Archivio mensile:Dicembre 2019

George Boole

George Boole: la logica diventa matematica

4 Repliche

Nell’ultimo articolo abbiamo parlato del sogno di Leibniz: costruire una lingua dotata di regole di manipolazione grammaticale in grado di mettere in luce automaticamente le relazioni logiche esistenti tra le proposizioni.

Dopo la sua morte nel 1716, l’interesse degli intellettuali di tutta Europa si concentrò sugli altri innumerevoli apporti che Leibniz diede ai più disparati campi del sapere. Per molto tempo però, la sua idea di una Caratteristica Universale, sembrava destinata a perdersi.

A inizio ‘Ottocento, l’Inghilterra era rimasta notevolmente indietro nello sviluppo della matematica rispetto al resto d’Europa. La controversia tra Newton e Leibniz sulla priorità nell’invenzione del calcolo infinitesimale aveva portato i matematici inglesi ad un isolazionismo intellettuale che costò caro alla matematica d’oltremanica. Eppure fu proprio lì che si ebbe il più grande balzo in avanti verso il sogno di Leibniz.

Nasce l’algebra astratta

La svolta nella matematica inglese coincise con la fondazione nel 1815 a Cambridge dell’Analytical Society, di cui facevano parte tre giovani matematici: l’algebrista George Peacock, l’astronomo John Herschel e Charles Babbage, rimasto alla storia per le sue macchine calcolatrici.

La società aveva come scopo la riforma dell’insegnamento, anche attraverso l’adozione della notazione del calcolo differenziale più comoda (quella di Leibniz) usata nell’Europa continentale.

Proprio Peacock con il suo Treatise on Algebra (1830) fu tra i primi a tentare di dare all’algebra una struttura logica paragonabile a quella data alla geometria dagli Elementi di Euclide. Si inizia a sviluppare così l’algebra simbolica.

Cosa succede se definiamo delle operazioni generiche che rispettano alcune proprietà (per esempio la commutatività, associatività o distributività)? Quali proprietà possiede un insieme su cui sono definite tali operazioni? Queste sono le domande che affascinavano gli algebristi inglesi in quegli anni.

Pian piano ci si accorse che non era necessario attribuire nessun significato specifico alle lettere usate né ai simboli delle operazioni. Una volta sviluppata un’algebra simbolica con le sue regole essa può diventare la grammatica di centinaia di algebre differenti dotate di significati specifici.

A partire da queste considerazioni nacquero i quaternioni di Hamilton, la teoria dell’estensione lineare di Grassmann, le matrici di Cayley, la teoria dei gruppi, degli anelli, dei campi e tantissime altre pietre preziose dell’algebra moderna, di cui sicuramente parleremo in articoli futuri.

Tra tutte queste forme di algebra, una in particolare fu talmente rivoluzionaria da sconfinare nel campo della logica, creando effettivamente il ponte tra la logica e la matematica: l’algebra di Boole.

L’algebra di Boole

Boole trovò effettivamente un modo di aritmetizzare la logica, rendendo possibile analizzare le proposizioni logiche attraverso gli strumenti della matematica.

La logica fino a quel momento coincideva sostanzialmente con la logica aristotelica e studiava enunciati del tipo: “tutti i mammiferi sono animali”, “nessun gatto abbaia”, “alcune persone sanno nuotare”. Boole comprese che ai fini del ragionamento logico, l’aspetto significativo di parole come mammifero, gatto o persone è la classe (o collezione) di tutti gli oggetti descritti da quella parola (la classe dei mammiferi, la classe dei gatti, la classe delle persone).

Indicava quindi le classi mediante lettere, per esempio $m$ per la classe dei mammiferi.

Sull’insieme di tutte le classi definisce allora delle operazioni:

  • prodotto: date due classi $x$ e $y$, la classe $xy$ è la classe formata da tutti gli oggetti che appartengono tanto alla classe $x$ quanto alla classe $y$. In senso moderno è l’intersezione tra gli insiemi $x$ e $y$.
  • somma: date due classi $x$ e $y$, la classe $x+y$ è la classe formata da tutti gli oggetti presenti in $x$ o in $y$. Oggi è detta unione tra $x$ e $y$.

Ora che abbiamo definito delle operazioni sui nostri elementi (che sono le classi) possiamo chiederci quali proprietà soddisfino. È facile verificare che le cinque proprietà fondamentali dell’aritmetica vengono rispettate:

  • commutativa della somma: $x+y=y+x$
  • commutativa del prodotto: $xy=yx$
  • associativa della somma: $x+(y+z)=(x+y)+z$
  • associativa del prodotto: $x(yz)=(xy)z$
  • distributiva del prodotto rispetto all’addizione: $x(y+z)=xy+xz$

Non tutte le regole dell’algebra ordinaria però continuano a essere valide, per esempio:

  • $x+x=x$: l’unione tra la classe $x$ e se stessa non può che essere $x$ stessa
  • $xx=x$: l’intersezione tra la classe $x$ e se stessa è $x$ stessa

Fu proprio la seconda di queste due particolari proprietà a suggerire a Boole un’idea geniale!

L’equazione $x^2=x$ possiede, nell’algebra ordinaria, soltanto due soluzioni: $x=0$ e $x=1$.

Fu così che Boole arrivò a concepire che l’algebra della logica non è altro che l’algebra ordinaria limitata a due soli valori, 0 e 1. (Ecco che torna in gioco il sistema binario tanto caro a Leibniz)

Solo che per dare senso a questa conclusione era necessario interpretare i simboli 0 e 1 non come numeri, bensì come classi!

Vediamo in che modo: 0 nell’algebra ordinaria è l’elemento assorbente del prodotto (per ogni numero $x$, $0x=0$), mentre 1 è l’elemento neutro del prodotto ($1x=x$).

Se vogliamo mantenere le stesse proprietà nell’algebra delle classi, affinché $0x$ sia uguale a 0 per ogni classe $x$ basta interpretare 0 come la classe a cui non appartiene nessun elemento. Analogamente $1x$ sarà invece uguale a $x$ per ogni classe $x$ se interpretiamo 1 come la classe che contiene qualunque oggetto.

In termini moderni diremmo che 0 è l’insieme vuoto e 1 l’insieme universo.

Ci rimane soltanto da dare un significato all’operazione inversa della somma per poter sfruttare molte delle procedure che eseguiamo nell’algebra ordinaria. Definiamo quindi la differenza $x-y$ come la classe degli oggetti che stanno in $x$ ma non in $y$. (Osserviamo che come nell’algebra ordinaria, per la sottrazione non vale la proprietà commutativa: $x-y$ è diverso da $y-x$)

Giocando con l’equazione fondamentale $x^2=x$, scrivendola nella forma $x^2-x=0$ e raccogliendo a fattor comune, Boole ottenne l’identità $x(1-x)=0$, che espressa a parole sarebbe “l’intersezione tra $x$ e il suo complementare è l’insieme vuoto” cioè “nessun oggetto può tanto appartenere quanto non appartenere ad una classe $x$”.

Per Boole fu un risultato davvero entusiasmante: a partire dalle sue semplici regole algebriche aveva riscoperto l’importantissimo principio di non contraddizione che Aristotele descriveva come l’assioma fondamentale di tutta la filosofia “È impossibile che la stessa proprietà appartenga e non appartenga alla stessa cosa”.

La logica aristotelica

A quei tempi la logica non aveva fatto grandi passi in avanti rispetto ai risultati ottenuti da Aristotele ben due millenni prima, sembrava quasi che la logica aristotelica godesse di una certa immunità nei confronti delle imperfezioni e del progresso che invece minacciano qualsiasi altra teoria scientifica.

La logica di Aristotele si occupava di particolari deduzioni logiche, i cosiddetti sillogismi: da due proposizioni dette premesse si può dedurre, a volte, un’altra proposizione, detta conclusione.

Non tutte le proposizioni sono analizzabili dalla logica aristotelica, devono poter essere esprimibili da enunciati di una di queste quattro forme:

  • Tutti gli $X$ sono $Y$
  • Nessun $X$ è un $Y$
  • Alcuni $X$ sono $Y$
  • Alcuni $X$ non sono $Y$

Vediamo un esempio di sillogismo: Tutti gli $X$ sono $Y$, Tutti gli $Y$ sono $Z$ $\implies$ Tutti gli $X$ sono $Z$.

Dire che un sillogismo è valido significa che sostituendo alle variabili $X$, $Y$, $Z$ proprietà qualsiasi, se le premesse sono vere sarà vera anche la conclusione. Il sillogismo dell’esempio precedente è valido, vediamolo con un esempio di sostituzione:

Tutti i cani ($X$) sono mammiferi ($Y$), Tutti i mammiferi ($Y$) sono vertebrati ($Z$) $\implies$ Tutti i cani ($X$) sono vertebrati ($Z$)

Naturalmente non tutti i sillogismi sono validi, per esempio “Tutti gli $X$ sono $Y$, Tutti gli $X$ sono $Z$ $\implies$ Tutti gli $Y$ sono $Z$”.

Lewis Carroll, maestro di giochi di parole, nel suo romanzo Sylvie e Bruno scriveva che in un “sillygism” (da silly, “ridicolo”, in assonanza con syllogism) a partire da due “prim Misses” (da miss, “fallire, sbagliare”, in assonanza con premises) si deduce una “delusion” (assonanza con conclusion).

Diagramma di “The Game of Logic”

I problemi della logica appassionarono molto Carroll (Charles L. Dodgson) matematico e scrittore dell’epoca, famoso per i suoi romanzi sulle avventure di Alice nel Paese delle Meraviglie, che si divertiva molto a giocare con i sillogismi. Il suo Logica Fantastica, una raccolta di sillogismi assurdi ne è un esempio.

Scrisse perfino un libro (The Game of Logic) in cui mostrava come la logica aristotelica potesse essere trasformata in un semplice e interessante gioco, utilizzando un diagramma apposito e nove gettoni.

L’analisi della logica di Boole

Abbiamo già visto che l’algebra di Boole è in grado di esprimere il principio di non contraddizione aristotelico, vediamo ora che è in grado di esprimere qualsiasi sillogismo!

Prendiamo ad esempio “Tutti gli $X$ sono $Y$”. Significa che non c’è niente che appartiene alla classe $X$ che non appartenga alla classe $Y$. Nel linguaggio dell’algebra di Boole: $X(1-Y)=0$ o, equivalentemente, $X=XY$. Allo stesso modo “Tutti gli $Y$ sono $Z$” si può scrivere come $Y=YZ$.

Usando queste equazioni otteniamo $X=XY=X(YZ)=(XY)Z=XZ$, cioè la conclusione desiderata: “Tutti gli $X$ sono $Z$”.

Per un sillogismo non valido, per esempio “Tutti gli $X$ sono $Y$, Tutti gli $X$ sono $Z$ $\implies$ Tutti gli $Y$ sono $Z$” non c’è modo di usare le premesse $X=XY$ e $X=XZ$ per ottenere $Y=YZ$.

Algebricamente, la dimostrazione di validità di un sillogismo, è analoga all’eliminazione di una variabile da un sistema di due equazioni in tre variabili.

Non tutti i ragionamenti logici però sono di tipo sillogistico. La vera forza dell’algebra di Boole è che la sua potenza espressiva non si limita alla logica aristotelica, ma si spinge ancora oltre!

Gran parte del ragionamento ordinario si basa su quelle che Boole chiamava proposizioni secondarie, cioè proposizioni che esprimono relazioni fra altre proposizioni.

Si accorse che la stessa algebra che funzionava per le classi avrebbe funzionato anche per studiare proposizioni di questo tipo. Per dire che una proposizione $X$ è vera basta porre a sistema l’equazione $X=1$, analogamente, se $X$ è falsa, poniamo $X=0$. Se due proposizioni $X$ e $Y$ sono entrambe vere scriveremo $XY=1$.

Ma più importante di tutte è l’asserzione “Se $X$, allora $Y$” che può essere rappresentata dall’equazione $X(1-Y)=0$.

Vediamo perché: “Se $X$ allora $Y$” significa, nella nostra notazione, “Se $X=1$ allora $Y=1$”. Se nell’equazione $X(1-Y)=0$ sostituiamo la nostra premessa ($X=1$) otteniamo $1(1-Y)=0$, che è verificata se e solo se $1-Y=0$, cioè quando $Y=1$.

Boole e il sogno di Leibniz

La potenza espressiva del sistema logico di Boole andava molto più in là di quello di Aristotele, ciò nonostante, rimaneva decisamente al di qua di ciò che sarebbe stato necessario per realizzare il sogno di Leibniz.

Per esempio la logica di Boole non è in grado di manipolare con sufficiente espressività enunciati del tipo “Tutti gli $X$ sono $Y$ o Z”, non permettendo alcun ragionamento che possa distinguere la classe $Y$ dalla classe Z. Nel prossimo articolo vedremo come Gottlob Frege riuscì a sviluppare un sistema logico in grado di esprimere anche questi ragionamenti più sottili.

Effettivamente però l’algebra di Boole è il primo esempio di linguaggio che permette di stabilire, per mezzo di calcoli simbolici, quali suoi enunciati sono veri e quali falsi, nel pieno spirito del calculus ratiocinator del sogno di Leibniz.

La grande conquista di George Boole fu quella di dimostrare definitivamente che la logica poteva essere trattata come un ramo della matematica, dando origine alla logica matematica.

Ma l’algebra di Boole è molto di più! Abbiamo visto come l’1 e lo 0 possono rappresentare il vero e il falso, ma allora se rappresentiamo l’1 e lo 0 con, ad esempio, il passaggio o meno di corrente in un cavo elettrico, utilizzando esattamente le stesse leggi logiche e matematiche del sistema di Boole possiamo costruire la teoria dei circuiti elettrici. Questo permette di ridurre non soltanto la logica, ma anche l’elettronica, al linguaggio della matematica, permettendo di sviluppare, circa un secolo più tardi, i primi calcolatori elettronici.

Dopo di Boole queste discipline hanno avuto uno sviluppo ininterrotto fino ai giorni nostri, a cui daremo un’occhiata nei prossimi articoli.

Per approfondire

Quella presentata in questo articolo è una trattazione storica e divulgativa: oggi il concetto di algebra booleana è stato formalizzato con tutto il rigore che la matematica richiede.

Formalmente si dice Algebra di Boole un qualunque reticolo distributivo complementato $< K, \cdot, +, \neg >$

In parole povere è un insieme $K$, detto supporto, (ad esempio $K= \{0,1\} $) dotato di tre operazioni (il prodotto logico $\cdot$, la somma logica $+$ e la complementazione (o negazione) $\neg$) che rispettano determinate proprietà.

A chi volesse saperne di più consiglio la pagina su Wikipedia Algebra di Boole, molto approfondita, o la serie di video a riguardo di YouSciences Academy: Algebra di Boole e funzioni booleane

Per approfondimenti riguardo la biografia di Boole, e tutto lo sviluppo della logica fino ai primi calcolatori elettronici, consiglio ancora una volta il libro Il calcolatore universale di Martin Davis.

La scoperta dei numeri irrazionali

4 Repliche

Un numero irrazionale (del latino “ratio” ovvero rapporto) è un numero che non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi. Non sottovalutate la loro importanza, poiché sono fondamentali per la matematica. Ogni volta che fate calcoli con funzioni logaritmiche, esponenziali, trigonometriche e perfino polinomiali è molto probabile che spuntino fuori. Senza di loro nessuna di queste operazioni sarebbe possibile. Inoltre, a sottovalutare la loro importanza manchereste di rispetto al povero Ippaso di Metaponto, che diede letteralmente la vita per loro. Scopritore dei numeri irrazionali, fu condannato a morte proprio a causa loro.

Un po’ di storia

Per capire bene perché la loro scoperta causò grandi problemi, bisogna per forza fare un po’ di Storia e di Filosofia. Torniamo indietro, circa tra il VI e il V secolo a.C. a Crotone, nella Magna Grecia (ai giorni nostri, Italia). Lì visse Pitagora: illustre filosofo, matematico, astronomo, scienziato, uomo politico e capo religioso. Per farvi capire quanto quest’uomo fosse avanti anni luce, considerate che fu il primo a capire quanto bene la matematica descrivesse la realtà. Da questo concetto è nata la fisica.

Come può essere che la matematica, un prodotto del pensiero umano indipendente dall’esperienza, sia così mirabilmente adattata agli oggetti della realtà?

Albert Einstein

Se anche Einstein si domandava una cosa del genere, non dev’essere stato così banale esserci arrivati per primi, no? Questa è una delle domande che più mi hanno personalmente affascinato, e se vi interessa saperne di più vi consiglio assolutamente di leggere “L’Universo matematico: La ricerca della natura ultima della realtà” di Max Tegmark.

Ma torniamo al nostro Pitagora. Fu il fondatore a Crotone di una scuola, la Scuola Pitagorica. Essa si presentava come setta mistico-religiosa, comunità scientifica e partito politico.

copia di un busto del I sec a.C. raffigurante Pitagora

La loro dottrina, come recita prontamente il mio vecchio libro di filosofia delle superiori, si fondava principalmente su questo concetto:

Alla base del principio pitagorico vi è un ordine misurabile. Affermare che le cose sono costituite di numeri e che quindi tutto il mondo è fatto di numeri significa che la vera natura del mondo, come delle singole cose, consiste in un ordinamento geometrico esprimibile in numeri (misurabile). Infatti, mediante il numero è possibile spiegare le cose più disparate dell’esperienza: dal moto degli astri al succedersi delle stagioni, dalle armonie musicali al ciclo della vegetazione. Per cui, anche ciò che sembra lontano dal numero risulta, a ben guardare, riconducibile a una struttura quantitativa e quindi misurabile. Questa è la grande importanza dei Pitagorici, che per primi hanno ricondotto la natura, o meglio il carattere che fa della natura qualcosa di oggettivo (di veramente reale), all’ordine misurabile; e hanno riconosciuto in quest’ordine ciò che da al mondo la sua unità, la sua armonia, quindi anche la sua bellezza.

Da questo potete intravedere i danni che facevano i numeri irrazionali: non sono più esprimibili come numeri interi, né tanto meno come rapporti. Di conseguenza, non sono più misurabili. Vanno a minare dalle fondamenta la dottrina Pitagorica, facendola crollare interamente. Se volete vedere la faccenda in modo un po’ analogo ma forse più chiaro, sostituite Galileo a Ippaso e l’eliocentrismo ai numeri irrazionali. Le affermazioni di Galileo erano problematiche per la Chiesa, e per questo fu costretto ad abiurare. Le dimostrazioni logiche sono pericolose per le dottrine dogmatiche.

Il primo numero irrazionale

I pitagorici avevano fatto moltissime scoperte, la più conosciuta di tutte è sicuramente il teorema di Pitagora. Grazie a questo, i triangoli rettangoIi non avevano più segreti ormai. Con pochi calcoli, si potevano sapere le misure precise di cateti e ipotenusa. Inoltre potevano calcolare le terne pitagoriche, ovvero terne di 3 numeri interi che possono essere usate per creare triangoli rettangoli. Queste erano molto utili e avevano applicazioni pratiche, e alcune erano conosciute già da molto.

Già gli antichi Babilonesi conoscevano le terne pitagoriche, ed esse venivano utilizzate per creare angoli retti in modo molto preciso. Se per esempio prendete una corda e la dividete in 12 parti uguali, e ci costruite un triangolo i cui lati misurano 3,4 e 5, ottenete un angolo retto. Per noi adesso è abbastanza scontato, ma allora avere un goniometro che ti segnava i 90° con precisione era molto comodo, soprattutto nell’ambito delle costruzioni.

Utilizzando il teorema di Pitagora, però, venivano fuori dei problemi. Le radici di quadrati perfetti erano molto semplici da calcolare, ma le altre? Una questione aperta, per esempio, era lo studio della diagonale del quadrato. Ci si raccapezzavano in molti, tra i pitagorici. Se considerate un quadrato di lato 1, ottene facilmente che la diagonale è $\sqrt{2}$. Per noi è un problema facile, per i pitagorici no.

Cercavano costantemente di capire in che rapporto fossero lato e diagonale, senza ottenere risposta. Il problema stava proprio nel loro sistema numerico: usando solo numeri interi e frazioni, non si può trovare risposta. Proprio mentre stava lavorando su questo problema, Ippaso di Metaponto fece una scoperta incredibile: se si prova a calcolare il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato, si ottiene un paradosso! Non importa quanti sforzi matematici si facessero, le due grandezze erano incommensurabili. Detto in termini semplici, se sono incommensurabili, il rapporto tra i due è un numero irrazionale. Ippaso aveva appena scoperto dei nuovi numeri, “incommensurabili”.

Questa scoperta era assolutamente pericolosa. Inoltre, nessuno dei Pitagorici riusciva a contrastare questa dimostrazione. La matematica e la logica sono scienze esatte, c’è poco da fare. Capirete anche voi che l’esistenza di grandezze incommensurabili, per una dottrina spiegava tutto l’universo partendo dall’ordine commensurabile matematico di tutta la realtà, era proprio un bel problema. Ippaso divulgò questa scoperta, e venne condannato dai propri compagni a morire affogato. Purtroppo, la dimostrazione che fece Ippaso è andata perduta, e sappiamo solamente che era geometrica e non algebrica, ma nulla di più.

il problema di Ippaso

Vi riporto la dimostrazione che si studia adesso ai corsi di analisi. Questa è svolta per assurdo, cioè parto dal presupposto che qualcosa sia possibile e se poi procedo per semplici deduzioni logiche mi imbatto in un paradosso. Dunque l’ipotesi iniziale era sbagliata. Per farvi un esempio analogo, è come quando in una partita di scacchi sacrificate un pezzo per mangiarne un altro all’avversario. L’unica differenza è che un matematico non sta offrendo un solo pezzo, ma tutta la partita. Se volete approfondire meglio questa tipologia di dimostrazioni, vi consiglio questo articolo incentrato su questo tema: https://www.mathone.it/dimostrazione-per-assurdo/

Quindi, facciamo la nostra ipotesi per assurdo: esiste una frazione tale che $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ con $a$ e $b$ ridotti ai minimi termini. Attenzione al fatto dei minimi termini che è importante: $a$ e $b$ non possono essere entrambi pari, per definizione. Bene, adesso vediamo se vengono fuori dei paradossi. Eleviamo tutto al quadrato e otteniamo $a^{2}=2b^{2}$. Notiamo subito che $a^{2}$ è pari, poiché è 2 volte un qualcosa. Adesso ricordiamoci della cosa dei minimi termini: $b^{2}$ deve per forza essere dispari.

Però notiamo una cosa: il quadrato di un numero pari è pari ($(2k)^{2}=2(2k^{2})$), il quadrato di un numero dispari è dispari ($(2k+1)^{2}=2(2k^{2}+2k)+1$), quindi dato che $a^{2}$ era pari, anche $a$ è pari, e lo possiamo scrivere come $a=2k$. Di conseguenza, $a^{2} = 4k^{2}$. Se sostituiamo nell’equazione iniziale, otteniamo che $4k^{2}=2b^{2}$. Qua iniziamo a intuire il problema, se dividiamo per 2 otteniamo che $b^{2}=2k^{2}$ quindi anche $b$ è per forza pari. Aspetta, avevamo detto che $b$ doveva essere per forza dispari, come può adesso essere per forza pari? Può essere sia pari che dispari contemporaneamente? No, e abbiamo trovato il paradosso. Quindi l’ipotesi iniziale “Esiste una frazione $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$” era errata.

Una dimostrazione priva di matematica: è irrazionale?

Ora che forse ho reso un po’ più chiaro il concetto di “dimostrazione per assurdo” utilizzando un po’ di matematica molto familiare, facciamo un passo avanti. Anche se la dimostrazione esatta è andata perduta, possiamo farci un’idea di come potesse essere quella di Ippaso. I pitagorici, infatti, usavano molto di più la geometria, piuttosto che l’algebra. Ma cosa significa esattamente? Come si potrebbe dimostrare geometricamente che un numero è irrazionale? Ma è molto semplice, sempre per assurdo!

Ripartiamo dal nostro caso del lato e della diagonale di un quadrato. Per il teorema di Pitagora sappiamo che il quadrato costruito sulla diagonale è uguale alla somma dei due quadrati costruiti sul lato. Chiamiamo il quadrato più grande $v$ (che sta per verde) e i due più piccoli $r$ (rosa). Sappiamo che $v=r+r$. Quindi $v=2r$. N.B. sappiamo che $\frac{v}{r}=2$ quindi se facciamo il rapporto dei lati di questi quadrati, avremo che $\frac{lv}{lr}=\sqrt{2}$. Bene, ora ci manca una ipotesi per assurdo, e il gioco è fatto.

Questa è la parte importante: sappiamo che il rapporto dei lati ci darà $\sqrt{2}$. Questo rapporto, essendo una frazione, sarà riducibile fino a un certo punto. Se $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, $a$ e $b$ saranno le misure più piccole possibili dei lati di questi quadrati. Una frazione non può essere infinitamente riducibile, quindi devono esistere due quadrati, uno di lato $a$ e uno di lato $b$ tali che l’area di uno è uguale a due volte l’area dell’altro.

Quindi la nostra ipotesi per assurdo è che esistono dei quadrati, tali per cui 2 volte l’area di uno sia uguale all’area dell’altro e sappiamo che la soluzione deve essere la più piccola di tutte. Immaginiamo quindi di avere due quadrati $r$ e $v$ tali che $2r=v$ e sono i due quadrati più piccoli possibili. Ora proviamo a sovrapporli, come nella figura qui sotto.

Per ipotesi, sappiamo che l’area dei 2 rosa è uguale a quello verde. Questo significa che l’area del quadrato rosso interno, è uguale all’area dei 2 quadrati verdi. E qui c’è un grosso problema, perché abbiamo appena detto che doveva per forza essere la soluzione più piccola possibile, ma ne abbiamo appena trovata una ancora più piccola. Paradosso! Inoltre, il procedimento può essere ripetuto infinite volte, ottenendo quadrati sempre più piccoli. Pensate al significato matematico: se posso trovare quadrati infinitamente piccoli, anche i loro lati saranno infinitamente piccoli. Ma se, come abbiamo detto prima, il rapporto dei lati era $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$, significa che posso prendere $a$ e $b$ sempre più piccoli. Ma una frazione non può essere infinitamente riducibile, quindi abbiamo il nostro paradosso, et voilà.

Altri numeri irrazionali

Bene, abbiamo scoperto che $\sqrt{2}$ è un numero irrazionale. Pensate abbia intenzione di fermarmi qui? Forse non mi conoscete abbastanza. I pitagorici scoprirono anche che $\sqrt{5}$ è irrazionale, ma si fermarono qui. Il problema è che facevano matematica mediante la geometria, e questo rende complesso generalizzare. A partire dalla scoperta di Ippaso, successive scoperte matematiche hanno fornito nuovi mezzi per lo studio dei numeri irrazionali, ma la cosa più sorprendente è che il metodo utilizzato è sempre quello usato dai greci: la dimostrazione per assurdo. Le successive scoperte in questo campo si devono a Euclide, poi tutti matematici di epoca molto più recente. Ma così come Ippaso nel 500 a.C. faceva i suoi procedimenti, anche adesso, a distanza di 2500 anni, usiamo lo stesso procedimento. Vediamone alcune.

Tutte le radici quadrate

Ogni $\sqrt{n}$ è irrazionale, se $n$ non è un quadrato perfetto. Il metodo è molto simile a quello appena visto, ma ci viene in aiuto il teorema fondamentale dell’aritmetica.

Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione è unica, se si prescinde dall’ordine in cui compaiono i fattori.

In particolare, ci interessa un aspetto di questo teorema. Se $a$ è rappresentabile in un singolo modo come prodotto di primi, sappiamo per certo che $a^{2}$ avrà esattamente la stessa rappresentazione, solo che con ogni primo elevato al quadrato. Dimostriamo facilmente quindi che se $a^{2}$ è divisibile per $k$ (N.B. $k$ non deve essere un quadrato perfetto), sicuramente anche $a$ lo sarà. Notiamo un’altra cosa, se $k$ divide $a$, allora $a^{2}$ sarà addirittura divisibile per $k^{2}$. Abbiamo tutto quello che ci serve.

Ipotesi per assurdo: $\sqrt{k}=\frac{a}{b}$, ridotta ai minimi termini ($k$ non è un quadrato perfetto). Eleviamo al quadrato e otteniamo che $a^{2}=kb^{2}$. A questo punto sappiamo che $a^{2}$ è multiplo di $k$ e di conseguenza divisibile per $k^{2}$. Quindi, $a^{2}=k^{2}n$. Ora se sostituiamo nell’equazione di prima otteniamo che $k^{2}n=kb$. Adesso non basta altro che dividere per $k$ e otteniamo che $kn=b$ quindi anche $b$ è divisibile per $k$. Questo è il nostro paradosso: $a$ e $b$ erano ridotti ai minimi termini, ma adesso sono entrambi divisibili per $k$. Logicamente è un assurdo, e $\sqrt{k}$ è dunque irrazionale. Attenzione: tutto il nostro ragionamento funzionava bene se e solo se $k$ non era un quadrato perfetto. Ma è perfettamente logico: in questo caso, la dimostrazione di irrazionalità casca, e la radice non è irrazionale, ma un numero intero.

Il numero $e$ è irrazionale?

Ora facciamo una piccola pausa. Il problema è che le dimostrazioni iniziano a diventare abbastanza difficili. Fino a qui, credo siano state tutte abbastanza comprensibili e soprattutto “visualizzabili”. Le altre che ho trovato iniziano ad essere lunghette e piene zeppe di matematica, difficili da seguire leggendo. Se l’argomento vi interessa, vi consiglio di andare a spulciare su youtube, perché vedere una dimostrazione è più efficace che leggerla. Vi lascio qui sotto un assaggio di un’ultima dimostrazione, e un link a un video youtube. La dimostrazione è sull’irrazionalità del numero e, scoperta nel 1737 da Eulero. Ve ne riporto una più semplice, opera di Cohn nel 2006. Se siete stufi di dimostrazioni, vi lascio un articolo molto interessante sul numero e, che merita sicuramente una letta: https://www.mathone.it/numero-di-nepero/

Torniamo a noi. Prima di addentrarci in quest’ultima irrazionalità vi serve solo sapere una formula per calcolare $e$. Poi possiamo iniziare.

Formula per il numero di Nepero

Ormai credo che avrete le idee ben chiare: come possiamo dimostrare che e è un numero irrazionale? Per assurdo, che domande. Allora ipotizziamo che $e = \frac{a}{b}$. Sostituiamo subito la formula vista prima e otteniamo che $\frac{a}{b}=1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + … + \frac{1}{n!}$. Adesso separiamo in due il termine di destra fin dove il denominatore è $b!$ e otteniamo:

$ \frac{a}{b}=(qualcosa) + \frac{1}{(b+1)!} + \frac{1}{(b+2)!} +…+ \frac{1}{(b+n)!}$

Adesso moltiplichiamo da entrambe le parti per $b!$ In particolare, vogliamo vedere se quello che otteniamo è un numero intero o no. Analizziamo la parte di sinistra, $ \frac{a}{b}$ e se moltiplichiamo per $b!$ otteniamo $\frac{a}{b}*b!$ ovvero $a(b-1)!$ che è un numero intero. Ora guardiamo la parte a destra, che avevamo scritto come: (qualcosa) $+ \frac{1}{(b+1)!} + \frac{1}{(b+2)!} +…+ \frac{1}{(b+n)!}$. Guardiamo solo il primo pezzo, che io ho comodamente chiamato “qualcosa”. Era tutta la prima parte della formula di Nepero, quindi:

$(qualcosa) = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + … + \frac{1}{b!}$ a questo punto, è facile notare che $b!$ è divisibile per ogni denominatore ($b!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot …\cdot b$) quindi ogni singolo addendo è un numero intero. Di conseguenza, anche il secondo pezzo è un numero intero. Adesso manca solo l’ultimo pezzo: $b!(\frac{1}{(b+1)!}+…+\frac{1}{(b+n)!})$. Questo è un po’ più complesso, ma potete vedere facilmente che è per forza minore di 1, visto che state sommando frazioni che diventano esponenzialmente più piccole. Io me la sono cavata con una sola frase, in modo molto poco rigoroso, ma solo per risparmiarvi un po’ di tempo.

Adesso mettiamo assieme i pezzi. Inizialmente avevamo:

$ \frac{a}{b}b! = (qualcosa) + b!(\frac{1}{(b+1)!}+…+\frac{1}{(b+n)!}) $ e sappiamo che il primo e il secondo sono numeri interi, mentre l’ultimo è sicuramente minore di 1, quindi:

un numero intero = un numero intero + un numero minore di 1

è forse possibile? Ovviamente no, è un paradosso. La nostra dimostrazione per assurdo è completa, il numero e è irrazionale.

Approfondimenti

Se siete arrivati fin qui, vi faccio i miei complimenti. Sappiate che in questo articolo abbiamo visto solo la punta dell’iceberg. Potrei tornare sull’argomento, parlarvi di altri numeri irrazionali o addirittura dei numeri trascendentali, ma forse in futuro. Intanto vi lascio un paio di video youtube se volete approfondire l’argomento, ma vi avviso che sono in inglese e usano matematica un po’ più complessa.

Fonti

Ci tengo a fare una piccola precisazione. Non sono uno storico, e sicuramente le mie fonti non saranno super precise. Inoltre, pure uno storico affermato non saprebbe precisamente dirvi cosa succedeva nella Magna Grecia, per motivi che credo immaginerete. Tra le diverse ipotesi e versioni, ho deciso di raccontarvi quella che personalmente trovavo più convincente. Potrebbero esserci imprecisioni e errori. http://lcalighieri.racine.ra.it/pescetti/ricerca_geometrie_non_euclidee_2004_05/somm_mate%20greci/mategreci5.htm

https://it.wikipedia.org/wiki/Ippaso_(filosofo)

https://it.wikipedia.org/wiki/Scuola_pitagorica

https://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/11/24/ippaso-2-e-i-falsi-storici/

Fisica matematica: cos’è e molte risorse per approfondirla

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Cos’è la fisica matematica? Se non hai mai studiato matematica probabilmente non ne hai mai sentito parlare e non ti è chiaro dove possa concludersi la fisica e iniziare la matematica, o viceversa. Quindi questo articolo vuole aiutarti ad avventurarti in questo mondo che ho scoperto un paio d’anni fa e mi sta piacendo sempre di più, non si sa mai che con questo articolo ti venga voglia di scaricarti una delle dispense che ti suggerisco o comprarti uno dei libri elencati per approfondirla da solo 🙂 Dopotutto con gli articoli sul blog non miriamo ad insegnare nulla, ma ad incuriosire e dare gli strumenti per successivi approfondimenti personali! Ma bando alle ciance…iniziamo!

Ah dimenticavo…se non lo sai ho anche un canale Youtube e la fisica matematica sarà senz’altro uno dei miei principali interessi nei video. Se non sei ancora iscritto lo trovi qui: CANALE YOUTUBE MATHONE.

Cos’è la fisica matematica?

Per iniziare questo paragrafo ti riporto la definizione di fisica matematica che puoi trovare anche su Wikipedia perchè mi sembra molto chiara ed un ottimo punto di partenza:

La fisica matematica è quella disciplina scientifica che si occupa delle “applicazioni della matematica ai problemi della fisica e dello sviluppo di metodi matematici adatti alla formulazione di teorie fisiche e alle relative applicazioni“.

Wikipedia

Vediamo un po’ di analizzare quanto scritto qui sopra. Partendo da cosa sia la fisica si può capire abbastanza semplicemente la definizione qui sopra. Infatti fisica vuol dire, anche in termini di origini della parola, “natura” o “le cose naturali”. È quindi la branca della scienza che si occupa letteralmente di studiare i fenomeni naturali, utilizzando un formalismo matematico e degli strumenti forniti dalla matematica.

Prima di proseguire, ci tengo a dirti che se vuoi vedere il video che ho fatto su questo argomento lo trovi qui:

Questi fenomeni naturali vengono quindi osservati, misurati e poi analizzati grazie a vari strumenti matematici. L’obiettivo ultimo della fisica è quello di costruire delle relazioni tra i fenomeni naturali (dei legami astratti) e quindi essere in grado di prevedere alcuni risultati a partire da delle misurazioni concretamente effettuabili.

Bene, se ci hai fatto caso, nelle righe qui sopra ho evidenziato in grassetto i termini “forniti dalla matematica”. È proprio qui che possiamo infatti far ricadere la linea di delimitazione tra fisica matematica e fisica. Chi si occupa di fisica matematica ha sostanzialmente l’obiettivo di fornire gli strumenti, i formalismi, i metodi che poi possono essere applicati dai fisici (in genere) per analizzare un particolare fenomeno naturale.

Da un punto di vista storico, possiamo trovare la motivazione che ha portato all’interesse per la fisica matematica già dalle parole di Galileo:

Il mondo naturale va descritto con il suo linguaggio, e questo linguaggio è la matematica.

Galileo Galilei

Quindi, in parole povere, possiamo dire che la differenza tra la fisica matematica e la fisica teorica sta nella particolare attenzione che la prima pone verso il formalismo tipico della matematica per descrivere fenomeni fisici, mentre la seconda ha il chiaro obiettivo, prima o dopo, di andare a relazionarsi con la fisica sperimentale e quindi, il reale mondo osservabile.

Differenti scale studiate dalla fisica matematica

Questa sezione è parecchio importante perchè permette un po’ di classificare i vari settori della fisica matematica in base al loro oggetto di studio. Più precisamente questa classificazione sarà basata sulla “grandezza” della scala analizzata da questi rami di studio.

Vediamo un esempio che ci permette di analizzare questo molto chiaramente:

Supponi di voler descrivere come si muove un gruppo di 2 palline che, partendo da punti diversi di un tavolo da biliardo, vengono lanciate verso il centro del tavolo così da interagire l’una con l’altra.

Bene, in questo caso la dinamica si può studiare a livello microscopico, ovvero analizzando con un’equazione differenziale ordinaria la dinamica di ogni pallina, andando quindi ad ottenere un sistema di 2 equazioni, basate fondamentalmente sulla legge di Newton, chiaramente non semplici ma sempre 2 equazioni ordinarie sono. Infatti in questo caso il numero degli oggetti coinvolti è basso, per cui non è eccessivamente costoso descrivere singolarmente le dinamiche delle singole particelle.

Ecco quindi vista la parte della fisica matematica che si occupa delle scale MICROSCOPICHE. Qui ricade la meccanica razionale, che coinvolge in maniera pesante l’analisi dei sistemi dinamici ed è la parte della fisica matematica a cui mi sto appassionando maggiormente.

Andiamo ad aumentare il numero degli oggetti coinvolti.

Supponiamo di avere 150 persone, chiuse all’interno di una stanza, che al momento di un incendio devono evacquare la stanza. Capisci bene che in questo caso descrivere la dinamica di ogni singola persona sarebbe troppo costoso, infatti si dovrebbero tenere in considerazione troppi dettagli, troppe interazioni, troppe equazioni. Avremo come minimo 150 equazioni ordinarie se seguissimo un approccio microscopico, tutte vincolate a certi fattori quali “la consapevolezza che l’individuo ha di dove sia l’uscita di sicurezza” o “quanto spaventato è il soggetto” e cose del genere, non semplice nemmeno da risolvere in termini di costi computazionali una volta “messo giù” il sistema.

Ecco quindi che qui si può decidere di coinvolgere un approccio che lavora ad una scala superiore, l’approccio CINETICO o meglio l’approccio che si dedica all’analisi dei fenomeni su scala MACROSCOPICA.

In quel caso, non ci si interessa del variare della posizione allo scorrere del tempo del singolo individuo, ma si analizza la densità di probabilità associata all’evento che gli individui si trovino in una certa zona ad un certo istante temporale.

Quindi si iniziano a trattare tutte insieme le persone come una sola cosa, avremo quindi delle equazioni cinetiche che coinvolgono le variabili di velocità, posizione e densità di probabilità. Meno equazioni ma più “legate” l’una all’altra.

Se ti interessa questa classe di problemi ti consiglio di andarti a leggere qualcosa sul problema di evacquazione, sulla dinamica degli stormi di uccelli o anche sull’equazione di Vlasov Poisson di cui sto ascoltando alcune lezioni qui a Nizza, la trovi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Vlasov_equation .

Passiamo quindi all’ultima, ma non meno importante, scala di analisi dei problemi della fisica matematica. La scala MESOSCOPICA. In questo caso si passa dalle equazioni cinetiche alle equazioni alle derivate parziali (PDE). Lo studio di questa classe di fenomeni è basata sul vedere gli oggetti coinvolti nella dinamica come un fluido continuo.

Ti faccio un esempio. Supponi di avere un’autostrada ad una sola corsia in cui la frequenza di macchine che passano da una certa posizione è così alta da poter approssimare la sequenza di macchine come un fiumiciattolo e descrivere lo scorrere delle macchine come la variazione di densità, in spazio e tempo, del fluido. Per esempio in questo caso si parla di equazione di Burgers $\partial_t u +\partial_x(u^2/2)=0$ ma le equazioni alle derivate parziali che si possono generare sono veramente infinite.

Per esempio si può far ricadere in questa macro area della fisica matematica lo studio matematico della dinamica dei fluidi, della turbolenza, delle onde sonore e molto altro ancora.

Risorse e libri di testo consigliati per iniziare a studiarla

Eccoci finalmente alla sezione che ritengo più utile dell’articolo 🙂 Fortunatamente infatti si possono trovare molti libri e dispense ben fatte riguardo a questi temi. Chiaramente la fisica matematica è un settore ampissimo perché si interessa dei più svariati fenomeni e delle più svariate scale.

Di alcuni di questi settori so poco o nulla, per cui mi limito ad elencarti qui sotto risorse per approfondire temi che ho avuto modo di studiare personalmente in maniera più o meno avanzata. Quindi settori come la teoria spettrale per la meccanica quantistica o altri non te li riporto perché ho avuto modo di studiarli in parte ma poco rivolti alla fisica, più come uno strumento generale della matematica poi eventualmente utilizzabile per la fisica, quindi preferisco evitare.

Delle scale di cui ti ho parlato qui sopra andremo a vedere qualche risorsa riguardante i fenomeni della dinamica (rivedendo quindi in maniera più formale e rigorosa, alla luce della geometria differenziale, la meccanica classica), qualche riferimento a testi riguardanti le PDE iperboliche e i modelli matematici per le PDE della fisica in generale. Ovviamente è molto restrittivo come panorama, ma preferisco evitare di suggerirti cose che non ho studiato personalmente almeno in parte.

Sistemi dinamici e meccanica razionale

Questo è il settore che preferisco tra quelli che ti ho nominato, è molto ampio, molto visivo nelle tecniche utilizzate e spesso tratta più o meno direttamente di fenomeni che puoi vedere tranquillamente nella vita quotidiana. Di suggerimenti da darti ne avrei quindi molti ma mi limito a fornirti qualcosa di ben mirato. Partiamo dai sistemi dinamici per i quali ti lascio una playlist di video (in inglese ma fatti da un italiano 😉 ) su Youtube che è davvero chiara:

Questo è solo il primo video del corso, se clicchi sul titolo poi ti si apriranno anche le successive lezioni

Se preferisci studiare su dei libri o delle dispense eccoti accontentato/a:

  1. Introduzione all’Analisi Qualitativa dei Sistemi Dinamici Discreti e Continui (qui si punta molto sulle tecniche qualitative del ritratto di fase, che permettono di ottenere molte informazioni sul sistema in analisi senza risolvere l’equazione che lo descrive, come spesso necessario…uno dei due autori è stato mio professore di Dinamica dei Fluidi 😉 ).
  2. Una passeggiata tra i sistemi dinamici (Dispensa di Giancarlo Benettin per l’università di Padova, ho avuto modo di usarla parecchio in questi 2-3 anni)

Purtroppo non posso lasciarti la dispensa da cui ho studiato al mio corso di sistemi dinamici perché è protetta da password e preferisco evitare casini 🙂

L’analisi qualitativa, che puoi apprendere qui sopra in maniera più o meno approfondita, diventa poi fondamentale se vuoi spostarti sull’approccio newtoniano, lagrangiano o hamiltoniano verso la dinamica classica. Per studiare questi approcci ecco le risorse che mi sento di suggerirti:

  1. Dispense per il corso di Istituzioni di Fisica Matematica – prof. F. Fassò : queste ho avuto modo di consultarle parecchio quest’anno per preparare l’esame di Meccanica Analitica
  2. Questa dispensa invece non l’ho mai consultata ma mi sembra ben fatta e tratta del formalismo Hamiltoniano: Dispensa UniMi
  3. Per studiare questi temi spesso è necessario utilizzare concetti e strumenti della geometria differenziale, di libri a riguardo ce ne sono tanti ma ultimamente mi sto trovando a guardare spesso questo libro in cui si utilizzano molti esempi e rappresentazioni grafiche per cui te lo consiglio: A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds.

Equazioni alle derivate parziali della fisica matematica

Come abbiamo visto nei paragrafi precedenti, non sempre per parlare di fisica matematica è sufficiente coinvolgere equazioni differenziali ordinarie, come per la meccanica razionale, spesso per analizzare la dinamica dei continui, vibrazioni, fluidi e molto altro sono necessarie equazioni alle derivate parziali. Questo è un mondo ampissimo, quindi è dura dare suggerimenti anche perché ho avuto modo di studiarle sotto vari aspetti ma chiaramente non so nulla in confronto a tutto ciò che è stato scoperto fino ad ora.

Ti do però qualche suggerimento riguardo a testi scorrevoli e che potrebbe interessarti studiare o sfogliare. Parto da un suggerimento che mi aveva dato il buon Erik ormai un anno fa, è un libro molto piacevole da leggere e consultare, in cui si parla dei modelli matematici della fisica, si analizzano le varie procedure per ricavarli e si studiano poi le equazioni ottenute da un punto di vista delle loro proprietà ed eventuali tecniche risolutive. In questo libro si spazia in tutte le principali classi di PDEs (Partial Differential Equations), guardando equazioni ellittiche, paraboliche, iperboliche e tutto ciò che ci sta intorno.

E’ in italiano ed il titolo è Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni.

Passiamo poi al classicone di questo campo di studi, non è di sicuro un testo leggero e semplice dato che generalizza, quando possibile, ad $\mathbb{R}^d$ mentre per farsi un’idea di ciò che si sta parlando spesso è utile ragionare direttamente in $\mathbb{R}^2$ per poter rappresentare quanto letto, ma comunque sto parlando dell’Evans, il libro è: Partial Differential Equations.

Tanto per dire 😉

Come per le equazioni differenziali ordinarie è raro poter risolvere analiticamente una PDE, per cui ti lascio anche un testo, in italiano, con cui mi sono trovato bene e si parla di risoluzione numerica di PDE: Modellistica Numerica per Problemi Differenziali.

Dopo chiaramente di testi da suggerire ce ne sarebbero molti altri, magari più specifici per un particolare settore o più rivolti alla modellizzazione matematica. Per questa tipologia di argomenti onestamente non mi sono mai trovato particolarmente bene con le dispense ma ho sempre preferito i libri, se proprio dovessi trovarne una, che però riguarda “solo” le equazioni e i sistemi di equazioni iperboliche, da cui ho studiato per preparare un esame in Erasmus è: Hyperbolic Conservation Laws An Illustrated Tutorial .

Sono consapevole che i libri e le dispense suggerite in queste ultime righe sono costosi e difficili, però per vedere questa tipologia di argomenti lo sforzo richiesto è parecchio alto. In realtà anche per la meccanica razionale e i sistemi dinamici lo sforzo è molto alto però per iniziare a studiarle, avendo usato delle dispense universitarie, sono riuscito a suggerirti qualche risorsa più passo a passo/introduttiva. Qui invece non ho mai trovato nulla onestamente.

Bene, spero che questo articolo introduttivo alla fisica matematica ti sia piaciuto. Ti anticipo che la lista delle risorse per approfondire questi temi la amplierò mano a mano che studierò cose nuove (e ne studierò parecchie anche solo per la tesi), inoltre questo è solo l’inizio. Infatti più avanti farò molti articoli e video dedicati a questi temi, magari più specializzati su un esempio, su un’equazione o un modello. Se ti piace come tema dimmelo con un commento qui sotto e se hai suggerimenti di ogni genere fammi sapere 🙂

Il sogno di Leibniz: la caratteristica universale

2 Repliche

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) è stato un matematico, ingegnere, filosofo, teologo, linguista, diplomatico, giurista, storico… Il suo genio universale ha lasciato tracce del suo passaggio in ogni campo del sapere di cui si è interessato.

Per parlare della sua opera anche solo in uno di questi campi servirebbe ben più di un articolo. 

A noi appassionati di matematica il nome di Leibniz riporta alla mente subito derivate e integrali, famosa è la disputa tra lui e Newton sulla paternità del calcolo infinitesimale. Ci sarebbe tantissimo da dire anche su questo, ma non è l’argomento di oggi. 

In questo articolo parleremo di un’idea, un’idea che grazie al suo sviluppo ci ha regalato la logica, il calcolo automatico e l’informatica moderna.

Prima ti proseguire ti ricordo che sul blog ci sono già altri articoli dedicati ai grandi matematici, eccone alcuni:

Gauss: il principe dei matematici.

Poincaré: l’ultimo universalista.

Leibniz e l’importanza di una buona notazione

Chi ha già avuto a che fare col calcolo differenziale ricorderà sicuramente le diverse notazioni che si possono usare per indicare la differenziazione. Una tra queste è stata inventata proprio da Leibniz, fu lui a introdurre i simboli ∫ per l’integrazione e d per la derivazione. 

Questa notazione è estremamente intuitiva: la regola di Leibniz per il prodotto si dimostra banalmente usando la sua notazione ($d(fg) = (f+df) (g+dg) – fg = f(dg) + g(df) + (df)(dg) = f(dg) + g(df) $, poiché $(df)(dg)$ è infinitesimo di ordine inferiore), la stessa cosa accade per la tecnica di integrazione nota come metodo di sostituzione, usando la notazione di Leibniz è praticamente automatica. 

Emblematico della comodità della notazione di Leibniz è il fatto che ancora oggi venga usata (fuori dalle facoltà di matematica 😉 ) in modo spesso improprio, per giustificare passaggi che altrimenti richiederebbero derivazioni formali più impegnative. Leibniz fece uso sistematico degli infinitesimi, numeri positivi più piccoli di qualsiasi numero reale positivo. Fin dalla loro introduzione venne contestata la legittimità di tali grandezze, ed in effetti all’inizio del XX secolo tutti i matematici riconoscevano che l’uso degli infinitesimi non aveva giustificazione. Nel 1966 Abraham Robinson introdusse l’Analisi Non-standard, riabilitando l’utilizzo degli infinitesimi, definendoli in modo rigoroso sfruttando i rivoluzionari risultati della logica del ‘900.

Questa semplicità di utilizzo non è un caso! Leibniz passò anni a perfezionare la sua notazione. Era convinto dell’importanza di scegliere simboli adatti e trovare regole che ne governassero la manipolazione. 

In un certo senso è proprio questa l’idea di Leibniz: la sua notazione per il calcolo differenziale in qualche modo si prende carico di gran parte del lavoro, perché possiede già nelle sue regole di manipolazione il significato di ciò che rappresenta. 

Leibniz sognava qualcosa di analogo per l’intera conoscenza umana: un linguaggio artificiale universale, con regole grammaticali che mettessero in luce tutte relazioni logiche esistenti tra le proposizioni. 

Una volta costruito questo linguaggio, sarebbe stato possibile lasciare a delle macchine il compito di dedurre tutte le verità semplicemente sbrigando i calcoli, lasciando libera di dedicarsi al pensiero creativo la mente umana.

«È assurdo impiegare gli uomini di intelligenza eccellente per fare calcoli che potrebbero essere affidati a chiunque se si usassero delle macchine.»

G.W. Leibniz

L’Ars Magna di Llull

Quest’idea in realtà nacque in Leibniz molto prima degli anni in cui sviluppò il calcolo differenziale. Probabilmente risale alla sua gioventù, durante i suoi studi di diritto. Affascinato dalla logica aristotelica, per una mente logica come la sua era assurdo pensare che delle questioni giuridiche, per quanto intricate, non potessero avere una risoluzione univoca. Nell’idea di Leibniz, una volta sviluppato il suo linguaggio, “quando sorga una controversia, non ci sarà più necessità di discussione tra due filosofi di quella che c’è tra due calcolatori. Sarà sufficiente prendere una penna, sedersi al tavolo e dirsi l’un l’altro: calcoliamo!”

Secondo Leibniz, il primo passo verso un alfabeto del pensiero umano doveva essere l’enumerare tutte le possibili combinazioni dei concetti di base di cui il pensiero umano si compone. Questa convinzione lo portò a studiare, da autodidatta perchè stava ancora conseguendo il dottorato in legge, il calcolo combinatorio.

 Nei suoi studi si imbattè nell’opera di Ramon Llull (1232-1315): l’Ars Magna. Llull fu un filosofo, teologo e missionario maiorchino. Nella sua attività di missionario Llull cercò di convertire al cristianesimo gli ebrei e gli arabi. Per questa ragione studiò a fondo la loro cultura e la struttura delle loro lingue, e ne fu influenzato in modo evidente nella creazione della sua filosofia. Per esempio il sistema di numerazione ebraico usa come cifre gli stessi caratteri usati per le parole. In questo modo ogni parola può essere letta anche come un numero, ed è su questa ambivalenza che è nata la Gematria (l’esegesi biblica basata sul valore numerico delle parole). La cultura ebraica è intrisa di collegamenti con i numeri. Basti pensare alla Cabala o allo stesso Talmud, uno dei libri sacri dell’ebraismo, dove un passaggio afferma che combinando lettere dotate di valore numerico, è possibile costruire la struttura del mondo.

L’Ars Magna (1308) ha come obiettivo quello di conoscere Dio, e per farlo sviluppa la prima forma di logica combinatoria. Llull mette in relazione l’alfabeto agli attributi di Dio. Associa alla lettera A Dio stesso, la B alla bontà, la C alla grandezza e così via. Ora per conoscere tutti i possibili attributi di Dio basta combinare a due a due tutte le lettere. Questo procedimento può essere del tutto meccanico, non c’è bisogno di una mente umana per elencare tutte le combinazioni di lettere.


Nella figura è rappresentato un cerchio suddiviso in 9 settori. Sotto ogni lettera compaiono un aggettivo e un sostantivo. Ogni settore è unito agli altri otto per rappresentare tutte le possibili combinazioni che si possono ottenere ruotando il cerchio.

Leibniz rimase molto colpito da quest’opera anche se ne fu molto critico, per lui quella esposta da Llull era “solo l’ombra della vera arte combinatoria”. 

Nel 1666, come seconda tesi di dottorato in filosofia e legge, presentò la Dissertatio de arte combinatoria, nella quale elabora le idee di Llull: partendo dall’alfabeto, attraverso permutazioni e combinazioni, è possibile ottenere qualsiasi proposizione. Partendo da un “alfabeto” di concetti basilari è possibile ottenere qualsiasi verità che discenda da quei concetti. 

Leibniz in questo modo presentava una logica nuova rispetto a quella dei filosofi classici: attraverso l’arte combinatoria la logica poteva essere utilizzata non solo per determinare la validità dei ragionamenti, ma anche a inventare e scoprire meccanicamente nuove verità.

La macchina aritmetica

Leibniz però non poteva accontentarsi di un metodo teorico per meccanicizzare la logica: non dimentichiamoci che all’epoca non esistevano quelle che oggi chiameremmo calcolatrici. La cosa che più si avvicinava ad una macchina calcolatrice automatica era la pascalina, progettata nel 1642 dal fisico, matematico e filosofo francese Blaise Pascal, che però era in grado di eseguire solo addizioni e sottrazioni. 

Per questo Leibniz inventò la sua macchina aritmetica, in grado di effettuare le quattro operazioni aritmetiche elementari. La macchina funzionava grazie alla “ruota di Leibniz”, un meccanismo molto ingegnoso che fino al ‘900 è stato ancora usato nelle macchine calcolatrici. Questa invenzione gli permise di essere ammesso alla Royal Society nel 1673 e quindi di entrare a far parte dei maggiori circoli intellettuali dell’epoca.

Leibniz inoltre continuò a perfezionare la sua macchina per tutta la sua vita, anni più tardi cercò anche di progettarne una in grado di effettuare operazioni nel sistema binario, ma rinunciò a costruirla per il numero troppo elevato di cilindri necessari al suo funzionamento.

Il sistema binario e gli esagrammi cinesi

Leibniz era estremamente interessato alle lingue: oltre al tedesco, sua lingua nativa, conosceva il latino, il greco, il francese e l’italiano. Era convinto che esistesse un linguaggio originale dal quale nacquero tutti gli idiomi esistenti e che dovesse esserci traccia di quella lingua in tutte quelle attuali. 

Leibniz era affascinato anche dalla scrittura cinese. La riteneva un ottimo esempio della sua idea di caratteristica universale. Nella terminologia di Leibniz una caratteristica era un sistema simbolico in cui ogni simbolo rappresenta un’idea, e dotato di regole di manipolazione specifiche. 

La scrittura cinese è articolata in modo molto diverso dalla nostra. È composta da caratteri di vario tipo:

  • ideogrammi (rappresentazioni di idee e concetti astratti, ad esempio: 上 (shàng, sopra) e 下 (xià, sotto))
  • pittogrammi (rappresentazioni per mezzo di disegni, ad esempio: 月 (yuè, luna) e 山 (shān, montagna))
  • composti fonetici (in cui è presente un componente fonetico che da un suono particolare al componente radicale, attribuendogli un significato diverso)
  • composti logici (unione di due caratteri che mantengono il loro significato per crearne uno nuovo)

Sono questi ultimi i più affascinanti dal punto di vista della caratteristica universale di Leibniz, rispettano in modo incredibile l’idea che Leibniz aveva di caratteristica! 

Vediamo alcuni esempi:

  • 家 (jiā, casa): rappresentato da un maiale (豕) sotto a un tetto (宀)
  • 明 (míng, luminoso): rappresentato dai due oggetti più luminosi in natura, il sole (日) e la luna (月)
  • 看 (kàn, guardare): qual è il gesto istintivo quando guardiamo un oggetto lontano, magari in una giornata particolarmente luminosa? Mettiamo una mano (手) sopra gli occhi (目), in modo da ripararli per guardare meglio

Per altre curiosità sulla lingua cinese consiglio di dare un’occhiata al sito Inchiostro Virtuale, estremamente interessante.

Ma non è questo l’unico motivo per cui Leibniz si interessò alla cultura cinese. 

Spesso faceva riferimento all’aritmetica e all’algebra come esempi di discipline che dimostrano l’importanza di un buon simbolismo riferendosi anche ai vantaggi che avevano le cifre arabe rispetto ai numeri romani per effettuare i calcoli. 

Quando scoprì la notazione binaria, rimase colpito dalla sua essenzialità. Leibniz vedeva in questo sistema un’analogia con la creazione partendo dal nulla. All’inizio era il nulla, lo 0, e il primo giorno c’era solo Dio, l’1. Dopo 7 giorni, dato che il 7 in binario è 111, esisteva già tutto, e non c’era nessuno zero. 

Joachim Bouvet, missionario in Cina che si trovava in permesso a Parigi nel 1697, venuto a conoscenza dell’interesse di Leibniz per il sistema binario e la cultura cinese, richiamò la sua attenzione sugli esagrammi dell’I Ching.

I 64 esagrammi

L’I Ching o Libro dei mutamenti è un antico trattato cinese che serviva per fare predizioni, come una specie di oracolo, scritto dal sovrano Fu Hsi intorno al 2400 a.C.

Si basa su una serie di simboli, formati da linee continue e discontinue, raggruppati in trigrammi. Se si uniscono a due a due tutti gli 8 trigrammi possibili otteniamo i 64 esagrammi possibili, formati da 6 linee. È immediato vedere, se consideriamo la linea spezzata come lo zero e quella continua come l’uno, come questa sia una possibile rappresentazione dei numeri da 0 a 63 in notazione binaria.

Utilizzando il sistema binario le regole che governano le operazioni diventano semplicissime! Basta sapere che $1+1=10$ e tutte le moltiplicazioni diventano automatiche. Per dividere un numero per un altro è praticamente sufficiente osservare quale dei due numeri è il  più piccolo. Molte proprietà inoltre diventano evidenti in questa notazione, per esempio, per raddoppiare un numero, basta aggiungere uno zero a destra.

Leibniz, per quanto fosse affascinato da questo sistema, riconosceva però che non sarebbe stato pratico usarlo per i calcoli quotidiani. Già per numeri relativamente piccoli effettuare operazioni in notazione binaria, pur non richiedendo quasi alcun dispendio cognitivo, richiede un enorme numero di passaggi.

La vera potenza del sistema binario è che è facilmente automatizzabile: basta ricordare pochissime regole per essere in grado di effettuare tutti i calcoli. Non è un caso che oggi sia alla base di tutta l’informatica: i computer lavorano con questo sistema e tutto ciò che passa attraverso un supporto digitale, come le immagini, l’audio, i video…è trasformato in una serie di uno e zero.

Riguardo a questo aspetto dell’argomento non posso che consigliare a tutti gli interessati di matematica la lettura del libro “Le due teste del tiranno” di Marco Malvaldi, in particolare del capitolo 2 “Quanto fa Mela Verde per TremalNaik?” nel quale il Funes di Borges è preso come spunto per parlare dell’idea di Leibniz e molto di più: cosa significa pensare.

Lo sviluppo del sogno di Leibniz

Per quanto Leibniz fosse convinto dell’importanza della caratteristica universale, fece pochi passi avanti nel realizzarla. Nel 1678 nello scritto Lingua Generalis, introdusse l’idea di rappresentare i concetti di base attraverso numeri primi e le proposizioni che si deducono da questi attraverso il prodotto di quei numeri primi.

Abbandonò questa idea dopo qualche tempo, considerandola troppo complicata e adottò un altro schema. Nel nuovo approccio riprendeva il metodo della divisione della logica aristotelica per ridurre tutti i concetti ai loro elementi più semplici. A questo scopo secondo Leibniz era necessario redarre un enciclopedia dell’intera conoscenza umana. Arrivò anche a scrivere un’introduzione per tale enciclopedia e a proporre un calcolo logico volto alla caratteristica universale. Questo calcolo logico presentava già alcuni aspetti che faranno parte dell’algebra della logica che Boole svilupperà circa un secolo e mezzo dopo.

Nel corso dei prossimi articoli vedremo come il sogno di Leibniz si è evoluto fino ai giorni nostri attraverso le scoperte delle grandi menti che si sono susseguite nello studio della logica.

Per approfondire

Una splendida trattazione della storia dell’informatica, che parte proprio dal sogno di Leibniz e racconta le conquiste logiche che ne hanno permesso lo sviluppo, la si può trovare nel libro Il calcolatore universale di Martin Davis.

Su youtube è presente una playlist di podcast del professor Odifreddi, che ripercorre la storia della logica dall’antichità fino ai giorni nostri. Vite da logico