Biografia sintetica di Srinivasa Ramanujan

Questa biografia è tratta, in gran parte, da questo articolo:

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ramanujan/

Il mio lavoro è stato di sintesi, traduzione e integrazione con qualche altro materiale. Fammi sapere con un commento se può interessarti qualche altra biografia 🙂


Biografia di Ramanujan

Infanzia

Srinivasa Ramanujan è stato uno dei più geniali matematici indiani. Ha dato contributi sostanziali alla teoria analitica dei numeri e ha lavorato su funzioni ellittiche e serie infinite.

Srinivasa Ramanujan

Ramanujan è nato nella casa di sua nonna in un piccolo villaggio a circa 400 km a sudovest di Madras (ora Chennai).

Frequentò varie scuole prima di entrare alle superiori, dove si dimostrò un ottimo studente. Nel 1900 iniziò anche a lavorare in proprio sulla matematica, dedicandosi a serie geometriche e aritmetiche.

A Ramanujan è stato mostrato come risolvere le equazioni cubiche nel 1902. Si è poi dedicato a riscoprire in autonomia come risolvere le equazioni quartiche. Inoltre, non sapendo che le equazioni di grado cinque non potevano essere risolte tramite radicali, si avventurò nel provare a risolverle (ovviamente senza riuscirvi).

Durante le scuole superiori, si imbatté in un libro di matematica di G.S. Carr intitolato Sinossi dei risultati elementari in matematica pura, il quale diventò un faro per la sua carriera da matematico.

Questo libro, con il suo stile molto conciso, permise a Ramanujan d’imparare da solo la matematica. Tuttavia, lo stile del libro avrebbe avuto un effetto piuttosto sfortunato sul modo in cui Ramanujan avrebbe poi scritto i suoi risultati matematici, poiché l’unico approccio “formale” alla matematica con cui entrò in contatto proveniva proprio solamente da questo libro.

Il libro conteneva teoremi, formule e brevi dimostrazioni, alle quali però non era spesso attribuita la dovuta importanza. Conteneva anche un indice degli articoli sulla matematica pura che erano stati pubblicati nelle riviste europee delle società erudite durante la prima metà del XIX secolo. Il libro, pubblicato nel 1886, era ovviamente obsoleto quando Ramanujan lo usò.

Primi anni di ricerca

Nel 1904 Ramanujan iniziò a entrare nel mondo della ricerca matematica. Più precisamente, si interessò alla serie $\sum_{n\in\mathbb{N}_0}\frac{1}{n}$ e ad approssimare la costante di Eulero fino a 15 cifre decimali.

A causa del suo sproporzionato interesse verso la matematica, rispetto alle altre discipline, il suo rapporto con le università non fu mai buono. Infatti non riuscì a ricevere/mantenere borse di studio.

Journal of the Indian Mathematical Society

Senza soldi si trovò presto in difficoltà e, senza dirlo ai suoi genitori, scappò nella città di Vizagapatnam circa 650 km a nord di Madras. Tuttavia, continuò i suoi approfondimenti matematici e in questo periodo lavorò sulle serie ipergeometriche. Inoltre, indagò le relazioni tra integrali e serie. In seguito avrebbe scoperto di aver studiato le funzioni ellittiche.

Per nominare altri temi che, in quel periodo, interessarono Ramanujan, possiamo menzionare che lui studiò le frazioni continue e le serie divergenti nel 1908. Continuò inoltre a sviluppare le sue idee matematiche e iniziò a porre problemi e risolvere problemi nel Journal of the Indian Mathematical Society. Ha poi sviluppato alcune relazioni tra equazioni modulari ellittiche nel 1910. Dopo la pubblicazione di un brillante articolo di ricerca sui numeri di Bernoulli nel 1911 nel Journal of the Indian Mathematical Society, ha ottenuto del riconoscimento per il suo lavoro nel mondo accademico. Infatti, nonostante la sua mancanza d’istruzione universitaria, iniziava a diventare famoso nell’area di Madras come genio matematico.

Ramanujan è stato abbastanza fortunato ad avere un certo numero di persone che lavoravano intorno a lui con una formazione in matematica. Questi lo incoraggiarono spesso a contattare matematici rinomati, che lavoravano negli stessi suoi settori. Tra i vari matematici da lui contattati, ci fu anche Hardy, con il quale si è sviluppata poi una grandissima collaborazione.

La collaborazione con Hardy

Nel gennaio 1913 Ramanujan scrisse a G. H. Hardy dopo aver visto una copia del suo libro del 1910 Ordini dell’infinito. Nella lettera, Ramanujan si presenta così (libera traduzione della lettera originale):

Non ho avuto una formazione universitaria ma ho frequentato il percorso di studi ordinario. Dopo aver lasciato la scuola ho impiegato il tempo libero a mia disposizione per lavorare sulla matematica. Non ho frequentato un corso universitario, ma mi sto tracciando una nuova strada. Ho studiato le serie divergenti in generale e i risultati che ho ottenuto sono definiti dai matematici locali come “sorprendenti”.

Hardy

Hardy, insieme a Littlewood, studiò la lunga lista di teoremi non dimostrati che Ramanujan allegò alla sua lettera. L’8 febbraio ha risposto a Ramanujan, iniziando la lettera così:

Sono stato estremamente interessato dalla tua lettera e dai teoremi che enuncia. Capirai comunque che, prima che io possa giudicare adeguatamente il valore di ciò che hai fatto, è essenziale che io veda le dimostrazioni di alcune dei tuoi enunciati. I tuoi risultati mi sembrano rientrare in circa tre classi:

  1. esistono alcuni risultati già noti, o facilmente deducibili da teoremi noti;
  2. ci sono risultati che, per quanto ne so, sono nuovi e interessanti, ma interessanti piuttosto per la loro curiosità e apparente difficoltà che per la loro importanza;
  3. ci sono risultati che sembrano nuovi e importanti…
Biblioteca del Trinity College

Ramanujan fu chiaramente felicissimo della risposta di Hardy. Nel 1914, Hardy portò Ramanujan al Trinity College di Cambridge, per iniziare una straordinaria collaborazione. Fin dall’inizio, però, ha avuto problemi con la sua dieta, vegana. Lo scoppio della prima guerra mondiale rese più difficile procurarsi generi alimentari particolari a cui era abituato e non passò molto tempo prima che Ramanujan avesse problemi di salute.

Fin dall’inizio la collaborazione di Ramanujan con Hardy ha portato a risultati importanti. Hardy, tuttavia, non era sicuro di come affrontare il problema della mancanza d’istruzione formale di Ramanujan. Scrisse:

Cosa si doveva fare per insegnargli la matematica moderna? I limiti della sua conoscenza erano sorprendenti quanto la sua profondità.

A Littlewood è stato chiesto di aiutarlo a insegnare a Ramanujan metodi matematici rigorosi. Tuttavia lui disse

… che era estremamente difficile perché ogni volta che veniva menzionata una questione che si pensava che Ramanujan avesse bisogno di sapere, la risposta di Ramanujan era una valanga d’idee originali che rendevano quasi impossibile a Littlewood di persistere nella sua intenzione originale.

La guerra presto portò via Littlewood in servizio di guerra, ma Hardy rimase a Cambridge per lavorare con Ramanujan. Anche nel suo primo inverno in Inghilterra, Ramanujan si ammalò e nel marzo 1915 scrisse che era stato malato a causa del clima invernale e non aveva potuto pubblicare nulla per cinque mesi. Quello che pubblicò fu il lavoro che fece in Inghilterra, essendo stata presa la decisione che i risultati che aveva ottenuto mentre era in India, molti dei quali aveva comunicato ad Hardy nelle sue lettere, non sarebbero stati pubblicati fino alla fine della guerra.

Il 16 marzo 1916 Ramanujan si laureò a Cambridge con un Bachelor of Arts by Research (la laurea fu chiamata Ph.D. dal 1920). Gli era stato permesso d’iscriversi nel giugno 1914 nonostante non avesse le qualifiche adeguate.

Ramanujan si ammalò gravemente nel 1917 e i suoi medici temevano che sarebbe morto. A settembre è migliorato un po’, ma ha trascorso la maggior parte del tempo in varie case di cura.

Il 18 febbraio 1918 Ramanujan fu eletto membro della Cambridge Philosophical Society e poi tre giorni dopo, il più grande onore che avrebbe ricevuto, il suo nome comparve nella lista per l’elezione come membro della Royal Society di Londra. Era stato proposto da un impressionante elenco di matematici, vale a dire Hardy, MacMahon, Littlewood e molti altri. La sua elezione a membro della Royal Society fu confermata il 2 maggio 1918, quindi il 10 ottobre 1918 fu eletto Fellow del Trinity College di Cambridge, la borsa di studio che durerà sei anni.

Gli onori che furono conferiti a Ramanujan sembrarono aiutare la sua salute a migliorare un po’ e rinnovò i suoi sforzi nel produrre matematica. Alla fine di novembre 1918 la salute di Ramanujan era notevolmente migliorata. Hardy ha scritto in una lettera:

Penso che ora possiamo sperare che abbia girato l’angolo e che sia sulla strada di una vera ripresa. La sua temperatura ha cessato di essere irregolare e ha guadagnato quasi un chilo di peso. … Non c’è mai stato alcun segno di diminuzione nei suoi straordinari talenti matematici. Ha prodotto meno, naturalmente, durante la malattia, ma la qualità è stata la stessa. ….

Tornerà in India con una posizione scientifica e una reputazione come nessun indiano ha mai goduto prima, e sono fiducioso che l’India lo considererà il tesoro che è. La sua naturale semplicità e modestia non è mai stata minimamente intaccata dal successo – anzi tutto ciò che si vuole è fargli capire che è davvero un successo.

Ramanujan salpò per l’India il 27 febbraio 1919 arrivando il 13 marzo. Tuttavia la sua salute era pessima e, nonostante le cure mediche, vi morì l’anno successivo.

Fatti conclusivi

Le lettere che Ramanujan scrisse a Hardy nel 1913 contenevano molti risultati affascinanti. Ramanujan ha elaborato sulla serie di Riemann, gli integrali ellittici, le serie ipergeometriche e le equazioni funzionali della funzione zeta. D’altra parte aveva solo una vaga idea di cosa costituisse una dimostrazione matematica. Nonostante molti brillanti risultati, alcuni dei suoi teoremi sui numeri primi erano completamente sbagliati.

MacMahon

Ramanujan ha scoperto in modo indipendente alcuni risultati di Gauss, Kummer e altri sulle serie ipergeometriche. Il lavoro di Ramanujan sulle somme parziali e sui prodotti delle serie ipergeometriche ha portato a un importante sviluppo dell’argomento. Forse il suo lavoro più famoso è stato sul numero $p(n)$ di partizioni di un intero $n$ in somme. MacMahon aveva prodotto tabelle del valore di $p(n)$ per piccoli numeri $n$, e Ramanujan usò questi dati numerici per ipotizzare alcune proprietà notevoli, alcune delle quali dimostrò usando le funzioni ellittiche. Altri sono stati provati solo dopo la morte di Ramanujan.

In un articolo congiunto con Hardy, Ramanujan ha fornito una formula asintotica per $p(n)$. In quell’articolo introdussero un rilevante risultato che sembrava dare il valore corretto di $p(n)$, e questo fu successivamente dimostrato da Rademacher.

Ramanujan ha lasciato una serie di quaderni inediti pieni di teoremi che i matematici hanno continuato a studiare. G.N. Watson, professore di matematica pura a Birmingham dal 1918 al 1951 pubblicò 14 articoli con il titolo generale Teoremi enunciati da Ramanujan e in tutto pubblicò quasi 30 articoli ispirati al lavoro di Ramanujan. Hardy trasmise a Watson il gran numero di manoscritti di Ramanujan che aveva a disposizione, sia quelli scritti prima del 1914 che alcuni scritti nell’ultimo anno di Ramanujan in India prima della sua morte.

Fondamenti di teoria delle curve

Qualunque corso di base di geometria differenziale, inizia parlando di curve e superifici. Ho quindi pensato di iniziare questa serie di post che dedicherò alla geometria differenziale con un paio di articoli sulle curve e un altro paio sulle superfici.

Il mio intento è provare a spiegare i concetti fondamentali di quest’area della matematica, senza l’ambizione di essere esaustivo (per quello ci sono i libri di testo) ma con l’obiettivo di far arrivare l’intuzione dietro a concetti molto astratti quali quello di varietà. Cercherò di farlo tramite esempi e spiegazioni discorsive quando possibile.

Ovviamente ci saranno anche definizioni, enunciati e risultati matematici, però eviterò spesso di proporre le dimostrazioni (per le quali però darò delle referenze). In questo articolo e nel prossimo, dedicati alle curve, farò riferimento ad un libro per me davvero ottimo, ovvero l’Abate Tovena. Ti consiglio davvero di leggerne almeno i pezzi più importanti.

Ma veniamo quindi a questi due articoli…cosa esploreremo della teoria delle curve? Ho pensato di organizzarlo nei seguenti punti:

  • Definizione del concetto di curva
  • Cos’è la parametrizzazione con lunghezza d’arco
  • Cosa sono curvatura e torsione
  • Triedro di Frenet-Serret
  • Cos’è il grado di una curva
  • Cosa intendiamo per intorno tubolare di una curva

Cos’è una curva?

Iniziamo subito con la definizione, per poi passare a qualche esempio che di sicuro chiarirà il concetto.

Definizione (Curva parametrizzata) Una curva parametrizzata in $\mathbb{R}^n$ è una mappa $\sigma: I \rightarrow\mathbb{R}^n$, dove $I$ è un intervallo della retta reale. Diciamo $t\in I$ il parametro della curva, che definisce un punto (almeno) $\sigma(t)$ lungo quello che è chiamato sostegno della curva, ovvero l’immagine $\sigma(I)\subset\mathbb{R}^n$. Supposto $I=[a,b]$, diciamo $\sigma$ una curva chiusa se $\sigma(a)=\sigma(b)$.

In base a quante volte possiamo derivare la mappa $\sigma$, possiamo definire la regolarità della curva. Più precisamente, se la curva ammette le prime $k$ derivate continue, allora la curva sarà almeno di classe $C^k$.

Prima di sviscerare per bene la definizione, ci tengo a soffermarmi su una cosa importante ovvero

L’idea di curva che abbiamo di solito è di un sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$, dato che se ti chiedono di disegnare una curva sul foglio vai a colpo sicuro. Però matematicamente è importante fare distinzione tra l’immagine in $\mathbb{R}^n$ della curva (ovvero quello che disegnamo), e la curva (parametrizzata) stessa.

Per fissare questo concetto, direi che è ora di vedere un esempio! Vediamo quindi due curve diverse, i cui sostegni però coincidono. Ovvero, in parole povere, i due disegni delle curve coincidono ma le loro parametrizzazioni no.

Esempio Consideriamo due curve $\sigma,\gamma : [0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}^2$ definite come segue:

  • $\sigma(t) = (\cos{t},\sin{t})$
  • $\gamma(t) = (\cos{(2t)}, \sin{(2t)})$.

Intanto vediamo che essendo entrambe le componenti di queste curve delle funzioni trigonometriche, queste curve possono essere derivabili infinite volte e quindi sono curve di classe $C^{\infty}$.

Probabilmente hai già visto queste curve e sai già come rappresentarle, però ho pensato di mostrarti un’animazione in cui è evidente come stiamo parametrizzando ciascuna curva:

https://www.mathone.it/wp-content/uploads/2021/05/SquareToCircle-1.mp4
Qui puoi vedere due punti che scorrono sulla circonferenza unitaria, uno alla velocità doppia dell’altro..ovvero nel tempo in cui un punto fa un singolo giro, l’altro ne fa 2, esattamente come descritto dalle parametrizzazioni viste sopra (il video è realizzato con Manim).

Non c’è molto da approfondire della definizione vista poco fa, se non il fatto che non necessariamente una curva è definita su un dominimo che è un aperto (intervallo) della retta reale. Per esempio, nel caso l’intervallo $I$ sia un insieme compatto (per esempio nel caso $I=[a,b]$) possiamo estendere la definizione della curva su un aperto che contiene tale insieme $I$ propriamente.

Una cosa molto interessante da precisare è che non necessariamente le curve che consideriamo sono iniettive. Un esempio di questa possibilità l’abbiamo visto con la parametrizzazione $\gamma$ vista sopra. Ciò significa che potremmo avere due punti distinti dell’intervallo $I$ che sono mandati nello stesso punto di $\mathbb{R}^n$. Un altro classico esempio è fornito dalla seguente curva:

$$ t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi\right)\mapsto (\cos{t},\sin{t}\cos{t}) $$

Ciò significa, in particolare, che non tutte le curve parametrizzate devono essere rappresentate da un omeomorfismo dell’intervallo $I$ sul sostegno della curva, nel caso tu abbia già utilizzato questo concetto

Un altro classico esempio di curva che di sicuro avrai utilizzato in passato, è quello ottenibile dal grafico di una funzione. Supponi infatti di avere una funzione $f:I\rightarrow\mathbb{R}^{n-1}$ di classe $C^k$. Allora essa definirà il sostegno di una curva, altrettanto regolare, parametrizzata come segue $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n,$ $\sigma(t) = (t,f(t))$.

Prima di passare a vedere il concetto di parametrizzazione tramite lunghezza d’arco, direi che è molto interessante (anche da un punto di vista applicativo) parlare di riparametrizzazione di curve e di curve equivalenti.

Date due curve parametrizzate $\sigma: I \rightarrow\mathbb{R}^n$, $\sigma’:\tilde{I}\rightarrow \mathbb{R}^n$ di classe $C^k$, diciamo che esse sono equivalenti se esiste un diffeomorfismo (funzione differenziabile e invertible, con inversa differenziabile) $h:\tilde{I}\rightarrow I$ della stessa regolarità, tale che $\sigma’ = \sigma\circ h$. Si dice quindi che $\sigma’$ è una riparametrizzazione di $\sigma$.

Prima abbiamo per esempio visto la riparametrizzazione $t\rightarrow 2t$ per muoverci al doppio della velocità lungo la circonferenzia unitaria.

Questo esempio, è anche uno dei vari che potremmo fare per parlare di curve chiuse. Chiaramente le curve chiuse non sono iniettive. La nozione di curva chiusa è stata introdotta nella definizione all’inizio di questa sezione, ma non mi ci soffermo più di tanto dato che penso sia abbastanza intuitivo. Giusto per non trascurare nulla però, ecco un altro esempio di curva chiusa: $$ t\in [0,6\pi]\mapsto (1+\sin{t}, 3+3(\cos{t})^3) $$

Parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco

Essendo che in tutta la serie di articoli che sto iniziando con questo parleremo di geometria differenziale, vogliamo almeno essere in grado di calcolare le derivate prime degli oggetti che introduciamo. Nel caso delle curve, parametrizzate da $\sigma(t)$, vogliamo quindi che la funzione sia almeno di classe $C^1$.

Un ottimo modo per vedere una curva parametrizzata e capire anche il senso della sua derivata, è quello di pensare in termini fisici. Infatti se noi ci riferiamo al parametro $t\in I$ come un tempo, possiamo dire che il sostegno della curva rappresenta la strada percorsa da una particella in $\mathbb{R}^n$ nell’intervallo temporale $I$.

Ogni particella, oltre ad una strada che percorre, è anche caratterizzata da una velocità con cui la percorre. In un qualche modo (complicato) abbiamo già visto il concetto di velocità di percorrenza di una curva quando abbiamo introdotto la nozione di curve equivalenti. Infatti in tal caso abbiamo detto che due curve sono equivalenti se hanno lo stesso sostegno, il quale è però "coperto" in tempi diversi, ovvero con velocità diverse.

La velocità di una particella, non è altro che la derivata temporale della sua traiettoria. Nel caso quindi di una curva parametrizzata $\sigma(t) = (\sigma_1(t),…,\sigma_n(t))$, possiamo calcolare la derivata che sarà ancora un vettore di $\mathbb{R}^n$ definito come $\dot{\sigma}(t) = (\dot{\sigma}_1(t), … ,\dot{\sigma}_n(t))$. Questa derivata, come siamo abituati a pensare per qualsiasi funzione $f$, geometricamente rappresenta il vettore tangente nel punto $\sigma(t)\in\mathbb{R}^n$ al sostegno della curva in $\sigma(t)$.

Vediamo quindi un esempio di curva parametrizzata con rispettivo calcolo e rappresentazione del vettore tangente. Consideriamo la curva $\sigma(t) = (t,\sin{t})$ con $t\in [0,2\pi]$. La sua derivata definisce il vettore tangente $\sigma’(t) = (1,\cos{t})$ ottenuto semplicemente derivando le singole componenti rispetto a $t$. Qui sotto puoi vedere la rappresentazione grafica di ciò che stiamo facendo:

Una definizione importante in questo contesto è quella di curva regolare.

Diciamo una curva $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$ regolare se per ogni $t\in I$, si ha $\sigma’(t)\neq 0\in\mathbb{R}^n$.

Prima di vedere un esempio di curva non regolare, ci tengo a stressare il fatto che nel caso di curve derivanti dal grafico di una funzione $f$, non avremo mai punti non regolari, ovvero dove la velocità è zero. Infatti tutte le curve di questo tipo prendono la forma $\sigma(t) = (t,f(t))$ e quindi $\sigma’(t) = (1,f'(t))$ che è sempre diverso dal vettore nullo.

Ecco un semplice esempio di curva non regolare: $\sigma(t) = (t^2,t^3)$ con $t\in [0,1]$. Infatti qui abbiamo $\sigma’(t) = (2t,3t^2)$ che si azzera in $t=0$. Ecco qui il grafico di questa situazione:

Come puoi vedere, il vettore tangente continua ad allungarsi mano a mano che $t$ cresce, però coincide con il vettore nullo nel caso $t=0$.

Questo allungamento del vettore tangente, non è sempre una cosa desiderabile dato che ci impone di "portarci dietro" delle normalizzazioni per definire concetti quale curvatura o torsione della curva. Ecco quindi che entra in gioco la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco di cui volevo parlarti in questa sezione.

Una curva $\sigma$ di classe $C^k$, con $k\geq 1$, che è parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco ha $|\sigma’(t)|\equiv 1$.

Parleremo di curve parametrizzate rispetto alla lunghezza d’arco quando la velocità istantanea di queste è unitaria in termini di modulo. Ogni sostegno di una curva ammette una ed una sola parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco. E’ abbastanza chiaro poi che nel caso di questa scelta della parametrizzazione, il vettore tangente non potrà mai annullarsi e quindi avremo sempre curve regolari.

Per tutte queste belle proprietà, spesso questa parametrizzazione viene chiamata parametrizzazione naturale. Per riferirci ad una curva parametrizzata in questo modo, invece di $t$ useremo il parametro $s$. Vediamo quindi un semplice esempio.

Consideriamo la curva $\sigma(t) = (r\cos{t},r\sin{t})$, con $t\in [0,2\pi]$. Essa chiaramente non ha vettore tangente in norma unitaria, quindi questa non è una parametrizzazione naturale della circonferenza unitaria. Cerchiamo quindi di ricavarla.

Per ricavare il parametro lunghezza d’arco di $\sigma$ possiamo ricorrere alla seguente definizione

Consideriamo una curva $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$ di classe $C^k$ con $k\geq 1$. Fissato un $t_0\in I$, la lunghezza d’arco di $\sigma$ a partire da $t_0$ è la funzione $s:I\rightarrow \mathbb{R}$ data da $$ s(t) = \int_{t_0}^t |\sigma’(r)|dr. $$

Ciò ci porta a dire che una curva è parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco se e solo se $s(t) = t-t_0$, ovvero se a meno di traslazioni $t$ coincide con $s(t)$.

Torniamo quindi al nostro esempio. In questo caso $\sigma’(t) = (-r\sin{t},r\cos{t})$ e quindi $|\sigma’(t)|=r$. Possiamo quindi calcolare la lunghezza d’arco di questa curva tramite l’integrale visto poco fa, ovvero $$ s(t) = \int_{t_0}^t |\sigma’(r)|dr = r(t-t_0). $$ Questo implica che, scegliendo $t_0=0$, otterremo la lunghezza d’arco $s(t) = rt$.

Se quindi sostituiamo a $t$, la quantità $s/r$ nella parametrizzazione $\sigma(t) = (r\cos{t},r\sin{t})$ otterremo una curva parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco $s$ : $$\sigma(s/r) = \left(r\cos{\left(\frac{s}{r}\right)},r\sin{\left(\frac{s}{r}\right)}\right) = \tilde{\sigma}(s).$$ Se infatti calcoliamo la norma del vettore tangente a $\tilde{\sigma}$ otterremo $|\tilde{\sigma}'(s)|=\left(r^2\left(\frac{1}{r^2}\cos{(s/r)}^{2}+\frac{1}{r^2}\sin{(s/r)}^2\right)\right)^{1/2} = 1$.

Puoi divertirti ora a calcolare la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco di tutte le curve che abbiamo visto negli esempi sopra

Prima di passare alla prossima sezione, direi che è un buon momento per vedere un altro esempio molto interessante. Infatti di sicuro hai avuto modo di disegnare e studiare delle rette del piano o dello spazio. Queste sono curve tanto quanto quelle "che curvano" e abbiamo visto fino ad adesso. Ecco quindi brevemente quello che possiamo fare per parametrizzare una retta del piano e come trasformarla rispetto alla lunghezza d’arco. La retta che consideriamo è della forma $\sigma(t) = (t,mt+q)$, la cui derivata è $\dot{\sigma}(t) = (1,m)$. Intanto notiamo una cosa molto importante, ovvero che il vettore tangente che abbiamo trovato è costante, cosa che non è successa per nessuna delle curve precedenti.

La norma di tale vettore è costantemente uguale a $|\dot{\sigma}(t)| = \sqrt{1+m^2}$.

Abbiamo quindi visto che la lunghezza d’arco rispetto a $t_0=0$ è $s(t) = t\sqrt{1+m^2}$. Se sostituiamo $t = s/\sqrt{1+m^2}$ otteniamo la riparametrizzazione della retta rispetto alla lunghezza d’arco : $$ \sigma\left(\frac{s}{\sqrt{1+m^2}} \right) = \left(\frac{s}{\sqrt{1+m^2}},s\frac{m}{\sqrt{1+m^2}} + q \right). $$

Ottimo, ora siamo pronti per vedere in modo più chiaro cosa intendiamo con la frase la retta non è una curva che cuva mentre le altre che abbiamo visto sì. In particolare vedremo che una retta è una curva con curvatura zero.

Curvatura e torsione

Nel concludere la precedente sezione abbiamo realizzato che il vettore tangente ad una retta è costante e ciò si è verificato solo in quel caso. Possiamo quindi pensare ad una "curva che curva" come una curva il cui vettore tangente non è costante rispetto al parametro $t$ o $s$ nel caso della lunghezza d’arco.

Il vettore tangente a $\sigma(t)$, qualora essa sia una curva regolare e di classe almeno $C^1$, è sempre derivabile ed ha norma sempre maggiore di zero. Per cui possiamo tranquillamente anche definire una normalizzazione di questo vettore, semplicemente dividendo $\sigma’$ rispetto alla sua norma. Il motivo per cui vogliamo fare ciò, è che ci interessa parlare di come il vettore tangente varia lungo la curva, ma non ci interessano variazioni in norma, ma solo in direzione. E’ infatti intuitivo pensare a come una "curva curvi" parlando della variazione in direzione di tale vettore tangente.

Ecco quindi quello che possiamo chiamare versore tangente a $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$ di classe $C^k$: $$ u(t) = \frac{\sigma’(t)}{|\sigma’(t)|}$$ che è una ben definita funzione da $I$ a $\mathbb{R}^n$ di classe $C^{k-1}$.

Una cosa importante da notare è che nel caso $\sigma$ sia parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco, abbiamo $|\sigma’(s)|\equiv 1$. In tal caso quindi abbiamo semplicemente $u(s) = \dot{\sigma}(s) = d\sigma(s)/ds$.

Ora abbiamo tutti gli strumenti per poter parlare di curvatura, semplicemente come norma della derivata del versore tangente. Infatti l’unico modo in cui può variare il versore tangente è in direzione, dato che la sua norma è fissata, quindi tale derivata misura effettivamente quanto la nostra curva $\sigma$ curva.

Definiamo quindi la curvatura di $\sigma$ come la funzione $k:I\rightarrow\mathbb{R}^+$ di classe $C^{k-2}$ data da $$ k(s) = |\dot{u}(s)| = |\ddot{\sigma}(s)|. $$ Introduciamo anche un’altra notazione, che ci verrà comoda anche per i ragionamenti futuri, ovvero quella di curva biregolare. Abbiamo visto che una curva è regolare se la sua derivata non si annulla mai, mentre è biregolare se la sua curvatura non è mai zero.

E’ quindi un ottimo momento per vedere qual è la curvatura della retta che abbiamo parametrizzato rispetto alla lunghezza d’arco prima, ovvero $$ \sigma(s) = \left(\frac{s}{\sqrt{1+m^2}},s\frac{m}{\sqrt{1+m^2}} + q \right). $$ La derivata è $$ \dot{\sigma}(s) = \left(\frac{1}{\sqrt{1+m^2}},\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}\right) = u(s). $$ La curvatura è quindi la norma di $$ \ddot{\sigma}(s) = \left(0,0\right). $$ Ecco quindi "mostrato" che la curvatura di una retta è 0, come avevamo intuito in precedenza ma ora è più rigoroso.

Il perfetto esempio di "curva che curva" è una circonferenza, in tal caso vedremo che la curvatura è costante. La curvatura infatti ci fornisce un valore che è il reciproco di quello che chiamiamo raggio di curvatura. Data una curva $\sigma(s)$ ed un punto $\sigma(\bar{s})$ su essa, possiamo localmente vedere l’archetto nel sostegno intorno al punto $\sigma(\bar{s})$ come l’arco di una circonferenza, questa circonferenza avrà raggio pari a $1/k(\bar{s})$, ed è chiamato raggio di curvatura. Chiaramente tale raggio di curvatura è ben definito solo per curve biregolari, dato che dividiamo per la curvatura che deve essere diversa da zero. Nel caso di curvatura nulla, possiamo invece pensare ad un raggio di curvatura "infinito".

Per capire meglio il concetto ecco un paio di grafici legati alla curva $\sigma(s) = (\log{(s+\sqrt{1+s^2})}, \sqrt{1+s^2}) $ che dovrebbero aiutare:

Qui sopra abbiamo la circonferenza che nel punto $(0,1)$ è in grado di descrivere il modo in cui essa curva, che ha raggio $1 =1/k(0)$. Penso che con queste immagini sia parecchio chiaro cosa intendiamo per curvatura e raggio di curvatura, nel caso ciò non lo sia non farti problemi a scrivere un commento sotto all’articolo .

Oltre al versore tangente, possiamo anche definire un altro vettore molto importante per la curva $\sigma$, che è il versore normale. Intanto notiamo subito una cosa interessante, ovvero che la derivata del versore tangente $\dot{u}(s)$ è perpendicolare al vettore tangente $u(s)$ rispetto al prodotto scalare standard di $\mathbb{R}^n$. Infatti sappiamo che la norma di $u$ è costanetemente uguale a $1$ per costruzione, e quindi $u^T(s)u(s) \equiv 1$. Ciò implica che, se deriviamo entrambi i membri dell’equazione, otteniamo $\dot{u}^T(s)u(s) \equiv 0$, ovvero che $u(s)$ è ortogonale a $\dot{u}(s)$ per ogni $s$.

Possiamo quindi semplicemente normalizzare il vettore normale appena trovato e definire il versore normale alla curva nella posizione $s$. Esso è $n(s) = \dot{u}(s) /|\dot{u}(s)| = \dot{u}(s)/k(s)$. La curva $\sigma(s)$ localmente vive anche in un piano molto particolare, quello che è chiamato piano osculatore. Esso è quello definito dal vettore tangente e dal vettore normale appena definiti, ovvero $\sigma(s) + Span(n(s),u(s))$. Esso varia con $s$ ed è proprio questa variazione che ci permette di definire un altro concetto super importante per la teoria delle curve, ovvero quello di torsione.

Ah..prima di passare a parlare di torsione, ci tengo a dire che il versore normale e la curvatura sono calcolabili anche senza avere disponibile la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco, però ho deciso di non trattarla in questo articolo. Se però ti interessa, puoi per esempio andare a studiarti il lemma 1.3.10 del libro Abate Tovena.

Andando ad intuito, come definiresti una curva piana? Probabilmente ti verrà da pensare a delle curve nel piano cartesiano o, se hai un po’ più di esperienza in termini matematici, parlerai di curve in spazi di dimensione più alta ma che però sono contenuti in un singolo piano.

Avendo però appena introdotto cosa intendiamo per piano osculatore, possiamo quindi definire rigorosamente cosa intendiamo per curva piana:

Una curva piana è una curva per la quale il piano osculatore è costante per ogni $s$.

Tuttavia una curva è abbastanza chiaro che possa uscire da un piano, e quindi il piano osculatore torcersi. Per provare a chiarire l’idea, ecco qui un’immagine:

Chiaramente questa curva non sta tutta sullo stesso piano. Calcolare il piano osculatore di questa curva, di parametrizzazione $\sigma(t) = (\cos{t},\sin{t},t)$ passando per la lunghezza d’arco, sarebbe bello intricato e quindi evitiamo. Se però ti va di provare a farlo, ti consiglio di andarti a recuperare la formula menzionata prima (lemma 1.3.10 del libro).

Ora ci concentriamo sulle curve nello spazio $\mathbb{R}^3$. Una cosa molto interessante, è che un piano nello spazio $\mathbb{R}^3$ è unicamente identificato dal vettore normale ad esso. Ricordando quindi che il piano osculatore, nel quale la curva sta in un intorno di un suo punto, è definito dai versori tangente e normale, possiamo calcolare l’unico versore ad essi ortogonali. Questo definirà univocamente tale piano osculatore.

Tale vettore ha anche un nome, è infatti chiamato versore binormale. Esso è definito come $b = u\wedge n$ dove $\wedge$ definisce il prodotto vettoriale tra il versore tangente e il versore normale. Il motivo per cui esso abbia norma 1, e quindi possa essere chiamato versore, è che $u$ e $n$ sono ortogonali e $|b|= |u|\cdot|n|\cdot|\sin{\alpha}| = |u|\cdot|n| = 1$, dove $\alpha$ è l’angolo tra i due vettori, che in questo caso è $\pi/2$.

Tutto ciò ha anche una denominazione, infatti i versori tangente, normale e binormale sono particolarmente rilevanti per lo studio delle curve nello spazio, essi sono chiamati (insieme) triedro di Frenet-Serret associato alla curva $\{u(s),n(s),b(s)\}$.

A questo punto possiamo concludere la nostra discussione definendo cosa si intende per torsione e vedendo un modo semplice per caprie se una curva è piana. Diciamo infatti una curva biregolare piana, se il vettore binormale è sempre costante, infatti esso definisce il vettore ortogonale al piano osculatore. Se quindi lui non varia al variare di $s$, allora nemmeno il piano osculatore lo farà. Di conseguenza, anche il sostegno della curva sarà interamente contenuto in un piano.

Tutto quest’ultimo ragionamento ci porta al dire che il vettore binormale, e il modo in cui varia, è in grado di definire la torsione della curva. Per costruzione, il vettore binormale sarà ortogonale alla sua derivata rispetto ad $s$. Infatti ancora $b^T(s)b(s)\equiv 1$ e quindi $\dot{b}^T(s)b(s)\equiv 0$. Ciò implica che, essendo che ci stiamo riferendo a curve in $\mathbb{R}^3$, se un vettore è ortogonale a $b$, allora vive nel piano definito da $u(s)$ e $n(s)$, ovvero nel piano osculatore. Infatti $$\dot{b}(s) = \dot{u}(s)\wedge n(s) + u(s)\wedge \dot{n}(s) = u(s)\wedge \dot{n}(s) $$ visto che $\dot{u}(s)$ è parallelo a $n(s)$ (è solo la sua normalizzazione). Ciò ci porta anche a dire che $\dot{b}(s)$ è perpendicolare sia a $u(s)$ che a $\dot{n}(s)$, deve quindi essere un multiplo di $n(s)$.

Siamo finalmente pronti a parlare di torsione. Essa è la funzione $\tau:I\rightarrow\mathbb{R}$ di classe $C^{k-3}$, dove $\sigma\in C^k$, tale che $\dot{b}(s) = -\tau(s) n(s)$. Quindi la curva è piana se e solo se la curvatura $\tau(s)$ è identicamente nulla.

In questa trattazione fatta fino ad ora ho preferito dare spazio all’intuizione piuttosto che al ragionamento rigoroso, quindi in certi punti ho omesso requisiti di regolarità delle curve e funzioni utilizzate. Questo non perchè non siano importanti, tutt’altro, però per una comprensione iniziale ritengo sia più importante concentrarsi sul "big picture", dopo per capire meglio il tutto basta addentrarsi nei libri tecnici (come l’Abate Tovena. )

Potremmo dire dell’altro o fare più esempi, ma per ora direi che possiamo finire qui, ci leggiamo al prossimo articolo per proseguire con la discussione riguardo le curve .

Cosa si studia ad analisi 1?

Ecco alcuni punti chiave del video:

I principali argomenti trattati nel corso sono i seguenti.

  1. Numeri reali: perché ne abbiamo bisogno? Modelli dei numeri reali e definizione assiomatica. Assioma di completezza di $\mathbb{R}$, estremo superiore, inferiore e densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$. Breve riassunto dei concetti topologici della retta reale, aperti, chiusi ecc..
  2. Definizione di limite e nozione di funzione continua. Descrizione dei punti di accumulazione, con altri teoremi fondamentali sui limiti (per esempio il teorema dei carabinieri) e sulla proprietà di continuità.
  3. Nozione di derivata, concetto di massimo e minimo, con teoremi annessi. Per esempio il teorema di Weierstrass. Calcolo delle derivate e relative proprietà.
  4. Teorema di espansione di Taylor, serie di Taylor e conseguenti tecniche per risolvere forme indeterminate nei limiti grazie a questi concetti. esempio $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + … = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}$$
  5. Sviluppo del concetto di serie, somma infinita. Ci si concentra su particolari serie numeriche, si vede cosa si intende per convergenza di serie e vari criteri per valutare questa proprietà.
  6. Introduzione del concetto di integrale, con integrale superiore ed inferiore.  Descrizione delle varie proprietà, delle classi di funzioni integrabili e per esempio del teorema fondamentale del calcolo. Ci si concentra anche sugli integrali impropri (convergenza ecc..)
  7. Equazioni differenziali ordinarie e problemi di Cauchy. Ci si concentra su teoremi di esistenza e unicità, varie classi di ODE per esempio a variabili separabili, a coefficienti costanti del secondo ordine, o metodo di somiglianza –> l’idea è di arrivare a costruire delle soluzioni generali e integrali particolari di ODE. Cenni sullo studio qualitativo.

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Devo essere un genio per studiare matematica?

Beh, chiaramente deve essere un genio!

Ciao. Eccoci con un nuovo articolo. Oggi andremo a rispondere ad una domanda che mi è stata fatta parecchie volte e che ho trovato anche molto richiesta su Quora e altri siti.

La domanda è: “Per studiare matematica, devo essere un genio? Devo essere dotato in maniera innata? Devo essere nato con un quoziente intellettivo parecchio elevato? Oppure chiunque sostanzialmente può andare a studiarla?”.

Intanto, prima di proseguire la lettura, ti ricordo che se preferisci guardare video al leggere articoli, qui trovi la versione video dei contenuti che ho poi trascritto qui sotto :

Beh, l’affermazione con cui ho aperto l’articolo era abbastanza una provocazione chiaramente. Infatti, per quanto mi riguarda, per esperienza personale e per i miei amici che ho conosciuto nei 5 anni di università, non è necessario essere un genio per studiare matematica.

Le tre cose più importanti, per me, sono

  • la determinazione,
  • la passione e
  • l’interesse nel portare avanti questi studi.

E’ innegabile, chiaramente, che esistono persone dotate naturalmente, persone che arrivano prima alla soluzione dei problemi, persone che comprendono prima i risultati matematici della gran parte degli altri. Ovviamente loro sono avvantaggiati nel percorso universitario in matematica.

Però, andiamo un po’ a vedere qual è la definizione classica che puoi trovare su un qualunque dizionario del termine genio.

Solitamente si definisce genio una persona con una spiccata intelligenza, dove questa intelligenza che lo contraddistingue dagli altri, dalla massa, è un qualcosa di innato.

Ovviamente quindi, una persona che abbia questa dote naturale è avvantaggiata nella possibile carriera in quanto matematico o matematica e, in particolare, in quanto studente di questa disciplina.

Tuttavia, secondo me, questo non impedisce agli altri, con lo studio, il dovuto tempo e la fatica, di arrivare ad ottimi risultati. Funziona un po’ come negli sport, dove le capacità innate aiutano ma non sono tutto. Se uno è particolarmente dotato in termini fisici e di talento naturale nel giocare a basket, per esempio, è chiaro che abbia una marcia in più rispetto ad un ragazzo minuto e basetto.

E’ anche chiaro che, in termini probabilistici, questo abbia maggiori possibilità di arrivare in NBA rispetto alla seconda persona.

Però, se questo ragazzo dotato di natura non ci mette impegno, non ci mette dedizione e costanza andandosi ad allenare, andando alle partite e mettendoci la testa, difficilmente arriverà a competere con i grandi del basket.

Cosa diversa invece è se andiamo a vedere quale potrebbe essere la carriera dell’altro ragazzo, quello più minuto. Lui, magari, è molto appassionato, la natura non è dalla sua parte però è determinato, si allena costantemente, continua a migliorare giorno dopo giorno e, soprattutto, punta sul gioco di squadra. Ovvero, fa sue delle capacità che vanno a colmare le lacune che la natura purtroppo gli ha dato..

In parole povere, questo secondo ragazzo non si rassegna al fatto che ci sia qualcuno che è più forte di lui. Invece, continua a lavorare e, magari, un giorno può diventare un ottimo giocatore di serie B o magari anche in serie A .

Insomma, secondo me la cosa importante nello sport come nello studio della matematica, è il voler capire le cose, il voler capire come risolvere un problema e quindi l’essere determinati e costanti nello studio.

Ovviamente il parallelo che ho fatto con lo sport vale in modo limitato, è solo per dare un’idea. E’ evidente che la competizione sportiva non abbia alcun legame nella matematica, dato che il successo di una persona nel risolvere un problema non implica in nessun modo la sconfitta degli altri 😉 . Comunque, penso possa essere sufficientemente esplicativo.

Dai discorsi che ho fatto qui sopra, probabilmente capirai che io non ritengo un motivo valido per rinunciare all’iscrizione all’università di matematica la frase “ma io non vado bene in matematica alle superiori”.

Infatti, se comunque il tuo interesse verso la matematica è forte (intendo verso la matematica, non verso il saper fare i conti correttamente 😉 ), allora secondo me hai tutte le carte in regola per iscriverti e studiare matematica.

Questo era un breve articoletto in cui ho condiviso la mia idea riguardo questo tema. Mi farebbe ovviamente piacere leggere qui sotto nei commenti cosa ne pensi, o se hai qualsiasi suggerimento per nuovi video/articoli.

Con ciò ti saluto e ci leggiamo alla prossima, ciao!

principio del terzo escluso – Cos’e’ e qualche esempio

Ciao. Eccoci con un nuovo articolo. Oggi andremo a continuare la lista di terminologie matematiche spiegate brevemente. In questa sequenza di articoli/video ho previsto contenuti un po’ enciclopedici, in cui cerco di prendere quei termini/concetti che all’università vengono dati per scontati (e magari ti fai anche dei problemi a porre delle domande a riguardo perché pensi siano stupide).

Prima di proseguire, se preferisci guardare video alla lettura, qui trovi il video:

Oggi andremo a vedere che cosa si intende per principio del terzo escluso.Questo è un risultato molto semplice da capire. E’ un principio che è abbracciato in maniera molto aperta da gran parte dei rami della matematica. Vedremo poi però che ci sono anche dei matematici che non lo approvano, che non prendono in considerazione questo principio e sono chiamati matematici costruttivisti.

Il principio del terzo escluso si basa su un’idea molto semplice, o meglio evidenzia un’idea molto semplice: una proposizione matematica può essere o vera o falsa, non può esserci una terza possibilità.

Per esempio, quando sei davanti ad un numero naturale e affermi che è pari, ci sono solo 2 possibilità: hai ragione o hai torto. Infatti un numero naturale o è pari o non lo è, e in tal caso lo chiamiamo dispari. Però non può esserci una terza possibilità, ed ecco perché parliamo di “escludere il terzo”.

Questo è anche il principio che regola fondamentalmente la dimostrazione per assurdo. Infatti l’idea alla base di questa tecnica dimostrativa è di partire da un’assunzione (che solitamente è l’opposto di quello che vogliamo dimostrare) e poi, tramite dei ragionamenti logici e coerenti, arrivare ad una contraddizione.

Da ciò, possiamo dedurre che siccome partendo dall’assunzione di partenza, siamo arrivati ad una contraddizione, allora questa è errata. A questo punto entra a gamba tesa il principio del terzo escluso. Infatti, siccome non c’è alcuna possibilità oltre al fatto che un’assunzione sia errata o corretta, questa contraddizione vuol dire che abbiamo mostrato la validità della tesi.

Occhio però! Abbiamo mostrato la tesi non in modo costruttivo, ma l’abbiamo fatto escludendo l’altro caso possibile. Ecco dove arrivano i matematici costruttivisti, che si rifiutano di accettare risultati mostrati in questo modo e, più in generale, decidono di rinunciare completamente al principio del terzo escluso.

I matematici costruttivisti, vogliono mostrare tutti i risultati in modo costruttivo, ovvero concretamente partire dalle ipotesi e, logicamente, arrivare alla tesi.Detto ciò, magari non hai mai sentito parlare di questo principio, ma probabilmente avrai già utilizzato, magari senza accorgertene, tutti questi concetti di cui abbiamo parlato. Perché? Perché semplicemente è un principio molto ragionevole.

Noi infatti siamo abituati a dare per scontato che un concetto matematico sia o vero o falso. Chiaramente, nel mondo reale, nei problemi della vita concreta, ci sono delle verità opinabili, ci sono delle situazioni dove non c’è solo l’attributo di verità o falsità, e ci sono cose discutibili.

Però in questi casi si parla di “problemi” del linguaggio comune o di situazioni legate alle opinioni, ovvero tutte cose che in matematica non sono ben viste e presenti.

Con ciò spero di aver chiarito il principio del terzo escluso. Ti ricordo poi che se hai altri termini/concetti che ti interesserebbe che trattassi, puoi lasciare tranquillamente un commento qui sotto e proverò a trattarlo in altri video/articoli.

Con ciò ti saluto, e ci leggiamo al prossimo articolo 😉

Davide

La scommessa più disastrosa (e importante) della storia

Questa storia ha inizio nel 1684 quando tre uomini si incontrarono in un caffè a Londra.

Questi erano tre accademici e amici, ognuno dei quali aveva una reputazione che li anticipava: Edmond Halley, il poliedrico Robert Hooke e il rinomato architetto Sir Christopher Wren (nell’immagine sopra, da sinistra a destra).

Impegnandosi in vivaci conversazioni sui recenti sviluppi scientifici, la loro attenzione si spostò presto su un argomento che era stato a lungo fonte di mistero e intrighi nella comunità scientifica: i movimenti degli oggetti celesti.All’epoca si sapeva che i pianeti viaggiavano in orbite ellittiche attorno al Sole. In realtà, questo era stato stabilito meno di un secolo prima dall’astronomo Johannes Kepler (italianizzato Keplero), attraverso la prima delle tre leggi riguardanti il ​​moto planetario.Ma le leggi di Keplero erano basate sull’analisi dei dati empirici, senza una teoria matematica generale a sostegno dei risultati. In sostanza, si sapeva che i pianeti viaggiavano su orbite ellittiche, ma perché? Questo era ciò che incuriosì i tre uomini.E così, avvenne che quel giorno fu fatta una scommessa memorabile: Wren offrì un premio di quaranta scellini all’uomo che avesse fornito un’elegante soluzione al problema.


Hooke, che si dice fosse una figura piuttosto litigiosa, si affrettò ad affermare di avere già la soluzione. Ma scelse di tenerla per sé, promettendo di rivelarlo solo quando gli altri avessero ammesso la sconfitta. È improbabile che avesse davvero una soluzione, poiché non ne avrebbe potuta produrre una al volo. Ma quello che si può dire è che la scommessa fatta in questo giorno, anche se seminale, si sarebbe rivelata piuttosto catastrofica per un uomo: Edmond Halley.


Halley si ossessionò al problema nei mesi successivi. Sebbene incerto sulla soluzione, era sicuro che la chiave fosse qualcosa chiamata “legge del quadrato inverso”.Sin dai tempi di Keplero, si pensava che ci fosse una sorta di forza attrattiva che manteneva i pianeti in orbita attorno al Sole. Nello specifico, si credeva che questa forza fosse inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro; Keplero aveva detto altrettanto nella sua seconda e terza legge planetaria.Per Halley, la domanda era meno sul motivo per cui i pianeti viaggiassero in orbite ellittiche, ma piuttosto su quale sarebbe la forma dell’orbita di un pianeta se la legge del quadrato inverso fosse stata mantenuta. Ma non sapeva come procedere da lì.Così, nell’estate di quell’anno, si recò a Cambridge per chiedere aiuto al professore di matematica lucasiano dell’università: l’unico e solo Isaac Newton.

Con sorpresa e gioia di Halley, Newton aveva già risolto il problema: la forma dell’orbita era infatti un’ellisse!Ma quando Halley chiese se poteva mostrare i suoi calcoli, Newton non potè mostrare il documento. Tuttavia, su richiesta di Halley, promise di rifare il lavoro e mostrarglielo.In effetti, Newton non solo mantenne la sua promessa, ma andò ben oltre. Da tempo pensava ai principi del movimento sin dai tempi in cui studiava all’università e la richiesta di Halley lo spinse a consolidare tutto il lavoro che aveva svolto negli ultimi vent’anni. E, dopo diciotto estenuanti mesi, il testo rivoluzionario era finito.Si chiamava Philosophia Naturalis Principia Mathematica, che si traduce in Principi matematici della filosofia naturale. Al giorno d’oggi, è semplicemente noto come Principia.Questo testo conteneva tutto il lavoro di Newton sulla cinematica, dalle tre leggi del moto alla legge universale di gravitazione. La ricerca di Halley di una spiegazione matematica sottostante per il moto planetario non era stata vana; tuttavia, non fu senza costi da parte sua.

Da un lato, Newton aveva scelto di pubblicare il suo lavoro in tre volumi, ma dopo che scoppiò una disputa tra lui e Hooke, si rifiutò di pubblicare il terzo, che era un pezzo fondamentale per la comprensione dei primi due. Solo con molta diplomazia e adulazione da parte di Halley venne alla luce il volume finale. Anche la pubblicazione del libro stesso divenne difficile. Halley inizialmente si era assicurato la promessa della Royal Society di farlo, ma alla fine rinnegarono. L’anno prima avevano sponsorizzato la pubblicazione di The History of Fishes, che si rivelò un immenso flop.

Dopo questo fiasco, i membri della società non erano propensi all’idea di rischiare le proprie finanze su un trattato di matematica. Così, Halley fece il generoso sforzo di pagare la sua pubblicazione con il proprio stipendio, mentre Newton come al solito non contribuì. A peggiorare le cose, Halley ricevette subito dopo la notizia che la Società, sotto la quale lavorava, non poteva più permettersi di pagare il suo stipendio annuale di cinquanta sterline. Invece, sarebbe stato pagato in copie di The History of Fishes.


In retrospettiva, la scommessa di Wren si rivelò piuttosto dannosa per Halley. Per il prezzo di quaranta scellini, aveva scommesso la sua carriera, reputazione e stipendio per assicurarsi che il lavoro di Newton venisse alla luce.Ma le implicazioni furono senza dubbio gloriose. I Principia non si limitavano a spiegare il moto dei corpi planetari; spiegava tutto, dal movimento delle maree alla traiettoria di una palla lanciata in aria. Le sue pagine iniziali sono giustamente considerate l’inizio della scienza moderna, poiché Newton creò magistralmente una solida comprensione di come il nostro universo operasse in termini di movimento.Fu sicuramente una scommessa catastrofica per Edmond Halley, ma senza dubbio decisiva per la rivoluzione scientifica!

Crediti per la storia: Bill Bryson, Breve storia di (quasi) tutto

Nota: Questo articolo è stato preso dalla risposta di Quora: https://it.quora.com/Qual-è-stata-la-scommessa-più-catastrofica-mai-presa/answer/Erik-Pillon

La crisi dei fondamenti: Possiamo fidarci della matematica?

Nel nostro tentativo di ripercorrere le tappe che hanno portato alla moderna concezione della matematica e della logica ci siamo fermati alla lettera di Russell al povero Frege, che ha visto crollare davanti ai propri occhi il lavoro di una vita. Era riuscito ad erigere un monumento grandioso alla potenza espressiva della pura logica, un palazzo curato nei minimi particolari, che però poggiava le proprie fondamenta sul paradosso.

In quegli stessi anni inoltre i lavori di Cantor stavano prendendo piede nella comunità matematica, e i suoi risultati estremamente controintuitivi non facevano altro che aumentare la preoccupazione riguardo i metodi utilizzati dalla matematica. Come possiamo essere certi che le dimostrazioni siano corrette se non abbiamo nemmeno una definizione univoca di cosa sia una dimostrazione? Come possiamo dunque fidarci della matematica?

Ed ora, proprio quando si sentiva maggiormente il bisogno di una formalizzazione dei metodi matematici, l’ennesimo paradosso salta fuori e manda all’aria il più grande tentativo di formalizzazione nella storia della matematica.

Una battaglia grandiosa e decisiva

Ben dieci anni prima di ricevere la devastante lettera di Russell, lo stesso Frege, commentando i lavori di Cantor sul transfinito, scriveva:

Alla fine, infatti, l’infinito rifiuterà di lasciarsi escludere dall’aritmetica … Possiamo dunque prevedere che questo problema costituirà lo scenario di una battaglia grandiosa e decisiva”.

Non poteva certo immaginare che la prima vittima di questa battaglia sarebbe stata proprio la sua Ideografia. È evidente infatti come il metodo diagonale di Cantor sia stato di ispirazione per la costruzione dell’insieme paradossale di Russell: l’insieme di tutti gli insiemi che non hanno se stessi come elemento.

La lettera di Russell mise nero su bianco che l’allora concezione sui fondamenti della matematica poggiava su principi contraddittori. Non sorprende quindi che i più grandi matematici dell’epoca iniziarono ad interessarsi al problema, scendendo in campo in diverse fazioni nella battaglia grandiosa e decisiva pronosticata da Frege.

I logicisti

Bertrand Russell e Alfred North Whitehead

Una di queste fazioni fu quella dei logicisti. Questi, proprio come Frege, sostenevano con convinzione che la matematica discende dalla logica.

Uno dei massimi esponenti di questo lato del campo di battaglia fu proprio colui che aveva appena sferrato un colpo quasi mortale alla corrente logicista: Bertrand Russell.

Russell infatti credeva che i problemi riscontrati con l’Ideografia fossero peculiari della costruzione di Frege e non inerenti nell’approccio logicista. Tentò quindi di rimediare ai danni che provocò la scoperta del suo paradosso, elaborando con il suo ex professore a Cambridge Alfred North Whitehead, i tre volumi dei Principia Mathematica.

Secondo Russell il problema al cuore del paradosso era l’autoriferimento, che dunque andava evitato in tutti i modi. Per questo elaborò la teoria dei tipi: nella costruzione dei Principia Mathematica ogni oggetto, ogni proposizione, ogni insieme, ha un proprio livello, e ogni oggetto non può riferirsi ad oggetti di livello pari o superiore al proprio. In questo modo, per esempio, l’insieme A non può avere come elemento l’insieme A. Non può esserci alcun “insieme di tutti gli insiemi”, che dovrebbe contenere se stesso. Non può esserci una proposizione che afferma “Questa proposizione è falsa”…

Con questa costruzione estremamente cauta e vincolante Russell sperava di evitare paradossi come quello enunciato nella lettera a Frege.

Vedremo però che l’autoriferimento sarà un nemico molto più difficile da sconfiggere di quel che Russell credeva. Riuscirà infatti a celarsi tra le maglie strette della costruzione dei Principia Mathematica senza essere smascherato fino a diversi anni dopo, quando, nel 1931, proprio facendo uso dell’autoriferimento nascosto nell’opera di Russell e Whitehead, una delle più grandi menti dello scorso secolo dimostrò il risultato più sconvolgente nella storia della matematica. Ma andiamo con calma, ci arriveremo.

Gli intuizionisti

Sul lato opposto del campo di battaglia era schierata la fazione degli intuizionisti. Contrariamente ai logicisti, questi credevano che la sola logica non avrebbe mai potuto comprendere tutti i ragionamenti matematici, che non si basano sulla logica, bensì sull’intuizione. Per loro la matematica è un’attività costruttiva che precede la logica, che invece è solo descrittiva.

Tra le fila degli intuizionisti possiamo trovare grandi matematici dell’epoca come Leopold Kronecker, acerrimo oppositore di Cantor, Henri Poincaré, Hermann Weyl, e Luitzen Brouwer, il fondatore vero e proprio dell’intuizionismo.

Da sinistra a destra: L. Kronecker, H. Poincarè, H. Weyl, L. Brouwer

Per loro il concetto di “esistenza” in matematica era stato travisato ormai da tempo, ed era stato questo a portare ai risultati controintuitivi di Cantor: per dire che una qualche entità esiste in matematica occorre esporre un metodo costruttivo per trovarla, non basta dimostrare che la sua non-esistenza porta a contraddizioni. In questo modo l’intuizionismo rifiutava il ruolo del principio del terzo escluso in matematica, il principio logico su cui si basano le dimostrazioni per assurdo.

Il grande David Hilbert, che trovava assurde le pretese del costruttivismo, commentò a riguardo:

Privare un matematico della possibilità di fare dimostrazioni per assurdo sarebbe come fare combattere un pugile con le mani legate dietro la schiena.

O anche, durante una sua lezione:

“Sono certo che tra i presenti in aula c’è sicuramente qualcuno che ha in testa meno capelli di tutti gli altri, e il fatto che io non abbia un modo ovvio di individuarlo non nega la sua esistenza”.

L’approccio formalista

David Hilbert

Le ultime citazioni ci fanno capire quanto Hilbert fosse critico nei confronti dell’approccio intuizionista. La sua concezione della matematica era del tutto diversa. Per Hilbert la matematica è pura forma e non ha, ne ha la pretesa di avere, alcun significato fisico. La matematica non si intuisce, si crea.

Proprio per questo le caratteristiche fondamentali da ricercare in un sistema formale non sono l’evidenza degli assiomi o la costruttività delle dimostrazioni, bensì la coerenza e la completezza del formalismo adottato.

Facciamo il punto della situazione. Frege aveva costruito un sistema formale in grado di rappresentare gli usuali ragionamenti matematici come manipolazione di simboli. Aveva posto alla base della sua costruzione i due assiomi che abbiamo visto essere responsabili dell’antinomia di Russell: il principio di comprensione e il principio di astrazione. Sembravano evidenti a prima vista, e questo è un punto fondamentale: se anche partendo da due principi evidenti si giunge a contraddizione, che speranza c’è di fondare la matematica su basi solide?

Ecco che viene fuori la prima caratteristica fondamentale che un sistema formale deve avere, la coerenza: non deve essere contraddittorio. Non basta che gli assiomi siano evidenti, occorre che non sia possibile derivare da essi, seguendo le regole fissate, sia una formula $A$ sia la sua negazione non-$A$.

Ora, tra tutti i possibili sistemi formali non contraddittori, ce ne serve uno in grado di rappresentare la matematica, o almeno l’aritmetica (i lavori di Dedekind e Peano avevano già mostrato che dall’aritmetica è possibile ricavare il resto della matematica), ci serve dunque che sia completo: se una proprietà è vera in matematica, deve essere possibile raggiungere, a partire dagli assiomi del nostro sistema formale, la formula corrispondente a quella proprietà.

Piccola nota: la completezza è sempre una nozione relativa all’insieme dei ragionamenti che vogliamo rappresentare nel nostro sistema formale. Per esempio la logica del primo ordine è completa nel senso che ogni formula logicamente valida è raggiungibile a partire dagli assiomi seguendo le regole di inferenza. Ovviamente le formule logicamente valide sono un sottoinsieme delle formule vere nell’aritmetica. Prendiamo ad esempio la formula “$\forall x \exists y , y>x$”. Questa è vera nella struttura dei numeri naturali, ma possiamo trovare tantissime strutture numeriche in cui non è vera, per esempio un qualunque insieme finito dotato dell’usuale relazione d’ordine $>$, quindi non è una formula logicamente valida.

Un sistema formale coerente e completo

Ora si pone il problema di trovare un tale sistema formale, che sia allo stesso tempo non contraddittorio e completo. Prima di tutto, ne esiste uno?

Certo che esiste! Basta prendere il sistema che ha per assiomi tutte le formule vere nell’aritmetica e nessuna regola di inferenza. Bene, abbiamo risolto tutti i nostri problemi? Abbiamo trovato finalmente dei fondamenti solidi per la matematica? Sfortunatamente no. Con un tale sistema, per quanto completo e coerente, non saremmo in grado né di trovare risultati nuovi, né di verificare se un risultato sia vero o meno.

Se vogliamo fare matematica ci serve un’ulteriore vincolo per il sistema: la decidibilità. Deve esistere una procedura effettiva in grado di decidere se una dimostrazione data sia corretta o meno.

Ecco dunque il Programma di Hilbert: trovare un sistema formale coerente, completo e decidibile.

Ricordate il sogno di Leibniz? Eccolo di nuovo, due secoli dopo. Certo, Leibniz sognava un sistema completo rispetto a tutto lo scibile umano, mentre Hilbert si sarebbe accontentato di comprendere anche solo la matematica, ma l’idea fondamentale è sempre la stessa.

Ora non rimane che cercare questa moderna characteristica universalis.

Da dove nascono le considerazioni di Hilbert?

Il primo risultato che rese famoso Hilbert fu la dimostrazione della congettura di Gordan, un problema della teoria degli invarianti algebrici. La dimostrazione di Hilbert all’epoca destò molto scalpore perché si trattava di una dimostrazione non costruttiva: sfruttando un risultato molto più generale e profondo, oggi noto come Teorema della base di Hilbert, dimostrò che ipotizzando falsa la congettura di Gordan si sarebbe generata una contraddizione.

Kronecker, fermo costruttivista, era un personaggio molto influente nella matematica tedesca e per questo le critiche alla dimostrazione di Hilbert non tardarono ad arrivare. Lo stesso Gordan, quando lesse per la prima volta la dimostrazione di Hilbert esclamò: “Questa non è matematica, è teologia!”. Poco tempo dopo allora Hilbert presentò una nuova dimostrazione, stavolta pienamente costruttiva. La prima dimostrazione rimaneva però un’emblema della potenza del pensiero astratto e spalancò una finestra sulla matematica del nuovo secolo.

Anni dopo, quando l’utilità del metodo di Hilbert fu universalmente riconosciuta, anche Gordan fece un passo indietro e disse pubblicamente: “Debbo ammettere che anche la teologia ha i suoi pregi.”

I fondamenti della geometria

Nel 1898 Hilbert tenne all’università di Gottinga un corso di geometria euclidea. Geometria euclidea? Ma non è un argomento troppo semplice per un corso universitario? Dopotutto oggi, così come allora, si studia alle scuole secondarie.

Ma Hilbert aveva in mente un modo del tutto nuovo di approcciare la geometria. Nel suo corso ne avrebbe esposto una nuova assiomatizzazione in modo da renderla una disciplina pienamente formale, in cui l’intuizione non avrebbe avuto più alcuno spazio.

Gli Elementi di Euclide è stata una delle opere più importanti della storia della matematica. In essa il matematico greco, a partire dai famosi cinque postulati sviluppava tutte le proposizioni ed i teoremi della geometria elementare che ci hanno insegnato a scuola. Un’opera maestosa, che dalla sua prima stesura nel IV secolo a.C. fino ad Hilbert, a inizio ‘900, fu usata per l’insegnamento della geometria, resistendo a più di due millenni di storia.

Si scoprì però che gli assiomi di Euclide non erano in realtà sufficienti a dedurre tutte le proposizioni che Euclide faceva discendere da essi, si potrebbe dire che non erano completi. Il primo ad accorgersene fu il vecchio Leibniz, che abbiamo già incontrato.

Già la prima proposizione del primo libro degli Elementi di Euclide infatti non discende direttamente dai 5 assiomi. Essa spiega come “Sopra una data retta finita (segmento), costruire un triangolo equilatero”.


Euclide prescrive di tracciare gli archi AC e BC, di centro rispettivamente A e B e ampiezza AB. Il punto in cui i due archi si intersecano sarà equidistante dai punti A e B, sarà quindi un vertice del triangolo equilatero ABC.

Ma come possiamo essere sicuri che i due archi di cerchio si incontrino? Sembra evidente, ma noi stiamo cercando di fondare la matematica sul puro formalismo, proprio perché non vogliamo che l’intuito, che più volte ci ha ingannato, continui a intrufolarsi nelle nostre deduzioni.

Come recita una famosa citazione di Hilbert, la geometria dovrebbe funzionare ugualmente se ai termini “piano”, “retta” e “punto” sostituissimo “tavoli”, “sedie” e “boccali di birra”, a patto che le relazioni tra questi oggetti siano quelle descritte dagli assiomi.

Ebbene, nessun assioma assicura che due archi, o anche due rette, se non sono parallele, debbano per forza incontrarsi in un punto. Dalla necessità di esplicitare questo fatto si formulò un nuovo assioma: l’assioma di continuità della retta.

Pian piano si scoprì che questa non fu l’unica dimenticanza di Euclide.

L’opera di Hilbert aveva lo scopo proprio di trovare tutti gli assiomi necessari a costruire la geometria descritta da Euclide.

La grande novità in questo lavoro è che Hilbert fu il primo a porsi il problema di come dimostrare la completezza e la coerenza del suo sistema di assiomi.

Riuscì nell’impresa di dimostrare che il suo sistema era coerente. Per farlo ebbe l’idea di applicare i metodi della matematica al suo sistema. Capì che per analizzare le dimostrazioni matematiche sarebbe stata necessaria una metamatematica: una teoria della dimostrazione.

(Dimostrarne anche la completezza era un problema più delicato: nel 1951 il logico polacco Alfred Tarski riuscì a dimostrare la completezza di una versione della geometria euclidea)

L’idea fondamentale della dimostrazione di coerenza della geometria fu quella di ridurre il problema alla consistenza della teoria dei numeri reali, che a sua volta poggiava le basi sull’aritmetica. In questo modo se l’aritmetica è consistente, allora deve esserlo necessariamente anche la geometria.

Ora però il problema si è spostato: chi ci dice che l’aritmetica non sia contraddittoria?

Dalla necessità di rispondere a questa domanda nacque il Programma di Hilbert, di cui abbiamo parlato qualche riga più su.

In matematica non ci sono ignorabimus

Hilbert era più che certo del fatto che il suo programma avrebbe avuto successo, si trattava solo di capire quanto tempo sarebbe stato necessario a trovare il sistema formale giusto.

Dopotutto il trovare un tale sistema significherebbe avere una prova di qualcosa che sembra essere del tutto naturale: in matematica non esistono domande senza risposta.

Chiunque si sia mai appassionato alla matematica deve sicuramente parte di questa passione a questa certezza che si instilla in noi ogni volta che incontriamo una nuova dimostrazione.

Douglas Hofstadter, autore di Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante, chiama questa certezza “Il credo del matematico”, che si compone di due proposizioni:

$A$ è vero perché esiste una dimostrazione di $A$

$A$ è vero e quindi esiste una dimostrazione di $A$

Il sistema decidibile, coerente e completo del Programma di Hilbert avrebbe dato la prova definitiva che per ogni affermazione nel campo della matematica sarebbe stato possibile trovare una dimostrazione di essa o una dimostrazione della sua negazione.

Sono ormai passate alla storia le parole di Hilbert con cui mise in luce questo fatto:

Come esempio del modo in cui le questioni fondamentali possono essere trattate [nella teoria della dimostrazione], vorrei scegliere la tesi che ogni problema matematico può essere risolto. Ne siamo tutti convinti. Dopotutto, una delle cose che ci attraggono maggiormente quando ci dedichiamo a un problema matematico è precisamente che, dentro di noi, sentiamo sempre il richiamo: ecco il problema, cerca la soluzione; puoi trovarla col puro pensiero, perché in matematica non ci sono ignorabimus. Ora, certamente la mia teoria della dimostrazione non può specificare un metodo generale per risolvere ogni problema matematico, ciò non esiste. Ma la dimostrazione che l’assunzione della risolvibilità di ogni problema matematico è coerente cade interamente entro l’ambito della nostra teoria.

Wir müssen wissen, wir werden wissen

L’8 settembre 1930 a Königsberg, in occasione del suo pensionamento, Hilbert venne insignito della cittadinanza onoraria della sua città natale. Durante la cerimonia pronunciò un famoso discorso, pieno di ottimismo, che si concludeva così:

Una volta il filosofo Comte, volendo menzionare un problema insolubile, disse che la scienza non sarebbe mai riuscita a conoscere a fondo il segreto della composizione chimica dei corpi celesti, ma alcuni anni più tardi questo problema fu risolto mediante l’analisi spettrale di Kirchhoff e Bunsen. Il vero motivo per cui Comte non riuscì a trovare un problema insolubile sta, a mio parere, nel fatto che non esiste alcun problema insolubile. Al posto dello stolto ignorabimus, il nostro motto è invece wir müssen wissen, wir werden wissen, “dobbiamo sapere, sapremo”.

Le potenti parole finali furono incise sulla tomba di Hilbert a Gottinga. Paradossalmente però, le aveva pronunciate il giorno dopo, e nello stesso luogo, in cui un giovane matematico, Kurt Gödel, aveva annunciato al mondo il suo sconcertante teorema di incompletezza, che sarà il protagonista del prossimo articolo: in qualunque sistema formale contenente l’aritmetica ci sono proposizioni indecidibili, che non possono essere né dimostrate, né refutate.

Era la fine per il Programma di Hilbert e per il “credo del matematico”.

Per saperne di più

Questo capitolo della storia della matematica è estremamente affascinante e densissimo di avvenimenti, dispute, idee… sarebbe impossibile dire tutto in un articolo.

Se vi interessa l’argomento consiglio qualche risorsa su cui approfondire:

Modello matematico: cos’e’ e a cosa serve?

Questo articolo è molto importante in quanto, visti un po’ i miei interessi, mi dedicherò particolarmente al mondo della matematica applicata e in questo settore il concetto di modello matematico è fondamentale.

Se alla lettura preferisci la visione di un video, puoi guardare la versione video di questo articolo qui:

In futuro probabilmente andremo ad analizzare qualche modello in particolare, come per esempio modelli per la diffusione di epidemie, per il trasporto del calore, per l’andamento del traffico o quant’altro… Quindi questa introduzione sarà fondamentale.

Cos’è un modello matematico?

Infatti, nelle scienze applicate e nel mondo fisico, i modelli matematici vengono utilizzati quotidianamente, soprattutto per dare una formalizzazione a quello che succede nella realtà e poter poi avere degli strumenti per capire cosa sta succedendo, cosa potrebbe succedere e perché.

Infatti, per modello matematico, intendiamo un insieme di relazioni e/o leggi matematiche in grado di catturare gran parte delle caratteristiche di un fenomeno e permetterci poi quindi di controllarne lo sviluppo, il cambiamento, l’andamento e poter trarre informazioni utili riguardo esso.

Da ciò segue naturalmente che il modello e la struttura matematica che si va a costruire è fondamentale che sia rilevante e coerente con il mondo fisico e l’applicazione a cui andiamo a riferirci.

Questo è un approccio molto diverso rispetto a quello tipico della matematica pura. Per esempio, nella congettura di Goldbach questo legame tra applicabilità del risultato e importanza dello stesso non è necessario da un punto di vista matematico. Se non sai cosa sia la congettura di Goldbach ecco un video in cui te la introduco:

Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe, e finché sono certe, non si riferiscono alla realtà.

(Albert Einstein)

È importante specificare inoltre, che quando parliamo di scienze applicate non stiamo solo andandoci a riferire a quelle classiche, quelle a cui riusciamo a pensare più naturalmente in quanto legate alla matematica (come per esempio la fisica o la chimica), ma facciamo riferimento a molte altre scienze complesse tra le quali ricadono la medicina, la finanza, la biologia, l’ecologia e varie altre.

Proprietà ed elementi fondamentali dei modelli matematici

La modellazione matematica intesa come

  • costruzione di un modello matematico, a cui segue poi
  • una fase di analisi e implementazione numerica e
  • un confronto dei risultati ottenuti con la realtà )quindi tramite via sperimentale),

è ormai all’ordine del giorno. Precisamente, questi modelli matematici ormai si è capito che sono davvero fondamentali e ci permetteranno di capire fenomeni complessi in maniera più rigorosa, così da poter quindi prevedere i possibili esiti degli stessi.

Sostanzialmente, l’origine di un modello matematico può essere ridotta a due elementi fondamentali: il primo sono delle leggi generali, il secondo sono delle relazioni costitutive.

Quindi vediamo che cosa sono questi due mattoni della costruzione di un modello matematico. Partiamo dalle leggi generali. Queste sono di natura abbastanza teorica, quindi possono essere per esempio le leggi della meccanica e i principi di conservazione dell’energia o del momento angolare. Esse sono quindi delle relazioni fisiche oppure delle leggi di bilanciamento chimiche e quant’altro. L’importanza di queste leggi è che non sono specifiche del singolo modello, ma possono descrivere vari fenomeni.

Per quanto riguarda invece le relazioni costitutive, abbiamo qualcosa di carattere più sperimentale. Infatti, in questo caso si vanno per esempio a utilizzare delle peculiarità del fenomeno in analisi. Tramite via sperimentale, si vanno a introdurre delle particolari costanti, oppure si va a modellizzare una particolare funzione in conseguenza a qualche risultato ottenuto sul campo. Questo secondo mattone quindi è un qualcosa di strettamente legato al modello e non generalizzabile, differentemente per esempio dalle leggi della meccanica che valgono per vari fenomeni, varie applicazioni.

Alcuni esempi di leggi costitutive sono la legge di Fourier per il flusso di calore oppure ci sono molte altre leggi che ci permettono di decidere, per esempio, che forma dare a un flusso numerico oppure a un flusso in generale. Queste scelte le faremo chiaramente in base a quello che stiamo analizzando.

Il risultato della combinazione di questi due mattoni fondamentali di un modello matematico è solitamente descrivibile in forma sintetica tramite un’equazione o un sistema di equazioni, spesso differenziali alle derivate parziali.

Questa struttura complessa non è necessaria in ogni circostanza. Può benissimo esserci qualche modello, comunque interessante e utile per certi fenomeni, che non coinvolge nemmeno equazioni differenziali. Magari vedremo qualcosa riguardo questo tema.

Comunque spesso i modelli che si vanno a costruire per analizzare situazioni che evolvono nel tempo (o nello spazio), coinvolgono equazioni alle derivate parziali e in questo ambito ti consiglio (nel caso tu sia interessato a questi temi) di guardarti questo libro: Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni. Questo libro si concentra soprattutto sulla costruzione dei modelli e fornisce anche molti strumenti per analizzare questi modelli, vederne le proprietà e magari risolvere (nel caso sia possibile) anche le equazioni alle derivate parziali sottostanti. La risoluzione di queste equazioni non è sempre possibile e magari questo sarà argomento di altri video o articoli (un argomento legato a questo sono gli spazi di Hilbert, se ti interessa puoi capire di cosa si parla in questo articolo https://www.mathone.it/spazio-hilbert/).

Esiste un solo modello per ogni fenomeno?

Un’altra cosa importante da evidenziare, è che nel momento in cui andiamo a interessarci a un fenomeno legato a una delle scienze complesse, è quasi certo che il modello che possiamo andare a costruire non sia unico. È quindi importante chiedersi se il modello che andiamo a costruire vada bene o meno e bisogna essere in grado di capire se questo modello possa funzionare o meno.

Ecco che dobbiamo introdurre il concetto di problema ben posto:

Di modelli ce ne sono un’infinità, alcuni sono di semplice comprensione e interpretazione…altri non lo sono. C’è sempre margine per complicare le cose anche se è importante evidenziare il fatto che non è detto che un modello più complicato di un altro sia in grado di spiegare meglio un certo fenomeno. Spesso la sintesi è una grande qualità di un modello a volte. Non è infatti raro che sia premiata la disponibilità a sacrificare la capacità di prevedere un fenomeno a favore di rendere il modello un po’ più semplice. Il perché dietro a questo fatto è che, grazie a questa scelta, magari possiamo abbassare i tempi di calcolo o i costi computazionali per poter elaborare le informazioni. Da ciò segue che potremmo riuscire a trovare delle informazioni utili su una situazione concreta in tempi ragionevoli. La velocità può essere davvero utile.

Per esempio, nel campo dello studio delle epidemie, la velocità e la capacità di prevedere in fretta dove potrebbe diffondersi un’epidemia, oppure le tempistiche con cui intervenire con un certo farmaco a volte possono premiare più dell’avere una descrizione estremamente accurata e dettagliata della realtà. Chiudiamo quindi notando che spesso è utile ponderare precisione con velocità di elaborazione.

Se ti interessa vedere un modello per l’analisi delle epidemie, il modello SIR, davvero snello ma comunque efficace per descrivere il numero di infetti di un’epidemia, ti consiglio di guardare questo mio video:

La matematica nella vita quotidiana

Probabilità è il termine matematico che fa riferimento all’eventualità che qualcosa accada o non accada, come, per esempio, pescare un asso da un mazzo di carte o prendere una caramella rossa da una confezione con colori assortiti. 

La probabilità è un aspetto che influenza ogni giorno della vita delle persone, quando vengono prese decisioni che non si sa quali conseguenze porteranno con sé. Per esempio, utilizziamo la probabilità quotidianamente per prevedere il meteo. I meteorologi non possono predire con totale esattezza che tempo ci sarà, utilizzano strumenti ad hoc per determinare quali siano le probabilità che piova, nevichi o grandini. Se la possibilità di pioggia è data al 60%, significa che su 100 giorni con condizioni meteorologiche simili, in 60 ha effettivamente piovuto. E ognuno di noi, nel suo piccolo, deve decidere se uscire con un ombrello oppure no.

La probabilità permea anche le strategie sportive: un allenatore di baseball, per esempio, valuta la media in battuta di ciascun giocatore prima di farlo mettere in fila. Quando si pensa alle strategie e alla probabilità, però, l’esempio più calzante nonché il primo a venire in mente è sicuramente il poker.

La matematica e la probabilità nel poker

Spesso per descrivere la probabilità si usa l’esempio del lancio di una moneta: ci sono due possibili risultati – testa o croce. E la probabilità in entrambi i casi è del 50%. Quando si ragiona con un mazzo di carte, però, il numero dei risultati possibili cresce notevolmente. Ogni mazzo di carte da poker, nello specifico, ha 52 carte divise per 4 semi diversi (cuori, picche, quadri e fiori) e organizzate in una scala di 13 valori (i numeri da 1 a 10 e Jack, Regina e Re): questo significa che le probabilità di pescare un asso come prima carta sono 1 su 13 (7,7%), mentre quelle di pescare una qualsiasi carta di picche sono di 1 su 4 (25%).

A differenza delle monete, poi, si potrebbe dire che le carte da poker hanno una memoria: mentre le probabilità di ottenere testa o croce dopo aver lanciato una monetina rimangono sempre del 50% e 50%, dopoché si pesca un asso da un mazzo, le probabilità di pescare un altro subito dopo non rimangono fisse al 7,7% come quando nessuna carta era ancora stata presa. Questo perché dopo aver pescato un asso, ne rimangono solamente 3 nel mazzo, il che abbassa le probabilità di prenderne un altro al 5,9% (3 su 51). 

Quello dell’asso è un semplice esempio per comprendere quanto la probabilità influenzi le partite di poker. La probabilità è una variante che fluttua parecchio, pertanto i giocatori non possono affidarsi solamente alla fortuna: i campioni sanno che usare la matematica per vincere ai tavoli di poker è un aspetto importante, a cui vanno però imprescindibilmente associate le abilità, le conoscenze, la disciplina e la pazienza – i veri segreti del successo. Capire come funziona la probabilità e, soprattutto, imparare a calcolarla, tuttavia, è fondamentale per poter prendere le decisioni migliori durante ogni mano: avere una solida base matematica di calcolo della probabilità, infatti, aiuta ad aggiustare il tiro delle strategie e delle tattiche di gioco, e a dare ragionevoli aspettative sui possibili risultati.

Quindi, nel concreto, qual è un esempio di probabilità nel poker? La mano migliore in assoluto è il Royal Flush (scala reale massima), che è composta da 10, Jack, Regina, Re e Asso. Ci sono solo 4 vie per ottenere questa mano, pertanto le probabilità che capiti sono di 4÷2.598.960, cioè 0,000001539.

La probabilità per analizzare le polizze assicurative per le auto

Qual è il piano assicurativo migliore per ogni famiglia? Il calcolo della probabilità aiuta nella decisione, poiché è opportuno considerare quali siano le probabilità, appunto, che si compili una constatazione amichevole. Se, per esempio, 12 automobilisti su 100 (quindi il 12%) nella zona hanno investito un cinghiale, ha più senso considerare di stipulare una polizza Kasko piuttosto che una Bonus/Malus.

Da come decidiamo di vestirci ogni giorno a come passiamo il tempo divertendoci con i nostri hobby preferiti, fino a come tuteliamo noi stessi e la nostra vettura, la probabilità gioca un ruolo fondamentale e rappresenta un aiuto importante per prevedere i possibili risultati e fare la scelta migliore.

Meccanica quantistica (parte 3): Evoluzione temporale e principio d’indeterminazione

Bentornati con l’ultimo articolo di questa rubrica sulle basi matematiche della meccanica quantistica. Dopo aver dato un’introduzione storica e concettuale e aver dato le basi matematiche in questa parte ci occupiamo di due aspetti importanti collegati ai concetti introdotti la scorsa volta: l’evoluzione temporale di un sistema e il principio di indeterminazione!

Evoluzione temporale di un sistema

Nella scorsa puntata abbiamo scoperto esattamente a cosa corrispondevano i concetti classici di sistema fisico e di osservabile. Adesso bisogna chiedersi come fanno a variare nel tempo i sistemi fisici, visto che il nostro universo va avanti nel tempo! Questa strada ci porterà alla famigerata equazione di Schrödinger.

Cercando di portare un ragionamento euristico passiamo per la meccanica classica (che puoi approfondire con i consigli di questo articolo). Infatti nella meccanica classica un modo per trattare i sistemi è quello di impostare una funzione, chiamata hamiltoniana, che descrive le interazioni del nostro sistema e si può dimostrare essere equivalente all’energia del sistema stesso. Ma che senso ha creare questa funzione vi chiederete? Bene grazie a questa funzione si possono impostare delle equazioni (dette di Hamilton) che legano le derivate temporali delle variabili fisiche del sistema (posizione e momento) alle derivate dell’hamiltoniana. In questo modo studiare l’evoluzione temporare diventa “facile” (anche se questo termine non sarà approvato da qualunque studente di meccanica analitica).

$ \begin{equation} \begin{array}{ll} \frac{dr(t)}{dt}=-\frac{\partial H(r,p)}{\partial q}\\ \frac{dp(t)}{dt}=\frac{\partial H(r,p)}{\partial p} \\ \end{array} \end{equation}$

Ma questo discorso come ci aiuta a capire la teoria quantistica? Come abbiamo imparato nello scorso articolo per passare ad un “mondo quantistico” ci basta solo considerare uno spazio di Hilbert e cambiare le nostre variabili (osservabili) con operatori giusto? Bene! L’hamiltoniana ha come variabili proprio queste quantità, ci basta quindi banalmente far diventare le nostre variabili continue operatori facendo di conseguenza diventare la nostra hamiltioniana un operatore e il gioco è fatto. In generale per un sistema fisico un hamiltoniana ha quasi sempre questa forma $H=\frac{p^2}{2m}+V(r)$, il primo pezzo è il termine cinetico (cioè di movimento) mentre $V(r)$ contiene i termini di interazione (ad esempio gravitazionale o elettromagnetica).

A questo punto torna la domanda dell’inizio: Come si evolvono nel tempo queste quantità? Se classicamente la risposta erano le equazioni di Hamilton in questo caso invece è l’equazione di Schrödinger !

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi(t)\right>=H\left|\Psi(t)\right>$

Ovviamente la trattazione matematica è molto più formale di così e quest’equazione può essere ricavata da altre ipotesi e non presa come principio primo. Però il senso fisico che sta dietro a questa matematica è il seguente: L’evoulzione nel tempo del nostro stato, data dalla derivata, è collegata a come l’hamiltoniana agisce sullo stato stesso… intuzione non banale direi!

Le applicazioni di questa equazione sono infinite e non basterebbe un libro per elencarle tutte, spero almeno di avervi dato un’idea di come funzioni uno dei pilastri della meccanica quantistica. Passiamo ora all’ultimo e interessantissimo argomento.

Principio di indeterminazione

Eh si, non può mancare una trattazione della meccanica quantistica senza parlare di questo strano fenomeno. Per cercare di capirlo abbiamo accennato negli scorsi articoli al fatto che uno stato ha diverse probabilità di tornare certi autovalori quando viene misurato rispetto a un osservabile (operatore) $\hat{O}$, immaginiamo ora di avere 2 operatori $ \hat{A}$ e $\hat{B}$ e definiamo un’operazione chiamata commutatore:

$ [ \hat{A}, \hat{B} ]= \hat{A} \hat{B} – \hat{B} \hat{B}$

Matematicamente si può dimostrare che se due osservabili non commutano, ovvero l’operazione definita prima non torna zero, allora il loro agire sullo stesso stato non sarà sulla stessa base di autostati (collegata agli autovalori di cui vi parlavo la scorsa volta). Allora che si fa? Semplice si cambia base!

Ma non dobbiamo dimenticarci che lo spazio in cui siamo è comunque di tipo $L^2$ allora come si comporta il cambio di base?… con una trasformata di Fourier!

Per vedere questo basta ricordare quando vi parlai della funzione d’onda $\psi(r)=<r|\psi>$, come base prendemmo le posizioni $|r>$ ma nessuno ci vieta di poterle cambiare con la base di autostati di qualche altro osservatore, come ad esempio $\hat{P}$. Si può dimostrare che il collegamente tra le due funzioni d’onda $\psi(r)$ e $\phi(p)$ è proprio la trasformata di Fourier, confermando quanto prima detto.

Questo ha applicazioni molto interessanti, in quanto come prima detto gli operatori $\hat{R} posizione e $\hat{P}$ l’impulso non commutano portando a questo formalismo.

Questo ci tuffa direttamente nel principio di indeterminazione in quanto le funzioni d’onda, essendo per l’appunto fenomeni ondulatori, hanno una certa indeterminazione intrinseca che è pari a:

$\sigma_A=\sqrt{<\hat{A}^2>-<\hat{A}>^2}$

E se due operatori che non commutano si trovano in gioco nello stesso momento come facciamo, ora che sappiamo che sono collegati da una trasformata di Fourier, a sapere come sono correlate tra di loro?

Esiste la dimostrazione ovviamente, lascerò la fonte ai lettori interessati ma la trovate anche su siti più comuni, l’importante è però sapere che il risultato di questo è il cosidetto principio di indeterminazione di Heisenberg:

$\sigma_A \sigma_B=\frac{|{<\hat{C}>}|}{2}$

Che nel caso di posizione e impulso, il cui commutatore è $[\hat{R},\hat{P}]=i\hbar $, ci da il più conosciuto $ \sigma_R \sigma_P=\frac{\hbar}{2} $

Vi lascio anche un video interessante sull’argomento sperando che vi aiuti meglio a capirlo meglio con la visualizzazione.

Conclusione

Con quest’ultimo articolo la mia serie sulla matematica della meccanica quantistica è finita. È stato un percorso lungo ma spero non complicato per voi da comprendere, anche se riconosco le mia scarse abilità di comunicatore. Quello che però spero sia stato chiaro e che voleva essere il mio obiettivo era far vedere come la matematica sia importantissima nelle scienze fisiche, facendolo con la scusa di parlare un po’ di meccanica quantistica. L’approccio divulgativo e filosofico a questa materia è importante e bello, ma non si può pensare di prescindere dalla matematica come sua parte fondamentale.

Per il resto le fonti per approfondire penso di averle messe un po’ tutte e mi auguro che andiate avanti con lo studio e la scoperta di questa bellissima branca della fisica, alla prossima!