L’infinito! Nessun altro problema ha mai scosso così profondamente lo spirito umano; nessuna altra idea ha stimolato così proficuamente il suo intelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di chiarificazione che quello di infinito

D. Hilbert

Quanti sono i numeri naturali?

Infiniti!

Bene, ma…”quanto” infiniti?

Cantor fu forse il primo a porsi una tale domanda, e fu il primo a trovare una risposta.

Georg Cantor (1845-1918), matematico tedesco, anche se nato a San Pietroburgo, conseguì il dottorato a Berlino nel 1867 con una tesi sulla teoria dei numeri.

Spinto dall’eminente matematico dell’epoca Eduard Heine (famoso il teorema di Heine-Cantor in analisi; per chi volesse farsi una risata Heine Cantor (Alejandro math parody)), che ne riconobbe le grandi capacità, Cantor prese l’abilitazione come privatdozent (professore indipendente) ad Halle, presentando uno scritto sulle serie trigonometriche. All’epoca questo era un argomento di grande interesse per i matematici e i fisici, stimolati dalla scoperta fatta ad inizio ‘800 da Fourier che sotto determinate condizioni una serie trigonometrica può convergere a qualsiasi limite, o quasi. (Se vuoi saperne di più abbiamo scritto un articolo sulla trasformata di Fourier)

Nel suo scritto Cantor cercava di scoprire sotto quali condizioni due serie distinte convergevano allo stesso limite. Per farlo si trovò a dover trovare un modo per considerare nella loro interezza i punti in cui le funzioni analizzate si “comportano male” (per esempio i punti di discontinuità).

Cantor inizia così a sviluppare come disciplina autonoma la Mengenlehre: la teoria degli insiemi.

Ci si potrebbe chiedere quale sia la necessità di dover considerare un insieme infinito di punti nella sua interezza, vedremo oltretutto che questo comporta molti risultati a prima vista paradossali. Allora perché farlo? Il fatto è che trattare un insieme infinito come un’entità unica è analogo ad allontanarsi dallo schermo della televisione: guardando da vicino possiamo osservare i singoli pixel ma è impossibile scorgere le immagini nella loro completezza, è solo allontanandoci e considerando lo schermo nella sua interezza che possiamo decifrare l’immagine trasmessa.

Andando all’infinito, la complessità del finito si perde, e questo è un grande vantaggio!

Se ammettiamo l’esistenza di insiemi di infiniti elementi, allora possiamo iniziare a studiarne le proprietà. Per esempio, ha senso chiederci quanti elementi contiene un insieme infinito?

Secondo Cantor sì, e per farlo c’è bisogno di numeri diversi da quelli a cui siamo abituati, necessitiamo dei numeri transfiniti.

Che cos’è un numero transfinito?

Beh, intanto, cos’è un numero finito? Un’astrazione, un semplice prodotto dell’immaginazione. Si potrebbe dire ad esempio che il numero 2 è ciò che tutti gli insiemi di 2 elementi hanno in comune. Detta così sembra una definizione tautologica, e quindi non una buona definizione, ma possiamo renderla più rigorosa usando il concetto di cardinalità di un insieme.

Diciamo che due insiemi $A$ e $B$ hanno la stessa cardinalità se possiamo accoppiare i loro elementi in modo tale che ogni elemento di A sia associato esattamente ad un elemento di B e viceversa (una tale corrispondenza è detta biunivoca).

Osserviamo che abbiamo definito il concetto di stessa cardinalità senza avere avuto alcun bisogno di utilizzare la nozione di cardinalità, ma solo appoggiandoci alle funzioni biunivoche. Inoltre, un vantaggio di questo approccio è che possiamo usarlo anche per insiemi infiniti.

Ora possiamo dire che il numero 2 è la cardinalità di tutti gli insiemi che hanno la stessa cardinalità dell’insieme $\{a,b\}$.

Allo stesso modo possiamo inventarci un nuovo numero, il transfinito $\aleph_0$ (si legge Aleph-zero, Aleph è la prima lettera dell’alfabeto ebraico, il motivo del pedice zero sarà chiaro fra un momento) definito come la cardinalità di tutti gli insiemi che hanno la stessa cardinalità dell’insieme dei numeri naturali (tali insiemi sono detti numerabili).

In matematica però non possiamo dire che un tale numero $\aleph_0$ esiste se non è univocamente determinato, o se la sua esistenza genera una qualche contraddizione logica. (Si veda il Paradosso di Berry o il Paradosso di Richard per esempi di definizioni autocontraddittorie)

Un tale problema in realtà se l’era posto Leibniz(1646-1716), altro importantissimo matematico, ben 200 anni prima di Cantor. Leibniz si era accorto che accettando una tale definizione di cardinalità, è possibile giungere alla conclusione che i numeri naturali sono tanti quanti i numeri pari. In effetti è abbastanza semplice trovare una funzione biunivoca che associa ad ogni numero naturale un numero pari: $f(n)=2n$. Ma la stessa cosa accade anche per i numeri dispari ( $f(n)=2n-1$ ), o per i quadrati ( $f(n)=n^2$ ), e di questo se ne era accorto già Galileo a suo tempo. Tutto ciò è in evidente contraddizione col principio, già enunciato da Euclide, che afferma che “il tutto è maggiore di ogni sua parte”.

Fu proprio questo a far sì che Leibniz non accettasse l’esistenza dei numeri infiniti.

L’idea controintuitiva di Cantor

Ed è qui che entra in gioco Cantor: quando si trovò di fronte allo stesso dilemma, scelse la via opposta a quella di Leibniz. Creò un concetto di numero applicabile anche agli insiemi infiniti e accettò, contro l’intuizione, che un insieme infinito potesse avere la stessa cardinalità di un suo sottoinsieme proprio. Gli insiemi infiniti non sempre si comportano come quelli finiti, per spiegarlo Hilbert inventò il celebre paradosso dell’Hotel, su cui abbiamo scritto un articolo.

Questo passaggio è il più sottile e forse il più importante tra tutti quelli esposti in questo articolo. Non è questo infatti l’unico caso in cui la matematica porta a conclusioni che sfidano la nostra intuizione e si oppongono alla nostra esperienza quotidiana. L’abilità del matematico, e la genialità di Cantor nel nostro caso, sta nel discernere tra ciò che è contraddittorio col resto della matematica e cosa invece sembra contraddittorio per la nostra esperienza. Sono i momenti in cui qualcuno riesce a fare questa scelta in modo coerente quelli in cui si crea nuova matematica, e quindi nuova conoscenza. Che importa se definendo la cardinalità degli insiemi infiniti andiamo contro un principio che ci sembra evidente? Significa solo che l’evidenza ci ha ingannato!

Sono molteplici i casi in cui qualcuno ha sfidato un principio che sembrava ovvio per poi scoprire risultati importantissimi. (Pensate alla negazione del quinto postulato di Euclide e alle geometrie non euclidee!) E sono tantissimi i casi in cui la matematica porta a risultati paradossali per la nostra intuizione pur essendo assolutamente corretta.

Citando lo stesso Cantor: “L’essenza della matematica è la sua libertà”.

Torniamo ora alle sue scoperte matematiche. Dopo aver analizzato la corrispondenza biunivoca tra $\mathbb{N}$ e un suo sottoinsieme, prese in esame insiemi che erano, o sembravano, più grandi di quello dei numeri naturali: per esempio gli interi $\mathbb{Z}$, o i razionali $\mathbb{Q}$. Scoprì, con grande stupore, che anche questi insiemi potevano essere messi in relazione biunivoca con $\mathbb{N}$.

A questo punto tutto portava a pensare che se era possibile mettere in relazione biunivoca $\mathbb{N}$ con $\mathbb{Q}$, che sembrava molto più grande, allora sarebbe stato possibile trovare un modo per fare la stessa cosa con qualsiasi altro insieme infinito.

La grande conquista di Cantor fu quella di dimostrare che non è così: non è possibile trovare una biezione tra i numeri naturali e i numeri reali. Per farlo inventò un geniale metodo di dimostrazione che verrà poi sfruttato per raggiungere importantissimi risultati in matematica, logica e informatica durante tutto il ‘900.

Il metodo diagonale

Cantor parte con una classica assunzione per assurdo: supponiamo che i numeri reali siano numerabili. Osserviamo che possiamo considerare l’intervallo $(0,1)\subset\mathbb{R}$ in quanto, se questo non è numerabile, non lo sarà nemmeno $\mathbb{R}$.

Supponendo che $(0,1)$ sia numerabile, stiamo dicendo che esiste una funzione biunivoca che associa ad ogni numero reale in $(0,1)$ un numero naturale, e viceversa.

Allora possiamo costruire una lista con in prima posizione un numero reale $r_1$ associato a 1 tramite la nostra funzione biunivoca, in seconda $r_2$ associato a 2, e così via…

Esprimendo ogni numero reale attraverso la sua espansione decimale, una delle possibili liste si presenterà più o meno così:

Se l’intervallo $(0,1)$ è numerabile allora questa lista infinita dovrà contenere tutti i numeri reali appartenenti ad esso, ma Cantor si accorse che è sempre possibile trovare un numero che non abbiamo nella lista. Consideriamo il numero $d$, definito in modo che abbia tutte le cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale, per esempio ottenuta sommando a tutte le cifre della diagonale +1.

Allora $d := 0,421436…$ Questo numero è indubbiamente un numero reale compreso fra 0 e 1, ma non fa parte della lista che avevamo! Infatti è diverso da $r_1$ per la prima cifra decimale, da $r_2$ per la seconda…da $r_k$ per la $k-$esima. Abbiamo trovato quindi un numero reale dell’intervallo $(0,1)$ che non sta nella lista, contraddicendo l’ipotesi che nella nostra lista ci fossero tutti. Allora $(0,1)$ non è numerabile, e a maggior ragione non lo sarà $\mathbb{R}$. (Osserviamo che se anche aggiungessimo “manualmente” alla lista il numero $d$ appena trovato, potremmo comunque ripetere il ragionamento diagonale e trovare un $d’$ che non appartiene alla nuova lista)

Q.E.D.

(Incidentalmente, con questo risultato, Cantor trovò anche una nuova dimostrazione dell’esistenza di numeri trascendenti)

Teorema di Cantor

Quindi esistono almeno due infiniti diversi! L’infinito dei numeri naturali $\aleph_0$ e l’infinito dei numeri reali, che Cantor indica con la lettera $C$ (iniziale di Continuo), strettamente maggiore di $\aleph_0$.

Ma il genio di Cantor non si fermò qui! Intuì che il metodo diagonale usato poteva essere esteso a tutti i casi in cui, partendo da un insieme $A$ qualsiasi, si usano elementi di $A$ per etichettare un qualche insieme particolare composto da elementi di $A$.

Scopre quello che oggi è chiamato Teorema di Cantor: dato un qualsiasi insieme $A$, $\mathcal{P}(A)$ ha cardinalità strettamente maggiore di $A$. (Dove $\mathcal{P}(A)$ indica l’insieme delle parti di $A$, ossia l’insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di $A$)

La dimostrazione è un po’ astratta, ma si tratta solo di condensare il ragionamento diagonale:

Di nuovo, per assurdo, supponiamo che esista una funzione biunivoca $f-$ tra $A$ e $\mathcal{P}(A)$. In particolare, tale funzione dovrà essere suriettiva, ossia ogni elemento del codominio $\mathcal{P}(A)$ (ogni sottoinsieme di $A$ ) deve essere associato ad un elemento di $A$. Consideriamo il sottoinsieme di $A$ definito come $ \Delta $ ={$a \in A$ : $a ∉ f(a)$ }. $\Delta$ è costituito da tutti gli elementi $a$ di $A$ che non sono elementi del proprio corrispondente secondo $f$. $\Delta$ è un sottoinsieme di $A$, quindi, visto che abbiamo supposto che $f$ sia suriettiva, deve esserci un elemento $\delta$ di $A$ tale che $f(\delta)=\Delta$. Chiediamoci ora, $\delta$ è un elemento di $\Delta$? Se lo è, allora deve soddisfare la definizione di $\Delta$, cioè $\delta$ non deve essere elemento del suo corrispondente $f(\delta)=\Delta$. Ma allora $\delta\in\Delta$ e e solo se $\delta\not\in\Delta$. Da cui l’assurdo. Allora l’ipotesi iniziale è falsa: non esiste una funzione suriettiva tra $A$ e $\mathcal{P}(A)$.

Q.E.D.

Provato questo teorema abbiamo in mano un metodo effettivo per costruire, a partire da un qualunque insieme, un insieme più grande: il suo insieme delle parti.

Quindi da $\mathbb{N}$ possiamo costruire $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, che ha cardinalità strettamente maggiore di $\mathbb{N}$ (è possibile dimostrare che ha la stessa cardinalità dei reali $C$), a partire da $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ possiamo reiterare il procedimento per costruire un insieme più grande (che ha la cardinalità dell’insieme delle funzioni da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$)…

È la prova che esistono infiniti infiniti, e che non esiste un insieme più grande di tutti!

Ma allora come c’è una successione infinita di numeri finiti 1, 2, 3, …, così esiste una successione infinita di transfiniti $\aleph_0$, $\aleph_1$, $\aleph_2$, …, ognuno maggiore del precedente.

Cantor arrivò anche a sviluppare un’aritmetica coerente dei numeri transfiniti, nella quale ad esempio: $\aleph_0 + \aleph_1 = \aleph_1$ e $\aleph_1 \cdot \aleph_2 = \aleph_2$.

(la proprietà dell’hotel di Hilbert corrisponde al fatto che $\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0$; per non riuscire ad accomodarli nelle stanze, dovrebbero arrivare $\aleph_1$ clienti)

Le critiche e la depressione di Cantor

Potete immaginare, con delle idee così rivoluzionarie, riguardo un soggetto come l’infinito, che abbraccia matematica, filosofia e teologia, quante critiche dovette fronteggiare Cantor.

Cantor stesso, che era cattolico, quando scoprì che esistevano più infiniti, si recò in Vaticano preoccupato perché, se la Chiesa cattolica identificava Dio con l’infinito, nel momento in cui di infiniti ce ne erano tanti, allora si poteva immaginare che i suoi lavori dessero supporto al politeismo. (Lascio un link per chi volesse approfondire questo aspetto)

Ma Cantor non fu osteggiato soltanto dalla filosofia e dalla religione, anche illustri matematici dell’epoca erano ostili alle sue idee. Sembra che Kronecker, suo vecchio insegnante all’università, cercò di impedire la pubblicazione dei suoi lavori. Al tempo girava anche un aneddoto, probabilmente apocrifo, secondo il quale persino il grande Henri Poincaré avrebbe detto che “un giorno la teoria degli insiemi di Cantor sarà considerata una malattia dalla quale si è guariti”.

Oltre a tutto questo Cantor fu ossessionato per tutta la vita dall’ Ipotesi del Continuo: aveva scoperto che C era maggiore di $\aleph_0$, quindi doveva necessariamente essere uno tra $\aleph_1$, $\aleph_2$, … ma quale di questi? Cantor ipotizzò che fosse proprio $\aleph_1$, e quindi che non esistesse nessun insieme dalla cardinalità compresa tra $\aleph_0$ e C.

Nonostante anni e anni di tentativi, non riuscì mai a dimostrare o confutare la sua ipotesi, e alla luce delle nostre conoscenze, è molto triste leggere di come cadde in depressione anche per questo motivo. Basandosi sui teoremi di incompletezza di Gödel, infatti, nel 1963 Paul Cohen riuscì a dimostrare che l’ipotesi del continuo non è decidibile nel sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel.

Significa che il povero Cantor passò anni alla ricerca di una dimostrazione che non poteva esistere, forse l’incubo più spaventoso per un matematico.

Cantor durante la sua vita, per diverse ragioni, non ultima la sua precaria salute mentale, soffrì di diversi crolli nervosi, che lo portarono ad accantonare la matematica per lunghi periodi, per occuparsi di filosofia, teologia e soprattutto della questione shakespeariana. Era convinto che in realtà le opere attribuite a Shakespeare fossero state scritte da Francis Bacon e pubblicò diversi scritti a riguardo.

Georg Cantor morì per una crisi cardiaca nel 1918, lasciandoci in eredità la teoria degli insiemi, sulla quale poggia le fondamenta tutta la matematica moderna.

Concludiamo come abbiamo iniziato, con una citazione del grande Hilbert:

“Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi”

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Il sogno di Leibniz: la caratteristica universale

Poincaré: l’ultimo universalista