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pi-day

Buon pi-day a tutti!

Ci siamoooo! Era da tantissimo tempo che volevo scrivere questo (breve) articoletto e finalmente ci siamo! Il motivo mi sembra abbastanza chiaro di questa esaltazione dato che per un giorno anche i matematici possono avere il loro breve periodo di gloria e tutti ci possiamo sentire un po’ più nerd e compiacerci di esserlo! 😉 Qui su Mathone ci siamo già più di una volta dedicati a questa famigerata costante, ma credo non vi dispiacerà sentire qualche curiosità in più 😉

Di cose da dire sul pi greco ce ne sarebbero tantissime, tuttavia dirle tutte sarebbe lungo e noioso. Mi soffermerò solo su quelle che trovo più interessanti 😉 Pronti, ai posti, via!

Dove e quando

è oramai l’emblema di come la matematica ci pervada nella vita di tutti i giorni. È stato elevato nei secoli quasi come simbolo stesso della matematica (provate per esempio a pensare a quante volte lo si vede nei film ogni volta che si comincia a parlare di matematica!) tanto che perfino i Simpsons ne sono stati testimonial!

Scherzi a parte, sebbene il pi greco, con la sua irrazionalità, trascendenza, aperiodicità, infinità e vattelappesca sia noto e studiato da tantissimo tempo (già i greci avevano cominciato a darci dentro ai loro tempi, Archimede stimando una circonferenza con poligoni regolari inscritti e circoscritti era riuscito a trovare un’approssimazione fino a diverse cifre decimali…), è solo dal 1988 che si è cominciato a celebrare il pi-day.

L’iniziativa parte, tanto per cambiare, dagli Stati Uniti, a San Francisco per l’esattezza, con l’intento nobile di portare al centro dell’attenzione la matematica: una scienza (per alcuni LA Scienza) che non trova spesso motivi per festeggiare. La data designata non poteva non essere il giorno 14 del mese 3; 3,14 appunto!

Dove lo si trova

Per tutti quelli che non sono matematici o fisici purosangue, il pi-greco è solamente il rapporto tra Area e raggio di un cerchio, oppure tra sfera e raggio e così via… ma questo è vero solo in parte… è dappertutto. No veramente, DAPPERTUTTO! Lo si ritrova nella matematica pura (teoria dei numeri e teoria dei gruppi), nell’analisi complessa, nell’analisi, nella probabilità, nella statistica, nella fisica, e mi si seccherebbe la lingua a elencarli tutti!

Tanto per citarvi qualche esempio:

  • nella formula di Eulero definita da Richard Feynman «la più notevole formula della matematica».
  • formule di Green
  • nell’analisi complessa a tout court
  • in statistica
  • In mecanica quantistica! Solo per citarvi il caso più famoso, il principio di indeterminazione di Heisenberg dice che . Vabbeh. Non fa una piega.
  • In algebra! In algebra! che (sembra) abbia solo a che fare con moduli, anelli, gruppi e ideali! È per esempio connesso strettamente alla funzione di Riemann… per esempio la seguente equazione è storicamente famosa come Problema di Basilea e fu risolto da Eulero:

  • nel celebre integrale di Gauss

… No seriamente, ceh vi pare una cosa naturale?

Perchè è così importante?

Il pi greco, al dilà di tutta la divulgazione più o meno scientifica di cui se ne è fatta a proposito, rimane tuttora uno dei veri punti interrogativi moderni della matematica e, sopratutto, della fisica.

C’è chi dice che dato che il nostro è un modello approssimato della realtà e che noi abbiamo inventato numeri e operazioni per poter dare senso a quello che ci circonda, allora è ovvio che il pi greco ritorni in maniera sistematica, perchè avendolo “inventato” noi, ritorna ogni volta che abbiamo a che fare con una sfera o un cerchio.

Onestamente però non sono di questa opinione: dove sono le sfere e i cerchi nella formula di Gauss? O nella teoria quantistica dei campi? O per esempio in algebra e nella funzione di Riemann?

Queste sono domande ancora aperte… ma del resto, citando Eulero, pi greco non è altro che

dove i è l’unità immaginaria e il logaritmo è definito classicamente solo per numeri maggiori di zero. Tutto normale dunque.

La matematica romantica

Per secoli il pi greco con i suoi misteri e l’impossibilità di determinarlo esattamente ha alimentato un sentimento quasi romantico nei confronti della matematica. Solo per oggi desidererei che ci dimenticassimo di quanto possa essere bastarda e ostile questa materia e lasciarci coccolare dalla bellezza e dall’eleganza di questa disciplina: il pi greco è infinito e aperiodico, quindi vuol dire che al suo interno c’è codificato tutto il nostro patrimonio genetico, tutto quello che pensiamo, che abbiamo pensato e che mai potremo pensare; c’è codificato tutta l’informazione che internet possa mai raccogliere e tutte le informazioni racchiuse nel nostro universo. E tutto questo è

.

Buon -day a tutti!

Caffè matematico n°6: Cédric Villani

Matematico francese, 43 anni, attivo nel campo delle equazioni differenziali e della fisica matematica, conosciuto per il suo look fatto di cravatte da dandy, panciotti con orologio nel taschino e una spilla a forma di ragno sul bavero della giacca. Ma chi é Cédric Villani?! Come mai tutti ne parlano?

Biografia

Cèdric Villani compie i suoi studi all’École Normale Superiore a Parigi (la sorella maggiore della Scuola Normale di Pisa, per intenderci, nonchè uno degli istituti più importanti dell’intera Europa) dal 1992 al 1996, dove diventa anche assistant professor. Nel 2000 si trasferisce a Lione, dove ottiene la cattedra e lavora tuttora, mentre dal 2009 è anche direttore dell’isituto Poincaré.

Sempre nel 2009 riceve la Medaglia Fermat mentre nel 2010 riceve la Medaglia Fields. Ha solo 37 anni.

Nel 2012 esce il suo celebre libro Théorème vivant (il Teorema vivente, edito da Rizzoli) nel quale spiega il suo lavoro e cosa vuol dire fare ricerca nel ramo della matematica. Nel 2016 è protagonista del TED talk di Vancouver [3] mentre dal 2016 è un parlamentare della legislazione Macron.

Vita privata e celebrità

Cédric Villani è considerato un personaggio curioso per il suo aspetto e le sue passioni (divora fumetti manga giapponesi), dotato di un intuito fuori dal comune. Un genio della matematica, un vero ninja, in grado però di spiegare anche i temi più complessi con parole semplici e al grande pubblico. In molti lo hanno conosciuto con la pubblicazione del già citato saggio «Il Teorema vivente. La mia più grande avventura matematica». [1] Lo puoi acquistare qui se sei interessato 😉 )

Ma cosa fa dunque Cédric Villani? Ebbene i suoi studi riguardano la teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali coinvolte nella meccanica statistica; in particolare sull’equazione di Boltzmann, sulla quale ha vinto la celebre Medaglia. Ha lavorato inoltre sulla teoria del trasporto ottimale e sulle sue applicazioni in geometria differenziale. So che alcuni di voi potrebbero essersi persi, però il tempo di un caffè non è sufficiente per dilungarsi su cosa vertano questi argomenti. Per conoscenza però vi dico solo che sono alcuni degli argomenti più “caldi” della fisica matematica moderna.

Il sogno della «città della scienza»

A qualcuno leggendo le prossime righe potrebbe tornare in mente Platone e la sua idea della società perfetta guidata dai filosofi… ma vediamo perchè 😉

Nelle ultime elezioni legislative francesi è stato candidato per il dipartimento francese della regione dell’Ile-de-France (Francia sud, per capirci, dove ci sono Lione, Grenoble e Saclay). Proprio là dove si trova la città di Saclay, considerata la Silicon Valley alla francese, e dove Villani avrebbe il desiderio di creare una cittadella della scienza e della tecnologia. Questo progetto è da molti considerato quasi utopico, ma se ci crede una Medaglia Fields, merita di farci un pensierino…

Spero con queste poche righe di avere suscitato in voi l’interesse per questa eclettica persona dagli interessi più svariati. Per approfindimento ti consiglio questa intervista sul sito di Madmaths! [2] Attualmente in Francia è considerato come una celebrità e di sicuro se ne sentirà ancora parlare di lui.

A presto col prossimo caffè matematico 😉

Au revoir

 

Bibliografia

1. Bibliografia esterna
2. Bibliografia esterna
3. TED Vancouver

Caffè matematico n°5 : La somma di tutti i naturali

Già Gauss quando aveva 7 anni aveva trovato una formula per calcolare la somma dei primi numeri naturali… Ma quanto fa la somma di tutti i numeri naturali? “Ovviamente è infinito” verrebbe da dire… e invece NO! la somma esiste, è finita e fa

Dove sta l’inganno?

Spoiler: non trattate i passaggi matematici come oro colato, l’idea di fondo è sbagliata! (si vedano i commenti finali a tal proposito)

Scherzi a parte, la serie è ovviamente divergente (cioè fa ), tuttavia se la tronchiamo ad un certo la somma, essa risulta ben definita e fa

Tuttavia se facciamo tendere la serie a inifinito, le cose cambiano… Prendiamo il problema con leggerezza e vediamo come dimostrare che la somma fa !

Prima di proseguire, se ti interessano i numeri e la matematica mi permetto di suggerirti questo libro molto semplice e divertente: Il mago dei numeri. Un libro da leggere prima di addormentarsi, dedicato a chi ha paura della matematica.

Vi anticipo già che nella dimostrazione non c’è nessuna intuizione perchè per come il problema è definito esso è tremendamente anti-intuitivo!

Siamo ai primi del ‘900 e un talentuoso fisico indiano annota sul suo taccuino il giusto risultato a questo problema. Stiamo parlando del celebre Ramanujan[1] il quale risolvette questo problema in modo euristico; l’idea di base si fondava sul fatto che si poteva trasformare la serie 1+2+3+4+… in 1-2+3-4+… (per informazioni riguardo alla serie alternata rimando a link in bibliografia ) sottraendo 4 al secondo termine, 8 al quarto, 12 al sesto e così via. Il totale sottratto era quindi 4+8+12+16+… , ovvero quattro volte la serie originale!

Già Eulero, molti anni prima, aveva dimostrato che (paradossalmente!) la somma alternata faceva 1/4 ! Quello che fece Ramanujan fu di porre semplicemente

e

.

Dunque il gioco era fatto! Basta sottrarre la seconda dalla prima e si ottiene semplicemente:

quindi abbiamo vinto perchè Eulero aveva già giocato a questo gioco! Basta porre:

ottenendo dunque


Attenzione! Il risultato rimane in ogni caso errato!

Questo risultato è chiaramente errato in quanto le serie infinite vanno maneggiate prima trovando la funzione generale somma e poi passando al limite all’infinito. Infatti se si manipolano le serie inifinte come fossero finite (come nella “soluzione” riportata da Ramanujan), è possibile dimostrare praticamente qualsiasi risultato. [2]

Il principio di fondo è che la somma è definita in modo induttivo e dunque non si può usare l’induzione con troppa leggerezza quando si parla di somme infinite!


Nota (importante)

Sebbene come precedentemente detto questo risultato è sostanzialmente errato, quest’ultimo trova notevoli applicazioni in analisi complessa, teoria dei numeri, teoria quantistica dei campi e teoria M (per gli amici: teoria delle stringhe). Il motivo per cui questo è valido è molto più profondo ed è legato al fatto che per particolari funzioni un approssimazione finita di somme infinite produce un errore tendente a zero (per chi ne sa un po’ di più, sto parlando ovviamente dell’operatore troncamento).

Caffè matematico n°3: Perchè usiamo la x per le incognite?

Andiamo, ammettetelo! Almeno una volta nella vita ce lo siamo chiesto tutti! Perchè quando risolviamo un’equazione, una proporzione, scriviamo le funzioni sempre in funzione di un’incognita e la chiamiamo sempre x? Prima di dare la fatidica risposta, avviciniamoci pian piano e diamo un po’ di contesto storico…

I cosisti

Tutto parte dalla culla della civiltà (anche se attualmente i vari movimenti anarchici che stanno nascendo non tengono alto il nome… ), cioè dagli arabi. Ebbene la matematica classica deve molto agli arabi… Pensate che le parole algoritmo e aritmetica per esempio derivano proprio da loro, ossia da diverse traslitterazioni del nome del amtematico al-Khuwārizmī (sec. IX), attratto nella famiglia del gr. arithmós ‘numero, quantità’. Ebbene gli arabi indicavano l’incognita, in una equazione che ne conteneva una sola, come “la cosa”. In arabo, “cosa” si dice “shay”, un suono molto simile ad x.

Anche nell’Italia rinascimentale, l’incognita era chiamata “la cosa”. La scienza delle equazioni era nota come “l’arte della cosa” e gli specialisti che le risolvevano erano i “cosisti”. [1]

Cogito Ergo Sum

Ebbene si, il merito alla fine va al nostro amico transalpino. Cartesio è attualmente il secondo francese più famoso dopo Napoleone. È stato uno dei primi matematici ad aver dato contributi importanti alla matematica, non greco. Oggi è ricordato per – beh, molte cosa a dire il vero… Essendo uno dei francesi che la matematica la capiva, doveva anche divulgarla in qualche modo e l’unico modo era farlo attraverso i caratteri mobili di Gutenberg!

Ecco però che qui succede il fattaccio: Cartesio ha appena finito di scrivere “La géométrie”, e forse ricordando proprio la shay, decise di utilizzare le lettere minuscole all’inizio dell’alfabeto (a,b,c,…) per le quantità note e quelle minuscole della fine dell’alfabeto per le incognite(z,y,x,…). Tuttavia nella lingua francese, le lettere z,y e x non sono molto frequenti e il tipografo (sembra che) rimase a corto di lettere. Dopo essersi accordato con l’autore, decise di sostituire tutte le incognite con la lettera x (la meno frequente delle 3) ed ecco che la storia si compì.

Nella cultura popolare

Ed ecco come si è andata a insediare nella cultura popolare l’idea di X come qualcosa che non si sa e non si conosce: parliamo oggi degli x-files, degli X-men e ancora prima c’erano i misteriosi raggi x!

E voi? Avete sempre usato la x come incognita? Sarò felice di commentare qualche vostro aneddoto se avete voglia di lasciarlo nei commenti 🙂 .

Au revoir

Erik

Bibliografia

1. Bibliografia esterna

Caffè matematico n° 2 – Il cubo di Rubik – Il gioco del Demonio

Benvenuti a questo secondo caffè matematico: oggi parliamo un po’ di algebr… ehm, del cubo di Rubik! Dato che il tempo a disposizione è poco (il tempo di un caffè appunto 😉 ) sarò breve, ma l’argomento è molto interessante e merita di essere approfondito, pertanto prometto di scriverne al riguardo tra non molto ;).

Il cubo di Rubik

Praticamente tutti conoscono il famosissimo cubo del professore Ernő Rubik. Esso è probabilmente il gioco più venduto della storia ed è considerato da coloro che non sono mai riusciti a risolverlo un vero rompicapo.

Ma cosa vuol dire effettivamente risolverlo? Beh, matematicamente si potrebbe dire che il problema è ben posto, cioè che la soluzione esiste ed è unica. Essa altro non è che il procedimento algoritmico che riesce a permutare i singoli blocchetti in modo che su tutte le facce compaia un solo colore, diverso per tutte e 6 le facce.

Un po’ di algebra

Ma in quanti modi differenti si possono permutare le facce del cubo? Beh, facciamo un po’ di calcoli… Ci sono 3 strati verticali e 3 orizzontali in ogni faccia e possono essere ruotati singolarmente 3 volte, fino a tornare alla posizione originaria. Dunque siamo già a 3x3x3 possibilità di modificarlo. Tutto questo va considerato per 6 facce. Giusto? SBAGLIATO! Attenzione! Se ruotate una faccia, anche tutte quelle intorno vengono di conseguenza modicate! Trovare tutte le possibili permutazioni non è purtroppo così facile come sembra…

Si potrebbe andare avanti parecchio, ma meglio se vi do la soluzione… Si può dimostrare che il numero di configurazioni differenti che un cubo di Rubik può assumere è dato da:

227314537211=43252003274489856000,

cioè circa 0.4*1020. Immaginiamo che per guardare ogni possibile configurazione ci voglia un secondo. 60 fanno un minuto. Per 60 e siamo a un’ora e così via… Se adesso dividiamo 43252003274489856000 per i secondi che ci sono in un anno, otteniamo 1370 miliardi. Il nostro Universo ha poco meno di 14 miliardi di anni, la terra 4. Il sole ne brucerà per circa altri 5. Insomma, riuscire ad elencare tutte le configurazioni di un cubo di Rubik sembra un’impresa assolutamente impossibile.

Giochi senza frontiere

Questo fatto però non deve scoraggiarci: per trovare la soluzione al rompicapo infatti non è necessario conoscere tutte le possibili configurazioni, ma basta saper destreggiarsi tra un po’ di esse con sufficiente abilità. Tra le tante soluzioni che si possono trovare in rete, tutte quante hanno come denominatore comune l’approccio algoritmico: non importa avere un’idea geniale e ogni volta rimettersi a pensarne una nuova: basta solo osservare la configurazione in cui il cubo si trova e procedere algoritmicamente sistemando gruppi di tasselli alla volta.

Attualmente nessuno riesce a farlo in meno di 4 secondi e 73. Voi ci siete mai riusciti? In quanto?

A mercoledì prossimo con il prossimo caffè 😉

Au revoir

Erik

ceterum censeo festascienze esse facendam

Caffè Matematico n°1 – Paradossi Probabilistici

Il titolo affiancato dal numero 1 fa intuire che qualcosa di nuovo si sta muovendo. 

Eccoci al primo episodio del “Caffè Matematico”! Questa nostra nuova rubrica ha l’intento di accompagnarvi nelle brevi pause giornaliere con delle piccole chicche matematiche.

I testi (speriamo 🙂 ) saranno coincisi e chiari, mentre la scadenza sarà settimanale.

Pronti, partenza…via!

La teoria delle probabilità è in fondo soltanto senso comune ridotto a calcolo.

 

Pierre Simon Laplace, Teoria analitica delle probabilità , 1812

Dopo aver letto questa frase mi sono perso ad apprezzarne la veridicità e allo stesso tempo l’essenziale semplicità. Poi però mi sono chiesto… allora perché esistono dei paradossi probabilistici?

In questo breve articolo cercheremo di dare una risposta a questa domanda e scoprire quali sono i paradossi più famosi della teoria della probabilità.

Cos’è un paradosso? E perché Laplace si “sbagliava”?

La parola paradosso deriva dall’unione delle parole greche παρά (contro) e δόξα (opinione). Un paradosso è infatti un fatto che appare inaccettabile in quanto in contrasto con il senso comune. L’esistenza di queste stranezze, nel mondo probabilistico, va in parte a “dare torto” all’affermazione di Laplace (le virgolette sono d’obbligo ogni volta che contraddico parzialmente il grande matematico! 🙂 ).

A mio parere la presenza di questi fatti mette in luce la profonda bellezza e forza della matematica: quando il senso comune cade in errore il rigore del linguaggio matematico capta la stranezza e tramite il suo formalismo la spiega e ne motiva la presenza.

Quello che faremo da ora in poi sarà appunto questo. Prima ci faremo ingannare dell’intuizione fornendo risposte sbagliate ai paradossi, poi ci armeremo di qualche proprietà matematica per correggere il tiro.

 

Il paradosso delle tre carte

Supponiamo di avere tre carte che per semplicità chiameremo A, B e C. La prima carta è bianca su entrambe le sue facce. La seconda è rossa su entrambi i lati. La terza infine ha una faccia rossa e una bianca.

Immaginiamo ora di inserire A, B e C in una scatola, di estrarre una carta e di porla sul tavolo con solo una faccia visibile. Siamo quindi in grado di vedere il colore di questa che ipotizziamo sia il rosso. Ci chiediamo che probabilità ha l’altra faccia di essere rossa?

Risposta di pancia…   ! Visto che la carta in questione da una parte è rossa può essere soltanto B o C. Abbiamo quindi una possibilità su due che la faccia coperta sia rossa.

Purtroppo però l’istinto ci inganna e dobbiamo chiamare la ragione per riportarci sulla giusta strada.

Risoluzione del paradosso delle tre carte

La nostra prima supposizione che la carta in questione possa essere solamente B o C era ovviamente corretta, ma dobbiamo fare attenzione ad un particolare. Definiamo B come (R1B, B2B) indicando che il lato uno è rosso e il lato due è bianco e C come (R1C, R2C).

Detto questo il lato sopra il tavolo potrebbe essere R1B ,R1C o R2C . Se  il lato è R1B allora l’altro sarà bianco, ma se è R1C o R2C  allora in entrambi i casi l’altra faccia sarà rossa.

Abbiamo dunque 2 casi favorevoli su 3 e la probabilità cercata è quindi    e non    come supposto inizialmente!

 

Il paradosso del secondo figlio

Andiamo dritti al problema come è stato proposto da Martin Gardner sulle pagine del Scientific American:

“Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?”

La risposta data al volo è ancora   , ossia potrebbe essere maschio (primo caso favorevole) o femmina (secondo caso sfavorevole).

Anche questa volta sbagliamo!

La soluzione corretta è analoga a quella di prima, ma ormai la nostra pausa caffè sta per finire. E’ ora di rimettersi al lavoro e  rimandare al prossimo espresso una nuova carica di paradossi (dobbiamo ancora parlare di Monty Hall e dei compleanni!).

Vi lascio soltanto un aiuto dando una seconda formulazione del problema che appare meno ambigua. ( Se non riesci a risolverlo chiedi pure nei commenti 🙂 )

Il signor Smith ha due bambini. Non sono due femmine. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?

 

Questo è il nostro primo esperimento di articolo breve nel formato compatibile con quasi tutte le macchinette per il caffè in commercio ( 😉 ).

Se l’idea ti piace e avresti voglia di leggere altri piccoli spunti matematici faccelo sapere che ci impegneremo per scrivere il più possibile!

 

D’altronde, come mi ha detto una volta Davide citando Paul Erdös,  “Un matematico è una macchina che trasforma caffè in teoremi”!

 

Ci rileggiamo presto!

 

Marco