Archivio mensile:Maggio 2017

Problemi del Millennio: I 7 Problemi da 1 milione di Dollari

Nella vita di un matematico in erba sarà capitato almeno una volta di sentir parlare degli altisonanti “Problemi del Millennio”. Ebbene: Cosa sono? Perché periodicamente ritornano in auge? Perché le soluzioni sono viste come il sacro Graal della matematica moderna?

Cerchiamo innanzitutto di fare ordine spiegandone l’origine. Poi ci concentreremo su cosa sono e perché in tutto il mondo si venderebbe l’anima al diavolo per poterne risolvere uno (perlomeno l’autore di queste poche righe lo farebbe, pertanto mi scuso per essere stato così generalista 🙂 ).

Prima di proseguire, ecco un libro che potrebbe interessarti ed è fatto molto bene: L’equazione da un milione di dollari

Hilbert “il complessato”

8 agosto 1900. Parigi. Il mondo è in fermento. La famosa Esposizione di Parigi è in corso e la torre dell’ingegnere Eiffel è stata appena completata. Tuttavia la storia sta per ricordare quel giorno per un altro motivo: David Hilbert, visto già allora come una leggenda vivente (e di cui scriverò sicuramente in futuro), annuncia al “Congresso internazionale dei matematici” i suoi 23 problemi. La storia stava per cambiare.

I problemi, per ammissione stessa di Hilbert, non erano i problemi al tempo più difficili da risolvere ma erano delle questioni aperte la cui risoluzione si sarebbe rivelata fondamentale per lo sviluppo della società e delle scienze in generale. Essi spaziavano dall’algebra, all’analisi e al calcolo delle variazioni, alla teoria dei numeri fino alla fisica teorica intesa in senso moderno.

Originariamente i problemi non erano 23; Hilbert ne enunciò solo 10, gli altri arrivarono 2 anni dopo, nel 1902. Oggi molti problemi sono stati risolti (le medaglie Fields sono fioccate grazie alla risoluzione di anche uno solo di questi problemi), altre risposte sono ancora in fase di validazione, altri problemi sono ora considerati “non-ben posti” in quanto troppo vaghi o comunque non abbastanza precisi mentre solo due sono considerati ancora “problemi aperti”.

Filantropia portami via

Nel 1998 l’impreditore milionario filantropo Landon T. Clay fonda con sua moglie e con il matematico Arthur Jaffe in una piccola cittadina del Massachusetts quello cha da li a poco sarebbe diventato l’Istituto matematico Clay (Clay Mathematics Institute o CMI). L’intento era di creare un ente privato no-profit dedicato all’accrescimento ed alla diffusione della conoscenza della matematica.

Ad oggi l’associazione è famosa soprattutto per il Millenum Prize Problems ma si occupa a tutti gli effetti di volontariato tot court: ogni anno borse di studio vengono erogate per studenti promettenti, summer schools vengono organizzate e sostenute nonché convegni, conferenze pubbliche e attività di pubblicizzazione della matematica rivolte soprattutto ai giovani, dal livello dei diplomati fino a quello dei ricercatori.

I modesti “Problemi del Millennio”

Il 24 maggio 2000, durante il Convegno del Millennio a Parigi (del resto non poteva non essere a Parigi e non chiamarsi così 🙂 ), sulla falsa riga dell’idea di Hilbert di un secolo prima, l’istituto Clay pubblica una lista di 7 problemi ancora irrisolti. Allo stesso tempo viene pubblicata anche la procedura con la quale le eventuali soluzioni saranno verificate, nonché il premio che l’istituto offrirà al primo che avanzerà una soluzione accettabile di almeno un problema: l’esorbitante cifra di un milione di Dollari (come se la gloria eterna non fosse già abbastanza).

Come nell’idea originale di Hilbert, questi non sono né i più difficili da dimostrare computazionalmente, né i problemi con le dimostrazioni più difficili: sono solo una lista di problemi estremamente importanti. Va notato inoltre come la lista proposta dal Clay Institute sia tutt’altro che esaustiva! Tuttavia molte soluzioni di problemi quantomai attuali possono essere corroborate o smentite grazie agli strumenti matematici che la soluzione a uno dei problemi del millennio può fornire (si veda per esempio alcune possibili soluzioni alla gravitazione quantistica o della rinomata Teoria delle Stringhe).

Attualmente solo uno ne è stato risolto (dunque i milioni a disposizione, se la matematica non è un’opinione, e non lo è, sono ancora 6) e rispetto alla lista originale di Hilbert ne ricompare solo uno e probabilmente il più famoso…

Vediamo dunque quali sono questi famigerati problemi! Ne darò solo un assaggio (un libro intero non potrebbe bastare solo per uno solo, figuriamoci per tutti e 7 😉 ) e mi soffermerò in particolar modo su quelli che mi hanno toccato in prima persona in una maniera o nell’altra.

1. Congettura di Poincaré (Unico problema attualmente risolto)

Il problema è a cavallo tra la Topologia e la Geometria Differenziale. È stato risolto nel 2003 grazie soprattutto al contributo del ninja della matematica, il russo Grigori Perelman.

Attualmente è uno dei matematici più famosi al mondo
Dopo che gli venne riconosciuta la paternalità del risultato, si tentò subito di fargli recapitare il premio a 6 zeri. Perelman, con nonchalance, rifiutò.

E fin qui uno può dire: ”Ok”. Nel mentre si procedette a proclamarlo vincitore della medaglia Fields. Perelman, testardamente, rifiutò anche quella. Ok. La sua motivazione è stata ”il mio contibuto non è stato poi così importante”. Ok. Adesso vive con la madre nella periferia di San Pietroburgo. De gustibus verrebbe da dire… della serie: fate vobis.

Per scoprire qualcosa in più sul problema in sè, per niente facile da descrivere in poche righe, qui utile ad introdurlo:

2. P versus NP (probabilmente verrà risolto nei prossimi 50 anni)

Immaginate di essere al ristorante; davanti a voi avete un menù lungo 10 pagine. Vi viene chiesto di dire tutte le possibile combinazioni di piatti, in ogni quantità vogliate, la cui somma dia, diciamo, 46,00€.

Questo problema può essere facilmente reso più difficile aggiungendo magari qualche costrizione, come per esempio “bisogna prendere almeno una porzione di Strudel della nonna di Erik” (una volta assunto che sia nel menù 😉 ). Bene, ma non benissimo.

Questo è il Knapsack Problem (problema dello zaino).Questi tipi di problemi sono detti NP-completi. Ovviamente è molto facile verificare se una soluzione è valida; totalmente diverso è trovarla!

Adesso la questione è: problemi che hanno la verifica semplice di un’ipotetica soluzione, hanno anche almeno un algoritmo semplice per trovarla?

Innanzitutto bisogna capire cosa vuol dire semplice… per comodità diciamo che un algoritmo semplice è uno che ci mette al più un tempo polinomiale rispetto alla grandezza dell’input per terminare. I problemi per cui ciò accade vengono detti P da polynomial appunto. I problemi invece per cui è richiesto un tempo polinomiale per verificare se la soluzione è corretta, sono detti NP (da Nondeterministic Polynomial time).

Molti sono convinti che P non sia equivalente a NP, ma attualmente nessuno sa la risposta. Se per caso un giorno si mostrerà che P=NP, beh vi consiglio di correre in banca a ritirare i vostri soldi prima e cancellarvi da Facebook poi. Le vostre passwords non serviranno più a nulla.

3. Esistenza e regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes.

Il problema è forse il più attuale in fisica matematica e nel campo dell’Analisi Reale.

Le equazioni (meglio, sistema di equazioni) descrivono il moto di un fluido in regime turbolento.

Sappiamo già risolvere le equazioni nel caso laminare (il caso per esempio dell’aria che passa sul parabrezza della vostra macchina quando siete in movimento), ma il caso turbolento è tutto un altro paio di maniche.

Per completezza scrivo di seguito la famosa equazione nel caso di un fluido compressibile (l’aria per esempio lo è, l’acqua no)

dove indica la velocità del fluido, è la pressione del fluido, è la viscosità dinamica del fluido e è la densità del fluido.

A sinistra puoi vedere un fluido nel regime turbolento, a destra nel regime laminare.

4. Congettura di Riemann

Un classico. Famosissimo e rinomatissimo. Esso fa parte sia dell’analisi complessa sia della teoria dei numeri. É l’unico tra i 7 problemi del millennio che faceva già parte dei problemi di Hilbert. Tutto si basa sulla funzione (si legge zeta) di Riemann(-Eulero).

La funzione, scoperta da Eulero e poi estesa da Riemann, è la seguente

dove è un numero complesso. È già dimostrato che la serie converge (cioè la somma non va a , che è un bene) per .

L’ipotesi di Riemann dice che gli zeri non-banali di questa funzione si distribuiscono sulla retta complessa .

Ci si potrebbe benissimo chiedere perché questa funzione sia così importante… Ebbene, verificare se un numero è primo oppure no richiede un sacco di tempo. Per esempio 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331 sono tutti primi.

Ma per qualche stramaledetta ragione, 333333331 non lo è!! Risolvere la congettura di Riemann ci potrebbe dare uno strumento potentissimo per la risoluzione di problemi di questo tipo.

5. Esistenza di Yang–Mills e differenza di massa

Siamo di nuovo nella Fisica-Matematica, questa volta nella teoria quantistica dei campi. Chiariamo la situazione; la Teoria di Yang-Mills è un insieme di equazioni che predicono il comportamento di un sistema di particelle all’interno di un campo quantistico.

Un campo quantistico a sua volta è una struttura matematica che segue un certo numero di regole.

Bene. Questo problema richiede una dimostrazione che Young e Mills hanno fatto solo per spazi euclidei di dimensione 4 e può predire in modo corretto il comportamento di particelle di massa maggiore di zero (cioè tutte quelle con cui abbiamo a che fare tutti i giorni, ma non i fotoni tanto per capirci).

Questa dimostrazione tuttavia non è basata su una teoria matematica solida, sebbene il risultato sia probabilmente vero (ad oggi non ci sono evidenze sperimentali che la contraddicano).

La riformulazione della soluzione porterà probabilmente alla nascita di una nuova matematica.

6. Congettura di Hodge

Topologia algebrica e Geometria Algebrica. Eh? Niente paura, tanti si spaventano… L’origine della geometria è insita nel procedimento di prendere oggetti (anche astratti) semplici e farne delle combinazioni per renderli più complicati.

La congettura di Hodge dice che per un particolare tipo di spazio, chiamato spazio algebrico proiettivo, gli spazi che lo compongono sono combinazioni lineari di strutture geometriche.

La difficoltà nel riuscire a dimostrarlo risiede anche nella difficoltà a comprenderlo. Ancora non è stato compreso a fondo e probabilmente la sua soluzione richiederà molta matematica “nuova”.

7. Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

Teoria dei numeri – Questo problema è il più difficile di quelli enunciati. Potrebbe non essere mai risolto.

Esso è relativo all’equazione diofantea preferita da tutti ( le equazioni diofanteee, che prendono il nome da Diofanto, sono equazioni algebriche la cui particolarità è che le soluzioni devono essere numeri interi), cioè

Euclide ha risolto questo problema per la dimensione 2. Per curve più complicate questo diviene più difficile e sopratutto non ci sono metodi generali per risolverlo!

Questa affascinante congettura dice che la dimensione del gruppo dei numeri razionali che risolvono l’equazione è in qualche modo legata alla Funzione Zeta di Riemann (sempre Lei!) valutata in quel punto!

Cioè se è zero, ci sono infiniti punti razionali che la soddisfano, altrimenti sono finiti.

Come faccio a ottenere il premio?

Bene, siamo alla fine. ma ora la domanda è: come faccio a ottenere il premio nel caso abbia trovato la soluzione di uno dei problemi del millennio?

Innanzitutto la soluzione deve essere scritta sottoforma di articolo e essere pubblicata su una rivista di prestigio internazionale. Dopo ciò, il Clay Institute provvederà a formare una commissione con il compito di verificare innanzitutto se la proposta merita una certa considerazione. A questo punto possono essere già passati anche un paio d’anni. La commissione di addetti dovrà ora comprovare l’effettiva correttezza della soluzione, cosa che non è affatto banale. La commissione può avvalersi dell’opinione di qualche membro esterno riconosciuto a livello internazionale come esperto in quel determinato campo. Nel mentre bisogna anche verificare l’effettiva paternalità del risultato: al di là del fatto che può essere stata copiata, può anche essere la rivisitazione di un’idea già usata per un altro problema con tutt’altro intento!

Nel caso la commissione non arrivi a nessuna decisione, nessun premio verrà assegnato. Perlomeno non fino a che altri dettagli verranno svelati. Nel caso invece in cui abbiate pubblicato la giusta soluzione, beh allora la procedura che dovete seguire è la seguente (anche se dubito che Perelman l’abbia seguita):

Sedetevi
Prendete una bella boccata d’aria
Chiamate vostra mamma e ditele che da quel giorno avrà un motivo in più per essere fiera di voi
Chiamate vostra moglie (o marito) e dite di tenersi forte, perché state per essere proiettati nella storia: l’Olimpo della matematica ha aperto i cancelli.

Au revoir

Erik

Ceterum censeo festascienze esse facendam

Gauss – Il principe dei Matematici

11 Repliche

La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica.

Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 aprile 1777-Gottinga, 23 febbraio 1855).

Carl Friedrich Gauss è stato probabilmente il più poliedrico scienziato di tutti i tempi ed è stato il penultimo uomo a “sapere tutto” (è stato superato solo parecchio tempo dopo da un certo Poincaré 🙂 ). Durante la sua lunghissima e vastissima produzione scientifica, è stato matematico, fisico e astronomo.

Ha dato contributi fondamentali in tutte le branche della matematica e della fisica allora conosciute: dall’analisi matematica (sia reale che complessa vedi articolo sui numeri complessi) alla teoria dei numeri, statistica, calcolo numerico, geometria differenziale, geodesia, geofisica, al magnetismo e elettrostatica fino all’astronomia e all’ottica.

Viene ricordato come Universalista, dal momento che eccelse in tutti i campi della disciplina nota ai suoi giorni.

L’enfant prodige

La storiografia insegna che fin dai primi anni di vita è stato considerato come un bambino prodigio. Molti aneddoti sono raccontati sulla sua infanzia, certi più famosi di altri, certi più accreditati di altri.

In particolare due sono particolarmente conosciuti:

Si narra che all’età di tre anni abbia corretto dei calcoli nelle finanze del padre; già dopo pochi mesi di vita, Gauss era in grado di fare operazioni algebriche, leggere e addirittura scrivere qualcosa.
Un altro aneddoto racconta di come il suo il suo pigro insegnante, J.G. Büttner, per tenere occupati i suoi allievi, ordinò loro di fare la somma dei numeri da 1 a 100. A quel tempo il giovane Gauss aveva solo 9 anni ma ugualmente dopo pochi minuti riuscì a consegnare la somma corretta: 5050.

Molte ipotesi sono state avanzate su quale metodo Gauss abbia usato: l’ipotesi più accreditata è che Carl si sia accorto che i numeri che differiscono della stessa distanza dagli estremi della serie danno sempre la stessa somma. Probabilmente mise in una riga i numeri da 1 a 100 e in una riga sotto i numeri da 100 a 1, e vide che ogni colonna dava come somma 101:

non restava dunque che fare il semplice calcolo , ottenendo il risultato 5050 appunto. Aveva appena scoperto a 9 anni il risultato di quello che adesso noi chiameremo somma aritmetica, o in simboli

Büttner deve arrendersi davanti all’evidenza e dopo poco tempo supplicherà il Il Duca di Brunswick di finanziare il giovane prodigio per potergli permettere di proseguire gli studi all’Università di Braunschweig prima (la più antica di Germania) e di Gottinga poi, dove trascorse gran parte del resto della sua esistenza.

L’annus aureus

Giunto all’Università Gauss ottenne una serie di notevoli risultati. Finalmente il suo genio poteva esprimersi al meglio e soprattutto poteva essere supportato e indirizzato da professori del suo livello, perlomeno fintanto che non vennero surclassati. In particolare il 1796 viene ricordato come l’anno d’oro. Tra le maggiori scoperte possiamo citare:

riuscì a dimostrare che un poligono regolare con un numero di lati che è un primo di Fermat è costruibile con riga e compasso. Questa fu una grande scoperta in un importante campo della matematica; la costruzione dei poligoni aveva occupato i matematici fin dall’epoca degli antichi greci, e la scoperta dette modo a Gauss di scegliere di intraprendere la carriera di matematico anziché di filologo.
riuscì a costruire un eptadecagono;
inventò l’aritmetica modulare, importantissimo strumento della teoria dei numeri che, solo per inciso, è la teoria dei numeri che tiene al sicuro i vostri e i miei soldi in banca 🙂 ;
congetturò per primo la validità del teorema dei numeri primi, dando un’idea chiara di come i numeri primi siano distribuiti fra gli interi, cioè che se ne trovano sempre più di rado mano a mano che ci spostiamo verso l’infinito in un’ipotetica linea dei numeri, ma che seguono un andamento logaritmico;
scoprì che tutti i numeri naturali sono rappresentabili al più come somma di tre numeri triangolari (Un numero intero positivo si dice triangolare se è uguale alla somma di una sequenza di numeri naturali consecutivi a partire da 1).

Aveva appena 19 anni. Per darvi l’idea, un ragazzo normale che studia matematica come il sottoscritto, non ha i mezzi per comprendere nemmeno un risultato. E pensatevi che molti dei suoi risultati sono stati pubblicati postumi o comunque dopo molti anni: voleva che fossero perfetti e riteneva molte delle dimostrazioni “non eleganti”.

A 22 anni completa il dottorato a Gottinga: nella sua tesi di dottorato Una nuova dimostrazione del teorema per il quale ogni funzione algebrica integrale di una variabile può essere risolta in fattori di primo o secondo grado, Gauss dimostra il teorema fondamentale dell’algebra. Era entrato nella storia.

Sfortunatamente per lui, era troppo avanti rispetto ai suoi contemporanei; la sua commissione giudicatrice non aveva i mezzi necessari per capire la sua dimostrazione e verrà completamente appresa grazie al lavoro del geometra (in senso matematico, sia chiaro 🙂 ) francese Jordan e alla completa definizione dei numeri complessi.

Marie Ennemond Camille Jordan

Per non farsi mancare nulla, prima della sua morte pubblicò altre 4 dimostrazioni di questo teorema.

La maturità

Nel 1801, all’età di 24 anni, presenta il suo la

voro “Disquisitiones Arithmeticae” che si rileva subito

come un dei contributi più importanti alla teoria dei numeri e una pietra miliare nel campo della matematica, al pari dei “Principia Mathematica” di Newton.

In questo lavoro Gauss introduce ancora alcune nozioni basilari: i già citati numeri complessi, o immaginari- anche se di immaginario hanno poco :-P, e la teoria delle congruenze. Il testo contiene anche una dimostrazione della legge di reciprocità quadratica (riguarda la risolubilità relativa in aritmetica modulare di due equazioni quadratiche correlate, dando le condizioni per cui entrambe, nessuna o una sola di esse hanno soluzione); un risultato che Gauss giudicava così importante che ne diede varie dimostrazioni durante la sua vita.

Astronomia

Per non farsi mancare nulla, si appassionò di li a poco tempo di astronomia: attraverso l’elaborazione di un nuovo metodo per la definizione delle orbite dei corpi celesti, infatti, riesce a calcolare la posizione dell’asteroide Cerere.

Il problema era stato lanciato da un astronomo italiano che dopo essere riuscito a tracciare la posizione dell’asteroide per un paio di mesi, ne aveva perso le tracce a causa del bagliore del sole. Dopo tre mesi di duro lavoro predisse la posizione di Cerere nel dicembre 1801 – appena un anno dopo il suo primo avvistamento – con un errore di appena mezzo grado.

Introdusse la costante gravitazionale di Gauss, e sviluppò il cosiddetto metodo dei minimi quadrati, una procedura usatissima ancora oggi per minimizzare l’impatto degli errori di misurazione. Questo risultato gli vale una posizione all’Osservatorio di Goettingen, di cui nel tempo ne diventerà direttore. Lo rimarrà fino alla morte.

Probabilità

Parallelamente ai lavori sull’astronomia, sviluppo una serie di fondamentali strumenti sull’analisi di dati e sulla distribuzione asintotica degli errori di misurazione. Stiamo parlando del teorema fondante della statistica e dell’econometria: il Teorema di Gauss-Markov.

Geodetiche e Geometrie non euclidee

Incaricato dal duca di Hannover nel 1821 a effettuare degli studi sui suoi possedimenti, Gauss diventa il principale studioso della cosiddetta geometria non-euclidea (purtroppo non mi posso dilungare troppo su questo punto, altrimenti un articolo non basterebbe per sviluppare solo questo paragrafo). Durante questo periodo sviluppa la teoria delle superfici e scopre il Teorema Egregium (con tutto il rispetto per gli altri teoremi).

In questo periodo parallelamente sviluppa anche quella che poi sarebbe stata chiamata “geometria sferica” negando il V postulato della geometria di Euclide. L’argomento però era scottante e Gauss decise di non pubblicare il risultato. Svariati anni dopo, il figlio di un suo intimo amico, dicasi Janos Bolyai, gli invia un lavoro rivoluzionario nel quale si sviluppano delle considerazioni sulla negazione del V postulato.

Gauss gli rivela privatamente che lo aveva anticipato di 30 anni. Questo amareggiò molto Janos, che mise fine ai rapporti con Gauss pensando che egli stesse rubando l’idea. Oggi la precedenza di Gauss è appurata ma quest’ultimo si rifiutò di pubblicare il lavoro per il timore della controversia.

Elettromagnetismo

Intorno al 1830, invece, si interessa di fisica e in particolare dei fenomeni che regolano l’elettromagnetismo. Inizia la collaborazione con il fisico Weber. Trova quella che sarà poi definita “legge di Gauss” o “Teorema del flusso” ossia la regola che sta alla base del comportamento delle particelle cariche statiche svelando il segreto che sta alla base della loro interazione: la distanza, in particolare il reciproco della distanza al quadrato.

La legge scopre insomma che tra due cariche elettriche ferme agisce una forza che dipende dalle cariche e dalla distanza a cui si trovano.

Curiosità

Curioso segnalare che il matematico ebbe l’idea di applicare il suo ingegno anche all’economia, questa volta non per soli e nobili fini scientifici ma anche per giustificati fini…personali. Infatti, si dedicò anche ad uno studio accurato dei mercati finanziari fino a guadagnare una fortuna personale considerevole.

Morte e eredità

Muore a Gottinga il 23 febbraio del 1855. Il suo genio era ormai leggenda.

Molte persone lo consideravano schivo e riservato. Ebbe due mogli ed entrambe morirono giovani. Ebbe 6 figli ed ebbe un rapporto travagliato con quasi tutti. Di tutti i figli di Gauss, si diceva che fosse Wilhelmina ad aver ereditato tratti del talento del padre, ma sfortunatamente morì giovane.

Sebbene avesse avuto alcuni studenti, Gauss era noto per detestare l’insegnamento, e prese parte ad un’unica conferenza scientifica, a Berlino nel 1828. Rare erano le collaborazioni con altri matematici, che lo consideravano solitario e austero. Tuttavia molti dei suoi studenti divennero importanti matematici:

Richard Dedekind, che diede fondamentali contributi alla logica e alla teoria dei numeri;
Bernhard Riemann, che sviluppò sulle orme del maestro gli studi sulle geometrie non euclidee e sulle metriche di cui Einstein non poté fare a meno per la sua teoria della gravitazione;
Friedrich Bessel, matematico, geometra e astronomo.

Prima che morisse, Sophie Germain ( la seconda più grande matematica di tutti i tempi dopo Emmy Noether) fu raccomandata da Gauss affinché ricevesse anche lei la laurea honoris causa.

Questo è il mio primo articolo; se ti è piaciuto, se non ti è piaciuto per niente, se hai qualche annotazione, se mi sono dimenticato qualcosa che pensi sia rilevante (come se ce ne fossero poche 🙂 ) o anche se solo vuoi confrontarti su qualche argomento che ho citato, ti prego di dirmelo; ogni commento è ben accetto 😉

Ho voluto iniziare la mia lista di articoli proprio con Gauss perché ritengo che sia stato il più grande di tutti i tempi e da quando ho iniziato a studiare, non ho ancora trovato una materia in cui prima o poi non si faccia uso di uno dei teoremi di Gauss. Era in anticipo sui suoi contemporanei di 30 o addirittura 50 anni. Senza di lui, probabilmente molti problemi avrebbero ancora il punto interrogativo al posto della soluzione.

Grazie per avermi dedicato questi 5 minuti.

Ciao e a presto,