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principio di induzione

Il principio di induzione: quando, come e perchè utilizzarlo

Il principio di induzione è un elemento fondamentale nel bagaglio culturale di un matematico. E’ una delle tecniche dimostrative fondamentali di cui chiunque mastichi matematica deve essere in grado di servirsi.

Fondamentalmente le dimostrazioni che meglio si prestano ad adottare questo principio quale linea guida, sono gli enunciati che hanno la seguente struttura:

“Dimostra che X vale per tutti i naturali” oppure “Dimostra che Y vale per tutti i naturali maggiori di K”.

Scommetto che ti sei trovato davanti a situazioni simili più di una volta…

Per dimostrare un enunciato di questo genere, bisogna quindi impostare un caso base e dimostrare poi tramite il cosiddetto “passo induttivo” che tale enunciato, valendo per n, vale anche per n+1. Dimostrando che un enunciato vale per un numero iniziale K (caso base) e per due naturali consecutivi, dimostriamo la sua validità per tutti i naturali. Questo semplicemente perchè abbiamo dimostrato che se E vale per 5 vale anche per 6, abbiamo però dimostrato anche che se E vale per 6, vale anche per 7 e così via.

Semplice da un punto di vista astratto, non del tutto immediato da un punto di vista pratico.

Si possono verificare infatti situazioni in cui il principio di induzione non è proprio di facile applicazione, in particolare il passo induttivo può risultare particolarmente ostico.

Prima di procedere, se vuoi ho anche preparato un video riguardo il principio di induzione e puoi vederlo qui:

Ma vediamo ora un esempio di applicazione del principio di induzione per dimostrare 2 enunciati, uno semplice e uno un po’ meno immediato.

Esempio semplice

Dimostrare per induzione che 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2 , n ≥ 1

Verifichiamo innanzitutto la validità di tale enunciato nel caso base, ossia per n=1.

1*2/2=1, ossia abbiamo ricavato 1=1, quindi abbiamo dimostrato che la somma dei primi 1 numeri naturali è 1. Questo si verifica sia sommando banalmente, che applicando la formula al caso n=1.

Passo induttivo : Se vale per n-1, vale anche per n?

Dobbiamo dimostrare ora che 1 + 2 + 3 + .. + n = n(n+1)/2, sapendo che

1 + 2 + 3 + .. + (n-1) = (n-1)n/2

Basterà aggiungere a tale somma n, fare il denominatore comune e verificare se ci si può riportare nella forma di nostro interesse.

(n-1)n/2 + 2n/2 = (n^2-n+2n)/2=(n^2+n)/2=n(n+1)/2

Siamo arrivati esattamente alla forma che cercavamo, senza fare alcuna supposizione. Abbiamo quindi dimostrato che tale forma esplicita la somma dei primi n numeri naturali escludendo lo 0.

Caso meno immediato

Provare che, per ogni n∈N  9^(n+1) + 2^(6n+1) è divisibile per 11.

Caso base: n=0, 9^1 + 2^1 = 11. Perfetto, 11 è divisibile per 11.

Passo induttivo: 9^(n+1) + 2^(6n+1) è divisibile per 11 per ipotesi induttiva. E’ vero che 9^(n+2) + 2^(6(n+1)+1) è divisibile per 11?

Per le proprietà delle potenze, 9^(n+2)=9^(n+1+1)=9^(n+1)*9, analogamente

2^(6n+7)=2^(6(n+1)+1)=(2^6)*2^(6n+1).

Per ipotesi sappiamo che esiste un k∈N tale che 11k=9^(n+1) + 2^(6n+1)

Ora, 9*9^(n+1)+2^6*2^(6n+1) = 9*(11k-2^(6n+1)) + (2^6) * 2^(6n+1) =

= 99k – 9*2^(6n+1) + (2^6) * 2^(6n+1) = 99k + (2^(6n+1)) * (2^6-9) =

= 99k + 55*2^(6n-1) = 11 * (9k + 5*2^(6n-1)) = 11h

Ossia è divisibile per 11, come volevamo dimostrare.

Queste casistiche non sono troppo difficili ma sono utili per comprendere ciò di cui stiamo parlando.

Abbiamo quindi fin’ora visto che il principio di induzione è utile per dimostrare alcuni enunciati e che può essere definito come segue

Dove k ed n sono numeri naturali e P(0) è il caso base. Ovviamente per P si intende un enunciato, una proposizione, ciò che vogliamo dimostrare.

Abbiamo inoltre visto due esempi non del tutto banali ed utili alla sua comprensione.

Esiste anche un principio di induzione forte che ha qualcosa in comune con questo ma l’applicazione e il concetto che ne sta alla base sono differenti. Ci dedicherò quindi un articolo a parte nelle prossime settimane. Per ora mi limito a citarlo, così da ricordarne l’esistenza.

Per oggi è tutto, spero di aver chiarito i tuoi dubbi relativi a tale principio. In caso ne avessi ancora qualcuno, ti prego di contattarmi o lasciare un commento qui sotto. Sarò felice di risponderti.

Amo la matematica! I 10 reali motivi per cui la adoro

Immagina di dover spiegare al tuo amico perchè ami la matematica. Oppure perchè hai scelto di studiare matematica all’università.

Probabilmente non devi neanche fare un così grande sforzo mentale per immaginarti queste situazioni, dato che se stai leggendo questo articolo sono quasi sicuro che ami la matematica e queste occasioni le hai sperimentate molto (troppo) spesso.

Ho pensato quindi di facilitarti il compito, raccogliendo una lista con i 10 reali motivi per cui amo la matematica. Questi non sono solo motivi personali, ma li ho raccolti anche chiedendo in giro a chi, come noi, adora questa disciplina.

Prima di iniziare ti informo che puoi scaricare la lista con 5 punti bonus inserendo la tua email nel modulo qui sotto:

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I 10 motivi per cui amo la matematica

1. Non la capisco

Il fascino di ciò che non si conosce o non si capisce è enorme. La matematica è spesso molto complicata e per questo, a mio parere, irresistibile. Immagino che anche a te sia capitato di rimanere più di un giorno a riflettere su un enunciato o su una dimostrazione, cercando di comprenderla, continuandoci a pensare proprio perchè non riuscivi a capirli. Per questo io vedo la  difficoltà che caratterizza la matematica non tanto come un limite o un ostacolo, ma come un suo pregio. Solo chi veramente la apprezza nella sua interezza avrà interesse a superare la facile affermazione “E’ troppo difficile, non la capisco”. Questa ragione l’ho messa per prima proprio perchè è ciò che più mi affascina di questa disciplina, ciò che mi spinge a dire di amarla.

Scopri come fare ripetizioni di matematica, potresti sfruttare gli sforzi fatti per capire certi argomenti per guadagnare qualcosina 😉

2. La matematica non perdona

C’è poco da dire, la matematica non perdona. O ti sforzi a capirla o non hai alcun modo per impararla. Non c’è alcuna scorciatoia. Non puoi dire di conoscere la matematica perchè sai dei teoremi a memoria. Tutto ciò che studi va sviscerato, compreso passo per passo. Proprio per questo la adoro, essa non perdona. Essa esige completa attenzione, comprensione, impegno. Ogni passaggio è fondamentale per capire i successivi, quindi niente può essere lasciato al caso. Un’armonia perfetta oserei dire.

3. In matematica niente è vero se non dimostrato

La matematica è una scienza formale, essa parte dai degli enunciati accettati universalmente per poi giungere a teoremi che possono essere accettati in quanto tali se e solo se dotati di dimostrazione coerente. Altrimenti si dicono solo congetture. Il concetto di dimostrazione svolge quindi un ruolo fondamentale all’interno della matematica, è il perno attorno a cui tutto ruota. Questo permette di affermare che nei limiti delle ipotesi, un teorema è vero e lo sarà per sempre. Ciò lo trovo fantastico.

Scopri quali sono le principali tecniche dimostrative che devi essere in grado di manipolare per abbozzare le dimostrazioni dei teoremi base.

4. La matematica ti consente di diventare abile nel problem solving, in un mondo pieno di problemi

Gli sforzi che comporta la comprensione di una dimostrazione, di un calcolo o della risoluzione di un problema possono essere enormi. Tuttavia questa elasticità mentale, che si può ottenere solo con il duro lavoro e tanto (tanto) studio e pratica, è utilissima anche in altri campi. La capacità di affrontare un problema in maniera razionale e coerente con le ipotesi in corso è un risultato inevitabile di chi fa e studia matematica. Questo ritengo sia fantastico, dato che il mondo è ricco di problemi che attendono una risoluzione logicamente coerente e corretta.

5. La matematica è divertente

La matematica non è solo fatica, sforzi mentali e duro lavoro. E’ senz’altro anche divertente. Non sto parlando solo della risoluzione di rompicapi ed indovinelli logici (che a breve troverai anche su questo sito 😉 ) ma anche dello studio della stessa. Non ti è mai capitato di provare a trovare più di una soluzione allo stesso problema? Non è divertente?

Sulla matematica hanno fatto anche parecchi film, scopri quali sono stati i migliori film sulla matematica.

Prima di proseguire la lettura, anticipa i tuoi amici che ti chiederanno perchè ti piace e studi matematica, condividi questo articolo così da far sapere loro perchè ami la matematica

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6. La matematica è una sfida continua

Studiare matematica è come continuare a mettersi alla prova, continuare a sfidare se stessi. Non è facile ma molto ambizioso. Ogni nuovo argomento, teorema o dimostrazione è una sfida. Una sfida che non sai a priori che esito avrà, che tuttavia non vedi l’ora di intraprendere. Questo è probabilmente il secondo motivo principale per cui la adoro, non è mai monotona. Ogni nuovo giorno di studio è diverso dagli altri. Puoi infatti acquisire un metodo, certamente, ma non saprai mai se sarai in grado di risolvere il prossimo esercizio, di comprendere il prossimo passaggio, di entrare nella prossima dimostrazione. E come ben sai, il mistero è intrigante. Molto di più della certezza.

7. La matematica è universale

Non c’è persona nel mondo che  non sarebbe in grado di comprendere un’operazione matematica, la matematica ha un linguaggio proprio. E’ universalmente comprensibile. Avrai senz’altro già sentito “è la lingua con cui è stato scritto l’universo”, affermazione detta dal noto Galileo. Bene, essa riassume sostanzialmente una delle principali proprietà della matematica. Può essere amata, apprezzata, compresa e condivisa in tutto il mondo senza necessitare di alcuna traduzione. E’ come se avessimo tutti una lingua comune, quella dei numeri.

8. La matematica non è come sembra

Per chi conosce solo la matematica delle superiori o comunque ha una conoscenza limitata di ciò che la matematica comprende, questa non è altro che una “scienza” del calcolo. Per chi si ferma a questi livelli, un matematico è sostanzialmente una calcolatrice. Bene, se credi anche tu sia così (ma immagino che tu sappia cosa sia la matematica se stai leggendo questo articolo), sono contento di essere il primo a dirti che non hai la minima idea di cosa sia. La matematica è arte, è musica, è dimostrazione. Non ha nulla a che vedere con i numeri e con il semplice “fare di conto”. Questo lo sto scoprendo mese dopo mese, studiandola a livello universitario, anche io fino ad un anno fa (forse un po’ di più) la pensavo diversa, ma sono proprio contento che essa non sia come sembra.

9. E’ ricca di applicazioni alla realtà

La matematica è utile, c’è poco da dire. Differentemente da come molti pensano, la matematica non solamente può essere insegnata ma è fondamentale, è ricca di applicazioni alla realtà. E’ una scienza teorica ma al tempo stesso ricca di ricadute pratiche. Per questo la ritengo meravigliosa.

10. Niente è lasciato al caso

Qualsiasi cosa deriva da delle considerazioni (ovviamente dimostrabili) che partono da delle ipotesi verificate (o verificabili). Qualsiasi passaggio segue ad un altro. Qualsiasi enunciato può essere generalizzato o specializzato. E’ tutto collegato. Penso questa sia una delle ragioni principali per cui questa materia sia tra le più odiate dagli studenti, non si può comprendere un argomento senza aver compreso i precedenti. Motivo per cui è odiata da molti, ma amata da tanti altri 😉

Scopri perchè la matematica non è un’opinione, potresti avere qualche sorpresa nel corso della lettura.

La lista dei 10 motivi pratici per cui amo la matematica termina qui, ma se non sei ancora stanco di leggere ragioni per cui apprezzare questa materia, ti consiglio di inserire la tua mail qui sotto. Riceverai immediatamente un PDF con una checklist riassuntiva di questo articoli e 5 motivi bonus tutti da gustare. Ti assicuro che ne vale la pena 😉 

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Come fare ripetizioni di matematica

Se la matematica non ti fa troppa paura e te la cavi abbastanza bene, fare ripetizioni potrebbe essere una buona strategia per guadagnarti qualcosina. Penso che almeno una volta ti sia capitato che un conoscente ti chiedesse di dargli una mano prima di una verifica di matematica. Siccome so, per esperienza, che non è sempre facile fare ripetizioni di matematica, ho pensato di fornirti una guida per imparare come fare ripetizioni di matematica in modo efficace.

Non aspettarti la formula magica che ti permetterà di far prendere ottimi voti ai tuoi ripetenti ogni volta, infatti io non posso altro che fornirti i metodi e le strategie che sto adottando da qualche anno e mi sembrano funzionare meglio. Ovviamente se tu reputi non funzionare qualcuna delle seguenti e conosci qualche strategia efficace, lascia un commento o contattami.

Innanzitutto parto dicendoti che secondo me fare ripetizioni vuol dire insegnare la strategia specifica per risolvere le casistiche più generiche di esercizi.

Se per esempio l’argomento che devi affrontare sono le coniche, non è secondo me utile perdere le ore sulla teoria e poco tempo sugli esercizi. Ma è meglio presentarsi a casa del nostro amico con un riassunto / schema della teoria ed un elenco con le formule principali utili per risolvere gli esercizi. Dedicandosi quindi con lui ad affrontare le varie tipologie di esercizi, senza soffermarsi troppo su casi particolari.

Gli esercizi in questo caso potrebbero essere relativi alla ricerca dell’equazione della conica partendo da alcuni punti, sapendo l’intersezione con un altra conica o partendo da altri presupposti. Altri esercizi che ritengo importanti relativi a questo argomento sono le strategie migliori nelle opportune condizioni per trovare l’intersezione tra due coniche.

Insomma, per darti una direttiva generica, ritengo che sia importante presentarsi dal nostro amico preparati, con il seguente materiale:

  • Riassunto teoria (o essere in grado di farlo a voce sul momento)
  • Formulario con le principali formule dell’argomento
  • Tipologie di esercizi possibili e importanti casistiche da saper affrontare già ben chiare in mente.

Ovviamente sta poi a te pensare come suddividerti le spiegazioni, affrontare in maniera chiara e poco noiosa gli argomenti di teoria. Ma ritengo che la cosa più importante in assoluto sia infondere sicurezza.

Spesso infatti ho trovato che i principali problemi che si presentano in chi ha difficoltà in matematica sono i seguenti:

  • Disattenzioni ed errori (banali) sparsi negli esercizi
  • Incapacità di riconoscere le formule che possono essere utili per risolvere gli esercizi o di incasellare l’esercizio da affrontare in una particolare tipologia già vista
  • Insicurezza, non si è sicuri di ciò che si scrive e si fa

Per porre rimedio a questi problemi, secondo me la cosa più importante è che non ci si presenti dall’amico con alcuni dubbi relativi all’argomento, magari perchè non si ha avuto tempo nei giorni precedenti per ripassarlo. Ricorda che 10 minuti per ripassare una cosa già vista puoi trovarli facilmente!

Una cosa che ho trovato molto utile nelle mie esperienze passate, è presentare più possibili strade (se esistenti) per risolvere lo stesso esercizio. Infatti a noi può risultare scontato sceglierne una piuttosto che un’altra, ma magari al nostro amico risulta più naturale un’altra metodologia.

L’ultimo consiglio che mi sento di darti è fornire continuità. Ossia non limitare le ripetizioni all’ora / ora e mezza in cui ti vedi con il tuo amico. Suggerisci esercizi che ritieni utili, così che si introduca magari all’argomento che gli spiegherai la volta dopo. Riprendi gli esercizi che ha svolto a lezione. Renditi disponibile ad aiutarlo anche per telefono, almeno lui saprà che se per caso gli venisse un dubbio nella risoluzione di un esercizio, voi potete dagli supporto.

Spesso infatti il problema maggiore per chi non va molto bene in questa materia è la risoluzione di troppo pochi esercizi. Magari perchè si sa già a priori che non si riusciranno a risolvere, ma forse se si può confidare in una mano amica e più esperta la voglia di esercitarsi potrebbe crescere.

Come ultimo argomento, ho tenuto la decisione del compenso da richiedere. Io sono sincero, non ho mai chiesto molto. Se faccio venire a casa mia l’amico, chiedo sui 10 € l’ora mentre se vado a casa sua tra i 10 e i 15€, so che c’è gente che chiede molto di più ma ritengo che questa cifra sia proporzionata allo sforzo. Ovviamente se c’è impegno sia da parte tua che di chi ti chiede ripetizioni.

Se però c’è una certa continuità (tipo ti trovi con lo stesso studente tre volte fisse a settimana) per non pesare troppo sulla famiglia io mi accordo con loro, facendo delle “tariffe” opportune.

Bene, spero che questa “guida” ti sia utile. Non ho fatto altro che riportare le strategie e gli accorgimenti che ho visto essere efficaci negli ultimi anni. Per questo penso possano aiutare anche te.

Se hai consigli, suggerimenti, critiche ti prego di lasciare un commento o di contattarmi qui o su Facebook.

Pi Greco Day

Come penso tu sappia già, il 14 marzo di ogni anno si festeggia il Pi Greco Day. Questo giorno è dedicato alla meravigliosa costante matematica, proprio perchè una sua approssimazione abbastanza banale è 3.14, per questo Marzo (3° mese) 14.

Ho pensato quindi di dedicare uno spazio su questo sito anche al Pi Greco.

Prima di parlare un po di questa costante, ti inserisco qui di seguito un video che ho trovato molto  ben fatto ed interessante, relativo alla storia del Pi Greco e alla sua evoluzione nel tempo.

Il Pi Greco viene comunemente definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il diametro di un cerchio. Nel corso della storia si è arrivati ad una precisione sempre maggiore e, con l’avvento del computer, si sta progredendo sempre di più.

Ecco le prime 100 cifre del Pi Greco:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679…

La prima volta in cui il Pi Day fu celebrato, risale al 1988. Da quell’anno in poi, si è sempre pensato di ricordare questa costante con il dovuto rispetto mediante opportune festività e celebrazioni.

Dopotutto il Pi Greco è uno dei numeri più importanti che abbiamo a disposizione, uno dei 5 elementi che compaiono nella famosa identità di Eulero: 

Ma ora veniamo a ciò che ritengo più interessante. Ossia il mistero che questa importantissima costante cela.

Il Pi Greco è infatti un numero irrazionale, ossia non esprimibile sotto forma di quoziente tra due interi. Esso è quindi composto da infinite cifre che non si ripetono periodicamente.

Se associassimo ad ogni cifra (o a delle loro combinazioni) una lettera, potremmo infatti leggere il nostro nome, potremmo trovare la risposta a tutte le nostre domande. Nelle cifre che costituiscono questa costante è presente persino la password del nostro conto bancario. Tutto ciò che noi cerchiamo è nascosto qui dentro.

Questo lo ritengo meraviglioso, ogni volta che ci penso rimango incredulo. Tuttavia è solo la verità.

Se inoltre sei una persona che ama le sfide, potresti provare (come esercizio di memoria) a memorizzare le prime 100 (o più) cifre che compongono la costante. Se ti può essere utile ecco qui qualche trucchetto:

Come memorizzare le cifre del Pi Greco

Spero che possa essere stato interessante questo breve articolo. Molto probabilmente in futuro approfondirò meglio qualche aspetto relativo a questa costante, dato che mi intriga molto come numero.

Detto questo, se hai critiche, consigli o richieste da farmi sarò molto lieto di rispondere ai tuoi commenti e messaggi qui o su Facebook.

Principali tecniche dimostrative

In un articolo recente ho scritto una breve introduzione al concetto e al mondo delle dimostrazioni.(Lo puoi trovare qui). Essendo le tecniche dimostrative un qualcosa di parecchio ampio e complesso, ho pensato di dedicarvi un apposito articolo.

 

Nelle prossime righe imparerai a dimostrare teoremi di natura abbastanza semplice, tuttavia devi sapere che senza queste basi tutto ciò che viene dopo è impossibile. Ti introdurrò quindi alle principali tecniche dimostrative, dalle quali si sviluppano poi le più avanzate.

Se vuoi approfondire il tema delle dimostrazioni e non temi l’inglese , inviami un messaggio cliccando qui e ti invierò un ebook fatto davvero bene 😉

Vedremo quindi come si dimostrano i seguenti costrutti logici:

  • implicazione
  • doppia implicazione
  • per ogni x
  • esiste una x
  • negazione quantificatori

Inoltre vedremo un accenno all’induzione e alla dimostrazione per assurdo, che ritengo degne di un articolo riservato.

Prima di iniziare ti ricordo i seguenti valori di verità:

“A e B” è vero se e solo se (Sse) sia A che B sono vere (congiunzione).

“A o B” è vero se A o B o entrambe sono vere (disgiunzione).

“non A” è vero sse A è falso (negazione).

“A->B” è vero  sse A falso o B vero (implicazione).

“A<->B” è vero sse A->B e B->A sono veri (doppia implicazione).

 


Iniziamo quindi dall’implicazione. Ossia dal costrutto “se A, allora B”. Ossia A implica B, che in formule si scrive A->B.

Un esempio banale potrebbe essere il seguente: “Se un numero è pari, allora è divisibile per 2”.

Vediamo quindi come dimostrare un enunciato dotato di questa struttura logica. Il tutto te lo spiegherò in maniera abbastanza schematica, in quanto la ritengo più utile e diretta.

Supponi che A sia vera, ora partendo da questa ipotesi dimostra che B è vera. L’enunciato A, una volta riformulato e sviscerato, ti porterà a dire che B è vero.

Per esempio nel caso dei numeri pari, che quindi sono divisibili per due, è sufficiente fare il seguente ragionamento:

N pari, allora N=2*k con k numero intero. Allora N è divisibile per 2. E questo è un ragionamento valido per ogni N pari, perciò hai dimostrato il tuo enunciato.

A volte può essere più semplice dimostrare un enunciato del genere, supponendo che B sia falsa ed arrivando a dire che allora anche A è falsa. Quindi non  B implica non A, che è logicamente un costrutto equivalente ad A implica B.

Per cui, supponi che N (intero) non sia divisibile per 2. Allora N è evidentemente dispari, perciò hai dimostrato il tuo teorema.

Una considerazione che ritengo importante fare, è il concetto di ex falso. Ossia è importante sapere che l’implicazione A->B è vera se sono vere sia A che B, ma anche se A è falsa. Per cui occhio a considerare questa possibilità nelle tue dimostrazioni!

Per questi motivi potresti trasformare la dimostrazione di un’implicazione nella dimostrazione di una disgiunzione: non A o B.

Se lo ritieni opportuno, potrei parlare meglio di questo costrutto logico in un articolo apposito. Fammelo sapere per messaggio o nei commenti 😉 di cose da dire ce ne sarebbero parecchie.

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Passiamo ora alla doppia implicazione, più comunemente chiamata equivalenza. Con equivalenza si intende un costrutto del tipo A sse (se e solo se) B. Ossia A implica B e B implica A. In formule si scrive A<->B.

Per quanto riguarda le tecniche dimostrative di questo costrutto, non mi soffermo più di tanto in quanto penso possa essere chiaro che la via primaria sia spezzare il tutto in due implicazioni e dimostrarle come detto sopra. Per cui A<->B è  equivalente ad A->B e B->A.

Tante volte può risultare utile dimostrare l’implicazione più semplice e poi sfruttarla per dimostrare la negazione dell’altra. Infatti essendo che A->B è equivalente a non B->non A, si ha che per dimostrare A<->B basta dimostrare A->B e non A->non B.

Prima dell’esempio, voglio farti notare come l’enunciato di prima (se un numero è pari, allora è divisibile per due) in realtà sia un’equivalenza in quanto entrambe le implicazioni sono vere. Potremmo quindi dire che un numero è pari sse è divisibile per 2.

Vediamo ora un altro esempio. Un numero naturale è divisibile per 5 sse termina con una delle seguenti cifre: 0,5. In questo caso dovrai dimostrare prima che se un numero naturale è divisibile per 5, allora termina con 0 o 5. Poi il contrario.

Se ritieni necessario qualche approfondimento scrivimi o lascia un commento, sarò felice di aiutarti.


Passiamo ora all’analisi del costrutto “Per ogni x vale E(x)”. Ossia del quantificatore universale. Questo sostanzialmente è vero se l’enunciato E(x), dipendente da x, vale per una x generica appartenente al dominio di discorso opportuno. Per cui se per esempio si ha un enunciato come questo “Per ogni numero naturale ne esiste uno più grande”, si intende che un N naturale generico, ammette un N’ tale che N’>N. Questo enunciato è banale in quanto basta prendere N’=N+1, comunque penso sia utile per farti capire.

Quindi per dimostrare un enunciato di questo tipo, è sufficiente prendere un valore generico (senza alcuna condizione o supposizione particolare) e verificare che l’enunciato E(x) valga per tale valore.


Vediamo ora il costrutto “Esiste un x per cui E(x)”. Ossia il quantificatore esistenziale. Questo sostanzialmente è vero se esiste una x, appartenente ad un opportuno dominio di discorso, tale che valga E(x). Per dimostrare ciò è quindi sufficiente trovare un testimone ossia un valore che verifichi tale enunciato.

Un enunciato di questo genere potrebbe essere il seguente: “Esiste un numero intero minore di ogni quadrato”. Tale enunciato afferma quindi che esiste un Z intero tale che Z<N*N per ogni N intero. Per dimostrare ciò è sufficiente dire che Z può essere un qualsiasi numero negativo, dato che il quadrato di un numero è sempre positivo.


Terminiamo quindi con la negazione. Similmente al caso precedente, un enunciato del tipo “Non per ogni numero naturale ne esiste uno minore” può essere dimostrato semplicemente portando un controesempio ossia un valore per cui l’enunciato negato è falso. In quanto tale enunciato significa che esiste un naturale che non ha alcun naturale minore. Basta pensare allo 0!

Se invece sei di fronte ad un enunciato del tipo “Non esiste un numero naturale dispari divisibile per 2”, basta dimostrare che per ogni dispari, questo non è divisibile per 2.

Sono consapevole che tutto ciò possa non risultare immediato, tuttavia ti assicuro che con la pratica ti verrà tutto più semplice.


Prima di terminare l’articolo, ti lascio con un’introduzione alla dimostrazione per assurdo e alla tecnica dell’induzione.

La dimostrazione per assurdo consiste sostanzialmente nell’assumere, tra le ipotesi, che la tesi sia falsa, arrivando così ad una contraddizione delle ipotesi.

La dimostrazione per induzione invece è uno strumento davvero potente. Ti permette di dimostrare che un enunciato vale per tutti i naturali, oppure per tutti i naturali maggiori di un N fissato. Si articola in due fasi:

  1. CASO BASE
  2. PASSO INDUTTIVO

Quindi una volta che dimostri che il tuo enunciato è verificato se n=0 o n=N (numero di partenza), supponi che esso valga per  un ‘m’ generico e da ciò devi ricavare che tale enunciato vale anche per ‘m+1’. In formule quindi un enunciato E(x) vale per ogni N naturale, basta dimostrare E(0) e E(n)->E(n+1).

Comunque sono consapevole dell’impossibilità di descrivere questi due ultimi metodi in poche righe. Per questo motivo a breve pubblicherò un articolo dedicato all’induzione ed un altro dedicato alla dimostrazione per assurdo.

Se vuoi approfondire il tema delle dimostrazioni e non temi l’inglese , inviami un messaggio cliccando qui e ti invierò un ebook fatto davvero bene 😉

Spero di essermi chiarito abbastanza, se hai dubbi, critiche o suggerimenti da farmi scrivimi pure un messaggio qui o su Facebook oppure lascia pure un commento. Sarò lieto di ascoltarti! 😉

 

 

La matematica non è un’opinione

Quante volte ti è capitato di sentire la frase “la matematica non è un’opinione!”? Penso che questa frase sia pronunciata a sproposito talmente tante volte che sia impossibile non averla mai sentita. Inoltre devi sapere che questa frase ha origini italiane, e inizialmente non è stata formulata proprio così.

Vediamo di riassumere l’origine di tale frase:

La storia è semplice: nel novembre 1879 cadde il governo Cairoli II prevalentemente a causa della “tassa sul macinato”, e il re incaricò nuovamente Cairoli di creare un governo Cairoli III. A questo governo non partecipò però più il ministro delle Finanze Bernardino Grimaldi, che aveva fatto i conti e si era reso conto che senza quella tassa lo stato non ce l’avrebbe fatta. Per spiegare la propria mancata adesione, pronunciò la frase «Per me, tutte le opinioni sono rispettabili ma, ministro o deputato, ritengo che l’aritmetica non sia un’opinione.»

 

 

(ilPost)

Già qui può essere chiaro quindi come la frase “la matematica non è un’opinione” non sia corretta. Tuttavia vediamo di approfondire il problema.

Ma cos’è la matematica? Essa è il linguaggio con cui Dio ha scritto l’universo (Galileo Galilei), è un grosso sistema costruito a partire da alcuni assiomi. La matematica può essere considerata una scienza formale. Procede per via assiomatica, ossia partendo da delle proposizioni (enunciati) dati per veri o accettati da tutti, si sviluppa in varie direzioni a patto che le congetture a cui si arriva siano in accordo con gli assiomi di partenza. Pertanto la matematica si basa su dei ragionamenti logici coerenti con il sistema assiomatico da cui si è partiti.

Nel momento in cui viene messo in discussione anche solo uno degli assiomi da cui sono partite tutte le nostre congetture e conclusioni, tutto perde di significato.

Si può quindi dire che i teoremi matematici abbiano validità per sempre (una volta dimostrati), a patto che il sistema assiomatico da cui sono nati non venga ritrattato o dimostrato inadeguato.

Questo è in parole povere ciò che è accaduto con la nascita delle cosiddette geometrie non euclidee dove viene ritrattato il punto di partenza della geometria di Euclide. Ossia i famosi 5 postulati. Ora non possiamo dire che tutta la geometria euclidea (quella che hai studiato da quando avevi 6 anni) sia insignificante, perda di valore. Possiamo però certamente dire come essa sia vera se e solo se sono accettati i 5 postulati su cui essa si basa. Dipende quindi da dove si parte.

Pertanto al posto dell’affermazione “la matematica non è un’opinione”, ritengo sia molto più corretto affermare che “la matematica è la più grande opinione, ma è un’opinione condivisa da tutti  coloro che accettano gli assiomi su cui essa si basa”.

 

 

50+ siti per chi studia matematica

Quante volte ti è capitato di cercare risorse online per risolvere i tuoi problemi o trovare risposta alle tue curiosità e non trovare niente?

In questo articolo troverai una lista con i 50 migliori siti per chi studia matematica. Ti assicuro che molti di questi siti ti aiuteranno e renderanno il tuo apprendimento ed insegnamento della matematica molto più semplici.

I siti elencati sono in italiano ma soprattutto in inglese, purtroppo per la qualità bisogna anche sapersi adattare ad altre lingue.

Intanto colgo l’occasione per suggerirti anche questa lettura molto interessante: La bellezza della matematica

Ci tengo a specificare che i siti sono presentati in ordine casuale, non c’è nessuna classifica.

Se vuoi ricevere un bonus di altri 25 siti davvero utili per chi studia matematica, inserisci qui la tua mail e riceverai un pdf gratuito con tutto ciò che cerchi 😉

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Perciò non mi dilungo ancora con le premesse, se credi che possa essere interessante l’articolo anche per i tuoi amici matematici condividi l’articolo adesso o al termine della lettura, apprezzerei molto!

Ecco a te la lista:

1. Ripmat.it  : Questo sito e’ dedicato a chi ha qualche difficoltà con la matematica: la matematica non deve complicarci la vita ma aiutarci a viverla meglio. E’ davvero ricco di lezioni ed esercizi di gran qualità. Sinceramente consigliato. Non fatevi spaventare dalla grafica che è lasciata appositamente minimale, per velocizzare il caricamento (me l’ha detto chi ci scrive 😉 ). E’ in italiano.

2. Hotmath.com : E’ un sito gestito da insegnanti che credono che il supporto immediato con i compiti per casa migliori l’apprendimento della matematica. Anche l’obiettivo di questo sito è quello di aiutare gli studenti in difficoltà con lezioni, esercizi, video e risorse relative ai più svariati argomenti. E’ in inglese.

3. Mathcentral : Sito un po’ meno mirato agli studenti rispetto ai precedenti. Fornisce materiale utile ai docenti (ed anche agli studenti), vi sono infatti numerose lezioni e risorse di vario genere. C’è anche una sezione particolare dedicata alle carriere dei matematici. E’ in inglese.

4. Easymath : Sito ricco di risorse, strumenti, lezioni, video e informazioni riguardo ai principali argomenti di matematica. E’ gestito in modo molto professionale da esperti del settore, ti consiglio davvero di darci un’occhiata. E’ in italiano.

5. Math-drills.com : Math-Drills.com ha migliaia di fogli di lavoro, esercizi e materiale davvero utili per studenti e genitori scaricabili gratuitamente. Questi coprono una gran vastità di tematiche, ottimo per insegnare, ma anche per esercitarsi. E’ in inglese.

6. Olimpiadi.dm.unibo.it : Sito dedicato alle olimpiadi della matematica. Molto interessante per visionare le versioni vecchie, risorse e spunti utili per migliorare la propria logica. Ti consiglio di visitare questo sito, anche se non hai intenzione di partecipare ad eventi simili. E’ in italiano.

7. Scienzematematiche.it : Uno dei forum tematici più ricchi di contenuti presenti in italia. Trovo che ci siano moltissime risposte e discussioni davvero utili, più di una volta questo sito mi ha aiutato a risolvere i miei problemi. Bisogna solo avere la pazienza di cercare 😉 E’ in italiano.

8. Fxsolver.com : Passiamo ora ad un risolutore online.  Questo è un risolutore di equazioni algebriche, accostabili a svariate formule presenti nel database del sito. Sostanzialmente, come gli altri calcolatori che ti presenterò qui di seguito, Fxsolver, si pone l’obiettivo di risolvere in un attimo i “contacci” che a volte non hai voglia o tempo di risolvere. E’ in inglese.

9. Illuminations : lluminations lavora per mettere a disposizione risorse di alta qualità per insegnare ed apprendere la matematica. Sono inclusi strumenti interattivi per gli studenti e supporti per gli insegnanti. E’ in inglese.

10. Codecogs.com : Hai mai sentito parlare di LaTex? Bene, questo è un Tool gratuito che ti consente di scrivere le formule che ti servono in maniera graficamente e matematicamente corretta, così da poterle scaricare immediatamente come immagine. E’ in italiano.

11. AbsurdMath : Absurd Math è una serie interattiva di quesiti matematici. Dovrai procedere attraverso le missioni in uno strano mondo dove il potere più grande sono le abilità e le conoscenze matematiche. Te lo consiglio se hai del tempo libero, è un sito veramente carino. E’ in inglese.

12. Inquiry Maths : Inquiry maths è un sito che ambisce ad insegnare in un modo un po’ particolare, che sinceramente mi piace parecchio. Sostanzialmente mira a far si che gli studenti, posti di fronte ad un problema o ad una situazione particolare (chiamato prompt), riflettano e provino a trovarne una soluzione. E’ in inglese.

13. MathMind : Gran bel canale Youtube che parla di matematica. Se sei iscritto alla newsletter ti ho già proposto qualche loro video se ricordi 😉 Davvero ricco di spunti, professionalità e simpatia. Ve lo consiglio vivamente. E’ in italiano.

14. Mathguide.com : Come si può prevedere dal titolo, è un sito che fornisce numerose guide, schede, esercizi e risorse sui più svariati argomenti matematici. Un servizio di gran qualità. E’ in inglese.

15. Enigmista.org : Se non sei ancora a conoscenza di questo sito, cliccaci subito 😉 E’ una serie di rompicapi, giochi logici organizzati in livelli che ti faranno scervellare. Il sito è organizzato anche con una classifica. Provalo assolutamente! E’ in italiano.

16. Mathway.com : Risolutore di problemi ed esercizi di moltissimi argomenti. Spesso mi chiedo come sia possibile una capacità di riconoscimento simile, ti consiglio di sfruttare questo e gli altri risolutori che troverai in questa lista. E’ in inglese.

17. Mathforum.org : Un forum sulla matematica tutto da scoprire 🙂 Vi sono moltissime discussioni interessanti, è presente anche una sezione dedicata ai puzzle e giochi di logica. E’ in inglese.

18. Math.com : E’ un altro sito che si propone di aiutare nell’apprendimento della matematica, ricco di guide e metodologie particolari di insegnamento. Te lo consiglio. E’ in inglese.

19. Desmos : Disegna grafici di funzioni, rappresenta graficamente dei dati, valuta equazioni e fai molto altro gratuitamente ed online con questo sito ricco di utilità e qualità. E’ in inglese.

20. Math-blog.com : Questo blog è dedicato a promuovere la bellezza della matematica ad ogni livello. E’ molto interessante, soprattutto per la varietà delle tematiche trattate. E’ offerta anche la possibilità di collaborare alla stesura di nuovi contenuti. E’ in inglese.

21. Mathforlove.com/blog : Blog tematico meno indicato all’apprendimento e più rivolto alla divulgazione e alla trattazione di argomenti di interesse generale. Spesso i contenuti condivisi sono molto curiosi ed intriganti. Ti consiglio di farci un giro 😉 E’ in inglese.

22. Terrytao.wordpress.com : Qui si sale di livello. Questo sito non è indicato a tutti, ma solo a chi la matematica la mastica…e bene! E’ un sito dedicato all’esposizione di nuove ricerche e studi matematici, spesso molto complessi da comprendere. Comunque la qualità messa a disposizione sul sito è realmente enorme. E’ in inglese.

23. Wolframalpha.com : Ho pensato di citarlo comunque questo risolutore online, anche se immagino che tu lo conosca già. Non sono necessarie grandi presentazioni, mi limito a dire che secondo me è il migliore presente online. E’ in inglese.

24. GeoGebra : Questo più che un sito, è un software che ti permette di disegnare i grafici di moltissime funzioni. Molto semplice ed utile. Ti consiglio di scaricarlo. E’ anche in italiano.

25. Gowers.wordpress.com : Anche qui il livello della matematica presentata non è certo quello del liceo. E’ un sito che consiglio molto ai più appassionati e curiosi del settore. Molto ben fatto. E’ in inglese.

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26. blog.tanyakhovanova.com : Sito molto ricco di spunti, ricerche e risorse, gestito da una matematica di gran livello, Tanya Khovanova. E’ in inglese.

27. Mathoverflow.net : E’ un sito di domande e risposte per matematici con un certo bagaglio e conoscenza, non è certo lo “Yahoo Answers” della matematica per capirci 😉 E’ in inglese.

28. Redooc : Sito davvero ricco di contenuti utili. Fornisce una vasta gamma di esercizi, lezioni e tutorial per studenti delle superiori e delle medie. Sono disponibili anche dei contenuti premium a pagamento come centinaia di esercizi e lezioni aggiuntive. Esiste anche il blog associato con articoli interessanti pubblicati con un’alta frequenza. E’ in italiano.

29. Sbseminar.wordpress.com : Sito di matematica molto fresco e ricco di nuovi contenuti, non c’è proprio un argomento centrale. Tutto molto utile ed interessante comunque. E’ in inglese.

30. Arsmathematica.net : Sito dedicato alle arti matematiche…tutto da scoprire! E’ in inglese.

31. extrabyte.info : Raccolta di moltissimi esercizi per le superiori e per i primi anni di università, davvero utile e facile da navigare. E’ in italiano.

32. Mathisintheair.org : Altro sito italiano che suggerisco molto spesso sulla pagina Facebook e agli iscritti alla Newsletter. E’ un sito davvero ricco di contenuti, approfondimenti e spunti interessanti. Te lo consiglio vivamente. E’ in italiano.

33. Mentimatematiche.altervista.org : Sito di matematica con varie tipologie di contenuti, dai risolutori ad articoli di vario genere ad una community. Ti consiglio di farci un giro. E’ in italiano.

34. Rjlipton.wordpress.com : Sito molto interessante e ricco di approfondimenti su vari argomenti. Non sono molto semplici da capire alcuni articoli, comunque vale la pensa provarci vista la qualità. E’ in inglese.

35. Galileo.org : Un sito davvero ben fatto, che punta alla divulgazione, all’apprendimento e all’innovazione. Trovo molto interessanti i contenuti pubblicati su questo sito, spesso vado a leggerlo 😉 E’ in inglese.

36. Rudi matematici : E chi non lo conosce questo sito? E’ davvero simpatico e ricco di spunti, iniziative ed approfondimenti di gran valore. Se ci dai un’occhiata, anche veloce, ti assicuro che ci ritornerai. E’ in italiano.

37. Maddmaths.simai.eu : Altro sito italiano che trovo davvero ricco di qualità e risorse. Spesso vado a leggere gli articoli di questo sito, molto attivo anche sui Social con un gruppo Facebook molto interessante e partecipato. E’ in italiano.

38. Xlatangente.it : Sito gemellato al precedente, con una qualità pari al gemello 😉 Anche i contenuti di questo sito sono molto utili ed intriganti. E’ disponibile anche una rivista! E’ in italiano.

39. Math:stackexchange : Sito ricchissimo di domande con le relative risposte, sui più disparati argomenti matematici. E’ in inglese.

40. Siam.org : Anche questo sito è dedicato alle numerose applicazioni della matematica. E’ in inglese.

41. Mathtrain : Passiamo quindi ad un canale Youtube molto ben gestito e arricchito di nuovi video di qualità (anche se la frequenza non è delle migliori). Ti consiglio di darci un’occhiata se hai una mezz’oretta libera.  E’ in inglese.

42. LessThan3Math : A questo canale sono molto affezionato, negli anni passati spesso mi è venuto in aiuto con le sue guide basilari e molto ben organizzate. Sono spiegati praticamente tutti gli argomenti trattati nei corsi di matematica del liceo ed in modo molto chiaro. Ti consiglio fortemente di iscriverti. E’ in italiano.

43. MIT OpenCourseWare : Se hai voglia di imparare online credo che questi corsi gratuiti siano una delle risorse migliori da cui puoi partire. Veramente ben fatti. Sono in inglese.

44. Youmath.it : Questo sito penso che sarebbe degno di essere citato due o tre volte in questa lista. Nel corso degli anni sono stati risolti migliaia di esercizi e dubbi nel forum del sito. Inoltre è costantemente aggiornato con nuove lezioni che coprono praticamente tutti gli argomenti dei corsi liceali e anche molti corsi universitari. Non mi resta che fare i complimenti a chi ogni giorno si dedica alla sua realizzazione. E’ in italiano.

45. History.mcs.st-and.ac.uk : Ti interessa la storia della matematica? Hai voglia di conoscere i grandi personaggi che hanno portato a sapere quello che stai studiando e molto di più? Questo è il sito che fa per te 😉 E’ in inglese.

46. Mateditutti.it : Ritorniamo ad un sito che si propone di aiutare gli studenti in difficoltà per raggiungere gli obiettivi posti nei corsi di matematica delle medie e delle superiori. Il sito devo dire che è molto ben organizzato. E’ in italiano.

47. Coolmath.com : Nella homepage il sito si descrive così: “Love math? Hate math? Need homework help? This site’s for you!”. Direi che meglio di così non si può presentarlo 🙂 E’ in inglese.

48. aaamath.com : Sito ricco di risorse, strumenti ed approfondimenti utili per apprendere ed insegnare la matematica, ti consiglio di farci un salto! E’ in inglese.

49. Archives.math.utk.edu : E’ un sito che rimanda a delle risorse e dei riferimenti parecchio interessanti, ti consiglio di provare a vedere se trovi qualcosa di utile, a me sembra proprio che di qualità ce ne sia! E’ in inglese.

50. Symbolab.com/solver : Altro risolutore online, non ti resta che trovare quello con cui ti trovi meglio e che soddisfa meglio i tuoi bisogni. Penso di avertene presentati abbastanza! E’ in inglese.

La lista termina qui ma se vuoi ricevere un bonus di altri 25 siti davvero utili per chi studia matematica, inserisci qui la tua mail e riceverai un pdf gratuito con tutto ciò che cerchi 😉

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Introduzione alle dimostrazioni matematiche

Con questo articolo voglio parlare di un argomento particolarmente delicato, ossia le dimostrazioni matematiche. Sono pienamente consapevole del fatto che per esaurire la tematica non sia sufficiente nemmeno un libro intero, dato che le dimostrazioni sono uno dei fondamenti della matematica. Infatti l’articolo non nasce con lo scopo di dire tutto sulle dimostrazioni, ma questo è un articolo fatto per evolvere.

L’obiettivo principale è parlare delle dimostrazioni matematiche, partendo da alcuni concetti fondamentali per la trattazione, parlando poi dell’importanza delle dimostrazioni nella matematica e infine (in un articolo separato) delle principali e più basilari tecniche dimostrative, toccando alcuni argomenti di particolare importanza. Essi probabilmente in un futuro più o meno prossimo verranno approfonditi in questo articolo o in altra sede.

La premessa termina qui, ora possiamo finalmente iniziare a parlare delle dimostrazioni matematiche! 🙂

Una definizione abbastanza formale del concetto di dimostrazione può essere la seguente:

Una dimostrazione matematica è un processo di deduzione che, partendo da premesse assunte come valide (ipotesi) o da proposizioni dimostrate in virtù di queste premesse, determina la necessaria validità di una nuova proposizione in virtù della (sola) coerenza formale del ragionamento.

Forse non è comprensibile facilmente a tutti come definizione, tuttavia non è troppo complessa. Ora vediamo comunque di semplificarla ed approfondirla.

Partiamo fornendo due definizioni preliminari abbastanza importanti per le circostanze:

Enunciato: E’ una proposizione di cui ha senso dire che sia vera o falsa, ossia una frase con un valore di verità determinato (Vero o Falso).

Teorema: E’ una proposizione con la quale si vuole affermare che un enunciato sia vero. Solitamente si presenta nella forma A,B,C,D… -> T, dove A,B,C,D sono le ipotesi e T la tesi.

Ho appositamente deciso di non descrivere i due concetti in modo troppo preciso perdendomi in formalismi in quanto ora non voglio entrare in descrizioni e trattazioni troppo rigorose matematicamente. Ciò che ritengo importante ora è fornire un’infarinatura sui concetti e sulle tecniche principali, fornendo esempi prevalentemente di carattere concreto.

Bene, ora possiamo passare ad una definizione più terra terra del concetto di dimostrazione matematica.

Una dimostrazione matematica è un ragionamento con il quale si vuole convincersi e si vuole convincere che un teorema sia vero. Ossia che al verificarsi delle ipotesi A,B,C,D… la tesi si verifichi certamente.

Messa giù così credo che la definizione fornita inizialmente possa risultare più chiara. Tuttavia vediamo di chiarire le idee con un esempio.

Teorema: Se febbraio ha 29 giorni allora siamo in un anno con 366 giorni.

Dimostrazione: L’obiettivo della dimostrazione di tale teorema è dire che partendo dal fatto che febbraio abbia 29 giorni si giunga a dire che certamente ci si trova in un anno di 366 giorni.

Giunti a questo punto, spero di aver chiarito il concetto di dimostrazione matematica, tuttavia ora rimangono in sospeso due concetti importanti (sono due solo perchè per ora non mi pongo l’obiettivo di una trattazione esauriente, davvero difficile a mio parere) : a cosa servono le dimostrazioni e come dimostrare una teorema.

Il primo punto, ossia a cosa servono le dimostrazioni, ha una (o più) risposte molto chiare e importanti.

Per non perdersi in chiacchiere superflue (per il momento) mi limito ad un semplice accenno relativo all’importanza delle dimostrazioni.

La matematica, differentemente dalle scienze empiriche, si basa su un processo assiomatico deduttivo. Esso sostanzialmente ha come fondamento la dimostrazione, in quanto per giungere ad una qualsiasi affermazione è necessario dimostrare in modo logicamente corretto e coerente che partendo da alcuni assiomi (enunciati dati per veri o comunque accettati da tutti) si giunga naturalmente ad una determinata conclusione.

In questo processo è quindi nascosta (ma neanche tanto) l’importanza della dimostrazione matematica. Tuttavia non ritengo questo il momento adatto per parlare in modo approfondito di questa tematica.

Se sei particolarmente ferrato sull’argomento o comunque ti appassiona, sarei molto grato se mi inviassi alcune righe in cui spieghi qual è l’importanza delle dimostrazioni nella matematica, fra qualche settimana pubblicherò un articolo unicamente dedicato a questa tematica, quindi un’articolo collaborativo credo che possa essere la migliore soluzione 🙂

Siccome penso che questo articolo abbia già un buon numero di spunti ed informazioni importanti, per agevolare la lettura ho deciso di parlare del secondo argomento lasciato in sospeso, come dimostrare un teorema, in un articolo a parte.

Intanto ti lascio un link che ritengo utile, sono alcune righe dedicate a fornire un metodo per studiare le dimostrazioni fatte da altri. Infatti spesso risulta più difficile comprendere il ragionamento fatto da altri che farne uno proprio. Ecco l’articolo: Come studiare le dimostrazioni.

I 5 migliori film sulla matematica

A me la matematica è sempre piaciuta. Secondo me i film che hanno essa come tema centrale sono bellissimi, un po’ perchè illustrano la vita e la genialità di personalità particolari, un po’ perchè ti prendono a tal punto da farti dimenticare di ciò che sai effettivamente fare e ti fanno pensare in grande. Nel corso degli anni ne sono usciti parecchi e io ne ho visto la gran parte, per questo ho pensato di raccogliere i 5 migliori film sulla matematica che ho visto. Magari non tutti li hai già visti! 🙂

Se ti interessano i film sulla matematica senz’altro non ti guasterà sapere che ho preparato anche una lista dei 50 migliori libri di matematica

Intanto li elenco qui di seguito, senza però metterli in un ordine preciso, non sono dal migliore al peggiore 🙂

Lista dei migliori film sulla matematica:

  • A BEAUTIFUL MIND
  • The imitation game
  • 21 – BlackJack
  • Will Hunting – genio ribelle
  • La teoria del tutto

Ora fornirò un mio parere, non troppo dettagliato, di ciascuno di questi 5 film sulla matematica. Se hai qualche aggiunta da fare o qualche parere differente dal mio, ti invito a commentare, si aprirebbe una discussione davvero interessante 😉

A BEAUTIFUL MIND

Questa è la storia di John Nash. Lui era uno tra i matematici più brillanti e originali del Novecento, Nash ha rivoluzionato l’economia con i suoi studi di matematica applicata alla teoria dei giochi, vincendo il Premio Nobel per l’economia nel 1994. La storia mi ha appassionato molto, soprattutto perchè mi ha fatto conoscere questo gran personaggio, facendomi immedesimare pienamente in lui e nelle difficoltà che ha dovuto superare per diventare quello che è diventato. Spesso infatti le grandi capacità comportano gran responsabilità, che nel suo caso hanno minato anche la vita personale e la salute. Lo rivedrei altre 100 volte questo film, è sempre bello 🙂 Ah…dimenticavo! Se ti interessa la teoria dei giochi ecco un articolo che avevo scritto a riguardo: Introduzione teoria dei giochi

The imitation game

Sono le persone che nessuno immagina che possano fare certe cose, quelle che fanno cose che nessuno può immaginare.

Partendo da questa frase, che secondo me è fenomenale, vorrei dire che Alan Turing è un personaggio da scoprire. Lui è diventato famoso per varie ragioni, dal motivo meno importante (il logo della apple è un omaggio a Turing che morì mangiando una mela), a quelli più rilevanti. Basti pensare ai suoi contributi nel campo della crittografica, con il progetto enigma. Questo film è molto recente, per cui anche la qualità è eccellente e ciò permette di gustarsi pienamente la storia di questo straordinario personaggio. L’ho trovato molto ben fatto e soprattutto in grado di raccontare in modo diretto e chiaro anche alcuni aspetti della sua vita non ovunque così espliciti.

21 Vittoria, Grande Baldoria!

Questo film è molto avvincente, almeno secondo me. Differentemente dai precedenti e dai successivi film citati, questo è leggermente slegato dalla matematica in sè, ma coinvolge un tema molto caro a vari appassionati di matematica: IL GIOCO. In questo caso si parla di Blackjack. Vi invito a guardarlo anche se, come me, non capite “una mazza” di Blackjack. Il film è infatti ricco di emozioni, sorprese e storie che coinvolgono al di là del gioco in sè. Per cui se hai un paio d’ore di tempo libero, ti consiglio fortemente di guardarlo. Sappimi dire se ti è piaciuto! 😉

Se avessi ordinato i film citati in questa lista, in base ad una mia preferenza, probabilmente questo film sarebbe al secondo posto, dopo “A beautiful mind”. Trovo infatti che questo sia un grandissimo film, un po’ grazie ai bravissimi attori che l’hanno messo in atto, ma soprattutto grazie alla grandissima storia di Will Hunting. Viene raccontata la storia di Matt Damon, un problematico ragazzo prodigio e autodidatta con molti piccoli crimini alle spalle, che fa le pulizie al Massachusetts Institute of Technology (MIT). Questo film è stato molto utile per me, non solo perchè mi è piaciuto in quanto film, ma soprattutto perchè ricco di dialoghi, citazioni e situazioni cariche di ispirazione. Mi sentirei, quasi quasi, di dirti di smettere di fare quello che stai facendo (prima condividi questo articolo 🙂 ) e guardartelo.

Avrai dei momenti difficili, ma ti faranno apprezzare le cose belle alle quali non prestavi attenzione.

Non penso che questo film necessiti di troppe presentazioni, come “The imitation game” del resto. E’uscito a gennaio 2015 e racconta la storia di un genio, questa volta della fisica. Non parla di un fisico qualunque, ma del più grande e celebrato fisico della nostra epoca, Stephen Hawking. E’ un film molto interessante, non solo perchè fa conoscere la storia travagliata di questo grande personaggio, ma perchè fa capire che non bisogna fermarsi di fronte alle difficoltà, fa riflettere e in alcune situazioni è pure simpatico 🙂

Con questo quinto film, la mia lista con i Migliori film sulla matematica termina. Spero vivamente di averti fatto conoscere qualche film nuovo o magari di averti fatto venire la voglia di riguardarne qualcuno. Se ne hai visti altri inerenti a questa tematica, che ritieni degni di essere citato in questa lista (o anche no 🙂 ), ti prego di inserirlo nei commenti che sarò felice di guardarlo.

Detto ciò ti saluto, spero che possa nascere qualche discussione interessante qui o sulla pagina Facebook MATHONE.

 

Citazioni e aforismi matematici

Ecco una lista con numerose citazioni e aforismi matematici. Se ti interessano questo tipo di contenuti, ti consiglio di seguire la pagina Instagram https://www.instagram.com/mathoneig/ in cui ne ho condivise e ne condividerò parecchie 🙂

Se le persone credono che la matematica non sia semplice, è soltanto perché non si rendono conto di quanto la vita sia complicata.
(John von Neumann)

 

Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi.
(Alfréd Rényi)

La matematica è l’arte di dare lo stesso nome a cose diverse.
(Henri Poincaré)

Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice.
(Alfréd Rényi)

La matematica in generale è fondamentalmente la scienza delle cose evidenti.
(Felix Klein)

“Ovviamente” è la parola più pericolosa in matematica.

L’essenza della matematica è la sua libertà.
(Georg Cantor)

La matematica è la regina delle scienze, la teoria dei numeri è la regina della matematica.
(Carl Friedrich Gauss)

Regola sicura: quando un matematico o un filosofo scrive cose nebbiosamente profonde, enuncia delle assurdità.
(Alfred North Whitehead)

Il cinema è uno dei tre linguaggi universali; gli altri due sono la matematica e la musica.
(Frank Capra)

L’algebra è generosa, spesso ci dà più di quanto le chiediamo.

(D’Alembert)

Another roof, another proof

(Paul Erdős)

Sapere cosa è grande e cosa è piccolo è più importante che saper risolvere le equazioni differenziali alle derivate parziali.
(Stan Ulam)

Immortalità è forse una parola ingenua ma, qualunque cosa significhi, un matematico ha le migliori probabilità di conseguirla.
(Godfrey Harold Hardy)

La matematica non s’apprende. È un occhio che hai dentro, qualcuno ti mostra il campo, e tu vedi. Subito

L’infinito! Nessun altro problema ha mai scosso così profondamente lo spirito umano; nessuna altra idea ha stimolato così proficuamente il suo intelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di chiarificazione che quello di infinito

(D. Hilbert)

Nessun romano ha perso la vita mentre contemplava un diagramma matematico

(Whitehead)

La matematica è più di una forma d’arte.

(Takakazu Seki)

Una verità matematica non è né semplice né complessa: è semplicemente.

(Emile Lemoine)

Un matematico che non abbia un po’ del poeta non può essere un perfetto matematico.

(Karl Weierstrass)

I matematici sono come gli innamorati. […] Date loro l’ultimo principio, e ne trarranno una conseguenza che sarete obbligati a concedere, e da questa un’altra ancora.

(Bernard Le Bovier De Fontanelle)

Com’è possibile che la matematica, essendo fondamentalmente un prodotto del pensiero umano indipendente dall’esperienza, spieghi in modo così ammirevole le cose reali?

(Albert Einstein)

Dio geometrizza sempre.

(Platone)

Esistono 10 tipi di persone al mondo, quelle che capiscono il sistema binario e quelle che non lo capiscono

Esistono due persone al mondo. Quelle che amano la matematica e quelle che ancora non hanno scoperto di amare la matematica.

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Alla prossima!

Davide