GEORG CANTOR: Quanto è infinito l’infinito?


L’infinito! Nessun altro problema ha mai scosso così profondamente lo spirito umano; nessuna altra idea ha stimolato così proficuamente il suo intelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di chiarificazione che quello di infinito

D. Hilbert

Quanti sono i numeri naturali?

Infiniti!

Bene, ma…”quanto” infiniti?

Cantor fu forse il primo a porsi una tale domanda, e fu il primo a trovare una risposta.

Georg Cantor (1845-1918), matematico tedesco, anche se nato a San Pietroburgo, conseguì il dottorato a Berlino nel 1867 con una tesi sulla teoria dei numeri.

Spinto dall’eminente matematico dell’epoca Eduard Heine (famoso il teorema di Heine-Cantor in analisi; per chi volesse farsi una risata Heine Cantor (Alejandro math parody)), che ne riconobbe le grandi capacità, Cantor prese l’abilitazione come privatdozent (professore indipendente) ad Halle, presentando uno scritto sulle serie trigonometriche. All’epoca questo era un argomento di grande interesse per i matematici e i fisici, stimolati dalla scoperta fatta ad inizio ‘800 da Fourier che sotto determinate condizioni una serie trigonometrica può convergere a qualsiasi limite, o quasi. (Se vuoi saperne di più abbiamo scritto un articolo sulla trasformata di Fourier)

Nel suo scritto Cantor cercava di scoprire sotto quali condizioni due serie distinte convergevano allo stesso limite. Per farlo si trovò a dover trovare un modo per considerare nella loro interezza i punti in cui le funzioni analizzate si “comportano male” (per esempio i punti di discontinuità).

Cantor inizia così a sviluppare come disciplina autonoma la Mengenlehre: la teoria degli insiemi.

Ci si potrebbe chiedere quale sia la necessità di dover considerare un insieme infinito di punti nella sua interezza, vedremo oltretutto che questo comporta molti risultati a prima vista paradossali. Allora perché farlo? Il fatto è che trattare un insieme infinito come un’entità unica è analogo ad allontanarsi dallo schermo della televisione: guardando da vicino possiamo osservare i singoli pixel ma è impossibile scorgere le immagini nella loro completezza, è solo allontanandoci e considerando lo schermo nella sua interezza che possiamo decifrare l’immagine trasmessa.

Andando all’infinito, la complessità del finito si perde, e questo è un grande vantaggio!

Se ammettiamo l’esistenza di insiemi di infiniti elementi, allora possiamo iniziare a studiarne le proprietà. Per esempio, ha senso chiederci quanti elementi contiene un insieme infinito?

Secondo Cantor sì, e per farlo c’è bisogno di numeri diversi da quelli a cui siamo abituati, necessitiamo dei numeri transfiniti.

Che cos’è un numero transfinito?

Beh, intanto, cos’è un numero finito? Un’astrazione, un semplice prodotto dell’immaginazione. Si potrebbe dire ad esempio che il numero 2 è ciò che tutti gli insiemi di 2 elementi hanno in comune. Detta così sembra una definizione tautologica, e quindi non una buona definizione, ma possiamo renderla più rigorosa usando il concetto di cardinalità di un insieme.

Diciamo che due insiemi $A$ e $B$ hanno la stessa cardinalità se possiamo accoppiare i loro elementi in modo tale che ogni elemento di A sia associato esattamente ad un elemento di B e viceversa (una tale corrispondenza è detta biunivoca).

Vediamo per esempio la corrispondenza biunivoca tra l’insieme A degli Stati e l’insieme B delle capitali: ad ogni Stato è associata la sua capitale e viceversa ogni capitale è associata allo Stato in cui si trova. A e B hanno quindi la stessa cardinalità.

Osserviamo che abbiamo definito il concetto di stessa cardinalità senza avere avuto alcun bisogno di utilizzare la nozione di cardinalità, ma solo appoggiandoci alle funzioni biunivoche. Inoltre, un vantaggio di questo approccio è che possiamo usarlo anche per insiemi infiniti.

Ora possiamo dire che il numero 2 è la cardinalità di tutti gli insiemi che hanno la stessa cardinalità dell’insieme $\{a,b\}$.

Allo stesso modo possiamo inventarci un nuovo numero, il transfinito $\aleph_0$ (si legge Aleph-zero, Aleph è la prima lettera dell’alfabeto ebraico, il motivo del pedice zero sarà chiaro fra un momento) definito come la cardinalità di tutti gli insiemi che hanno la stessa cardinalità dell’insieme dei numeri naturali (tali insiemi sono detti numerabili).

In matematica però non possiamo dire che un tale numero $\aleph_0$ esiste se non è univocamente determinato, o se la sua esistenza genera una qualche contraddizione logica. (Si veda il Paradosso di Berry o il Paradosso di Richard per esempi di definizioni autocontraddittorie)

Un tale problema in realtà se l’era posto Leibniz(1646-1716), altro importantissimo matematico, ben 200 anni prima di Cantor. Leibniz si era accorto che accettando una tale definizione di cardinalità, è possibile giungere alla conclusione che i numeri naturali sono tanti quanti i numeri pari. In effetti è abbastanza semplice trovare una funzione biunivoca che associa ad ogni numero naturale un numero pari: $f(n)=2n$. Ma la stessa cosa accade anche per i numeri dispari ( $f(n)=2n-1$ ), o per i quadrati ( $f(n)=n^2$ ), e di questo se ne era accorto già Galileo a suo tempo. Tutto ciò è in evidente contraddizione col principio, già enunciato da Euclide, che afferma che “il tutto è maggiore di ogni sua parte”.

Fu proprio questo a far sì che Leibniz non accettasse l’esistenza dei numeri infiniti.

L’idea controintuitiva di Cantor

Ed è qui che entra in gioco Cantor: quando si trovò di fronte allo stesso dilemma, scelse la via opposta a quella di Leibniz. Creò un concetto di numero applicabile anche agli insiemi infiniti e accettò, contro l’intuizione, che un insieme infinito potesse avere la stessa cardinalità di un suo sottoinsieme proprio. Gli insiemi infiniti non sempre si comportano come quelli finiti, per spiegarlo Hilbert inventò il celebre paradosso dell’Hotel, su cui abbiamo scritto un articolo.

Questo passaggio è il più sottile e forse il più importante tra tutti quelli esposti in questo articolo. Non è questo infatti l’unico caso in cui la matematica porta a conclusioni che sfidano la nostra intuizione e si oppongono alla nostra esperienza quotidiana. L’abilità del matematico, e la genialità di Cantor nel nostro caso, sta nel discernere tra ciò che è contraddittorio col resto della matematica e cosa invece sembra contraddittorio per la nostra esperienza. Sono i momenti in cui qualcuno riesce a fare questa scelta in modo coerente quelli in cui si crea nuova matematica, e quindi nuova conoscenza. Che importa se definendo la cardinalità degli insiemi infiniti andiamo contro un principio che ci sembra evidente? Significa solo che l’evidenza ci ha ingannato!

Sono molteplici i casi in cui qualcuno ha sfidato un principio che sembrava ovvio per poi scoprire risultati importantissimi. (Pensate alla negazione del quinto postulato di Euclide e alle geometrie non euclidee!) E sono tantissimi i casi in cui la matematica porta a risultati paradossali per la nostra intuizione pur essendo assolutamente corretta.

Citando lo stesso Cantor: “L’essenza della matematica è la sua libertà”.

Torniamo ora alle sue scoperte matematiche. Dopo aver analizzato la corrispondenza biunivoca tra $\mathbb{N}$ e un suo sottoinsieme, prese in esame insiemi che erano, o sembravano, più grandi di quello dei numeri naturali: per esempio gli interi $\mathbb{Z}$, o i razionali $\mathbb{Q}$. Scoprì, con grande stupore, che anche questi insiemi potevano essere messi in relazione biunivoca con $\mathbb{N}$.

Per dimostrare che Q è numerabile basta ordinare i suoi elementi in una successione seguendo questo schema. Le frazioni in rosso sono quelle che non dobbiamo considerare, in modo che ogni numero razionale vi figuri una sola volta nella sua forma più semplice.

A questo punto tutto portava a pensare che se era possibile mettere in relazione biunivoca $\mathbb{N}$ con $\mathbb{Q}$, che sembrava molto più grande, allora sarebbe stato possibile trovare un modo per fare la stessa cosa con qualsiasi altro insieme infinito.

La grande conquista di Cantor fu quella di dimostrare che non è così: non è possibile trovare una biezione tra i numeri naturali e i numeri reali. Per farlo inventò un geniale metodo di dimostrazione che verrà poi sfruttato per raggiungere importantissimi risultati in matematica, logica e informatica durante tutto il ‘900.

Il metodo diagonale

Cantor parte con una classica assunzione per assurdo: supponiamo che i numeri reali siano numerabili. Osserviamo che possiamo considerare l’intervallo $(0,1)\subset\mathbb{R}$ in quanto, se questo non è numerabile, non lo sarà nemmeno $\mathbb{R}$.

Supponendo che $(0,1)$ sia numerabile, stiamo dicendo che esiste una funzione biunivoca che associa ad ogni numero reale in $(0,1)$ un numero naturale, e viceversa.

Allora possiamo costruire una lista con in prima posizione un numero reale $r_1$ associato a 1 tramite la nostra funzione biunivoca, in seconda $r_2$ associato a 2, e così via…

Esprimendo ogni numero reale attraverso la sua espansione decimale, una delle possibili liste si presenterà più o meno così:

$r_1=$ 0, 3 3 3 3 3 3 3
$r_2=$ 0, 3 1 4 1 5 9 2
$r_3=$ 0, 1 0 0 0 0 0 0
$r_4=$ 0, 0 1 2 3 4 5 6
$r_5=$ 0, 2 7 1 8 2 8 4
$r_6=$ 0, 5 7 7 2 1 5 6
0,

Se l’intervallo $(0,1)$ è numerabile allora questa lista infinita dovrà contenere tutti i numeri reali appartenenti ad esso, ma Cantor si accorse che è sempre possibile trovare un numero che non abbiamo nella lista. Consideriamo il numero $d$, definito in modo che abbia tutte le cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale, per esempio ottenuta sommando a tutte le cifre della diagonale +1.

$r_1$ 0, 4 (3+1) 3 3 3 3 3 3
$r_2$ 0, 3 2 (1+1) 4 1 5 9 2
$r_3$ 0, 1 0 1 (0+1) 0 0 0 0
$r_4$ 0, 0 1 2 4 (3+1) 4 5 6
$r_5$ 0, 2 7 1 8 3 (2+1) 8 4
$r_6$ 0, 5 7 7 2 1 6 (5+1) 6
0,

Allora $d := 0,421436…$ Questo numero è indubbiamente un numero reale compreso fra 0 e 1, ma non fa parte della lista che avevamo! Infatti è diverso da $r_1$ per la prima cifra decimale, da $r_2$ per la seconda…da $r_k$ per la $k-$esima. Abbiamo trovato quindi un numero reale dell’intervallo $(0,1)$ che non sta nella lista, contraddicendo l’ipotesi che nella nostra lista ci fossero tutti. Allora $(0,1)$ non è numerabile, e a maggior ragione non lo sarà $\mathbb{R}$. (Osserviamo che se anche aggiungessimo “manualmente” alla lista il numero $d$ appena trovato, potremmo comunque ripetere il ragionamento diagonale e trovare un $d’$ che non appartiene alla nuova lista)

Q.E.D.

(Incidentalmente, con questo risultato, Cantor trovò anche una nuova dimostrazione dell’esistenza di numeri trascendenti)

Teorema di Cantor

Quindi esistono almeno due infiniti diversi! L’infinito dei numeri naturali $\aleph_0$ e l’infinito dei numeri reali, che Cantor indica con la lettera $C$ (iniziale di Continuo), strettamente maggiore di $\aleph_0$.

Ma il genio di Cantor non si fermò qui! Intuì che il metodo diagonale usato poteva essere esteso a tutti i casi in cui, partendo da un insieme $A$ qualsiasi, si usano elementi di $A$ per etichettare un qualche insieme particolare composto da elementi di $A$.

Scopre quello che oggi è chiamato Teorema di Cantor: dato un qualsiasi insieme $A$, $\mathcal{P}(A)$ ha cardinalità strettamente maggiore di $A$. (Dove $\mathcal{P}(A)$ indica l’insieme delle parti di $A$, ossia l’insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di $A$)

La dimostrazione è un po’ astratta, ma si tratta solo di condensare il ragionamento diagonale:

Di nuovo, per assurdo, supponiamo che esista una funzione biunivoca $f-$ tra $A$ e $\mathcal{P}(A)$. In particolare, tale funzione dovrà essere suriettiva, ossia ogni elemento del codominio $\mathcal{P}(A)$ (ogni sottoinsieme di $A$ ) deve essere associato ad un elemento di $A$. Consideriamo il sottoinsieme di $A$ definito come $ \Delta $ ={$a \in A$ : $a ∉ f(a)$ }. $\Delta$ è costituito da tutti gli elementi $a$ di $A$ che non sono elementi del proprio corrispondente secondo $f$. $\Delta$ è un sottoinsieme di $A$, quindi, visto che abbiamo supposto che $f$ sia suriettiva, deve esserci un elemento $\delta$ di $A$ tale che $f(\delta)=\Delta$. Chiediamoci ora, $\delta$ è un elemento di $\Delta$? Se lo è, allora deve soddisfare la definizione di $\Delta$, cioè $\delta$ non deve essere elemento del suo corrispondente $f(\delta)=\Delta$. Ma allora $\delta\in\Delta$ e e solo se $\delta\not\in\Delta$. Da cui l’assurdo. Allora l’ipotesi iniziale è falsa: non esiste una funzione suriettiva tra $A$ e $\mathcal{P}(A)$.

Q.E.D.

Provato questo teorema abbiamo in mano un metodo effettivo per costruire, a partire da un qualunque insieme, un insieme più grande: il suo insieme delle parti.

Quindi da $\mathbb{N}$ possiamo costruire $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, che ha cardinalità strettamente maggiore di $\mathbb{N}$ (è possibile dimostrare che ha la stessa cardinalità dei reali $C$), a partire da $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ possiamo reiterare il procedimento per costruire un insieme più grande (che ha la cardinalità dell’insieme delle funzioni da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$)…

È la prova che esistono infiniti infiniti, e che non esiste un insieme più grande di tutti!

Ma allora come c’è una successione infinita di numeri finiti 1, 2, 3, …, così esiste una successione infinita di transfiniti $\aleph_0$, $\aleph_1$, $\aleph_2$, …, ognuno maggiore del precedente.

Cantor arrivò anche a sviluppare un’aritmetica coerente dei numeri transfiniti, nella quale ad esempio: $\aleph_0 + \aleph_1 = \aleph_1$ e $\aleph_1 \cdot \aleph_2 = \aleph_2$.

(la proprietà dell’hotel di Hilbert corrisponde al fatto che $\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0$; per non riuscire ad accomodarli nelle stanze, dovrebbero arrivare $\aleph_1$ clienti)

Le critiche e la depressione di Cantor

Potete immaginare, con delle idee così rivoluzionarie, riguardo un soggetto come l’infinito, che abbraccia matematica, filosofia e teologia, quante critiche dovette fronteggiare Cantor.

Cantor stesso, che era cattolico, quando scoprì che esistevano più infiniti, si recò in Vaticano preoccupato perché, se la Chiesa cattolica identificava Dio con l’infinito, nel momento in cui di infiniti ce ne erano tanti, allora si poteva immaginare che i suoi lavori dessero supporto al politeismo. (Lascio un link per chi volesse approfondire questo aspetto)

Ma Cantor non fu osteggiato soltanto dalla filosofia e dalla religione, anche illustri matematici dell’epoca erano ostili alle sue idee. Sembra che Kronecker, suo vecchio insegnante all’università, cercò di impedire la pubblicazione dei suoi lavori. Al tempo girava anche un aneddoto, probabilmente apocrifo, secondo il quale persino il grande Henri Poincaré avrebbe detto che “un giorno la teoria degli insiemi di Cantor sarà considerata una malattia dalla quale si è guariti”.

Oltre a tutto questo Cantor fu ossessionato per tutta la vita dall’ Ipotesi del Continuo: aveva scoperto che C era maggiore di $\aleph_0$, quindi doveva necessariamente essere uno tra $\aleph_1$, $\aleph_2$, … ma quale di questi? Cantor ipotizzò che fosse proprio $\aleph_1$, e quindi che non esistesse nessun insieme dalla cardinalità compresa tra $\aleph_0$ e C.

Nonostante anni e anni di tentativi, non riuscì mai a dimostrare o confutare la sua ipotesi, e alla luce delle nostre conoscenze, è molto triste leggere di come cadde in depressione anche per questo motivo. Basandosi sui teoremi di incompletezza di Gödel, infatti, nel 1963 Paul Cohen riuscì a dimostrare che l’ipotesi del continuo non è decidibile nel sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel.

Significa che il povero Cantor passò anni alla ricerca di una dimostrazione che non poteva esistere, forse l’incubo più spaventoso per un matematico.

Cantor durante la sua vita, per diverse ragioni, non ultima la sua precaria salute mentale, soffrì di diversi crolli nervosi, che lo portarono ad accantonare la matematica per lunghi periodi, per occuparsi di filosofia, teologia e soprattutto della questione shakespeariana. Era convinto che in realtà le opere attribuite a Shakespeare fossero state scritte da Francis Bacon e pubblicò diversi scritti a riguardo.

Georg Cantor morì per una crisi cardiaca nel 1918, lasciandoci in eredità la teoria degli insiemi, sulla quale poggia le fondamenta tutta la matematica moderna.

Concludiamo come abbiamo iniziato, con una citazione del grande Hilbert:

“Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi”


Se ti interessano altri articoli dedicati ai grandi matematici eccone un paio:

Il sogno di Leibniz: la caratteristica universale

Poincaré: l’ultimo universalista

Henri Poincaré : L’ultimo universalista

Nel 1954 la comunità scientifica ha celebrato il 100° anniversario della nascita di Henri Poincaré. In quegli anni, la fama di Poincaré non era ai suoi massimi livelli tra i matematici e nelle menti matematiche che al tempo erano invase dallo spirito di un altro grande, David Hilbert.

Nonostante ciò, l’anniversario fu molto importante nei vari posti dove il nome o la presenza di Poincaré hanno lasciato il segno. Nel 2004, nel momento del 150° anniversario dalla sua nascita, la sua popolarità aveva raggiunto livelli molto più alti. Infatti i suoi contributi nel campo della teoria del caos e della relatività speciale hanno reso il suo nome e la sua foto famosi su molte importanti riviste scientifiche.

Nelle prossime righe, andremo ad analizzare la vita di questo grande genio, considerato l’ultimo matematico universalista, ovvero in grado di occuparsi di un’immensa varietà di temi nel campo matematico. Ah…giusto per farti capire il livello di questi universalisti (se già non avessi sentito questo termine), prima di lui c’era un altro “ragazzino” chiamato Carl Friedrich Gauss 😉 (se vuoi una biografia di Gauss trovi un nostro articolo qui: Gauss: Il principe dei matematici).

Ma bando alle ciance..andiamo a scoprire un po’ di più sulla sua vita e sui suoi importanti contributi al mondo della matematica e della scienza.

Ah dimenticavo…se vuoi che anche i tuoi amici sappiano chi era questo grande matematico (e contaminiamoli tutti questi amici che dicono che la matematica fa schifo 😉 ), fai una storia su Instagram con lo screen a questo articolo e tagga la pagina @mathoneig 🙂

Henri Poincaré

Famiglia, infanzia e studi di Poincaré

Poincaré è nato il 29 Aprile 1854 a Nancy. La sua famiglia era ben nota nella regione della Lorena e aveva un albero genealogico ricco di scienziati: il suo bisnonno fu un farmacista, suo papà un neurologo e professore nella Facoltà di Medicina, suo zio si laureò all’École polytechnique e svolse il ruolo di ispettore generale di strade e ponti.

Tranne per una pericolosa malattia da lui contratta a 5 anni, l’infanzia di Poincaré assomigliò a quelle descritte nei libri di fiabe vecchio stampo. I giochi che si inventava con sua sorella e i suoi cugini rivelavano la sua immaginazione senza confini. In questi anni, inoltre, fu seguito da un insegnante privato per coltivare i suoi talenti e la sua memoria.

Già alle superiori, a Nancy nella scuola che ora è nota come Lycée Henri-Poincaré, fu presto notato come uno studente di primo livello, mostrando di essere un “mostro della matematica” negli ultimi anni di liceo. Dopo aver conseguito la maturità in lettere e scienze, diventò parecchio famoso durante i due anni trascorsi a prepararsi per il test di ammissione all’università di matematica (cosa da tutti insomma 😉 )

Lycée Henri-Poincaré

Si classificò come il quinto miglior studente ammesso all’ École normale supérieure e come il migliore ammesso all’École Polytechnique. Poincaré decise di optare per quest’ultima università.

In seguito andò anche all’École des Mines, dove si appassionò alla cristallografia da un punto di vista matematico, portandolo poi ad interessarsi alla teoria dei gruppi per molto tempo. Dopo essergli stato impedito di seguire le lezioni alla Sorbona, Poincaré ricevette la sua laurea in Matematica dalla Facoltà di Scienze di Parigi nell’Agosto del 1876.

Durante gli ultimi suoi due anni all’École des Mines, preparò la sua tesi di dottorato in matematica, che fu poi difesa il 1° Agosto 1879. Questa tesi mirava ad estendere alle equazioni alle derivate parziali alcuni risultati classici relativi alle equazioni differenziali ordinarie.

Carriera e personalità

Poincaré iniziò a lavorare come ingegnere minerario a Vésoul nell’Aprile del 1879. La sua carriera accademica iniziò nella facoltà di Scienze di Caen, dove insegnò analisi a partire dal 1879. Due anni dopo si spostò a Parigi sempre per insegnare analisi.

Successivamente, nel 1885, è stato nominato professore di fisica meccanica e fisica sperimentale, nel 1886 professore di fisica matematica e probabilità e in seguito nel 1896 di astronomia matematica e meccanica celeste.

I suoi primi studenti descrivevano Poincaré come un insegnante più devoto che brillante. Ecco alcune frasi che descrivono come erano le sue lezioni:

Dall’inizio, la lavagna era piena di formule, e chi seguiva le sue lezioni aveva una straordinaria sensazione di potere; le parole gli uscivano veloci e senza esitazione. Le sue lezioni erano quasi solenni.

Robert d’Adhémar

Non si può dire che Poincaré fosse un professore meraviglioso. Non aveva i doni oratori richiesti per eccellere nell’insegnamento.

Maurice d’Ocagne.

L’ho visto allontanarsi dai suoi appunti molte volte, annunciando che avrebbe provato un nuovo metodo e improvvisato davanti a noi alla lavagna.

Léon Brillouin

Poincaré, nel 1910 e 1911, era uno scienziato famoso e attraeva molta gente comune di Parigi ad ascoltarlo alle lezioni. Durante le prime lezioni, la stanza era più che piena, ma rapidamente e felicemente “il pubblico” diminuiva presto. Dalla terza lezione in poi, solamente pochi studenti e pochi dei curiosi rimanevano. Poincaré finiva sempre con delle formule semplici, tradotte in un linguaggio pieno di immaginazione, che eravamo obbligati a capire.

Louis Bourgoin
Poincaré

Senza perderci oltre su queste descrizioni, andiamo a parlare del suo famoso Annus Mirabilis ovvero anno meraviglioso.

Annus Mirabilis e periodo molto prolifico

La permanenza a Caen fu senz’altro un doppio annus mirabilis per Poincaré. Tra l’Agosto 1879 e l’Ottobre 1881, non solo sposò Louise Poullain d’Andecy , ma mandò anche più di 20 note alla Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris relative a tre argomenti completamente diversi:

  • aritmetica delle forme
  • teoria qualitativa delle equazioni differenziali
  • funzioni automorfe.

Il suo studio riguardo le forme quadratiche e cubiche fu ispirato dal lavoro di Charles Hermite, che al tempo era punto di riferimento della matematica francese. Lui fu professore di analisi di Henri all’École Polytechnique, e uno dei suoi risultati più rilevanti riguarda la dimostrazione del carattere trascendente del numero $e$.

Dal punto di vista delle equazioni differenziali, in questo periodo è da ricordare l’utilizzo che Poincaré faceva di strumenti topologici per studiare la natura dei punti singolari e cicli limite. Per esempio è da ricordare lo studio delle orbite periodiche del problema dei tre corpi o anche delle biforcazioni delle forme di equilibrio di un fluido in rotazione all’aumentare della velocità di rotazione.

In questi anni vinse molti riconoscimenti, ma uno in particolare è da ricordare. Nel 1885 il re svedese Oscar II decise di celebrare il suo sessantesimo compleanno assegnando un premio che incoronasse una grande scoperta nel campo dell’analisi matematica. Il premio era anche parecchio consistente. Ogni progetto da sottomettere avrebbe dovuto essere legato ad uno dei seguenti argomenti:

  • Il problema degli n-corpi nella meccanica celeste
  • La generalizzazione delle funzioni ultraellittiche di Fuchs
  • Le funzioni definite da un’equazione differenziale del primo ordine
  • Le relazioni algebriche tra due funzioni di Fuchs aventi un gruppo comune.

Premetto che non so nulla, o quasi, riguardo questi argomenti, però se ti possono interessate ti consiglio di farti qualche ricerca su Google, di sicuro troverai brevi spiegazioni che ti chiariscono di cosa si parla.

Beh, detto ciò…la competizione rientrava perfettamente negli interessi matematici di Poincaré, che decise di lavorare alla prima domanda. Nel maggio 1888 consegnò un memoriale di 160 pagine intitolato “Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique”, che evidentemente è legato al problema dei 3-corpi.

Nonostante non rispose completamente alla domanda, la commissione (composta da Weierstrass, Hermite e Mittag-Leffler) gli assegnò il premio, aggiungendo che :

È il lavoro approfondito ed originale di un genio della matematica, che è anche uno tra i matematici più grandi di questo secolo. Le domande più importanti e difficili, come la stabilità del sistema, sono trattate usando metodi che aprono una nuova era nella meccanica celeste.

La Commissione

In seguito Poincaré scoprì che nel suo memoriale c’erano alcuni errori anche parecchio importanti, infatti la conclusione riguardo la stabilità del sistema solare non era valida! Nel Giugno 1890 pubblicò una nuova versione del memoriale, lunga 270 pagine. Nel correggere i suoi errori, Poincaré scoprì una miniera d’oro per la matematica e la scienza in generale essendo il pioniere della Teoria del Caos.

Effetto Farfalla

In uno dei suoi scritti più famosi, successivamente spiegò quasi in modo profetico, le possibili conseguenze delle scoperte che fece in quel memoriale:

Può succedere che piccole differenze nelle condizioni iniziali di un sistema possano produrre grandi differenze in fenomeno finale .

Poincaré

Questo diede quindi origine al famoso effetto farfalla, ma gestire questa farfalla fu molto difficile per Poincaré.

Fisica matematica

Il periodo straordinario e turbolento in cui Poincaré si dedicò alla ricerca per il premio del re svedese non gli impedì di prendere davvero seriamente la sua posizione come professore di fisica matematica. Anche se non era, come abbiamo già visto, un professore straordinario, era uno davvero coscienzioso. Ogni semestre sceglieva nuovi argomenti e scriveva delle premesse/prefazioni agli appunti dei suoi migliori studenti, modificandoli anche leggermente. Dopo questa revisione li pubblicava tutti, organizzandoli in più di una dozzina di volumi, coprendo tutta la fisica classica (idrodinamica, elasticità, teoria del potenziale, ottica, elettromagnetismo) e la probabilità, dove Poincaré mostrò la sua creatività e le sue doti matematiche.

I suoi libri sulla teoria di Maxwell contengono le origini della relatività speciale e lo portarono ad analizzare, correttamente, e introdurre le trasformazioni di Lorentz.

Riguardo i contributi di Poincaré alla fisica matematica trovi un libro molto interessanti qui:

Nel 1905 Poincaré pubblicò una serie di note ed un memoriale sulla dinamica dell’elettrone, contenenti tutta la matematica della relatività speciale. Per questo motivo gli storici della scienza stanno ancora discutendo sulla paternità della relatività speciale tra Einstein e Poincaré. Di sicuro si sa che Poincaré anticipò il cosiddetto Spaziotempo di Minkowski (non ho mai studiato la teoria della relatività quindi mi limito a riportare quanto ho trovato online, puoi vedere qualcosa su questo risultato qui: Relatività Ristretta 7 – Lo spazio Tempo di Minkowski).

Spaziotempo di Minkowsi

Tra il 1890 e 1895 Poincaré dedicò tre lunghi memoriali alle equazioni alle derivate parziali della fisica matematica classica. Una delle ultime conferenze a cui partecipò fu il primo Congesso di Solvay, a Bruxelles, dal 30 Ottobre al 3 Novembre del 1911. Fu tenuto all’Hotel Metropole e tra i partecipanti si possono ricordare Lorentz, Poincaré, Planck, Marie Curie, Einstein, Perrin, Langevin, Rutherford e molti altri che, insieme, discussero sui più recenti sviluppi nella teoria quantistica.

Con 49 candidature tra il 1901 e il 1912 Poincaré è lo scienziato più nominato della storia al premio Nobel per la fisica. Tuttavia non riuscì a togliersi lo sfizio di vincerne uno, morì infatti senza aggiungere il Premio Nobel alla lista dei suoi successi scientifici.

Primo congresso Solvay

Congettura di Poincaré

Tra il 1892 e il 1901 Poincaré creò, quasi da zero, gli elementi fondanti della topologia algebrica. Abbozzò addirittura la struttura della de Rham cohomology. Inoltre dimostrò che ogni varietà 2-dimensionale che sia compatta e semplicemente connessa (per esempio un cubo) è omeomorfa alla classica sfera (omeomorfa vuol dire che si può passare dal cubo alla sfera, supponendoli fatti di gomma, semplicemente rimodellandola, senza strappare o tagliare nulla…l’esempio classico è che una tazza e una ciambella sono omeomorfi).

Congettura di Poincaré

Ma non si fermò qui…andò oltre ed enunciò la famosa “congettura”:

Ogni varietà 3-dimensionale che sia compatta e semplicemente connessa è omeomorfa alla sfera 3-dimensionale.

Henri Poincaré

Questa ad oggi non è più una congettura, ma un teorema. Essa è infatti l’unico problema del Clay Mathematics Institute che in questi anni è stato dimostrato. Se ti interessano questi famosi Problemi del millennio, trovi un articolo dedicato qui: I 7 problemi del millennio.

Se ti interessa approfondire con calma questa “congettura” e la sua storia ti consiglio vivamente questo libro, le premesse sembrano ottime ma non l’ho letto al momento in cui sto scrivendo:

La dimostrazione è dovuta ad un matematico russo, Perelman, che si rifiutò anche di ritirare il premio monetario assegnato a questo problema:

Conclusione

Quando Poincaré morì improvvisamente nel 17 Luglio 1912, a causa di un’embolia a seguito di un intervento, il mondo scientifico era ancora lontano dall’essere pronto a beneficiare dei suoi risultati scientifici. Secondo il grande matematico francese Jean Leray:

Molti pochi uomini sono stati capaci di seguire i suoi ragionamenti; praticamente non aveva studenti. Dopo un secolo di lavoro nella matematica, possiamo capire i suoi risultati e pensieri più facilmente, parlare di essi in un modo più familiare; ma più li approfondiamo, più è naturale ammirare e rispettare il grande Poincaré

Jean Leray

Concludiamo con le parole pronunciate dal famoso fisico matematico David Ruelle:

La fisica matematica prova a capire un mondo di sconosciute e infinite complessità con strumenti che sappiamo essere limitati. Questo richiede audacia e modestia allo stesso tempo. Chiaramente Henri Poincaré non si fece mancare nè l’una nè l’altra qualità.

David Ruelle

Su Poincaré e i suoi traguardi scientifici si potrebbe dire molto altro, ma preferisco limitarmi a quanto scritto. Ti lascio qui di seguito qualche risorsa se vuoi approfondire personalmente la sua vita e le sue opere:

Ah..se sai il francese c’è questo documentario fatto davvero bene (è solo un parere che ti dò ad una prima occhiata dato che al momento non capisco il francese 🙂 ) e lo trovi qui:

Se ti interessano articoli di approfondimento su altri matematici ti consiglio questi:

Il sogno di Leibniz: la caratteristica universale

Cantor: quanto è infinito l’infinito?

Caffè matematico n°6: Cédric Villani

Matematico francese, 43 anni, attivo nel campo delle equazioni differenziali e della fisica matematica, conosciuto per il suo look fatto di cravatte da dandy, panciotti con orologio nel taschino e una spilla a forma di ragno sul bavero della giacca. Ma chi é Cédric Villani?! Come mai tutti ne parlano?

Biografia

Cèdric Villani compie i suoi studi all’École Normale Superiore a Parigi (la sorella maggiore della Scuola Normale di Pisa, per intenderci, nonchè uno degli istituti più importanti dell’intera Europa) dal 1992 al 1996, dove diventa anche assistant professor. Nel 2000 si trasferisce a Lione, dove ottiene la cattedra e lavora tuttora, mentre dal 2009 è anche direttore dell’isituto Poincaré.

Sempre nel 2009 riceve la Medaglia Fermat mentre nel 2010 riceve la Medaglia Fields. Ha solo 37 anni.

Nel 2012 esce il suo celebre libro Théorème vivant (il Teorema vivente, edito da Rizzoli) nel quale spiega il suo lavoro e cosa vuol dire fare ricerca nel ramo della matematica. Nel 2016 è protagonista del TED talk di Vancouver [3] mentre dal 2016 è un parlamentare della legislazione Macron.

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Vita privata e celebrità

Cédric Villani è considerato un personaggio curioso per il suo aspetto e le sue passioni (divora fumetti manga giapponesi), dotato di un intuito fuori dal comune. Un genio della matematica, un vero ninja, in grado però di spiegare anche i temi più complessi con parole semplici e al grande pubblico. In molti lo hanno conosciuto con la pubblicazione del già citato saggio «Il Teorema vivente. La mia più grande avventura matematica». [1] Lo puoi acquistare qui se sei interessato 😉 )

Ma cosa fa dunque Cédric Villani? Ebbene i suoi studi riguardano la teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali coinvolte nella meccanica statistica; in particolare sull’equazione di Boltzmann, sulla quale ha vinto la celebre Medaglia. Ha lavorato inoltre sulla teoria del trasporto ottimale e sulle sue applicazioni in geometria differenziale. So che alcuni di voi potrebbero essersi persi, però il tempo di un caffè non è sufficiente per dilungarsi su cosa vertano questi argomenti. Per conoscenza però vi dico solo che sono alcuni degli argomenti più “caldi” della fisica matematica moderna.

Il sogno della «città della scienza»

A qualcuno leggendo le prossime righe potrebbe tornare in mente Platone e la sua idea della società perfetta guidata dai filosofi… ma vediamo perchè 😉

Nelle ultime elezioni legislative francesi è stato candidato per il dipartimento francese della regione dell’Ile-de-France (Francia sud, per capirci, dove ci sono Lione, Grenoble e Saclay). Proprio là dove si trova la città di Saclay, considerata la Silicon Valley alla francese, e dove Villani avrebbe il desiderio di creare una cittadella della scienza e della tecnologia. Questo progetto è da molti considerato quasi utopico, ma se ci crede una Medaglia Fields, merita di farci un pensierino…

Spero con queste poche righe di avere suscitato in voi l’interesse per questa eclettica persona dagli interessi più svariati. Per approfindimento ti consiglio questa intervista sul sito di Madmaths! [2] Attualmente in Francia è considerato come una celebrità e di sicuro se ne sentirà ancora parlare di lui.

A presto col prossimo caffè matematico 😉

Au revoir

 

Bibliografia

1. Bibliografia esterna
2. Bibliografia esterna
3. TED Vancouver

Caffè matematico n°5 : La somma di tutti i naturali

Già Gauss quando aveva 7 anni aveva trovato una formula per calcolare la somma dei primi N numeri naturali… Ma quanto fa la somma di tutti i numeri naturali? “Ovviamente è infinito” verrebbe da dire… e invece NO! la somma esiste, è finita e fa -\frac{1}{12}

Somma numeri naturali

Dove sta l’inganno?

Spoiler: non trattate i passaggi matematici come oro colato, l’idea di fondo è sbagliata! (si vedano i commenti finali a tal proposito)

Scherzi a parte, la serie \sum_{n=1}^{\infty} n è ovviamente divergente (cioè fa +\infty), tuttavia se la tronchiamo ad un certo N la somma, essa risulta ben definita e fa \frac{(N+1)N}{2}

Tuttavia se facciamo tendere la serie a inifinito, le cose cambiano… Prendiamo il problema con leggerezza e vediamo come dimostrare che la somma fa -\frac{1}{12}!

Vi anticipo già che nella dimostrazione non c’è nessuna intuizione perchè per come il problema è definito esso è tremendamente anti-intuitivo!

Siamo ai primi del ‘900 e un talentuoso fisico indiano annota sul suo taccuino il giusto risultato a questo problema. Stiamo parlando del celebre Ramanujan[1] il quale risolvette questo problema in modo euristico; l’idea di base si fondava sul fatto che si poteva trasformare la serie 1+2+3+4+… in 1-2+3-4+… (per informazioni riguardo alla serie alternata rimando a link in bibliografia ) sottraendo 4 al secondo termine, 8 al quarto, 12 al sesto e così via. Il totale sottratto era quindi 4+8+12+16+… , ovvero quattro volte la serie originale!

Già Eulero, molti anni prima, aveva dimostrato che (paradossalmente!) la somma alternata faceva 1/4 ! Quello che fece Ramanujan fu di porre semplicemente

c=1+2+3+4+\dots e

4c =4+8+12+16+\dots.

Dunque il gioco era fatto! Basta sottrarre la seconda dalla prima e si ottiene semplicemente:

-3c=c-4c=(1+2+3+4+...)-(4+8+12+16+...)=1-2+3-4+\dots

quindi abbiamo vinto perchè Eulero aveva già giocato a questo gioco! Basta porre:

-3c=\frac{1}{4} ottenendo dunque c=-\frac{1}{12}


Attenzione! Il risultato rimane in ogni caso errato!

Questo risultato è chiaramente errato in quanto le serie infinite vanno maneggiate prima trovando la funzione generale somma e poi passando al limite all’infinito. Infatti se si manipolano le serie inifinte come fossero finite (come nella “soluzione” riportata da Ramanujan), è possibile dimostrare praticamente qualsiasi risultato. [2]

Il principio di fondo è che la somma è definita in modo induttivo e dunque non si può usare l’induzione con troppa leggerezza quando si parla di somme infinite!


Nota (importante)

Sebbene come precedentemente detto questo risultato è sostanzialmente errato, quest’ultimo trova notevoli applicazioni in analisi complessa, teoria dei numeri, teoria quantistica dei campi e teoria M (per gli amici: teoria delle stringhe). Il motivo per cui questo è valido è molto più profondo ed è legato al fatto che per particolari funzioni un approssimazione finita di somme infinite produce un errore tendente a zero (per chi ne sa un po’ di più, sto parlando ovviamente dell’operatore troncamento).

Galois – Il profeta che non aveva tempo

Sfortunatamente non si comprende come i libri scientifici più validi siano quelli in cui

l’autore indica chiaramente cosa non sa;

un autore fa infatti maggiormente del male ai suoi lettori quando nasconde le difficoltà.

Évariste Galois (25 Ottobre 1811 – 31 Maggio 1832)

Évariste Galois – Il profeta

Rivoluzionario, guerrafondaio, irrispettoso, insofferente verso la mediocrità, passionale e romantico. Del tutto incostante negli studi; geniale, ma refrattario all’istruzione formale e insofferente verso chi non era in grado di seguirlo mentre svolgeva complicati calcoli a mente (inclusi i propri esaminatori). Ancora diciannovenne aveva già risolto un problema che resisteva da secoli agli attacchi dei matematici, ma poiché pochissimi lo avevano capito, era convinto che sarebbe stato dimenticato.

Eppure la storia oggi gli rende giustizia ricordandolo come uno dei grandi della matematica. Forse il migliore algebrista di sempre. Ma chi era dunque Galois? Perché viene ricordato come l’ultimo matematico romantico?

Galois

Una vita appassionata

1811. L’Impero di Napoleone è all’apogeo. La campagna di Russia è alle porte. Ed è in questo clima che alle porte di Parigi, a Bourg-la-Reine, il 25 ottobre nasce Évariste Galois. Già da giovanissimo mostrò tutti i caratteri dell’énfant prodige. Leggeva e studiava manoscritti dei grandissimi del tempo: Lagrange, Gauss e Abel. Tuttavia mentre i suoi maestri di Matematica lo incoraggiavano e lo seguivano, quelli di tutte le altre materie lo ritenevano tutt’altro che un genio: non si applicava, non eccelleva in nessuna materia che non fosse la matematica e come se ciò non bastasse non si faceva nemmeno problemi a nascondere la sua insofferenza verso le cariche istituzionali che non gli andavano a genio.

Dal padre, sostenitore della Repubblica e sindaco del proprio villaggio nel periodo della Restaurazione, e dallo zio paterno (ufficiale napoleonico) prende la passione politica e comincia ad accostarsi al movimento repubblicano. Tuttavia il suicidio del padre assurdamente provocato per ragioni politiche segnerà profondamente lo spirito del giovane figlio.

Un matematico incompreso

Galois trascorreva talmente tanto tempo in profondi studi astratti che i suoi contemporanei non lo capivano. Eccone un esempio. Siamo nel 1829. Gaois ha 18 anni. I suoi lavori riguardavano le frazioni continue e la scoperta di nuovi insiemi numerici. Vuole entrare nel più prestigioso istituto di matematica dell’epoca: l’Accademia delle Scienze di Parigi. Presenta come domanda per l’ammissione alcune note sulla risoluzione tramite radicali di equazioni algebriche. Teniamo a mente che gran parte dell’algebra moderna viene da quelle note (se vuoi vedere qualche applicazione delle sue scoperte ecco un nostro recente articolo: I problemi con riga e compasso). I professori del tempo, restii alle idee di un diciottenne e abituati a ben altri calcoli, rifiutano il lavoro. Altri addirittura cestinano le note. Figuratevi come non reagì Galois che non solo si riteneva superiore alla sua commissione giudicatrice ma si mise addirittura a discutere con loro rinfacciandogli di non aver capito la portata delle sue idee.

Dovette a malincuore ripiegare sulla ben meno prestigiosa Scuola Normale.

Il matematico romantico

Cambiando scuola però i problemi non finirono. Durante i moti del 1830 ha i primi contrasti con le autorità. Ma non si piega. Al contrario, aumenta la propria posizione radicale. Viene prima arrestato, sbattuto in prigione e poi espulso dalla Scuola.

Alexandre Dumas a proposito dell’evento incriminato dell’arresto del giovane scrive:

All’improvviso, nel bel mezzo di una conversazione privata tra me e la persona seduta a sinistra, le mie orecchie sentirono il nome di Luigi Filippo, seguito da cinque o sei fischi. Mi voltai. A quindici o venti posti di distanza da me si stava svolgendo una delle scene più animate della serata. Un giovane che teneva nella stessa mano un bicchiere e un pugnale aperto cercava di farsi sentire dagli altri.
Si trattava di Évariste Galois. Riuscii a percepire solo che si trattava di una minaccia, e che era stato pronunciato il nome di Luigi Filippo. Il coltello aperto lasciava trasparire le intenzioni del giovane.

Uno spirito passionale

Rilasciato dal carcere nel 1832, si invaghisce di una ragazza. Da qui in poi ci sono ancora molte ombre sulle sua vita ma vi posso raccontare quella che la versione più accreditata racconta.

Lei si chiamava Stephanie Potterin du Motel e Galois l’aveva conosciuta solo pochi mesi prima. La relazione tra i due, però, si era interrotta quasi subito per ragioni che non sono note. Si sa solo che di lì a poco Galois fu sfidato a duello per difendere l’onere della donzella e a sfidarlo fu Ernest Duchatelet, “patriota” e una delle migliori pistole di Francia. E tirarsi indietro non era contemplabile all’epoca.

Oggi possiamo dire con un certo grado di sicurezza che quella di Galois fu probabilmente una congiura: tutto fu organizzato in modo che il giovine si trovasse nel posto giusto al momento sbagliato.

Galois sapeva che quella sarebbe stata la sua ultima notte. Rabbiosamente si rinchiude in casa per raccogliere tutti i suoi lavori e cercare di commentarli in modo che qualcuno possa un giorno riprenderli e fare in modo che le sue idee non vadano perdute. A margine dei fogli si può spesso leggere “non ho tempo… non ho tempo” proprio ad indicare l’ineluttabilità del momento e la pressione che si sentiva addosso… Provate ad immaginare cosa vuol dire avere la completa padronanza di un argomento che attanaglia la mente di matematici illustri da secoli, sapere che da lì a qualche ora la vostra morte si sta avvicinando e non avere il tempo per poter ordinare le vostre idee per evitare che vadano perdute!

Ed è proprio in questa notte che scrive la celebra lettera all’amico Chevalier. Essa è oggi considerata il suo testamento spirituale ai posteri, nonché base della moderna matematica. Nella stessa lettera si pregava Chavalier di far recapitare a Gauss e Jacobi tutti i lavori sulla sua opera di matematico.

Pregherai pubblicamente Jacobi o Gauss di dare il loro parere, non sulla verità, ma sull’importanza dei teoremi. Dopo questo ci sarà, spero, qualcuno che troverà il suo profitto a decifrare tutto questo guazzabuglio”.

Personalmente, l’ultima volta che ho controllato il profitto si è trovato eccome!

Galois inoltre lascia nella lettera i principali teoremi della futura teoria dei gruppi che porta il suo nome e il legame profondo con la teoria della risoluzione algebrica delle equazioni.

 

La teoria di Galois

Prima di concludere però vorrei fare un breve accenno sulla teoria dei gruppi citando un esempio che ho trovato online a questa pagina.

Considerate una gara di ciclismo a cui partecipano solo tre corridori. Quanti sono i possibili esiti della gara se i partecipanti non possono tagliare il traguardo contemporaneamente? Se indichiamo i ciclisti con i simboli A, B, C, il problema dei possibili esiti della gara sta allora nel capire in quanti e quali modi si possono mettere in ordine gli oggetti A, B, C.

Un modo efficace di procedere è di mettere in prima posizione, a turno, uno degli elementi e vedere cosa succede dopo, nelle altre posizioni. Per esempio, se il ciclista A finisce primo, negli altri due posti, cioè in seconda e in terza posizione, possono andare solo gli altri due elementi, e in due soli modi possibili; ripetendo il ragionamento per B e C si vede che i modi possibili per ordinarli sono 6, cioè in matematichese 3! = 3\times 2\times 1 =6 .

Una sostituzione equivale a operare in un certo modo sugli elementi A, B, C, rispetto a una sostituzione di base (per esempio ABC) presa come riferimento. Allora, la sostituzione CBA corrisponde al fatto che A→C, B→B, C→A; cioè, in sostanza, al fatto che A e C si sono scambiati di posto.

Inoltre, le sostituzioni possono essere anche moltiplicate tra loro, un po’ come si fa con i numeri. Se avete la sostituzione CBA (A→C, B→B, C→A) e la sostituzione ACB (A→A, B→C, C→B), fare il prodotto tra le due sostituzioni vuole dire applicarle successivamente: si ottiene così (A→C→B, B→B→C, C→A→A), cioè BCA.

Esiste sempre la sostituzione che lascia inalterato il risultato finale del prodotto, cioè l’elemento neutro (è la sostituzione identica ABC, A→A, B→B, C→C) e la sostituzione che moltiplicata per un’altra dà come risultato la sostituzione identica ABC.

Il concetto di Gruppo

Queste sono alcune delle principali proprietà di ciò che nella matematica moderna va sotto il nome di gruppo. Ossia, l’insieme delle sostituzioni su tre elementi possiede una struttura di gruppo; e il discorso è valido indipendentemente dal numero n di oggetti considerati.

L’idea di gruppo di sostituzioni è emersa soprattutto in relazione allo studio delle equazioni algebriche, come per esempio l’equazione: x^2-2=0. In questo caso, si tratta di un’equazione molto semplice da risolvere, ma quando l’equazione è più complessa, in particolare quando è più alto il suo grado, allora il gruppo di sostituzioni permette di risolvere il problema in quella che è ora nota come teoria di Galois.

Il matematico che non aveva tempo

La mattina del 29 maggio una carrozza viene a prendere Galois. Lo condurrà in una pineta. Non sarà lui il vincitore del duello. A ritrovarlo è un contadino del luogo.

Prima di morire disse al fratello:” Ho bisogno di tutto il mio coraggio per morire a 20 anni”. Il 30 maggio 1832 Évariste Galois muore per traumi subiti allo stomaco da un colpo di arma da fuoco in ospedale. Non aveva nemmeno 20 anni. Viene sepolto in una fossa comune fuori Parigi, dove ancora risiede.

“Mantenete la mia memoria, perché la sorte non mi ha dato abbastanza vita affinché la patria conosca il mio nome

I lavori di Galois rimasero pressoché sconosciuti fino al 1846, quando il matematico francese Joseph Liouville li pubblicò sul suo Journal de mathématiques pures et appliqueés, ben 14 anni dopo.

Oggi il suo nome è leggenda.

 

A presto con il prossimo articolo,

Au revoir

Erik

Ceterum censeo festascienze facendam esse