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Biografia sintetica di Srinivasa Ramanujan

Questa biografia è tratta, in gran parte, da questo articolo:

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ramanujan/

Il mio lavoro è stato di sintesi, traduzione e integrazione con qualche altro materiale. Fammi sapere con un commento se può interessarti qualche altra biografia 🙂


Biografia di Ramanujan

Infanzia

Srinivasa Ramanujan è stato uno dei più geniali matematici indiani. Ha dato contributi sostanziali alla teoria analitica dei numeri e ha lavorato su funzioni ellittiche e serie infinite.

Srinivasa Ramanujan

Ramanujan è nato nella casa di sua nonna in un piccolo villaggio a circa 400 km a sudovest di Madras (ora Chennai).

Frequentò varie scuole prima di entrare alle superiori, dove si dimostrò un ottimo studente. Nel 1900 iniziò anche a lavorare in proprio sulla matematica, dedicandosi a serie geometriche e aritmetiche.

A Ramanujan è stato mostrato come risolvere le equazioni cubiche nel 1902. Si è poi dedicato a riscoprire in autonomia come risolvere le equazioni quartiche. Inoltre, non sapendo che le equazioni di grado cinque non potevano essere risolte tramite radicali, si avventurò nel provare a risolverle (ovviamente senza riuscirvi).

Durante le scuole superiori, si imbatté in un libro di matematica di G.S. Carr intitolato Sinossi dei risultati elementari in matematica pura, il quale diventò un faro per la sua carriera da matematico.

Questo libro, con il suo stile molto conciso, permise a Ramanujan d’imparare da solo la matematica. Tuttavia, lo stile del libro avrebbe avuto un effetto piuttosto sfortunato sul modo in cui Ramanujan avrebbe poi scritto i suoi risultati matematici, poiché l’unico approccio “formale” alla matematica con cui entrò in contatto proveniva proprio solamente da questo libro.

Il libro conteneva teoremi, formule e brevi dimostrazioni, alle quali però non era spesso attribuita la dovuta importanza. Conteneva anche un indice degli articoli sulla matematica pura che erano stati pubblicati nelle riviste europee delle società erudite durante la prima metà del XIX secolo. Il libro, pubblicato nel 1886, era ovviamente obsoleto quando Ramanujan lo usò.

Primi anni di ricerca

Nel 1904 Ramanujan iniziò a entrare nel mondo della ricerca matematica. Più precisamente, si interessò alla serie $\sum_{n\in\mathbb{N}_0}\frac{1}{n}$ e ad approssimare la costante di Eulero fino a 15 cifre decimali.

A causa del suo sproporzionato interesse verso la matematica, rispetto alle altre discipline, il suo rapporto con le università non fu mai buono. Infatti non riuscì a ricevere/mantenere borse di studio.

Journal of the Indian Mathematical Society

Senza soldi si trovò presto in difficoltà e, senza dirlo ai suoi genitori, scappò nella città di Vizagapatnam circa 650 km a nord di Madras. Tuttavia, continuò i suoi approfondimenti matematici e in questo periodo lavorò sulle serie ipergeometriche. Inoltre, indagò le relazioni tra integrali e serie. In seguito avrebbe scoperto di aver studiato le funzioni ellittiche.

Per nominare altri temi che, in quel periodo, interessarono Ramanujan, possiamo menzionare che lui studiò le frazioni continue e le serie divergenti nel 1908. Continuò inoltre a sviluppare le sue idee matematiche e iniziò a porre problemi e risolvere problemi nel Journal of the Indian Mathematical Society. Ha poi sviluppato alcune relazioni tra equazioni modulari ellittiche nel 1910. Dopo la pubblicazione di un brillante articolo di ricerca sui numeri di Bernoulli nel 1911 nel Journal of the Indian Mathematical Society, ha ottenuto del riconoscimento per il suo lavoro nel mondo accademico. Infatti, nonostante la sua mancanza d’istruzione universitaria, iniziava a diventare famoso nell’area di Madras come genio matematico.

Ramanujan è stato abbastanza fortunato ad avere un certo numero di persone che lavoravano intorno a lui con una formazione in matematica. Questi lo incoraggiarono spesso a contattare matematici rinomati, che lavoravano negli stessi suoi settori. Tra i vari matematici da lui contattati, ci fu anche Hardy, con il quale si è sviluppata poi una grandissima collaborazione.

La collaborazione con Hardy

Nel gennaio 1913 Ramanujan scrisse a G. H. Hardy dopo aver visto una copia del suo libro del 1910 Ordini dell’infinito. Nella lettera, Ramanujan si presenta così (libera traduzione della lettera originale):

Non ho avuto una formazione universitaria ma ho frequentato il percorso di studi ordinario. Dopo aver lasciato la scuola ho impiegato il tempo libero a mia disposizione per lavorare sulla matematica. Non ho frequentato un corso universitario, ma mi sto tracciando una nuova strada. Ho studiato le serie divergenti in generale e i risultati che ho ottenuto sono definiti dai matematici locali come “sorprendenti”.

Hardy

Hardy, insieme a Littlewood, studiò la lunga lista di teoremi non dimostrati che Ramanujan allegò alla sua lettera. L’8 febbraio ha risposto a Ramanujan, iniziando la lettera così:

Sono stato estremamente interessato dalla tua lettera e dai teoremi che enuncia. Capirai comunque che, prima che io possa giudicare adeguatamente il valore di ciò che hai fatto, è essenziale che io veda le dimostrazioni di alcune dei tuoi enunciati. I tuoi risultati mi sembrano rientrare in circa tre classi:

  1. esistono alcuni risultati già noti, o facilmente deducibili da teoremi noti;
  2. ci sono risultati che, per quanto ne so, sono nuovi e interessanti, ma interessanti piuttosto per la loro curiosità e apparente difficoltà che per la loro importanza;
  3. ci sono risultati che sembrano nuovi e importanti…
Biblioteca del Trinity College

Ramanujan fu chiaramente felicissimo della risposta di Hardy. Nel 1914, Hardy portò Ramanujan al Trinity College di Cambridge, per iniziare una straordinaria collaborazione. Fin dall’inizio, però, ha avuto problemi con la sua dieta, vegana. Lo scoppio della prima guerra mondiale rese più difficile procurarsi generi alimentari particolari a cui era abituato e non passò molto tempo prima che Ramanujan avesse problemi di salute.

Fin dall’inizio la collaborazione di Ramanujan con Hardy ha portato a risultati importanti. Hardy, tuttavia, non era sicuro di come affrontare il problema della mancanza d’istruzione formale di Ramanujan. Scrisse:

Cosa si doveva fare per insegnargli la matematica moderna? I limiti della sua conoscenza erano sorprendenti quanto la sua profondità.

A Littlewood è stato chiesto di aiutarlo a insegnare a Ramanujan metodi matematici rigorosi. Tuttavia lui disse

… che era estremamente difficile perché ogni volta che veniva menzionata una questione che si pensava che Ramanujan avesse bisogno di sapere, la risposta di Ramanujan era una valanga d’idee originali che rendevano quasi impossibile a Littlewood di persistere nella sua intenzione originale.

La guerra presto portò via Littlewood in servizio di guerra, ma Hardy rimase a Cambridge per lavorare con Ramanujan. Anche nel suo primo inverno in Inghilterra, Ramanujan si ammalò e nel marzo 1915 scrisse che era stato malato a causa del clima invernale e non aveva potuto pubblicare nulla per cinque mesi. Quello che pubblicò fu il lavoro che fece in Inghilterra, essendo stata presa la decisione che i risultati che aveva ottenuto mentre era in India, molti dei quali aveva comunicato ad Hardy nelle sue lettere, non sarebbero stati pubblicati fino alla fine della guerra.

Il 16 marzo 1916 Ramanujan si laureò a Cambridge con un Bachelor of Arts by Research (la laurea fu chiamata Ph.D. dal 1920). Gli era stato permesso d’iscriversi nel giugno 1914 nonostante non avesse le qualifiche adeguate.

Ramanujan si ammalò gravemente nel 1917 e i suoi medici temevano che sarebbe morto. A settembre è migliorato un po’, ma ha trascorso la maggior parte del tempo in varie case di cura.

Il 18 febbraio 1918 Ramanujan fu eletto membro della Cambridge Philosophical Society e poi tre giorni dopo, il più grande onore che avrebbe ricevuto, il suo nome comparve nella lista per l’elezione come membro della Royal Society di Londra. Era stato proposto da un impressionante elenco di matematici, vale a dire Hardy, MacMahon, Littlewood e molti altri. La sua elezione a membro della Royal Society fu confermata il 2 maggio 1918, quindi il 10 ottobre 1918 fu eletto Fellow del Trinity College di Cambridge, la borsa di studio che durerà sei anni.

Gli onori che furono conferiti a Ramanujan sembrarono aiutare la sua salute a migliorare un po’ e rinnovò i suoi sforzi nel produrre matematica. Alla fine di novembre 1918 la salute di Ramanujan era notevolmente migliorata. Hardy ha scritto in una lettera:

Penso che ora possiamo sperare che abbia girato l’angolo e che sia sulla strada di una vera ripresa. La sua temperatura ha cessato di essere irregolare e ha guadagnato quasi un chilo di peso. … Non c’è mai stato alcun segno di diminuzione nei suoi straordinari talenti matematici. Ha prodotto meno, naturalmente, durante la malattia, ma la qualità è stata la stessa. ….

Tornerà in India con una posizione scientifica e una reputazione come nessun indiano ha mai goduto prima, e sono fiducioso che l’India lo considererà il tesoro che è. La sua naturale semplicità e modestia non è mai stata minimamente intaccata dal successo – anzi tutto ciò che si vuole è fargli capire che è davvero un successo.

Ramanujan salpò per l’India il 27 febbraio 1919 arrivando il 13 marzo. Tuttavia la sua salute era pessima e, nonostante le cure mediche, vi morì l’anno successivo.

Fatti conclusivi

Le lettere che Ramanujan scrisse a Hardy nel 1913 contenevano molti risultati affascinanti. Ramanujan ha elaborato sulla serie di Riemann, gli integrali ellittici, le serie ipergeometriche e le equazioni funzionali della funzione zeta. D’altra parte aveva solo una vaga idea di cosa costituisse una dimostrazione matematica. Nonostante molti brillanti risultati, alcuni dei suoi teoremi sui numeri primi erano completamente sbagliati.

MacMahon

Ramanujan ha scoperto in modo indipendente alcuni risultati di Gauss, Kummer e altri sulle serie ipergeometriche. Il lavoro di Ramanujan sulle somme parziali e sui prodotti delle serie ipergeometriche ha portato a un importante sviluppo dell’argomento. Forse il suo lavoro più famoso è stato sul numero $p(n)$ di partizioni di un intero $n$ in somme. MacMahon aveva prodotto tabelle del valore di $p(n)$ per piccoli numeri $n$, e Ramanujan usò questi dati numerici per ipotizzare alcune proprietà notevoli, alcune delle quali dimostrò usando le funzioni ellittiche. Altri sono stati provati solo dopo la morte di Ramanujan.

In un articolo congiunto con Hardy, Ramanujan ha fornito una formula asintotica per $p(n)$. In quell’articolo introdussero un rilevante risultato che sembrava dare il valore corretto di $p(n)$, e questo fu successivamente dimostrato da Rademacher.

Ramanujan ha lasciato una serie di quaderni inediti pieni di teoremi che i matematici hanno continuato a studiare. G.N. Watson, professore di matematica pura a Birmingham dal 1918 al 1951 pubblicò 14 articoli con il titolo generale Teoremi enunciati da Ramanujan e in tutto pubblicò quasi 30 articoli ispirati al lavoro di Ramanujan. Hardy trasmise a Watson il gran numero di manoscritti di Ramanujan che aveva a disposizione, sia quelli scritti prima del 1914 che alcuni scritti nell’ultimo anno di Ramanujan in India prima della sua morte.

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Fondamenti di teoria delle curve

Qualunque corso di base di geometria differenziale, inizia parlando di curve e superifici. Ho quindi pensato di iniziare questa serie di post che dedicherò alla geometria differenziale con un paio di articoli sulle curve e un altro paio sulle superfici.

Il mio intento è provare a spiegare i concetti fondamentali di quest’area della matematica, senza l’ambizione di essere esaustivo (per quello ci sono i libri di testo) ma con l’obiettivo di far arrivare l’intuzione dietro a concetti molto astratti quali quello di varietà. Cercherò di farlo tramite esempi e spiegazioni discorsive quando possibile.

Ovviamente ci saranno anche definizioni, enunciati e risultati matematici, però eviterò spesso di proporre le dimostrazioni (per le quali però darò delle referenze). In questo articolo e nel prossimo, dedicati alle curve, farò riferimento ad un libro per me davvero ottimo, ovvero l’Abate Tovena. Ti consiglio davvero di leggerne almeno i pezzi più importanti.

Ma veniamo quindi a questi due articoli…cosa esploreremo della teoria delle curve? Ho pensato di organizzarlo nei seguenti punti:

  • Definizione del concetto di curva
  • Cos’è la parametrizzazione con lunghezza d’arco
  • Cosa sono curvatura e torsione
  • Triedro di Frenet-Serret
  • Cos’è il grado di una curva
  • Cosa intendiamo per intorno tubolare di una curva

Cos’è una curva?

Iniziamo subito con la definizione, per poi passare a qualche esempio che di sicuro chiarirà il concetto.

Definizione (Curva parametrizzata) Una curva parametrizzata in $\mathbb{R}^n$ è una mappa $\sigma: I \rightarrow\mathbb{R}^n$, dove $I$ è un intervallo della retta reale. Diciamo $t\in I$ il parametro della curva, che definisce un punto (almeno) $\sigma(t)$ lungo quello che è chiamato sostegno della curva, ovvero l’immagine $\sigma(I)\subset\mathbb{R}^n$. Supposto $I=[a,b]$, diciamo $\sigma$ una curva chiusa se $\sigma(a)=\sigma(b)$.

In base a quante volte possiamo derivare la mappa $\sigma$, possiamo definire la regolarità della curva. Più precisamente, se la curva ammette le prime $k$ derivate continue, allora la curva sarà almeno di classe $C^k$.

Prima di sviscerare per bene la definizione, ci tengo a soffermarmi su una cosa importante ovvero

L’idea di curva che abbiamo di solito è di un sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$, dato che se ti chiedono di disegnare una curva sul foglio vai a colpo sicuro. Però matematicamente è importante fare distinzione tra l’immagine in $\mathbb{R}^n$ della curva (ovvero quello che disegnamo), e la curva (parametrizzata) stessa.

Per fissare questo concetto, direi che è ora di vedere un esempio! Vediamo quindi due curve diverse, i cui sostegni però coincidono. Ovvero, in parole povere, i due disegni delle curve coincidono ma le loro parametrizzazioni no.

Esempio Consideriamo due curve $\sigma,\gamma : [0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}^2$ definite come segue:

  • $\sigma(t) = (\cos{t},\sin{t})$
  • $\gamma(t) = (\cos{(2t)}, \sin{(2t)})$.

Intanto vediamo che essendo entrambe le componenti di queste curve delle funzioni trigonometriche, queste curve possono essere derivabili infinite volte e quindi sono curve di classe $C^{\infty}$.

Probabilmente hai già visto queste curve e sai già come rappresentarle, però ho pensato di mostrarti un’animazione in cui è evidente come stiamo parametrizzando ciascuna curva:

https://www.mathone.it/wp-content/uploads/2021/05/SquareToCircle-1.mp4
Qui puoi vedere due punti che scorrono sulla circonferenza unitaria, uno alla velocità doppia dell’altro..ovvero nel tempo in cui un punto fa un singolo giro, l’altro ne fa 2, esattamente come descritto dalle parametrizzazioni viste sopra (il video è realizzato con Manim).

Non c’è molto da approfondire della definizione vista poco fa, se non il fatto che non necessariamente una curva è definita su un dominimo che è un aperto (intervallo) della retta reale. Per esempio, nel caso l’intervallo $I$ sia un insieme compatto (per esempio nel caso $I=[a,b]$) possiamo estendere la definizione della curva su un aperto che contiene tale insieme $I$ propriamente.

Una cosa molto interessante da precisare è che non necessariamente le curve che consideriamo sono iniettive. Un esempio di questa possibilità l’abbiamo visto con la parametrizzazione $\gamma$ vista sopra. Ciò significa che potremmo avere due punti distinti dell’intervallo $I$ che sono mandati nello stesso punto di $\mathbb{R}^n$. Un altro classico esempio è fornito dalla seguente curva:

$$ t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi\right)\mapsto (\cos{t},\sin{t}\cos{t}) $$

Ciò significa, in particolare, che non tutte le curve parametrizzate devono essere rappresentate da un omeomorfismo dell’intervallo $I$ sul sostegno della curva, nel caso tu abbia già utilizzato questo concetto 😎

Un altro classico esempio di curva che di sicuro avrai utilizzato in passato, è quello ottenibile dal grafico di una funzione. Supponi infatti di avere una funzione $f:I\rightarrow\mathbb{R}^{n-1}$ di classe $C^k$. Allora essa definirà il sostegno di una curva, altrettanto regolare, parametrizzata come segue $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n,$ $\sigma(t) = (t,f(t))$.

Prima di passare a vedere il concetto di parametrizzazione tramite lunghezza d’arco, direi che è molto interessante (anche da un punto di vista applicativo) parlare di riparametrizzazione di curve e di curve equivalenti.

Date due curve parametrizzate $\sigma: I \rightarrow\mathbb{R}^n$, $\sigma’:\tilde{I}\rightarrow \mathbb{R}^n$ di classe $C^k$, diciamo che esse sono equivalenti se esiste un diffeomorfismo (funzione differenziabile e invertible, con inversa differenziabile) $h:\tilde{I}\rightarrow I$ della stessa regolarità, tale che $\sigma’ = \sigma\circ h$. Si dice quindi che $\sigma’$ è una riparametrizzazione di $\sigma$.

Prima abbiamo per esempio visto la riparametrizzazione $t\rightarrow 2t$ per muoverci al doppio della velocità lungo la circonferenzia unitaria.

Questo esempio, è anche uno dei vari che potremmo fare per parlare di curve chiuse. Chiaramente le curve chiuse non sono iniettive. La nozione di curva chiusa è stata introdotta nella definizione all’inizio di questa sezione, ma non mi ci soffermo più di tanto dato che penso sia abbastanza intuitivo. Giusto per non trascurare nulla però, ecco un altro esempio di curva chiusa: $$ t\in [0,6\pi]\mapsto (1+\sin{t}, 3+3(\cos{t})^3) $$

Parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco

Essendo che in tutta la serie di articoli che sto iniziando con questo parleremo di geometria differenziale, vogliamo almeno essere in grado di calcolare le derivate prime degli oggetti che introduciamo. Nel caso delle curve, parametrizzate da $\sigma(t)$, vogliamo quindi che la funzione sia almeno di classe $C^1$.

Un ottimo modo per vedere una curva parametrizzata e capire anche il senso della sua derivata, è quello di pensare in termini fisici. Infatti se noi ci riferiamo al parametro $t\in I$ come un tempo, possiamo dire che il sostegno della curva rappresenta la strada percorsa da una particella in $\mathbb{R}^n$ nell’intervallo temporale $I$.

Ogni particella, oltre ad una strada che percorre, è anche caratterizzata da una velocità con cui la percorre. In un qualche modo (complicato) abbiamo già visto il concetto di velocità di percorrenza di una curva quando abbiamo introdotto la nozione di curve equivalenti. Infatti in tal caso abbiamo detto che due curve sono equivalenti se hanno lo stesso sostegno, il quale è però "coperto" in tempi diversi, ovvero con velocità diverse.

La velocità di una particella, non è altro che la derivata temporale della sua traiettoria. Nel caso quindi di una curva parametrizzata $\sigma(t) = (\sigma_1(t),…,\sigma_n(t))$, possiamo calcolare la derivata che sarà ancora un vettore di $\mathbb{R}^n$ definito come $\dot{\sigma}(t) = (\dot{\sigma}_1(t), … ,\dot{\sigma}_n(t))$. Questa derivata, come siamo abituati a pensare per qualsiasi funzione $f$, geometricamente rappresenta il vettore tangente nel punto $\sigma(t)\in\mathbb{R}^n$ al sostegno della curva in $\sigma(t)$.

Vediamo quindi un esempio di curva parametrizzata con rispettivo calcolo e rappresentazione del vettore tangente. Consideriamo la curva $\sigma(t) = (t,\sin{t})$ con $t\in [0,2\pi]$. La sua derivata definisce il vettore tangente $\sigma’(t) = (1,\cos{t})$ ottenuto semplicemente derivando le singole componenti rispetto a $t$. Qui sotto puoi vedere la rappresentazione grafica di ciò che stiamo facendo:

Una definizione importante in questo contesto è quella di curva regolare.

Diciamo una curva $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$ regolare se per ogni $t\in I$, si ha $\sigma’(t)\neq 0\in\mathbb{R}^n$.

Prima di vedere un esempio di curva non regolare, ci tengo a stressare il fatto che nel caso di curve derivanti dal grafico di una funzione $f$, non avremo mai punti non regolari, ovvero dove la velocità è zero. Infatti tutte le curve di questo tipo prendono la forma $\sigma(t) = (t,f(t))$ e quindi $\sigma’(t) = (1,f'(t))$ che è sempre diverso dal vettore nullo.

Ecco un semplice esempio di curva non regolare: $\sigma(t) = (t^2,t^3)$ con $t\in [0,1]$. Infatti qui abbiamo $\sigma’(t) = (2t,3t^2)$ che si azzera in $t=0$. Ecco qui il grafico di questa situazione:

Come puoi vedere, il vettore tangente continua ad allungarsi mano a mano che $t$ cresce, però coincide con il vettore nullo nel caso $t=0$.

Questo allungamento del vettore tangente, non è sempre una cosa desiderabile dato che ci impone di "portarci dietro" delle normalizzazioni per definire concetti quale curvatura o torsione della curva. Ecco quindi che entra in gioco la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco di cui volevo parlarti in questa sezione.

Una curva $\sigma$ di classe $C^k$, con $k\geq 1$, che è parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco ha $|\sigma’(t)|\equiv 1$.

Parleremo di curve parametrizzate rispetto alla lunghezza d’arco quando la velocità istantanea di queste è unitaria in termini di modulo. Ogni sostegno di una curva ammette una ed una sola parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco. E’ abbastanza chiaro poi che nel caso di questa scelta della parametrizzazione, il vettore tangente non potrà mai annullarsi e quindi avremo sempre curve regolari.

Per tutte queste belle proprietà, spesso questa parametrizzazione viene chiamata parametrizzazione naturale. Per riferirci ad una curva parametrizzata in questo modo, invece di $t$ useremo il parametro $s$. Vediamo quindi un semplice esempio.

Consideriamo la curva $\sigma(t) = (r\cos{t},r\sin{t})$, con $t\in [0,2\pi]$. Essa chiaramente non ha vettore tangente in norma unitaria, quindi questa non è una parametrizzazione naturale della circonferenza unitaria. Cerchiamo quindi di ricavarla.

Per ricavare il parametro lunghezza d’arco di $\sigma$ possiamo ricorrere alla seguente definizione

Consideriamo una curva $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$ di classe $C^k$ con $k\geq 1$. Fissato un $t_0\in I$, la lunghezza d’arco di $\sigma$ a partire da $t_0$ è la funzione $s:I\rightarrow \mathbb{R}$ data da $$ s(t) = \int_{t_0}^t |\sigma’(r)|dr. $$

Ciò ci porta a dire che una curva è parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco se e solo se $s(t) = t-t_0$, ovvero se a meno di traslazioni $t$ coincide con $s(t)$.

Torniamo quindi al nostro esempio. In questo caso $\sigma’(t) = (-r\sin{t},r\cos{t})$ e quindi $|\sigma’(t)|=r$. Possiamo quindi calcolare la lunghezza d’arco di questa curva tramite l’integrale visto poco fa, ovvero $$ s(t) = \int_{t_0}^t |\sigma’(r)|dr = r(t-t_0). $$ Questo implica che, scegliendo $t_0=0$, otterremo la lunghezza d’arco $s(t) = rt$.

Se quindi sostituiamo a $t$, la quantità $s/r$ nella parametrizzazione $\sigma(t) = (r\cos{t},r\sin{t})$ otterremo una curva parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco $s$ : $$\sigma(s/r) = \left(r\cos{\left(\frac{s}{r}\right)},r\sin{\left(\frac{s}{r}\right)}\right) = \tilde{\sigma}(s).$$ Se infatti calcoliamo la norma del vettore tangente a $\tilde{\sigma}$ otterremo $|\tilde{\sigma}'(s)|=\left(r^2\left(\frac{1}{r^2}\cos{(s/r)}^{2}+\frac{1}{r^2}\sin{(s/r)}^2\right)\right)^{1/2} = 1$.

Puoi divertirti ora a calcolare la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco di tutte le curve che abbiamo visto negli esempi sopra 🤙🏻

Prima di passare alla prossima sezione, direi che è un buon momento per vedere un altro esempio molto interessante. Infatti di sicuro hai avuto modo di disegnare e studiare delle rette del piano o dello spazio. Queste sono curve tanto quanto quelle "che curvano" e abbiamo visto fino ad adesso. Ecco quindi brevemente quello che possiamo fare per parametrizzare una retta del piano e come trasformarla rispetto alla lunghezza d’arco. La retta che consideriamo è della forma $\sigma(t) = (t,mt+q)$, la cui derivata è $\dot{\sigma}(t) = (1,m)$. Intanto notiamo una cosa molto importante, ovvero che il vettore tangente che abbiamo trovato è costante, cosa che non è successa per nessuna delle curve precedenti.

La norma di tale vettore è costantemente uguale a $|\dot{\sigma}(t)| = \sqrt{1+m^2}$.

Abbiamo quindi visto che la lunghezza d’arco rispetto a $t_0=0$ è $s(t) = t\sqrt{1+m^2}$. Se sostituiamo $t = s/\sqrt{1+m^2}$ otteniamo la riparametrizzazione della retta rispetto alla lunghezza d’arco : $$ \sigma\left(\frac{s}{\sqrt{1+m^2}} \right) = \left(\frac{s}{\sqrt{1+m^2}},s\frac{m}{\sqrt{1+m^2}} + q \right). $$

Ottimo, ora siamo pronti per vedere in modo più chiaro cosa intendiamo con la frase la retta non è una curva che cuva mentre le altre che abbiamo visto sì. In particolare vedremo che una retta è una curva con curvatura zero.

Curvatura e torsione

Nel concludere la precedente sezione abbiamo realizzato che il vettore tangente ad una retta è costante e ciò si è verificato solo in quel caso. Possiamo quindi pensare ad una "curva che curva" come una curva il cui vettore tangente non è costante rispetto al parametro $t$ o $s$ nel caso della lunghezza d’arco.

Il vettore tangente a $\sigma(t)$, qualora essa sia una curva regolare e di classe almeno $C^1$, è sempre derivabile ed ha norma sempre maggiore di zero. Per cui possiamo tranquillamente anche definire una normalizzazione di questo vettore, semplicemente dividendo $\sigma’$ rispetto alla sua norma. Il motivo per cui vogliamo fare ciò, è che ci interessa parlare di come il vettore tangente varia lungo la curva, ma non ci interessano variazioni in norma, ma solo in direzione. E’ infatti intuitivo pensare a come una "curva curvi" parlando della variazione in direzione di tale vettore tangente.

Ecco quindi quello che possiamo chiamare versore tangente a $\sigma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$ di classe $C^k$: $$ u(t) = \frac{\sigma’(t)}{|\sigma’(t)|}$$ che è una ben definita funzione da $I$ a $\mathbb{R}^n$ di classe $C^{k-1}$.

Una cosa importante da notare è che nel caso $\sigma$ sia parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco, abbiamo $|\sigma’(s)|\equiv 1$. In tal caso quindi abbiamo semplicemente $u(s) = \dot{\sigma}(s) = d\sigma(s)/ds$.

Ora abbiamo tutti gli strumenti per poter parlare di curvatura, semplicemente come norma della derivata del versore tangente. Infatti l’unico modo in cui può variare il versore tangente è in direzione, dato che la sua norma è fissata, quindi tale derivata misura effettivamente quanto la nostra curva $\sigma$ curva.

Definiamo quindi la curvatura di $\sigma$ come la funzione $k:I\rightarrow\mathbb{R}^+$ di classe $C^{k-2}$ data da $$ k(s) = |\dot{u}(s)| = |\ddot{\sigma}(s)|. $$ Introduciamo anche un’altra notazione, che ci verrà comoda anche per i ragionamenti futuri, ovvero quella di curva biregolare. Abbiamo visto che una curva è regolare se la sua derivata non si annulla mai, mentre è biregolare se la sua curvatura non è mai zero.

E’ quindi un ottimo momento per vedere qual è la curvatura della retta che abbiamo parametrizzato rispetto alla lunghezza d’arco prima, ovvero $$ \sigma(s) = \left(\frac{s}{\sqrt{1+m^2}},s\frac{m}{\sqrt{1+m^2}} + q \right). $$ La derivata è $$ \dot{\sigma}(s) = \left(\frac{1}{\sqrt{1+m^2}},\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}\right) = u(s). $$ La curvatura è quindi la norma di $$ \ddot{\sigma}(s) = \left(0,0\right). $$ Ecco quindi "mostrato" che la curvatura di una retta è 0, come avevamo intuito in precedenza ma ora è più rigoroso.

Il perfetto esempio di "curva che curva" è una circonferenza, in tal caso vedremo che la curvatura è costante. La curvatura infatti ci fornisce un valore che è il reciproco di quello che chiamiamo raggio di curvatura. Data una curva $\sigma(s)$ ed un punto $\sigma(\bar{s})$ su essa, possiamo localmente vedere l’archetto nel sostegno intorno al punto $\sigma(\bar{s})$ come l’arco di una circonferenza, questa circonferenza avrà raggio pari a $1/k(\bar{s})$, ed è chiamato raggio di curvatura. Chiaramente tale raggio di curvatura è ben definito solo per curve biregolari, dato che dividiamo per la curvatura che deve essere diversa da zero. Nel caso di curvatura nulla, possiamo invece pensare ad un raggio di curvatura "infinito".

Per capire meglio il concetto ecco un paio di grafici legati alla curva $\sigma(s) = (\log{(s+\sqrt{1+s^2})}, \sqrt{1+s^2}) $ che dovrebbero aiutare:

Qui sopra abbiamo la circonferenza che nel punto $(0,1)$ è in grado di descrivere il modo in cui essa curva, che ha raggio $1 =1/k(0)$. Penso che con queste immagini sia parecchio chiaro cosa intendiamo per curvatura e raggio di curvatura, nel caso ciò non lo sia non farti problemi a scrivere un commento sotto all’articolo 👌.

Oltre al versore tangente, possiamo anche definire un altro vettore molto importante per la curva $\sigma$, che è il versore normale. Intanto notiamo subito una cosa interessante, ovvero che la derivata del versore tangente $\dot{u}(s)$ è perpendicolare al vettore tangente $u(s)$ rispetto al prodotto scalare standard di $\mathbb{R}^n$. Infatti sappiamo che la norma di $u$ è costanetemente uguale a $1$ per costruzione, e quindi $u^T(s)u(s) \equiv 1$. Ciò implica che, se deriviamo entrambi i membri dell’equazione, otteniamo $\dot{u}^T(s)u(s) \equiv 0$, ovvero che $u(s)$ è ortogonale a $\dot{u}(s)$ per ogni $s$.

Possiamo quindi semplicemente normalizzare il vettore normale appena trovato e definire il versore normale alla curva nella posizione $s$. Esso è $n(s) = \dot{u}(s) /|\dot{u}(s)| = \dot{u}(s)/k(s)$. La curva $\sigma(s)$ localmente vive anche in un piano molto particolare, quello che è chiamato piano osculatore. Esso è quello definito dal vettore tangente e dal vettore normale appena definiti, ovvero $\sigma(s) + Span(n(s),u(s))$. Esso varia con $s$ ed è proprio questa variazione che ci permette di definire un altro concetto super importante per la teoria delle curve, ovvero quello di torsione.

Ah..prima di passare a parlare di torsione, ci tengo a dire che il versore normale e la curvatura sono calcolabili anche senza avere disponibile la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco, però ho deciso di non trattarla in questo articolo. Se però ti interessa, puoi per esempio andare a studiarti il lemma 1.3.10 del libro Abate Tovena.

Andando ad intuito, come definiresti una curva piana? Probabilmente ti verrà da pensare a delle curve nel piano cartesiano o, se hai un po’ più di esperienza in termini matematici, parlerai di curve in spazi di dimensione più alta ma che però sono contenuti in un singolo piano.

Avendo però appena introdotto cosa intendiamo per piano osculatore, possiamo quindi definire rigorosamente cosa intendiamo per curva piana:

Una curva piana è una curva per la quale il piano osculatore è costante per ogni $s$.

Tuttavia una curva è abbastanza chiaro che possa uscire da un piano, e quindi il piano osculatore torcersi. Per provare a chiarire l’idea, ecco qui un’immagine:

Chiaramente questa curva non sta tutta sullo stesso piano. Calcolare il piano osculatore di questa curva, di parametrizzazione $\sigma(t) = (\cos{t},\sin{t},t)$ passando per la lunghezza d’arco, sarebbe bello intricato e quindi evitiamo. Se però ti va di provare a farlo, ti consiglio di andarti a recuperare la formula menzionata prima (lemma 1.3.10 del libro).

Ora ci concentriamo sulle curve nello spazio $\mathbb{R}^3$. Una cosa molto interessante, è che un piano nello spazio $\mathbb{R}^3$ è unicamente identificato dal vettore normale ad esso. Ricordando quindi che il piano osculatore, nel quale la curva sta in un intorno di un suo punto, è definito dai versori tangente e normale, possiamo calcolare l’unico versore ad essi ortogonali. Questo definirà univocamente tale piano osculatore.

Tale vettore ha anche un nome, è infatti chiamato versore binormale. Esso è definito come $b = u\wedge n$ dove $\wedge$ definisce il prodotto vettoriale tra il versore tangente e il versore normale. Il motivo per cui esso abbia norma 1, e quindi possa essere chiamato versore, è che $u$ e $n$ sono ortogonali e $|b|= |u|\cdot|n|\cdot|\sin{\alpha}| = |u|\cdot|n| = 1$, dove $\alpha$ è l’angolo tra i due vettori, che in questo caso è $\pi/2$.

Tutto ciò ha anche una denominazione, infatti i versori tangente, normale e binormale sono particolarmente rilevanti per lo studio delle curve nello spazio, essi sono chiamati (insieme) triedro di Frenet-Serret associato alla curva $\{u(s),n(s),b(s)\}$.

A questo punto possiamo concludere la nostra discussione definendo cosa si intende per torsione e vedendo un modo semplice per caprie se una curva è piana. Diciamo infatti una curva biregolare piana, se il vettore binormale è sempre costante, infatti esso definisce il vettore ortogonale al piano osculatore. Se quindi lui non varia al variare di $s$, allora nemmeno il piano osculatore lo farà. Di conseguenza, anche il sostegno della curva sarà interamente contenuto in un piano.

Tutto quest’ultimo ragionamento ci porta al dire che il vettore binormale, e il modo in cui varia, è in grado di definire la torsione della curva. Per costruzione, il vettore binormale sarà ortogonale alla sua derivata rispetto ad $s$. Infatti ancora $b^T(s)b(s)\equiv 1$ e quindi $\dot{b}^T(s)b(s)\equiv 0$. Ciò implica che, essendo che ci stiamo riferendo a curve in $\mathbb{R}^3$, se un vettore è ortogonale a $b$, allora vive nel piano definito da $u(s)$ e $n(s)$, ovvero nel piano osculatore. Infatti $$\dot{b}(s) = \dot{u}(s)\wedge n(s) + u(s)\wedge \dot{n}(s) = u(s)\wedge \dot{n}(s) $$ visto che $\dot{u}(s)$ è parallelo a $n(s)$ (è solo la sua normalizzazione). Ciò ci porta anche a dire che $\dot{b}(s)$ è perpendicolare sia a $u(s)$ che a $\dot{n}(s)$, deve quindi essere un multiplo di $n(s)$.

Siamo finalmente pronti a parlare di torsione. Essa è la funzione $\tau:I\rightarrow\mathbb{R}$ di classe $C^{k-3}$, dove $\sigma\in C^k$, tale che $\dot{b}(s) = -\tau(s) n(s)$. Quindi la curva è piana se e solo se la curvatura $\tau(s)$ è identicamente nulla.

In questa trattazione fatta fino ad ora ho preferito dare spazio all’intuizione piuttosto che al ragionamento rigoroso, quindi in certi punti ho omesso requisiti di regolarità delle curve e funzioni utilizzate. Questo non perchè non siano importanti, tutt’altro, però per una comprensione iniziale ritengo sia più importante concentrarsi sul "big picture", dopo per capire meglio il tutto basta addentrarsi nei libri tecnici (come l’Abate Tovena. )

Potremmo dire dell’altro o fare più esempi, ma per ora direi che possiamo finire qui, ci leggiamo al prossimo articolo per proseguire con la discussione riguardo le curve 🚀.

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Cosa si studia ad analisi 1?

Ecco alcuni punti chiave del video:

I principali argomenti trattati nel corso sono i seguenti.

  1. Numeri reali: perché ne abbiamo bisogno? Modelli dei numeri reali e definizione assiomatica. Assioma di completezza di $\mathbb{R}$, estremo superiore, inferiore e densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$. Breve riassunto dei concetti topologici della retta reale, aperti, chiusi ecc..
  2. Definizione di limite e nozione di funzione continua. Descrizione dei punti di accumulazione, con altri teoremi fondamentali sui limiti (per esempio il teorema dei carabinieri) e sulla proprietà di continuità.
  3. Nozione di derivata, concetto di massimo e minimo, con teoremi annessi. Per esempio il teorema di Weierstrass. Calcolo delle derivate e relative proprietà.
  4. Teorema di espansione di Taylor, serie di Taylor e conseguenti tecniche per risolvere forme indeterminate nei limiti grazie a questi concetti. esempio $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + … = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}$$
  5. Sviluppo del concetto di serie, somma infinita. Ci si concentra su particolari serie numeriche, si vede cosa si intende per convergenza di serie e vari criteri per valutare questa proprietà.
  6. Introduzione del concetto di integrale, con integrale superiore ed inferiore.  Descrizione delle varie proprietà, delle classi di funzioni integrabili e per esempio del teorema fondamentale del calcolo. Ci si concentra anche sugli integrali impropri (convergenza ecc..)
  7. Equazioni differenziali ordinarie e problemi di Cauchy. Ci si concentra su teoremi di esistenza e unicità, varie classi di ODE per esempio a variabili separabili, a coefficienti costanti del secondo ordine, o metodo di somiglianza –> l’idea è di arrivare a costruire delle soluzioni generali e integrali particolari di ODE. Cenni sullo studio qualitativo.

Libri suggeriti:

Analisi matematica 1 – Bramanti, Pagani, Salsa → https://amzn.to/3xGbgGZ

Analisi matematica (Vol. 1) – Giusti → https://amzn.to/3tgiOg1

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Devo essere un genio per studiare matematica?

Beh, chiaramente deve essere un genio!

Ciao. Eccoci con un nuovo articolo. Oggi andremo a rispondere ad una domanda che mi è stata fatta parecchie volte e che ho trovato anche molto richiesta su Quora e altri siti.

La domanda è: “Per studiare matematica, devo essere un genio? Devo essere dotato in maniera innata? Devo essere nato con un quoziente intellettivo parecchio elevato? Oppure chiunque sostanzialmente può andare a studiarla?”.

Intanto, prima di proseguire la lettura, ti ricordo che se preferisci guardare video al leggere articoli, qui trovi la versione video dei contenuti che ho poi trascritto qui sotto :

Beh, l’affermazione con cui ho aperto l’articolo era abbastanza una provocazione chiaramente. Infatti, per quanto mi riguarda, per esperienza personale e per i miei amici che ho conosciuto nei 5 anni di università, non è necessario essere un genio per studiare matematica.

Le tre cose più importanti, per me, sono

  • la determinazione,
  • la passione e
  • l’interesse nel portare avanti questi studi.

E’ innegabile, chiaramente, che esistono persone dotate naturalmente, persone che arrivano prima alla soluzione dei problemi, persone che comprendono prima i risultati matematici della gran parte degli altri. Ovviamente loro sono avvantaggiati nel percorso universitario in matematica.

Però, andiamo un po’ a vedere qual è la definizione classica che puoi trovare su un qualunque dizionario del termine genio.

Solitamente si definisce genio una persona con una spiccata intelligenza, dove questa intelligenza che lo contraddistingue dagli altri, dalla massa, è un qualcosa di innato.

Ovviamente quindi, una persona che abbia questa dote naturale è avvantaggiata nella possibile carriera in quanto matematico o matematica e, in particolare, in quanto studente di questa disciplina.

Tuttavia, secondo me, questo non impedisce agli altri, con lo studio, il dovuto tempo e la fatica, di arrivare ad ottimi risultati. Funziona un po’ come negli sport, dove le capacità innate aiutano ma non sono tutto. Se uno è particolarmente dotato in termini fisici e di talento naturale nel giocare a basket, per esempio, è chiaro che abbia una marcia in più rispetto ad un ragazzo minuto e basetto.

E’ anche chiaro che, in termini probabilistici, questo abbia maggiori possibilità di arrivare in NBA rispetto alla seconda persona.

Però, se questo ragazzo dotato di natura non ci mette impegno, non ci mette dedizione e costanza andandosi ad allenare, andando alle partite e mettendoci la testa, difficilmente arriverà a competere con i grandi del basket.

Cosa diversa invece è se andiamo a vedere quale potrebbe essere la carriera dell’altro ragazzo, quello più minuto. Lui, magari, è molto appassionato, la natura non è dalla sua parte però è determinato, si allena costantemente, continua a migliorare giorno dopo giorno e, soprattutto, punta sul gioco di squadra. Ovvero, fa sue delle capacità che vanno a colmare le lacune che la natura purtroppo gli ha dato..

In parole povere, questo secondo ragazzo non si rassegna al fatto che ci sia qualcuno che è più forte di lui. Invece, continua a lavorare e, magari, un giorno può diventare un ottimo giocatore di serie B o magari anche in serie A .

Insomma, secondo me la cosa importante nello sport come nello studio della matematica, è il voler capire le cose, il voler capire come risolvere un problema e quindi l’essere determinati e costanti nello studio.

Ovviamente il parallelo che ho fatto con lo sport vale in modo limitato, è solo per dare un’idea. E’ evidente che la competizione sportiva non abbia alcun legame nella matematica, dato che il successo di una persona nel risolvere un problema non implica in nessun modo la sconfitta degli altri 😉 . Comunque, penso possa essere sufficientemente esplicativo.

Dai discorsi che ho fatto qui sopra, probabilmente capirai che io non ritengo un motivo valido per rinunciare all’iscrizione all’università di matematica la frase “ma io non vado bene in matematica alle superiori”.

Infatti, se comunque il tuo interesse verso la matematica è forte (intendo verso la matematica, non verso il saper fare i conti correttamente 😉 ), allora secondo me hai tutte le carte in regola per iscriverti e studiare matematica.

Questo era un breve articoletto in cui ho condiviso la mia idea riguardo questo tema. Mi farebbe ovviamente piacere leggere qui sotto nei commenti cosa ne pensi, o se hai qualsiasi suggerimento per nuovi video/articoli.

Con ciò ti saluto e ci leggiamo alla prossima, ciao!

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principio del terzo escluso – Cos’e’ e qualche esempio

Ciao. Eccoci con un nuovo articolo. Oggi andremo a continuare la lista di terminologie matematiche spiegate brevemente. In questa sequenza di articoli/video ho previsto contenuti un po’ enciclopedici, in cui cerco di prendere quei termini/concetti che all’università vengono dati per scontati (e magari ti fai anche dei problemi a porre delle domande a riguardo perché pensi siano stupide).

Prima di proseguire, se preferisci guardare video alla lettura, qui trovi il video:

Oggi andremo a vedere che cosa si intende per principio del terzo escluso.Questo è un risultato molto semplice da capire. E’ un principio che è abbracciato in maniera molto aperta da gran parte dei rami della matematica. Vedremo poi però che ci sono anche dei matematici che non lo approvano, che non prendono in considerazione questo principio e sono chiamati matematici costruttivisti.

Il principio del terzo escluso si basa su un’idea molto semplice, o meglio evidenzia un’idea molto semplice: una proposizione matematica può essere o vera o falsa, non può esserci una terza possibilità.

Per esempio, quando sei davanti ad un numero naturale e affermi che è pari, ci sono solo 2 possibilità: hai ragione o hai torto. Infatti un numero naturale o è pari o non lo è, e in tal caso lo chiamiamo dispari. Però non può esserci una terza possibilità, ed ecco perché parliamo di “escludere il terzo”.

Questo è anche il principio che regola fondamentalmente la dimostrazione per assurdo. Infatti l’idea alla base di questa tecnica dimostrativa è di partire da un’assunzione (che solitamente è l’opposto di quello che vogliamo dimostrare) e poi, tramite dei ragionamenti logici e coerenti, arrivare ad una contraddizione.

Da ciò, possiamo dedurre che siccome partendo dall’assunzione di partenza, siamo arrivati ad una contraddizione, allora questa è errata. A questo punto entra a gamba tesa il principio del terzo escluso. Infatti, siccome non c’è alcuna possibilità oltre al fatto che un’assunzione sia errata o corretta, questa contraddizione vuol dire che abbiamo mostrato la validità della tesi.

Occhio però! Abbiamo mostrato la tesi non in modo costruttivo, ma l’abbiamo fatto escludendo l’altro caso possibile. Ecco dove arrivano i matematici costruttivisti, che si rifiutano di accettare risultati mostrati in questo modo e, più in generale, decidono di rinunciare completamente al principio del terzo escluso.

I matematici costruttivisti, vogliono mostrare tutti i risultati in modo costruttivo, ovvero concretamente partire dalle ipotesi e, logicamente, arrivare alla tesi.Detto ciò, magari non hai mai sentito parlare di questo principio, ma probabilmente avrai già utilizzato, magari senza accorgertene, tutti questi concetti di cui abbiamo parlato. Perché? Perché semplicemente è un principio molto ragionevole.

Noi infatti siamo abituati a dare per scontato che un concetto matematico sia o vero o falso. Chiaramente, nel mondo reale, nei problemi della vita concreta, ci sono delle verità opinabili, ci sono delle situazioni dove non c’è solo l’attributo di verità o falsità, e ci sono cose discutibili.

Però in questi casi si parla di “problemi” del linguaggio comune o di situazioni legate alle opinioni, ovvero tutte cose che in matematica non sono ben viste e presenti.

Con ciò spero di aver chiarito il principio del terzo escluso. Ti ricordo poi che se hai altri termini/concetti che ti interesserebbe che trattassi, puoi lasciare tranquillamente un commento qui sotto e proverò a trattarlo in altri video/articoli.

Con ciò ti saluto, e ci leggiamo al prossimo articolo 😉

Davide

Articolo in evidenza

Modello matematico: cos’e’ e a cosa serve?

Questo articolo è molto importante in quanto, visti un po’ i miei interessi, mi dedicherò particolarmente al mondo della matematica applicata e in questo settore il concetto di modello matematico è fondamentale.

Se alla lettura preferisci la visione di un video, puoi guardare la versione video di questo articolo qui:

In futuro probabilmente andremo ad analizzare qualche modello in particolare, come per esempio modelli per la diffusione di epidemie, per il trasporto del calore, per l’andamento del traffico o quant’altro… Quindi questa introduzione sarà fondamentale.

Cos’è un modello matematico?

Infatti, nelle scienze applicate e nel mondo fisico, i modelli matematici vengono utilizzati quotidianamente, soprattutto per dare una formalizzazione a quello che succede nella realtà e poter poi avere degli strumenti per capire cosa sta succedendo, cosa potrebbe succedere e perché.

Infatti, per modello matematico, intendiamo un insieme di relazioni e/o leggi matematiche in grado di catturare gran parte delle caratteristiche di un fenomeno e permetterci poi quindi di controllarne lo sviluppo, il cambiamento, l’andamento e poter trarre informazioni utili riguardo esso.

Da ciò segue naturalmente che il modello e la struttura matematica che si va a costruire è fondamentale che sia rilevante e coerente con il mondo fisico e l’applicazione a cui andiamo a riferirci.

Questo è un approccio molto diverso rispetto a quello tipico della matematica pura. Per esempio, nella congettura di Goldbach questo legame tra applicabilità del risultato e importanza dello stesso non è necessario da un punto di vista matematico. Se non sai cosa sia la congettura di Goldbach ecco un video in cui te la introduco:

Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe, e finché sono certe, non si riferiscono alla realtà.

(Albert Einstein)

È importante specificare inoltre, che quando parliamo di scienze applicate non stiamo solo andandoci a riferire a quelle classiche, quelle a cui riusciamo a pensare più naturalmente in quanto legate alla matematica (come per esempio la fisica o la chimica), ma facciamo riferimento a molte altre scienze complesse tra le quali ricadono la medicina, la finanza, la biologia, l’ecologia e varie altre.

Proprietà ed elementi fondamentali dei modelli matematici

La modellazione matematica intesa come

  • costruzione di un modello matematico, a cui segue poi
  • una fase di analisi e implementazione numerica e
  • un confronto dei risultati ottenuti con la realtà )quindi tramite via sperimentale),

è ormai all’ordine del giorno. Precisamente, questi modelli matematici ormai si è capito che sono davvero fondamentali e ci permetteranno di capire fenomeni complessi in maniera più rigorosa, così da poter quindi prevedere i possibili esiti degli stessi.

Sostanzialmente, l’origine di un modello matematico può essere ridotta a due elementi fondamentali: il primo sono delle leggi generali, il secondo sono delle relazioni costitutive.

Quindi vediamo che cosa sono questi due mattoni della costruzione di un modello matematico. Partiamo dalle leggi generali. Queste sono di natura abbastanza teorica, quindi possono essere per esempio le leggi della meccanica e i principi di conservazione dell’energia o del momento angolare. Esse sono quindi delle relazioni fisiche oppure delle leggi di bilanciamento chimiche e quant’altro. L’importanza di queste leggi è che non sono specifiche del singolo modello, ma possono descrivere vari fenomeni.

Per quanto riguarda invece le relazioni costitutive, abbiamo qualcosa di carattere più sperimentale. Infatti, in questo caso si vanno per esempio a utilizzare delle peculiarità del fenomeno in analisi. Tramite via sperimentale, si vanno a introdurre delle particolari costanti, oppure si va a modellizzare una particolare funzione in conseguenza a qualche risultato ottenuto sul campo. Questo secondo mattone quindi è un qualcosa di strettamente legato al modello e non generalizzabile, differentemente per esempio dalle leggi della meccanica che valgono per vari fenomeni, varie applicazioni.

Alcuni esempi di leggi costitutive sono la legge di Fourier per il flusso di calore oppure ci sono molte altre leggi che ci permettono di decidere, per esempio, che forma dare a un flusso numerico oppure a un flusso in generale. Queste scelte le faremo chiaramente in base a quello che stiamo analizzando.

Il risultato della combinazione di questi due mattoni fondamentali di un modello matematico è solitamente descrivibile in forma sintetica tramite un’equazione o un sistema di equazioni, spesso differenziali alle derivate parziali.

Questa struttura complessa non è necessaria in ogni circostanza. Può benissimo esserci qualche modello, comunque interessante e utile per certi fenomeni, che non coinvolge nemmeno equazioni differenziali. Magari vedremo qualcosa riguardo questo tema.

Comunque spesso i modelli che si vanno a costruire per analizzare situazioni che evolvono nel tempo (o nello spazio), coinvolgono equazioni alle derivate parziali e in questo ambito ti consiglio (nel caso tu sia interessato a questi temi) di guardarti questo libro: Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni. Questo libro si concentra soprattutto sulla costruzione dei modelli e fornisce anche molti strumenti per analizzare questi modelli, vederne le proprietà e magari risolvere (nel caso sia possibile) anche le equazioni alle derivate parziali sottostanti. La risoluzione di queste equazioni non è sempre possibile e magari questo sarà argomento di altri video o articoli (un argomento legato a questo sono gli spazi di Hilbert, se ti interessa puoi capire di cosa si parla in questo articolo https://www.mathone.it/spazio-hilbert/).

Esiste un solo modello per ogni fenomeno?

Un’altra cosa importante da evidenziare, è che nel momento in cui andiamo a interessarci a un fenomeno legato a una delle scienze complesse, è quasi certo che il modello che possiamo andare a costruire non sia unico. È quindi importante chiedersi se il modello che andiamo a costruire vada bene o meno e bisogna essere in grado di capire se questo modello possa funzionare o meno.

Ecco che dobbiamo introdurre il concetto di problema ben posto:

Di modelli ce ne sono un’infinità, alcuni sono di semplice comprensione e interpretazione…altri non lo sono. C’è sempre margine per complicare le cose anche se è importante evidenziare il fatto che non è detto che un modello più complicato di un altro sia in grado di spiegare meglio un certo fenomeno. Spesso la sintesi è una grande qualità di un modello a volte. Non è infatti raro che sia premiata la disponibilità a sacrificare la capacità di prevedere un fenomeno a favore di rendere il modello un po’ più semplice. Il perché dietro a questo fatto è che, grazie a questa scelta, magari possiamo abbassare i tempi di calcolo o i costi computazionali per poter elaborare le informazioni. Da ciò segue che potremmo riuscire a trovare delle informazioni utili su una situazione concreta in tempi ragionevoli. La velocità può essere davvero utile.

Per esempio, nel campo dello studio delle epidemie, la velocità e la capacità di prevedere in fretta dove potrebbe diffondersi un’epidemia, oppure le tempistiche con cui intervenire con un certo farmaco a volte possono premiare più dell’avere una descrizione estremamente accurata e dettagliata della realtà. Chiudiamo quindi notando che spesso è utile ponderare precisione con velocità di elaborazione.

Se ti interessa vedere un modello per l’analisi delle epidemie, il modello SIR, davvero snello ma comunque efficace per descrivere il numero di infetti di un’epidemia, ti consiglio di guardare questo mio video:

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Laurea in matematica: cos’è? Me la consigli?

Cos’è la laurea in matematica

Ti stai informando su cosa sia la laurea in matematica? Beh, intanto anche solo per essere tentato a iscriverti a questo corso di laurea ti faccio i complimenti, magari diventerai dei nostri 😉 Detto ciò, vediamo un po’ cosa sia questa laurea in matematica. 

Prima di iniziare l’articolo, ci tengo a farti sapere che lunedì 12 aprile 2021 ho organizzato una serata in cui parleremo dell’università di matematica con le chiamate vocali di Telegram. Se ti interessa puoi iscriverti al canale da qui https://t.me/mathoneblog . Ci sarà spazio per dubbi, domande e raccontare le nostre esperienze, ti aspetto! 😉

In questo paragrafo iniziale farò finta che tutti i corsi di laurea in matematica siano uguali (cosa parecchio errata) e mi concentrerò un po’ sullo spirito dietro a questa laurea e sugli aspetti che svilupperai in questi anni di studio, se sceglierai questo percorso.

Qui ho raccontato in un video, abbastanza lungo, la mia esperienza universitaria, se può interessarti/aiutarti.

Intanto ti suggerisco questa lettura molto interessante in cui vengono presentati alcuni suggerimenti per studiare matematica all’università: How to Study for a Mathematics Degree

Tralasciamo quindi le materie che andrai a studiare, ne parleremo nei prossimi paragrafi. Vediamo innanzitutto cosa NON è la laurea in matematica. In questi anni di studio di sicuro:

  • Non verrai formato per fare i calcoli velocemente
  • Non imparerai solo a far meglio quello che hai già visto alle superiori ma scoprirai mondi a te ora sconosciuti
  • Non ti annoierai. Il corso di laurea in matematica è parecchio impegnativo e quindi per preparare gli esami non ti basterà studiare le settimane prima della sessione. Cosa forse un po’ diversa da come sei abituato per le verifiche, però all’università sarà necessario sviluppare un buon metodo.
  • Non parlerai solo di numeri. I numeri sono solo uno strumento a disposizione del matematico, per verificare le proprie idee e ottenere risultati poi utili a interpretare la realtà
  • Non vedrai solo cose concrete. Anche se sceglierai un percorso più applicativo, un po’ come ho fatto io, tra tutte le materie che seguirai ce ne saranno di più concrete e di più astratte. Purtroppo o per fortuna i corsi sono spesso legati tra loro e quindi è necessario acquisire solide basi teoriche e capacità di astrazione per poi ragionare su esempi e problemi concreti

Bando alle ciance, basta con questi NON e andiamo a vedere cosa è effettivamente questa laurea. E’ un percorso, di 3 o più anni, in cui andrai a sviluppare grandi capacità di astrazione, di ragionamento, di lavorare in gruppo, di risolvere problemi e di organizzazione. Queste, come ben puoi intuire, sono tutte capacità poi spendibili non solo nei classici lavori che puoi pensare legati alla matematica (ne vedremo alcuni in seguito), ma sono tutte skill apprezzate in moltissimi ambiti lavorativi. Ecco quindi un motivo per cui ti sconsiglio di basare la tua scelta universitaria con il solo obiettivo di trovare un LAVORO SICURO, ti ricordo che con la tecnologia in così veloce avanzamento, gran parte dei lavori a tua disposizione quando concluderai la laurea non esistono ancora oggi (se vuoi approfondire questo tema leggiti questo articolo in cui si parla di 46 nuovi lavori per il 2030)

La laurea in matematica è quindi un percorso di studi parecchio completo, che grazie alla sua astrazione porta gli studenti ad ampliare anche la creatività/immaginazione, cose molto importanti anche per scopi ben lontani dalla matematica, come lo scrivere o il creare (start up per esempio).

Ah dimenticavo, tornando un po’ alle cose pratiche, solitamente i corsi di laurea in matematica si svolgono in una laurea triennale ed una magistrale, dove spesso nel percorso magistrale oltre a studiare cose chiaramente più avanzate, si cerca di costruirsi un percorso più specializzante in qualche settore.

Questo paragrafo introduttivo è stato un po’ di chiacchiere, ma comunque penso sia interessante la tematica delle cosiddette soft skills che questa tipologia di studi può aiutare a sviluppare. Passiamo quindi ad un’analisi un po’ più pratica, partendo da cosa aspettarsi da questo percorso di studi.

Cosa aspettarsi dalla matematica universitaria

Iniziamo con un dato di fatto: la matematica che hai avuto modo di conoscere alle superiori puoi vederla alla pari dell’inizio di un trailer di un film, neanche come tutto il trailer 🙂 Infatti alle superiori si vede più o meno bene, una semplificazione del calcolo differenziale in una variabile, con una parte relativa ad aritmetica e algebra nei primi anni della superiori. Per cui ciò che hai avuto modo di conoscere fino ad adesso diciamo che verrà toccato nei primi corsi del tuo primo anno di studi a matematica, poi scoprirai tutte cose nuove.

Ma cosa può esistere di più complicato di un integrale? Beh, non per forza dobbiamo parlare di cose più complicate, semplicemente diverse. Ti riporto qui di seguito alcuni tra i settori principali della matematica, giusto da aprirti un po’ gli orizzonti:

  • Logica matematica
  • Modellizzazione della realtà
  • Algebra
  • Teoria dei numeri
  • Analisi matematica
  • Fisica matematica
  • Calcolo numerico
  • Geometria e topologia
  • Matematica discreta
  • Ottimizzazione e teoria del controllo
  • Probabilità e calcolo stocastico
  • Dinamica dei fluidi
  • Storia della matematica
  • Matematica ricreativa

e valuta che sono stato parecchio vago in questa lista, dato che per esempio nell’analisi matematica (che è quella di cui hai visto qualcosa in quarta o quinta superiore) ci sono moltissimi settori, dall’analisi delle equazioni differenziali, dei sistemi dinamici, delle equazioni alle derivate parziali, della teoria della misura e molto altro…

Questo preambolo non l’ho fatto per spaventarti, anzi! Semplicemente per farti sapere che la matematica si applica a moltissimi contesti diversi e tutti da scoprire. Se ti interessa approfondire questo tema ti consiglio vivamente di leggerti uno dei seguenti libri:

Trovo che la lettura di questi testi ti porterà ad una scelta molto più informata riguardo il tuo percorso di studi. Ciò non toglie che ci si possa iscrivere un po’ alla cieca come ho fatto io e molti altri immagino, con l’unica motivazione che alle superiori la matematica ci è piaciuta e quindi probabilmente sarà lo stesso anche dopo.

Ah, giusto per condividere qualcosa di personale, io fino a 10 giorni prima di iscrivermi in triennale sono stato convintissimo di iscrivermi alla laurea in informatica, poi in realtà quasi istintivamente sono andato ad iscrivermi a matematica e sono davvero contento della scelta che ho avuto la fortuna di fare. Quindi i consigli che ti sto dando qui sopra non derivano da ciò che ho fatto io, ma da una visione a posteriori che ho adesso avendo ormai fatto 4 anni di corsi di matematica.

Se vuoi un parere diverso dal mio ecco un video:

Analisi del piano di studi della mia triennale

Addentriamoci ora in qualcosa di molto concreto che sono certo che ti sarà utile. Premetto che ogni corso di laurea in matematica e ogni città offrono corsi diversi, tenuti da professori diversi e con attenzione particolare ad aspetti diversi. Ma, soprattutto per il primo anno, bene o male le materie sono le stesse, perché fondanti per ogni percorso.

Quindi ho pensato possa esserti utile l’analisi del mio piano di studi, ovvero elenco degli esami che ho fatto, in laurea triennale. Premetto però che io ho fatto la triennale in matematica applicata (a Verona), quindi mi mancano molti esami più associabili alla matematica pura, come logica o cose relative alla teoria dei numeri, però in compenso ho parecchi corsi più numerici e relativi al calcolo scientifico.

Detto ciò, sappi che ogni università mette a disposizione questo piano di studi sul suo sito, quindi puoi leggerti ciò che ho da dirti nelle prossime righe e poi andare ad incrociare il mio piano con quello delle università a cui sei potenzialmente interessato, cercando di capirlo meglio.

Nelle due immagini precedenti trovi la lista degli esami che ho fatto nella mia laurea triennale. Siccome avevo la possibilità di scegliere alcuni corsi ed ero tentato dal ramo finanziario (per poi scoprire che in realtà non mi piaceva) ho scelto di fare i due corsi che ho evidenziato, che magari mancano ad un po’ di altri percorsi universitari.

Ho omesso la colonna dei professori a cui erano assegnati i corsi perchè non è rilevante per quello che voglio condividere in questo post, se sei curioso puoi andare a cercarteli 😉

Posso già dirti che il primo semestre del primo anno è più o meno simile in tutte le università quindi magari qui ti spiego meglio i corsi:

  • Algebra lineare con elementi di geometria: questo è davvero un corso fondamentale, dovrai mettertelo come priorità a mio parere perché tutto ciò che impari sarà poi utilizzato in ogni corso seguente. Si studiano le principali strutture algebriche e le loro proprietà, come spazi vettoriali, gruppi, matrici, numeri complessi, sistemi lineari e molto altro. Nel programma avevo anche lo studio della geometria proiettiva e delle coniche, questo dipende un po’ dall’università.
  • Analisi 1: Questo è un po’ il corso in cui, se hai fatto bene matematica al liceo, ti troverai più avvantagiato perchè bene o male tutte le cose sono state viste, chiaramente non a livello universitario. Questo era il programma del mio corso di analisi uno: Proprietà dei numeri reali. Successioni e serie numeriche. Limiti. Funzioni continue. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Calcolo integrale per funzioni di una variabile reale. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Topologia della retta reale.
  • Fondamenti della matematica: Questo è un corso davvero utile perché permette di imparare, o comunque prendere la mando, a fare dimostrazioni e le principali strutture logiche necessarie per fare matematica.Nel mio corso si vedevano metodi e concetti fondamentali della matematica, in particolare il metodo della dimostrazione ed il linguaggio degli insiemi.
  • Programmazione con laboratorio: Questo è un corso molto vario ma comunque per me importante perchè mira ad insegnare a scrivere algoritmi, seppur di base, a ragionare come fa un computer e a programmare qualcosina, magari niente di eccessivo ma è comunque davvero importante per capire come costruire procedure algoritmiche. Nel mio corso abbiamo usato un po’ Python e un po’ Java, in seguito Java non l’ho più usato mentre Python l’ho poi recuperato in altre circostanze.

Chiaramente non sto qui a descriverti ogni corso che ho seguito perché penso sarebbe eccessivo, però aggiungo qui sotto la descrizione dei 3 corsi che più mi sono piaciuti:

  • Sistemi dinamici: Il corso tratta vari aspetti dell’analisi qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie e introduce alla teoria dei sistemi dinamici continui. Ci si propone di studiare con una certa profondità gli argomenti in programma sia dal punto di vista teorico che sapendo trattare esempi. Sui sistemi dinamici avevo già scritto qualcosa qui sul sito, perchè è un po’ il settore della matematica che preferisco.
  • Analisi 3: Da me, questo corso consisteva nello studio dell’analisi complessa che è molto affascinante perché si discosta molto da quanto visto con l’analisi reale negli anni precedenti ed è ricca anche di aspetti geometrici/visuali interessanti.
  • Dinamica dei fluidi: Questo corso era un’introduzione all’analisi della dinamica dei fluidi, per me molto interessante perchè ho scoperto cosa sono le equazioni di Navier-Stokes e ho potuto applicare le tecniche acquisite negli anni precedenti per applicarle ad una situazione che vedevo più pratica/concreta, ovvero l’analisi delle correnti, dell’aria e così via.

Spero che ti siano interessanti queste descrizioni, poi ti consiglio di approfondire sui siti delle università che ti interessano e facendo ricerche online del tipo “cosa si fa al corso di…”.

Perché iscriversi al corso di laurea in matematica

Siamo arrivati alla fatidica domanda…

Ok, tutto bello, tutti bravi ma perché dovrei iscrivermi a matematica? Allora, visto che è un po’ difficile, almeno a mio parere, capire se ci possano piacere dei corsi di cui sappiamo solo in linea teorica il loro contenuto (come se sapessimo solo leggere l’etichetta di una scatola e volessimo essere in grado di decidere se ci piace il contenuto), direi di rivolgere l’attenzione ad altri aspetti.

Può succedere che tu sappia già che vuoi fare il professore di matematica o magari abbia un familiare che lavora nel settore matematico e allora in quel caso la tua scelta sarà più facile, perché hai un obiettivo che ti piace e vuoi raggiungere e quindi la laurea in matematica è solo una cosa da cui devi passare, in quel caso ho poco da dirti, prova ad iscriverti e vedi come va 🙂

Ho invece dei consigli per chi non vuole basare la sua scelta sulla professione futura, io per esempio non avevo idea di cosa si potesse fare una volta usciti dall’università, mi sono iscritto ( e ne sono contento ) solo pensando a quello che poteva piacermi studiare negli anni successivi.

Quindi, per capire se sei nel mindset che può portarti a vivere sereno una laurea in matematica io ti consiglio di fare 2 cose:

  1. Leggi più libri divulgativi, post sui forum/gruppi Facebook possibili in cui ti fai un attimo un’idea di cosa voglia dire fare matematica. Un buon punto di partenza potrebbe essere questo sito 😉 Non è un problema se non capirai i tecnicismi, è più che normale, la cosa importante è che tu provi a capire “se potrebbe piacerti capire quelle cose”.
  2. Parla con più studenti e laureati possibili, fatti dare consigli e magari vai anche a seguirti una delle prime lezioni di un corso del primo anno, tanto sono tutti ad accesso libero. Così ti fai un’idea di come sia l’ambiente e se ti ci troveresti bene dentro.

Ah…una cosa che ci tengo a dirti, in tutte le realtà universitarie di matematica con cui sono venuto a contatto, c’è un clima molto più informale rispetto a percorsi più umanistici o letterari. Mi spiego meglio, solitamente i corsi sono seguiti da poche persone (ti direi massimo una sessantina in media), adesso sto seguendo corsi in cui siamo in 2 in aula ma questo è un altro discorso ahah, ma comunque questo è molto utile perchè puoi fare più domande ai professori ed essere meno intimorito dagli auditorium completamente pieni.

Altro fattore determinante per scegliere bene, secondo me se ti piace risolvere problemi, matematica (o volendo anche informatica) sono senz’altro ottime scelte per te. 

Non sto qui a soffermarmi sulla differenza tra matematica pura, matematica applicata  e ingegneria matematica, magari facciamo un post a riguardo in futuro.

Ti lascio qui anche un video fatto molto bene da Naum di MathMind riguardo la scelta di matematica:


Sbocchi lavorativi per un laureato in matematica

Forse non te lo aspetteresti ma non riesco a riassumere in 10-15 righe tutti i possibili sbocchi di un matematico, quindi ti rimando ad alcune risorse esterne davvero ricche e ti anticipo che in futuro ne pubblicherò una lista (punto a 50 esperienze) anche qui sul sito.

Articolo in evidenza

Trasformata di Fourier : cos’è e come viene utilizzata

Un suono è un’unione di note esatte, di suoni perfetti e semplici. Ma è possibile sapere da che note elementari è composto un generico suono? E’ possibile scomporre un rumore, un segnale nelle onde elementari che lo compongono? Sì, e uno strumento che ci permette di procedere verso quest’obiettivo è la trasformata di Fourier.

Prima di passare a delle formalizzazioni matematiche, voglio provare a farti intuire direttamente le caratteristiche principali di questo potente strumento con un analogia molto semplice 😉

La trasformata di Fourier e il minestrone

Di sicuro hai già mangiato, almeno una volta e magari controvoglia, il minestrone. Questo piatto non è che un miscuglio di varia verdura ed eventualmente cereali, che si amalgamano in un gusto più o meno omogeneo e nel quale è difficile distinguere esattamente tutti i sapori. Ma cosa c’entra il minestrone con la trasformata di Fourier? Non c’è fretta, ci arriviamo subito con queste semplici domande.

Cosa fa la trasformata di Fourier?

Dato un minestrone ne trova gli ingredienti.

Come fa?

Fa passare il minestrone da dei filtri di “dimensioni” diverse, così da separare tutti i suoi ingredienti.

Perchè?

Le ricette sono più semplici da analizzare, comparare e modificare rispetto a dei minestroni già pronti.

Come possiamo ottenere di nuovo il minestrone?

Frullando insieme tutti gli ingredienti appena separati.

Le domande qui sopra possono sembrarti assurde e completamente sganciate da ogni concetto matematico, ma ti assicuro che quanto descritto fino ad ora ci aiuterà (parecchio) nel proseguire l’analisi della trasformata di Fourier.

Prima di avanzare nella spiegazione, ci tengo a precisare alcuni dettagli sul minestrone che saremo in grado di analizzare con questo nuovo strumento matematico.

Innanzitutto è abbastanza evidente che per procedere alla sua filtrazione e separazione completa, è necessaria una serie di tutti i possibili “passini” (o filtri). Dobbiamo essere in grado potenzialmente di individuare qualsiasi ingrediente, infatti è chiaro che non saremo mai in grado di separare i fagioli dal resto se non abbiamo il filtro per i fagioli.

Inoltre i filtri devono poter agire in maniera indipendente, infatti le carote NON devono influenzare il buon funzionamento del filtro delle patate. Per concludere, con questi filtri siamo in grado di analizzare dei minestroni particolari, in cui l’ordine con cui componiamo gli ingredienti non porta a risultati differenti. Ovvero la ricetta non dipende dall’ordine con cui aggiungiamo i vari componenti.

Bene, fatta questa premessa (riassunta nell’immagine qui sotto), passiamo ad una descrizione matematica della trasformata di Fourier 😉

Introduzione matematica alla trasformata di Fourier

Ora smettiamo di parlare di cucina e iniziamo a parlare di funzioni 😉 Il nostro minestrone è infatti una funzione, una composizione di molteplici onde elementari.

Le due immagini qui sopra sono la rappresentazione di quanto detto fino ad ora. In particolare la funzione/segnale (il minestrone) in analisi è rappresentata nella prima figura ed è $f(x)=\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)$, mentre la sua scomposizione negli “ingredienti” elementari è rappresentata nella seconda figura. In particolare i suoi elementi fondanti sono $\sin(x),\sin(2x),\sin(3x)$, che sono tre onde elementari a frequenze differenti.

La trasformata di Fourier, più o meno direttamente, è in grado di fornire questa scomposizione in “ingredienti” elementari di un generico segnale in input.

Ma vediamo in concreto come possiamo definirla matematicamente, direi che le premesse sono ormai sufficienti 😉 La definiamo solo per funzioni appartenenti ad un particolare spazio metrico, la teoria da sviluppare altrimenti sarebbe ben più ampia.

Definizione 1 (Funzione a quadrato sommabile)

Si dice che una funzione $f(x)$ di una sola variabile reale, a valori reali, è a quadrato sommabile su un preciso intervallo $I=[a,b]$ se vale la seguente:

\[ \int_a^b |f(x)|^2\,dx\;<+\infty\,,\]

in tal caso si può scrivere $f\in\,L^2(I)$.

La trasformata di Fourier, per una funzione a quadrato sommabile, è una funzione $\mathcal{F} : L^2(\mathbb{R})\rightarrow L^2(\mathbb{R})$, ecco una definizione operativa:

Definizione 2 (Trasformata di Fourier)

Data una funzione $f\in\,L^2(\mathbb{R})$, si dice trasformata di Fourier di $f$ la seguente:

\[ \mathcal{F}\{f\}(t) = \hat{f}(t) = \,\int_\mathbb{R} f(x)\,e^{-2\pi i x}dx,\;\forall\,t\in\mathbb{R}.\]

Nel caso tu sia già a conoscenza dello sviluppo in serie di Fourier, qui di seguito riporto il procedimento che evidenzia l’origine della trasformata a partire da questo sviluppo 😉

Data una funzione $f\in \,L^2([-T,T])$, ne posso definire i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier come segue: \[a_n=\frac{2}{T}\int_{-T}^{T} \cos\left(\frac{2\pi n}{2T}x\right)f(x)dx,\qquad b_n=\frac{2}{T}\int_{-T}^{T} \sin\left(\frac{2\pi n}{2T}x\right)f(x)dx.\]

Definiamo ora

\[ c_n = a_n – ib_n = \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} \left(cos\left(\frac{2\pi n}{2T}x\right)-i\sin\left(\frac{2\pi n}{2T}x\right)\right)f(x)dx =\]\[ = \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} \left(cos\left(-\frac{2\pi n}{2T}x\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi n}{2T}x\right)\right)f(x)dx =\]\[=  \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} e^{-i\frac{2\pi n}{2T}x}f(x)dx \] e detto $t_n=\frac{n}{2T}$, si ha \[c(t_n) = \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} e^{-2\pi i t_n x}f(x)dx. \]

Ora l’ultimo step per arrivare ad ottenere la trasformata di Fourier è pensare di passare al limite per $T\to + \infty$. Per preservare le informazioni che questo sviluppo in serie mi fornisce, posso pensare di rimuovere il coefficiente $1/2T$ che altrimenti farebbe tendere il tutto a 0. Ottengo quindi \[c(t) = \int_\mathbb{R} e^{-i2\pi t x}f(x)dx.\]

Ma pensiamo un attimo a cosa stiamo facendo passando al limite, così da renderci conto che effettivamente il tutto rispecchia l’analogia del minestrone 😉 . Il limite ci porta a considerare la funzione reale in tutto il suo dominio (chiaramente se è definita su un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ non ha senso definire la trasformatasu tutto $\mathbb{R}$). In questo modo codifichiamo tutti i valori assunti dalla funzione.

Codifichiamo?! In che senso?

Trasformazione nello spazio delle frequenze

Ecco, questo non l’avevo ancora specificato…immagino ti sia già chiesto il perchè questo operatore matematico sia chiamato TRASFORMATA e non integrale o in altro modo. In effetti un senso dietro  a questa scelta c’è, infatti tale operatore trasforma delle informazioni appartenenti ad un dato dominio, quello dei reali, in informazioni in un secondo spazio, quello delle frequenze.

E’ proprio questo l’obiettivo della trasformata: trasformare le informazioni di un segnale dallo spazio reale allo spazio delle frequenze. Infatti il parametro $t$ che abbiamo utilizzato nella costruzione matematica precedente è proprio da intendersi come una frequenza!

E’ probabile che queste ultime righe ti siano poco chiare, un po’ per colpa mia (non è facile semplificare un concetto avanzato come questo), un po’ perchè va metabolizzato con calma. Ma vediamo di consolidare il tutto con un paio di grafici 😉

       

In questo esempio sono rappresentate a sinistra la funzione $f(x)=e^{-4x^2}$ e a destra la sua trasformata. Vediamo intanto i calcoli che ho fatto per trovarla 😉

\[\hat{f}(t) = \int_\mathbb{R} e^{-2\pi i x t}e^{-4x^2}dx = \int_\mathbb{R} e^{-2\pi i x t-4x^2}dx=e^{-\frac{\pi^2t^2}{4}}\int_\mathbb{R} e^{-(2x+\frac{\pi it}{2})^2}dx \] e sostituendo $s=2x+\frac{\pi it}{2}$ si ha $ds = 2dx$ e quindi $dx=ds/2$. Ottengo così \[ e^{-\frac{\pi^2t^2}{4}}\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} e^{-s^2}ds = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-\frac{\pi^2t^2}{4}} \]

Benissimo, ma a cosa ci serve trovare la codifica (ordinata) del segnale reale nello spazio delle frequenze? Eh, qui arriva il bello 😉 Immagina di andare ad uno spettacolo all’aperto e di dover registrare l’audio. Inevitabilmente registrerai del rumore che è fastidioso quando lo si riascolta. Bene, la trasformata di Fourier aiuta a rimuoverlo 😉

Infatti il rumore supponiamo corrisponda a delle alte frequenze acustiche. A questo punto ti basta codificare i segnali che hai raccolto, nello spazio delle frequenze e semplicemente tagliare da un certo punto in poi il tuo grafico.

In questo caso mi sono immaginato di voler rimuovere dal segnale da cui siamo partiti, $f(x)=e^{-4x^2}$, le frequenze di intensità superiore ai 0.6 Hz (gli Hertz sono l’unità di misura delle frequenze, 1 Hertz = 1 / 1 secondo). Allora ho rimosso, nello spazio delle frequenze, tutto ciò che è evidenziato in blu nell’immagine qui sopra. Al posto di tale parte della curva, posso sostituire una funzione costantemente uguale a 0.

Quindi, intuitivamente, più $f$ è regolare e priva di oscillazioni, più la sua trasformata $\hat{f}$ sarà concentrata attorno all’asse delle ordinate, nello spazio delle frequenze.

Se stai seguendo bene il filo del discorso, sono certo che ti sia sorta la seguente domanda: Ma cosa me ne faccio del segnale “pulito” dal rumore se lo conosco solo nello spazio delle frequenze? C’è un modo per tornare nello spazio “reale” e potermi sentire il suono ripulito dal rumore?

Certo che c’è! Si chiama formula di inversione per la trasformata di Fourier 😉

Vediamo però prima di introdurla un risultato interessante che ci avvicina alla formula che ci interessa:

Se $\hat{f}\in L^2(\mathbb{R})$, e lo sarà sempre nel caso $\f\in L^2(\mathbb{R})$, allora $\mathcal{F}: L^2(\mathbb{R})\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ è invertibile e vale \[\hat{\hat{f}}=f(-x).\]

La dimostrazione di questo risultato non è nulla di troppo complicato ma preferisco evitare di riportarla per non appesantire ulteriormente questo articolo. Se ti interessa fammelo sapere che magari ti indirizzo verso qualche risorsa ben fatta 😉

Ah, giusto come curiosità, vale anche il seguente:

\[ \hat{\hat{\hat{\hat{f}}}} = f. \]

Ora penso ti sia abbastanza chiara quale sia la formula dell’inversa $\mathcal{F}^{-1}$, comunque eccola qui:

\[ \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(t)\} = f(x) = \int_\mathbb{R} e^{-2\pi i (-x) t}\hat{f}(t)dt = \int_\mathbb{R}e^{2\pi i x t}\hat{f}(t)dt.\]

Ecco quindi che ci siamo 🙂 Una volta ripulito il segnale audio raccolto allo spettacolo, abbiamo ormai capito che possiamo riconvertirlo nel segnale reale e ascoltarci lo spettacolo senza fastidiosi rumori. Interessante, no?! Chiaramente quanto visto fino ad ora non è nulla di approfondito, ma secondo me è utile per capire le potenzialità che ha questo strumento matematico e, almeno in via intuitiva, come può aiutarci ad analizzare dei segnali.

A questo punto si potrebbe proseguire in due direzioni:

  1. Elencare le innumerevoli proprietà matematiche della trasformata di Fourier con relativi esempi
  2. Guardare oltre la matematica e parlare un po’ di come può essere utile questo strumento nella realtà.

Per questo articolo ho deciso però di lasciarle entrambe in sospeso e dedicare un articolo ad ognuna di esse in futuro. Mi sembra che abbiamo già fatto un bel percorso con le precedenti righe, partendo da un minestrone siamo passati a ripulire un segnale acustico 😉 Niente male, no?!

Se ti interessa la tematica e hai qualche aspetto che ti interessa maggiormente approfondire fammelo sapere nei commenti. Comunque fra non molto pubblicherò i successivi due articoli, giusto il tempo di riorganizzare le idee e trovare un modo per presentarle.

Se intanto hai la curiosità di approfondire in autonomia questa tematica, ecco alcuni link che di sicuro ti aiuteranno:

  • Trasformata di Fourier per l’ingegneria: LIBRO
  • La trasformata di Fourier è una figata: ARTICOLO
  • La trasformata di Fourier – Uniroma: PDF
  • La trasformata di Fourier – Proprietà ed esempi: PDF
  • An Interactive Guide To The Fourier Transform: ARTICOLO

Con ciò ti saluto, ci sentiamo al prossimo articolo 🙂

Articolo in evidenza

Cos’è un algoritmo? Definizione e qualche esempio

Cos’è un algoritmo? Eh, domanda non troppo facile ma senz’altro di fondamentale importanza. Ormai siamo nell’era digitale, dove gli algoritmi regnano sovrani. Tutti i dispositivi che utilizziamo quotidianamente sono basati su essi, direi quindi che un po’ di loro conoscenza non guasta a nessuno 😉 .

Se alla lettura preferisci vederti un video eccone uno che ho preparato a riguardo. Uno un esempio un po’ diverso ma il senso è lo stesso 😉

Introduzione ed esempi pratici

Per definire questo “oggetto”, vediamo di partire da un semplice esempio 😉 Sai preparare la pasta giusto? Bene, mentre la prepari segui un algoritmo ben preciso:

  1. Metti l’acqua nella pentola
  2. Accendi il fuoco e sopra ci metti la pentola
  3. Aspetti 5-10 minuti che l’acqua bolla
  4. Pesi la pasta su una bilancia
  5. Aggiungi il sale all’acqua
  6. Aggiungi la pasta nella pentola
  7. Aspetti 5-10 minuti di cottura
  8. Al termine la scoli e la aggiungi al sugo.
  9. Quindi la servi nel piatto

Chiaramente non fissiamoci troppo sui dettagli della preparazione della pasta, magari tu hai una ricetta super segreta diversa da questa 😉 Ah, giusto per inciso ho scoperto di recente che non è necessario tenere il fuoco acceso dopo che l’acqua ha raggiunto la temperatura di ebollizione, si può buttare la pasta, spegnere la fiamma e questa si cuocerà lo stesso. Guarda questo video di Dario Bressanini se non ci credi 🙂

Comunque, mettiamo un po’ da parte la pasta, l’importante è rendersi conto che esistono delle istruzioni che vanno bene in qualsiasi momento per prepararla e funzionano sia che le metta in pratica io che tu. Inoltre il risultato è sempre lo stesso, un bel piattone di pasta 🍝🍝

Se può interessarti approfondire il tema, questo è un bel libro che ti suggerisco : https://amzn.to/3ci6Fim .

Vediamo quindi di estrarre le proprietà fondamentali di un algoritmo a partire da questo semplice esempio. Esso è una sequenza di istruzioni/azioni che vanno eseguite in un ordine specifico. Questa sequenza è inoltre finita in tempo, nel senso che sai già che riuscirai a preparare il tuo piatto di pasta in 15-20 minuti. Inoltre questa ricetta non può essere ambigua, interpretabile, ma deve funzionare chiunque sia il “cuoco”. Per concludere, le istruzioni devono essere elementari, semplici, non ulteriormente spezzabili in azioni più semplici.

Vediamo quindi un esempio più matematico prima di arrivare a definirli formalmente 😉

Algoritmo di Euclide

E’ un algoritmo che si usa per trovare il massimo comun divisore tra due numeri naturali qualsiasi. Se non sai cosa sia il massimo comun divisore (MCD), è semplicemente il numero naturale più grande in grado di dividere esattamente i numeri di partenza. Quindi si ha che esso è uguale ad 1 nel caso essi siano coprimi, ovvero privi di divisori comuni.

Ecco l’algoritmo scritto in linguaggio comune (pseudocodice):

Prendi $a,b$ due numeri naturali

Definisci una variabile naturale $r$

Finchè $b$ diverso da $0$:

>>> $r=a%b$ (il resto della divisione tra $a$ e $b$)

>>> $a=b$

>>> $b=r$

Restituisci $a$

fine

Ora non sto qui troppo a soffermarmi sul perchè questo algoritmo funzioni, proseguiamo oltre..

Ciò che importa  per il nostro obiettivo attuale è notare come le operazioni che questo algoritmo comporta sono elementari: divisioni intere e sostituzioni di variabili, niente di più.

Inoltre questo algoritmo fa al più $b$ iterazioni del ciclo, nel caso in cui essi siano coprimi e quindi termina in tempo finito 🙂 Proprio come avevamo notato prima nell’algoritmo per la pasta.

Chiaramente questo è un algoritmo ancora semplice, in fondo all’articolo ti indicherò alcuni algoritmi grossi e importanti così da farti venire voglia di approfondire l’argomento da solo 😉

Definizione più rigorosa del concetto di ALGORITMO

Si dice algoritmo una sequenza finita e ordinata di operazioni elementari e non ambigue che permettono di risolvere, in maniera deterministica, un problema in tempo finito, ovvero l’algoritmo ha un termine.

Se non hai mai sentito parlare di algoritmo in termini un po’ più formali, è molto probabile che ti sfugga l’importanza di qualcuna delle richieste che l’algoritmo deve soddisfare per essere definito tale.

Vediamo quindi un paio di esempi che sembrerebbero algoritmi ma non lo sono perchè non rispettano una o più di queste strane proprietà.

Un esempio semplice di non determinismo di una sequenza di istruzioni potrebbe essere introdotta nella procedura di preparazione della pasta. Per esempio si decide che appena si è messa l’acqua a bollire si lancia un dado e a seconda del numero che esce si salterà una delle operazioni che abbiamo elencato successivamente. Non solo questa procedura non è deterministica ma non è nemmeno detto che ci permetta di ottenere il risultato finito 🙂

Un altro “algoritmo” molto semplice ma che non può essere definito tale in quanto non termina è il seguente:

$a=2$

Finchè a è pari:

       $a=2a$

Restituisci $a$

fine

Chiramente se moltiplichiamo un numero pari per 2, esso rimarrà pari 😉 Può sembrare stupido come esempio, ma è sufficientemente chiaro per capire l’importanza di queste proprietà nella buona caratterizzazione di un algoritmo.

Per finire questa carrellata di esempi di non algoritmi, discutiamo un attimo della non ambiguità. Un esempio molto semplice, legato per sempre alla preparazione della pasta, è il seguente:

Nella ricetta invece di dire dopo 10 minuti spegni il fuoco e scola la pasta, supponi di dire di scolarla quando ti sembra cotta.

Il “sembrare cotta” non è chiaramente un parametro oggettivo. Sono d’accordo che nella realtà lo si dice, ma non è un problema dato che noi non siamo macchine ma uomini e donne pensanti, in grado di fare delle scelte in autonomia.

Però se si dicesse così ad un computer, o comunque dare queste istruzioni ad una planetaria o un robottino che cucina per te, è ovvio che lui non sarebbe in grado di decidere quando scolare la pasta (a meno di insegnarglielo, ma questo è un discorso più complicato) 😉 Ecco il perchè dell’importanza della non ambiguità delle istruzioni.

Proprio perchè queste proprietà devono appartenere ad un qualsiasi algoritmo, essi sono anche rappresentabili mediante un diagramma di flusso. Qui sotto ti allego una immagine tipo e in un altro articolo magari approfondiremo la visione grafica degli algoritmi…merita davvero più spazio che qualche riga stracciata qui.

Fonte dell’immagine: Nonciclopedia, https://goo.gl/tkVqXx

Come anticipato in precedenza, gli algoritmi sono gli elementi fondamentali dell’informatica, sono alla base di ogni processo automatizzato ed automatizzabile. Per cui ho pensato, perchè rimanere su esempi solamente spiegati quando puoi mostrare come lavora un algoritmo matematico nella pratica? Qui di seguito trovi quindi il codice che ho scritto sia in Python che in Matlab di un algoritmo parecchio interessante, da far risalire ai babilonesi, che permette di convergere, relativamente velocemente, alla radice quadrata di un numero reale positivo.

Oltre al codice ho pensato di mostrarti riportate le iterazioni nel caso di cercare la radice del numero 17, per non fare il caso semplice di un quadrato esatto. Certo, verificare che l’algoritmo funziona per un caso particolare non ci permette di dire che esso sia corretto, ma è un buon modo per iniziare a convinrcetene.

Ah, purtroppo non sono capace di inserire codice eseguibile qui sul blog e quindi mi è toccato fare gli screen delle due schermate (Python e Matlab). Il codice è breve quindi puoi copiartelo a mano senza problemi ma mi fa schifo onestamente includerlo in delle immagini ahah 🙂 quindi se sai come inserirlo e mettere la possibilità di eseguirlo fammelo sapere con un commento. Ti lascio al codice e ai risultati. 

P.S. Come criterio di arresto dell’algoritmo ne ho usato uno stupido, ho detto: stoppa l’esecuzione dopo 15 passi. Si può fare molto meglio, il criterio più ragionevole in questa tipologia di algoritmi è di fissare una tolleranza relativa, per esempio 0.1% del numero di partenza, è poi lasciar proseguire le iterazioni fino a che il valore calcolato sarà più vicino al risultato esatto rispetto allo 0.1% di 17 in questo caso.

Radice quadrata babilonese in Python

Radice quadrata babilonese in Matlab

Prima di concludere l’articolo, ti lascio un elenco con alcuni algoritmi interessanti a cui ti consiglio di dare un’occhiata. Se c’è interesse, magari ne approfondiremo qualcuno nei prossimi articoli, in caso faccelo sapere mandando un messaggio alla Pagina Facebook, lasciando un commento qui sotto al post o mandando una mail all’indirizzo list@mathone.it 🙂

Alcuni algoritmi interessanti da approfondire

Preferisco sviluppare questa sezione in maniera molto schematica, lasciandoti una semplice lista di link che rimandano ad una pagina di approfondimento dedicata al particolare algoritmo, per parlarne sul sito ci sarà tempo in futuro 🙂

Ce ne sarebbero molti altri ma per ora direi che è una lista anche troppo lunga, se vuoi guardare qualcos’altro su questo sito, ecco alcuni articoli legati a queste tematiche che avevamo scritto in passato:

Articolo in evidenza

Problemi del Millennio: I 7 Problemi da 1 milione di Dollari

Nella vita di un matematico in erba sarà capitato almeno una volta di sentir parlare degli altisonanti “Problemi del Millennio”. Ebbene: Cosa sono? Perché periodicamente ritornano in auge? Perché le soluzioni sono viste come il sacro Graal della matematica moderna?

Cerchiamo innanzitutto di fare ordine spiegandone l’origine. Poi ci concentreremo su cosa sono e perché in tutto il mondo si venderebbe l’anima al diavolo per poterne risolvere uno (perlomeno l’autore di queste poche righe lo farebbe, pertanto mi scuso per essere stato così generalista 🙂 ).

Prima di proseguire, ecco un libro che potrebbe interessarti ed è fatto molto bene: L’equazione da un milione di dollari 

Hilbert “il complessato”

8 agosto 1900. Parigi. Il mondo è in fermento. La famosa Esposizione di Parigi è in corso e la torre dell’ingegnere Eiffel è stata appena completata. Tuttavia la storia sta per ricordare quel giorno per un altro motivo: David Hilbert, visto già allora come una leggenda vivente (e di cui scriverò sicuramente in futuro), annuncia al “Congresso internazionale dei matematici” i suoi 23 problemi. La storia stava per cambiare.

I problemi, per ammissione stessa di Hilbert, non erano i problemi al tempo più difficili da risolvere ma erano delle questioni aperte la cui risoluzione si sarebbe rivelata fondamentale per lo sviluppo della società e delle scienze in generale. Essi spaziavano dall’algebra, all’analisi e al calcolo delle variazioni, alla teoria dei numeri fino alla fisica teorica intesa in senso moderno.

Originariamente i problemi non erano 23; Hilbert ne enunciò solo 10, gli altri arrivarono 2 anni dopo, nel 1902. Oggi molti problemi sono stati risolti (le medaglie Fields sono fioccate grazie alla risoluzione di anche uno solo di questi problemi), altre risposte sono ancora in fase di validazione, altri problemi sono ora considerati “non-ben posti” in quanto troppo vaghi o comunque non abbastanza precisi mentre solo due sono considerati ancora “problemi aperti”.

Filantropia portami via

Nel 1998 l’impreditore milionario filantropo Landon T. Clay fonda con sua moglie e con il matematico Arthur Jaffe in una piccola cittadina del Massachusetts quello cha da li a poco sarebbe diventato l’Istituto matematico Clay (Clay Mathematics Institute o CMI). L’intento era di creare un ente privato no-profit dedicato all’accrescimento ed alla diffusione della conoscenza della matematica.

Ad oggi l’associazione è famosa soprattutto per il Millenum Prize Problems ma si occupa a tutti gli effetti di volontariato tot court: ogni anno borse di studio vengono erogate per studenti promettenti, summer schools vengono organizzate e sostenute nonché convegni, conferenze pubbliche e attività di pubblicizzazione della matematica rivolte soprattutto ai giovani, dal livello dei diplomati fino a quello dei ricercatori.

I modesti “Problemi del Millennio”

Il 24 maggio 2000, durante il Convegno del Millennio a Parigi (del resto non poteva non essere a Parigi e non chiamarsi così 🙂 ), sulla falsa riga dell’idea di Hilbert di un secolo prima, l’istituto Clay pubblica una lista di 7 problemi ancora irrisolti. Allo stesso tempo viene pubblicata anche la procedura con la quale le eventuali soluzioni saranno verificate, nonché il premio che l’istituto offrirà al primo che avanzerà una soluzione accettabile di almeno un problema: l’esorbitante cifra di un milione di Dollari (come se la gloria eterna non fosse già abbastanza).

Come nell’idea originale di Hilbert, questi non sono né i più difficili da dimostrare computazionalmente, né i problemi con le dimostrazioni più difficili: sono solo una lista di problemi estremamente importanti. Va notato inoltre come la lista proposta dal Clay Institute sia tutt’altro che esaustiva! Tuttavia molte soluzioni di problemi quantomai attuali possono essere corroborate o smentite grazie agli strumenti matematici che la soluzione a uno dei problemi del millennio può fornire (si veda per esempio alcune possibili soluzioni alla gravitazione quantistica o della rinomata Teoria delle Stringhe).

Attualmente solo uno ne è stato risolto (dunque i milioni a disposizione, se la matematica non è un’opinione, e non lo è, sono ancora 6) e rispetto alla lista originale di Hilbert ne ricompare solo uno e probabilmente il più famoso…

Vediamo dunque quali sono questi famigerati problemi! Ne darò solo un assaggio (un libro intero non potrebbe bastare solo per uno solo, figuriamoci per tutti e 7 😉 ) e mi soffermerò in particolar modo su quelli che mi hanno toccato in prima persona in una maniera o nell’altra.

1. Congettura di Poincaré (Unico problema attualmente risolto)

Il problema è a cavallo tra la Topologia e la Geometria Differenziale. È stato risolto nel 2003 grazie soprattutto al contributo del ninja della matematica, il russo Grigori Perelman.

Attualmente è uno dei matematici più famosi al mondo
Dopo che gli venne riconosciuta la paternalità del risultato, si tentò subito di fargli recapitare il premio a 6 zeri. Perelman, con nonchalance, rifiutò.

E fin qui uno può dire: ”Ok”. Nel mentre si procedette a proclamarlo vincitore della medaglia Fields. Perelman, testardamente, rifiutò anche quella. Ok. La sua motivazione è stata ”il mio contibuto non è stato poi così importante”. Ok. Adesso vive con la madre nella periferia di San Pietroburgo. De gustibus verrebbe da dire… della serie: fate vobis.

Per scoprire qualcosa in più sul problema in sè, per niente facile da descrivere in poche righe, qui utile ad introdurlo:

2. P versus NP (probabilmente verrà risolto nei prossimi 50 anni)

Immaginate di essere al ristorante; davanti a voi avete un menù lungo 10 pagine. Vi viene chiesto di dire tutte le possibile combinazioni di piatti, in ogni quantità vogliate, la cui somma dia, diciamo, 46,00€.

Questo problema può essere facilmente reso più difficile aggiungendo magari qualche costrizione, come per esempio “bisogna prendere almeno una porzione di Strudel della nonna di Erik” (una volta assunto che sia nel menù 😉 ). Bene, ma non benissimo.

Questo è il Knapsack Problem (problema dello zaino).Questi tipi di problemi sono detti NP-completi. Ovviamente è molto facile verificare se una soluzione è valida; totalmente diverso è trovarla!

Adesso la questione è: problemi che hanno la verifica semplice di un’ipotetica soluzione, hanno anche almeno un algoritmo semplice per trovarla?

Innanzitutto bisogna capire cosa vuol dire semplice… per comodità diciamo che un algoritmo semplice è uno che ci mette al più un tempo polinomiale rispetto alla grandezza dell’input per terminare. I problemi per cui ciò accade vengono detti P da polynomial appunto. I problemi invece per cui è richiesto un tempo polinomiale per verificare se la soluzione è corretta, sono detti NP (da Nondeterministic Polynomial time).

Molti sono convinti che P non sia equivalente a NP, ma attualmente nessuno sa la risposta. Se per caso un giorno si mostrerà che P=NP, beh vi consiglio di correre in banca a ritirare i vostri soldi prima e cancellarvi da Facebook poi. Le vostre passwords non serviranno più a nulla.

3. Esistenza e regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes.

Il problema è forse il più attuale in fisica matematica e nel campo dell’Analisi Reale.

Le equazioni (meglio, sistema di equazioni) descrivono il moto di un fluido in regime turbolento.

Sappiamo già risolvere le equazioni nel caso laminare (il caso per esempio dell’aria che passa sul parabrezza della vostra macchina quando siete in movimento), ma il caso turbolento è tutto un altro paio di maniche.

Per completezza scrivo di seguito la famosa equazione nel caso di un fluido compressibile (l’aria per esempio lo è, l’acqua no)

dove indica la velocità del fluido, è la pressione del fluido, è la viscosità dinamica del fluido e è la densità del fluido.

A sinistra puoi vedere un fluido nel regime turbolento, a destra nel regime laminare.

4. Congettura di Riemann

Un classico. Famosissimo e rinomatissimo. Esso fa parte sia dell’analisi complessa sia della teoria dei numeri. É l’unico tra i 7 problemi del millennio che faceva già parte dei problemi di Hilbert. Tutto si basa sulla funzione (si legge zeta) di Riemann(-Eulero).

La funzione, scoperta da Eulero e poi estesa da Riemann, è la seguente

dove è un numero complesso. È già dimostrato che la serie converge (cioè la somma non va a , che è un bene) per .

L’ipotesi di Riemann dice che gli zeri non-banali di questa funzione si distribuiscono sulla retta complessa .

Ci si potrebbe benissimo chiedere perché questa funzione sia così importante… Ebbene, verificare se un numero è primo oppure no richiede un sacco di tempo. Per esempio 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331 sono tutti primi.

Ma per qualche stramaledetta ragione, 333333331 non lo è!! Risolvere la congettura di Riemann ci potrebbe dare uno strumento potentissimo per la risoluzione di problemi di questo tipo.

5. Esistenza di Yang–Mills e differenza di massa

Siamo di nuovo nella Fisica-Matematica, questa volta nella teoria quantistica dei campi. Chiariamo la situazione; la Teoria di Yang-Mills è un insieme di equazioni che predicono il comportamento di un sistema di particelle all’interno di un campo quantistico.

Un campo quantistico a sua volta è una struttura matematica che segue un certo numero di regole.

Bene. Questo problema richiede una dimostrazione che Young e Mills hanno fatto solo per spazi euclidei di dimensione 4 e può predire in modo corretto il comportamento di particelle di massa maggiore di zero (cioè tutte quelle con cui abbiamo a che fare tutti i giorni, ma non i fotoni tanto per capirci).

Questa dimostrazione tuttavia non è basata su una teoria matematica solida, sebbene il risultato sia probabilmente vero (ad oggi non ci sono evidenze sperimentali che la contraddicano).

La riformulazione della soluzione porterà probabilmente alla nascita di una nuova matematica.

6. Congettura di Hodge

Topologia algebrica e Geometria Algebrica. Eh? Niente paura, tanti si spaventano… L’origine della geometria è insita nel procedimento di prendere oggetti (anche astratti) semplici e farne delle combinazioni per renderli più complicati.

La congettura di Hodge dice che per un particolare tipo di spazio, chiamato spazio algebrico proiettivo, gli spazi che lo compongono sono combinazioni lineari di strutture geometriche.

La difficoltà nel riuscire a dimostrarlo risiede anche nella difficoltà a comprenderlo. Ancora non è stato compreso a fondo e probabilmente la sua soluzione richiederà molta matematica “nuova”.

7. Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

Teoria dei numeri – Questo problema è il più difficile di quelli enunciati. Potrebbe non essere mai risolto.

Esso è relativo all’equazione diofantea preferita da tutti ( le equazioni diofanteee, che prendono il nome da Diofanto, sono equazioni algebriche la cui particolarità è che le soluzioni devono essere numeri interi), cioè

Euclide ha risolto questo problema per la dimensione 2. Per curve più complicate questo diviene più difficile e sopratutto non ci sono metodi generali per risolverlo!

Questa affascinante congettura dice che la dimensione del gruppo dei numeri razionali che risolvono l’equazione è in qualche modo legata alla Funzione Zeta di Riemann (sempre Lei!) valutata in quel punto!

Cioè se è zero, ci sono infiniti punti razionali che la soddisfano, altrimenti sono finiti.

Come faccio a ottenere il premio?

Bene, siamo alla fine. ma ora la domanda è: come faccio a ottenere il premio nel caso abbia trovato la soluzione di uno dei problemi del millennio?

Innanzitutto la soluzione deve essere scritta sottoforma di articolo e essere pubblicata su una rivista di prestigio internazionale. Dopo ciò, il Clay Institute provvederà a formare una commissione con il compito di verificare innanzitutto se la proposta merita una certa considerazione. A questo punto possono essere già passati anche un paio d’anni. La commissione di addetti dovrà ora comprovare l’effettiva correttezza della soluzione, cosa che non è affatto banale. La commissione può avvalersi dell’opinione di qualche membro esterno riconosciuto a livello internazionale come esperto in quel determinato campo. Nel mentre bisogna anche verificare l’effettiva paternalità del risultato: al di là del fatto che può essere stata copiata, può anche essere la rivisitazione di un’idea già usata per un altro problema con tutt’altro intento!

Nel caso la commissione non arrivi a nessuna decisione, nessun premio verrà assegnato. Perlomeno non fino a che altri dettagli verranno svelati. Nel caso invece in cui abbiate pubblicato la giusta soluzione, beh allora la procedura che dovete seguire è la seguente (anche se dubito che Perelman l’abbia seguita):

  1. Sedetevi
  2. Prendete una bella boccata d’aria
  3. Chiamate vostra mamma e ditele che da quel giorno avrà un motivo in più per essere fiera di voi
  4. Chiamate vostra moglie (o marito) e dite di tenersi forte, perché state per essere proiettati nella storia: l’Olimpo della matematica ha aperto i cancelli.

Au revoir

Erik

Ceterum censeo festascienze esse facendam
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Numero di Nepero: curiosità, storia e molto altro

I numeri sono uno strumento spesso utilizzato in matematica. Nonostante non siano il focus principale della matematica, quella vera intendo 😉 , ritengo importante condividere la storia e qualche informazione interessante sulle principali costanti numeriche e numeri interessanti. Iniziamo questa serie, probabilmente interminabile, di articoli sui numeri.

Qual è il miglior modo di iniziare la raccolta di articoli? Probabilmente non ce n’è uno più interessante di altri, io però apprezzo molto il numero di Nepero ed il Pi Greco (che sarà il prossimo 😉 ). Pertanto ho deciso di inizare da qui, per qualsiasi dubbio o chiarimento, non farti problemi a mandarmi una mail a list@mathone.it o lasciare un commento qui sotto.

Prima di proseguire, ti lascio un libro molto interessante su Eulero e la bellezza della matematica: L‘equazione di Dio. Eulero e la bellezza della matematica.

Buona lettura.

Storia e utilizzi

Insieme a Pi greco e all’unità immaginaria i, il numero di Nepero è uno dei numeri più affascinanti della Matematica.

Viene chiamata costante di Nepero, in onore del matematico scozzese John Napier perché sua è l’introduzione dei logaritmi. Talvolta viene definito numero di Eulero perché egli fu il primo ad indicare tale costante con la lettera e.

Il numero e è un numero non periodico, irrazionale  (non esprimibile con una frazione) e trascendente (cioè non può essere ottenuto come soluzione di alcuna equazione polinomiale a coefficienti razionali).

E’ un numero che gioca un ruolo fondamentale non solo in matematica, ma in tante applicazioni. Ad esempio nello studio del decadimento radioattivo, della crescita di una popolazione, della diffusione di un’epidemia e soprattutto di problemi economici.

Tempo di decadimento radiattivo:

N= Atomi radioattivi finali N0= Atomi radioattivi iniziali                                

t= Tempo trascorso τ= Emivalore dell’atomo radioattivo

Iperbole equilatera 1/x  :

L’area sottesa tra l’iperbole e i punti (1;0) (e;0) è uguale a 1

Il primo riferimento ad e in letteratura risale al 1618 ed è contenuto nella tavola di un’appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. La prima espressione di e come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli (uno dei tanti della famiglia 😉 ):

Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.

La sua prima citazione, rappresentata con la lettera e compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler  ha iniziato ad usare la lettera e  per la costante nel 1727 e il primo uso di e compare nella Mechanica di Eulero (1736).

Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera e, poi l’uso di e si è fatto più comune. Oggi è usato come simbolo definitivo.

Si sostiene che e fosse usata:

  • dai Greci, per la costruzione del Partenone,
  • dagli Egizi, per la costruzione della Grande Piramide.

In realtà in queste costruzioni si trovano due lunghezze tipiche che hanno come rapporto il suo valore.

Per calcolare il valore di questo numero, esistono essenzialmente 2 metodi.

Il primo si basa sull’espressione:

Più grande è n, più questa espressione approssima il valore di e.

Per esempio,
per  n = 1000, troviamo il valore 2,7169239322358924573830881219476….
per  n = 10000, troviamo il valore 2,7181459268252248640376646749131….
per  n = 100000 troviamo il valore 2,718268237174489668035064824426….
per  n = 1000000 troviamo il valore 2,7182804693193768838197997084544….
e così via.

Si può dunque affermare che il valore numerico di e è:

Il secondo metodo si basa su di un’identità che coinvolge i fattoriali.

Nel caso di e vale questa relazione:

Se sei un po’ più avanzato con gli studi della matematica, sai che questo è anche lo sviluppo in serie di Taylor del esponenziale $e^x$.

Quindi e non può essere espresso sotto forma di frazione, ma, col metodo delle frazioni continue, si possono ricavare frazioni che approssimano sempre meglio il suo valore.

Prima di procedere con l’ultima curiosità, ti consiglio di guardare questo video davvero interessante 😉

Curiosità

e ^iα = cos α + i sin α

Questa è la formula di Eulero

Se α=Pi

e ^iPi + 1 = 0


Essa rappresenta una specie di totem della conoscenza matematica poiché contiene i cinque numeri fondamentali: 

0           lo zero, senza il quale la moderna notazione posizionale non sarebbe possibile;
1             il primo numero della successione dei numeri  naturali;
Pi            il rapporto tra circonferenza e diametro;
e        il numero di  nepero, base dei logaritmi naturali;
i             l ‘unità immaginaria;


Contiene anche le operazioni fondamentali: prodotto, somma  e il segno di uguaglianza; e pone in relazione la Geometria e l’Algebra, attraverso Pi,  numero fondamentale per la geometria euclidea, e i, unità immaginaria.

Ci sarebbe molto altro da dire su questa costante, ma prefersco non caricare con troppe informazioni questo articolo. Magari approfondirò qualche suo aspetto in futuro.

Intanto ti consiglio di iscriverti alla Newsletter di Mathone, riceverai in regalo un PDF con 50 indovinelli logici e poi ti manderò ogni giorno curiosità, storie, citazioni ed indovinelli. Ovviamente il tutto legato alla matematica 😉

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Dimostrazione per assurdo: Teoria e molti esempi

Dimostrazione per assurdo, ma cosa ca…volo sono? 🙂

Immagino che tu ne abbia già sentito parlare, nel caso fosse la prima volta, non preoccuparti, troverai esempi facili da capire. Non siamo qui per parlare di alta matematica, ma per divulgare e diffondere ciò che di bello ha questa disciplina.

Bene, basta vagheggiare, torniamo a noi. Le dimostrazioni, come ben sai, svolgono un ruolo fondamentale nella matematica. Sono quei procedimenti che ci permettono di definire un enunciato vero, in parole povere sono quello strumento che permettono alla matematica di essere vera per sempre.

Se un enunciato è infatti dimostrato coerentemente, a meno che non vengano rifiutate le ipotesi di partenza, esso rimarrà vero per sempre. Detto ciò, se vuoi introdurti alle dimostrazioni e scoprirne una particolare tipologia, qui di seguito trovi due articoli che ho pubblicato qualche tempo fa sull’argomento 😉

  1. Introduzione alle dimostrazioni matematiche
  2. Che cos’è il principio di induzione

Oggi, imparerai (o ripasserai) invece che cosa sono le dimostrazioni per assurdo e verai quando è utile usarle.

Ho deciso di non perdermi troppo in chiacchiere, introdurre subito l’idea di base che sta dietro questa “tecnica” dimostrativa e dopo lasciare lo spazio ad alcuni esempi. Questi infatti ti chiariranno molto le idee, ne sono sicuro 😉

L’idea di base della dimostrazione per assurdo

Questa tecnica dimostrativa, è uno strumento molto potente nelle mani dei matematici.

Privare un matematico della possibilità di fare dimostrazioni per assurdo sarebbe come legare le mani di un pugile dietro la schiena.

 

 

(David Hilbert)

L’ha detto pure Hilbert che sono importanti 😉

L’idea di base è molto semplice, eccola qui:

Voglio dimostrare che un enunciato, che chiamo E, è vero

Suppongo che sia falso, ossia che sia vero “non E”

Trovo una contraddizione, affermo quindi che “non E” è falso

Siccome non possono essere falsi sia “E” che “non E”, allora “non non E” è vero, quindi E è vero.

FINE

L’unico concetto non troppo intuitivo di questo procedimento, è il finale. Ti ricordo però che la negazione della negazione di un’affermazione, è l’affermazione stessa non negata.

Eccoti un esempio pratico. Tutti i numeri dispari non sono divisibili per due. Dispari vuol dire non pari.

Di conseguenza dire che tutti i numeri non pari non sono divisibili per due, equivale al dire che tutti i numeri pari lo sono.

 

Capisco che ti possa essere nato qualche dubbio, è più che normale.

Ora ti consiglio di rileggerti l’idea di fondo di questa tecnica dimostrativa, poi prosegui con gli esempi che ti chiariranno senz’altro le idee. Sono appositamente messi in ordine crescente di difficoltà, così da favorire un apprendimento graduale dell’argomento 😉

Esempi ed applicazioni

Partiamo con un caso davvero semplice, quasi banale.

Enunciato: 

Non esiste un numero razionale strettamente positivo, più piccolo di tutti gli altri.

Dimostrazione:

Supponiamo che esista un numero razionale positivo più piccolo di tutti gli altri. (Ricordo che un numero razionale è un numero esprimibile come frazione).

Sia questo numero R>0.

Prendiamo ora R/2, esso è ancora razionale, è ancora positivo ma è evidentemente più piccolo di R.

Il che è assurdo, dato che avevamo supposto essere R il più piccolo razionale positivo.

Concludiamo quindi che non esiste il minimo tra i numeri razionali positivi, proprio come volevamo dimostrare 😉

FINE

Semplice no? Saliamo ora un po’ di livello, dimostriamo che la radice di 2 è un numero irrazionale (ossia non è scrivibile come frazione). Questa dimostrazione sarebbe davvero complessa, senza l’utilizzo della tecnica dell’assurdo, vedrai invece quanto è semplice utilizzando una dimostrazione per assurdo!

Enunciato:

La radice di 2 è un numero irrazionale.

Dimostrazione

Supponiamo che la radice di 2 sia un numero razionale, ossia che esistano due numeri naturali a, b tali che a/b sia proprio uguale a radice di 2.

Supponiamo anche che a,b non abbiano fattori comuni, ovvero che a/b non sia una frazione semplificabile ulteriormente.

Eleviamo al quadrato sia la frazione che la radice di due.

Otteniamo quindi a^2 / b^2 = 2.

Ossia, a^2=2b^2. Ciò vuol dire che a^2 è pari, ma l’unico modo perchè a^2 sia pari, è che a sia pari. Quindi possiamo prendere un numero naturale k e dire che a=2k.

Abbiamo quindi ora (2k)^2=4k^2=2b^2. Ossia b^2=2k^2. Ma ciò vuol dire che b^2 ed in particolare b, sono pari. Ossia che esiste un numero naturale h, tale che 2h=b.

Ora possiamo quindi riscrivere la frazione di partenza a/b come 2k/2h uguale a radice di 2. Ma questo è assurdo, dato che questa frazione è semplificabile mentre nella prima supposizione abbiamo detto che tale frazione era ridotta ai minimi termini.

Ciò implica che la supposizione da noi fatta sia falsa, ossia la radice di 2 non è un numero razionale.

Segue quindi immediatamente l’enunciato che volevamo dimostrare 😉

FINE

Questo era un po’ più complicato, ho però cercato di descrivere ogni passaggio. Se hai dubbi di ogni genere, lascia un commento o mandami pure una mail qui list@mathone.it . Comunque, vuoi mettere?! Ora sei in grado di dimostrare che la radice di due non è una frazione, è un bel traguardo 😉 Io mi sono gasato quando l’ho imparata e capita per la prima volta, forse sono strano ahah 🙂

Passiamo ora ad una dimostrazione un po’ diversa, riguarda l’ambito insiemistico. Non è per nulla complicata, ma richiede un po’ di attenzione. Te la propongo giusto per farti capire che la dimostrazione per assurdo può essere utile per svariate tipologie di enunciati. Eccola a te:

Enunciato:

Siano A e B insiemi. Dimostra che (A-B)∩(B-A)=Ø

Dimostrazione:

Supponiamo che questa intersezione non sia vuota. Supponiamo quindi che ci sia un elemento x appartenente a questa intersezione.

Scriviamo ora A-B come A∩B’ dove B’ è il complementare di B nell’insieme universo U a cui A e B appartengono. Analogamente, poniamo B-A=B∩A’.

Siamo giunti quindi ad un problema. Se x appartiene all’intersezione di questi insiemi, significa che:

x appartiene ad A ma anche a A’. Inoltre x appartiene a B, ma anche a B’. Il che è assurdo, dato che B’=U-B, quindi B’ è l’insieme degli elementi di U che non appartengono a B. Non può esistere quindi un x appartenente ad entrambi.

Siamo giunti quindi ad una contraddizione, proprio come volevamo. Il che significa che non può esistere un x che soddisfi tale condizione. Segue che tale intersezione è nulla, come volevasi dimostrare 😉

FINE

Ecco, per questo articolo penso di aver detto anche troppo, abbiamo già superato le 1000 parole 😉 Spero vivamente di averti spiegato abbastanza chiaramente che cosa si intende per dimostrazione per assurdo, in cosa consiste e quando la si utilizza. Ci sarebbe da dire altro ancora e molti altri esempi, ma non mettiamo troppa carne al fuoco.

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Storia e significato del simbolo dell’infinito

Come avevo già preannunciato, l’infinito è un argomento così vasto che non potevo coprire in un solo articolo. Puoi già trovare un articolo su tale tematica, in questo voglio invece parlarti in breve del significato e della storia del simbolo utilizzato per indicare l’infinito.

Intanto ti suggerisco questo libro davvero ben fatto: Il mistero dell’alef. La ricerca dell’infinito tra matematica e misticismo

Se invece di leggere preferisci guardare un video o ascoltarlo, ecco la versione video di questo articolo che ho pubblicato sul canale Youtube di Mathone:

Bene, iniziamo 🙂

Il simbolo dell’infinito ∞ (a volte viene chiamato lemniscata) è un simbolo matematico che rappresenta il concetto di infinito.

Se sei interessato a leggerti l’articolo in più comodità, puoi scaricarlo in formato PDF cliccando qui: Simbolo dell’infinito PDF

L’origine del simbolo dell’infinito

Ha la forma di un otto “sdraiato”, messo in orizzontale. Tale simbolo ha una distante origine, per inciso, appare già nella croce di San Bonifacio (che morì nel 754), avvolta attorno alle braccia di una croce latina.

Comunque, è assegnato a John Wallis l’onore di aver introdotto il simbolo dell’infinito con il suo significato matematico nel 1655, nel suo De sectionibus conicis.

Lui non motivò la scelta di questo simbolo, ma è stato ipotizzato che esso fosse una variante del numero romano 1000 (originariamente CIƆ, anche CƆ. Inizialmente non si indicava il 1000 con la M, ma in questo modo 😉 ). Esso infatti veniva spesso utilizzato per intendere “tanti”, ossia grandi quantità.

A volte si tende a vedere l’introduzione di tale simbolo da parte sua, per somiglianza con la lettera greca ω (omega), l’ultima lettera dell’alfabeto greco.

Il simbolo qui a fianco, è invece quello utilizzato da Eulero per indicare l’infinito.

Leonardo Eulero, utilizzò una variante del simbolo originale per denotare il concetto di “infinito assoluto”. Questa variante prevede che le linee che formano il simbolo stesso, non siano chiuse ma aperte 🙂 (come puoi vedere qui a destra)

Per Eulero, l’infinito è stato un elemento e un concetto davvero importante, lo ha utilizzato parecchio, basti pensare ai logaritmi.

Questo simbolo, non è più utilizzato attulmente. E non esiste nemmeno in Unicode (se per caso sapessi che di cosa sto parlando)

Il simbolo dell’infinito in matematica

Nella matematica, il simbolo dell’infinito è usato più spesso per indicare l’infinito potenziale, piuttosto che per rappresentare un’ effettiva quantità infinita come i numeri (che utilizzano un’altra notazione).

C’è poi da dire che si parla di numeri reali estesi intendendo l’insieme dei numeri reali ed includendo in tale insieme anche l’infinito positivo e negativo. Tale insieme di numeri è molto utilizzato, per esempio nella teoria della misura (per il momento non dedico un articolo a questo argomento dato che devo ancora studiarlo bene, spero di essere in grado di farlo in futuro 🙂 )

Di infinito potenziale te ne avevo già parlato nello scorso articolo. Tuttavia faccio un ripasso di due righe:

Per infinito potenziale intendiamo, non tanto una quantità più grande di ogni altra, quanto piuttosto una quantità grande a piacere. Una quantità quindi che può crescere finchè ci serve.

Ovviamente è una definizione abbastanza approssimativa, ma penso sufficiente per chiarirti il concetto 🙂

Per esempio, il simbolo di infinito in matematica, è utilizzato nelle serie e nei limiti, come la seguente:

Evidentemente in questo caso, il simbolo dell’infinito sta per una quantità arbitrariamente grande (verso l’infinito), piuttosto che per intendere il valore infinito stesso.

Il simbolo dell’infinito in altri settori

In alcune aree esterne alla matematica, il simbolo dell’infnito si trascina anche altri significati, per esempio, è stato usato dai rilegatori di libri, per indicare che il libro è stato stampato su carta priva di acidi. Per questa ragione, questi libri saranno più duraturi e si conserveranno meglio nel tempo.

Nel misticismo moderno, il simbolo dell’infinito è stato identificato con una variante dell’Uroboro, comunemente conosciuto come ouroboros. Un’antica immagine di un serpente che si mangia la coda che simboleggia anche l’infinito.

Le motivazioni di questa associazione, sono abbastanza evidenti. Proprio per questo, anche il cerchio talvolta viene associato a questo significato.

L’Uroboro, viene spesso raffigurato con una forma che assomiglia ad un otto, proprio per sottolineare questo parallelismo, piuttosto che nella sua forma circolare più tradizionale.

Nelle opere di Vladimir Nabokov, inclusi Il Dono e Fuoco Pallido (brutte traduzioni del loro nome originale in inglese 😉 ), la forma ad otto è utilizzata simbolicamente per riferirsi al Nastro di Moebius e all’infinito. Per inciso, questo parallelismo è utilizzato nella descrizione delle forme delle tracce di pneumatico della bici e nel delineare i tratti di alcune persone che non ricordava troppo bene.

Inoltre, la poesia alla quale Il Fuoco Pallido fa esplicitamente riferimento è “il miracolo della lemniscata”.

Conclusioni

Senz’altro riguardo al simbolo dell’infinito si può dire molto altro. Ma ritengo che con queste curiosità e cenni storici possiamo ritenerci abbastanza soddisfatti. Senz’altro in grado di parlare del simbolo stesso e soprattutto siamo ora pronti per proseguire nel viaggio verso la scoperta dell’infinito.

Come ben sai, infatti, questo non è l’ultimo articolo sull’argomento. Ne pubblicherò altri a scadenza non costante, quando mi viene voglia li scrivo 🙂

Se ti interessa qui c’è un PDF niente male sul tema dell’infinito e in cui si parla un po’ anche del simbolo utilizzato per indicarlo. Puoi scaricarlo inserendo la tua email qui sotto:

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Amo la matematica! I 10 reali motivi per cui la adoro

Immagina di dover spiegare al tuo amico perchè ami la matematica. Oppure perchè hai scelto di studiare matematica all’università.

Probabilmente non devi neanche fare un così grande sforzo mentale per immaginarti queste situazioni, dato che se stai leggendo questo articolo sono quasi sicuro che ami la matematica e queste occasioni le hai sperimentate molto (troppo) spesso.

Ho pensato quindi di facilitarti il compito, raccogliendo una lista con i 10 reali motivi per cui amo la matematica. Questi non sono solo motivi personali, ma li ho raccolti anche chiedendo in giro a chi, come noi, adora questa disciplina.

Prima di iniziare ti informo che puoi scaricare la lista con 5 punti bonus inserendo la tua email nel modulo qui sotto:

[optin_box style=”10″ alignment=”center” disable_name=”Y” email_field=”email” email_default=”Inserisci la tua miglior email” integration_type=”mailchimp” welcome_email=”Y” thank_you_page=”http://mathone.it/wp-content/uploads/2016/07/ampliamentoMATHLOVE.pdf” already_subscribed_url=”http://mathone.it/wp-content/uploads/2016/07/ampliamentoMATHLOVE.pdf” list=”aeff8c6727″ name_field=”FNAME” name_default=”Enter your first name” name_required=”N” opm_packages=””][optin_box_field name=”headline”]Here’s The Headline For The Box[/optin_box_field][optin_box_field name=”paragraph”][/optin_box_field][optin_box_field name=”privacy”][/optin_box_field][optin_box_field name=”top_color”]undefined[/optin_box_field][optin_box_button type=”0″ button_below=”Y”]Scopri altri 5 motivi per cui amo la matematica[/optin_box_button] [/optin_box]                                                                                                                                                                                                                                                         Iniziamo ora con la lista dei 10 motivi per cui amo la matematica 💣🚀

I 10 motivi per cui amo la matematica

1. Non la capisco

Il fascino di ciò che non si conosce o non si capisce è enorme. La matematica è spesso molto complicata e per questo, a mio parere, irresistibile. Immagino che anche a te sia capitato di rimanere più di un giorno a riflettere su un enunciato o su una dimostrazione, cercando di comprenderla, continuandoci a pensare proprio perchè non riuscivi a capirli. Per questo io vedo la  difficoltà che caratterizza la matematica non tanto come un limite o un ostacolo, ma come un suo pregio. Solo chi veramente la apprezza nella sua interezza avrà interesse a superare la facile affermazione “E’ troppo difficile, non la capisco”. Questa ragione l’ho messa per prima proprio perchè è ciò che più mi affascina di questa disciplina, ciò che mi spinge a dire di amarla.

Scopri come fare ripetizioni di matematica, potresti sfruttare gli sforzi fatti per capire certi argomenti per guadagnare qualcosina 😉

2. La matematica non perdona

C’è poco da dire, la matematica non perdona. O ti sforzi a capirla o non hai alcun modo per impararla. Non c’è alcuna scorciatoia. Non puoi dire di conoscere la matematica perchè sai dei teoremi a memoria. Tutto ciò che studi va sviscerato, compreso passo per passo. Proprio per questo la adoro, essa non perdona. Essa esige completa attenzione, comprensione, impegno. Ogni passaggio è fondamentale per capire i successivi, quindi niente può essere lasciato al caso. Un’armonia perfetta oserei dire.

3. In matematica niente è vero se non dimostrato

La matematica è una scienza formale, essa parte dai degli enunciati accettati universalmente per poi giungere a teoremi che possono essere accettati in quanto tali se e solo se dotati di dimostrazione coerente. Altrimenti si dicono solo congetture. Il concetto di dimostrazione svolge quindi un ruolo fondamentale all’interno della matematica, è il perno attorno a cui tutto ruota. Questo permette di affermare che nei limiti delle ipotesi, un teorema è vero e lo sarà per sempre. Ciò lo trovo fantastico.

Scopri quali sono le principali tecniche dimostrative che devi essere in grado di manipolare per abbozzare le dimostrazioni dei teoremi base.

4. La matematica ti consente di diventare abile nel problem solving, in un mondo pieno di problemi

Gli sforzi che comporta la comprensione di una dimostrazione, di un calcolo o della risoluzione di un problema possono essere enormi. Tuttavia questa elasticità mentale, che si può ottenere solo con il duro lavoro e tanto (tanto) studio e pratica, è utilissima anche in altri campi. La capacità di affrontare un problema in maniera razionale e coerente con le ipotesi in corso è un risultato inevitabile di chi fa e studia matematica. Questo ritengo sia fantastico, dato che il mondo è ricco di problemi che attendono una risoluzione logicamente coerente e corretta.

5. La matematica è divertente

La matematica non è solo fatica, sforzi mentali e duro lavoro. E’ senz’altro anche divertente. Non sto parlando solo della risoluzione di rompicapi ed indovinelli logici (che a breve troverai anche su questo sito 😉 ) ma anche dello studio della stessa. Non ti è mai capitato di provare a trovare più di una soluzione allo stesso problema? Non è divertente?

Sulla matematica hanno fatto anche parecchi film, scopri quali sono stati i migliori film sulla matematica.

Prima di proseguire la lettura, anticipa i tuoi amici che ti chiederanno perchè ti piace e studi matematica, condividi questo articolo così da far sapere loro perchè ami la matematica 💣🚀

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6. La matematica è una sfida continua

Studiare matematica è come continuare a mettersi alla prova, continuare a sfidare se stessi. Non è facile ma molto ambizioso. Ogni nuovo argomento, teorema o dimostrazione è una sfida. Una sfida che non sai a priori che esito avrà, che tuttavia non vedi l’ora di intraprendere. Questo è probabilmente il secondo motivo principale per cui la adoro, non è mai monotona. Ogni nuovo giorno di studio è diverso dagli altri. Puoi infatti acquisire un metodo, certamente, ma non saprai mai se sarai in grado di risolvere il prossimo esercizio, di comprendere il prossimo passaggio, di entrare nella prossima dimostrazione. E come ben sai, il mistero è intrigante. Molto di più della certezza.

7. La matematica è universale

Non c’è persona nel mondo che  non sarebbe in grado di comprendere un’operazione matematica, la matematica ha un linguaggio proprio. E’ universalmente comprensibile. Avrai senz’altro già sentito “è la lingua con cui è stato scritto l’universo”, affermazione detta dal noto Galileo. Bene, essa riassume sostanzialmente una delle principali proprietà della matematica. Può essere amata, apprezzata, compresa e condivisa in tutto il mondo senza necessitare di alcuna traduzione. E’ come se avessimo tutti una lingua comune, quella dei numeri.

8. La matematica non è come sembra

Per chi conosce solo la matematica delle superiori o comunque ha una conoscenza limitata di ciò che la matematica comprende, questa non è altro che una “scienza” del calcolo. Per chi si ferma a questi livelli, un matematico è sostanzialmente una calcolatrice. Bene, se credi anche tu sia così (ma immagino che tu sappia cosa sia la matematica se stai leggendo questo articolo), sono contento di essere il primo a dirti che non hai la minima idea di cosa sia. La matematica è arte, è musica, è dimostrazione. Non ha nulla a che vedere con i numeri e con il semplice “fare di conto”. Questo lo sto scoprendo mese dopo mese, studiandola a livello universitario, anche io fino ad un anno fa (forse un po’ di più) la pensavo diversa, ma sono proprio contento che essa non sia come sembra.

9. E’ ricca di applicazioni alla realtà

La matematica è utile, c’è poco da dire. Differentemente da come molti pensano, la matematica non solamente può essere insegnata ma è fondamentale, è ricca di applicazioni alla realtà. E’ una scienza teorica ma al tempo stesso ricca di ricadute pratiche. Per questo la ritengo meravigliosa.

10. Niente è lasciato al caso

Qualsiasi cosa deriva da delle considerazioni (ovviamente dimostrabili) che partono da delle ipotesi verificate (o verificabili). Qualsiasi passaggio segue ad un altro. Qualsiasi enunciato può essere generalizzato o specializzato. E’ tutto collegato. Penso questa sia una delle ragioni principali per cui questa materia sia tra le più odiate dagli studenti, non si può comprendere un argomento senza aver compreso i precedenti. Motivo per cui è odiata da molti, ma amata da tanti altri 😉

Scopri perchè la matematica non è un’opinione, potresti avere qualche sorpresa nel corso della lettura.

La lista dei 10 motivi pratici per cui amo la matematica termina qui, ma se non sei ancora stanco di leggere ragioni per cui apprezzare questa materia, ti consiglio di inserire la tua mail qui sotto. Riceverai immediatamente un PDF con una checklist riassuntiva di questo articoli e 5 motivi bonus tutti da gustare. Ti assicuro che ne vale la pena 😉 💣

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Le applicazioni della matematica nella vita quotidiana

A scuola la matematica spesso è un ostacolo insormontabile ed è per questo che sono in molti ad avere un rapporto difficile con questa materia. Dopo aver “litigato” per anni con equazioni, ascisse, ordinate non sorprende che tante persone siano ben contente di non averci più a che fare. Ma è davvero così?

La matematica è molto più presente nella nostra vita quotidiana di quanto si potrebbe credere e addirittura molte delle cose che facciamo sarebbero irrealizzabili senza di essa. Quindi, eliminarla del tutto dalla propria vita risulta molto difficile, se non praticamente impossibile. Tanto vale trovare un modo per conviverci oppure, ancora meglio, trovare un modo per iniziare ad apprezzarla.

La matematica nei computer

C’è un dispositivo di cui non possiamo più fare a meno che è strutturato interamente sulla matematica. Stimo parlando del PC, che è basato al 100% su numeri. In particolare, il computer utilizza il sistema binario, cioè un sistema di codifica con sequenze di due numeri: 0 e 1. Per le macchine elettroniche questo è infatti il sistema più efficace di elaborare le informazioni.

Ma non solo, l’intera disciplina dell’informatica nasce e deriva direttamente dalla matematica. Erano matematici, infatti, i primi informatici, i quali diedero vita alla nuova disciplina cercando di sviluppare macchine in grado di automatizzare – e quindi velocizzare – l’esecuzione di calcoli. 

La matematica nei giochi e negli smartphone

Derivati direttamente dai computer, anche i giochi elettronici e i moderni telefoni fanno un abbondante ricorso alla matematica per il loro funzionamento. Le console di videogiochi hanno raggiunto delle potenze di calcolo paragonabili o superiori a molti PC e si basano su un funzionamento sostanzialmente analogo. 

Anche altri giochi come i videopoker o le slot machine utilizzano la matematica, ad esempio per generare sequenze di numeri casuali. I cosiddetti RNG, generatori di numeri casuali, utilizzati dai siti web legali di slot online, sono dei programmi che selezionano a caso alcuni tra tutti i numerosissimi risultati possibili di un particolare gioco. In pratica, replicano i risultati probabilistici che si otterrebbero in una giocata in un casinò reale, ma dal momento che viene esclusa la componente umana, sono anche molto più precisi e sicuri.

Il discorso è analogo negli smartphone, che sono dei veri e propri computer in miniatura. Sono dotati di un processore che elabora calcoli e permette alle applicazioni di funzionare. In più, c’è da ricordare che anche le telecomunicazioni sono intrise di matematica, a partire dal numero di telefono che ci viene assegnato…

I numeri nell’economia domestica

Lo sappiamo bene, gestire una casa costa molto e le spese quotidiane influiscono molto sul nostro bilancio familiare. Anche solo fare la spesa ci richiede una operazione matematica: lo scontrino che il commerciante ci consegna contiene infatti una somma dei prezzi di ogni prodotto che abbiamo comprato. 

Le bollette della corrente elettrica e del gas per il riscaldamento, ma anche quelle del telefono, ci arrivano in forma di conteggio e quindi implicano la matematica. Scegliere l’operatore che ci consente di risparmiare implica una comparazione tra numeri e tariffe, cioè un’operazione matematica.

Se paghiamo l’affitto, dovremo stare attenti che quest’ultimo sia compatibile con il nostro stipendio e avremo ancora una volta a che fare con numeri. Ma se compriamo una casa? In questo caso i calcoli da fare sono molti di più, perché dovremo far fronte ad una vera e propria operazione finanziaria, stando attenti a quanti soldi dobbiamo dare come anticipo alla firma del preliminare, quanto al rogito ed eventualmente quanto dovremo pagare mensilmente come rata del mutuo.

La matematica negli investimenti e nelle assicurazioni

Un altro settore che fa un ampio utilizzo della matematica è quello finanziario ed assicurativo. Qualsiasi calcolo di un interesse a partire da una certa somma di denaro è un’operazione matematica, che può diventare anche molto complessa nel caso dell’interesse composto. Quest’ultimo aggiunge gli interessi sul capitale più gli interessi e ci torna sicuramente utile quando pianifichiamo i nostri investimenti.

Ma anche le operazioni sulle azioni o sulle obbligazioni nei mercati finanziari sono operazioni matematiche. Ogni volta che compriamo un’azione ad un determinato prezzo, speriamo di rivenderla ad un prezzo maggiore realizzando una plusvalenza. Tutto questo è un calcolo, che potrebbe renderci degli investitori felici oppure potrebbe darci molte preoccupazioni se non siamo stati attenti.

Anche il campo assicurativo si basa sulla matematica ed in particolare sulla probabilità. Quando stipuliamo una polizza sulla vita, la compagnia ci assegna un importo da pagare in base a quella che è la nostra probabilità di raggiungere una determinata età avanzata, sviluppata su un modello matematico. Lo stesso vale per le assicurazioni mediche, che si basano sulla probabilità di avere problemi di salute: per questo i giovani pagano molto di meno delle persone anziane. L’assicurazione della macchina varia in base alla città in cui viviamo e all’età (oltre a numerosi altri parametri) perché questi dati incidono sulla probabilità di avere incidenti.

La matematica nelle tasse

Se già non ci piace la matematica, in questo caso finiremo proprio per odiarla. Sì, proprio così, perché i numeri sono indispensabili anche per pagare le tasse ogni anno. Lo stato ci richiede di calcolare quelle che sono state le nostre entrate nel corso dei 12 mesi precedenti e su queste pagare le tasse dovute in base alla nostra fascia di reddito. Chi è libero professionista dovrà anche tenere la contabilità con fatture e spese da detrarre, un po’ come le aziende: si tratta ovviamente di operazioni matematiche.

Abbiamo visto che i numeri sono davvero onnipresenti nella nostra quotidianità, in modo molto semplice o a volte in modalità molto complesse come nel caso degli investimenti. In ogni caso, saper far di conto è sicuramente un vantaggio che può tornare molto utile nella vita!