Il sogno di Leibniz: la caratteristica universale

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) è stato un matematico, ingegnere, filosofo, teologo, linguista, diplomatico, giurista, storico… Il suo genio universale ha lasciato tracce del suo passaggio in ogni campo del sapere di cui si è interessato.

Per parlare della sua opera anche solo in uno di questi campi servirebbe ben più di un articolo. 

A noi appassionati di matematica il nome di Leibniz riporta alla mente subito derivate e integrali, famosa è la disputa tra lui e Newton sulla paternità del calcolo infinitesimale. Ci sarebbe tantissimo da dire anche su questo, ma non è l’argomento di oggi. 

In questo articolo parleremo di un’idea, un’idea che grazie al suo sviluppo ci ha regalato la logica, il calcolo automatico e l’informatica moderna.

Prima ti proseguire ti ricordo che sul blog ci sono già altri articoli dedicati ai grandi matematici, eccone alcuni:

Gauss: il principe dei matematici.

Poincaré: l’ultimo universalista.

Leibniz

Leibniz e l’importanza di una buona notazione

Chi ha già avuto a che fare col calcolo differenziale ricorderà sicuramente le diverse notazioni che si possono usare per indicare la differenziazione. Una tra queste è stata inventata proprio da Leibniz, fu lui a introdurre i simboli ∫ per l’integrazione e d per la derivazione. 

Questa notazione è estremamente intuitiva: la regola di Leibniz per il prodotto si dimostra banalmente usando la sua notazione ($d(fg) = (f+df) (g+dg) – fg = f(dg) + g(df) + (df)(dg) = f(dg) + g(df) $, poiché $(df)(dg)$ è infinitesimo di ordine inferiore), la stessa cosa accade per la tecnica di integrazione nota come metodo di sostituzione, usando la notazione di Leibniz è praticamente automatica. 

Emblematico della comodità della notazione di Leibniz è il fatto che ancora oggi venga usata (fuori dalle facoltà di matematica 😉 ) in modo spesso improprio, per giustificare passaggi che altrimenti richiederebbero derivazioni formali più impegnative. Leibniz fece uso sistematico degli infinitesimi, numeri positivi più piccoli di qualsiasi numero reale positivo. Fin dalla loro introduzione venne contestata la legittimità di tali grandezze, ed in effetti all’inizio del XX secolo tutti i matematici riconoscevano che l’uso degli infinitesimi non aveva giustificazione. Nel 1966 Abraham Robinson introdusse l’Analisi Non-standard, riabilitando l’utilizzo degli infinitesimi, definendoli in modo rigoroso sfruttando i rivoluzionari risultati della logica del ‘900.

Questa semplicità di utilizzo non è un caso! Leibniz passò anni a perfezionare la sua notazione. Era convinto dell’importanza di scegliere simboli adatti e trovare regole che ne governassero la manipolazione

In un certo senso è proprio questa l’idea di Leibniz: la sua notazione per il calcolo differenziale in qualche modo si prende carico di gran parte del lavoro, perché possiede già nelle sue regole di manipolazione il significato di ciò che rappresenta. 

Leibniz sognava qualcosa di analogo per l’intera conoscenza umana: un linguaggio artificiale universale, con regole grammaticali che mettessero in luce tutte relazioni logiche esistenti tra le proposizioni. 

Una volta costruito questo linguaggio, sarebbe stato possibile lasciare a delle macchine il compito di dedurre tutte le verità semplicemente sbrigando i calcoli, lasciando libera di dedicarsi al pensiero creativo la mente umana.

«È assurdo impiegare gli uomini di intelligenza eccellente per fare calcoli che potrebbero essere affidati a chiunque se si usassero delle macchine.»

G.W. Leibniz

L’Ars Magna di Llull

Quest’idea in realtà nacque in Leibniz molto prima degli anni in cui sviluppò il calcolo differenziale. Probabilmente risale alla sua gioventù, durante i suoi studi di diritto. Affascinato dalla logica aristotelica, per una mente logica come la sua era assurdo pensare che delle questioni giuridiche, per quanto intricate, non potessero avere una risoluzione univoca. Nell’idea di Leibniz, una volta sviluppato il suo linguaggio, “quando sorga una controversia, non ci sarà più necessità di discussione tra due filosofi di quella che c’è tra due calcolatori. Sarà sufficiente prendere una penna, sedersi al tavolo e dirsi l’un l’altro: calcoliamo!”

Secondo Leibniz, il primo passo verso un alfabeto del pensiero umano doveva essere l’enumerare tutte le possibili combinazioni dei concetti di base di cui il pensiero umano si compone. Questa convinzione lo portò a studiare, da autodidatta perchè stava ancora conseguendo il dottorato in legge, il calcolo combinatorio.

 Nei suoi studi si imbattè nell’opera di Ramon Llull (1232-1315): l’Ars Magna. Llull fu un filosofo, teologo e missionario maiorchino. Nella sua attività di missionario Llull cercò di convertire al cristianesimo gli ebrei e gli arabi. Per questa ragione studiò a fondo la loro cultura e la struttura delle loro lingue, e ne fu influenzato in modo evidente nella creazione della sua filosofia. Per esempio il sistema di numerazione ebraico usa come cifre gli stessi caratteri usati per le parole. In questo modo ogni parola può essere letta anche come un numero, ed è su questa ambivalenza che è nata la Gematria (l’esegesi biblica basata sul valore numerico delle parole). La cultura ebraica è intrisa di collegamenti con i numeri. Basti pensare alla Cabala o allo stesso Talmud, uno dei libri sacri dell’ebraismo, dove un passaggio afferma che combinando lettere dotate di valore numerico, è possibile costruire la struttura del mondo.

L’Ars Magna (1308) ha come obiettivo quello di conoscere Dio, e per farlo sviluppa la prima forma di logica combinatoria. Llull mette in relazione l’alfabeto agli attributi di Dio. Associa alla lettera A Dio stesso, la B alla bontà, la C alla grandezza e così via. Ora per conoscere tutti i possibili attributi di Dio basta combinare a due a due tutte le lettere. Questo procedimento può essere del tutto meccanico, non c’è bisogno di una mente umana per elencare tutte le combinazioni di lettere.

Codice universale

Nella figura è rappresentato un cerchio suddiviso in 9 settori. Sotto ogni lettera compaiono un aggettivo e un sostantivo. Ogni settore è unito agli altri otto per rappresentare tutte le possibili combinazioni che si possono ottenere ruotando il cerchio.

Leibniz rimase molto colpito da quest’opera anche se ne fu molto critico, per lui quella esposta da Llull era “solo l’ombra della vera arte combinatoria”. 

Nel 1666, come seconda tesi di dottorato in filosofia e legge, presentò la Dissertatio de arte combinatoria, nella quale elabora le idee di Llull: partendo dall’alfabeto, attraverso permutazioni e combinazioni, è possibile ottenere qualsiasi proposizione. Partendo da un “alfabeto” di concetti basilari è possibile ottenere qualsiasi verità che discenda da quei concetti. 

Leibniz in questo modo presentava una logica nuova rispetto a quella dei filosofi classici: attraverso l’arte combinatoria la logica poteva essere utilizzata non solo per determinare la validità dei ragionamenti, ma anche a inventare e scoprire meccanicamente nuove verità.

La macchina aritmetica

La macchina aritmetica

Leibniz però non poteva accontentarsi di un metodo teorico per meccanicizzare la logica: non dimentichiamoci che all’epoca non esistevano quelle che oggi chiameremmo calcolatrici. La cosa che più si avvicinava ad una macchina calcolatrice automatica era la pascalina, progettata nel 1642 dal fisico, matematico e filosofo francese Blaise Pascal, che però era in grado di eseguire solo addizioni e sottrazioni. 

Per questo Leibniz inventò la sua macchina aritmetica, in grado di effettuare le quattro operazioni aritmetiche elementari. La macchina funzionava grazie alla “ruota di Leibniz”, un meccanismo molto ingegnoso che fino al ‘900 è stato ancora usato nelle macchine calcolatrici. Questa invenzione gli permise di essere ammesso alla Royal Society nel 1673 e quindi di entrare a far parte dei maggiori circoli intellettuali dell’epoca.

Leibniz inoltre continuò a perfezionare la sua macchina per tutta la sua vita, anni più tardi cercò anche di progettarne una in grado di effettuare operazioni nel sistema binario, ma rinunciò a costruirla per il numero troppo elevato di cilindri necessari al suo funzionamento.

Il sistema binario e gli esagrammi cinesi

Leibniz era estremamente interessato alle lingue: oltre al tedesco, sua lingua nativa, conosceva il latino, il greco, il francese e l’italiano. Era convinto che esistesse un linguaggio originale dal quale nacquero tutti gli idiomi esistenti e che dovesse esserci traccia di quella lingua in tutte quelle attuali. 

Leibniz era affascinato anche dalla scrittura cinese. La riteneva un ottimo esempio della sua idea di caratteristica universale. Nella terminologia di Leibniz una caratteristica era un sistema simbolico in cui ogni simbolo rappresenta un’idea, e dotato di regole di manipolazione specifiche. 

La scrittura cinese è articolata in modo molto diverso dalla nostra. È composta da caratteri di vario tipo:

  • ideogrammi (rappresentazioni di idee e concetti astratti, ad esempio: 上 (shàng, sopra) e 下 (xià, sotto))
  • pittogrammi (rappresentazioni per mezzo di disegni, ad esempio: 月 (yuè, luna) e 山 (shān, montagna))
  • composti fonetici (in cui è presente un componente fonetico che da un suono particolare al componente radicale, attribuendogli un significato diverso)
  • composti logici (unione di due caratteri che mantengono il loro significato per crearne uno nuovo)

Sono questi ultimi i più affascinanti dal punto di vista della caratteristica universale di Leibniz, rispettano in modo incredibile l’idea che Leibniz aveva di caratteristica! 

Vediamo alcuni esempi:

  • 家 (jiā, casa): rappresentato da un maiale (豕) sotto a un tetto (宀)
  • 明 (míng, luminoso): rappresentato dai due oggetti più luminosi in natura, il sole (日) e la luna (月)
  • 看 (kàn, guardare): qual è il gesto istintivo quando guardiamo un oggetto lontano, magari in una giornata particolarmente luminosa? Mettiamo una mano (手) sopra gli occhi (目), in modo da ripararli per guardare meglio

Per altre curiosità sulla lingua cinese consiglio di dare un’occhiata al sito Inchiostro Virtuale, estremamente interessante.

Ma non è questo l’unico motivo per cui Leibniz si interessò alla cultura cinese. 

Spesso faceva riferimento all’aritmetica e all’algebra come esempi di discipline che dimostrano l’importanza di un buon simbolismo riferendosi anche ai vantaggi che avevano le cifre arabe rispetto ai numeri romani per effettuare i calcoli. 

Quando scoprì la notazione binaria, rimase colpito dalla sua essenzialità. Leibniz vedeva in questo sistema un’analogia con la creazione partendo dal nulla. All’inizio era il nulla, lo 0, e il primo giorno c’era solo Dio, l’1. Dopo 7 giorni, dato che il 7 in binario è 111, esisteva già tutto, e non c’era nessuno zero. 

Joachim Bouvet, missionario in Cina che si trovava in permesso a Parigi nel 1697, venuto a conoscenza dell’interesse di Leibniz per il sistema binario e la cultura cinese, richiamò la sua attenzione sugli esagrammi dell’I Ching.

Esagrammi
I 64 esagrammi

L’I Ching o Libro dei mutamenti è un antico trattato cinese che serviva per fare predizioni, come una specie di oracolo, scritto dal sovrano Fu Hsi intorno al 2400 a.C.

Si basa su una serie di simboli, formati da linee continue e discontinue, raggruppati in trigrammi. Se si uniscono a due a due tutti gli 8 trigrammi possibili otteniamo i 64 esagrammi possibili, formati da 6 linee. È immediato vedere, se consideriamo la linea spezzata come lo zero e quella continua come l’uno, come questa sia una possibile rappresentazione dei numeri da 0 a 63 in notazione binaria.

Utilizzando il sistema binario le regole che governano le operazioni diventano semplicissime! Basta sapere che $1+1=10$ e tutte le moltiplicazioni diventano automatiche. Per dividere un numero per un altro è praticamente sufficiente osservare quale dei due numeri è il  più piccolo. Molte proprietà inoltre diventano evidenti in questa notazione, per esempio, per raddoppiare un numero, basta aggiungere uno zero a destra.

Leibniz, per quanto fosse affascinato da questo sistema, riconosceva però che non sarebbe stato pratico usarlo per i calcoli quotidiani. Già per numeri relativamente piccoli effettuare operazioni in notazione binaria, pur non richiedendo quasi alcun dispendio cognitivo, richiede un enorme numero di passaggi.

La vera potenza del sistema binario è che è facilmente automatizzabile: basta ricordare pochissime regole per essere in grado di effettuare tutti i calcoli. Non è un caso che oggi sia alla base di tutta l’informatica: i computer lavorano con questo sistema e tutto ciò che passa attraverso un supporto digitale, come le immagini, l’audio, i video…è trasformato in una serie di uno e zero.

Riguardo a questo aspetto dell’argomento non posso che consigliare a tutti gli interessati di matematica la lettura del libro “Le due teste del tiranno” di Marco Malvaldi, in particolare del capitolo 2 “Quanto fa Mela Verde per TremalNaik?” nel quale il Funes di Borges è preso come spunto per parlare dell’idea di Leibniz e molto di più: cosa significa pensare.

Lo sviluppo del sogno di Leibniz

Per quanto Leibniz fosse convinto dell’importanza della caratteristica universale, fece pochi passi avanti nel realizzarla. Nel 1678 nello scritto Lingua Generalis, introdusse l’idea di rappresentare i concetti di base attraverso numeri primi e le proposizioni che si deducono da questi attraverso il prodotto di quei numeri primi.

Abbandonò questa idea dopo qualche tempo, considerandola troppo complicata e adottò un altro schema. Nel nuovo approccio riprendeva il metodo della divisione della logica aristotelica per ridurre tutti i concetti ai loro elementi più semplici. A questo scopo secondo Leibniz era necessario redarre un enciclopedia dell’intera conoscenza umana. Arrivò anche a scrivere un’introduzione per tale enciclopedia e a proporre un calcolo logico volto alla caratteristica universale. Questo calcolo logico presentava già alcuni aspetti che faranno parte dell’algebra della logica che Boole svilupperà circa un secolo e mezzo dopo.

Nel corso dei prossimi articoli vedremo come il sogno di Leibniz si è evoluto fino ai giorni nostri attraverso le scoperte delle grandi menti che si sono susseguite nello studio della logica.

Per approfondire

Una splendida trattazione della storia dell’informatica, che parte proprio dal sogno di Leibniz e racconta le conquiste logiche che ne hanno permesso lo sviluppo, la si può trovare nel libro Il calcolatore universale di Martin Davis.

Su youtube è presente una playlist di podcast del professor Odifreddi, che ripercorre la storia della logica dall’antichità fino ai giorni nostri. Vite da logico

6 (+1) regali di natale da fare ad un appassionato di matematica

In evidenza

Qualche giorno fa, sulla pagina Instagram, ho fatto la domanda che trovi qui a destra. L’obiettivo era proprio trovare qualche spunto in più per scrivere questo articolo che spero ti sia utile. Fare regali non è mai facile, per cui ho provato a raccogliere qualche idea magari un po’ originale se ti interessa sorprendere qualche amico, parente o chiunque altro sia appassionato di matematica.

Ah..prima di proseguire 😉 In tanti mi hanno detto che come regalo vorrebbero un po’ di CFU o una laurea, purtroppo però non ho alcun link da suggerirvi per comprarli ahah Però posso suggerirvi questi due articoli in cui do qualche consiglio sull’università:

  1. 8 consigli per gestire al meglio l’università di matematica
  2. Libri di testo consigliati per l’università

Ho deciso di organizzare la lista in 6 consigli principali e un settimo aggiuntivo (ecco il perché del +1 nel titolo) che a tanti non sarà utile ma, a seconda dell’età dell’interessato, so che potrebbe esserlo e lo confermano anche i numerosi suggerimenti che ho ricevuto alla domanda qui a destra.

Inoltre ti ricordo che se non segui ancora la pagina Instagram la puoi trovare qui: @mathoneig .

Nella pagina posto ogni giorno una foto con descrizione che ha l’obiettivo di divulgare qualche tema particolare e verso sera troverai anche un meme divertente, per chiudere in allegria la giornata. Ok, quindi cominciamo con i suggerimenti! 😎🎅🏻

Regali di natale

1. Libri divulgativi

Partiamo con il consiglio più scontato ma che sono sicuro sarà di grande impatto. Spesso succede che chi è appassionato di matematica lo sia perché gli piace studiarla, gli piace provare a costruire nuove idee e dimostrazioni, ma accade anche molto frequentemente che non abbia mai letto libri divulgativi o davvero molto pochi.

Questo può accadere per vari motivi, primo tra i quali il fatto che la divulgazione sia sottovalutata rispetto alla formazione tecnica. Certo, se vuoi capire nuovi settori della matematica e diventare esperto in quelli non puoi contare di farlo solo leggendo libri divulgativi, ma secondo me questi hanno un grande potere: sanno rendere semplici cose complicate e soprattutto incuriosire verso aspetti della matematica che magari non si conoscono nemmeno.

Per cui come primo punto di questa lista DOVEVO iniziare con i libri divulgativi. Ora te ne suggerirò tre in particolare, però qualche riga più in basso metto il link ad un articolo che avevo scritto in cui ne sono raccolti 50.

Se ti interessa acquistarne qualcuno, ci tengo a farti sapere che Amazon ha appena lanciato Prime Student, l’abbonamento Prime per gli studenti: tutti i benefici di Amazon Prime, ma a metà prezzo – solo EUR 18,00 all’anno.

Non è abbastanza? Hai un periodo d’uso gratuito di 90 giorni. Ti consiglio di sfruttarlo soprattutto se hai intenzione di leggere di più o fare i regali di natale 😎 http://bit.ly/sconto_studenti

Prima di iniziare con la lista però, ti lascio una breve puntata di podcast in cui ti parlo del perché, secondo me, leggere libri di divulgazione sia una gran cosa in quanto può aiutarti a riavvicinarti alla lettura e conoscere molte cose nuove riguardo la matematica in maniera leggera, per poi magari approfondirle:

Ecco la lista dei tre principali consigli che mi sento di darti. Ah..per semplicità quando scrivo nei paragrafi qui sotto farò finta che tu voglia farti un regalo, quindi parlo direttamente a te. Se stai cercando qualcosa per un amico, parente o chiunque altro cerca di valutare le cose che ti dico rispetto a lui/lei ovviamente 😉

Altra premessa, tutti i link ai libri qui sotto (e ai prodotti che si trovano su Amazon) sono link di affiliazione, per cui se acquisti direttamente da quelli non spenderai nulla in più ma mi verrà riconosciuta una percentuale, quindi senza alcuno sforzo e spesa aggiuntiva starai anche sostenendo il progetto Mathone e per questo ti ringrazio 😉

Apologia di un matematico

Se è un po’ che non leggi ma ti piacerebbe iniziare a scoprire il mondo della divulgazione e vedere se faccia per te, questo è sicuramente il libro da cui iniziare. Si legge in un pomeriggio, è scorrevole ed è molto ben scritto a mio parere. E’ un breve libro scritto da Hardy sul finire della sua vita, dove ha cercato di dare un senso a ciò che ha fatto per tutta la sua carriera: matematica.

Apologia di un matematico

Vuole infatti difendere (apologia vuol dire “difesa”) la matematica, dando spiegazioni dietro al suo motivo di esistere o di essere studiata. Ti consiglio vivamente di leggerlo 🙂

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Apologia di un matematico

Il flauto di Hilbert

Questo libro e il successivo li ho entrambi iniziati ma non ho mai avuto il tempo di finirli, non perchè fossero noiosi (per nulla) ma perché fatalità li avevo presi entrambi in biblioteca in periodi molto impegnati, per cui non ho avuto proprio tempo di finirli. Mi prometto però di leggerli a breve perché sono consigliati da chiunque sia davvero appassionato di divulgazione e, a quanto posso dire dalle prime 50-70 pagine che ho letto, sia questo che il successivo meritano sul serio.

Regali di natale matematica

Ovviamente non posso lasciare alcuna recensione, se non dirti che il Flauto di Hilbert è un libro di storia della matematica davvero ben presentata, di scorrevole lettura. E’ più lungo del precedente ma vale di sicuro lo sforzo.

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Il flauto di Hilbert

Gödel, Escher, Bach. Un’eterna ghirlanda brillante. Una fuga metaforica su menti e macchine nello spirito

Regali di natale libri

Come anticipato, anche questo libro l’ho solo iniziato ma merita sul serio e per questo il prima possibile lo riprenderò per completarlo. E’ un viaggio tra matematica, arte, musica e intelligenza artificiale. Davvero un bel libro a quanto ho letto in giro e sentito da molti.

Se vuoi, ti lascio qui il link di Amazon: Gödel, Escher, Bach

Per la lista completa dei 50 titoli suggeriti, nel caso questi non ti piacciano o non ti sembrano adatti, la puoi trovare qui: I 50 migliori libri di matematica.

2. Lavagna a muro

Questa è stata una grande aggiunta alla mia camera quasi un paio d’anni fa. Certo, serve spazio, ma se hai un po’ di muro libero (o sei disposto a liberarlo), ti assicuro che studiare dimostrazioni o risolvere esercizi alla lavagna è un’altra cosa. Un lato molto positivo di avere una lavagna a muro è che nei pomeriggi di studio intenso, magari poco prima di un esame, ti sarà pesante stare ore e ore seduto a studiare o provare a riscrivere dimostrazioni, quindi è molto utile (per la mia esperienza) alternare momenti seduto a momenti in cui ti alzi, continuando a ripassare ma questa volta scrivendo alla lavagna.

Io l’ho presa anche per fare video su Youtube, che da gennaio 2020 riprenderanno ad uscire (con regolarità) quindi ti consiglio intanto di iscriverti al canale da qui: Mathone Video.

A dirti la verità io non l’ho comprata su Amazon ma, grazie ad un amico, sono riuscito a recuperare una lavagna che era stata restituita perché leggermente difettosa. Ma prima di avere questa occasione mi sono informato parecchio sulle migliori possibilità che Amazon aveva da offrire e quindi qui di seguito ti riporto le 3 sulle quali al tempo ero indeciso, soprattutto leggendo le descrizioni e le recensioni lasciate dai clienti nei commenti.

Intanto ti lascio i pennarelli che ho provato e che continuo a ricomprare quando si scaricano perché mi trovo davvero bene, li trovi qui: Pennarelli cancellabili.

Per la ragione dei pennarelli più economici, ho optato per una lavagna bianca. Sarebbe molto figo anche avere una classica lavagna nera dove si può scrivere con gessi o pennarelli a gesso liquido (che costano un botto), però i gessi li ho provati per un paio d’anni in camera (avevo attaccato un foglio di lavagna adesiva alla scrivania che trovi qui: Lavagna adesiva) ma dopo un po’ la camera diventava invivibile per sporco e polvere di gesso ovunque 😉

Passiamo quindi ai consigli sulle Whiteboards:

AmazonBasics – Lavagna magnetica bianca, cancellabile a secco, con supporto porta-pennarelli e bordi in alluminio, 120 cm x 90 cm:

Regali di natale matematica

Se vuoi guardare le recensioni e descrizioni su Amazon clicca qui: LINK AMAZON.

Nobo 1903772 Lavagna magnetica cancellabile a secco, Kit di montaggio incluso, Bianco, 58.5 x 43 cm:

Regali di natale

Se cerchi qualcosa di più piccolino, economico ma comunque funzionale questa potrebbe essere giusta per te: LINK DI AMAZON.

Bi-Office Maya – Lavagna Magnetica Bianca, 120 x 90 cm, Con Cornice In Alluminio, Superficie Magnetica Acciaio Laccato:

Lavagna a muro

Questa mi è sempre piaciuta, era quella per cui propendevo maggiormente e la puoi vedere qui: LINK AMAZON.

3. Accessori matematici

Questa è la sezione per cui ho ricevuto più messaggi. Me ne sono arrivati alcuni in cui si parlava di sciarpe a forma di Nastro di Moebius, cappelli a forma di Bottiglia di Klein, lampade a forme particolari, soprammobili curiosi per un appassionato di matematica e chi più ne ha più ne metta.

Ho quindi fatto una ricerca su Google riguardo alcuni accessori che potrebbero piacere ad un matematico e alcuni sono davvero fighi, ti metto qui sotto per ognuno di questi 5 link per andare a guardarlo ed un’immagine. Sono tutti cliccabili e se hai qualche ulteriore aggeggino da suggerire sarebbe molto interessante se lo scrivessi sotto all’articolo in un commento 😉

Tutti questi li puoi trovare su Amazon perché ho pensato anche ai tempi di spedizione più ragionevole, se invece sei disposto ad aspettare anche 5-6 settimane di consegna, ho trovato questo negozio di gadget molto ricco che però, spedendo dall’Inghilterra, mi sono ben guardato dal citarlo qui sotto perché le attese salgono parecchio. Ma se può interessarti ecco anche quel negozio: https://mathsgear.co.uk/

1. Forma per dolci a forma di PI Greco

Questo devo ammettere che è una genialata, per una bella torta a tema matematico ci sta perfettamente: STAMPO PER TORTA.

2. Tazza bianca per il caffè o il tè a tema matematico

Ecco il link per questa meraviglia, poi una volta che vai su Amazon ne troverai molte altre, magari che ti piacciono di più: LINK ALLA TAZZA.

3. 3D Illusione Lampada Bottiglia di Klein Luce notturna USB 7 colori LED

Ecco una delle cose che mi avete suggerito maggiormente nella storia di Instagram, devo ammettere che non è male l’idea di averne una in camera 😉 La trovi qui: LINK AMAZON.

Stando a tema bottiglia di Klein, puoi trovare anche questa, un po’ più sobria ma sempre bella: STAMPA 3D.

4. Orologio a tema matematico

Qui va a gusti, o piace o non piace, però anche questo in molti me l’avete suggerito su Instagram per cui, perché non metterlo? Lo puoi trovare qui: LINK OROLOGIO.

5. Pendoli sincronizzati

Questo è davvero bello, di test ne potete fare un mondo e ti lascio qui sotto un video sulla sincronizzazione di questi pendoli da cui potrete prendere spunto per divertirvi…ah il link è qui: LINK PENDOLO

4. Rompicapo in legno (e non)

Questa sezione non mi è stata suggerita da nessuno su Instagram, con mia gran sorpresa in realtà. Spesso a chi piace la matematica piace ragionare, piacciono i problemi, gli indovinelli e…i rompicapo! Perché no!

Io non ne ho testati molti di rompicapo ma nel momento in cui me ne si presenta uno davanti mi intestardisco sopra e ci perdo un botto di tempo, quindi o lo riesco a risolvere o dopo un po’ mi arrendo e voglio cercare la soluzione online (il grande potere di Youtube).

Qualche anno fa avevo anche registrato un video in cui ne risolvevo uno su Youtube 😉 ora non lo trovo più quindi immagino che lo avessi cancellato poco dopo, era registrato al volo tanto per…più che altro per essere certo di sapere dove recuperare la soluzione nel caso mi fosse interessato riprovare a farlo. Da qualche parte ce l’ho ancora, sono sicuro ahah.

I rompicapo che ho in casa o che ho testato provengono tutti da mercatini che trovavo prevalentemente quando ero in vacanza, però per curiosità ho fatto una ricerca online e ho trovato una piattaforma che li vende molto interessante e seria. Mi sono anche sentito con il proprietario e devo dire che si vede proprio che ci tiene a quel sito e ai rompicapo 🙂

Se può interessarti l’idea di regalare o regalarti un rompicapo in legno ( e non ) ti consiglio di dare un’occhiata al loro sito: https://www.logicagiochi.com/it/prodotti/rompicapo-in-legno .

Ti lascio qui sotto l’immagine di un paio di rompicapo che ho testato:

Di questo avevo fatto la video risoluzione, è una figata 😉 Si chiama Rompicapo Evasione

5. Maglietta con stampa matematica

Di magliette con meme, citazioni e immagini divertenti sulla matematica se ne trovano un’infinità online e, se ti piace la matematica e vuoi vantartene, perché non prendersi una maglietta che magari in pochi sono in grado di capire? 😉

A dirti la verità ogni tanto mi viene anche in mente di creare un negozio online del genere con prodotti e magliette matematiche, magari più avanti lo faccio dai 🙂 Se ti piacerebbe magari scrivimelo nei commenti e dammi qualche consiglio che mi farebbe di sicuro comodo!

Siccome non devo certo stare qui a presentarti e spiegarti cosa sia una maglietta sulla matematica, ti lascio qui sotto le immagini cliccabili di alcune magliette simpatiche, inoltre dal link che trovi qui potrai anche accedere alla ricerca “maglietta matematica” su Amazon, te l’ho preparata nel caso ti interessi la tipologia 😉 : http://bit.ly/magletteMate

6. Abbonamento brilliant.org

In pochi conoscono brilliant.org (con questo link hai il 20% di sconto) ma questo è un sito che consiglio sempre quando ne ho l’occasione. E’ ricco di sfide, corsi, indovinelli e cose divertenti da scoprire. E’ una piattaforma dedicata all’approfondimento di matematica, fisica, informatica e molto altro ed il tutto è fatto in maniera coinvolgente e divertente.

La piattaforma consente di accedere ai contenuti anche in maniera gratuita ed io faccio così quando ho tempo, non ho mai testato l’abbonamento a pagamento onestamente. Ma a quanto ho potuto leggere online, vedere su Youtube e a quanto dicono sulla loro pagina web direi che per uno che ha del tempo libero ed è appassionato delle varie tematiche matematiche direi che sarebbe un bel regalo da ricevere.

Per cui se non conosci il servizio/piattaforma ti lascio qui sotto il video introduttivo al corso sulla relatività, giusto per farti un’idea del loro bello stile , mentre più in basso troverai un link per andare a vedere la piattaforma ed eventualmente regalare l’abbonamento a qualcuno (anche a te se ti va 😉 ). Qui ti dico chiaramente che non ho alcuna affiliazione, te lo consiglio semplicemente perchè lo trovo sul serio un bel modo di apprendere e mettersi alla prova.

Ecco il link al sito di brilliant: https://brilliant.org/ (con questo link hai il 20% di sconto)

(+1) Calcolatrice grafica

Il motivo per cui ho messo questa voce come punto aggiuntivo (+1) è perché a molti probabilmente non servirebbe a nulla questo oggetto (a me per esempio, non saprei come usarla), però ho ricevuto molte risposte su Instagram in cui mi veniva detto che sarebbe molto apprezzata come regalo. Mi immagino per esempio che tanti ragazzi che dovranno affrontare la maturità quest’anno o in futuro sanno cosa farsene e come usarla 😉

Per cui semplicemente qui sotto ti riporto le 3 migliori calcolatrici grafiche in base alle Recensioni su Amazon, che sono solitamente ciò che guardo prima di un acquisto, ovviamente dopo aver sentito il parere di amici o partenti nel caso loro abbiano già usato il prodotto.

Ecco qui le 3 calcolatrici grafiche migliori secondo Amazon. Invece di mettertele in ordine di Recensioni positive, visto che sono tutte ottime da quel punto di vista, te le metto in ordine crescente di prezzo:

Casio FX-9750 GII Calcolatrice Grafica senza CAS, Ampio Display Monocromatico a 8 Righe, 61kB RAM, Blu Scuro

Ecco il link di Amazon per scoprire i dettagli di questo modello: LINK AMAZON.

Casio FX-CG50 Calcolatrice Grafica senza CAS con Display a 65.000 Colori, Grafici 3D e Alimentazione a Batteria

Ecco la pagina Amazon del prodotto: LINK AMAZON.

Texas Instruments TI-Nspire CX – Calcolatrice Grafica Scientifica Schermo Colori Con Touchpad

Ecco il link di Amazon per le recensioni: LINK AMAZON.

Con ciò la lista dei consigli termina qui, spero di averti dato qualche spunto interessante per fare o farti un bel regalo. Se pensi che questo articolo possa piacere a qualche tuo amico condividilo, basta anche una storia con lo screen all’articolo taggando la pagina @mathoneig 😉 su Instagram!

La matematica conta: storia dei primi numeri

Leggere, scrivere e contare sono tra le attività più importanti che la nostra mente riesce a svolgere e costituiscono la base dello sviluppo umano. In questo articolo analizzeremo l’operazione di contare e il concetto strettemente legato di numero naturale. Mentre lettura e scrittura sono invenzioni relativamente recenti, diffuse a partire dal 3000 a.C. l’usanza del contare ha radici molto più antiche.

Contare

Perchè gli uomini hanno iniziato a contare?

Le prime tracce di conteggi risalgono addirittura al paleolitico. I principali reperti che testimoniano questa capacità sono un osso di lupo risalente al 40000 a.C e il cosiddetto osso di Ishago, risalente al 20000 a.C. Entrambi i ritrovamenti presentano delle tacche incise. Mentre per il primo non si può escludere si trattasse di una funzione decorativa; nel caso dell’osso di Ishago, l’asimmetria delle incisioni rende concordi gli studiosi nell’affermare che la finalità non fu estetica ma pratica.

Osso di Ishago
Osso di Ishago

Ma che cosa contavano gli uomini nella preistoria? Non è difficile immaginare quali possano essere le utilità di un tale strumento: per un cacciatore era fondamentale sapere quante lance avesse a disposizione, mentre un raccoglitore era interessato a sapere quanti frutti era stato in grado di trovare in una giornata.
In seguito, con la diffusione dell’agricoltura e dell’allevamento, divenne ancora più importante saper contare: un pastore deve conoscere esattamente la quantità di pecore nel suo gregge, altrimenti rischia di dimenticarne qualcuna! Ah di pecore e numeri naturali ne avevamo parlato anche qui Numeri Naturali: dalle pecore al concetto di numero 😉 .

Piccole e grandi quantità

Nonostante il contare abbia risposto originariamente a problemi pratici, si tratta di un’operazione astratta e tutt’altro che naturale. Essa non va confusa con la capacità di distinguere piccole quantità di oggetti; per comprendere la differenza è sufficiente un rapido esperimento.
Quanti oggetti contengono i seguenti gruppi?

Ovviamente è molto semplice distinguere le differenze, senza la necessità di mettersi effettivamente a contare quante figure sono presenti in ogni insieme.
Questo però funziona solo con piccole quantità: prova a valutare il numero degli oggetti nei seguenti insiemi:

In questo caso è stato certamente più difficile capire il numero “a colpo d’occhio” e probabilmente sarà stato necessario contare le forme a piccoli gruppi di due o tre elementi per avere la certezza del numero totale.

Mentre la capacità di contare sembra essere prerogativa umana, la distinzione tra piccoli gruppi di oggetti è diffusa anche in alcuni animali, soprattutto uccelli. A questo proposito è interessante riportare un racconto risalente al Settecento.

Corvo e matematica
I corvi sanno contare

Il corvo conta fino a 5

Un contadino voleva uccidere un corvo che aveva nidificato in cima a una torre, dentro ai suoi poderi. Ogni volta che si avvicinava, però, l’uccello volava via, fuori dalla portata del suo fucile, finché il contadino non si allontanava. Solo allora l’animale ritornava nella torre, riprendendo le incursioni sui terreni dell’uomo. Il contadino pensò allora di chiedere aiuto a un suo vicino. I due, armati, entrarono insieme nella torre e poco dopo ne uscì soltanto uno. Il corvo però non si lasciò ingannare, e non ritornò al nido finché non fu uscito anche il secondo contadino. Per riuscire ad ingannarlo entrarono poi tre uomini e successivamente quattro e cinque. Ma il corvo ogni volta aspettava che fossero usciti tutti prima di far ritorno al nido. Soltanto in sei finalmente, i contadini ebbero la meglio, infatti il corvo aspettò che cinque di loro fossero usciti e quindi fiducioso rientrò sulla torre, dove il sesto contadino lo uccise.

Stimolati da questo racconto, diversi studiosi si sono interessati dell’effettiva capacità di conto di alcuni animali, in particolare l’etologo tedesco Otto Koehler dimostrò con una serie di esperimenti che il suo corvo, Jacob era in grado di contare fino a 6, quindi al contadino per stanarlo sarebbe servita una persona in più rispetto a quelle del racconto!

Terzetti e numeri naturali

É giunto il momento di interrogarci sul vero significato del contare. Fino ad ora abbiamo dato per scontato un legame tra il processo di conteggio e i numeri naturali. Essi sono talmente basilari che raramente ci soffermiamo sul loro reale significato.


L’idea, apparentemente banale, che sta alla base dei numeri naturali e di conseguenza del conteggio è che un terzetto di pecore, un terzetto di mele e un terzetto di pietre hanno una cosa in comune: il numero 3!
Tuttavia, come spiega il filosofo e matematico Bertrand Russell, nel suo saggio “Introduzione alla filosofia matematica”, non bisogna commettere questo fraintendimento: “Un terzetto d’uomini è un esempio del numero tre, e il numero tre è un esempio di numero; ma il terzetto non è un esempio di numero“.

Tutti i terzetti hanno in comune il numero 3, ma nessuno dei terzetti costituisce il numero 3. Essi sono ben distinti dai duetti e dai quartetti, e ciò che li distingue è proprio il fatto di essere 3. Quindi un numero è la caratteristica comune a tutti gli insiemi costituiti da quel determinato numero di elementi. Il numero 7 per esempio è tecnicamente definito come l’insieme degli insiemi di 7 elementi.

Un’apparente tautologia

Questa affermazione sembra tautologica: come posso sapere il “numero di elementi di un insieme” se non conosco la definizione di numero e non so nemmeno cosa significhi contare?
Immaginiamo di avere duetti, terzetti e in generale insiemi di $n$ elementi, come posso raccogliere tutti quelli con lo stesso numero di elementi senza effettivamente contarli?
Russell utilizza il criterio della corrispondenza biunivoca. Dati due insiemi, essi hanno la stessa cardinalità (numero di elementi) se e solo se è possibile creare una funzione biunivoca tra i due. Ovvero una funzione che ad ogni elemento del primo insieme associa uno e un solo elemento del secondo.

Biiezione e contare

In questo modo è possibile raggruppare gli insiemi con la stessa cardinalità senza presupporre la capacità di contare. Fatto ciò è sufficiente dare un nome agli insiemi di insiemi (1 a quelli di 1 elemento, 2 a quelli di 2 e così via). In questo modo abbiamo definito i numeri in maniera consistente!

Cosa significa contare?

A questo punto resta solo da capire cosa significhi contare. Anche in questo caso è utile ragionare in termini di corrispondenze biunivoche. Soffermiamoci sul caso dell’osso di Ishago, su di esso ogni tacca sta a rappresentare un’unità. Non si sa cosa sia stato contato in questo modo, supponiamo i frutti raccolti durante la giornata. Ad ogni frutto corrisponde una tacca, quindi esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei frutti e l’insieme delle tacche. Astraendo possiamo asserire che l’operazione di contare non è nient’altro che creare una corrispondenza biunivoca tra l’insieme degli oggetti da contare e un sottoinsieme dei numeri naturali!

Se vuoi approfondire ti consiglio l’articolo GEORG CANTOR: QUANTO È INFINITO L’INFINITO? in cui Lorenzo spiega come contare insiemi di infiniti elementi!

Spero che questo articolo ti sia piaciuto, nel prossimo vedremo come il concetto di numero si è evoluto nelle diverse culture. Ospite speciale: il numero 0!

Se ti interessa l’argomento dei numeri, del contare e la matematica più in generale ti consiglio questo libretto leggero ma interessante: L’uomo che sapeva contare

La ruota quadrata : nascita del problema e una sua analisi

La ruota è considerata una delle invenzioni più rivoluzionarie della storia dell’uomo. Ha subito numerosi perfezionamenti nel tempo, ma la forma è rimasta sempre inalterata: un cerchio. Per questo motivo, una ruota di forma differente sembra un’idea bizzarra e inutile, men che meno una ruota quadrata.

Ruota quadrata

Nascita del problema della ruota quadrata

Ora immaginate di trovarvi nell’antico Egitto, e per la costruzione di un edificio dovete spostare dei pesantissimi blocchi di roccia squadrati. Quale potrebbe essere il metodo più efficace?

Gli antichi egizi notarono una cosa: se tagliavano in più parti dei tronchi di legno, e li disponevano per terra uno a fianco dell’altro, i blocchi potevano rotolare! Era la prima formulazione e soluzione approssimativa del problema: “Quale dovrebbe essere la forma della strada per far si che una ruota quadrata rotoli regolarmente?”.

Risoluzione analitica

Perchè le ruote rotolano? Tutta la loro efficienza deriva dal fatto che il loro baricentro rimane sempre alla stessa altezza, e che il peso è sempre perfettamente concentrato nel suo punto d’appoggio. Quindi, dobbiamo trovare un pavimento che permetta le stesse caratteristiche anche a una ruota quadrata.

Ruota quadrata

Vi invito a provare a risolvere questo problema, è necessario solo sapere un po’ di matematica da quinta liceo e avere un buon intuito.

Cerchiamo l’equazione di un singolo dosso, che permetta il rotolamento a una ruota quadrata di lato 2 (questo aiuta la risoluzione semplificando i calcoli). Il baricentro deve rimanere sempre alla stessa altezza.

Ruota quadrata
rappresentazione analitica del problema

Ecco in breve i passaggi risolutivi. Se affrontati senza timore, ci ricompenseranno, scoprendo una proprietà molto interessante di questa curva. Tranquilli, io cercherò di essere il più chiaro possibile, ma se la sola vista di integrali e equazioni differenziali vi causa un pochino di nausea, potete tranquillamente scrollare al prossimo sottotitolo, nessuno lo verrà mai a sapere. Forse 😉

Chiamiamo $B$ il segmento che unisce il baricentro del quadrato al punto di appoggio con la curva. La richiesta è che il baricentro sia sempre alla stessa altezza, quindi che $f(x) + B = \kappa$ dove $\kappa$ è una costante. Si nota facilmente che l’altezza deve essere esattamente metà della diagonale del quadrato, quindi $\kappa = \sqrt{2}$. Siamo sulla buona strada, dopo aver ottenuto $f(x) + B = \sqrt{2} $ , dobbiamo solo capire come varia $B$ rispetto a $f(x)$.

Se applichiamo il teorema dei seni al triangolo (guardate la figura qua sopra), otteniamo che $\frac{\sqrt{2}}{sin(90+\alpha)}=\frac{B}{sin(45°) }$ quindi che $B=\frac{1}{sin(90+\alpha)}$. Sostituiamo $sin(90°+\alpha)=cos(\alpha)$ e otteniamo $B=\frac {1}{cos(\alpha)}$. In seguito, sappiamo che il lato del quadrato è tangente alla curva, quindi che l’angolo $\alpha$ dipende dalla derivata della funzione. In particolare, $\alpha=\arctan{(f'(x))}$ . Ora ci siamo quasi.

Ripartendo da $f(x)+B= \sqrt{2} $, sostituiamo tutti i calcoli e otteniamo $ f(x) + \frac{1} {cos(arctan[f'(x)])} = \sqrt{2}$

Qui vengono in aiuto delle comode formule sulle funzioni goniometriche composte, in particolare $cos(arctan(x))=\frac {1} {\sqrt {1+x^2}}$

Sostituendo tutto, otteniamo che $f(x)+\sqrt {1+[f'(x)]^2} = \sqrt{2}$, una equazione differenziale piuttosto minacciosa. Per trovare la sua soluzione esatta ci manca solo un valore numerico. Per esempio, se vogliamo ottenere la curva simmetrica rispetto all’asse delle ascisse, $f'(0)=0$, è abbastanza intuitivo. Così otteniamo il seguente problema di Cauchy, sempre piuttosto minaccioso.

$\begin {cases}f(x)+\sqrt {1+[f'(x)]^2} = \sqrt{2} \\f'(0)=0\end{cases}$

A questo punto, Wolfram Alpha non è poi una cattiva idea. Tuttavia, se siamo proprio coraggiosi, possiamo proseguire e notare che nell’espressione compare solo $f(x)$ e mai la $x$, quindi è un’equazione differenziale a variabili separabili. Basta elevare tutto alla seconda per sbarazzarsi della radice, isolare $f'(x)$, separare $dy$ e $dx$ e integrare da entrambe le parti; una passeggiata praticamente.

Soluzione

Adesso che abbiamo risolto il problema, con o senza qualche aiutino, arriva la parte interessante. L’equazione del pavimento che permetterebbe a una ruota quadrata di rotolare è la seguente: $f(x) = \sqrt{2}-\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$, ovvero $f(x) = \sqrt{2} -\ cosh{(x)}$; vi ricorda qualcosa questa funzione? Siamo davanti a una catenaria!

(Nel caso non conosciate questo tipo di curva, vi invito a dare un’occhiata a questo articolo: La catenaria: una curva ricca di proprietà e che piace alla natura).

Bene. Una ruota quadrata rotolerebbe perfettamente su un pavimento fatto di catenarie rovesciate, ovvero la stessa figura che forma una catena tenuta sospesa tra due pali. Aspetta un secondo, perchè?? I due problemi sono correlati? Sarà una coincidenza? No, non fidatevi mai delle coincidenze della matematica.

Stiamo guardando la stessa situazione da 2 diversi punti di vista. La catena si dispone in modo che tutto il suo peso sia egualmente distribuito in ogni punto. In modo analogo, il baricentro della ruota quadrata, mentre rotola, coincide sempre con il punto d’appoggio, dunque il suo peso è egualmente distribuito in ogni punto della superficie sottostante. Di conseguenza, è chiara la correlazione tra le due curve, dubitate sempre delle coincidenze!

Inoltre, questa è esattamente la stessa proprietà per la quale la catenaria viene utilizzata in architettura: distribuire uniformemente il peso di un ponte o di un arco, per rendere più stabile e resistente la struttura.

Catenaria
Esempio dell’utilizzo di catenarie in architettura

Possibili applicazioni della ruota quadrata

Adesso, se fossimo nell’antico Egitto, saremmo in grado di spostare i nostri massi con il minimo sforzo e poter costruire il nostro bell’edificio. Ma a noi, a cosa è servito?

Analizzare e risolvere un problema ci permette di studiare e capire un modello semplificato. Con tutto ciò che abbiamo appreso, possiamo studiare situazioni simili, dalla maggiore complessità, ma più reali.

Per esempio, quale sarebbe la forma migliore per uno pneumatico da competizione per moto? Rotondo sì, ma se consideriamo la sua sezione? Bisogna avere una forma che permetta alla moto, anche se a grandi angoli di piega, di garantire la massima aderenza con il terreno.

Ruota quadrata
Sezione di uno pneumatico da moto

Sapreste dire quale equazione descrive il profilo dello pneumatico? O almeno quale sarebbe quello matematicamente ideale? Sicuramente ci troviamo davanti a un problema molto più complesso, nel quale entrano in gioco molte più variabili da tener conto. I diversi angoli di piega, la deformazione della gomma, la pressione interna… Ma aver risolto precedentemente il problema della ruota quadrata almeno ci fornisce indizi per approcciare il problema. Se siete appassionati di moto, vi lascio un video youtube a riguardo, da un punto di vista più fisico e ingegneristico, che personalmente ho trovato molto interessante:

Se invece siete più interessati solo all’aspetto matematico, potete provare a risolvere lo stesso problema non solo per una ruota quadrata, ma anche per una pentagonale, esagonale… Potete generalizzare e trovare la soluzione per un qualsiasi poligono regolare al variare del numero dei lati e delle sue dimensioni. Le ipotesi di partenza sono molto simili, diventa solo via via sempre più complesso. Vi sorprenderà forse sapere che la catenaria non salta fuori solo nello studio di una ruota quadrata, ma da qualsiasi tipo di ruota poligonale, con dei parametri leggermente variati. Se davvero vi siete innamorati dell’idea di trovare pavimenti per qualsiasi tipo di ruota, sono un po’ preoccupato per voi, ma vi lascio un articolo qua sotto che analizza il caso più generale possibile.

Per concludere, visto che abbiamo tanto parlato di ruota quadrata di qua e ruota quadrata di là, ma ancora non avete visto una sua applicazione, vi lascio qua sotto il video di una bicicletta bizzarra che scorre in modo perfettamente regolare su un pavimento composto da dossi:

Risorse per approfondire l’argomento

Generalizzazione totale: esiste un pavimento per ogni possibile ruota? https://www.researchgate.net/publication/254616950_Roads_and_Wheels

Il problema della ruota quadrata (esame di maturità 2017): https://redooc.com/it/superiori/matematica-maturita/soluzioni-matematica-maturita-2017/maturita-2017-problema-1-soluzione#problema1-introduzione

Spazio di Hilbert (PARTE 1) : concetti base e cenni storici

Magari ti è già capitato di sentire nominare Hilbert, ma a meno che tu non abbia già seguito un corso di analisi funzionale o qualcosa di analogo, probabilmente non sai cosa sia uno spazio di Hilbert.

Andremo quindi alla scoperta di questi particolari spazi, vedendone un po’ di storia, una caratterizzazione formale e rigorosa, le principali proprietà, alcuni esempi e per finire introdurremo l’importante concetto di Serie di Fourier generalizzata parlando di proiezioni.

In questo articolo lascerò da parte gli ultimi tre punti di questa lista, “limitandomi” quindi a introdurre alcuni concetti base e a fare un preambolo storico, perché altrimenti verrebbe troppo lungo. Termineremo quindi questo percorso alla scoperta degli spazi di Hilbert in un secondo episodio che scriverò tra non molto. Se vedo che sarebbe troppo lungo anche il secondo non si sa mai che lo spezzi in un ulteriore terzo, tanto di cose da dire ce ne sarebbero una marea 😉

Di strada da fare quindi ne abbiamo parecchia, ma cercherò di renderla il più scorrevole e piacevole possibile quindi, cosa stiamo aspettando?! Iniziamo con il succo dell’articolo!

Spazio di Hilbert

Prima di iniziare ti lascio una piccola legenda della notazione matematica che userò, e che è usata classicamente, per rendere il testo più scorrevole (nel caso tu non ci fossi già abituato):

  • $v\in V$ vuol dire che l’elemento $v$ appartiene all’insieme $V$
  • $\exists x\in X$ significa che esiste una $x$ nell’insieme $X$
  • $\forall x\in X$ sta ad indicare per ogni $x$ dell’insieme $X$.

Definizioni e concetti base che useremo per scoprire gli spazi di Hilbert

Per poter parlare di spazi di Hilbert, è necessario che alcuni concetti siano noti, vediamo quindi di sintetizzarli in questo paragrafo 😉 . Non voglio fare sbrodoloni inutili in questa sezione, per cui tutte queste nozioni sono organizzate qui sotto in maniera sintetica ma più che sufficiente per capire il seguito dell’articolo e soprattutto le prossime puntate.

Spazio vettoriale su $\mathbb{R}$

Diciamo spazio vettoriale rispetto al campo $\mathbb{R}$ un insieme $V$, i cui elementi saranno chiamati vettori, equipaggiato di due operazioni

$+ : V\times V\rightarrow V$ e $* : \mathbb{R}\times V \rightarrow V$ tali che soddisfino le seguenti proprietà:

  • $(V,+)$ è un gruppo abeliano, ovvero:
  1. Esiste un elemento neutro $0_V$ rispetto a $+$, quindi esiste $0_V$ tale che $a+0_V=a\,\forall a\in V$.
  2. Esiste un elemento inverso rispetto a $+$, quindi esiste un $\bar{a}$ tale che $a+\bar{a}=0_V\,\forall a\in V$.
  3. L’operazione $+$ è associativa, ovvero $(a+b)+c=a+(b+c)$, $\forall a,b,c\in V$.
  4. Vale la proprietà commutativa (perché è abeliano): $a+b=b+a$, $\forall a,b\in V$.
  • Vale la proprietà distributiva tra $*$ e $+$:
  1. $k*(a+b) = k*a + k*b$, $\forall a,b\in V,\,k\in\mathbb{R}$.
  2. $(k+m)*a = k*a + m*a$, $\forall k,m\in\mathbb{R},\,a\in V$.
  • Proprietà di neutralità
  1. Se $1_{\mathbb{R}}*k = k\,\forall k\in\mathbb{R}$, allora deve valere che $1_{\mathbb{R}}*a=a\,\forall a\in V$.

P.S. Ci tengo a sottolineare che le due operazioni $+$ e $*$ non sono necessariamente le classiche addizione e moltiplicazione che siamo abituati a usare con i numeri reali. Si possono definire le più svariate operazioni sullo spazio $V$, purché la terna $(V,+,*)$ soddisfi le proprietà elencate qui sopra 🙂 . D’ora in poi parleremo di spazio vettoriale $V$ per denotare questa terna, quindi si sottintende che esso sia equipaggiata di due operazioni come sopra.

Prodotto scalare

Dato uno spazio vettoriale $V$ possiamo introdurvi un prodotto scalare, che è un’operazione tra elementi $v,w\in V$ che soddisfa alcune proprietà. Vediamo quindi come definirlo:

Un prodotto scalare sullo spazio vettoriale $V$ è un’operazione $\langle\cdot\,,\,\cdot\rangle : V\times V\rightarrow \mathbb{R}$ tale che

  1. $\langle v,v \rangle \geq 0$ per ogni $v\in V$, ovvero è un’operazione definita positiva, in particolare è $=0$ se e solo se $v=0_V$.
  2. Sia simmetrica, ovvero $\langle v,w\rangle = \langle w,v\rangle$ per ogni $v,w\in V$.
  3. Sia bilineare, data la simmetria però basta la linearità rispetto al primo termine:
  • $\langle kv,w \rangle = k\langle v,w\rangle$ per ogni $k\in\mathbb{R}$ e $v,w\in V$.
  • $\langle v+v’,w\rangle = \langle v,w \rangle + \langle v’,w\rangle.$

Si dice il prodotto scalare essere degenere, e quindi non ben definito, se esiste un vettore $w\neq 0$ tale che

$\langle v,w \rangle = 0$ per ogni $v\in V$, ovvero un vettore $w\in V$ perpendicolare a tutti gli altri vettori di $V$.

Infatti il concetto di prodotto scalare, deve essere ricondotto da un punto di vista geometrico al concetto di proiezione ortogonale. In particolare quando si calcola $\langle v,w\rangle$ non si sta altro che cercando la lunghezza della proiezione di $v$ lungo $w$ (o viceversa) rispetto ad una particoalre proiezione.

Questo è un classico esempio dove lo spazio vettoriale usato è $\mathbb{R}^2$ e la proiezione standard, quella basata sul prodotto scalare euclideo.

Un prodotto scalare è in grado di definire una norma, ovvero una nozione di lunghezza, sullo spazio $V$. Per farlo si può semplicemente procedere così: $||v|| = \langle v,v \rangle ^{\frac{1}{2}}$ per ogni $v\in V$. L’idea dietro a questa definizione e di definire la norma come la lunghezza della proiezione di un vettore su se stesso.

Prima di proseguire, vediamo un’importante proprietà che segue da quelle che caratterizzano il prodotto scalare: la disuguaglianza triangolare.

Questa si può esprimere così: $||u+v||\leq ||u|| + ||v||$ per ogni $u,v\in V$. In termini pratici, hai già visto di sicuro questa disuguaglianza quando hai studiato i triangoli. Ricordi infatti che la somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo singolarmente? Ecco, se ogni lato lo vedi come un vettore tutto torna 😉

Se vuoi approfondire il concetto di prodotto scalare ti consiglio questa pagina: Prodotto scalare.

Proiezione ortogonale

Ci siamo, vediamo l’ultimo concetto per poi passare a parlare sul serio di spazi di Hilbert! 🙂 Se ti è capitato di studiare un minimo la geometria nello spazio euclideo $\mathbb{R}^n$, anche solo in $\mathbb{R}^2$ è sufficiente, certo saprai che in questo spazio è ben definito un prodotto scalare.

In particolare lo possiamo definire come segue presi due vettori $\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$, dove $\vec{x}=(x_1,x_2,…,x_n)$ mentre $\vec{y}=(y_1,y_2,…,y_n)$:

$\langle (x_1,x_2,…,x_n), (y_1,y_2,…,y_n)\rangle := x_1\cdot y_1 + x_2\cdot y_2 + … +x_n\cdot y_n = \sum_{i=1}^n x_i\cdot y_i.$

Grazie all’esistenza di un prodotto scalare possiamo anche parlare di proiezione ortogonale , che in termini intuitivi si equivale al concetto di ombra. Infatti ti sarai certamente accorto che, nella realtà, quando un oggetto come una matita è posto in posizione inclinata sopra una superficie, con una luce che lo illumina dall’alto, sul tavolo potrai vedere un’ombra. Bene, da un punto di vista matematico quest’ombra si chiama la proiezione ortogonale del vettore matita sul piano del tavolo 😉 .

In alternativa potresti anche proiettare un vettore su un altro vettore, rappresentando il concetto intuitivamente nello stesso modo.

Proiezione ortogonale

Nell’immagine qui sopra non ho una luce perfettamente sopra la penna, ma il concetto penso sia chiaro. Infatti nonostante la luce venga un po’ in diagonale, abbiamo un ombra sul tavolo. Questa non sarà una proiezione ortogonale ma qualcosa di leggermente diverso, ma non curiamocene visto che non è questo il tema dell’articolo. La foto qui sopra vuole solo essere da immagine per capire ciò di cui stiamo parlando 😉

Per concludere, come si calcola la proiezione ortogonale (che d’ora in poi chiamerò solo con proiezione) di un vettore $v=(v_1,…,v_n)\in\mathbb{R}^n$ su un vettore $w=(w_1,…,w_n)\in\mathbb{R}^n$?

Beh, è molto semplice! Per trovare la lunghezza del vettore di proiezione basta fare il prodotto scalare tra i due vettori, poi basta trovare la direzione lungo la quale si trova $w$ e quindi moltiplicare la lunghezza della proiezione per questo vettore unitario di direzione 😉 Ma vediamo un po’ di conti che sono sicuro che ti chiariranno il concetto. Qui sotto denoteremo con $P_w(v)$ il vettore proiezione ortogonale di $v$ lungo il vettore $w$.

$P_w(v) = \langle v,w\rangle \frac{w}{||w||} = \frac{1}{\sqrt{w_1^2+…+w_n^2}}(w_1,…,w_n) \sum_{i=1}^n v_i\cdot w_i $.

Dove all’inizio vedi il vettore $w’= \frac{w}{||w||} $, intendo il vettore unitario di direzione lungo la quale vive il vettore $w$, infatti ho usato il vettore $w$ è l’ho diviso per la sua norma, così che $||w’||=1$. Chiaramente, visto che stiamo parlando di $\mathbb{R}^n$ mi è venuto naturale spiegarti questi concetti usando norma euclidea e il classico prodotto scalare euclideo, ma si può fare lo stesso discorso con un qualunque prodotto scalare e la relativa norma indotta. Infatti la prima uguaglianza qui sopra vale ancora, poi quando ho esplicitato i conti invece va sostituita la corretta norma e prodotto scalare.

Ci siamo! Ora siamo pronti per addentrarci negli spazi di Hilbert, che sostanzialmente ambiscono a definire questi strumenti su spazi più generali, a dimensione infinita in particolare. Ma non spaventarti, pian piano ti sarà tutto più chiaro.

Ti faccio una doverosa premessa…la parte storica qui sotto nomina parecchi concetti avanzati che provo a spiegarti ma se non li hai mai sentiti immagino sarà di difficile lettura. Per cui se ti interessa sapere cosa si nasconde nella storia dietro il concetto di Spazio di Hilbert ti consiglio di fare un tentativo, magari non capirai tutto ma in linea generale lo sviluppo e le motivazioni dietro questo oggetto matematico ti saranno chiari 🙂

Altrimenti, se al momento non hai voglia di cose difficili o se non ti interessa la parte storica e preferisci aspettare che esca la seconda puntata sulle proprietà e sugli esempi, ci possiamo salutare qui e amici come prima 😎 .

Un po’ di storia sugli spazi di Hilbert

Prima dello sviluppo del concetto di spazio di Hilbert, furono ottenute altre generalizzazioni degli spazi Euclidei $\mathbb{R}^n$, che erano note ed utilizzate sia da fisici che matematici. In particolare, l’idea di uno spazio lineare astratto maturò e ricevette sempre più interesse verso la fine del 19° secolo.

Questo spazio a cui si arrivò, era uno spazio i cui elementi potessero essere sommati tra loro e moltiplicati per uno scalare (un numero reale o complesso per esempio) senza però doverli necessariamente associare con il classico vettore geometrico di $\mathbb{R}^n$. Un esempio classico sono gli spazi di matrici, che godono tranquillamente di queste proprietà ma non sono intuitivamente associabili all’immagine di un vettore (in realtà si può fare questa associazione, ma non è necessaria per poter lavorare con le matrici).

Anche altri oggetti studiati dai matematici a cavallo del 20° secolo, in particolare gli spazi di sequenze e gli spazi di funzioni, possono essere naturalmente intesi come spazi lineari (ti ricordo che per spazi lineari, di per sè, intendiamo gli spazi vettoriali di cui abbiamo parlato prima 😉 ).

Le funzioni, per esempio, possono essere sommate tra loro e moltiplicate per una costante, e queste operazioni obbediscono alle classiche proprietà delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare che rispettano i vettori nello spazio Euclideo.

Nel primo decennio del 20° secolo, sviluppi paralleli portarono all’introduzione degli spazi di Hilbert. Il primo di questi sviluppi fu l’osservazione, emersa quando David Hilbert e Erhard Schimidt stavano studiando le equazioni integrali (se non ne hai mai vista una ecco qui qualcosa che può esserti utile: equazioni integrali), che due funzioni quadrato sommabili a valori reali, $f$ e $g$, su un intervallo $[a,b]$ (ovvero $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$), ammettono un prodotto scalare:

$\langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)dx$

che ha tutte le classiche proprietà a cui siamo abituati per il prodotto scalare dei vettori nello spazio $\mathbb{R}^n$ e di cui abbiamo parlato in generale nel paragrafo sopra.

Ah…per non spaventare nessuno, quando scrivo che una funzione è “quadrato sommabile”, intendo che l’integrale del quadrato della funzione è finito:

$\int_a^b f^2(x)dx < +\infty$.

Un esempio di funzione che non è quadrato sommabile è la funzione $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ nell’intervallo $[0,1]$, infatti si ha:

$\int_0^1 \Big(\frac{1}{\sqrt{x}}\Big)^2dx = \int_0^1 \frac{1}{x} dx = \log{1}-\lim_{x\to 0^+} \log{x} = +\infty$.

Giusto per completezza, ti dico che lo spazio delle funzioni che hanno questa proprietà si denota solitamente con $\mathcal{L}^2([a,b])$ ed è uno spazio di Hilbert se equipaggiato del prodotto scalare definito qualche riga più in su.

Schmidt sfruttò le somiglianze tra questo prodotto interno (scalare) con il classico prodotto di $\mathbb{R}^n$ per dimostrare una versione ampliata del teorema spettrale dell’algebra lineare (se non lo conosci qui trovi una bella spiegazione: Teorema spettrale) per ottenere una decomposizione di un operatore della forma:

$f(x)\rightarrow \int_a^b K(x,y)f(y)dy$

con $K$ che è una funzione continua e simmetrica di $x$ ed $y$. Questo operatore è chiamato operatore di Hilbert-Schmidt 😎 (questa non tutti la capiranno, ma va bene così: symmetric 👉🏼 self-adjoint, smooth 👉🏼 compact!)

Il secondo sviluppo che portò alla costruzione della nozione di spazio di Hilbert fu l’integrale di Lebesgue. Questo è un’alternativa all’integrale di Riemann che solitamente si studia ad analisi 1 e che è poi quello che si vede anche in quinta superiore 😉

Questo “nuovo integrale” fu introdotto da Henri Lebesgue nel 1904 e permise di integrare più funzioni, una classe più ampia di funzioni. Questo integrale permise, nel 1907, a Frigyes Riesz e Ernst Sigismund Fischer di dimostrare, indipendentemente, che lo spazio $\mathcal{L}^2$ di cui ti ho parlato prima è uno spazio metrico completo.

La completezza è una proprietà fondamentale di $\mathbb{R}^n$ e questo non fa che aumentare le somiglianze tra gli spazi euclidei e questa nuova tipologia di spazi che questi grandi matematici stavano introducendo. Se non conosci il termine spazio completo ti consiglio di dare una letta qui, è spiegato in modo chiaro: Spazio metrico completo.

Come conseguenza naturale del forte legame tra la geometria dello spazio Euclideo e il risultato di completezza, i risultati del 19° secolo raggiunti da Joseph Fourier (se vuoi qui trovi un articolo che avevo scritto sulla Trasformata di Fourier che è strettamente legata con ciò di cui stiamo parlando), Friedrich Bessel e Marc-Antoine Parseval sulle serie di Fourier, o comunque sulle serie trigonometriche, si generalizzarono a questi spazi più ricchi e “potenti”. Andarono così a costituire la struttura geometrica e analitica del teorema di Riesz-Fischer.

Chiudo questa serie di teoremi importanti con il riferimento a un altro che è obbligatorio citare, il teorema di Rappresentazione di Riesz. Questo, in linea pratica, dice che ogni funzione lineare

$L(\alpha v + w) = \alpha L(v) + L(w)$, $\forall \alpha\in\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ e $\forall v,w\in H$

e continua definita da uno spazio di Hilbert a $\mathbb{C}$ oppure $\mathbb{R}$ (a seconda del campo su cui $H$ è spazio vettoriale), che in gergo è chiamato funzionale lineare a continuo $L:H\rightarrow \mathbb{R}\,(L\in H’)$, può essere associata ad uno ed un solo elemento $v_L$ dello spazio di Hilbert, in modo che applicare la funzione $L$ ad un vettore $w\in H$ equivale a moltiplicare questo vettore $w$ per il rappresentante $v_L$:

$L(w) = \langle v_L,w \rangle$ per ogni $w\in H$.

Se ci pensi, è un po’ come la matrice associata univocamente ad ogni funzione lineare che si vede in algebra lineare (se non conosci questo risultato, qui trovi una spiegazione molto chiara : Matrice associata a un’applicazione lineare) , solo che qui va richiesta la continuità perché, su spazi a dimensione infinita, si possono costruire funzioni lineari ma non continue 😉 .

Bene, prima di passare alle motivazioni fisiche dello sviluppo della teoria sugli spazi di Hilbert, ci tengo a dirti che quest’ultimo teorema fu dimostrato in via indipendente da Maurice Fréchet e Frigyes Riesz nel 1907.

Ah..un’ultima cosa! Ma chi ha introdotto il termine SPAZIO DI HILBERT? Il colpevole è John von Neumann, che coniò il termine spazio di Hilbert astratto nel suo lavoro sugli operatori Hermitiani illimitati. Von Neumann fu di per sé il primo a fornire una trattazione completa e assiomatica di questi spazi, prima di lui i matematici li utilizzavano ma più per interesse fisico.

Ma quindi servono a qualcosa questi spazi? Sono usati per la fisica? Proprio così, la motivazione principale che portò alla formalizzazione di questi spazi fu il fornire una struttura matematica alla meccanica quantistica. Infatti gli stati in un sistema quantistico sono vettori in un certo spazio di Hilbert.

Ma non mi dilungo oltre su questo tema, dato che Gianluca sta trattando proprio questi aspetti nei suoi articoli! Il primo lo trovi qui: https://www.mathone.it/meccanica-quantistica-1/

P.S. Questa parte storica l’ho tradotta e rielaborata a partire dalla pagina inglese di Wikipedia, che se vuoi più dettagli puoi trovare qui: Wikipedia – Hilbert Spaces

Conclusione

Perfetto, con questa parte storica direi che può dirsi conclusa una prima panoramica su questi strani oggetti, gli spazi di Hilbert. Se hai notato nel corso dell’articolo ho disseminato link per tuoi eventuali approfondimenti, perché come mi piace dire spesso, qui sul blog non abbiamo l’obiettivo di insegnare nulla ma solamente di incuriosire e dare gli strumenti per approfondire 😉

Detto ciò, se può interessarti qui sotto trovi un video davvero molto chiaro sugli spazi vettoriali astratti (è inglese) e il link a un libro di testo in cui si parla anche di questo argomento (più in generale di analisi funzionale) che magari può interessarti. Inoltre ti ricordo che questa è solo la prima puntata di due e tre che farò sugli spazi di Hilbert, quindi ti aspetto per le prossime 😉 !

Il libro che ti voglio suggerirti è un classico dell’analisi funzionale e lo trovi qui: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations .

Il video invece è questo: