Archivio mensile:Novembre 2016

Fibonacci

Successione di Fibonacci: proprietà e alcune applicazioni

Settimana scorsa ci eravamo lasciati con qualche questione in sospeso. Se non hai ancora letto l’articolo introduttivo sulla successione di Fibonacci, rimedia subito! L’articolo lo puoi trovare qui:

Successione di Fibonacci : introduzione

Nella prima parte ti avevo parlato della storia, di un paio di curiosità e proprietà e spero di averti fatto voglia di approfondire l’argomento con qualche PDF e video.

Ora, ci inoltreremo invece nelle principali proprietà che caratterizzano questa successione e in alcune sue applicazioni davvero interessanti.

Iniziamo subito!

Proprietà principali della successione di Fibonacci

Oltre alla relazione che lega i numeri di tale successione con la sezione Aurea, che ti avevo presentato nello scorso articolo, ti avevo già anticipato che questa sequenza particolare di numeri, gode di svariate proprietà caratteristiche.

In questo articolo ne vedremo 2, quelle che ho ritenuto più curiose ed interessanti. Se hai voglia di scoprire di più sull’argomento, non dimenticare che esiste l’amico Google, oppure contattami per mail (list@mathone.it) oppure sulla pagina Facebook che trovi QUI.

Ecco le proprietà su cui mi soffermerò:

  • Relazioni con il massimo comun divisore e la divisibilità
  • Teorema di Charmichael e fattori primi caratteristici

Relazioni con il massimo comun divisore e la divisibilità

Il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore, non sono proprio banali da un punto di vista algebrico. Tuttavia per il momento non ci servono concetti troppo complessi, ci basta restringere il discorso ai numeri naturali. Magari in altra sede potrei approfondire il concetto di divisibilità su campi e anelli algebrici.

Per leggere le prossime righe, è sufficiente che tu conosca i seguenti concetti:

  1. Siano a,b numeri naturali. Allora si ha che a divide b (a|b) se la divisione con resto tra a e b, ha resto 0. Ossia se esiste un numero naturale c, tale che a*c=b.
  2. Siano a,b,c numeri naturali. Allora c è comun divisore di a e b, se c|a e c|b.
  3. Siano a,b,c,M,N numeri naturali. Se M ed N sono gli unici comuni divisori di a,b,c e N|M, allora M si dice massimo comun divisore (come si può intuire, è il più grande tra i comuni divisori) di a,b,c (M=MCD(a,b,c)).

Detto ciò, possiamo passare alla proprietà vera e propria.

Un’importante proprietà dei numeri di Fibonacci riguarda il loro massimo comun divisore. Infatti è soddisfatta la  seguente identità:

Essa è anche nota come Teorema di Vorob’ev. Da questo segue che Fn è divisibile per Fm se e solo se n è divisibile per m.

Questa proprietà è importante perché ne segue che un numero di Fibonacci Fn può essere un numero primo solamente se n stesso è un numero primo, con l’unica eccezione di F4=3 (l’unico numero di Fibonacci per cui potrebbe essere divisibile è F2=1). Il viceversa tuttavia non è vero: F19, ad esempio, è uguale a 4181=37*113

Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Fibonacci siano o meno infiniti.

Inoltre si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Fibonacci.

Teorema di Charmichael e fattori primi caratteristici

Per ogni n>12, esiste un fattore primo del numero di Fibonacci Fn che non è mai apparso come un fattore dei numeri di Fibonacci Fk, con k<n.

Questo teorema è noto come teorema di Carmichael.

Si noti che questo non significa che Fp deve essere un numero primo per ogni primo. Ad esempio F19=4,181=37*113, dove 19 è un numero primo, ma F19 no.

I fattori primi di un numero di Fibonacci Fn che non dividono nessun numero di Fibonacci precedente sono detti fattori caratteristici o divisori primi primitivi.

Applicazioni interessanti della successione di Fibonacci

Siccome non vogliamo che la matematica rimanga semplicemente una scienza bella ma poco concreta, ecco che ci addentriamo in alcune applicazioni interessanti ed utili della successione di Fibonacci.

Ho pensato di iniziare con qualche “coincidenza” in natura, per passare poi a delle vere e proprie applicazioni nell’arte, nell’economia. Ce ne sono anche alcune interessanti nella musica, ma penso di dedicare alcuni articoli al rapporto tra musica e matematica (non irrilevante) perchè mi affascina parecchio.

Insomma, non sono proprio semplici numeri, sono qualcosa di più 😉

“Coincidenze” in natura

Il titolo di questo paragrafo è provocatorio appositamente, non sono del tutto coincidenze quelle che andremo a vedere nelle prossime righe e sono inoltre fondamentali per alimentare la tipica domanda “Ma la matematica viene inventata dall’uomo o noi dobbiamo solo scoprirla?!”.

Quasi tutti i fiori hanno tre o cinque o otto o tredici o ventuno o trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove petali: ad esempio i gigli ne hanno tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spesso ne ha otto, la calendula tredici, l’astro ventuno, e le margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove.

Il rapporto fra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare di un uomo adulto è aureo, come anche il rapporto tra la lunghezza del braccio e l’avambraccio, e tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore. Proprio come il rapporto tra i numeri di Fibonacci molto grandi! 😉

Applicazioni in altri settori

I numeri di Fibonacci sono stati usati in alcune opere d’arte.

A Barcellona e a Napoli è stata creata un’installazione luminosa: nella città spagnola si trova nell’area della Barceloneta, all’interno dell’area pedonale, dove i numeri sono posti a distanze proporzionali alla loro differenza, mentre a Napoli sono disposti a spirale all’interno della stazione Vanvitelli della linea 1 della metropolitana, e più precisamente sul soffitto che sovrasta le scale mobili quando, superate le obliteratrici, si scende all’interno della stazione vera e propria.

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche in economia nell’Analisi tecnica per le previsioni dell’andamento dei titoli in borsa, secondo la teoria delle onde di Elliott.

Studiando i grafici storici dei titoli, Ralph Nelson Elliott sviluppò un metodo basato su tredici conformazioni grafiche dette onde, simili per forma ma non necessariamente per dimensione.

Online puoi trovare moltissimi esempi di applicazioni di questa sequenza di numeri, ti consiglio vivamente di fare qualche ricerca.

Spero di aver soddisfatto gran parte della tua sete di conoscienza, in caso di dubbi, suggerimenti o critiche non farti problemi a lasciare un commento qui sotto oppure a contattarmi direttamente. Sarò felice di ascoltarti 😉

Successione di Fibonacci: cos’è e alcune proprietà interessanti

Successione di Fibonacci, ne hai mai sentito parlare? Beh, immagino di si. Spesso però, questa viene introdotta come una semplice sequenza di numeri. Numeri che rispettano alcune proprietà specifiche, certo. Ma devi sapere che la successione di Fibonacci nasconde delle meravigliose “coincidenze” anche in natura. Inoltre gode di molte interessanti proprietà che meritano un intero articolo (in realtà 2 🙂 )

Con questo articolo (ed un secondo che uscirà la settimana prossima), voglio quindi provare ad introdurti ad alcune delle principali situazioni in cui, in natura, possiamo determinare certi comportamenti grazie alla sequenza di Fibonacci.

Prima, però, vediamo un po’ di storia e qualche nozione generale sulla successione stessa.

In questo modo posso passare allo step successivo, dando per buoni alcuni concetti fondamentali per gli esempi di tale successione in natura.

Cos’è la successione di Fibonacci?

Beh, questo è abbastanza semplice.

La successione di Fibonacci, indicata con Fn o con Fib(n), è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti. I primi 2 numeri di tale successione, sono Fib(1)=Fib(2)=1.

Possiamo quindi definire ricorsivamente tale successione nel seguente modo:

F(1)=1

F(2)=1

F(n)=F(n-2)+F(n-1) per n>2

I primi numeri della successione sono quindi i seguenti:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

I numeri che appartengono a questa successione, sono anche detti numeri di Fibonacci.

Fin qui tutto chiaro, spero. In caso ti rimanga qualche dubbio, non preoccuparti. Puoi mandarmi una mail a list@mathone.it oppure un messaggio alla pagina Facebook che puoi tovare qui: Mathone.

Detto ciò, proseguiamo nel nostro percorso alla scoperta dei numeri di Fibonacci 😉

Un po’ di storia sulla successione di Fibonacci

Partiamo da un paio di informazioni sul signor “Fibonacci”. Il suo nome reale era Leonardo Pisano. Visse tra il 1170 e il 1250 in Italia. “Fibonacci” era il suo soprannome, deriva dal fatto che era “figlio di Bonacci”.

Ma queste sono solo curiosità, dopotutto. Veniamo ora alla storia vera a propria di questa meravigliosa successione.

Fibonacci, quando creò questa sequenza così definita, aveva un obiettivo ben chiaro in testa. Voleva trovare una legge matematica che potesse descrivere la crescita di una popolazione di conigli.

Supponendo di avere una coppia di conigli appena nati, e che questa coppia diventi fertile al compimento del primo mese, voleva vedere cosa sarebbe successo poi.

Supponiamo che tale coppia dia alla luce ad una nuova coppia al compimento del secondo mese.

Le nuove coppie nate, ovviamente, si comportano in maniera analoga alla prima. Le coppie fertili, dal secondo mese di vita in poi, danno alla luce una coppia di figli al mese.

Se tutto ciò fin’ora esposto fosse vero, allora si verifica ciò che segue:

 

  • dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile,
  • dopo due mesi ci saranno due coppie di cui una sola fertile,
  • nel mese seguente (terzo mese dal momento iniziale) ci saranno 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile avrà generato; di queste tre due saranno le coppie fertili, quindi
  • nel mese seguente (quarto mese dal momento iniziale) ci saranno 3+2=5 coppie

In questo esempio, il numero di coppie di conigli di ogni mese esprime la successione di Fibonacci.

Interessante, no? Ma ora veniamo a qualche proprietà, analogia e legame davvero interessante, per preparare il campo alle applicazioni vere e proprie della teoria fin’ora vista. 🙂

Alcune proprietà interessanti

Questa successione nasconde molte sorprese. Infatti sembrerebbe semplicemente una sequenza di numeri che godono di una particolare proprietà, ma devi sapere che la successione di Fibonacci è molto di più.

Iniziamo con una proprietà che probabilmente hai già sentito da qualche parte:

Il limite per n che tende ad infinito del rapporto di due numeri successivi, tende alla sezione aurea. Ovvero al seguente numero algebrico (ricavabile da un’equazione):

Nelle precedenti righe ci sono alcuni concetti che possono non esserti troppo chiari. Vediamo di sviscerare per bene questa proprietà così importante.

Il limite che tende ad infinito di Fib(n)/Fib(n-1) è uguale al limite che tende ad infinito del numeratore, fratto quello del denominatore. Ci serve quindi a vedere cos’accade ai numeri di Fibonacci per n molto grandi.

Si può quindi notare che Fib(n)=Fib(n-1)*ϕ. Questa regolarità è molto interessante ed utile nello studio della successione stessa.

Ma vediamo un po’ meglio che cos’è la sezione aurea, ovvero questo numero qui:

La sezione aurea è un numero algebrico, ovvero ricavabile come soluzione di un’equazione, che determina il rapporto tra i lati del rettangolo considerato più “bello” e armonioso esteticamente.

Per ora ti basti sapere che questo numero ha avuto grande importanza nell’arte e nella matematica. Inoltre esso è una delle soluzioni della seguente equazione:

Se vuoi approfondire, inserisci la tua mail qui sotto per poter sfogliare un PDF davvero ben fatto su questo numero e su alcune sue utilità i natura:

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Presto pubblicherò anche un articolo a riguardo, ma per ora è più che sufficiente il PDF che ti ho consigliato 😉

Detto ciò, vediamo una formula che, partendo dal rapporto tra un elemento e il precedente, ti permette di ottenere l’n-simo elemento della successione, con buona precisione, senza necessariamente conoscerne i due precedenti.

Si ha che l’n-esimo numero di Fibonacci si può esprimere con la formula:

Questa elegante formula è nota come formula di Binet.

Per ora non approfondisco, se no l’articolo diventa troppo lungo. Ovviamente ci sarebbero altre proprietà, teoremi e relazioni davvero interessanti. Ma per questo articolo ho deciso di nominarne alcune e basta, ne dedicherò (la prossima settimana) unicamente a questo aspetto della successione di Fibonacci.

Ecco alcune proprietà, relazioni e teoremi interessanti:

  • Teorema di Carmichael e fattori primi caratteristici
  • Numeri di Fibonacci primi
  • Primalità
  • Proprietà di divisibilità
  • Relazioni con il triangolo di Tartaglia ed i coefficienti         binomiali

Siccome ci sono numerose proprietà ed applicazioni davvero interessanti riguardo a questa successione, e orma siamo a circa 1000 parole in questo articolo, ho deciso di fermarmi qui.

Ritengo che per ora le informazioni siano sufficienti, settimana prossima pubblicherò un articolo dedicato unicamente a queste parti che ho trascurato qui e che meritano di un articolo a parte.

Se hai domande, dubbi o curiosità ti ricordo che puoi contattarmi sulla pagina Facebook, mandandomi una mail a list@mathone.it oppure lasciando un commento qui sotto.

Intanto, se vuoi rimanere aggiornato e ricevere immediatamente il link del prossimo articolo sulla successione di Fibonacci, potresti inserire la mail qui sotto. Riceverai in regalo un PDF con 50 giochi di logica ed indovinelli e una curiosità matematica ogni giorno. Niente male come proposta, no?! 😉

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Per compensare alle mancanze di questo articolo, intanto, ti lascio questo video davvero completo ed interessante 😉 Alla prossima!

 

 

 

Apologia di un matematico – commento e spunti interessanti

Apologia di un matematico, gran libro anche se leggermente complesso. Hardy, autore di questo libro, lo scrisse quasi con malinconia, definendolo (a malincuore) un libro sulla matematica, non un libro di matematica. Prima di avventurarci nel libro e in alcuni suoi importanti concetti, ritengo opportuno soffermarmi sul termine “Apologia”. Non è infatti noto a tutti il suo significato. “Apologia” significa: discorso a difesa o esaltazione di una dottrina, persona o altro. In questo caso, con apologia di un matematico, Hardy si riferisce alla difesa di se stesso e della matematica in sè. Ogni persona infatti, giunge ad un momento in cui deve giustificare a se stesso e agli altri ciò che fa e ciò che ha fatto. Infatti solitamente facciamo cose di cui andiamo fieri o che consideriamo migliori di altre. Per questo vogliamo difenderle di fronte al parere, critiche di altri. Proprio com’è successo per Hardy, il quale voleva difendere il tempo da lui speso di fronte a chi diceva che la matematica non sia utile e il tempo dedicato a dimostrare teoremisia  tempo perso. Lui scrisse queste pagine, ovviamente editate e sistemate per agevolarne la lettura, negli anni della sua vecchiaia. Nel periodo in cui, a malincuore, dovette ammettere di non avere più le energie per creare la matematica. Poteva solo parlare di matematica. Hardy, visse una vita all’insegna dello studio della matematica e sempre in ambiente universitario. Non dovette mai preoccuparsi di trovare un lavoro, di mantenersi, di procurarsi da mangiare. Fu tutto gestito dall’università, nella quale si trovò molto bene. Lui frequentò il Trinity College di Cambridge. Un ambiente perfetto per lui. Il perchè di questa scelta, lo scoprirai leggendo il libro (sono solo 100 pagine, non posso rovinartelo tutto…). Puoi fare come me che l’ho preso in prestito in biblioteca o acquistarlo qui: https://goo.gl/HeXKFz In queste poche pagine, lui si pone l’obiettivo di difendere la matematica. Questa impresa non la considera però troppo difficile, infatti dice che la matematica si difende da sè. Differentemente dalla metafisica, ma questa è tutta un’altra storia (introdotta nel libro). Gli argomenti coperti da Hardy nel corso del libro sono i seguenti
  • L’utilità della matematica
  • Confronto tra matematica pura e applicata
  • La bellezza della matematica
  • L’eternità della matematica
  • La realtà matematica
Se sei già iscritto alla mailing list di Mathone, hai già ricevuto qualche informazione relativa al pensiero di Hardy riguardo all’utilità della matematica. Se non sei iscritto, ti basterà lasciare la tua email qui sotto (riceverai in regalo un pdf con 50 indovinelli e una nuova curiosità matematica ogni giorno 🙂 ) [optin_box style=”10″ alignment=”center” disable_name=”Y” email_field=”email” email_default=”Inserisci la tua email” integration_type=”mailchimp” thank_you_page=”http://mathone.it/video1/” already_subscribed_url=”http://mathone.it/video1/” list=”210adc39ed” name_field=”FNAME” name_default=”Enter your first name” name_required=”Y” opm_packages=””][optin_box_field name=”headline”]Here’s The Headline For The Box[/optin_box_field][optin_box_field name=”paragraph”][/optin_box_field][optin_box_field name=”privacy”][/optin_box_field][optin_box_field name=”top_color”]undefined[/optin_box_field][optin_box_button type=”0″ button_below=”Y”]Scarica il PDF ora![/optin_box_button] [/optin_box] Qui, in questo articolo, ho pensato di riportarti qualche concetto riguardo all’eternità e alla bellezza della matematica. Ovviamente sono un miscuglio di ciò che potrai leggere nel libro e ciò che penso effettivamente io.

La bellezza della matematica

Secondo Hardy, la maggiore attrattiva della matematica sta nella sua bellezza. Essa è ciò che distingue un vero problema o teorema matematico da un semplice e spoglio problema di scacchi. Lui paragona i teoremi matematici alle forme create da un pittore o un poeta. Sebbene non sia in grado (perchè probabilmente impossibile) di definirla, Hardy riesce comunque ad enumerare alcune caratteristiche che rendono un teorema “bello” (ovviamente in coppia con la sua dimostrazione). Queste caratteristiche sono: la sua imprevedibilità, inevitabilità e economia. Con questi aggettivi, si riferisce al fatto che una dimostrazione non dovrebbe procedere per casi isolati. Dovrebbe essere formata da una sola “linea di attacco”, usando metodi il più possibile elementari e generali. E’ proprio qui che si differenziano dai problemi di scacchi nei quali, in quel tempo, la presenza di più varianti simili era considerata un merito.

L’eternità della matematica

Questo è un argomento di cui ho già parlato qualche volta agli iscritti alla mailing list, ma al quale non ho mai dedicato un meritato spazio qui sul sito. Provvederò a riparare nelle prossime settimane. Tale tematica è stata una grande attrattiva per Hardy. Egli disse:
Archimede sarà ricordato quando Eschilo sarà dimenticato, perché le lingue muoiono ma le idee matematiche no.
Secondo l’autore, i matematici sono gli uomini che più possono avvicinarsi all’idea “ingenua” di immortalità. Inoltre, a parte alcune eccezioni, generalmente i matematici famosi sono coloro che più hanno contribuito. La matematica è una scienza sempre nuova, non potremo mai dire che un teorema sia invecchiato. Non potremo mai dire che un teorema, accuratamente dimostrato, perda di significato o di validità. Un teorema è molto prezioso, è eterno volendo esagerare (ma non più di tanto) con le parole. Con questo, penso di averti detto abbastanza per farti venire la voglia di leggere il libro. Sono poche pagine, da gustare in 2-3 ore di tranquillità e riflessione. Te lo consiglio molto. Se ti interessa acquistarlo, ci tengo a farti sapere che Amazon ha appena lanciato Prime Student, l’abbonamento Prime per gli studenti: tutti i benefici di Amazon Prime, ma a metà prezzo – solo EUR 18,00 all’anno. Non è abbastanza? Hai un periodo d’uso gratuito di 90 giorni. Ti consiglio di sfruttarlo soprattutto se hai intenzione di leggere di più 😎 http://bit.ly/sconto_studenti

L’infinito: qualcosa di grande ma non troppo semplice

L’infinito. Una parola, un concetto complicatissimo, un qualcosa di grande che sta occupando i matematici da moltissimo tempo. Ogni volta che approfondisco qulche aspetto di questo argomento la mia reazione è una sola: “WOW!”. Stupore, non potrei reagire diversamente.

Quando per la prima volta mi parlarono di infinito, pensai fosse una cosa molto semplice. Beh cosa ci si può aspettare da un ragazzino delle medie a cui viene detto: “Beh, pensa ad un numero. Bene, ti assicuro che ne esisterà sempre uno più grande”.

Grande, mi dissi, meno male che me l’hai detto tu, non ci ero proprio arrivato. E’ scontato, dai..

Beh, col passare degli anni mi resi conto della cavolata che pensai in quel momento. L’argomento nel quale mi addentrerò con questo e numerosi altri articoli, è vastissimo e ricco di sorprese.

Iniziai a capirne la complessità, quando sentii parlare del famoso “Hotel di Hilbert”. Non c’è da stupirsi, dopotutto. Sono questi i due classici approci all’infinito che si è soliti vedere.

Se non hai mai sentito parlare dell’hotel di Hilbert, ecco qui un breve accenno. Sotto le prossime righe troverai anche un video esplicativo e il link ad un articolo che considero davvero ben fatto sull’argomento.

L’hotel di Hilbert

In una città meravigliosa, esiste un hotel con infinite stanze. Ognuna numerata con un numero naturale. Un giorno, l’albergo era completamente pieno. Arrivò quindi un viandante che chiese ospitalità. Il proprietario, tutt’altro che in difficoltà, disse agli ospiti di spostarsi nella stanza dopo la loro. Quindi chi era nella stanza numero 2 andò nella 3, e così via.. Il nuovo ospite si sistemo quindi nella stanza numero 1.

Il giorno seguente arrivò una comitiva di infinite persone. Il proprietario fu tutt’altro che in difficoltà anche in questa situazione .

Questi chiesero, c’è posto per  noi? Siamo in un numero infinito. Non c’è problema, disse il proprietario. Ora vi libero le stanze.

Disse quindi agli ospiti della sua struttura di spostarsi nella stanza avente il numero doppio di quella dove stavano soggiornando. Si liberarono quindi tutte le stanze dispari. Ossia, si liberarono infinite stanze, pronte per essere occupate dai nuovi ospiti.

Situazione ancora meno intuitiva, che potrebbe verificarsi in un mondo ideale è la seguente. Ci sono infiniti alberghi come quello appena presentato. Domani chiuderanno tutti, tranne 1. E’ possibile sistemare tutti gli ospiti nell’unico rimasto aperto?

Si, per farlo ci sono due strategie:

  • Proseguire come in precedenza infinite volte
  • Assegnare ad ogni ospite una coppia di numeri (a,b) dove il primo indica il numero dell’albergo in cui risiedeva, il secondo il numero della stanza. Ora, basta assegnare ad ogni ospite la stanza numero a+b. Ecco che tutti saranno accontentati,

Spero che non sia proprio la prima volta che senti parlare di infinito, perchè altrimenti ammetto che, se fossi nella tua situazione, mi sentirei un po’ smarrito di fronte a ciò che ho appena letto. In caso ti trovassi in queste condizioni, non disperare.

Bisogna sempre iniziare da qualche parte, ti consiglio quindi di leggere una volta questo articolo, capire il più possibile e seguire le indicazioni che ti darò poi riguardo ad opportuni approfondimenti.

Ti assicuro che questo è un argomento meraviglioso, in cui vale la pena addentrarsi e faticare. Detto ciò, proseguiamo.

Articolo interessante: Un Grand Hotel davvero accogliente

Bene, ora che ho introdotto l’argomento, posso spiegarti l’obiettivo di questo articolo. Siccome parlare dell’infinito in 1000 parole (o poco più) è un’impresa impossibile, ho pensato di dedicarvi vari articoli. In tal modo ognuno di questi potrà essere più mirato a qualche aspetto particolare, così da sviscerarlo il più possibile.

Oggi voglio parlarti dell’origine della necessità di parlare di infinito. Da quando è stato necessario passare dal contare le 10-20 pecore che avevano nel recinto a parlare di quantità infinite?

Effettivamente, egizi, babilonesi e nemmano maya, indiani e cinesi non hanno mai avuto alcun problema con l’infinito. Per loro non era nemmeno qualcosa di concepibile. Tutto ciò con cui la matematica e l’uomo dovevano avere a che fare erano quantità finite, nient’altro.

Come spesso è accaduto nella storia, i primi a parlare dell’infinito in matematica (e in filosofia) sono stati i greci. Nonostante avessero iniziato a parlarne, cercarono in ogni modo di evitarlo. Non per nulla nemmeno i loro Dei sono onnipotenti.

Ma come scusa?! Euclide non parlò di rette infinite nei suoi postulati? Niente affatto, lui parlò di rette prolungabili secondo necessità. Quindi anche nelle costruzioni geometriche si usavano solo entità finite.

Questo esempio, e molti altri, possono essere quindi riassunti dicendo che i greci usarono solo l’infinito potenziale. Si appoggiavano quindi alla possibilità di poter far crescere una quantità a piacere, rimanendo sempre e comunque fermi ad un valore finito.

Un altro esempio di questo concetto di infinito potenziale, è la semplice dimostrazione fatta da Euclide relativa alla quantità di numeri primi. Ossia “Data una quantità arbitraria di numeri primi, esiste un numero primo diverso da questi.”

DIMOSTRAZIONE:

Dimostrazione: Consideriamo il prodotto dei numeri primi dati ed aggiungiamo 1. Ottieniamo un numero, piu grande di ` 1, che da come resto ` 1 per la divisione con uno qualunque dei numeri primi dati. Tuttavia questo numero si fattorizza come prodotto di numeri primi, necessariamente diversi dai numeri primi dati all’inizio. Q.E.D.

Per Pitagora, la scuola eleatica, e i filosofi Parmenide e Platone, l’infinito era accettato come concetto, ma con un connotato negativo: era inaccessibile; impossibile da descrivere in termini finiti, pertanto caratteristico dell’irrazionale; era senza forma dato che non si poteva aggiungere nulla, ne togliere nulla, all’infinito.

COSA E L’INFINITO MATEMATICO?

Il pensiero di Aristotele: L’infinito esiste soltanto in un senso implicito ma non puo essere mai raggiunto. L’infinito nella matematica non è necessario in quanto i matematici hanno in realtà soltanto bisogno di quantità grandi quanto si voglia, e di costruzioni ripetute quante volte si voglia, ma mai di quantità infinite o di costruzioni infinite quale potrebbe essere il passaggio al limite. L’infinito non fa parte della matematica, è soltanto una conveniente abbreviazione.

Alcune delle informazioni che ho riportato qui sopra, sono prese da un interessante PDF disponibile online. Se ti interessa approfondire, ti basta lasciare la tua email qui sotto, ti reindirizzerò immediatamente al PDF prima citato.

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Fin’ora abbiamo quindi visto come l’infinito sia stato una bestia nera nel corso dei secoli, tuttavia è stato molto spesso necessario “tirarlo in ballo”. Non è più sufficiente parlare di quantità finite, è necessario parlare di numeri e quantità infinitamente grandi. Ecco quindi il “concetto” di infinito. Il concetto di una quantità più grande di tutte, entità necessaria per comprendere svariate situazioni, fatti ed enunciati.

Un concetto fondamentale, associabile all’infinito è quello di limite. Ossia una valutazione del comportamento di una quantità, per variabili che assumono valori tanto grandi quanto vogliamo. In tal caso si può parlare anche di comportamenti di una quantità “in generale”, ossia comportamenti validi per variabili abbastanza grandi.

Faccio quindi un richiamo veloce al concetto di limite per x->infinito (x che tende ad infinito), giusto per avere un buon aggancio per i prossimi articoli. Quando si parla di limite per x->infinito di una funzione f(x), non si parla solitamente di quantità infinite. Si vuole determinare che valori assume f(x) per tutte le x>M, con M numero grande.

Ovviamente in queste ultime righe non ho detto niente, sono solo parole campate in aria. Prendile quindi con le pinze, soprattutto se è la prima volta che senti parlare di limite e di infinito. Avremo occasione di parlarne meglio in futuro.

Spero di averti illustrato abbastanza chiaramente i primi momenti della storia dell’infinito, che è ancora molto lunga e ricca di scoperte e problematiche. Tuttavia l’articolo è già troppo lungo per i miei gusti, quindi ho deciso di fermarmi qui. Con ancora moltissime questioni in sospeso e tanti punti interrogativi che immagino ti rimangano.

Ti consiglio comunque di lasciare la tua email qui sotto, riceverai una curiosità matematica ogni mattina (spesso parlo anche di infinito). Se decidi di iscriverti, riceverai immediatamente in regalo 50 indovinelli con soluzioni, non male come offerta direi 😉

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