difficile, è vero, e per questo genera in alcuni un odio quasi cieco. Questo perché talvolta viene spiegata in modo sbrigativo e non vengono evidenziati i lati concreti che essa ha, oppure semplicemente per il fatto che una persona ha altre preferenze.

Cerca però di andare oltre questo e prova ad informarti da solo su quello che questa materia può fare. Vedrai che studiarla diventerà più piacevole se comprenderai l’efficacia che questa materia ha, cerca di trovarne delle applicazionie e noterai come spesso essa venga sottovalutata.

Un saluto e spero di averti dato una mano!
A presto!

Ti lascio uno schema riguardo a questo di come studiare la matematica, fanne buon uso!

PASSO 1: PRIMO SGUARDO
-Prima lettura
Individuare:
-Cose chiare
-Cose da ripassare
-Cose non capite
PASSO 2: LAVORO DURO
-Capire ed imparare teoremi e dimostrazioni
-Capire regole pratiche
-Capire gli esempi svolti
-Risolvere dubbi
PASSO 3: ESERCIZIO
-Ripassare
-Scegliere quali esercizi fare
-Capire cosa fare
-Capire come farlo
-Usare tutti gli strumenti per arrivare ad una soluzione, partendo dall’impegno personale.
PASSO 4: RIPASSO
-Ripassare teoria.
-Ripassare la pratica.
-Ripassare tutto prima della prova.


Perfetto, con ciò il metodo è finito, ringrazio ancora Alberto per il contributo e per l’impegno che ci ha messo a scrivere l’articolo 😉

Questo metodo molto ben sviluppato è una buonissima traccia per uno studio a livello liceale della matematica. E’ più o meno lo stesso metodo che io, Davide, ho seguito in quegli anni. Purtroppo o per fortuna, non mi è però stato del tutto utile nei primi due anni universitari, in cui ho dovuto un po’ cambiare approccio.

Magari in futuro potrei scrivere un articolo riguardo al mio nuovo metodo, in continua evoluzione ovviamente 😉

Intanto ti consiglio di guardare anche il video di Naum :

Recommendation system: come Netflix decide cosa consigliarti di vedere

Recommendation system, che sarà mai? Ormai tutte le piattaforme digitali lo utilizzano in maniera più o meno evidente, tuttavia spesso non si sa cosa sia e come funzioni.

Con questo articolo mi sono posto l’obiettivo di approfondire questa tematica personalmente e provare a chiarirla con qualche esempio 🙂

Recommendation system

Partiamo da qualche situazione pratica, ti sarà infatti già capitato di andare su Netflix o su Amazon e trovarti voci del tipo “Consigliati per te..”, oppure “Guarda questo visto che hai già visto quello“. Altre modalità con cui vengono effettuate le raccomandazioni sono nella forma “Molti che hanno comprato X hanno comprato Y“, tipici soprattutto di Amazon.

E tu ogni volta ti chiedi, ma come è possibile che sappiano così bene i miei gusti? Quando mi consigliano delle cose, mi piacciono veramente. Come fanno? 🙂

Beh, dietro a questo sistema di raccomandazioni ci sono algoritmi molto complessi, perfezionati nel tempo e che apprendono mano a mano che tu utilizzi le piattaforme su cui sono implementati.

Sì, infatti ti sarai reso conto che affinchè inizino a consigliarti prodotti che effettivamente ti piacciono, è necessario che tu utilizzi la loro piattaforma per un certo tempo.

Si tratta di Machine Learning, una delle tematiche più interessanti del momento.

Vediamo cos’ha da dirci Wikipedia in merito a questo Machine Learning:

L’apprendimento automatico (anche chiamato machine learning dall’inglese), rappresenta un insieme di metodi sviluppati negli ultimi decenni in varie comunità scientifiche con diversi nomi come: statistica computazionalericonoscimento di patternreti neurali artificiali, filtraggio adattivo, teoria dei sistemi dinamici, elaborazione delle immagini, data mining, algoritmi adattivi, ecc; che “fornisce ai computer l’abilità di apprendere senza essere stati esplicitamente programmati”.

Inizia a farsi un po’ più di chiarezza? Praticamente alla base di Netflix, Amazon e tanti altri servizi ci sono algoritmi che tengono traccia delle tue azioni e, comparandole con quelle degli altri utenti, apprendono i tuoi gusti e sono sempre più in grado, mano a mano che utilizzi la loro piattaforma, di consigliarti con precisione.

E’ spettacolare se ci pensi, quasi come un tuo amico quando ti consiglia di iniziare una nuova serie TV, sapendo che hai già visto “How I Met Your Mother” e ti è piaciuto, per esempio 🙂

La differenza è che chi te lo sta consigliando non è un umano, quindi ci sembra impossibile.

Ma vediamo di andare oltre le apparenze, analizzando come la matematica abbia un ruolo fondamentale in questa fase di previsione ed interpretazione delle preferenze personali 😉

I due tipi di recommendation system

Fin’ora ci siamo occupati di scoprire dove e come veniamo a contatto con questo recommendation system. Vediamo però in che modalità agisce questo sistema e come facciano, senza addentrarci troppo nei dettagli, a scoprire i nostri gusti.

Innanzitutto ti sarai reso conto che i sistemi di raccomandazione si possono dividere in due tipologie, che basano i loro studi su due differenti soggetti:

  • sulle tue precedenti azioni e preferenze (magari voti che hai dato a determinati prodotti, o anche solo prodotti che hai visto)
  • sulle preferenze di “clienti” simili a te in termini di gusti

Nella prima classe di algoritmi, si basa tutto sul tenere traccia dei tuoi click, dei tuoi commenti, delle tue votazioni o anche del tempo che hai trascorso su un determinato prodotto/video. In base a ciò, vengono stilate delle classifiche di ciò che più ti è piaciuto, delle caratteristiche di questi prodotti, dei loro prezzi e di altre loro qualità.

In parallelo gli algoritmi possono accedere alla lista di tutti gli altri prodotti, con relative caratteristiche e pareri degli utenti, consigliandoti quelli più affini alle tue preferenze fin’ora registrate.

Facciamo un esempio molto semplice. Tu hai comprato un libro di matematica, diciamo per esempio “L’ultimo teorema di Fermat” su Amazon.

Che cos’hai fatto quindi scoprire ad Amazon? Beh, molte cose di te. Ovviamente si suppone che la tua scelta sia stata coerente con i tuoi gusti, trascuriamo per il momento il caso che tu lo stia comprando per fare un regalo, in cui la situazione si complicherebbe (infatti questi non sarebbero i tuoi gusti, ma quelli di un tuo amico 😉 ).

Che cosa sa Amazon di te dopo questo acquisto? Probabilmente ti piace la matematica, ti piace leggere, ti piace informarti sui grandi teoremi e matematici della storia. Non dimenticare inoltre che Amazon ha tracciato anche i tuoi click prima di acquistare questo libro, quindi probabilmente ha visto che eri indeciso tra questo e altri libri di divulgazione matematica. Il che non fa che rafforzare le sue conoscenze appena acquisite.

Ovviamente qui sto banalizzando notevolmente il processo di riconoscimento delle preferenze, trascurando completamente che per effettuare delle previsioni sia necessario un campione statistico ben più ampio di un singolo acquisto/visita ad una pagina. Ma per il momento ritengo sia sufficiente, mi interessa chiarire i meccanismi che superficialmente regolano questi sistemi.

Per andare oltre c’è sempre tempo 😉

Ah, ma se provi a guardare la pagina di vendita del libro (ti basta cliccare sul titolo del libro poche righe più in su), noterai che ti compare anche la seguente voce:

“Quali altri articoli acquistano i clienti, dopo aver visualizzato questo articolo?”.

Sotto a tale titolo, troverai una lista di 3-4 libri affini a quello che stai acquistando. Eccoci alla seconda tipologia di recommendation system. Quello basato sugli interessi di utenti che, in passato, hanno dimostrato di essere simili a te in termini di preferenze.

Alla base del meccanismo basato sulla combinazione delle preferenze di tutti gli utenti, vi è un utilizzo massivo di matrici, matrici di enormi dimensioni! Per velocizzare i calcoli e le analisi, gli elaboratori utilizzano strumenti quali la riduzione in valori singolari (SVD) o altre procedure, così da trascurare alcune righe e colonne approssimando le matrici a delle matrici più semplici.

Se sei interessato a questa tematica, potresti iniziare da qualche video su Youtube e poi informarti su Google, magari più avanti troverai qualcosa anche su questo sito 😉

Ecco qui un paio di video interessanti, sono in inglese ma molto comprensibili:

Scomposizione in valori singolari (SVD) : Link

L’algebra del Pagerank di Google: Link

Vediamo, ai fini pratici, come vengono utilizzate le matrici in questa analisi delle preferenze. Per farlo, utilizzerò un esempio semplificato della realtà.

L’esempio sarà inerente a Netflix. Supponiamo di avere solo 4 utenti iscritti e 3 serie TV. Supponiamo inoltre che non tutti e 4 abbiano visto tutte le 3 Serie TV. Ci poniamo l’obiettivo di scoprire se gli utenti potrebbero essere interessati a guardare le Serie mancanti, se potrebbero essere affini ai loro gusti.

Per semplicità supponiamo che ogni utente abbia assegnato una votazione dall’1 al 5 ad ogni Serie TV che ha guardato, in base alle sue preferenze.

Ovviamente questa casistica è super-semplificata, nonostante ciò dovremo usare una matrice 4×3 per analizzarla. Immagina le dimensioni delle matrici con cui Amazon e Netflix hanno effettivamente a che fare quotidianamente 😉

Registriamo quindi sulle righe i 4 utenti, sulle colonne le serie TV. Nelle varie entrate della nostra matrice, andremo a mettere le votazioni assegnate dagli utenti (se ti interessa scoprire qualcosa in più sulle matrici, ecco qui un’articolo che avevo scritto qualche tempo fa: Le matrici: cosa sono e qualche importante utilizzo ).

Ovviamente saranno presenti delle entrate vuote, visto che ogni utente non ha visto almeno una Serie TV di quelle disponibili.

Sulla base della somiglianza delle preferenze tra utenti, vorremmo prevedere che voto darebbero gli utenti mancanti alle Serie TV che non hanno ancora visto, così da sapere se potrebbero piacere loro o no.

Ecco quella che potrebbe essere una matrice delle preferenze:
Recommendation System
Ora proviamo  ad analizzare questa semplice tabella, che escludendo la prima riga e colonna diventa una bellissima “matrice delle preferenze”.
Potrebbe interessare Luca la serie TV “Tredici”? Beh, dura a dirsi dato che a lui è piaciuto “Narcos”, differentemente dagli altri che l’hanno visto. Tuttavia è concorde agli altri rispetto a “Sherlock”, dobbiamo quindi capire a quale di queste due, la Serie TV che deve ancora vedere, è più affine. Diciamo che l’esempio non è dei migliori 🙂
Però probabilmente a Luca non piacerebbe vedere “Tredici” dato che Sara ha detto che le piace moltissimo, mentra ha votato con un misero ‘2’ “Narcos”, che invece piaceva a Luca.
Ovviamente questa analisi non è per niente consistente a livello statistico e degna di un’intelligenza artificiale, ma è un ragionamento che, se basato su un campione di Serie TV e utenti molto più vasto, può essere molto efficace.
Per questa introduzione, un po’ approssimativa, alle due tipologie di recommentation system utilizzate attualmente, penso sia sufficiente. Vediamo, giusto per curiosità, nel prossimo paragrafo come si è arrivati all’algoritmo attuale di Netflix e alcuni riferimenti autorevoli nel caso tu voglia approfondire, cosa che ti consiglio vivamente (ricordati che questa è la direzione verso cui stiamo andando, intelligenza artificiale e machine learning sono il futuro 😉 ).

Netflix prize e alcuni riferimenti autorevoli

Alle origini, Netflix basava i suoi affari sul noleggio di DVD e videogiochi prenotabili online ma inviati in seguito a casa. Già al tempo vi era una bozza di sistema di raccomandazioni, basato su alcuni algoritmi più semplici degli attuali, basato semplicemente sulle loro preferenze passate.

Il miglioramento di queste infrastrutture vede il picco nel momento in cui Netflix si è lanciata nel mondo dello streming online, in quanto in questo contesto la raccolta dei dati era molto più immediata e inconsapevolmente gli utenti inviavano molte più informazioni. Ora non solo potevano accedere allo storico dei film noleggiati, ma ogni singolo click è tracciabile!

Nel 2006 l’azienda ha lanciato un concorso, avente 1 milione di dollari in premio, per chi ofsse riuscito a rendere più preciso il recommendations system utilizzato fino a quell’anno, rendendo così il potenziale dell’azienda molto superiore (rendendola più “umana”).

In termini matematici, loro avevano l’obiettivo di diminuire l’errore commesso consigliando un determinato film ad un dato utente. Questa è l’unica formuletta dell’articolo, ma la ritengo utile:

RMSE

L’RMSE è una metrica utilizzata spesso per valutare l’efficacia dei metodi predditivi, in caso non ti interessi approfondire, ti basti sapere che è un indice di accuratezza dell’algoritmo.

Tra le proposte più innovative ci fu quella del team BellKor’s Pragmatic Chaos, che nel 2009 si aggiudicò il premio con un cocktail letale di 107 algoritmi e oltre 2000 ore di lavoro.netflix prize

Riferimenti autorevoli per eventuali approfondimenti:

Libri:

  • Learning from Data: Link
  • The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction: Link
  • Hands-On Machine Learning: Link

Risorse:

  • Informazioni sull’algoritmo vincente e sul Netflix Prize: Link
  • Interessante corso “Master Recommender Systems”: Link
  • Creazione guidata Recommendation System con Python: Link
  • Video introduttivo ai Recommendation Systems: Link
  • Recommendation System, lezione sul Machine Learning: Link
  • Machine Learning: cos’è e perchè è importante: Link
  • The Netflix Recommender System: Algorithms, Business Value, and Innovation: Link

Distanti ma vicini: alla scoperta del concetto di distanza

Nella vita quotidiana si incorre spesso in discorsi che, se analizzati più nel profondo, possono risultare errati o poco precisi.

Con ‘poco precisi’, intendo da un punto di vista matematico. Spesso vengono coinvolti infatti concetti con una certa superficialità, solitamente perchè non è necessario coinvolgere precisazioni superiori dato che ci si capisce e ciò è sufficiente.

Alcune cose infatti vengono approfondite solo dagli addetti ai lavori, solo da chi cerca appositamente chiarezza a riguardo. Ma, nonostante ciò, anche chi si interessa ad approfondire non ha motivi per essere così rigoroso nel linguaggio comune. Vediamo in questo articolo un esempio di queste situazioni, in cui talvolta qualche precisazione in più non guasterebbe.

distanza

Il concetto di distanza è proprio uno di quelli, quando si parla di distanza tra due posti, tra due persone o tra qualsiasi coppia di oggetti, si sottintende sempre una cosa…stiamo parlando di distanza euclidea.

Cosa vuol dire distanza euclidea? Come fanno due cose ad essere distanti e vicine allo stesso tempo? Perché usiamo naturalmente la distanza euclidea e non altre? Quali altre distanze usiamo senza accorgercene?

Queste sono tutte domande che ho citato per alimentare la tua curiosità, con calma le svilupperemo nel corso dei prossimi paragrafi.

Partiamo con questa trattazione mettendo un po’ d’ordine ed introducendo qualche formalismo matematico, come piace a noi

Per non complicarci eccessivamente la vita, cerchiamo di ragionare come se ci trovassimo su un piano. Questa approssimazione non è per niente assurda se ci si concentra su una zona della terra abbastanza ristretta, così da essere ben approssimabile con un piano.

Bene, ora diciamo distanza un’applicazione (funzione) che manda qualsiasi coppia di punti del piano nella loro distanza, un numero reale non negativo.

Una volta definito su un piano un insieme di punti P, possiamo definire in modo molto rigoroso questa funzione come

d\colon P\times P \to \mathbb{R}

A,B \to d(A,B).

Essa gode di alcune proprietà interessanti. Innanzitutto essa è uguale a zero se e soltanto se, presi due punti qualsiasi dell’insieme di partenza, essi coincidono. Inoltre essa è simmetrica, detti cioè A e B due punti del piano e ‘d’ la funzione di distanza, d(A,B)=d(B,A). Ossia la distanza di due punti non varia al variare del ‘verso di percorrenza’.

L’ultima proprietà che voglio citarti, e forse la più importante, è la disuguaglianza triangolare. In termini pratici essa formalizza il seguente intuitivo concetto, presi tre punti sul piano A, B, C è più breve il percorso per andare da A a C direttamente, piuttosto che passare anche da B.

In termini più formali, d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C). Non voglio perdermi troppo su ciò, anche se meriterebbe, ma ti consiglio di riflettere su alcune proprietà dei triangoli alla luce della disuguaglianza triangolare

Giusto per completezza, ci tengo a dirti che una distanza viene spesso chiamata metrica e che un insieme di elementi, dotato di una metrica (su esso ben definita) viene detto spazio metrico.

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Che cos’è la distanza euclidea?

La distanza euclidea è quella con la quale sei abitualmente portato a ragionare..i motivi di questo fatto sono principalmente due:
1. È intuitiva e pratica
2. È facile da visualizzare

Da un punto di vista formale, questa distanza è detta metrica L2. Ma non è niente di strano, solo un nome 😉

Da un punto di vista pratico, la distanza euclidea è il cammino più breve che congiunge due punti del piano. Breve nel senso naturale del termine, ossia quello che misura meno se lo si valuta con metro o righello.

Nel piano le distanze euclidee tra coppie di punti sono ‘realizzate’ dai segmenti che li congiungono.

Per determinare la distanza tra due punti nel piano si applica infatti banalmente il teorema di Pitagora. Vediamo come…

Prendiamo due punti nel piano di coordinate (a,b) (x,y). La loro distanza euclidea sarà \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}. Se provi a farti un semplice disegno su carta o su geogebra, con x-a e y-b stiamo indicando la lunghezza di base e altezza di un triangolo rettangolo avente tra i vertici i due punti da noi introdotti.

Il terzo vertice, per completezza, sarà di coordinate (x,b).

Ma che altre possibili distanze ci sono?!

Forse lo scorso paragrafo ti è sembrato poco utile, dato appunto che naturalmente ragioni in questi termini e molto probabilmente non hai mai visto una distanza che non sia quella euclidea.

Piuttosto che spiattellarti davanti agli occhi una lista di altre distanze/metriche preferisco costruirle con calma insieme a te, partendo da degli esempi.

La metrica del Taxi

Iniziamo con la METRICA DEL TAXI che, come dice il nome, si basa su ciò che i tassisti, soprattutto a New York (o in città in cui il sistema stradale forma delle griglie sulla città), utilizzano per stabilire la strada più breve da percorrere per andare da un punto A ad un punto B della città. Prova per un attimo a pensare, avendo una città con le strade messe a griglia, con i palazzi nelle aree delimitate dalle strade, come sceglieresti la strada migliore da fare per andare da A a B? Sicuramente non collegheresti i due punti con un segmento, dato che non esiste una strada che ti congiunge i due punti con questo percorso (certo, sto escludendo il fatto che tu abbia un aereo supponi di doverti muovere in auto, bici, monopattino o a piedi). Ovviamente misureresti il percorso più breve muovendoti sulle strade…bene allora stai ragionando non con la metrica euclidea, ma con la metrica del taxi, talvolta detta 1-distanza.

In termini più formali, detta ‘d’ la 1-distanza, e dati due punti A=(a,b) e B=(x,y) si ha che d(A,B)=|x-a|+|y-b|..preferisco non approfondire ancora questa parte, ma ti consiglio di farti qualche esempietto su carta che va sempre bene.

Una metrica mista

Vediamo ora un’altra metrica particolare che spesso si usa. Ti è mai capitato di definire una meta ‘distante’ se si trovava oltre una certa soglia da te concepita come ‘distante’? Mi spiego meglio, diciamo di trovarci in un punto A della città e di avere due mete B e C. Ora, ti è mai capitato di definire sia B che C distanti nonostante magari in linea d’aria B disti 100km mentre C 300km?

Immagino di sì, infatti noi siamo spesso portati a semplificare, quindi oltre una certa soglia non ci interessa la precisione ma la praticità…non ci importa quindi non precisare che C è PIÙ DISTANTE di B da A. Bene, la metrica discreta fa proprio questo.

Supponiamo per esempio che oltre il raggio dei 50km diciamo una meta distante. Bene, allora definiamo una metrica discreta ‘d’ come segue:
* se in linea d’aria la distanza è minore di 50km allora d(A,B)=0
* altrimenti d(A,B)=1.

Volendo possiamo definire A e B vicine se la loro distanza discreta è 0, distanti altrimenti.

La metrica discreta

Poi ancora più particolare è la metrica discreta, in cui tutti i punti distano 1 a meno di scegliere due punti coincidenti. La praticità e la frequenza con cui quotidianamente si usa questa distanza è abbastanza bassa, ma a volte può capitare…

Altre distanze interessanti sono le p-distanze (di cui la metrica euclidea e del taxi fanno parte) che sono così definite:
Siano dati due punti A=(a,b) B=(x,y), si ha che detta ‘d’ la p-distanza, d(A,B)=((x-a)^p + (y-b)^p)^{1/p} il cui caso limite è la distanza infinito.

La distanza infinito di A da B è \max{|x-a|,|y-b|}, per il momento penso siano sufficienti queste introduzioni, giusto da mettere in chiaro che noi abitualmente ragioniamo in termini di distanza euclidea (2-distanza) ma essa è solo una tra le tante.

Come fanno due cose ad essere distanti e vicine allo stesso tempo?

Ormai la risposta a questa domanda, che poteva sembrare stravagante qualche minuto fa, mi sembra quasi ovvia.

Infatti la domanda è poco precisa dopo aver visto come non esista una sola distanza. Per esempio possiamo prendere due oggetti distanti, in linea d’aria 1000km (rispetto alla comune 2-distanza), rispetto alla distanza discreta saranno distanti 1 (quindi possiamo dirli vicini) e rispetto alla distanza euclidea sono invece molto distanti Semplice, no?!

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