Buon pi-day a tutti!

Ci siamoooo! Era da tantissimo tempo che volevo scrivere questo (breve) articoletto e finalmente ci siamo! Il motivo mi sembra abbastanza chiaro di questa esaltazione dato che per un giorno anche i matematici possono avere il loro breve periodo di gloria e tutti ci possiamo sentire un po’ più nerd e compiacerci di esserlo! 😉 Qui su Mathone ci siamo già più di una volta dedicati a questa famigerata costante, ma credo non vi dispiacerà sentire qualche curiosità in più 😉

pi-day

Di cose da dire sul pi greco ce ne sarebbero tantissime, tuttavia dirle tutte sarebbe lungo e noioso. Mi soffermerò solo su quelle che trovo più interessanti 😉 Pronti, ai posti, via!

Dove e quando

\pi è oramai l’emblema di come la matematica ci pervada nella vita di tutti i giorni. È stato elevato nei secoli quasi come simbolo stesso della matematica (provate per esempio a pensare a quante volte lo si vede nei film ogni volta che si comincia a parlare di matematica!) tanto che perfino i Simpsons ne sono stati testimonial!

Scherzi a parte, sebbene il pi greco, con la sua irrazionalità, trascendenza, aperiodicità, infinità e vattelappesca sia noto e studiato da tantissimo tempo (già i greci avevano cominciato a darci dentro ai loro tempi, Archimede stimando una circonferenza con poligoni regolari inscritti e circoscritti era riuscito a trovare un’approssimazione fino a diverse cifre decimali…), è solo dal 1988 che si è cominciato a celebrare il pi-day.

L’iniziativa parte, tanto per cambiare, dagli Stati Uniti, a San Francisco per l’esattezza, con l’intento nobile di portare al centro dell’attenzione la matematica: una scienza (per alcuni LA Scienza) che non trova spesso motivi per festeggiare. La data designata non poteva non essere il giorno 14 del mese 3; 3,14 appunto!

Dove lo si trova

Per tutti quelli che non sono matematici o fisici purosangue, il pi-greco \pi è solamente il rapporto tra Area e raggio di un cerchio, oppure tra sfera e raggio e così via… ma questo è vero solo in parte… \pi è dappertutto. No veramente, DAPPERTUTTO! Lo si ritrova nella matematica pura (teoria dei numeri e teoria dei gruppi), nell’analisi complessa, nell’analisi, nella probabilità, nella statistica, nella fisica, e mi si seccherebbe la lingua a elencarli tutti!

Tanto per citarvi qualche esempio:

  • nella formula di Eulero e^{i\pi}=-1 definita da Richard Feynman «la più notevole formula della matematica».
  • formule di Green \int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|r-r'|}dr'
  • nell’analisi complessa a tout court
  • in statistica
  • In mecanica quantistica! Solo per citarvi il caso più famoso, il principio di indeterminazione di Heisenberg dice che \Delta x\Delta p\geq \frac{h}{4\pi}. Vabbeh. Non fa una piega.
  • In algebra! In algebra! che (sembra) abbia solo a che fare con moduli, anelli, gruppi e ideali! È per esempio connesso strettamente alla funzione \zeta di Riemann… per esempio la seguente equazione è storicamente famosa come Problema di Basilea e fu risolto da Eulero:

\zeta(2)=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\cdots=\frac{\pi^{2}}{6}

  • nel celebre integrale di Gauss

\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} … No seriamente, ceh vi pare una cosa naturale?

Perchè è così importante?

Il pi greco, al dilà di tutta la divulgazione più o meno scientifica di cui se ne è fatta a proposito, rimane tuttora uno dei veri punti interrogativi moderni della matematica e, sopratutto, della fisica.

C’è chi dice che dato che il nostro è un modello approssimato della realtà e che noi abbiamo inventato numeri e operazioni per poter dare senso a quello che ci circonda, allora è ovvio che il pi greco ritorni in maniera sistematica, perchè avendolo “inventato” noi, ritorna ogni volta che abbiamo a che fare con una sfera o un cerchio.

Onestamente però non sono di questa opinione: dove sono le sfere e i cerchi nella formula di Gauss? O nella teoria quantistica dei campi? O per esempio in algebra e nella funzione di Riemann?

Queste sono domande ancora aperte… ma del resto, citando Eulero, pi greco non è altro che

\pi=\frac{log(-1)}{i}

dove i è l’unità immaginaria e il logaritmo è definito classicamente solo per numeri maggiori di zero. Tutto normale dunque.

La matematica romantica

Per secoli il pi greco con i suoi misteri e l’impossibilità di determinarlo esattamente ha alimentato un sentimento quasi romantico nei confronti della matematica. Solo per oggi desidererei che ci dimenticassimo di quanto possa essere bastarda e ostile questa materia e lasciarci coccolare dalla bellezza e dall’eleganza di questa disciplina: il pi greco è infinito e aperiodico, quindi vuol dire che al suo interno c’è codificato tutto il nostro patrimonio genetico, tutto quello che pensiamo, che abbiamo pensato e che mai potremo pensare; c’è codificato tutta l’informazione che internet possa mai raccogliere e tutte le informazioni racchiuse nel nostro universo. E tutto questo è

\pi.

Buon \pi-day a tutti!

Caffè matematico n° 2 – Il cubo di Rubik – Il gioco del Demonio

Benvenuti a questo secondo caffè matematico: oggi parliamo un po’ di algebr… ehm, del cubo di Rubik! Dato che il tempo a disposizione è poco (il tempo di un caffè appunto 😉 ) sarò breve, ma l’argomento è molto interessante e merita di essere approfondito, pertanto prometto di scriverne al riguardo tra non molto ;).

Cubo di Rubik

Il cubo di Rubik

Praticamente tutti conoscono il famosissimo cubo del professore Ernő Rubik. Esso è probabilmente il gioco più venduto della storia ed è considerato da coloro che non sono mai riusciti a risolverlo un vero rompicapo.

Ma cosa vuol dire effettivamente risolverlo? Beh, matematicamente si potrebbe dire che il problema è ben posto, cioè che la soluzione esiste ed è unica. Essa altro non è che il procedimento algoritmico che riesce a permutare i singoli blocchetti in modo che su tutte le facce compaia un solo colore, diverso per tutte e 6 le facce.

Un po’ di algebra

Ma in quanti modi differenti si possono permutare le facce del cubo? Beh, facciamo un po’ di calcoli… Ci sono 3 strati verticali e 3 orizzontali in ogni faccia e possono essere ruotati singolarmente 3 volte, fino a tornare alla posizione originaria. Dunque siamo già a 3x3x3 possibilità di modificarlo. Tutto questo va considerato per 6 facce. Giusto? SBAGLIATO! Attenzione! Se ruotate una faccia, anche tutte quelle intorno vengono di conseguenza modicate! Trovare tutte le possibili permutazioni non è purtroppo così facile come sembra…

Si potrebbe andare avanti parecchio, ma meglio se vi do la soluzione… Si può dimostrare che il numero di configurazioni differenti che un cubo di Rubik può assumere è dato da:

227314537211=43252003274489856000,

cioè circa 0.4*1020. Immaginiamo che per guardare ogni possibile configurazione ci voglia un secondo. 60 fanno un minuto. Per 60 e siamo a un’ora e così via… Se adesso dividiamo 43252003274489856000 per i secondi che ci sono in un anno, otteniamo 1370 miliardi. Il nostro Universo ha poco meno di 14 miliardi di anni, la terra 4. Il sole ne brucerà per circa altri 5. Insomma, riuscire ad elencare tutte le configurazioni di un cubo di Rubik sembra un’impresa assolutamente impossibile.

Giochi senza frontiere

Questo fatto però non deve scoraggiarci: per trovare la soluzione al rompicapo infatti non è necessario conoscere tutte le possibili configurazioni, ma basta saper destreggiarsi tra un po’ di esse con sufficiente abilità. Tra le tante soluzioni che si possono trovare in rete, tutte quante hanno come denominatore comune l’approccio algoritmico: non importa avere un’idea geniale e ogni volta rimettersi a pensarne una nuova: basta solo osservare la configurazione in cui il cubo si trova e procedere algoritmicamente sistemando gruppi di tasselli alla volta.

Attualmente nessuno riesce a farlo in meno di 4 secondi e 73. Voi ci siete mai riusciti? In quanto?

A mercoledì prossimo con il prossimo caffè 😉

Au revoir

Erik

ceterum censeo festascienze esse facendam

Galois – Il profeta che non aveva tempo

Sfortunatamente non si comprende come i libri scientifici più validi siano quelli in cui

l’autore indica chiaramente cosa non sa;

un autore fa infatti maggiormente del male ai suoi lettori quando nasconde le difficoltà.

Évariste Galois (25 Ottobre 1811 – 31 Maggio 1832)

Évariste Galois – Il profeta

Rivoluzionario, guerrafondaio, irrispettoso, insofferente verso la mediocrità, passionale e romantico. Del tutto incostante negli studi; geniale, ma refrattario all’istruzione formale e insofferente verso chi non era in grado di seguirlo mentre svolgeva complicati calcoli a mente (inclusi i propri esaminatori). Ancora diciannovenne aveva già risolto un problema che resisteva da secoli agli attacchi dei matematici, ma poiché pochissimi lo avevano capito, era convinto che sarebbe stato dimenticato.

Eppure la storia oggi gli rende giustizia ricordandolo come uno dei grandi della matematica. Forse il migliore algebrista di sempre. Ma chi era dunque Galois? Perché viene ricordato come l’ultimo matematico romantico?

Galois

Una vita appassionata

1811. L’Impero di Napoleone è all’apogeo. La campagna di Russia è alle porte. Ed è in questo clima che alle porte di Parigi, a Bourg-la-Reine, il 25 ottobre nasce Évariste Galois. Già da giovanissimo mostrò tutti i caratteri dell’énfant prodige. Leggeva e studiava manoscritti dei grandissimi del tempo: Lagrange, Gauss e Abel. Tuttavia mentre i suoi maestri di Matematica lo incoraggiavano e lo seguivano, quelli di tutte le altre materie lo ritenevano tutt’altro che un genio: non si applicava, non eccelleva in nessuna materia che non fosse la matematica e come se ciò non bastasse non si faceva nemmeno problemi a nascondere la sua insofferenza verso le cariche istituzionali che non gli andavano a genio.

Dal padre, sostenitore della Repubblica e sindaco del proprio villaggio nel periodo della Restaurazione, e dallo zio paterno (ufficiale napoleonico) prende la passione politica e comincia ad accostarsi al movimento repubblicano. Tuttavia il suicidio del padre assurdamente provocato per ragioni politiche segnerà profondamente lo spirito del giovane figlio.

Un matematico incompreso

Galois trascorreva talmente tanto tempo in profondi studi astratti che i suoi contemporanei non lo capivano. Eccone un esempio. Siamo nel 1829. Gaois ha 18 anni. I suoi lavori riguardavano le frazioni continue e la scoperta di nuovi insiemi numerici. Vuole entrare nel più prestigioso istituto di matematica dell’epoca: l’Accademia delle Scienze di Parigi. Presenta come domanda per l’ammissione alcune note sulla risoluzione tramite radicali di equazioni algebriche. Teniamo a mente che gran parte dell’algebra moderna viene da quelle note (se vuoi vedere qualche applicazione delle sue scoperte ecco un nostro recente articolo: I problemi con riga e compasso). I professori del tempo, restii alle idee di un diciottenne e abituati a ben altri calcoli, rifiutano il lavoro. Altri addirittura cestinano le note. Figuratevi come non reagì Galois che non solo si riteneva superiore alla sua commissione giudicatrice ma si mise addirittura a discutere con loro rinfacciandogli di non aver capito la portata delle sue idee.

Dovette a malincuore ripiegare sulla ben meno prestigiosa Scuola Normale.

Il matematico romantico

Cambiando scuola però i problemi non finirono. Durante i moti del 1830 ha i primi contrasti con le autorità. Ma non si piega. Al contrario, aumenta la propria posizione radicale. Viene prima arrestato, sbattuto in prigione e poi espulso dalla Scuola.

Alexandre Dumas a proposito dell’evento incriminato dell’arresto del giovane scrive:

All’improvviso, nel bel mezzo di una conversazione privata tra me e la persona seduta a sinistra, le mie orecchie sentirono il nome di Luigi Filippo, seguito da cinque o sei fischi. Mi voltai. A quindici o venti posti di distanza da me si stava svolgendo una delle scene più animate della serata. Un giovane che teneva nella stessa mano un bicchiere e un pugnale aperto cercava di farsi sentire dagli altri.
Si trattava di Évariste Galois. Riuscii a percepire solo che si trattava di una minaccia, e che era stato pronunciato il nome di Luigi Filippo. Il coltello aperto lasciava trasparire le intenzioni del giovane.

Uno spirito passionale

Rilasciato dal carcere nel 1832, si invaghisce di una ragazza. Da qui in poi ci sono ancora molte ombre sulle sua vita ma vi posso raccontare quella che la versione più accreditata racconta.

Lei si chiamava Stephanie Potterin du Motel e Galois l’aveva conosciuta solo pochi mesi prima. La relazione tra i due, però, si era interrotta quasi subito per ragioni che non sono note. Si sa solo che di lì a poco Galois fu sfidato a duello per difendere l’onere della donzella e a sfidarlo fu Ernest Duchatelet, “patriota” e una delle migliori pistole di Francia. E tirarsi indietro non era contemplabile all’epoca.

Oggi possiamo dire con un certo grado di sicurezza che quella di Galois fu probabilmente una congiura: tutto fu organizzato in modo che il giovine si trovasse nel posto giusto al momento sbagliato.

Galois sapeva che quella sarebbe stata la sua ultima notte. Rabbiosamente si rinchiude in casa per raccogliere tutti i suoi lavori e cercare di commentarli in modo che qualcuno possa un giorno riprenderli e fare in modo che le sue idee non vadano perdute. A margine dei fogli si può spesso leggere “non ho tempo… non ho tempo” proprio ad indicare l’ineluttabilità del momento e la pressione che si sentiva addosso… Provate ad immaginare cosa vuol dire avere la completa padronanza di un argomento che attanaglia la mente di matematici illustri da secoli, sapere che da lì a qualche ora la vostra morte si sta avvicinando e non avere il tempo per poter ordinare le vostre idee per evitare che vadano perdute!

Ed è proprio in questa notte che scrive la celebra lettera all’amico Chevalier. Essa è oggi considerata il suo testamento spirituale ai posteri, nonché base della moderna matematica. Nella stessa lettera si pregava Chavalier di far recapitare a Gauss e Jacobi tutti i lavori sulla sua opera di matematico.

Pregherai pubblicamente Jacobi o Gauss di dare il loro parere, non sulla verità, ma sull’importanza dei teoremi. Dopo questo ci sarà, spero, qualcuno che troverà il suo profitto a decifrare tutto questo guazzabuglio”.

Personalmente, l’ultima volta che ho controllato il profitto si è trovato eccome!

Galois inoltre lascia nella lettera i principali teoremi della futura teoria dei gruppi che porta il suo nome e il legame profondo con la teoria della risoluzione algebrica delle equazioni.

 

La teoria di Galois

Prima di concludere però vorrei fare un breve accenno sulla teoria dei gruppi citando un esempio che ho trovato online a questa pagina.

Considerate una gara di ciclismo a cui partecipano solo tre corridori. Quanti sono i possibili esiti della gara se i partecipanti non possono tagliare il traguardo contemporaneamente? Se indichiamo i ciclisti con i simboli A, B, C, il problema dei possibili esiti della gara sta allora nel capire in quanti e quali modi si possono mettere in ordine gli oggetti A, B, C.

Un modo efficace di procedere è di mettere in prima posizione, a turno, uno degli elementi e vedere cosa succede dopo, nelle altre posizioni. Per esempio, se il ciclista A finisce primo, negli altri due posti, cioè in seconda e in terza posizione, possono andare solo gli altri due elementi, e in due soli modi possibili; ripetendo il ragionamento per B e C si vede che i modi possibili per ordinarli sono 6, cioè in matematichese 3! = 3\times 2\times 1 =6 .

Una sostituzione equivale a operare in un certo modo sugli elementi A, B, C, rispetto a una sostituzione di base (per esempio ABC) presa come riferimento. Allora, la sostituzione CBA corrisponde al fatto che A→C, B→B, C→A; cioè, in sostanza, al fatto che A e C si sono scambiati di posto.

Inoltre, le sostituzioni possono essere anche moltiplicate tra loro, un po’ come si fa con i numeri. Se avete la sostituzione CBA (A→C, B→B, C→A) e la sostituzione ACB (A→A, B→C, C→B), fare il prodotto tra le due sostituzioni vuole dire applicarle successivamente: si ottiene così (A→C→B, B→B→C, C→A→A), cioè BCA.

Esiste sempre la sostituzione che lascia inalterato il risultato finale del prodotto, cioè l’elemento neutro (è la sostituzione identica ABC, A→A, B→B, C→C) e la sostituzione che moltiplicata per un’altra dà come risultato la sostituzione identica ABC.

Il concetto di Gruppo

Queste sono alcune delle principali proprietà di ciò che nella matematica moderna va sotto il nome di gruppo. Ossia, l’insieme delle sostituzioni su tre elementi possiede una struttura di gruppo; e il discorso è valido indipendentemente dal numero n di oggetti considerati.

L’idea di gruppo di sostituzioni è emersa soprattutto in relazione allo studio delle equazioni algebriche, come per esempio l’equazione: x^2-2=0. In questo caso, si tratta di un’equazione molto semplice da risolvere, ma quando l’equazione è più complessa, in particolare quando è più alto il suo grado, allora il gruppo di sostituzioni permette di risolvere il problema in quella che è ora nota come teoria di Galois.

Il matematico che non aveva tempo

La mattina del 29 maggio una carrozza viene a prendere Galois. Lo condurrà in una pineta. Non sarà lui il vincitore del duello. A ritrovarlo è un contadino del luogo.

Prima di morire disse al fratello:” Ho bisogno di tutto il mio coraggio per morire a 20 anni”. Il 30 maggio 1832 Évariste Galois muore per traumi subiti allo stomaco da un colpo di arma da fuoco in ospedale. Non aveva nemmeno 20 anni. Viene sepolto in una fossa comune fuori Parigi, dove ancora risiede.

“Mantenete la mia memoria, perché la sorte non mi ha dato abbastanza vita affinché la patria conosca il mio nome

I lavori di Galois rimasero pressoché sconosciuti fino al 1846, quando il matematico francese Joseph Liouville li pubblicò sul suo Journal de mathématiques pures et appliqueés, ben 14 anni dopo.

Oggi il suo nome è leggenda.

 

A presto con il prossimo articolo,

Au revoir

Erik

Ceterum censeo festascienze facendam esse

I tre problemi greci insolubili – Problemi con riga e compasso

Nella storia della civiltà i Greci occupano un posto preminente; nella storia della matematica ciò è ancor più rilevante. Sebbene abbiano subito l’influenza delle civiltà che li circondavano, i Greci costruirono una civiltà e una cultura che sono le più influenti sullo sviluppo della cultura occidentale moderna e quelle decisive per la fondazione della matematica quale noi la concepiamo oggi.

Ai greci dobbiamo anche i famosi problemi con riga e compasso, tre dei quali sono passati alla storia come ‘i problemi greci insolubili’.

Problemi greci insolubili

Questi tre problemi non solo non sono stati risolti al tempo di Euclide, ma è anche stato dimostrato che la loro risoluzione è impossibile. Queste dimostrazioni sono relativamente recenti e sono frutto di grandi progressi nel campo dell’algebra (soprattutto dovuti al grande Galois, riguardo il quale pubblicheremo un articolo la prossima settimana 😉 ). Tuttavia riprenderemo questo argomento più avanti.

Ecco qui i tre problemi di cui ti ho parlato nelle poche righe qui sopra:

1. La duplicazione del cubo, o il problema di costruire un cubo avente il volume doppio di un cubo dato.
2.La trisezione di un angolo, o il problema di dividere un dato angolo in tre parti uguali.
3.La quadratura del cerchio, o il problema di costruire un quadrato avente un’area uguale a quella di un cerchio dato.

Prima di addentrarci alla scoperta di questi tre problemi, è fondamentale inquadrare cosa si intende per ‘costruzioni con riga e compasso’.

Cosa si intende per costruzioni con riga e compasso?

Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare segmenti ed angoli servendosi esclusivamente di una riga e di un compasso. Occhio che con riga non si intende il solito righello che utilizziamo noi, ma “strumenti” non graduati, senza quindi la possibilità di far riferimento alle tacche della riga per prendere misure.

Non si può nemmeno ripetere una data apertura che il compasso aveva avuto in precedenza, dato che non è misurabile in alcun modo tale apertura.

Non possiamo quindi misurare nulla, nel senso in cui siamo soliti intenderlo, né angoli né distanze.

E’ molto tempo che volevo scrivere questo articolo perché la prima volta in cui ho sentito parlare di queste costruzioni le avevo sottovalutate molto. Dopo le ho esplorate nei loro dettagli e ho iniziato ad apprezzare la loro complessità e le loro problematiche.

Motivo per cui voglio provare a trasferire questo mio interesse in queste poche righe 🙂

Detto ciò, ecco qui un video con alcune costruzioni con riga e compasso che si possono fare senza troppe difficoltà (appena mi libero un po’ con gli esami faccio un video con qualche costruzione in più):

Vediamo ora un po’ di formalismi e nozioni (niente di eccessivo 😉 ) che ci saranno utili poi per capire il perché questi problemi non possano essere risolti.

D’ora in poi indicherò con \mathbb{C} il campo dei numeri complessi, chiamerò con M un suo sottoinsieme (M \subset \mathbb{C}). Denotiamo con E(M) l’insieme di tutti i numeri complessi ottenuti da M mediante una delle seguenti costruzioni elementari:

  1. Intersezione di 2 rette
  2. Intersezione di una circonferenza e una retta
  3. Intersezione di due circonferenze

eseguite solo partendo dai punti appartenenti ad M, insieme che possiamo vedere come fornitoci dall’esterno.

Definiremo infine a \in \mathbb{C} costruibile con riga e compasso se esiste una sequenza di operazioni elementari che, a partire da M = \{0,1\} ci permettono di ottenerlo.

Qualche nozione algebrica utile ai nostri fini

 

Oltre agli esempi di costruzioni con riga e compasso che puoi vedere nel video qui sopra, possono essere costruiti anche i numeri complessi.

Per completezza, si potrebbe dimostrare che i numeri complessi costruibili, formano un campo intermedio tra i numeri razionali e i numeri complessi (per non divagare troppo non la inserisco qui).

Rimanendo nella teoria dei campi, è utile definire il concetto di campo intermedio (il cui significato è molto intuitivo) ed applicarlo a queste costruzioni sequenziali.

Siano K,L due campi. M si dice campo intermedio se è tale che K \subset M \subset L e inoltre M è un campo.

Se non hai idea di cosa sia un campo, ti consiglio di farti un’idea delle proprietà che ha questa struttura algebrica fondamentale cliccando sulla parola “campo” qui sopra.

Per finire, M campo intermedio, si dice estensione del campo K. Il campo M è ottenibile aggiungendo un certo numero di elementi di M a K.

Gli elementi che andremo ad aggiungere, sono radici di polinomi a coefficienti nel campo K.  (queste righe non sono fondamentali, ma utili per capire un po’ meglio il perché questi problemi non siano risolubili).

 

Teoremi e lemmi che useremo in seguito

Qui di seguito ho inserito, in maniera piuttosto sintetica, gli enunciati dei teoremi e lemmi che ci serviranno poi per capire il motivo dell’insolubilità di questi tre problemi. Per dimostrarne anche uno solo, ci vorrebbe ben più che un articolo, quindi lascio ai più interessati il compito di cercare la dimostrazione online (o magari provare a dimostrarli).

Lemma 1

Se c \in \mathbb{C} tale che c^2 \in \mathbb{C} è costruibile, allora anche c è costruibile.

Lemma 2 (non formale)

c \in \mathbb{C} è costruibile se e solo se è radice di un polinomio irriducibile (polinomio a coefficienti razionali che però non ha radici razionali, per esempio x^2-2 ) il cui grado è una potenza del 2.

Definizione Sia a \in \mathbb{C}. Si dice polinomio minimo di a in \mathbb{Q} il polinomio irriducibile di grado minimo, di cui a è radice.

 

Duplicazione del cubo

Il problema della duplicazione del cubo è di per sé semplice. Consiste nel cercare di costruire un cubo di volume doppio ad uno dato. Supponiamo quindi di avere un cubo di lato unitario, vorremmo costruire un cubo di volume 2 con soli riga e compasso.

Se non ci si limitasse all’utilizzo di questi due strumenti, questo problema sarebbe evidentemente di non difficile risoluzione. Basterebbe un righello in cui è possibile misurare, con sufficiente precisione, le distanze.

Il problema qui è però più sottile. Infatti la modalità con cui questo secondo cubo deve poter essere costruito, è solo come sequenza di costruzioni elementari (quelle viste prima).

duplicazione cubo

Questo problema è giunto a noi sotto forma di mito. Le sue origini sono dubbie, ma le sue testimonianze sono prevalentemente due:

La prima testimonianza in merito è una lettera di Eratostene al re Tolomeo III. Si narra della messa in scena della situazione in cui il re Minosse, di fronte al sepolcro del re Galuco in costruzione (di forma cubica), disse: «piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la forma; si raddoppino, pertanto, tutti i lati».

Eratostene, dopo aver rilevato che l’ordine dato era erroneo, perché raddoppiando i lati di un cubo se ne ottiene un altro con volume otto volte maggiore, riferisce che nacque tra gli studiosi il cosiddetto “problema della duplicazione del cubo”.

La seconda testimonianza è conosciuta come Problema di Delo. Si narra che gli abitanti di Delo, avendo interrogato l’oracolo di Apollo sul modo di liberarsi dalla peste, avessero ricevuto l’ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente.

Quindi è possibile costruire questo cubo di volume doppio con gli strumenti elementari (riga e compasso)?

La risposta è no, non solo perché non è stato trovato un modo per costruirlo, ma perché ne è stata dimostrata l’impossibilità.

Ti ho già anticipato, nella parte introduttiva di questo articolo, che un ruolo fondamentale per la “risoluzione” di questi problemi, sono le innovazioni apportate all’algebra, in particolare dal grande Galois.

Il problema della duplicazione del cubo si riduce, algebricamente, alla costruzione con riga e compasso del numero \sqrt[3]{2}

Teorema La duplicazione del cubo è impossibile

Dimostrazione:

Non esiste un cubo il cui lato a \in \mathbb{K} (sia costruibile) e il suo volume sia a^3=2. Questo perché se esistesse un tale a, avrebbe polinomio minimo, di grado 3. Il 3 non è evidentemente potenza di 2 (lemma 2), segue quindi la nostra tesi.

Q.E.D.

La trisezione di un angolo

Nei video proposti poco più sopra, puoi vedere come sia possibile bisecare un angolo. Non è per niente complicato, peccato però che non sia possibile dividerlo in tre parti uguali. Infatti, grazie ai risultati a cui si è arrivati in algebra dopo le innovazioni introdotte da Galois e le conseguenti scoperte, si è dimostrato impossibile trisezionare un angolo con riga e compasso.

Vediamolo un po’ più formalmente:

Teorema La trisezione di un angolo è impossibile

Dimostrazione:

Sia a=60 =\frac{\pi}{3} . Abbiamo quindi a/3 = \pi/9 e 2\cdot a/3 = 2\cdot \pi/9 . Ma a è una delle radici none primitiva dell’unità, in particolare zero del polinomio x^9-1=(x^3-1)*(x^6+x^3+1) . Dunque a è zero del secondo fattore che è irriducibile nel campo dei razionali. Segue che esso è il polinomio minimo di sui razionali. Si vede quindi che il grado del polinomio minimo è 6, che non è evidentemente una potenza del 2 (lemma 2). Segue quindi la nostra tesi.

Q.E.D.

Ci tengo a soffermarmi su un fatto per me rilevante, infatti questo problema ha suscitato molto interesse nel corso della storia. Il fatto che sia impossibile dividere equamente in 3 parti un angolo con riga e compasso, non esclude che ci siano molti altri modi interessanti per farlo.

Per esempio è possibile trisezionare un angolo con gli origami, sì, piegando un foglio di carta in una certa sequenza di mosse! Ecco qui un video molto chiaro in cui viene spiegato come farlo:

 

 

Ci sono molte altre modalità interessanti con cui si è riusciti, nel corso della storia, a trisezionare un angolo. L’ultima che voglio citarti è quella scoperta da Nicomede. Lui visse circa nello stesso periodo di Archimede (nel II secolo a.C.) e produsse la famosa curva concoide (conchiglia in greco). Qui sotto puoi vedere il grafico di questa curva.

 

 

Si può utilizzare tale grafico per trisezionare un qualsiasi angolo, se sei interessato a scoprirne di più guarda qui, mi sono dilungato fin troppo in questo articolo e preferisco consigliarti una risorsa esterna piuttosto che essere poco chiaro qui in qualche riga 😉 .

Quadratura del cerchio

Far quadrare il cerchio, quante volte ti sarà capitato di sentire queste parole…è infatti anche spesso usata come metafora nel momento in cui si trova la soluzione perfetta ad un problema difficile.

Peccato che questo problema una soluzione non ce l’abbia.

quadratura del cerchio

Infatti, come i due precedenti, è dimostrabile che non si può costruire un quadrato di area uguale a quella di un cerchio dato con soli riga e compasso.

Prendiamo l’esempio del cerchio unitario, la cui area è Pi Greco.

Cosa vorrebbe dire “costruire un quadrato di area Pi Greco”? Beh, a parole non è niente di complicato, significa infatti disegnare un quadrato di lato \sqrt{\pi}.

Come mai è impossibile costruire tale quadrato? Lo vediamo nella dimostrazione qui sotto:

Teorema La quadratura del cerchio è impossibile

Dimostrazione:

Supponiamo di poter costruire un quadrato di lato avente area Pi Greco. Di conseguenza a \in \mathbb(K) e si avrebbe a^2 = \pi \in \mathbb(K) il che è assurdo dato che Pi sarebbe in tal modo un numero algebrico in quanto soluzione dell’equazione x^2-\pi=0.

Questo problema risale alle origini della geometria, e tenne occupati i matematici per secoli. 

Fu solo nel 1882 che l’impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell’antichità avevano afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità.

L’impossibilità di una tale costruzione, con le limitazioni imposte dall’uso esclusivo di riga e compasso, deriva dal fatto che il Pi Greco è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, e quindi non-costruibile. La sua trascendenza fu dimostrata da Ferdinand von Lindemann nel 1882.

Conclusione

Concludo dicendo che questi problemi mi hanno affascinato fin da quando ho iniziato a capire quanto restrittivi potessero essere questi limiti negli strumenti a disposizione. L’interesse è aumentato quando, dopo un corso di algebra, ho iniziato a capirci qualcosa in più sulla teoria di Galois e sul perché tali problemi siano impossibili.

Quindi, se avessi dubbi, approfondimenti o risorse consigliarmi da farmi conoscere, ti invito a lasciare un commento qui sotto o contattarci sulla pagina Facebook.

Visto che i cenni all’algebra e alla teoria di Galois sono stati parecchi in questo articolo, spero che un po’ di curiosità a riguardo ti sia sorta. In parte verrano approfondite, la prossima infatti pubblicheremo un articolo tutto dedicato a Galois e alle sue scoperte.

P.S. Questo articolo è stato un po’ più tecnico del solito, gradiremmo molto quindi sapere cosa ne pensi, se l’hai gradito e sapere ogni suggerimento che avresti da darci.

P.P.S. Sono consapevole che non esistano le mezze misure tra formalità (ed enunciati/teoremi rigorosi) e passare un’idea/concetto matematico. Cercando di fare ciò è inevitabile trascurare alcuni particolari o passaggi, dandoli per banali quando in realtà non lo sono. Spero di essere riuscito a limitare queste problematiche ma sono certo di non averle evitarle del tutto 🙂

Al prossimo articolo!

Davide